どうせ暇だから勉強でもするか

メンヘルでニートなやつは、暇をもてあまして２ちゃん荒らすくらいなら勉強でもしろや。

どうせおまえらパッパラパーだろ？
基本からやるぞ。
じゃあテキストは次とする。
改訂工科の数学２　線形代数 ベクトル解析（培風館）

暇なやつは買って来い。

数学板さくらスレ１７６からの引用でござる

1 名前：１３２人目の素数さん 投稿日:2005/10/06(木) 19:20:55
　　・累乗　x^2=x*x（掛け算で×は使わない） ・対数　log_[3](9)=2（底は3）
　　・積分　∫[x=1,3] (e^(x+3))dx　　　　　　　　・数列の和　　Σ[k=1,n]A(k)
　　・分数　(a+b)/(c+d)　（分子a+b､分母c+d） ・ベクトル　AB↑　a↑

ローマ数字や丸付き数字などを避けて頂けると嬉しいです。
また複数のスレッドで質問する行為はご遠慮下さい。 スルー対象になります。

※累乗や分数などは誤解されぬよう括弧の多用をお願いします

他の記号と過去ログ
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/

１．１　行列の定義　１．２　行列の和とスカラー倍　はちょろいな。
交換法則・結合法則・分配法則・・・各自確かめよとか書いてあるが、無問題と。

１．３　行列の積
ここらへんも高校でやったことだ
問１
（１）
([2 1 -1],[0 -1 3]) ([-2 1],[0 -1],[1 -2])
=([-5 3],[3 -5])

（２）
([2 3],[-1 -2],[1 0]) ([1 2 -1],[3 4 1])
=([11 16 1],[-7 -10 -1],[1 2 -1])

暇なら公務員試験の勉強しとけ
意外と楽しいぞ

問２
例題１．１と同様で
A＾p=([1 0 0],[pa 1 0],[a^2(1+2+・・・+(p-1))+pb pa 1])・・・（１）と推定し、
まず
A^1=([1 0 0],[a 1 0],[b a 1])・・・（２）が成り立っている。
（１）を仮定すると、
A＾(p+1)=([1 0 0],[(p+1)a 1 0],[a^2(1+2+・・・+p)+(p+1)b (p+1)a 1])・・・（３）となるから、
数学的帰納法により（１）成立。

>>6
もう年だから公務員試験受けれないぞ

ゴメン…

まあここで線形代数なんてやったからといって、数学者を目指すわけでもないしな。

１．５　転置行列　ひっくり返すだけだ
問１
ｔ（[1 2 3]）（[1 2]）=（[1],[2],[3]）（[1 2]）=（[1 2],[2 4],[3 6]）
ｔ（[1 -1 2],[0 1 3]）ｔ（[2 1],[-1 0]）=（[1 0],[-1 1],[2 3]）（[2 -1],[1 0]）=（[2 -1],[-1 1],[7 -2]）

>>11は１．４だった
１．５　正方行列　この本は単位行列をEじゃなくてIで書いてるんだな珍しい。

問２
例題１．２の要領でB=(1/2)(A+tA)、C=(1/2)(A-tA)とかくと、
B=(1/2)([2 5 -3],[5 0 3],[-3 3 6])
C=(1/2)([0 -1 1],[1 0 -1],[-1 1 0])
となる

１．６　小行列・行列の分割
問１
（１）
A=([1 2],[-1 1])、B=([3 1],[2 -1])、C=([-1 3],[1 2])、D=([2 2],[-1 1])とかくと、求める行列の積は
([A 0],[0 B]) ([C 0],[0 D])=([AC 0],[0 BD])
=([1 7 0 0],[2 -1 0 0],[0 0 5 7],[0 0 5 3])

（２）
A=([1 2 -1],[-1 0 1])、B=([1],[3])、C=([2 -1],[1 1],[3 2])、D=([2 -1])とかくと、求める行列の積は
([A 0],[0 B]) ([C 0],[0 D])=([AC 0],[0 BD])
=([1 -1 0 0],[1 3 0 0],[0 0 2 -1],[0 0 6 -3])

こんなやり方があったのかと感心。
１要素ごとに計算したものと比較して検算してみる。

なあ。おまえら。
こんなんがなんの役に立ったかということは役に立ってからのお楽しみということで、
履歴書に「特技・数学」「趣味・数学」とでも書くところまで極めようぜ。

(ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ…
現役高2だがさっぱりﾜｶﾗﾝ
高2でもわかる問題あったらよろしくおながいします…

高2じゃきついなあ、せめて数学３Cさらった流したくらいの力はいる。

ｯｷﾞｬ！マジですか
更に文系で数Bと数�Uまでしかやってないので
諦めます…(´･ω･`)
お騒がせしますた

なんだったらここで文系ゼミも平行してやるかい？

ぇ、いいんですか？(ﾟ∀ﾟ)
じゃぁおながいします(*´ｰ｀*)

おながいしますっていういか、問題の用意と解答を書くのは１７の仕事ですよ。

(´･ω･`)わかりますた
じゃぁ模試の過去問あさってきます(´∀｀)

１．７　一次変換
問１
([y1],[y2],[y3])=([2 -1],[1 1],[0 -1])([x1],[x2])

問２
y↑=A x↑のとき、tx↑→ty↑はどんな写像か
えとy↑=A x↑だからty↑=t(A x↑)=tx↑tA、ってこれ１次変換か？まあいい。

問３
（１）
([y1],[y2],[y3])=([1 0 0],[0 1 0],[0 0 -1])([x1],[x2],[x3])は(x1,x2,x3)をXY平面に関して対称移動する変換だな。
（２）
([y1],[y2],[y3])=([cosθ 0 sinθ],[0 1 0],[-sinθ 0 cosθ])([x1],[x2],[x3])
はY軸まわりの回転だ。

>>24あれ、よく見たら逆回転じゃん

高校生向けだと
「解法の探求」とか「大学への数学」がお勧め

あと「物理は自由だ」とかいう
ふざけた題名の本があるが
中身はいたって真面目な本がある

もう十年前とはカリキュラムが
変わってるからどんな話を
すればいいのかわからんなあ

問４
z1=y1-y2=-2x1-x2
z2=-y1+2y2=3x1+4x2
z3=-3y2=-3x1-9x2

([z1],[z2],[z3])=([1 -1],[-1 2],[0 3])([y1],[y2])=([1 -1],[-1 2],[0 3])([-1 2],[1 3])([x1],[x2])
=([-2 -1],[3 4],[-3 -9])([x1],[x2])

俺が高校出たのは15年前だから気にすんな

線形代数だと固有値問題と
回転しかわからん

まあ大数とか手をつけていたなら数学できるだろ

演習問題１
次の行列を書け
（１）a[i,j]=i+jの２×３型の行列
A=([2 3 4],[3 4 5])
（２）a[i,j]=ijの３×３型の行列
A=([1 2 3],[2 4 6],[3 6 9])

ん、やっぱ問題文とか書いたら著作権法上問題があるかも知れんな・・・

２．
A+C=([1 3 0],[3 2 5])
2A-B=([-6 5 3],[1 1 8])
2A-3B+2C=([-7 3 0],[9 -2 7])
-A+2B+3C=([11 2 -3],[4 5 3])

３．
BA=([3 0],[-1 5],[-1 -1])
AC=([-1 -1 4],[1 -2 5])
BC=([1 -2 5],[-3 -1 0],[-1 1 -2])
CB=([2 -6],[3 -4])

４．
（１）
([2 1],[0 2])（([1 0 -3 2],[1 2 0 1])-([-3 0 1 4],[-1 2 0 3])）
=([2 1],[0 2])([4 0 -4 -2],[2 0 0 -2])
=([10 0 -8 -6],[4 0 0 -4])

([2 1],[0 2])（([1 0 -3 2],[1 2 0 1])-([-3 0 1 4],[-1 2 0 3])）
=([2 1],[0 2])([1 0 -3 2],[1 2 0 1])-([2 1],[0 2])([-3 0 1 4],[-1 2 0 3])
=([3 2 -6 5],[2 4 0 2])-([-7 2 2 11],[-2 4 0 6])
=([10 0 -8 -6],[4 0 0 -4])

（２）
([-3 4 0],[3 5 1])([2],[1],[1])+([3 -5 1],[0 -1 2])([2],[1],[1])
=([0 -1 1],[3 4 3])([2],[1],[1])
=([0],[13])

([-3 4 0],[3 5 1])([2],[1],[1])+([3 -5 1],[0 -1 2])([2],[1],[1])
=([-2],[12])+([2],[1])
=([0],[13])

あーつかれてきたなあ

kumo17さん乙です(*･∪･*)ノ〃
ところで、あたしはどうやら数学だめぽなので
英語やってもよろしいでしょうか？(´･ω･`)

おう、やれいやれい

とりあえず和訳用
◆時制
�@Water boils at a temperature of 100 degrees centigrade.

�AWhen I reach retirement age next year,I will have worked for the college for thirty years.

�BI had got home before it began to rain.

て書き残してゆきます。
あした答えと助動詞の問題を書き込みますね(´∀｀)

５．
t(AB)=t（([1 -3 1],[2 1 2])([1],[2],[1])）=t([-4],[6])=([-4 6])
t(AB)=tAtB=([1 2 1])([1 2],[-3 1],[1 2])=([-4 6])

６．
A^2-6A+5I=(A-5I)(A-I)
=([-3 3 0],[1 -1 1],[2 0 -4])([1 3 0],[1 3 1],[2 0 0])=([0 0 3],[2 0 -1],[-6 6 0])

>>39
和訳は簡単だがこういう文章作れるようになったら対したもんだなあ

>>40 L3
× tAtB
○ tBtA

>>41
あたしも英訳の方が苦手です…
でも東北大に行きたいとかほざくくらいですから(´∀`；)
がんがります(笑

東北の英語は選択が多かったきがす

７．
AB=([a13 a12 a11],[a23 a22 a21],[a33 a32 a31])
AC=([a11 a12 ka13],[a21 a22 ka23],[a31 a32 ka33])
AD=([a11+ka12 a12 a13],[a21+ka22 a22 a23],[a31+ka32 a32 a33])
DA=([a11 a12 a13],[ka11+a21 ka12+a22 ka13+a23],[a31 a32 a33])
CA=([a11 a12 a13],[a21 a22 a23],[ka31 ka32 ka33])
BA=([a31 a32 a33],[a21 a22 a23],[a11 a21 a13])

８．
（１）
tA=([a1↑],[a2↑],・・・,[an↑])
（２）
BA=([Σb[1,k]a[k,1] Σb[1,k]a[k,2] ・・・ Σb[1,k]a[k,n]],
[Σb[2,k]a[k,1] Σb[2,k]a[k,2] ・・・ Σb[2,k]a[k,n]],
・・・
[Σb[n,k]a[k,1] Σb[n,k]a[k,n] ・・・ Σb[n,k]a[n,1]])
Ba1↑=([Σb[1,k]a[k,1]],
[Σb[2,k]a[k,1]],
・・・
[Σb[3,k]a[k,1]])
・・・
Ban↑=([Σb[1,k]a[k,n]],
[Σb[2,k]a[k,n]],
・・・
[Σb[3,k]a[k,n]])
∴BA=[Ba1↑ Ba2↑ ・・・ Ban↑]

９．
([0 0 0 1],[1 0 0 0],[0 1 0 0],[0 0 1 0])

１．B
１．
Aを小行列に分解しA=([α 0],[0 1])にする。α=([1 2],[2 4])
X=([p q],[r s])とかくと、AX=([αp αq],[r s])=0よりr=s=0
p=([p11 p12],[p21 p22]) 　q=([q1],[q2]) とかいて
αp=([p11+2p21 p12+2p22],[2p11+4p21 2p12+4p22])=0
αq=([q1+2q2],[2q1+4q2])=0
ここでp11=2k,p12=2l,q1=2mとかけば、
X=(2k 2l 2m],[-k -l -m],[0 0 0])
つぎに
Y=([p q],[r s])とかくと、q=s=0、pα=0、rα=0を得。
p11=-2p12=2k、p21=-2p22=2l、r1=-2r2=2mとかいて、
Y=([2k -k 0],[2l -l 0],[2m -m 0])

あぼーん

２．
（１）（２）明白
（３）
U^1=Σa[i,j]I[i,j] (j-i=1のときa[i,j]=1、それ以外0)
U^2=(Σa[i,j]I[i,j])(I[1,2]+I[2,3]+・・・+I[n-1,n])=a[1,2]I[1,2]I[2,3]+a[2,3]I[2,3]I[3,4]+・・・=a[1,2]I[1,3]+a[2,3]I[2,4]+・・・=I[1,3]+I[2,4]+・・・
U^k=I[1,1+k]+I[2,2+k]+・・・+I[n-k,n]
∴U^n=0

３．
（１）明白
（２）
C=ABとするとC=[c[i,j]]=[Σa[i,k]b[k,j]]、
A、Bは上三角行列であるから
A=[a[i,j]](i>j→a[i,j]=0)
B=[b[i,j]](i>j→a[i,j]=0)
＜１＞i>jのとき
i>k>jならばa[i,k]=0、b[k,j]=0→c[i,j]=0
k>j>iならばb[k,j]=0→c[i,j]=0
i>j>kならばa[i,k]=0→c[i,j]=0
＜２＞i=jのとき
i=j>kならばa[ik]=0→c[i,j]=0
k>i=jならばb[k,j]=0→c[i,j]=0
i=j=kならばa[i,k]≠0、b[k,j]≠0→c[i,j]≠0
＜３＞i<jのとき
i<k<jならばa[i,j]≠0、b[k,j]≠0→c[i,j]≠0
以下確認不要でC=[c[i,j]]は上三角行列

４．
t(AtA)=t(tA)tA=AtA
t(tAA)=tAt(tA)=tAA
よってAtA、tAAどちらも対称行列。

>>42
お前邪魔。
その程度の英語で東北行けるワケねーだろ。
あと問題集の文章転載は違法行為だからやめとけ。

>>50　は４．じゃなくて５．（１）

改めて４．
（１）
(A-B)(A+B)=A^2-B^2はAB=BAのときのみ成立
（２）
(AB)^m=(A^m)(B^m)はm=1またはAB=BAのとき成立
（３）
演習１．Bの問題１．が反例

５．（２）
A=-tAであるから
A^2=(-tA)(-tA)=t(AA)=t(A^2)でA^2は対称行列

６．
求める行列をB=[b[i,j]]とする
ABの成分とBAの成分をすべて書き下し、
i=jのときaib[i,i]=aib[i,i]
i≠jのときa1b[1,2]=a2b[1,2]だからb[1,2]=0、以下順次b[i,j]=0（i≠j）
bi=b[i,i]とかくと
B=([b1 0 0],[0 b2 0],[0 0 b3])

７．
ABが対角行列ならば、t(AB)=ABであるから、
AB=t(AB)=tBtA=BA

８．
a[i,j]がすべてk(>0)であるとき、すべてのi,jについてb[i,j]=1である行列Bを考えると、
A=kB
(kB)^2=n(k^2)Bとなり順次、B^m=n^(m-1)B
よってA^m=(k^m)B^m=(k^m){n^(m-1)}B
従ってB^mの各要素は(k^m){n^(m-1)}、
a[i,j]の絶対値がすべてk以下であるならば、B^mの各要素は(k^m){n^(m-1)}を超えない。

９．
（１）（３）はベクトル空間である。
（２）は任意のf(x)に対してf(x)+g(x)=0となるg(x)が存在しないためベクトル空間ではない。

６．（２）をとばしてた・・・
（１）の結論より求める行列は対角行列であるからこれを
B=([b1 0 0],[0 b2 0],[0 0 b3])とする
（１）同様にABとBAの全成分を書き下し、b1=b2=b3を得。
よって求める行列はbを任意の実数としB=bI(Iは単位行列)である。

２．１　ベクトルの１次独立１次従属
問１
ともに一次独立

問２
a↑=0のときca↑=0を満たすcは無数に存在する
a↑≠0のときca↑=0を満たすcはc=0のみ

問３
Σckek↑=([c1],[c2],・・・,[cn])=0のときc1=c2=・・・=cn=0

問４
a1,a2,・・・,a_nが一次独立のとき、a1,a2,・・・,a_(n-1)も一次独立である

問５
定理２．１の対偶じゃん

kumo
ってメンヘルサロンにもいるんだなw

>>58どこからきたの？ヒキ板？

問６
（１）
a_2=0a_1
a_1とa_3は一次独立
a_4=2a_1-3a_3
→２個

（２）
a_1とa_2は一次独立
a_3=a_1+a_2
a_4=2a_1+a_2
a_1とa_2とa_5は一次独立
→３個

頭いい人うらやましい。
努力で数学できるようになるのかな？

人生相談^^
もう飽きたけど

>>62何歳の方ですか？

今日はいまいち勉強のノリがわるくて、ついつい人生相談板でクソレスつけてしまう。。。

中3のレスでさめた。

>>63
ん？
なぜ年齢を聞くんだ？www

問１
a,b∈W
b=0のとき
μa+λb=μa∈W
であるからゼロベクトルが含まれる

問２
たとえばa=([1 0])、b=([3 -1])とすると、a,b∈Wだが
a+b=([4 -1])でありWに含まれないので部分空間ではない

>>67から ２．２ 部分空間の 単元

なあkumo、扇の面積を求める公式覚えて無いか?
知ってたら教えてよ

(1/2)(r^2)θだろ・・・

それ二分の一のπR二乗って意味？

θが０からπまで動くとき（半円）だとそうだ。

厨房でならったのにθはなかったはずだ。
θなしVer.の公式頼むorz

（πR^2）（中心角/360ﾟ)ってやつか

それだ!!
ありがとう

問３
標準基底の一次結合より生成された部分空間はUnに一致する。
このなかからn+1個のベクトルを選べば一次従属であるから、
dimUn=n

２．３ 行列の階数
問１
m行の行列Aにおいてその行ベクトルをa1,a2,・・・,amとすると、Aの階数はたかだかmである。
またakの次元はnであるから、Aの階数はたかだかnであるともいえる。

a1'=ka1(k≠0)とする
Σciai=c1a1+c2a2+・・・=(c1/k)a1'+c2a2+・・・
となりa1+a2+・・・の生成する部分空間とa1'+a2+・・・の生成する部分空間が一致する

>>78は問２
a1+a2+・・・、a1'+a2+・・・の部分はa1,a1,・・・、a1',a2,・・・の間違い

問３
([1 -1 3],[3 0 4],[2 -5 11])
↓
([3 0 4],[-2 2 -6],[2 -5 11])
↓
([3 0 4],[0 3 5],[2 -5 11])
↓
([6 0 8],[0 3 5],[-6 15 -33])
↓
([6 0 8],[0 3 5],[0 15 -25])
↓
([6 0 8],[0 15 25],[0 15 -25])
↓
([6 0 8],[0 15 25],[0 0 50])

階数は３

（２）
([0 1 2 -1],[2 -1 3 2],[1 2 0 1])
↓
([1 2 0 1],[0 1 2 -1],[2 -1 3 2])
↓
([1 2 0 1],[0 1 2 -1],[0 5 -3 0])
↓
([1 2 0 1],[0 5 10 -5],[0 5 -3 0])
↓
([1 2 0 1],[0 5 10 -5],[0 0 13 -5])

階数３

２．４　連立一次方程式
問１
([1 1 1],[2 2 2])([x1],[x2],[x3])=0
([1 1 1],[2 2 2])の階数は１であるから、解ベクトルの部分空間は２次元
x↑=λ1([1 0 -1]) + λ2([0 1 -1])

問３
Ax↑=b↑に解が存在するならば、
b↑はa1↑,a2↑,・・・,an↑の一次結合でかける
また、a1↑,a2↑,・・・,an↑の生成する部分空間とa1↑,a2↑,・・・,an↑,b↑の生成する部分空間が一致するならば、
r(A)=r([A b↑])であるからAx↑=b↑に解が存在する。

演習問題　２．１　Ａ
１．（１）
ai=0だから任意のciについてciai=0となるから一次従属
（２）
ciai-ciaj=0だから一次従属
（３）
Unから選べる一次独立なベクトルの最大個数はnだからmがnを超えるときは一次従属

２．２
([2 -1 1 0],[-1 1 0 1],[4 -1 3 11],[-2 3 1 1])
↓
([2 -1 1 3],[0 2 2 4],[0 5 5 13],[0 1 1 -1])
↓
([2 -1 1 3],[0 2 2 4],[0 0 0 18],[0 0 0 6])

３次元

もっと一般性のある問題がいいなあ
計算だけなんてﾏｾﾏﾃｨｶでも解けるし

俺も必死でちょう簡単なテキスト探してきたんだよ
難しいこと言うな

>>85 L2
× ([2 -1 1 0],・・・
○ ([2 -1 1 3],・・・

３．
c1a1+c2a2+c3a3=([c1],[c2],[c3])=0のときc1=c2=c3だから一次独立
(a1,a2,a3)=([1 2 4],[2 3 1],[-1 1 12])
↓
([1 2 4],[0 5 25],[0 3 16])
↓
([1 2 4],[0 3 15],[0 0 1])
a1,a2,a3は一次独立
e1=7a1-5e2+a3
e2=-4a1+(16/5)a2-(3/5)a3
e3=-2a1+(7/5)a2-(1/5)a3

計算過程だけじゃなくてさ
解説もつけてほしい

　　　　　　

Ｎｅｅｔ様。（kumo17 ◆yTRSIOLUK. ）
私が高校英語の和訳問題を晒し上げしますので、数学ばかりでも
なんですから気分治しにでも
やりたい方はどうぞ勝手に
やってくださいまし。なお、抽出先は言えません。
あしからず・・・。
１．次の文を５文型（ＳＶＯＣＭ）に分けて、和訳せよ。

1. Some roses in the garden will bloom in early summer.
2. The tourists will stay in Japan for a week.
3. There stands an old castle on the hill.
4. The grapes on the dish taste sour.
5. The birds in the cage are canaries.

6. We grow roses in the garden.
7. He discussed his plans with his father.
8. He showed me his new camera.
9. My mother made me a dress for my birthday present.
10. He made her his secretary.
11. Let me introduce my brother to you.

ﾏｾﾏﾃｨｶを手に入れました

なんか、英語入った途端一気に過疎ったな