天才中学生の俺を試して下さい。

S: 局所コンパクト
S': Hausdorff
f: S→S' : 連続全単射

xをSの任意の点とし、Mをxのコンパクトな近傍とする。
fをMに制限した写像で終集合をf(M)にした f|M: M→f(M)
はコンパクト空間からHausdorff空間への連続全単射だから、
Mからf(M)への同相写像。

xの任意の近傍Vに対して、V'=V ∩ M は x の近傍であり、
V' ⊂ M であるから、f(V') はf(x)の近傍。
f(V')⊂f(V)であるから、f(V)もf(x)の近傍となる。
よって、f^{-1}は連続写像になり、fは同相写像となる。

変なとこあるかな？