1.9999...=2

語れ

乙

て

乙

乙

たつのかよ眠いのに…

一乙

前スレ>>989
「無理数は整数の比で表せない数」は正しいんじゃないの？

オナニーするよーーーあつまれーーーー

前すれ>>999がなんかオシャレ

スレタイでやるじゃんって思った

>>7
正しいと思う

前スレ→http://hibari.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1309693911/
無限小数0.999...は果たして1に等しいのかどうなのか延々議論したが結論出ず

いいか。

数学の概念にはすべて「定義」が存在する。
限り無く近づくとか、差が0とか、独自の解釈を弄する前に、
考察の対象の「定義」を明らかにしろ。

45450721!

乙乙

これを説いたら就職できますか？

前スレ閉じちまった
すまんがもっかい書いてくれ


あとさすがに眠いから4：30〜5：00には寝る
仮にそれまでに寝落ちしても文句は言うなよ

>>12たぶんこのスレでもでないんじゃないかな！

>>6
よくわからんけど、あんたがしたいのは、
「０．９９９９・・・　は決して1ではない」と主張したいのか、
「０．９９９９・・・　＝１　らしいけど、よくわからんから詳しく教えて」と説明を要求してるのか、
どっちなん？

これを知ったら俺も寝るわｗ

>>17
lim[n→∞]0.1^nはどんな値だと思ってる？記号の意味は理解してるよね？

1おつ

どうしても気になるからもう一回書くけど
◆KfAOAMZklEは0.99999…っていう数を何で知ったの？
何かの計算をしててでてきたの？
こういう表記を自分でしておいて小数点以下９が無限に続くのがおかしいと思ってるの？

「限りなく近づく」って表現の曖昧さに腹が立った人がε-δ論法を作ったんだっけ

>>16できますん

全スレ>>152にて実数a,bに対して
a=bであることの定義が書かれている(∀ε>0,|a-b|<ε)

とりあえずこれを理解してもらわないと
ε-δを説明なんてできやしない

未だに◆KfAOAMZklEの知識レベルがわからない
その他はだいたいわかるけど

>>22
歴史的には違うと思うけど、ε-δ論法に対してはそういうイメージでいいと思う。

>>12
その書き方はやめてほしいな。
結論は何年も昔にとうに出てるのに◆KfAOAMZklE が理解できてないだけだから

>>7
＞すべての実数は「有理数」か「無理数」に分けられる
＞「有理数」であり、「無理数」でもある数はない(ここまで前提)

正しいが、上記の前提から「無理数は循環しない小数部分をもつ」は導けないんじゃね？
せいぜい「無理数は整数の比で表せる数ではない」ぐらいしか言えない

>>13
何についてのどういう定義だ

>>19
その中間
「0.9999…≠1だと思っているけど0.999…＝1だと主張している人解説お願い」って感じ

>>17
0に近い値だが0ではない値

　.
0.1＝1/9という定義がある
よって
　.
0.9＝9/9＝1

とりあえず今俺がやろうとしてることをまとめておく。
ID:xLzG3bKq0は
・0.999...は実数だが有理数ではない
・等比数列の無限級数の和の公式は認めない
・循環小数が有理数であることを認めない
らしいので、
俺は循環小数は有理数であることをID:xLzG3bKq0に示そうとしている


>>17
すべての有理数は無限小数・循環小数で表現できるというのはいいよね
循環小数は無理数ではない。これはおｋ？

>>28
その通りでございます
俺が間抜けだったのでございます

>>29
お前は「理解できない」って言ってんだからいいんだよ。

理解させられない奴が悪い。

>>9
あんた今「値」と言ったか？
じゃあ聞くが０．９９９９・・・は「値」なのか否か？

>>21
忘れた
とりあえずこれをきいたときに「そんなわけねーよｗｗｗ」と思ったのは覚えてる

>>24
まず記号の意味を説明してくれ

>>27
結論が本当に出ているのか？あくまで大衆意見が出ているだけじゃないのか？

>>28
すべての実数は「有理数」か「無理数」に分けられるっていうのは「整数の比で表せる」かどうかで二分できるかどうか、であって、
循環小数/非循環小数と有理数/無理数と一致するかが、自明ではない、ってことだよね？
まあそれは正しいと思う

>>34は>>29へ

>>29
> 0に近い値だが0ではない値
もっと厳密にその値の性質は？その値と0の間には数が存在するのかとか

「無理数⇒循環しない小数」の証明：
公比１未満の等比級数は適当な自然数ｐと適当な整数ｑによってｑ／ｐとなるから循環する小数は有理数である
無理数が循環する小数だとしたらそれは有理数であるので矛盾

>>30
そんな定義聞いたことないぞ
しかも0.1111…×9＝0.9999…は前スレでもいったとおり認めない
無限回の掛け算だから

>>34
値の意味を辞書的でもいいから説明ぷりーず
多分yesだと思うが

目が冴えちまったちくしょう

>>40
すべての有理数は無限小数・循環小数で表現できるというのはいいよね
循環小数は無理数ではない。これはおｋ？

見落とされたようなのでもう一度

>>35
出てますよ。
数学の「結論」ってのは、きちんと「定義」から導いた「定理」なので、
大衆意見とか関係ないです。

意見が出るとしたら前提を認めたうえでの証明図の間違いぐらいだが、
こんな簡単な証明図に間違いはないでしょう。

断っておきますが、前提が変わったらそりゃ定理も変わります。

>>36
そういうこと。「有理数ならば循環小数である」は割り算筆算の方法が正しいなら真だと納得できる
しかし「循環小数ならば有理数である」はそれほど自明じゃないし、また極限の話になるから・・・

>>20がいい質問をした
これが0になるってイメージできないってことは…

つまり◆KfAOAMZklEは
0.99999…+0.0000…1=1になるはずだから
0.99999…=1になるわけないじゃんと思ってるってこと？

>>35
∀てのは任意の〜みたいな意味と思っていいよ。
つまり
∀ε>0,|a-b|<ε
は
0より大きいどんな値εにたいしても|a-b|<εをみたす状態をa=bというってことだよ。

>>35
「∀ε>0,」は「任意の正の実数εに対して、」という意味
「|a-b|<ε」はそのまんま
aとbの差は「任意の正の実数ε(正であればどのような数でもいい)」より小さい

これが実数a,bに対するa=bの定義

>>38
前スレの>>500あたりに関係することだな
2つの異なる数があってその間にまた別の数が1つでもあるのならば
自然数全体の集合というものは存在しない、ということだっけか

2つの数の間に値が存在しないならその2数は等しい、というところからの派生だったか
要は自然数全体の集合を認めるのなら異なる2数であってもその間にまた別の値が
存在することは認めない、ということだ

>>39
2行目から理解できん

>>48
無限等比級数を認めていないから、理解出来ないのは当たり前

3/3はいくつ？

いいスレタイだ
＝だよ。まあ頑張れ

>>40
前スレで√3×√3のたとえを出したけど
有限の手続きで無限小数の計算ができることもある

前スレの>>16で終わってるんじゃないのか

>>53
彼がなかなか認めようとしないのだよ

>>48
全然意味が分からない。実数の異なる2数の間には必ずそれらと異なる実数が（無限に）あるんだが

>>42
2行目kwsk

>>43
mjk
詳細ぷりーず

>>45
0.0000…1←この1はどこからでてきた

>>46,>>47
なるほど、わからん

なんかだんだん優しく数学を教えてあげるスレになって来たね

>>50
もちろん1だろ

>>55
そんなものは知らん。俺は前スレの>>500でちゃんと導いた
まだ落ちてないだろうから見直して来い
反論があるならピンポイントでkwsk

>>48
意味が分からん。lim[n→∞]0.1^n=aとおくと
aはどんな数かを出来るだけ厳密に説明してって意味なんだが

>>44
まあ自明なら0.999...は有理数ではないなんて話にはならんわなあ。。

>>56
ふむ。やっぱそこを説明しないといけないのかな。
有理数/無理数はどういう風に理解してる？

0.9999999・・・・・をΣ使って表したりしてる奴ガチでアホなのか？

0.9999999・・・・・＝1-(1/10)^n（nはでかい）　でいいだろ

で、なにか疑問わくの？

10x1.999...-1.999...=18
9x1.999...=18
1.999...=2

優しく教えるのはいいけどなんでこの子教わってるのにこんなに高圧的なのかなｗ

>>61
彼は無限等比級数を認めていない

>>56
わかりやすいかなと思って数字出してみたけど要するに
0.99999…+lim[n→∞]0.1^n=1だったら納得いくってこと？

りんごとかチューリーップで説明した方がいいだろ

>>61
0.(9)=9/9=1でいいだろ。冪乗すらいらん

>>59
だから0にかなり近いが0ではない数

>>60
有理数：分数で表すことが可能
無理数：分数で表すことが不可能

>>61
(0.1)^n(nはでかい)≠0だということだ

>>58
うん。1だ
でもこの3/3は1/3、つまり0.3333...に3をかけた数だ。
0.3333...×3=1/3×3=1=0.999....
ほら、0.999....=1だ

おまえらはまるで、1.999…のようだな。

前スレ>>500の証明って

実数全体だとめんどくさいので有理数に限定した。
異なる2つの有理数が存在すると、その間に必ずその2つとは別の有理数が存在するとする。
自然数a,bを準備するのはそのままで。
a以上b以下の自然数を全部ほじくり返す
そして全部見つけたら全体を2倍する
そしてその間の自然数（この場合2a以上2b以下）を全部ほじくり返す
すると2a以上2b以下の隙間のない自然数の集合が完成する。
そして全ての数から(2a-1)を引く。
すると1から(b-a)×2 +1までの自然数の集合ができる。
しかし1と2の間には1.5という有理数が存在するわけで。
さらに通分することを繰り返さないと有理数全てをカバーできない。

すると1以上b×p（pはnよりもさらに大きい数だと思ってくれればいい、おまいらの言い方で言えばlim（p→∞）なのか）までの
全ての自然数を集めることは出来ない。

よって最初の命題が成り立つと自然数全体の集合なんて存在しないことになる



でいいすか？

>>65
納得する

>>63
素がこれなんだ、許してくだされ

>>66
りんごはおいしいけどチューリップはおいしそうには見えない

>>67
0.(9)≠9/9

>>68
> だから0にかなり近いが0ではない数
じゃあその数より小さくて0より大きい数は存在する？yesかnoで

>>70
無限に議論が終わらないってか。やかましいわｗｗｗ

(1/10)^n≠0 ←現実ではこう
(1/10)^n＝0 となるn＝∞を設定する　←数学の世界

何か疑問があるのか？

「0にかなり近いが0ではない数」って無限小と言いたいのかな？
そういう数が存在すると仮定して体系を組み立てることも可能だろう。しかしそんな数は実数の体系にはないんだなこれが

前スレ>>500あたりを読みました。

有理数を通分をして自然数にするというのがよくわからなかったので、説明をお願いします。

>>68
じゃあ数直線上で有理数と無理数がどういう風に並んでるかイメージできてる？

>>69
1/3≠0.3333…、0.3333×3≠0.9999…

>>70
もどかしい奴らなんだな
いろんなものに届きそうで届かない

>>71
たぶんおｋ

>>58
お前の自称証明はごちゃごちゃしてて見づらいから俺がその反証を書いてやる
二つの異なる実数a,b(a<bとする)がある

ここで(a+b)/2という数を考えるとa<(a+b)/2<bが成立
(a+b)/2=b[1]とすると,a<b[1]である

ここで(a+b[1])/2という数を与えると、a<(a+b[1])/2<b[1]が成立
(a+b[1])/2=b[2]とすると,a<b[2]である

以下この作業は何度でも繰り返せる

よって二つの実数の間には無限に実数が存在する

よく考えたら◆KfAOAMZklEに話が通じるわけが無い。
俺らは古典論理で話してるのに対し、
彼は直感主義論理しか認めてないのだから。

>>71
しかし1と2の間には1.5という有理数が存在するわけで。
さらに通分することを繰り返さないと有理数全てをカバーできない。

ここが最高に意味がわからんから誰か解説ﾖﾛ

前スレでは煽って悪かったな、本当にわからなかったんだな

ただ、なんでイコールになるのか解説を求めてるなら教えてもらう姿勢は考えた方がいいと思うぞｗイコールになるって信じてないとしてもな
当初あんまりにも高圧的な話し方だからいろいろ理解した上で言ってるのかと思ったし、多分そう思って小難しいこと並べてる人が多かったんだと思うぜ

>>79
とりあえず紙と鉛筆使って1÷3やれよ

>>68
整数同士の分数、でいいよね。あと、有理数が循環小数になるのはおｋだったはずなので、
その対偶、循環小数でないならば無理数もおｋだよね

では、無理数→非循環小数はおｋ？

>>81
ほお、あなたは直観主義論理がわかるのですか。なかなかの通ですね。
僕は専門は数学だけど、基礎論には疎いものだから直観主義論理の説明お願いします。

ほらやっぱり
りんご３個で一山売ってるくだものやさんがあります
りんごそれぞれは全く同じ物です（定義）

それぞれ別の山のりんごを一つずつ取って３個を空のザルに盛ります
∴ね！一山出来た！

よくわからんけど前スレ見たところコテの人は
「２つの異なる有理数の間には有理数が必ず存在する」は成り立たないって主張してるのか？

>>73
だからそっから派生したのが前スレの>>500、もといこのスレの>>71だ
1と0.9999…の間に数が存在しないというようなことをいったら
2つの実数の間（ｒｙ　ということを言われたから
俺なりの理解を書いただけ
自然数全体の集合が存在しないなら異なる2つの数の間には最低1つのさらに別の数が存在する
ということだ

だからその質問自体はnoだ

>>75
それが認めらんねーの

>>76
無限小の定義ぷりーず

>>77
通分の話はややこしかったから>>500（もといこのスレの>>71）では省略したはずだが

>>78
近似値は把握してるから大体その辺だと思ってる

実数の稠密性を使って証明したいがそれが通用するのかどうか
どこかで循環論法になっちゃうかもしれないし、やっぱりε-δ論法使わないと無理なんじゃね？

>>82
あ、なんで有理数をカバーしなきゃならんのか説明頼む

1/3は0.3333333…だよな
でも1/3×3=1だ

こういうの某理大卒の癖によくわからないんだけどそんなこと言ってたら俺らが物体に触ること自体距離的にどうのこうのってならない?
日本語下手ですまん

異なる2つの有理数が存在すると、その間に必ずその2つとは別の有理数が存在するとする。←理解できる
自然数a,bを準備するのはそのままで。←大丈夫
a以上b以下の自然数を全部ほじくり返す←ほじくり返すという表現がわからんが、多分{a,a+1,a+2,...,b}って集合を取るってことかな？
そして全部見つけたら全体を2倍する←多分上の集合の要素を全部2倍して｛2a,2(a+1),...,2b}にするってことかな・・・
そしてその間の自然数（この場合2a以上2b以下）を全部ほじくり返す←｛2a,2a+1,2a+2,...,2b}ってことでしょ。多分・・・
すると2a以上2b以下の隙間のない自然数の集合が完成する。←まあ確かに
そして全ての数から(2a-1)を引く。←うん
すると1から(b-a)×2 +1までの自然数の集合ができる。←うむ
しかし1と2の間には1.5という有理数が存在するわけで。←そうだな
さらに通分することを繰り返さないと有理数全てをカバーできない。←(　 ﾟдﾟ )

すると1以上b×p（pはnよりもさらに大きい数だと思ってくれればいい、おまいらの言い方で言えばlim（p→∞）なのか）までの
全ての自然数を集めることは出来ない。←(； ﾟдﾟ )

よって最初の命題が成り立つと自然数全体の集合なんて存在しないことになる←( ﾟдﾟ )

認めるもクソも無い
現実には無限のものなんて一つも無いだろ
数学では無限のものを想像してゴニョゴニョしてるわけ
認めるも何も数学の決まりごとだから

◆KfAOAMZklEを擁護したいわけでもないがなんか気になったので。
態度について云々言っている人がいるが、
例えば、お前の周りの人間が皆0.9999...≠1を主張していたとして、お前ひとり0.9999...=1だと思っている、その上その主張を曲げたくない状況で、
お前はそんな冷静に下手にでて説明を受られるか考えてほしい。

だから、態度なんて気にせずに存分に煽りあってくれ

>>94
俺もそんな感じだわ

前半は本の書き写しで
後半はオリジナルかと疑うレベル

>>89
無限小の定義って言われても困るが「どんな正の実数よりも小さい、かつ実数でないような数」か？
あなたが主張してるのはそういう珍妙な数が存在するってことと同じだと思う

関係ないけど、有理数が枚挙できることの証明って俺はかなり感動したなあ

>>99
カントールだっけか

>>89
> だからその質問自体はnoだ
lim[n→∞]0.1^nの意味は分かるよな？
0.1を何度も掛けていくと掛ければ掛けるほどある値に近づいていく。
その値をlim[n→∞]0.1^nと表しているだけ。
じゃあその値をaとおくとaに0.1を掛けると0.1a
0<0.1a<aより0とaの間に0.1という値が存在し矛盾する。
よって0とaの差は0、すなわちa=0

>>96
態度を責めるというより少し下手に出た方が求める説明が受けやすかったんじゃないかと言いたかったんだな
俺は本当にてっきり一定の理解をした上で数学に対して反論してるんだと思ってたから
そう思ってたの俺だけかもしんないけど＼(^o^)／

>>100
そっちは実数が枚挙できないことの証明

>>80
だからそんな証明には興味ないっての
仮にお前の理論が正しい、俺の理論が間違ってるとしたら
俺の理論には全てどこか穴があるはずだろ？
その穴を掘り当ててくれよ
そしたらきっと納得できるから

>>81
感情論云々ももうめんどくさくなってきた…

>>82
あっと、書き換え忘れてたな

1と2の間には1.5という数があるよな？
ならばめんどくさいから間にある数は全部自然数にしたら万事解決するんじゃね？って話だ
だから1.5という数を自然数にするために全体を2倍にしよう、
そして2倍して(b-a)×4-2以下にある自然数を全部ほじくり返そう、ということだ
以下繰り返し

>>85
それはまだ理解してない

>>87
1+1+1＝3だな、それくらい俺にもわかるぞ

>>88
そのとおりだ

>>99
1/1, 1/2, 2/2. 1/3. 2/3. 3/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, ...
ってやればいいの？
重複あるけどできそうだね。

>>103
ああ、そうだったな

◆KfAOAMZklEは　1/3≠０．３３３３３・・・　と思っているのか。なるほど。

ならばこれならどうだ。

1/2は「分数表記」だ。０．５は「１０進数表記」だ。
ここまではいいな？

そして1/2=０．５だ。
これもいいね？

あなたがもし
1/3≠０．３３３３３・・・　と思っているのなら、「1/3の１０進数表記」と、「０．３３３３・・・　の分数表記」　があるはずですね。
それらはどうあらわされるんですか？

0.999999999・・・＝１って数学的にはそうかもしれんけど
実際0.999999999ってどこまでいっても１にはならないよね

>>99
対角線論法だっけ？覚えてないわー

数学的には0.99999…は1なんだよね

>>104
＞>>88
＞そのとおりだ


なんだと･･･

それを真とした上で、循環小数が有理数でないとごねているのではなかったのか･･･

誰か前スレ>>500を書きなおしてくれ。
安価付いていて読みにくくて仕方ない

>>104
マジで！？
つまり「間に有理数が無い２つの異なる有理数が存在する」って主張してるってこと？

>>89
ラストに「通分しないとカバーできない」というような文がありました。
そもそも通分を抜きには、有理数全体での議論はできないのでは。

1が有理数で0.999...も有理数でそれらの間には有理数が存在しないから2数は等しい→1=0.999...
これだとまずい理由はなんだ？「0.999...が有理数」がお気に召さないのか「間に有理数が存在しないから2数は等しい」が納得いかないのか

>>104

＞さらに通分することを繰り返さないと有理数全てをカバーできない
これ含め、これから下の論理が飛躍している
というか数学的に何を意味した文章なのか特定できない

>>104
無理数→非循環小数である。
そうでないなら、循環小数となる無理数が存在する。
また、無理数→非循環小数であるならば、その対偶である循環小数→有理数もまた示され、
0.(9)は循環小数であり、有理数であることになる、のだけど。
0.(9)が有理数でないというのであれば、循環小数となる無理数が存在することを示せ。
で先に進みたいなあ

>>105
既出はスキップ、でおｋ

なんかよく読んでなかったけど凄いとこまで議論が進んでたんだな……
胸が燃焼系だわ

>>91
有理数はめんどくさいから全部自然数にすれば楽じゃね？という発想だ

>>92
1/3≠0.3333…

>>94
その辺はすまん
書き換え忘れだ
>>104も読んでくれると助かる

>>98
存在するだろう

>>101
その理論でいくとどの値よりも大きい数∞を定義すると
∞×10＞∞　これはおかしくね？

>>79
いつまでもたっても計算し終わらないお(´・ω・`)

>>112
内容は>>71にまとめてある
補足として>>104が追加された

>>118
そんなにすごいところまで進んでない気がするよ……

前スレにも書いたけど
結局、１０進数でしか数を考えないことに根本的な原因がある。

そもそも計算し終わらない、っていうイメージ持っちゃう時点で違うんだよなあ

>>109
そっちは実数が枚挙できないことの証明

…ってさっきも言ったようなｗ

>>119
∞は数じゃないから、無限に何かをかけることはできませんよ。

>>119
> どの値よりも大きい数∞を定義すると
定義が違う。∞は数じゃない

>>122
まあ、2進数にしても3進数にしても16進数にしても
0.9999...が
0.1111....
0.2222....
0.FFFF....
になるだけで変わらない議論になる気もするが

∞
Σ{9^(-n)}=1
n=1

よって0.99999...=1

有理数と無理数が数直線上でどういう風にならんでるかわかればみんなの言ってること少しは理解できるんじゃないかな？
まずデデキントの切断でググってごらん
多分わかりやすいと思うから

あと、前すれ>>500についてだけど
具体的に数字出して自然数やってみるけど
自然数a=2,b=4として
間にあるのは３だね
だから２＜３＜４ってなるけど
それぞれ２倍して2a-1(2*2-1=3)を引いて
１＜３＜５
でも１と３の間には２があって…

って言いたいんだよね？
でも自然数２と４の間には３しかないのはわかる？
定めた範囲を勝手に任意の値で乗してしまうとそもそもなりたたなくなるのはわかるかな？

整数には「となりの数」が存在する。たとえば2の「となりの数」は1や3だ
1と2の間に整数は存在しないし、2と3の間にも整数は存在しない
しかし有理数や実数には「となりの数」なんてものはないんだよ。そこを分かってほしい

あ、>>105だと(0,1]にしかならないと思うので、もっとうまく枚挙する必要があるよ

>>130
ああ、後から気づいた。逆数を同時に枚挙してやればいいんだよな

>>107
1/3≒0.3333…
0.3333…は無理数だから分数では表せない

>>114
有理数は分数表記できるんだから通分して全部自然数にしちゃえば楽じゃね？って話だ

>>115
両方だ

>>116
どの辺が飛躍しすぎかkwsk

>>117
√はまだしもeやπは循環小数でないといいきれるか？

>>118
アミノ式思い出したわ

0.333…も無理数かぁ…

>>121
いや、でもスレタイからどうなったら>>113まで行き着くのか想像がつかんわ
正直>>71見ても何言ってるかさっぱりわからんし誰かわかりやすく書き直してくれ

０．３３３・・・　　が無理数・・・だと・・・？
そこまでだったとは・・・

もうなんかめんどい　寝るわｗ　ﾉｼ

>>131
あと負の有理数も枚挙しないとだな

>>132
俺は0.(9)が有理数だと主張してるから「無理数→非循環小数」は正しいと思ってるので、言い切れる。
0.(9)が有理数でないと主張するのであれば、「無理数→非循環小数」が間違ってることをお前が示すべき。

ここは問題出し合ってるのかな？

さらに通分することを繰り返さないと有理数全てをカバーできない。⇒全ての自然数を集めることは出来ない。

たしかにこの手法では全ての自然数を集めることは出来ない。

でも、だからといって全ての自然数という集合が存在しないとは言えない。

なぜならば、ほかの手法で全ての自然数を集めることが出来る可能性があるから。

よって、前スレ>>500の証明は不十分だと思うがどうだろう。

>>132
ちょっと待て！
>>113で合ってるのかどうかだけ飛ばさず教えてくれ！

0.333...が無理数ときいて諦めたくなってきたｗｗｗ
>>132
eやπは無理数であることが証明されてるけどかなり難しいしこの議論とは関係ないな

>>124,>>125
なるほど。
ということは無限小というのがやっかいな存在になってきたな
こいつは値ではないのか？そうだとしたらこいつは何なんだ？

>>128
最後のほうだけ読んだが1、3、5、2、4あたりの話で何がいいたいのかわからん

>>129
だから要は>>71のどこが間違ってるんだ

>>133>>135>>140
だから俺は>>31で言ったとおり循環小数は有理数であることを示そうとしてるんじゃないですか。。。

◆KfAOAMZklEの主張って
1≠0.9999...
1/3≠0.3333...
自然数全体の集合は存在しない
循環小数は無理数である
でおｋ？

今更∞が数じゃないって話題でなるほどとか言っててびっくりしたよ。
多分前スレで何回も通った話題だよ……

ID:zSWuE7oc0マジ頑張れ
全スレから応援してる

>>132
n回まで行えた作業をもう一回繰り返せるなら帰納的に何度でも出来ることになるだろ…

>>134

◆KfAOAMZklE「0.999≠1だ」
他「だったら0.999と1の間にある値が存在するはずだ」
◆KfAOAMZklE「異なる有理数の間に有理数が無限になんてない（証明前スレ>>500）」
他「いや、その証明はどうなん？」

って感じじゃない？

>>71で何を証明したいのか分からない
自然数全体の集合が存在しない体系ならこんな議論全く不毛だろ。1も存在しないことになる

>>132
「通分」という操作を「分数を分母の整数倍して自然数にする」ものとしてとらえてもいいですか？

>>136
対偶を取って循環小数→有理数がまちがいだということを示せばいい
0.333…は循環小数、しかし無理数
よって循環小数→有理数は間違い

>>138
2行目→3行目が理解できない
しかも「可能性」があるだけでは可能性がないかもしれない
それなら証明は完了しているがどうだろう

>>139
確かに主張した

>>140
そうなのか　初耳だな

こういうのは漸近線みたいなもんだと思ってるんだけど
2には決して触れないけど2として扱いますよーみたいな

循環小数はすべて有理数であることはすでに示した
つまり無理数は循環小数にならない
πやeは無理数であることは証明されている
よってπもeも循環しない無限小数である

>>146
あー、そういうことかー
ありがと
相変わらず証明方法はさっぱりわからんけどｗ

>>148
たぶん
あんまり深く考えず、登場した有理数全体を通分→やった分子だけ見ればぜんぶ自然数じゃん！
だと思われ

>>145
どの辺についてのコメントだ

>>148
既約分数という前提でかつその分母倍して自然数にする、というつもりで書いた
だから87/53を自然数にするために106倍することは認めない

>>141
数学で無限小という言葉を使う時は非常に小さな数を表す
敢えて式で書けば
1/n　(n>>1)
みたいな数で、具体的な値が定義されているわけではない

あとは積分や微分で出てくるdxなんかも無限小と言ったりする

>>151
まだ発見されてないという可能性は

>>153
まあそんな感じ

>>71をもう一度整理して書き直してくれる気はないのか

>>155
そりゃまたやっかいな話だ

微積も結局近似値だから認めるつもりはないんだが

>>149
こちらは0.(3)=3/9であり有理数という主張だからなー
さてどうしたものか。

有理数→循環小数なので、
3/9を小数で表したら0.333…としか表せないというのはおｋ？

>>142
ごめんよｗｗ

なんかモヤモヤして寝れないから別の説明考えた

◆KfAOAMZklEは「いつまでたっても終わらない」ことを理由としている。
ならばこれならどうだ。
「いつまでたっても」というからには、では「計算途中の今現在の値」があるはずだな？
仮にそれを０．９９９９９としよう。計算と中だから、次の瞬間には０．９９９９９９になっている。
◆KfAOAMZklEは０．９９９・・・を、「1に限りなく近い数」と言ってるから、
０．９９９９９９になった時点で、０．９９９９９は０．９９９９・・・ではないということになる。
前者の方が１に近いからな。

ならばどの瞬間にもこの理屈があてはまり、どの瞬間にも０．９９９９・・・は現れない。
つまり、０．９の右にに９をいくら加えていっても０．９９９９・・・は現れない。
よって、「０．９の右に９をどんどん加えていったもの」と「０・９９９９・・・」は違うもの。
ということになる。
ならば結局、「０．９９９９・・・」と言う存在を、「０．９９９９・・・（右に∞に続く）」であらわすのは不可能。
よってこれは1そのものである。

>>149
じゃあここですべての自然数をあつめる方法を提示できれば（自然数全体の集合を定義できれば）前スレ>>500の証明を棄却できるわけだな？

>>149
＞0.333…は循環小数、しかし無理数

これはお前の中の妄想
0.333…は循環している無限小数で、有理数

>>157
ごめんもう眠い


なんとなく理解できそうな感じは見えてきた
ただまだ理解できない
そして眠くて頭が働かない

ってことで寝る
もし21時頃までこのスレが残ってたらまた顔出すかもしれん
丁寧な解説してくれた方々ありがとう
おやすみ

今起きた産業
主に前スレの流れｋｗｓｋ

ここでスレタイの式が間違ってると思う人は多分

0.99999....
と書いている時点ですでに「1より小だから『0.』と書いているんじゃないか」というのが頭から離れていないんだ

と思う

0.99999..ってのは
あくまで0+0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+.....って意味であり
その計算結果まで表せてないから循環少数で表すのだぞ

>>158
もうしっかりみっちり大学レベルの数学を学んだ方がいいと思う

時間切れか。。
うーん。どうやって説明するのが良かったのかなあ。
1/3を計算すれば0.333…であり、0.(3)とすべての桁が一致するから等しい、ではだめなのか？という方向ではまずいのだろうか

え？有理数aとbの間には(a+b)/2っていうのが理解できないってことだよね？
前スレ>>500の理由によりみたいな

そもそもこの２つの事柄にはどういうつながりがあるのかな？
まあ自分の考えを否定されていやな気持になるのはわかるけど、
前者は範囲がaとbって限定されてるのに対して、
後者は抽出した後に限定した範囲の数字換えてるんだから結果が変わるのは当たり前だよね？
分数通分してってあるけど、それだけじゃ実数の有理数全部ひろえないこともわからないかな？
数直線書いて考えてごらん
言ってる意味理解できないかな？

おっけおっけ
りんご+りんご+りんご=1山というここだけのルールを作ろう
りんごはそれぞれ手に取ることもできるし誰でも買える

でも君はりんご一つ一つを山単位で表そうとすると途端になにやら頭が怪しげな霧に包まれて
手に取る事が出来くてもやもやしてしまう
でもりんごはそこにある、実はこれは不思議でもなんでもない

そもそも君のもやもやは単位という数え方のルールさえ無ければ思いつきもしなかった事だろ？
ずっと続く数なんておかしいよ、どこまでいっても続くから手に取る事なんて出来ないよ。
だって手に取った瞬間からも増えるかもしれないじゃないか！
でもりんごはそこにある、手に取ってもでっかくなったりもしない。

もしでっかくなるりんごを見つけたらそれが私です

>>167
彼は無限に計算できないから駄目と言い出すぞ

1と0.999...では一の位が1と0だから前者のほうが大きいと思っちゃうのはしょうがない
しかし循環小数の定義や有理数のアルキメデス性（？）を疑ってもしょうがないと思う

９時までに考えるか。

0.999…が無理数だと言い始めたときは怒りが込み上げてきたんだが

>>170
だよねえ。無限回の比較は不可能って話になりそうな気もするなあ。。
彼の「循環小数は無理数」を否定する方法ってどうしたもんなんだろうねえ

>>171
0.99999のほうはまだ計算中と考えればいいじゃないか

彼が0.3333...×3が何になると思っているのか聞きたい

1/3の筆算させたら？

落ちたら、9時にまた立つのかな

0.333…≠1/3と言っていたような･･･

なんかこう、相手にもっと知識がなければここまでこじれなかったろうに。

0.999999.....=x ・・・�@
9.999999.....=10x ・・・�A
�A−�@　　9=9x
∴x=1
∴0.999999=1

じゃだめだったの？

>>181
0.999...=x だからといって 9.999...=10x とは認めないらしい

>>180
既約分数とか言い出したあたり、中途半端に知識があったのが厄介だった

>>182
ｍｊｋ

>>181
前スレ

【レス抽出】
対象スレ：0.9999...=1
キーワード：10x
検索方法：マルチワード(OR)

抽出レス数：13

このスレの議論は数論の分野に入るのか？

たしか
9.999… - 0.999… が計算できないとかなんとか

あと
0.999… × 10 = 9.999… にも噛み付いていたな
これは納得したんだっけかな？

>>179
「1/9≒0.1111…かつ1/9>0.1111…」といってた

>>180
正直、彼はかなり理解した上で0.999...=1論争を挑んでいると思う
前提がおかしいだけで、論理自体は真っ当だと感じた
釣り前提で挑んでたけど、これは俺の負けだな。。

>>186
どちらかといえば集合論じゃない？

1/3を筆算しても0.3333... と書いて皆途中でやめるだろう？
計算しきれていないから　1/3 = 0.3333...　とはできない。
10進数表記は実数のある値を正確に記述することができないのである。

っていうか、こっちは矛盾を導こうとしてるのに、
肯定してほしいところはきっちり否定して、否定してほしいところはきっちり肯定され、
もう完璧に理解して釣りにかかってるとしか思えなかった

>>188
なるほど。
そうなると彼の
0.99999…は無理数
という論理はなぜ導かれたのか気になるな。

あんたはよく頑張ったよ

>>189
集合論か。
数の置き方でこんなに議論が展開するとは
数学は本当に議論の飽きない学問だな。

>>191
なんか作為的なものを感じるなwww
天然だからたちが悪いんだろうが…

釣りだとしたらかなりのレベル
特に前スレ>>500のイミフさと循環小数⇔有理数を頑として受けつけないところは逆にすごい

もうやだこの板

というかZFC公理系を元に自然数→整数→有理数→実数というように構成されているのに、
0.9999... = 1 のような実数を扱う問題についてそれらの知識なく済ませようとしているのはダメ。

>>192
有理数であるとすると0.(9)=9/9=1で話がつくはずなので、否定側につくのであれば0.(9)は無理数である、と論を張るのが合理的。
等比数列の無限和も否定しておけば、循環小数が有理数であることを示すことも難しい。
釣りだとすれば本当によくできてるよ。

そもそもの問題として小中高と算数や数学を学んでいく中で
数学の基礎である論理学や、集合論などをまったくやらないってのはなんなんだろうな。
アホみたいに受験数学の方法論だけやってもねぇ

それは思うわ
なんで小中高で論理学教えんかねえ。
命題論理ぐらいなら数学より簡単だし
よほど論理的思考身につくと思う

>>197-198
彼は高校の教科書の定義では定義と言えないと言っているわけか？
その辺で当たり前に扱われてる内容の彼の求めるレベルの定義は高校では教われないのね

>>201
教科書に書かれているから正しいとは認めない。って感じだった
0.999...=1ゲームのプレイヤーとしては正しい態度だね

この手のスレで幾度と無くコピペのように張られる証明法ってのはこれまた結構乱暴なものが多いからねぇ。
まあ数学ってやつは根源的な概念に近づくほどパラドクス的なものにブツかるから完全に理解ってのは難しい。
高校レベルでは敢えてそれに触れないようにしている。

1-0.999…=0.000…
永遠に0が続くから1=0.999…

a=b の定義が ∀ε＞0,(|a-b|＜ε)でいいならば

a=1 b=0.99999…とする
∃n∈Ｎ ∀ε＞0 (ε＞(0.1)^n)

また
b=Σ[m=1〜∞]{9×(0.1)^m}＞Σ[m=1〜n]{9×(0.1)^n}(=cとおく)

|a-b|＜|a-c|=(0.1)^n＜ε

よってa=b
これじゃだめかな

ばがか。

Zfc小売なんて久しぶりに聞いたな

数字がゲシュタルト崩壊してきた

次スレまで立ってたのかｗｗｗ

ID:zSWuE7oc0お疲れ様・・・あなたの努力に感動した
◆KfAOAMZklEの主張で>>71の証明だけは流石に理解出来なかった
ここは◆KfAOAMZklEにもう一度詳細を述べてほしいところだ
そうしないと、循環小数と有理数の議論が全く進まない

（◆KfAOAMZklEの言う）無限回の演算を認める→10x-xで説明可
無限等比級数の公式を認める→0.9の等比級数で終了
限りなく近いってなに→ε-δ論法

でどうにかなると思ってたんだがなぁ
そもそも小数点以下に9が無限に続くから
1=0.999…
が成立するのであり、数学における無限の理解も無しに説明するのはいささか厳しいのでは・・・？

こんなの簡単じゃん

0.333...=1/3
(0.333...)*3=1/3*3
0.999...=1

無理数=有理数の前提がおかしいが、1/3*3=1である以上、イコールとせざるを得ない。

表記の差だな

0.333...=1/3

これを◆KfAOAMZklEは認めない・・・

>>212
1は分数ってのは無理数の表記方法だってしらねーのか

小数と分数の対応をどうするか、も中途半端だった気が
一応
有理数＝分数で表現できる
無理数＝分数で表現不可
は共通認識っぽい

そもそも0.9999...って何かというと
Σn=1~∞(9/10^n)
が定義では。

>>215
彼は無限等比級数を認めないから、それは通じない

１÷３＝０．３３３３・・・はともかく
０．３３３３・・・×３＝０．９９９・・・が納得いかない

じゃあ無限等比級数を教えてやれよ

>>218
まずは無限回計算できないから駄目という主張を変えていかないと…

数列を使いたいが、数列を使おうとすると、認めない・もっと分かりやすく言え、の繰り返しだからなぁ
てか前提がこっちの考えているものと違うから、はいそうですね、で終わっても良い気はするが…

とりあえず
0.999…が循環小数であること
循環少数は有理数であること(分数でかけること)
を納得してもらえたら希望が見える気が

まだ残ってたのかｗ

今までの流れぶった切りそうだけどこれならどうかな。1/3使ってないし


長さ2の線分があるとする。線っていうのは点が無数に集まったものってことでいいな。線分なら区間が有限だが線分上には無限に点が存在しててなおかつある点には点は一つしか存在しない。例えばx=1という点はひとつしかない

線分の左端からの距離をxと置いたとして
x=1の点でこの線分をぶった切ります

そうすると、右と左の長さはそれぞれ2÷2で1になるはずだな

でも線分上にx=1となる点は一つしかない。ということは、x=1の点は切断されたうち右か左かの片方にしかないはずだよな。ということは他方の長さは必然的に0.999999…ということになる。なぜなら無数に並ぶ点の一つを取り去ってるから(この辺は納得して貰えなそうだけど)

1+0.999999…=1.999999…だとすると線分を切った時に合計値が元の値と同じにならないのはおかしいから1.999999…=2
ということになる。両辺から1を引けば0.999999…=1


なんかぼんやりしてるな