数学できるやつ来い

円に外接する正方形の周の長さが円周より長いことを証明せよ

ただし円周率の値を用いずに

そんなのみればわかるじゃん
盲目なの？

図でもかいてろ糞野郎が

地上に特化した戦闘なら、スペックの高いゲルググよりもドムが勝る
つまり正方形の方が長い

どうやら「ゆとり」しかいないようだな

でもその面積が同じなんて信じられないよね？

円周の長さの定義をその上の点列の直線距離の合計の極限と定義すれば
三角不等式よりこれは単調減少なので外接する正方形の周の方が長い

それ東大模試でやった

この分だと相当我慢してたみたいだな
正方形の中が円でパンパンだぜ

マジかよ
これ東大レベルなの？

無理なわけだぜｗｗｗｗｗｗ

数式書くのめんどいから日本語でおkだけど

円は中心からの距離と角度(0〜２牌)を使って積分して円周を求める
正方形は普通に半径×8で出る
比べる

でできないか？

>>11
天才ですか？

つーか>>7と>>11どっちが正しいんだ？

誰か〜

頭いいやつ〜

周の長さが等しい正方形と円ではどちらの方が面積が大きいでしょうか
こんな疑問も文字を使えば解決します

正方形の一辺の長さをa 円の半径をｒとすると
2πr=4aから r=2a/π
円の面積はπr^2=π(2a/π)^2=4a^2/π

正方形の面積はa^2でπ<4です　さて、結論は･･･？

あーしくじったΠつかっちゃダメなのか

演習率使われすぎワロタ
てかこれ文系でもとけるのか

>>15
＞ただし円周率の値を用いずに

>>15
あなたが神か

でもどれが正しいか俺にはわかんねｗｗｗ

正方形との接点のうち隣接する二つをつなげる（←その二点間の最短距離）
正方形の外周と円周では後者の方が常に最短距離に近い

よって円周の方が短い



こうですか、わかりません＞＜

>>20
なんかそれっぽいな

当たってるのか？

周の長さが同じ場合 a^2　>　4a^2/π　となり正方形の方が大きい
つまり>>1は、、、、

マジレスすると

紐を2本用意する

1本で円作る

その外に四角形をもう1本の紐で作る

長さ比べる

でおｋ

見れば明らかなのにな

英語の教科書にある「これは何ですか？」「これはペンです」と同じ

>>23
それはｗｗｗ

ガリレオ先生が物理と数学では答えにたどり着く過程が違うと言ってたけど、物理ってレベルじゃねーぞｗｗｗｗｗｗｗ

>>21
一応現役のじゅけんせーだが文系だからよう知らん

>>26
マジで？
じゃあ今日学校の先生に聞いてみてよ

円に外接するn角形の周の長さをnの関数で表す
そしてそのnの関数が減少関数である事を示す
円はn→∞の場合であるからうんぬんかんぬん言って証明
ってのはどうかな

>>28の新説が登場

マジでどれが正しいんだよ〜

逆に考えるんだ、円周の長さと正方形の周の長さが一緒だと仮定するんだ。

そうすると
正方形の周の長さは正方形の一辺×４で
正方形の一辺＝半径になるわけだから

円周＝半径×４になるわけだ

あとはこの矛盾を指摘するだけで終わり
簡単だろ？

>>30
！！！！！！！！

そうなんだ、ここでの矛盾は正方形の一辺の長さは円の直径になることなんだ。

つまり円周＝半径×２これを崩せばいいわけだ。

>>30
もう一歩だな
それだと「円周と正方形の周は等しいわけではない」としか言えなくない？
円周 ≧ 正方形の周で仮定せにゃ

頭いいやついないの？

同一周長の図形で面積最大な図形は円。
円に外接する正方形は、その円より面積が大きい。
よってその円よりその正方形の方が周長が長い。

同一周長で面積最大な図形は円であることを証明するには、
1.面積最大の図形には凹みは無い
2.周長をちょうど二分する二点を通る直線は、面積もちょうど二分する
3.周長をちょうど二分する二点と、それ以外の周上の任意の点が張る角は直角である

後半の証明には図が必要だけど、面倒だから省略

数学嫌いだからこのスレ開いてみたけど>>30のおかげで彼女も出来て宝くじも当たった

円周率使えれば一発なのにな

円の半径をｒとする
外接する正方形の周の長さは８ｒ
円周は２πｒ

πが4よりも小さい事を証明するって事なんじゃない？

>>36
ちょっとﾜﾛﾀ

間違えた
まず外接する正八角形の周が円周より長いことを証明する
円周上の有限個の点を節とする折線列で円周に収束するものの長さの極限を円周の長さと定義する
折線列として各折線の節に正八角形の接点を含むものを選ぶ
隣接する正八角形の接点をA、B、その間の角をCと置く
AからBまでの折線の各線分をACかCBに平行な折線で置換すると、
置換された折線の長さは常にAB間の正八角形の周の長さに等しく、三角不等式より元の折線より長い
他の隣接する各接点についても同じことが言えるので、
正八角形の周は折線より常に長く、その長さの極限、つまりは円周よりも長いと言える
正方形の周は正八角形の周より長いので、正方形の周は円周より長い

円の半径をrとすれば、正方形の一辺は2r
まず、面積を比べる
明らかに、
r^2π＜(2r)^2
∴π＜4
次に、円周2πrと
正方形の周8rを比較すると、上から2πr＜8rとわかる
よってしめされた


オール明けの東大生

>>40
キター…のか？
答えがわからないから、何にも言えねぇ

>>42
答えを知らなくても正しいかどうかが分かるのが数学

>>41
ガチ？
信じていいの？

正確な数式を書いてほしいな

πが4より小さいことを証明しろっていう問題だよね？

>>41
公式使ってるけど循環論法になってないといいね

>>43
そうなの？
俺の数学は正負の数で止まってるけど、わかるの？

三角不等式やら
|z|=z*(zの共役)
やらってすげー当たり前だけど重要な定理だよなー

なにこれ

何語？

間違えた
９行目の「よりも長いと言える」は「以上の長さを持つと言える」で

明らかに円周のほうが短いのにそれを証明しろって言ってくるって事は
明らかに面積が小さいって感覚も使えないんじゃない？

その前に>>1のスペックよろ

円に外接するｎ角形の周の長さをａnとしてａn＞ａn+1を証明すれば
ｎ→∞で円になるから証明できるんじゃないか?

>>51
その通りだが、外接正方形の四隅の部分の分だけ正方形の方が面積が大きいとすればいい

>>53
ﾜﾛﾀ

>>41
π使ってるからアウトじゃね？
理系？

>>52
ピザ
ニート
チンコ

180cm
85kg

>>56
理系…
言い訳になるけど恐ろしく眠い

ここまでゼタ様無し

3.14

>>53
ｎ→∞で円になることから長さも円周になることを言うには別途証明が必要

>>58
>>20見た？
矛盾あればご教授いただき度

期待

πを使う事は別に構わないと思う、それの値が4より小さいかどうかが問題にされてる気がする

>>62
問題が結構自明だからなあ…

どれも遠回りな証明ばかりだと思ったら>20の方針は結構いいね

>>62
最短距離に近いことを言うには別途証明が必要

>>65
そうなんだよな……
だが過去問やってたら自明だろｗｗｗみたいなのって割と多くね？

>>61
そうなのか
言い訳になるけど恐ろしく（ｒｙ

同じ長さの紐で正方形を二つ作り重ねる
正方形Ａと正方形Ｂの周は同じである
正方形Ｂを９０度スライドすると頂点が正方形Ａからはみ出しまくり
回転させてもはみ出しまくり。マジびっくりｗｗｗ
正方形Ａに内接する円を作る為にはＡよりも短い紐が必要

みんなの議論見てるとワクテカする(´･ω･｀)

>>20だと、その円の部分が細かいギザギザでできている場合も含まれる
それだと例え常に四角形の周より近くても長さが上回ってしまうかもしれないんじゃない？

そういや 円周率がなんぼかより大きいことを示す問題あったけど
あれ面積だか円周の公式は使ってたよね

>>67
正方形は円に外接
円は正方形の外部に領域を持たない
常に(ry
じゃダメ？文系脳にも分かるようにおながいします

>>71
テカテカはしなくね？

>>74
位置が近い方が長さも近いとは限らないから

>>61
その証明はいらないんじゃないか？

>>73
面積はともかく円周と直径の関係は公式じゃなくて定義だろ

内接ｎ角形の周り　< 円周 < 外接ｎ角形の周り

これを定義として使っちゃいけないの？

>>74
テカテカはしなかった

>>76
少なくとも曲線が円周に収束するからといって必ずしも長さも円周に収束するとは限らない
・・・けど歴史的に見たら木に紐巻いて>>78やってるわけだから円周の長さを曲線一般の長さから論じるのも良くないのかも
>>78
それだと自明ってことになるね

浮上

>>75
せんきゅ
頭使ってみるわ

ＨＲ始まるんでさようなら

なんで>>1はそんなことが気になっとんねん

「なんで」か…

なんでだろうな
目が見えるうちに疑問を解決したいのかも

俺 学力ないけど、無駄にこういう問題は思いつくんだよね

接点4つのうち、反対側にある接点どうしを結んだ二本の直線をX軸Y軸、
円と正方形の重心が原点となる座標平面を定義
今４つの接点の原点からの距離を１とすると、正方形の周りの長さは８
また円周上の任意の点Ｐの座標は点Ｐと原点を結ぶ線分とX軸がなす角をΘとおけば、
Ｐ（cosΘ,sinΘ）と置けて、0≦Θ≦2πの範囲でΘを動かしたＰの軌跡が円周と一致。
あとは曲線の長さの公式で長さを出して正方形の周りの長さと比べる
携帯からなんで見にくかったらごめん

>>84
お前が思いついたのか？
じゃあ円周率を使ってはいけないのくだりを省けばいいだろｗ

>>85
またしてもそれっぽい説が浮上しました

正方形の辺を1とすると対角を結んだ直線は√2、その直線は
円心を通るわけで、それを弦にした円周角は直角だ。
内接(長辺=2r)、外接(長辺=√2)した三角形は相似。

あとは考えてね。

翠＝円周÷直径であるとします
∴円周＝翠×直径
この円の直径を2星とすれば
円の面積は積分して翠星^2と表せます…☆

また、この円に外接する正方形の面積は
2星×2星＝4星^2…★

更に、円⊂正方形より
円の面積＜四角形の面積であるから
翠＜4 （∵☆★
これは翠星石が第3ドールであることからも明らかです

このことを踏まえて、最初に定義した円周の式と
正方形の４辺の長さの和の式(4×2星)を見比べると
明らかに正方形の４辺の長さの和の方が大きい
よって示されました

紐とペン使えば簡単に証明できるだろ・・・

バカじゃねーの

>>85
これ結局円周率使うんじゃね？

>>86
円周率を使っておｋにしたら、友人に5分で解かれたでござる

正方形の各頂点をABCD、内接円との接点をEFGHとすると、双曲三角形AEH、BFE…が成立する。
成立条件より、AB+AD＞⌒EH。
よって4(AB+AD)＞4⌒EH


思い付きだけど

>>90
証明してうｐ

>>92
むしろ５分もかかったことが謎にて候

>>95
やり取りがメールだったからな

すまん
少し寝てくる

落ちたらまた立てるからヨロシクお願いします

円に外接する正方形の周の長さが円周より短い場合もあるから必ずしも公理（自明である）とは言えないのか

「長さ」のちゃんとした定義を使えば、半径を１とすると円周は
4∫[0〜1]1/√(1-x^2)dx
被積分関数について
1/√(1-x^2)<1/√(1-x) (0<x<1)
となるから、
4∫[0〜1]1/√(1-x^2)dx<4∫[0〜1]1/√(1-x)dx=4[-2√(1-x)][x=0〜1]=8

オール明けの東大生二号的には>>41だな

オール明けのニートだけど>>41でＦＡ

>>100>>101
>>99はどうだい？

>>41と同じだった…

円周率つかっていいの？

無限な正多角形が円であること、
n＝∞の正ｎ角形はどの角も180度をこえないことを付加すれば
>20 で十分なんじゃ

あ

>>104
円周率＝3.14ってことを使っちゃダメなだけで円周率事態を使うのはいんじゃね

>>100

オリ感かなんか？

>>107
円周率＝3.14＝πなわけだからやっぱダメなんじゃね？

まぁ悪問だな

だから>>99だってば

>>109
うーん
円周率の値を使わないということはπは未知のものとせよってことなんじゃね
だから記号としてのπは使っていいと思ったんだが

そうか、>>99は半径を１に固定したのがいけないんだな
半径をrとすると、x=rtとして置換積分すればおｋだぜ

>>20の「近い」とか>>41の面積の比較みたいな視覚的、直感的な議論はよくないと思うんだ
それでいいなら>>1だって自明なわけだし

>>114
円周率なしで数値を出せって事？

>>115
>>99で出来たのに反応がないのよね

>>116
結局同じこといってるだけ

>>116
何言ってるのかわからないんじゃないか？ｗｗｗ
俺もそうだ

>>117
どの辺が同じなの？

>>119
1/√(1-x^2)は積分すればπを使って表されるから
結局がいしゅつのπの評価に帰着する

>>120
厳密にいうとそれもさらに循環しそうな気もするけどなｗ

>>120
それを避けるために別の関数で上から抑えたんですが…
ダメかねぇ？

数式の中にπ使ってなきゃいいんじゃないの？駄目なの？

>>89はπ使ってないからＯＫだよね？だよね？

>>124
翠はπと同値だからダメ

問題分から円周率の値が未知であることをいいたいだけ
πの値を既知として使用してなきゃいいだろ

>>123-124
本質とは関係ないけど
π使うなとは問題に書いてないよ
つりだったらすまそ

円周と中心からの距離が常にa（a：定数）であることに対し
正方形の場合は a≦中心からの距離≦a√２ であることより明らか

文系的に

>>125
πが既知であることを前提してないと翠とπが同値とはいえない
この問題では円周率を未知のものとして扱ってるのできっと大丈夫

>>126
釣りじゃないけどπ使って解いたら「あれ円周率使ってね？」と疑問に思う人が必ず出てくると思いまして…
それなら別の文字使った方が混乱しにくいと思ったのであるからしてこうなりまして候

>>128
問題文が分かりにくいんだよな

「円周率の値を用いずに」
ではなく
「円周率の値は分かっていないものとする」

だったら迷わなかったと思う

もう誰もいないか？

円の面積を使う回答全てに言えることなんだけど、
そもそも円の面積がなぜπr^2なのかを考える
面積は>>89でも言ってる通り積分で導くが、
一般的にはここで三角関数の微積分を使う
で、三角関数の微積分にはsinθ/θ→1(θ→0)っていう極限がどうしても必要になる
※ただし角度はラジアンに限る
さらに、この極限は一般的には
http://imepita.jp/20090623/597150
この図でＢＨ<弧ＢＡ<ＣＡってのを利用して証明する
でも、これを無断で認めるなら>>1を認めることになる
だから、>>1を証明せずに円の面積がπr^2になることを使っちゃいけないと思う

長々とスマン

ほ

πはおｋ
数値はダメ

そんなの「自明」の二文字で終わるだろ
1+1=2と証明するのに「自明」だけで十分なように

文系が見ると記号使われてるだけでそれが正しいもののように思えてしまうわ

まだあったか

>>1いるんだし聞きたいんだがこれって文理共通？


ならなんや積分で面積云々使わなくても解けるってことになるしな

三角関数の微積分とかやんなくても
円周の無限の総和が円の面積なのだから
∫(r':0→r)A2r'･dr' というふうに求めればいいお
（ただしA＝円の周の長さ÷直径（2r）と定義する）
円周率なんて使わないゆお

文理共通ってなんだ？

>>137
文系と理系で数学の履修範囲が違うから、数�Vなんか使う問題だと文系じゃ出ないわけさ。
逆に、文系にも出題されるなら円の積分なんてせんでも、数�Uまでの知識で解けちゃうんじゃね、と。

>>7じゃ駄目なのか
めっちゃスルーされてるけど一番簡潔じゃね？

>>138
なるほどな
問題は俺が勝手に思い付いたからわかんねｗ

>>139
どうなんだろ

みんなの反応待ちだ

>>7で証明されるのは円に内接する正方形の４辺の長さの合計が円周の長さよりも短いことだよ

円周上に等間隔にｎこの点を割り振り、その点での接線同士を繋いだ正多角形を考えれば
ｎ＝４、８、１６、…２＾ｋ…
とｎの値が増えるにしたがって辺の長さの総和が円周の長さに近づいていくが
これは三角ふとうしきより短調減少なのて>>1が成り立つ

なら正解かも

解答ないのかよｗｗ

現時点までで正解だと思われる答案リスト
理系用>>41
文系用>>141
ヤスヒロ用>>89

>>141
駄目だ…>>7がどうして内接する場合の説明になるのか分からん
図で考えて、二点間の距離をとってそれを斜辺とする直角三角形をとって
>>7のいう通り極限を考えると、円の回りにちっちゃい三角形がびっしり出来て
その各三角形の斜辺以外の辺の合計は正方形の周と等しくて
斜辺の合計が円周なんだから三角不等式で…
じゃ違うのか…