697 ：
('A`)：
an=a_n=2^(2^n)+2^{2^(n-1)}+1を数学的帰納法で証明する。
n=1のとき、a1=2^2+2+1=7より成立。
n=kのとき、
2√ak=√bk^2+3が成立していて、
これも上手く変形し計算するとbk^2＜(2√ak)^2=(bk)^2+3＜{(bk)+1}^2
であるから、bk＜2√ak＜(bk)+1が成立する。(計算部分は大きく省略した)
ゆえに、[2√ak]=2^{2^(n-1)}+1
これを題意の前科式のk+1項に代入するのは次のレスで。
