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あと、自分では理解したつもりで、確認したいことがあるので、
それも書かせてください。

p49の14行目
(Q^(-1)XP^(-1))(PAQ)=Eであるから、
と唐突に書かれているのですが、
これは、証明したい命題が
「n次正方行列Aに対し、XA=Eとなるn次行列Xが存在すれば、Aは正則である。」ということだから、
とりあえず前提としてXA=Eは成り立つとして、（というか、そのようなXを用いて）
その上で帰納法の仮定((n-1)次の時命題が真）を行って、
その時、Aが正則と言えるかどうかを調べている。
ってことで間違ってないでしょうか？