★☆東京理科大学数学科☆★
187 ：明星大理工：
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（幾何）
①凸四角形ABCDの対角線の交点をＥとすれば
Ａ,Ｂを焦点としＥを通る楕円と、C,Dを焦点としＥを通る楕円は
互いに接することを示せ。
（線形代数）
②ｋ個のn次正方行列A_1, A_2,・・・,A_k がA_1*A_2*・・・*A_k=Ｏ
を満たしているとき
rankA_1+rankA_2+・・・+rankA_k≦(k-1)n
が成り立つことを示せ。
（代数）
③(2^n -1)/nが整数となるnを全て求めよ。また、その理由を示せ。
④f(X)=X^(p-1) -X^(p-2) +-+・・・-X +1（p:素数＞2）は
有理数体Ｑ上で既約であることを示せ。
（微積）
⑤x,yの全ての実数値に対して
f(x+y)=f(x)f(y)
を満足する連続関数fを全て求めよ。
⑥微分可能な関数ｚ＝ｆ（x,y）を極座標変換したとき
√｛1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2｝をr,θ,φ,∂r/∂θ,∂r/∂φを用いて表せ。
⑦F(t)=∫［0,π］log(1-2tcosx+t^2)dxとする。
(1)F(t^2)=2F(t)を示せ。
(2)F(t)を求めよ。
（幾何）
①凸四角形ABCDの対角線の交点をＥとすれば
Ａ,Ｂを焦点としＥを通る楕円と、C,Dを焦点としＥを通る楕円は
互いに接することを示せ。
（線形代数）
②ｋ個のn次正方行列A_1, A_2,・・・,A_k がA_1*A_2*・・・*A_k=Ｏ
を満たしているとき
rankA_1+rankA_2+・・・+rankA_k≦(k-1)n
が成り立つことを示せ。
（代数）
③(2^n -1)/nが整数となるnを全て求めよ。また、その理由を示せ。
④f(X)=X^(p-1) -X^(p-2) +-+・・・-X +1（p:素数＞2）は
有理数体Ｑ上で既約であることを示せ。
（微積）
⑤x,yの全ての実数値に対して
f(x+y)=f(x)f(y)
を満足する連続関数fを全て求めよ。
⑥微分可能な関数ｚ＝ｆ（x,y）を極座標変換したとき
√｛1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2｝をr,θ,φ,∂r/∂θ,∂r/∂φを用いて表せ。
⑦F(t)=∫［0,π］log(1-2tcosx+t^2)dxとする。
(1)F(t^2)=2F(t)を示せ。
(2)F(t)を求めよ。
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