天才中学生の俺を試して下さい。

>>440
ついでの問題の解をひとつ紹介しましょう。
ab+bc+ca+abc=4
より、c=(4-ab)/(a+b+ab).　これを
a+b+c-(ab+bc+ca)に代入すると
a+b+c-(ab+bc+ca)はつぎの２通りに表せる。a+b+c-(ab+bc+ca)=1/(a+b+ab)*[(a+b-2)^2-ab(a-1)(b-1)] (1)
a+b+c-(ab+bc+ca)=1/(a+b+ab)*[(a-b)^2+(4-ab)(a-1)(b-1)] (2)(a-1)(b-1)<0 のときは(1)式から,(a-1)(b-1)>=0のときは(2)式から
それぞれ a+b+c-(ab+bc+ca)>=0 が得られる。
等号が成り立つのは a=b=c=1 または　a,b,cの内１つが0で残りが2のとき。

２通りに表すところがかっこいいでしょ。
別解を考えてみてください。

ところで、この問題の結果をつかって

a≧0,b≧0,c≧0,d≧0
2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16 のとき
a+b+c+d≧2/3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)であることを証明せよ。

という問題も解けることが最近分かりました。
誰かさんが「この問題ができれば少なくとも数学者になれる」という
「なぞ」のような言葉と共に出題していた問題で、この数週間（数ヶ月？）
私の頭を悩ましていたものです。