数学オリンピックの問題難しすぎだろｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

実数に対して定義され実数値をとる関数fであって、任意の実数x,yに対して

f｛f(x)-f(y)｝=f｛f(x)｝-2x^2*f(y)+f(y^2)

が成り立つようなものを全て求めよ

2011年第21回日本数学オリンピック本選より

今月号の大数に載ってたよな
暇があったらやってみようと思う

なにから手をつけて良いかわからん

大数乙
まだやってないわｗ

実数まで読んだ

5題4時間かー
東工大のAO入試みたいだな

私文の俺が通りますよっと

答えは11。
途中式はめんどくさいから省略して暗算でやったわ

日本語でおｋ

1手目が出ないとは・・・

>>8
え、たりなくね？

あーそうだ任意のだからx=0,y=0代入してもいけるか

二次関数苦手だ
これあれじゃん、範囲あんじゃん

よし、高卒の俺がwiki使って頑張ってといて見るわ。

f｛f(x)-f(y)｝=f｛f(x)｝-2x^2*f(y)+f(y^2)
x=0,y=0を代入すると
f(0)=f｛f(0)｝+f(0)
f(f(0))=0
f(0)=αとおくと
f(α)=0
したがって
f｛f(α)-f(α)｝=f｛f(α)｝-2α^2*f(α)+f(α^2)

α=α+f(α^2)
f(α^2)=0



うわぁぁあああああああああああああ

数オリの問題でも場合の数や整数問題や幾何ならいろいろやってみる気が起きるけど
関数方程式系はどこから手をつけていいのか全くわからない

>>13
二次関数じゃねーだろｗｗｗｗｗｗｗ

>>15
無限ループわろたｗｗｗｗ

^←これなに？

>>13
どう見たら二次関数に見えるんだよ
>>16
確かに手の付けようが無いな

>>18＾＾

>>13
どう見たら二次関数に見えるんだよ
>>16
確かに手の付けようが無いな

まずカッコ外してみる
分配法則！

f(0)=αとおくと
f(α)=0

？？？
理系博士のの俺に教えてくれ

というかとっかかりが見えない
すべてなんて求まるのか？

>>22
f(f(x))は合成関数だから分配法則は使えないぞ

誰かサマウォの健二連れて来い

ああこれanzanでやったけど2.71828だわ

もうちょっとレベルあげてほしいね

友達が予選受けてたけど話聞くだけでパンクした

>>23
それはないわ・・・よく見ろよ

x=1,y=1と仮定すると、x=1 y=1

よってx=1 y=1

あれだ。記号で書いてあるから分からなくなるんだ。日本語に直せば良いはずだ。
xに関する関数からyに関する関数を引いた関数は、xに関する関数に関する関数から2の2乗かけるyに関する関数を引き、yの2条に関する関数を足したものに等しい
こう書けばわかりやすく・・・・・うわぁぁぁぁぁぁぁぁぁっぁ！！！！

>>24
なるほど、合成関数か。
wikiみてくる

>>31
やめとけｗｗある程度知識ないと頭おかしくなるから

x＝yのときとかいろいろ調べて性質を予想するんだよ

関数の意味が分からねぇかった

お願いしま〜す！！

健二の凄さがわかるな

>>34
関数とはある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事である。
wikiより

>>28
今気づいた
俺バカス

これはあれだな、微分を使うあれだな。うん

あっ答えは32だ

>>15
これα＝α＾２ということか？

関数は定数であるから何らかの文字で置き換えることができる









ごめん

任意の実数x、yに対して>>1の式を満たす実数値関数fを求めるのか

意味不明すぎる。数１Ａ２Ｂの範囲？

>>37
今変数をウィ切ってるからちょいまち

あれだろ？微分方程式だろ？

f｛f(x)-f(y)｝=f｛f(x)｝-2x^2*f(y)+f(y^2)
x=0,y=0を代入すると
f(0)=f｛f(0)｝+f(0)
f(f(0))=0
f(0)=αとおくと
f(α)=0
したがって
f｛f(α)-f(α)｝=f｛f(α)｝-2α^2*f(α)+f(α^2)

α=α+f(α^2)
f(α^2)=0

α^2=βとおくと、同様にして
f(β^2)=0<=>f(α^4)=0

よってf(α)=f(α^2)=f(α^4)=f(α^8)=…

一行目を読んだ時点で考えるのをやめた

>>44
関数ってのは何か数字を入れたらそれを使ってまた別の数字を吐き出す機械みたいなものだよ。
変数ってのは変化する数字、つまり不特定多数の数字ってこと。

ｘ−ｙ＝x-2x^2*y+y^2
でいいんじゃないの？
あとは普通にｘとｙそれぞれ求めてあげれば出来る気がする
高卒の俺には分からない

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 論法使ってから微分すればおk
あとは????方程式からКириллицの定理の公式に代入して終わり

数学パラリンピックの方が難易度高いらしいよ（＾ｑ＾）Ｖ

>>45
>>1の式に微分演算子なんてどこにもないぞ？

実数値まで読んだ

お前らが何をやってるか理解できない

>>49
関数の意味分かってなさすぎだろ
f(3)=f(5)だったら3=5だってかｗｗｗ笑わせてくれる
高卒消えろ

>>49
お前はまず何を求めるのかがわかっていない

f(α)=f(α^2)なら
f'(α)=2αf'(α)
∴α=1 or f'(α)=0

これあってる？

ちょwww目が座ってる人見つけたわろた
http://beebee2see.appspot.com/i/azuY-pXeAww.jpg
数学者こええええええ

スレの貼り方知らないから悪いけど、このスレと時同じくして「1/2+1/3=2/5じゃね？」ってスレがある所がvipだね

これって高校レベルの知識で解けるのかな？

後輩が今年準優勝だったわ
問題始めてみたけどすごすぎるなあ……

>>23
と同じ勘違いしてたｗｗｗ

問題の意味がわからない
つーか作るやつはどんな頭してんだよｗｗｗｗｗｗｗｗ

あっ微分可能って書いてないから微分しちゃいけないのか？

>>63
たぶんはげてると思うよ。
いっぱい考えるとハゲるって生物の先生が言っていた気が

>>60
一応高校の範囲で解けるらしいよ

>>55
釣れますか＾＾

>>57
その関数が微分可能とは限らないじゃん

最近の高校生こんな問題やってんのかよ？
ゆとりとか馬鹿にしてごめんよ

なんだこれは？意味がわからん。問題はなんなんだ？

>>65
ごめん…外見じゃなくて中身の話な…

というか>>57はどっちみち違うな
αで微分て…消しゴムのカドて…

>>71
ｱｳﾁ><


つかなに調べてたのか忘れたわ。

>>69
99%の高校生は解けないから

簡単な形の関数f(x)=xとかおいて1の式に代入、左辺=右辺を満たすかどうか試していくとかやるとしたら、1の式を満たさない形の関数をどうやって論理的に捌き落とすのかまるで見当がつかない

数学科早く本気出せよ
裏技あるんだろ？

x=0,y=0とおく
f{f(0)-f(0)}=f{f(0)}-0^2*f(0)+f(0^2)
0=0-0+0
0=0
成り立つから　x=0,y=0

>>1の式がよく分からないから誰かプログラミングの問題に置き換えてくれよ。

理学部数学科に期待だな

>>77

>>15を見ろ

f(定数)=0ってことになるのかな
だからどうというあれはないんだが

どうしても気になったから答え見てきた
全然違って泣いた

数オリでwikiってたら中島さち子可愛いすぎワロタ

とりあえず f(x) = 0 書いたら1点くらい貰えるのかな

>>1の答え
(a)
条件を満たすfは次の５つである
f(x)=0,x^2,-x^2,x^2-1,1-x^2
(b)
これ以外に満たすものが無いことを証明

(a)と(b)両方記述して正解

2011の予選受けた俺が通りますよっと


この問題は最大値はあってたけど最小値間違えたから0点


ちなみに4/12^q^

>>13は天才だったか…

>>85
(b)が問題だな
最初にfは多項式って条件が無いのに、多項式だけに絞れるのが不思議でならない

>>86
難しいからなー数オリ
4点でも十分だろ

挑戦してみる。

場合分け1　：　f（t）が定数関数f（t）=aのとき

　　f｛f(x)-f(y)｝ = f｛f(x)｝-2x^2*f(y)+f(y^2)
⇔ a = a-2x^2 * 2a

a＝0のとき、任意のx,yに対して与式は成立する。ゆえにf（t）=0が求める関数の一つである。
a≠0のとき、任意のx,yに対して与式は成立しない。

ここまでできた。

>>84
貰えないと思う

>>89
最初の半分(6問)ぐらいは入試レベルぐらいだぞ
特に最初の3問はかなり簡単

何も理解できない自分の脳ミソが腹立つ

>>85
f(x)=x^2-1だったら
f(0)=0^2-1=1=α
f(α)=f(1)=0

あれ反論しようと思ったのに合ってた

俺文系だから誰かこれを文にしてまとめてくれ

>>58
ソフス・リーだっけ

>>94
>>85に書いてあるのは正答だぞ
大数に答え載ってる

>>94
答えだから合ってるに決まってるｗｗｗｗ

http://amc.maa.org/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml
これのほうが強い

>>96
そんな感じの名前
関数wiki →変数wiki→してたら出てきた

これ解いた人はどうやってfの予想をたてたんだろう。経験則？勘？それとも>>1の条件式は有名な式で、「これを満たす関数fは〜な性質を持つ」みたいな定理があるんだろうか

理学部物理だけど無理

こういう系の問題ってコンピュータで解けないよね？
すごくロマンがある
でも最近の技術なら解けそうな気もする

答えはＢのポロロッカ

いや、違うね

数オリ本選くらいのレベルなら解けなくても気にする必要ない　

>>105
井戸の中だ

数学オリンピック本選の問題解くのに必要なものって何？
才能オンリー？
それともある程度頭良ければ訓練によって解けるようになるの？

>>108
才能のある人が英才教育を受けてやっと土俵に立てる

>>1の問題も結局とっかかりは才能なのかな
気になるし大数買おうかな

>>109
才能ってどうやってはかるの？

今年予選抜けて本線までいったけど２完しかできなくて合宿進めなかったけど質問ある？

合宿とかあるのかよ
なんかカオスそうだな

数学オリンピック 金賞ってすごいの？
友達がとったんだけどいまいちすごさがわからん

合宿で世界に進む代表決める。
ちなみに今日からな

>>114
金賞はすごい
けど日本のなのかそのあとの世界のかで微妙に変わってくる

>>111
受験テクニックを必死に反復して暗記するような秀才では駄目ってことだろ
こういう問題を見て初見でもすぐ頭の中に解答がイメージできるような生まれ持ってのセンスがある人だろう

>>117
FEは基本的には答えは分かる
大事なのは論証の部分

>>111
才能ない人が「見たことない、手の付け方がわからない」って言ってる問題に対して
「一見関係ないけれどこの間見た解法を応用すればもしかすると」って言えればまあまあいいんじゃね

>>118
日本人は論証が苦手だとずっと言われつづけてきたがそれは単なる偏見なのか…

フィールズ賞

>>120
外人さんの答案なんて見たこと無いから外人とくらべてどーのこーのってのは分からん
ただ俺が言いたいのは基本的に数オリのＦＥは答えの検討はある程度簡単につくけど答案にしたときに細かい減点されるのでそこでの勝負になるってこと

>>118
ごめんFEって何だ

ここまでよろしくお願いしまーす無し

>>123

関数方程式でFunctionalEquationの略。
>>1みたいな問題のこと

例えばこの>>1の問題だとどんな感じで予想立つの？

>>126
f(x)が定数のとき、一次関数のとき、二次関数のとき……と延々仮定してれば大体答えが出る
でもすごい時間かかるし論証わかんね

f(0)=0ということは分った

関数方程式なんか意味あるん？

みんな賢いなぁ
俺なんて確率問題のＣとＰの使い道すらよく分からない、Ｈなんて論外

ど、ど、ど、ど、童貞ちゃうわっ！！

>>126
FEは基本的に定義域値域チェック全射、単射とか考えて適当に代入でなんとかなる。
まあしき見た瞬間f(x)=0のとき成り立つのは明らかf(x)=x^2のとき成り立つのも明らかってなるわけだしね

>>126は>>122に向けて

見た瞬間わかるのかよ・・・ｗ

>>1
ヒント：数学オリンピックはどの問題も小学生で習う知識までで解ける。
最低限方程式と加減乗除しってりゃ解けるわけで、方程式は小学生の時点で習うからな

>>125
おおなるほど！
どうも有難う！！

f(x)が多項式とか初等関数で表されると仮定すると一瞬で解けるけど
それ以外も考えると普通に難しくね

>>132
それは>>127がかわいそうだと思うの

>>134
それは予選までな
本線だと図形不等式で積むわ。
組み合わせ論整数論ならなんとななるかも知れんけども

>>138
そうはいっても、普通に何割かは小学生も合格者の中に入っているわけで。
日本人だと皆無だけどなｗ

>>131
対数関数とか指数関数じゃないことはどうやって予想するの？

>>137
黙っていれば傷つかないものを！

f｛f(x)-f(y)｝=f｛f(x)｝-2x^2*f(y)+f(y^2)
f｛f(x)-f(y)｝=f｛f(x)｝-2x^2*f(y)+f(y^2)
f｛f(x)-f(y)｝=f｛f(x)｝-2x^2*f(y)+f(y^2)
f｛f(x)-f(y)｝=f｛f(x)｝-2x^2*f(y)+f(y^2)
f｛f(x)-f(y)｝=f｛f(x)｝-2x^2*f(y)+f(y^2) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

>>139
飛び級制度ってのは言い訳になりますか？
>>140
この問題だとそれは答えを予測した後になるかな。
その後にそれしか条件を満たすのが存在しないことを示すので
詳しくは大学への数学読んで下さい回答のってるんで

関数方程式から新たな関数でも見つけ出そうとしたのか？

カンフー映画があるんだからカンスー映画があってもいいな

ここで自称、数学の神が登場

こうゆうスレを見るたびに理系すげーと思う

とりあえずf(x)の最高次数をx^nとおく。
恒等式だから右辺と左辺の最高次数は
同じになるので....


あとは頼んだw

変数がふたつあるのがマジ鬼畜

>>148
なんで最初からそういう関数に限定して議論始めるの？

>>129
微分方程式も関数方程式の一つだぜ

x=yは自明でありなおかつf(x)=f(y)であると仮定する。さらに、関数fは一次式でf(x)=0,x^2,-x^2,x^2-1,1-x^2であると仮定する。
すると与式の展開等により明らかにこの仮定は正しい

Q.E.D.(ｷﾘｯ)

今更だが数学パラリンピックはワロタ

http://jmoss.jp/mon/solutions/b015.pdf
夏季セミナーのページから探してきた
関数方程式の定石はココ見て

>>153
絶対アンサイクロペディアに記事があると思ったのに無かった……

>>152
なんかわろた

関数方程式と言う問題のジャンルを知らなかった
新しいパズルを見つけた気分だが手を出すのはやめとく

なにこのスレついてけない

あーなるほどねーーってことは答えは文字数を使って導けば・・・・・はいはいはい
なるほど　そういうことか