天才中学生の俺を試して下さい。

問題。というか質問です。
切符の４桁の数字でよくやるやつ。

与えられた４つの数字(０〜９)を１回ずつ使って１０を作ってください。
四則演算のみ（括弧はＯＫ）、数字の使用順序は問わず、各数字を１回ずつ使うものとします。

例えば、(1,4,7,8)なら
7+8-1-4=10、(1+7)/4+8=10、8/4+1+7=10の３通りあります。
(9,9,9,9)なら
(9*9+9)/9=10の１通り。

では、(1,1,5,8)ならどうでしょうか。

最後の１行の問題は天才中学生さん向きの問題として置いておきます。
結論から言うと１通りあります。

この時、一般に整数の組(a,b,c,d) (0≦a≦b≦c≦d≦9)が与えられたとき、上の条件のもとで
・１０(…でなくてもいいですが)を作る数式が何通りあるか
・その具体的な数式(上のa=1,b=4,c=7,d=8の例の場合、c+d-a-b,(a+c)/b+d,d/b+a+cの３つ)を導く
といったことをうまく考える方法はあるでしょうか。
何通りあるかをa,b,c,dの関数として数式化できるでしょうか。。。

例えば、
(0,0,0,0),(0,0,0,1),……,(9,9,9,9) (a≦b≦c≦d)の中で
１通りしかないものがいくつあるか、エレガントに解く方法があるでしょうか。
（経験的には１００ちょっとだと思います）

もちろん、プログラムを使って網羅的方法で解を得ることはできますが…、
エレガントな方法があればご教授いただきたいです。

天才中学生的アプローチ、大学数学的アプローチ、双方お待ちしております。