面白い問題教えて

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588どぱきのん
ビリヤードの球(1〜15)から5つを数珠状に並べる。隣り合う1〜5個の球
を取り出したときの和で1から21がすべて作れるような並べ方は?
答えはしらみつぶしでわかるんですけど、考え方を知りたいです。

あと、n個の球で数珠を作るとき和がn^2 -n +1になるような並べ方が必ずある
ような気がするんですけど、証明してくれる人いませんか?