【確率論・他】◆い頭を○くするスレ３【in麻雀板】

ここにn個の箱があります。
k番目の箱にはＫ個の赤玉とn−k個の白玉が入っています。
この中から１つ箱を選びます。
その箱から一つ玉を取って、その玉を見てから箱に戻し、
また同じ箱から玉を取り、戻すという試行をＭ回繰り返したとき、赤玉がＪ回出る確率をＰnとする。
lim(n→無限）Ｐnを求めよ。

>>646
ＰnはＭとＪの依存しないの？
それともＭとＪを使った式のなるの？

とりあえずn=3,M=2の時は
赤１白２の箱の時P(J=0)=4/9、P(J=1)=4/9、P(J=2)=1/9
赤２白１の箱の時P(J=0)=1/9、P(J=1)=4/9、P(J=2)=4/9
赤３白０の箱の時P(J=0)=0/9、P(J=1)=0/9、P(J=2)=9/9
だから
とりあえず
P3(M=2,J=0)=5/27、P3(M=2,J=1)=8/27、P3(M=2,J=2)=14/27
だけど
ただP3といったときに何をさすのかわからん

>>647
当然依存するのでＭ、Ｊを使った式になります。

>>648
なら答えは
lim(n→無限)(1/n)�煤ikは１からｎまで）(MCJ)(k/n)^J(1-k/n)^(M-J)
だな
計算はダルいからしてないが

>>649
あってますけどまだ計算がすすむんですよ。
で、僕にとってはちょっと意外な答えになる。

と思ったけど少し計算

(n-k)^(M-J)を展開したときに結局最上位項しか必要ないから答えは
(MCJ)lim(n→無限)n�煤ikは１からｎまで）((M-J)C(k-1)(-1)^(k+1))/(J+k)

とりあえずここまで
最低でも媒介変数は消去したいが

０になってしまったんだが、計算間違えてる？

>>648
とりあえず区分求積で
lim(n→無限)(1/n)�煤ikは１からｎまで）(MCJ)(k/n)^J(1-k/n)^(M-J)
＝∫[0→1](MCJ)X^J(1-X)^(M-J) dXってなります。

>>646の問題は積分どころか・・・
単純に・・・いや、問題分析が甘いのかなぁ・・・

答えだけ教えてくれ

俺の考えだとmCj*0.5^mなんだけどな。
そんなに甘くないか。

>>646
式は漏れも>>649になりますた
その後区分求積をしたら>>653ですな

その後はガンマ関数の式とベータ関数の公式
B(p,q) = ∫[0→1] x^(p-1) * (1-x)^(q-1) dx
B(p,q) = (Γ(p) * Γ(q)) / Γ(p+q)
Γ(n) = (n-1)!　　　（ただしnは自然数）
を使うと
Pn = (MCJ) * B(J+1,M-J-1)
= [ M! / (J! * (M-J)!) ] * [ ( J! * (M-J)! ) / (M+1)! ]
= M / (M+1)
みたいですな
Ｊにかかわらないという結果はいかーにもおかしいけど、、、

ま、いかにもと言うか、
M＝４、Ｊ＝５の時なんかに確率はゼロにならないとおかしいからね。

ギャンブルとどう関係あるんだ？

>このスレは麻雀板住人のためのお勉強スレです。
>問題を持って来るもよし、議論するもよし。
>自由に使って下さい。

>>657自己レス
Pn = (MCJ) * B(J+1,M-J-1) のところは
Pn = (MCJ) * B(J+1,M-J+1) です

あと最後の所は計算しなおしたら
M / (M+1) ではなく
１ / (M+1) でした

Ｊにかかわらないのは相変わらずだけど
これをＪが１からＭまで足し合わせたら１になるってところから
あながち間違いじゃないかもって気分

>>661また間違えた、、、ｽﾏｿ、、、

×これをＪが１からＭまで足し合わせたら１になるってところから
○これをＪが０からＭまで足し合わせたら１になるってところから

こいつ頭悪いな

>>661
正解！
１/（Ｍ＋１）　です。
赤玉が１回もでない確率も、３回出る確率もＭ回でる確率も同じってのがちょっと意外な気がしますよね。