午前に行われた東工大数学AO入試の問題うpされたからやろうぜ

http://imepita.jp/20101031/444420

1-1 n!がn^2の倍数となるような自然数nを全て求めよ

1-2 正の数a,b,cが三角形の３辺の長さとなるように動くとき
(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)
の取り得る範囲を求めよ

文系だけど東工大ということはそんなに難しいのかこの問題

>>2
OA入試は鬼だよ
２時間半でたった２問

もうなくなるけどな

AOだった

(1)やってるが、とりあえずnが(n-1)〜1の数字の積で出来てる数字はとりあえず含むな

一つ一時間もかけられるのか
まぁわからんもんはわからん問題だけどな

俺はムリ。

午前の問題
http://imepita.jp/20101031/444420
http://tokyotech.net/uploader/src/up0241.pdf

１は
（n-1)!がnの倍数となるような自然数nを全て求めよ
に置き換えられる
後はわかるな

1-1　mを自然数とすると、
n! = mn^2 となればよいから

(n-1)! / n = m となるnを求めればよい

しか分からん

つかこれってΠ分からないと解けないんじゃないのか？

ほら
普段文系を馬鹿にしてる理系共
早く解けよ

>>9
それで素数を除外できるのが分かった
偶数は全て満たすのも分かった

n=2kの時、
kと2は、(k-1)〜1の間の数だから
(n-1)! / n は整数になる

>>12
n=4のとき満たさないんじゃないか？

>>11
とりあえず理系が来てから一時間は待てよ

高卒の俺には問題の意味すら分からない

>>14
2と4は満たさない確かに
でも多分他の偶数は全部満たす

答え：５以上の素数を除く自然数と４

１０辺りまでは適当に例を示して
それ以上は素数以外は、それ以下の自然数の積で表せることを導けばいい

素数とその二乗以外

なんかこういうの見てると理系ってかっけーなと思う。
暗記だけの文系と違って、「勉強やってます」みたいな感じが。

>>17
あーそっか
(n-1)!のなかに、nを構成する素因数が含まれていれば満たすわけだ
それなら6以上の偶数は条件を満たすな

でもそれをどうやって証明すればいんだろ？

あれ？ちがった？

やべ、分かったかも

n=2kの時、
kと2は、(2k-1)〜1の間の数だから
(n-1)! / n は整数になる

n=3kの時
kと3は、(3k-1)〜1の間の数だから
(n-1)! / n は整数になる

n=5kの時、
kと5は、(5k-1)〜1の間の数だから
(n-1)! / n は整数になる

これを繰り返していくと、素数以外の全ての整数が表せるよな
んで、kの値が小さい時満たさない数値があるから、それと素数以外の整数全て
が答えじゃなイカ？

カンだが素数の二乗でなく素数でない数

1-1　
n = m! (mは整数)のとき

かな？

国立理系だけど意味分からない

>>24
あ

素数の二乗は確かに(n-1)!の中に一個しか素因数が出てこないよな

>>19

第二問にうつろうぜ

なんかプログラムみたいな問題だな

東工大ｗｗｗｗｗｗＦランだろｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
お前らそんな問題も解けないのかｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>28
49は7*7だけど
1~48の間に7と14が含まれるから、
素数の二乗でも満たしてる

>>32
あ

第二門は正弦定理使うんか？

答え：５以上の素数を除く自然数と１　かな

>>31
おまえが10年頑張っても行けないとこだから

a+b>cのやつ

なんか第二問は
a+b>c を片々二乗して分解して整理すると
a^2 + b^2 > c^2 - 2ab　になるから
それを与えられた式のa^2 + b^2 の部分と置き換えた不等式で挟むとかなんとか
やりそうな気がする

そんなにうまくいくものなのか

Γ関数使うとか思った

n=p^2(pは素数かつp>3）
p^2-1>2pは常に満たされる
(p^2-1)/p^2は、p^2-1から1の間にpと2pを含むので、整数になる

n=p^kの時
p^k-1>kpは常に満たされる（微分すれば分かる）
だからnが素数の積でも全て満たす

これだけで試験時間が3時間なんだっけ？
解ける気しねー

（＾ｑ＾）あう？

nが1桁のとき
n=1,6,8,9
nが2桁以上のとき
2桁以上で素数以外のすべての数

素数と素数の二乗を除く自然数全て？

>>39
俺に向けたレスかな？
俺も良くわからんけど、

a b cは三角形の1辺だから全部正の値だから、辺々同士掛ける席でも不等号が変わらない
よってa+b > c と　b+c > a と c+a > bのうち、二式を掛けても不等号変わらず
これをまた整理して分母の値を置き換えた不等式で挟むとかなんとか

すまんこれくらいしか思いつかなかった

>>45
素数の累乗は>>41より満たす
多分、素数以外の全ての数だと思う

>>31
ハーバードカッコイイ！！

>>47
ああそっか
けど4だけはダメじゃね？

青学文系の俺じゃあ手も足も出ません(ﾟωﾟ)

1<=(2)<2
だな

>>50
青学理系でも手も足も出ない件

102 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[sage] 投稿日：2010/10/24(日) 23:55:15.52 ID:6W2BDmkw0 [2/3]
ttp://imepita.jp/20101024/860470

http://yuzuru.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1287928953/
理�V生が質問に答えるよ！！

f(p)=p^k-1-kp
f'(p)=kp^(k-1)-k
p>3よりf'(p)>0よりf(p)は単調増加関数
f(p)>f(3)=3^k-1-3k=g(k)
g'(k)=(log3)*3^k-3
k>2よりg'(k)>0で、g(k)は単調増加関数
g(k)>g(2)=9-1-6=2>0

よって、f(p)>0

とりあえず>>41のちゃんとした証明書いてみた

>>53
落ちてるじゃんｗｗ

今1-1やったけど15分かかってしまった
AO受かる奴らは多分瞬殺位のレベルでしょ

俺普通に東工大入ったけど、AO組の数学はスゴイと思うの

２はベクトルな気がする

条件式は
a>b>c
かつ
b+c>a
だけか？
大小関係はこっちで定めた

>>59
c>a-bもいる

b>cかつb+c>a>b-cの方が分かりやすいかと

>>59
やっぱ一番長い辺を自分で定めないと駄目なのか…
たぶんそれだけだと思う

直角三角形じゃないから三角関数使ったら大変なことになると思う

２は解と係数の関係を使うのかな？

深く考えなくてもいいだろ
(分子)ｰ（分母）は明らかに正より
（2）>1 かつa=b=cの時等号が成り立つので（2）>＝1

a=b=限りなく大きい かつｃ=限りなく小さいで最大となる
上式を計算すると2>（2）になる
いじょ。もちろん三角定理にも反してない

>>60
いらなくね

東工大院生だがどちらもさっぱりわからん

AO入試ってこの問題を試験官の前で解説しながら解くんだっけ？
それともただの数学のみの入試？

a＾2+b＾2+c＾2/ab+bc+ca＜2

難しいかそうでないかすら分からん

>>16
高卒でわからないのか・・・俺も良くわかんないけど

>>64
いるべ
a=9 b=6 c=4の三角形かこうとしても、aとbの内角０になったってcは書けないぜ？

なんで数学で英語がでてくるんだ

>>71
俺も同じこと思ったぜ

>>69
（工業）高卒

535 名前: 大学への名無しさん Mail: sage 投稿日: 2010/10/31(日) 14:08:23 ID: vHXxHuj50
2番は比だからcを1とかおいていいのかな？
(a2 + b2 + c2）／（ab + bc + ca）
＝{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2-2(ab+bc+ca)}/2(ab+bc+ca)
={(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}/2(ab+bc+ca) -1
={(a+b)^2+(b+1)^2+(1+a)^2}/2(ab+a+b) -1
={2a^2+2ab+2a+2b^2+2b+2}/2(ab+a+b) -1
={a^2+ab+a+b^2+b+1}/(ab+a+b)
aで微分
={2a+b+1}(ab+a+b)-(b+1){a^2+ab+a+b^2+b+1} /(ab+a+b)^2
これを計算したらいつか高みにいけるのかな…

>>63
自分もそれ考えたけど大丈夫かな
その場で解答用紙二枚渡されたら説明を丁寧に書いたとしても多分怖くて書けないな…

下限もあるだろ

c=1とし、bを定数と考えてaの式にして微分すると
２カ所極値が現れた

が、この計算は凄まじすぎて俺の手に負えない

a>b>cとしても一般性を失わない

三角形成立条件より
a<b+c

また相似な三角形では与式の値は変わらないので
C=1
と固定して考えてよい
このとき、
与式 = a^2+b^2+1 /ab+a+b+1
= a^2+b^2+1 /(a+1)(b+1)

したがって秋天はネヴァヴションの複勝で勝負すべき

下限は＋0かな

>>78
>与式 = a^2+b^2+1 /ab+a+b+1

ここの分母の1ってどっから出てきたんだ？

>>78
与式 = a^2+b^2+1 /ab+a+bだな
ここから微分して云々じゃ不可能臭いんだけど

ペルーサの出遅れは0に収束する
従ってペルーサとスマイルジャックでおk

ほ

ダメだ
２番はいくら数字いじっても分からん

天皇賞は結局どこに張ればいいのさ

今2番やってるから誰か保守しといて

一時間レスなくても落ちねえよ

1〜5/2
だな

理系だけど馬鹿だからわかんねえわ

３年前受かった俺^3
今忙しいから残ってたら後で考えてみる

>>86
待ってるぜ

5/2だめだ
1〜2か

>>92
どうやったか簡単で良いから書いておくれよ

2番は次の問題に帰着する。sinA=α、sinB=β、sinC=γとすると、

{α^2+β^2+γ^2}/(α+β+γ)^2の最大最小を求めること。

分子＝（a,b,c）と（a,b,c）の内積
分母＝（a,b,c）と（b,c,a）の内積

ここで下限は1（a=b=cの時）と分かる

こういう問題を解ける奴の気がしれない
理系ってなんなの？理系って平気でとけるのこの問題？
すげーーな　理系！！
もうリケイって響きで負けた感じがするわ
俺は中曽根かよ

3変数の問題は面倒で嫌いだ

1-1の証明をくれ

最大値は２だな
a=b+1orb-1　で、微分すると単調増加で、b→∞で２だ
最小値は分からん

>>98
正式な証明じゃないけど>>23の方針で出来ると思う

>>98
去年の最速の解答速報はここ
ttp://tokyotech.net/

1-1
n!=an^2（aは自然数）と出来る
よってa=(n-1)!/n
aが自然数、を満たせばよい

nが素数のとき、ダメ

nが素数以外の奇数のとき、n以下の二つの約数の積で表せるからその二つは(n-1)!のなかに現れる

nが偶数のとき、n=2kとおいてやればa=(2k-1)!/k

あとはわかるな

>>102
ちょっと最後書き間違えたけどわかるよな、すまん

>>102
あとは例外をちょちょっと取り出せばおkだな

よくわからないけど管ってこの大学出てるのになんであんなにバカなの？

すべて正の数なら2は含まないんじゃね？

>>105
数学とか得意な奴は得てして理想主義の傾向が強かったりする
しかし現実の政治は理想だけでやっちゃいけないんだよ

鳩山もそうだっただろ
理想だけはいっちょまえ

b+c=v
bc=u
の予選決勝で1〜2と出たが

今年の東大の第一問っぽく

なんでそんなうまいやり方にこだわるのか。2時間もあるんだから

c^2=a^2+b^2-2tab (-1<t<1)

f(a,b,t) = (2a^2+2b^2 -2tab)/(a+b+√(a^2+b^2-2tab))

の増減ひたすら調べればいいじゃん

>>107
理想主義なのは、物理屋と数学の中でも応用系の奴。

「１」はnを素因数分解したとき、相異なる素数をp1〜pmとしてn=(p1)^k1･(p2)^k2･・・・・(pm)^kmとかけるもの
(ただし　k1〜kmは0か1)かな？

>>108
予選決勝懐かしすぎワロタ

b+c=v
bc=u
と置いて解ける？
いまいち分からんからちょっとだけ式書いてくれ

>>110
逆じゃね？
抽象数学を好む連中が理想に走るイメージ

高卒の俺は読むことすらしない

(a^2+b^2+c^2)←何でこいつ目が三つもあんの？

ダメだ降参。あとは頼んだぞ2番！

2はとりあえず
a固定、(b/a)=yと(c/a)=x(1<y<x)
与式の取りうる範囲をkにして

{2(y^2)+2y+2}/(y^2+3y+1)≧k≧{2(y^2)+1}/(y^2+2y)

yは任意の実数をとるので結局1<k<2

でおkかな?
用紙に書くときはもっと細かく書くとして

>>102
踏み台にして悪いが、とりままとめ

1-1
n!=an^2（aは自然数）と出来る
よってa=(n-1)!/n
aが自然数、を満たせばよい

nが素数のとき、ダメ

nが素数以外のとき、n以下の二つの約数の積で表せるがこれをn=b・cとしたとき
b≠cの場合、その二つは(n-1)!のなかに現れる
b=cかつb>=3の場合、bでないbの倍数が(n-1)!のなかに現れる
b=3つまりn=9未満で該当する数は1と6と8

答え：6以上の素数以外の自然数、および１

>>117
三角形の成立条件とか考慮してる？

^　←　これが何かすらわからん

>>113
日本の純粋数学者の大半は、学問として研究してる。
その理屈が成り立つのは、功利主義的な考えで数学やってる奴だけ。

>>117
全然分からん
どうして{2(y^2)+2y+2}/(y^2+3y+1)≧k≧{2(y^2)+1}/(y^2+2y)になるの
あと、三角形の成立条件は満たしてるのか？

誰かー
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2の最大最小ってどうやったらいいかな？

このスレ見てたら頭痛くなってきた

にじかんｓ

２時間半で２問とか全く分からなかったら
解きながら涙目になりそうだな

楽しそうな顔文字にしか見えん

やっぱりダメだ。東工大AOお手上げっす。

>>123
分母と分子別々に計算してもダメだぞ・・・？

>>119
>>122
2次関数が解を持つ条件に帰着させて、(y<x<y+1)の範囲で考えたからその点は多分大丈夫

a、b、cは実質2変数だからx、yに減らして、与式=kの式をxの2次関数の式と考えてあとは↑


>>120
累乗の記号だよー

>>129
そうなんだけどもしかしたら最大最小をとるアレが一致したらいいなぁという願望をこめてaskしてみた

>>130
ああなるほど
多分これで解けるな

1<k<2か

これってフェルマーの最終定理を100としたらどの位の難しさなの？

お前らそんな頭いいのに何で引きこもりニートなんだよ

三角形の成立条件をc<b<c+aにしたのがうまい。あと分母分子をa^2で割ってるのもうまい

なんだよお前らカッコいいなちくしょう

>>134
10の、マイナス10の10乗くらい

>>138
日本語でおｋ

>>134
フェルマーの最終定理をプールに例えると、これは水分子一個

間違えた
10の、マイナス10の10乗乗くらい。

>>138
フェルマー越えワロタｗｗｗ

東工大スレからコピペ

＞541 名前: 大学への名無しさん Mail: sage 投稿日: 2010/10/31(日) 15:46:25 ID: oB/hQhDA0
＞I-2の「[与式]＜２」の評価以外をまとめました。
＞>http://tokyotech.net/uploader/src/up0243.pdf

これって２完答しなきゃ、受からんのか？

お前ら仕事何やってんの？

>>143
最大値は、エレガントではないけど微分してb=a+1で最大になることを示して
あとはa→∞で2だな

あ、２は書いてあったか

n=1

文系でも解けるかい？

n!=n(n-1)(n-2)……2*1=an^2　（aは正の整数）
n=0は条件を満たさないので
a=(n-1)!/n

いい線いってると思うんだけどわかんね

うわ、最小値1とるのに俺の奴入れ忘れてるorz

>>149
範囲に限れば1Aの中でもできるから文系でもおkなはず
問題慣れしなきゃいけないけど

午後の分
http://imepita.jp/20101031/580060
http://tokyotech.net/uploader/src/up0244.pdf

可換環論と数論は俺の専門だぜ

高卒の俺にn!←これの読み方を教えて

今から解こうと思ったけど誰もいないか

ほ

>>155
だいたい終わっちゃったからな
午後の部解く気力はないし

与式＜２のエレガント方法でもどうかね

>>154
えぬ！

ベクトルＸ=（a,b,c）、ベクトルＹ=（b,c,a）っておいて、分母を内積、分子を大きさの積で表してみたりしたらいけたりしない？

午後の部問題
�U-1
f｛(x^2)+1｝＝｛f(x)^2｝+1 をみたすｎ次の多項式f(x)が存在するような自然数ｎをすべてもとめよ。

�U-2
半径１の円に内接する正９角形がある。
この正９角形の周上にすべての頂点をもつ正多角形の辺数ｎを５つ求めよ。
さらに、各ｎに対し、そのような正ｎ角形の例を一つあげて１辺の長さを求めよ。

abs（a-b）<c
abs（b-c）<a
abs（c-a）<b

両辺を2乗して各々加えると
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca<a^2+b^2+c^2
よって与式＜２

エレガントくね？

>>154えぬかいじょう

�U-2はn=3、6、12、18、27はでたけどそれぞれの1辺求めなきゃ駄目なの?

n^^;

過去レス見ずにやってみた

I-2
相似な三角形に同士で式の値は変わらないから、c=1としてよい。
三角形が成り立つためには、
a+b>1
a+1>b
b+1>a
が必要十分。
また、(a^2+b^2+1)/(ab+b+a)=kとおくと、変形して
a^2-kab+b^2-ka-kb+1=0…�@
ここで、
x=a+b、y=a-b
とおくと、条件は
x>1、-1<y<1
となり、式�@はa=(x+y)/2、b=(x-y)/2を用いて変形して
(x^2+y^2)/2-k(x^2-y^2)/4-kx+1=0
(2-k)x^2-kx+(2-k)y^2+1=0
となる。
この方程式のグラフが上で示した領域と共有点を持てばよい。

とりあえずここまで。なんとかなりそう。

�Tー2 >>117らしいけど与式=kから意味が分からん。誰か解説してくれ

Fランおつｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ


















え？東北工業大学じゃないの？

今さらだが｢!｣っなに？

数1 数Aしかやってない俺にはサッパリ

>>169
数Ａやってるならわかるだろ、階乗
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)・・・3・2・1

>>166 最後の式分母払い間違えてね？

さっきから文字化けしてるんだけど、!←って本当は何て書いてあるんだよｗ

>>172
ビックリマーク　が書いてある
それを文字化けだと言うなら知らん

レス乞食にマジレスすんな
これだから理系は・・・

簡単過ぎワロタｗｗｗ

>>174
お前だってレスしてるじゃねえかｗｗｗ

さすが高学歴のお前らだ

ざっと見たけど、全く同じ考え方はまだ無さそうだな。
もっと良いやり方もあるっぽいけどまあいいや。

>>171
ほんとだ。サンクス

>>166の続き
最後の式は、正しくは
(2-k)x^2-4kx+(2-k)y^2+4=0…�A
k=2のとき、�Aは
-8x+4=0
x=1/2
となり条件を満たさない。
k≠2のとき、�Aを変形すると
(x-2k/(2-k))^2+y^2=-4/(2-k)+4k^2/(2-k)^2=(4k^2+4k-8)/(2-k)^2
-2<k<1のとき、�Aを満たすx,yは存在しない。
k=-2,1のとき、�Aは1点を表す。
k=-2なら(x,y)=(-1,0)となり、条件を満たさない。
k=1なら(x,y)=(2,0)となり、条件を満たす。
k<-2,1<kのとき、�Aは円となる。
この時、(中心のx座標)+(半径)>1なら条件を満たす。

意外と長くなるな。２時間半でできるかどうか…

�T-2レス見ないでやってみた

三角形ABCとして、（角Aの対辺がa・・・）余弦定理より、

cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
三角形だから、　-1<cosC<1
よって　　　-1<(a^2+b^2-c^2)/2ab<1
分母を払って(2abは正)
　-2ab<a^2+b^2-c^2<2ab ・・・�@

同様に、　
-2bc<b^2+c^2-a^2<2bc ・・・�A
　-2ca<c^2+a^2-b^2<2ca ・・・�B

�@、�A、�Bの辺々足すと、
-2(ab+bc+ca)<a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)

ab+bc+ca>0より、
-2<(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)<2

a>0,b>0,c>0より
(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)>0

∴0<(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)<2

ほーらペルーサ来た

最小の方がテキトーすぎたな・・・

一門に一時間も集中力持たないでござるの巻き

現役1年だけども、
こんなん全く解けないわーｗ

あたし入れたの奇跡ｗ

おい、数学なんてやってないで英語と政経もってこい
東大レベルぐらいなら解いてやるから

多項式の係数は実数なのか。

>>178の続き(方針変更)
k<-2,1<kのとき、�Aは円となる。
この時、条件を満たすには、y=0としたときのxの値のいずれかが1より大きくなればよい。
y=0とすると�Aは、
(2-k)x^2-4kx+4=0
となる。これが異なる２つの実数解を持つことはすでに示されている。

k<2のとき(すなわち、k<-2,1<k<2)
大きい方の解はx=(2k+2√(k^2+k-2))/(2-k)だから、(2k+2√(k^2+k-2))/(2-k)>1を解けばよい、
変形して、2√(k^2+k-2)>2-3k
1<k<2のときは左辺が正、右辺が負より必ず成り立つ。
k<-2のときは、さらに変形して
4(k^2+k-2)>(2-3k)^2
5k^2-16k+12<0
(k-2)(5k-6)<0
6/5<k<2
これはk<-2を満たさないので不適。

k>2のときは、大きい方の解は(2k-2√(k^2+k-2))/(2-k)だから、
(2k-2√(k^2+k-2))/(2-k)>1を解けばよい。
変形して、2√(k^2+k-2)>3k-2
両辺とも正だから、4(k^2+k-2)>9k^2-12k+4
上と同様に6/5<k<2
これはk>2を満たさないので不適。

以上から、求める範囲は「1以上、2より小さい」である。

午後の部難しいね

あ

>>188
なにを期待してるんだ

ほ

簡単とか難しいとか　解けたとか解けないとか　そういうことじゃない
いかに華麗に解くか　そこが重要だろう

>>192
予備校行ってた時に講師が東工大数学華麗に解いてるの見て惚れ惚れしてたな
すげーって感動してた

�U-1の目星はついた。あとは証明だ。

なんかこういう問題解けるやつらって楽しそうだよな
俺も楽しもうと思ったけど何も書けず悔しさしかねえよ

>>194
俺かよ・・・

今年のは意外と簡単

大数でいうと学コンみたいなレベル？

学コンのAとBの間くらいじゃないかな。

>>194
高校までの数学はパズルだよ
何でもいいから解ける快感覚えると病みつきになる

だめだ…�U-1の証明ができん…

ふざけんなこんなもんわかるか。だれかえいごのもんだいもってこい

あれ？�U-2っておかしくね？
正９角形の一辺って2sin20ﾟだよな。これはこのままでいいのか？

あげ

SEGでずっと10番以内だったけど
とりあえず(1)は素因数とかに気付けば、あとは細かなことに気をつけてって感じか
(2)は計算力の問題っぽいよね。受験生頑張れ。もう俺には解けない・・・

P(x)=x^3+kx^2-3(k+1)x+2(k-1)
↓
P(x)=(x-2){x^2+(k+2)x-(k-1)}

どなたかこの因数分解の解説をお願いします。

>>205
因数定理を知らんのかい

いくすくらめいしゅんまーくの意味が分からん

２−２　直感で、3,4,5,6,9角形　辺の長さは１

ほ

まだ残ってたか。

�U-1
多分、n=2^k(k=0,1,2,…)のみ
x
x^2+1
(x^2+1)^2+1
((x^2+1)^2+1)^2+1
というように繰り返していって得られる関数は、全て条件を満たす。
これ以外無いという証明はまだできない。n=3,5,7のときは無かった。

�U-2
正3角形、正9角形は明らか。(元の頂点を使えばよい。)
1辺の長さはそれぞれ√3,2sin20ﾟ
正9角形のひとつの頂点から(40/3)ﾟだけ回った辺上の点をひとつの頂点とすれば、正6角形ができる。
1辺の長さはcos20ﾟ/cos(20/3)ﾟ
正9角形のひとつの頂点から、10ﾟだけ回った辺上の点をひとつの頂点とすれば、正18角形ができる。
1辺の長さは2cos20ﾟtan10ﾟ
あとひとつが見つからない。

ここまで考えた

1-1 n!がn^2の倍数となるような自然数nを全て求めよ
　↑
まず俺には1-1が問題番号だと気づくのに10分かかった

参考までに

�U-1について

多項式f(x)が条件を満たすとすると、
・nが偶数なら奇数次の項は0、nが奇数なら偶数次の項は0(つまり、奇関数または偶関数となる。)
・x^nの係数は1、x^(n-2)の係数はn/2、x^(n-4)の係数はn^2/8、以下、帰納的に求める事ができる。
・f(f(x))も条件を満たす。
・nが奇数のときf(1)=1。すなわち係数の和は1
が成り立つ。

�U-2について

「得られる正多角形の重心は元の円の中心と一致する」が成り立つならば正18角形までしか作れない。

お前らなんでそんなに勉強できるのに無職なの？

理系学部だけどさっぱりわかりません

さっぱり理解できない俺が無職なのは自然なことである
まったく自然だ

法学部だから理解できません

ところでこんなの将来なんの役に立つの？

工業大学の入試くらいでスレたてるなよｗｗｗｗｗｗｗｗ


っていうレスはもう出た？

>>184
マジレスすると、東大の英語は質的には簡単だし、せーけーにいたってはない。

>>210
3 6 9 18までは誰でも出せるらしいよ

>>219
出せて無い奴がこのスレに存在するので、その命題は偽

ほ

�U-2はよく考えたら、重心とか関係無く18以上は無理だった。

訂正、19以上は無理だった。

>>213
ヒント：勉強以外の部分

>>217みたいなやつが数学は暗記とか言ってそう

普通に生活するぶんには全く使わない

中学のころ頭悪かったやつが東工大入ったけどよくみたら東京工科大学だった

>>227
ズコーーーーーッｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

誰か問題を解説してくれよ

今北だけど>>1-1は

nは整数、nは非素数、6≦n

でおｋ？

あとn=1もだった

>>231
つまり素数と4を除く自然数ってことだろ？
このスレではみんなそれで一致してたはず

なんで気付かなかったんだ…
正方形が内接するじゃないか…

やり方はいいから最終的な�U-1の答えを教えて
自分は自然数だったらn=1と2になったんだけど…

�T-1・4以外の合成数と1
�T-2・１≦与式＜２
�U-1・n=2^k(k=0,1,2,…)（n=1は単項式だから除く)
�U-2・n=3,6,9,12,18

まちがえた

�T-1・4以外の合成数と1
�T-2・1≦与式＜2
�U-1・n=2^k(k=1,2,…)（n=1のときは単項式だから除いてみた)
�U-2・n=3,6,9,12,18

かな

>>234
自分は偶関数と奇関数で考えないで、計算と恒等式で題意を満たすf(x)が3つしかないと導き出したんだけど…
多分根本的ミスだな

>>234>>237
n=2^kの形ならf(x)が作れるから、答えは無数にある。具体的には>>210を見てくれ。

>>235-236
単項式も多項式のひとつとみなすのが一般的。
あと、�U-1の証明と�U-2の正12角形の作り方ｋｗｓｋ

すまぬ
ｎ＝１２じゃなくてｎ＝３・４・６・９・１８かね

誰か正九角形の正方形内接についてｋｗｓｋ

正方形は角が飛び出ると思う
やはりn=12なのでは？

>>238
サンクス!おかげで何が足りないか分かったわ

�U-1はn=2^k(k=0,1,2…)しかないよ
と千葉(薬)志望が言ってみる

あとは２−２だけか
どっかの予備校が解答速報出さないのかな？

>>240>>241
正9角形のひとつの辺が水平になるように考える。
各辺が水平または鉛直になるような内接長方形を考えると、横に長いもの、縦に長いものは明らかに存在する。
これらは内接したまま連続的に変形できるからその間に正方形が存在する。

５つだけしかないとは書いてないから、12を否定したわけじゃない。
逆にどうすれば12が作れるのかこっちが聞きたい。

１８→２つおきにとって６
９→２つおきにとって３
長方形を変形していって４

一辺の長さ求めるの結構うざいなｗ

ここにあがった解答まとめたら一番早い解答速報になるんじゃね
理系ＶＩＰＰＥＲがんばれ！

>>242だけどさ
自分は行列と恒等式を用いて答え出したんだけど、このやり方は既出？

ないとおもいます

>>248
是非とも解答お願いします

どれも計算問題だと思うけど。
1-1 条件式 n!=kn^2 を立てて場合分けて調べればおｋ
1-2 ただの三変数関数の微分
2-1 ただの係数比較
2-2 ただの初等幾何学の問題

n=4はありえない
正方形を作る時９角形の２角分の80ﾟをまたぐ辺が必ずある
正方形の対称性を崩さないようにするにはこの80ﾟから5ﾟずつずらしたところに辺を置く
ここから90ﾟずつとって辺を作ると、はじめの80ﾟをまたぐ辺の対辺は９角形の辺から15ﾟずれた所に作る必要あり
5ﾟの対角線と15ﾟの対角線は長さがちがうので正方形にはならない
俺の下手な日本語でわかる？

このスレの中で受けた人はいるの？

>>252
正方形の重心が円の中心と一致するとは限らない。

>>250
最後がちゃんと出来てないような気がしてならないが一応解答作ってみた
途中計算を省略して説明すると…
�U-1
g(x)=x^2+1とする
与式はg｡f(x)=f｡g(x)であるから
fとgを点(x,y)を移す2次の正方行列として考え求めていく(以下、恒等式も利用していく)

g(x)=x^2+1であるから計算すると
g=(x 1/y 0 1)

f(a b c d)とおく
g｡f(x)=f｡g(x)より

(x 1/y 0 1)(a b c d)=(a b c d)(x 1/y 0 1)

これを解くと
(a b c d)=(a 0 0 a),(x 1/y 0 1),(-1 1/y 0 -x)

f=(a 0 0 a)の時 f(x)=x
∴n=1

f=(x 1/y 0 1)の時
f=gとなることからf=g^k(k=1,2,3…) は全て成り立つので>>210にあるようなf(x)は全て成り立つ
∴n=2^k(k=1,2,3…)

f=(-1 1/y 0 -x)の時
f(x)=1-1/x となるが全てのx,yについて成り立たないから不適
よって求める自然数nは2^k(k=0,1,2…)

>>254
考えてみればそうだな
そして友達が最後の1コは必ず重心がずれるって導き出した

全然わからない

>>253
10年くらい前に受けて落ちたから未練がましくこのスレにいますｗｗ

ほ

>>255
なんかすごい発想だなｗｗｗ理解するのにしばらくかかったｗｗｗ
しかし、そういう表現はありなのか？初めて見た。
例えばg=((x^2+1)/x 0 0 1)とも表現できるってことか？

正９角形に内接する正方形の１辺を求めるのってむずくね

>>260
なんとなくこの問題のイメージを図で書いていたら、一次変換が思い浮かんだのでやってみたのですが…

gはそのようにも表せられますね
というか自分は、そこで発生する条件x≠0よりもy≠0の方が後々処理するのが楽かなと思ったのですが、圧倒的にそちらの方が楽ですね…

一次変換って面白いよね
なんで肩身の狭い思いをしてるのかしらん

物理系のわたくしには難しすぎます

円の点を結ぶと星が出来上がるのってなんて名前だっけ？

>>23
多分それ正解

>>261
ひとつの頂点から左右に40ﾟ〜80ﾟの間と120ﾟ〜160ﾟ間に頂点があると予想して、
頂点が辺をt:1-t、s:1-sに内分するとして、適当に座標をとって、連立方程式を立てればできる。

>>262
いや、気になったのは、表しかたが一意的で無いのにひとつの表しかただけで議論していいのかということ。
まだ理解>>255をしきってないからなんとも言えないけど。

まあたくわかんね
すげえなおめえら

>>267
よく考えればそうですね
自分も解いたそのときには考えなかったのですが、多分、表し方によらず変換自体に一意性が存在するので一方の場合だけ議論すれば十分だと思います

簡単すぎるｗｗｗ5年高校数学やってないけど
東京工業大学ってこのレベルでAOなの？
数学オリンピックレベルかと思ってがっくし

午前問題だけでKOされた

もしもしからで悪いんだが

(1)って1以外条件満たせなくね？
(2)は０く問題式 で部分点くらいはもらえんじゃね？

>>270
数学オリンピック予選の問題みたいだよな・・・
ということは、優秀な中学生にでも解ける問題ってことwww

>>272
(1)6!÷36=20
(2)さすがに自明すぎ

>>273
俺は整数苦手だけど解けたし多分母校の後輩なら中学生でも解けるはず
予選は簡単だからそれよりは難易度あるよｗ
フーリエ変換あたりまでは中学生でもみんな理解してたし

まとめみたいな何か

Ｉ-1
>>102など

Ｉ-2
下限は、誰もちゃんと書いてないけど
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(1/2)｛(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2｝≧0
より、1以上。等号は正三角形で成り立つ。
上限は>>162など。補足すると、a=bとしてcを0に近付けていけば、いくらでも2に近付けることができる。

午後の問題>>161

�U-1
>>210、>>255？

�U-2
>>210、>>244
正方形の1辺の長さはまだ。

�U-２
n＝３　正９角形の頂点使い、一辺　√3
n＝９　そのまま用いて　一辺　2sin20°
n＝１８　頂点の一つから10°ずれた交点から作る　一辺　2cos20°tan10°
n＝６　１８の時と同じく10°ずれた交点から作る　一辺　cos20°/cos10°
n＝４　整数度の点では作れない事がわかり、解析幾何で解く
正９角形の１つの頂点をx軸上に置き、
（cos40°,sin40°）と（cos80°,sin80°）を通る直線と
（cos120°,sin120°）と（cos160°,sin160°）を通る直線
の式を出し、この辺に正方形が内接すると考えた
交点の高さをαと置き、そのときのX座標をそれぞれX１、X２とすると
X１ーX２＝２αとなればいいのでこれを計算すると
一辺　{(2sin70°cos40°+cos20°)/(cos40°+sin100°)}

>>277
おっ、なんかあってそう。乙。
正6角形の角度が>>210と違うけど、多分両方あってる。

n=4は何回和積と積和を使ったことかw
確認してくれる人計算頑張って
n=12も出来るだろうがやりたくはないなw

ギブ。見てないけど

まじおまえらすごいわ

行列の正則性も考慮に入れずに方程式を解くとはこれいかなる欠陥論法……

[II-2] まず正3角形。
次に正9角形(ただし元の正9角形の中点をつなぐという馬鹿見たいな方法)。
さらに同じ発想で1辺上に2点とって、正18角形(実際に作図するまで成立するかは不明)。
あと2つは、正18角形から作る。1つおきにつないで正12角形。2つおきにつないで正6角形。
正多角形が円に内接するのが残り2つを見つける鍵だった。正3角形の場合は問いの円と同一。これを縮めていくと、1辺と2点で交わり正18角形が出来、さらに縮めていくと中点で接し、これが正9角形。
これ以上縮めても交わらないので、この3つの正多角形から残り2つを作ることを考えた。正3角形から出来ないなは自明で、正9角形から作るのは難しいと判断し正18角形の各頂点をつなぐことを考えると1つおき、2つおきという発想を得た。

辺の長さは、20°の直角三角形が出来る場合は楽。10°の三角形の部分については、正弦定理を使って辺の長さを出せばよい。

>>283
正18角形で1つおきだと正9角形ですぞ

重大なミスに気付いた。正18角形で、1つおきだと正9角形じゃないか……死にたい…………

>>284
いまいま気付いたよ。スレ汚しすまぬ。

>>286
よくあるこった。気にすんな。


俺も>>210の正6角形の(40/3)ﾟは間違いだった…orz

おーすげえ
vipやったなｗ

Ｉ-1
>>102など

Ｉ-2
>>276

午後の問題
>>161

�U-1
>>210、>>255？

�U-2
>>277


あとは�U-1のちゃんとした証明がほしい

ho

>>277の座標設定をy軸対称の形に正９角形をおくと多少計算が楽になるかね
正９角形の頂点のとるｘ座標は、
�@�Hcos10°、�A�Gcos50°、�Bcos90°、�C�Fcos130°、�D�Ecos170°の５つ
で、内接しうる正方形の辺をx,y軸に平行にする。
�@�A通る直線Ｌと正方形との交点を考えると
交点は（α、α）となるから直線Ｌとｙ＝xの交点求めれてα出す
で、１辺の長さだからα×２

和積いっぱいでてくるから余り変わらんかｗｗ

あっ正方形の中心がＯじゃなさそうだからだめだねorz

>>292
その座標設定でＡ（cos10°,sin10°)Ｂ（cos50,sin50°)として
ＡＢ上を軸に平行な内接長方形の１頂点が動くとすれば
横長から縦長の長方形まで変化できるから、
途中に正方形となる場合があるはずだからそのやり方でよさそうじゃね？

俺も同じ大学だからちょっとやってみるか・・・


よく考えて見たら俺金沢工業だったわ

お前ら転載すぎるだろ・・・

あと２ー１の証明くらいかな
VIPすごい

>>291 >>292

>>277の者ですが、確かにこの座標の取り方だととても簡単に計算ができます。
しかしこの問題の怖いところは重心が正９角形の頂点を通る軸上で円のときと若干ずれるため
交点(α、α)とも置けないし、おれの解法も使えなくなる
俺が>>277でやったのは重心がずれてない方を高さとしたので、一辺が２αと等しいという解法ができた
確かにy軸を頂点にしたら魅力的な一辺{2sin50°/(1+√3)}というのが出るんだよな
東工大の嫌らしさが全面に出てるとしか思えないねw

あっ、ちなみに正１８角形は正９角形を１８０°回転させて重ねても作れるね

>>298
作れなくね

>>298
言いたいことはわかる

>>297
重心が微妙にずれるとかなんとも嫌らしい感じだねｗ

そのうちここらのサイトには解答のりそうだね
安田先生が問題投稿してたから
http://suseum.jp/gq/list?kind=1

http://up3.viploader.net/ippan/src/vlippan163763.jpg
真剣に解いてたらこうなった

ｎ

もと東大だけど東工大の数学と京大の英語だけは勘弁して欲しい

東工大は五角形とか奇数系が好きなイメージ
東大は正四面体が好きなイメージがある

ho

もう少しだな
最後まで解答ほしいね

　私が思う「倫理」とは、ありきたりな言葉になりますが「人の気持ちを考える」という事だと考えています。
　匿名掲示板としては国内最大規模である２ちゃんねる、過去に２ちゃんねるでの匿名性や本質が
ワイドショーなどでも話題になり、「２ちゃんねるという存在は必要なのか」と匿名掲示板の必要性について
議論などがされていましたが、結論から申し上げますと必要性は十分に有ると考えています。
　SNSでは、mixiやモバゲータウン、最近ではTwitterなどが流行していますが、何故世間は
２ちゃんねるばかりに囚われて、他のSNSに目を向けないのかなと疑問に思う点は多々あります。
　匿名掲示板やSNS、確かにいじめや犯罪の温床と化しているのは事実ですが、
マスコミの報道の仕方にも有るのではないかと考えています。
　世間一般的に、現実世界とネット世界では似て非なるものという認識が有るとは思いますが、
私はそうは思いません。現実世界もネットも、「場所が違うだけで本質は全く同じもの」だと考えています。
　例を挙げるなら、ネット世界での誹謗中傷は現実世界での陰口と全く同じものです。ネット世界での犯罪、
これも現実世界で起きる犯罪と全く同じものです。ですが先程申し上げたように、マスコミの報道の仕方、
ネット世界は異質な存在だという前提が有るので、現実世界で報道されないような犯罪などが
ネット世界で起きると報道される傾向にあるのではないか、つまり一種の偏向報道だと私は考えています。
　過去に私自身にも、同級生のホームページ絡みのトラブルが起きましたが、それは相手の誤解だったという事で
収束しました。しかし、各々が情報を発信しやすい反面、現実世界ではとても口に出せないような軽はずみな言葉も
こぼしやすい上に、面と向かって直接話をするわけでも無いので、誤解などが生まれても解きにくく、
そこから交友関係などに亀裂が生じやすいのではないかとも考えます。そういった点でも、いくら簡単に情報を
発信出来るからとはいえ、相手や周りの気持ちを良く考えてから行動する事が最重要だと私は考えています。

ほ

�U-1(未完)

係数比較により、f(x)は偶関数または奇関数となる。(厳密には、次数についての帰納法)
nが偶数のとき
f(x)はx^2の式で表せるから、x^2+1の多項式として表せる(証明略。次数についての帰納法)
よって、ある多項式g(x)によって
f(x)=g(x^2+1)
と表せる。このとき、x≧1なら
(g(x))^2+1=(f(√(x-1)))^2+1=f(x)=g(x^2+1)
となる。gは多項式だから、x≧1で等しければ実数全体で等しい。
したがって、gも条件を満たす。

このようにして、条件を満たす偶数次の多項式があれば、その半分の次数の多項式で条件を満たすものを作ることができる。
あとは奇数次のものがf(x)=xしかないことを示せばいい。

ho

残りの解答続き希望で保守

解答速報ならここにまとめられてるぜ
http://tokyotech.net/pukiwiki/index.php?2011%C7%AF%C5%D9AO%C6%FE%BB%EE%B2%F2%C5%FA%C2%AE%CA%F3

このスレのってんじゃん！

できたあああああああ！！

>>310の続き

nが奇数のとき、f(x)は奇関数となる。
よってf(0)=0
条件式にx=0を代入して、f(1)=1
条件式にx=1を代入して、f(2)=2
条件式にx=2を代入して、f(5)=5
以下同様に繰り返せば、無限個のnに対してf(n)=nが成り立たなければならないことになる。
このような多項式はf(x)=xしかない。
したがって、奇数のnはn=1のみ。
>>310とあわせると、n=2^k(k=0,1,2…)しかないことが分かる。
逆に、>>210のようにすれば任意のkで2^k次の多項式を作ることができる。
以上からn=2^k(k=0,1,2…)が求める答えである。

結局２日もかかってしまったか…
>>313を見る限り、ここが一番早いのか？

>>315乙です

>>316
ぽいね
しかし>>313のリンク先を見たけど東工大受験の情報がありすぎだろｗ

>>318
去年の解答速報は速すぎておかしかった

午前の解答を13:45の時点でうｐしてたし、午後の解答と講評を20:40の時点でうｐしてた
なんで今年はやらなかったんだろ

ほ

みなさん乙です

東工大数学AO入試が来年から行われないことにがっかり！
本当にこれ失敗作だったのかな・・・

>>313
ここへの直リンク貼ってるけど落ちたら意味ないだろうに
せめて内容まとめてから乗せれば安心して見られると思うが…

>>319
諸般の事情です。ごめんなさい。

>>323
Dat落ちしだい、Linkをバックアップに差し替えます。

>>315を思いついた時、なんかこう、頭の中がブワーってなった。
久々に味わったわ、あんな感覚。
これだから数学はやめられん。

これでこのスレ終わりか？