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あと一番最初に質問したp51の2行目に関してですが、
もし1行手前まで掃出しが完了して、
(m-1,n-1)型の標準形ができたとしたら、
m行目とn列目にいくら数字が残っていても、
(m,1)成分は(1,1)成分を使えば、0にできる。
(m,2)成分は(2,2)成分を使えば、0にできる。
・・・
というようにして、m行目も、左から順に0にしていくことができるはずで、
最終的にn列目だけ数字を残して、
あとは(m,n)成分を割り算して1にしたあとで、
これを使ってn列目の成分を上から順に0にしていけるはず。
だから、要するに「1歩手前までできていれば、次もできるはず」ってことで、
1行目と1列目に関しては必ず掃出しできるから、
結局いつでもできる。
っていう風に思ったのですが、どうでしょうか？
何かおかしいところがあれば、指摘してください。