◆ わからない問題はここに書いてね ７ ◆
286 ：１３２人目の素数さん：
θをn次代数的数とします。K = Q(θ)は 1,θ,…,θ^{n-1} によって、
K∋∀α = c_{0} + c_{1}θ + … + c_{n-1}θ^{n-1} (c_{i}∈Q)
と一意に表せます。θの最小多項式は相異なるn個の根 θ_{1},…,θ_{n}
を持ち、これらをθの共役といいます。そして
σ_{i}(α) = c_{0} + c_{1}θ_{i} + … + c_{n-1}(θ_{i})^{n-1} (1≦i≦n)
をαのKにおける共役といいます。Kから代数的数全体への同型写像は
σ_{i} (1≦i≦n) で与えられ、その個数はn個です。
ここまではいい（同型性はフツーに準同型性+全単射性で示せました）
のですが、ここから先がピンときません。
K = Q(θ)がθのすべての共役を含む時、各σ_{i}はKの自己同型となる。
αの次数mはnを割り切る。そして、αの共役は{σ_{1}(α), … ,σ_{n}(α)}
の中にピッタリn/m個ずつ現れる。
長くなってしまいましたが、ご指導よろしくお願いします。
K∋∀α = c_{0} + c_{1}θ + … + c_{n-1}θ^{n-1} (c_{i}∈Q)
と一意に表せます。θの最小多項式は相異なるn個の根 θ_{1},…,θ_{n}
を持ち、これらをθの共役といいます。そして
σ_{i}(α) = c_{0} + c_{1}θ_{i} + … + c_{n-1}(θ_{i})^{n-1} (1≦i≦n)
をαのKにおける共役といいます。Kから代数的数全体への同型写像は
σ_{i} (1≦i≦n) で与えられ、その個数はn個です。
ここまではいい（同型性はフツーに準同型性+全単射性で示せました）
のですが、ここから先がピンときません。
K = Q(θ)がθのすべての共役を含む時、各σ_{i}はKの自己同型となる。
αの次数mはnを割り切る。そして、αの共役は{σ_{1}(α), … ,σ_{n}(α)}
の中にピッタリn/m個ずつ現れる。
長くなってしまいましたが、ご指導よろしくお願いします。
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