１−１＋１−１＋１−１＋１−１＋・・・

（１−１）＋（１−１）＋（１−１）＋（１−１）＋・・・ってすると０

１−（１−１）−（１−１）−（１−１）−・・・ってすると１

初項１、項比−１の等比級数とすると１／（１−（−１））＝１／２

＋１の前に＋ｐ−ｐ（ｐは任意の数）を追加すると

＋ｐ−ｐ＋１−１＋ｐ−ｐ＋１−１＋ｐ−ｐ＋１−１＋ｐ−ｐ＋・・・
＝＋ｐ＋（−ｐ＋１−１＋ｐ）＋（−ｐ＋１−１＋ｐ）＋（−ｐ＋１−１＋ｐ）＋・・・
＝＋ｐ

つまり、この級数は和の取り方次第でどんな数だってなれます。

条件収束級数は、項の順序を並べ替えて、
任意の値（±∞も含む）に収束させることが出来る

>>1
等比級数って、等比数列a[n]=a[0]r^(n-1)の和ってやつでしょ？
r=-1の時って、安易に公式使っちゃ駄目なような気がしないでもない。

収束しないだけ。1と０が交互に現れるだけの数列。
極限は存在しない。

違う演算に対して違う結果がでるだけのこと。

ボレル総和法で計算すると1/2。
リーマンの並べ替え定理を知ってる人には、不思議でもなんでもない現象。

ニウトンは1/2と言っていたと
聞いたことがあるなあ

>>2

何気に関係ない

1-1+1-1+1-1+1-1+・・・＝1/2
1-2+3-4+5-6+7-8+・・・＝1/4
1-3+6-10+15-21+28-36+・・・＝1/8

簡単かもしれないけど、こないだこんなこと気づいたよ。

1/2+1/3+1/4+1/5+･･････
という級数は、適当に項を選んで好きな正の実数にできる。

例）1/2+1/4+1/8+･･････ = 1

quite trivial > 10

>>9 とかはオイラー変換で計算すると
有限項で答えがでてしまうの知ってた？

ところで最強の総和法てなんだっけ。

アーベルの総和法で和をもてば，
オイラー変換で求まるって
言えるよね。

等比級数の和の公式は、収束する場合に限って使える。

だから、１＋１−１＋１−１＋１−１＋１−１・・・　には使えないよん。

１＋２＋４＋８＋１６＋・・・・に公式を当てはめても無意味なのと一緒。

↑子供はもう寝る時間だよ。

振動ですか

ってか、ほんとに1/2になるか？
（-１）^n　が０になっちゃってるようにみえんだけど。
振動して極限値無し、が答えでねえの？

>>17
ネタだよ。

提案：
こっから先は総和法のスレにしましょう。

ところで，ボレル総和可能でアーベル総和可能でない例
だれか教えてください。

自分で数えるべし!!

>2>6
条件収束してないだろうが

>>14 >>16-17 >>21
お前ら数学辞典の級数の項目最後まで読んで
「総和法」の意味を覚えてこい。
書き込むのはそれからだ。

おまえこそ権威に頼って
収束の意味がわかってんのけ

↑ダメだこりゃ。

自分の知らないことに興味もって
学んでみようという意欲のないやつは
本当にダメだね。

>>21 >>23
生き恥晒してますね。

知らなくても空気が読めれば
ふつうこういう態度に出んわな。
「何だろう」と思って調べてみるか
訊いてくるのが正常だろう。

もしかして今井じゃないか？

>>27
新しい悪口だな。
おまえ、今井だろ？
類似形がいっぱい作れそうだ。

>>19
ボレル総和法は知りませんが，
オイラー変換のプログラムで

1-2+2^2+2^3-・・・＝1/3

がでました。
これはアーベル総和法では和をもたないはずですね。
オイラー変換はアーベル総和法より強いということかな。
ボレル総和法はたぶん同じ和をもつと思いますが
もうちょっと調べてみます。

>>29
オイラー変換のプログラム持ってんだったら
1/log2-1/log3+1/log4-1/log5+・・・
の値おしえてください。

>>22
収束はしていない。総和法は関係ない。

>>30
1/log2-1/log3+1/log4-1/log5+・・・＝0.9242998972229

になりました。ついでに

log2-log3+log4-log5+・・・＝0.2257913526447

となります。

あんたみたいなまともな人がいてよかった
25,26,27ってほんとのアホ

収束もわかってないくせに
総和法なんて100年はやいね

S=a/(1-r)の公式は、
項比　-1<r<1の場合に限って使える、という前提条件があります。

項比=-1の数列に適用してはいけません。

26って
死に恥さらしてるな

総和法って
解析接続とどこが違うの？

>>37
背景は解析接続ですね。
オイラー変換やオイラー・マクローリンの公式が
もとの級数の収束域外で収束したとき，
その和は解析接続の値になります。
このことを利用してゼータ関数などの値の計算に
有効となります。

>>29
＞オイラー変換のプログラム
なかなか面白いね。ちょうだい！

>>39
これだけです。コピペして使ってください。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define N 100

double f(int n) { return 1./log(n+2) ; }

int main(int argc, char* argv[]) {
int k=0,i,j;
double s=0,w=1,a[N+1],ds,eps=3e-15;
if(argc>1)k=atoi(argv[1]);
for(i=0; i<N; i++) { a[i]=f(i+k);
for(j=i; j>0; j--) a[j-1]-=a[j];
s+=ds=a[0]*(w*=.5); if(fabs(ds)<eps) break;
printf("%3d: %17.13lf %17.13lf\n",k+i,s,ds); }
for(i=k-1; i>=0; i--) s=f(i)-s;
printf("\nSUM = %.13lf\n",s);
}

和　Σ[n=0,∞](-1)^n f[n] をオイラー変換で計算します。
パラメタなしの場合は全体をオイラー変換で計算します。
整数 k を１個パラメタとして与えると
最初の k項は普通に足し算し，その後の項からオイラー変換します。
収束級数の場合は k=10〜20, 発散級数の場合は k=0 （パラメタなし）
でやるのがベターのようです。

>>40
Cですか？
Cは持ってないんですけど・・・

石黒一男「発散級数論」森北出版1977

総和法はこの本が詳しい。
フーリエ変換との関連もきっちり説明してあるので
お勧めです。

LSI C-86, LSI C-86 v3.30c 試食版 400K 1993.8.23
http://www.vector.co.jp/soft/maker/lsi/se001169.html?y

Bloodshed Dev-C++
すこしでかいけど，なかなかいいです。

http://www.simtel.net/pub/dl/17456.html

>>42 絶版みたいです。
http://shopping.yahoo.co.jp/shop?d=jb&id=04286767

>>38
そうですか
しかし，数学辞典の記述からは
そうは読めないけれど

極限と解析接続はどう違うのですか
アーベルやらチェザロやらの和は
極限ですよね
解析接続って極限で解釈できるのですか

解析接続とは，正則関数なら，複素数平面のある領域で
決まれば，複素数全体で決まるってこと。
だから級数が収束する領域で等しければ，
もうちょっと広い領域で定義された極限においても
等しくなる・・・・というようなところかな。
とくに四則演算や初等関数は解析的だから，もっと広い領域で
収束するような計算法で計算しても，
もとの級数の解析接続がつかまるといったことか・・・
フンイキわかるかな。

>>48
領域がつながっていないのに極限とれるのですか
アーベルの総和だったら収束円の円周には
内からちかづけるけど，それより外は無理でしょう．
解析接続ってそこまでいくんでは

オイラー変換だともう少し外まで求まります。

オイラー変換って
オイラーの総和法とおんなじなの？

オイラー変換も数学辞典の級数の項目に書いてあります。
ここでは交代級数の計算法のひとつとしてのってますが，
収束範囲が元の級数よりかなり大きくなるので
総和法のひとつと考えることもできます。
「オイラーの総和法」というのものってましたが，
これが「オイラー変換」とどういう関係なのかは，
これから少し調べてみます。
これが

まじめな雰囲気に戻ってたいへんよいですネ
ひとつの大きな疑問はゼータを使って
1+2+3+...=-1/2
というのは確かにわかりますが，それは総和法なのかどうか
いや，総和法でもいいんですが，数学辞典の扱っている
「線形変換によって統一的に」論じられる範囲に入っているのか
ということです．

1+2+3+...=-1/2　について，
はゼータのディリクレ級数に対して
オイラー・マクローリンの公式の項数
をふやせば確かに求まりますが・・・
総和法の範疇にはいるかどうかは定かでない・・・

オイラー・マクローリンの公式って
収束するのですか
有限項打ち切りで精度はいいが

そうですね。
オイラー・マクローリンの公式は
漸近級数なので「無限級数の和」
としては定義されませんね。
ただ，要求精度に対してもっとも適切な項数
を，打ち切り項の評価により見積もって
計算することにより，
任意の精度で近似値を求めることができます。

>56
なるほどね．そうだと思いました
勉強になります
22の態度とは雲泥の差です
比べては失礼でしたが

異なる総和法が異なる（有限の）和を与える例はあるか？
任意の総和法の間に強弱関係で決まる順序が
つけられるかどうか？
つまり総和法の強弱関係に関して
　　A　>　B、　A=B、　A　＜　B
のいずれかが必ず決まるか？

>>1
「零の発見」読んだ厨房なんだろうな…

>>59
なにそれ？
よむべきですか？

>>60
岩波文庫の「零の発見」（吉田洋一）って本に似たような話が紹介されてるんだわ。
引用してみる。

-----------
（１−１）＋（１−１）＋（１−１）＋……
と括弧をつけて考えれば
０＋０＋０＋…
となるから、この級数の部分和の系列は
０，０，０，……
であって、したがって級数の和は０ということになる。ところがまた同じ級数を
１＋（−１＋１）＋（−１＋１）＋…
と書きなおせば、すなわち
１＋０＋０＋……
であるから、部分和の系列は
１，１，１，
であって、したがって級数の和は１にひとしい。してみると、和が０である
ような級数を書きなおすと、和が１であるような級数が生まれてくるという
ので、これで万物から無がつくられた消息がよくわかる、といって、随喜の
涙を流した数学者もあった、という話が伝わっているのである。
　今から考えると、ただ滑稽というよりほかないが、…
---------
「零の発見」p.70〜より。

すまん。岩波文庫じゃなく岩波新書。

これ書き忘れちゃいかんな。「零の発見」自体は極めてまともな本。

みんなが真面目な話をしている間、総和法と等比級数の和の公式の区別がついてない
ドキュソが興奮しまくって自作自演で煽り続けてたってワケか。すごい。

>>64
なんのことだ．説明して．

>>53,54
1+2+3+...=-1/2ではなくて
1+2+3+...=-1/12でしょ。

そうです

1^2+2^2+3^2+・・・＝0
のほうがインパクト強くない？

＞1+2+3+...=-1/12
＞1^2+2^2+3^2+・・・＝0

素人なので、激しく疑問あり。
無限級数なのに発散しないの？

どっかのスレで単発質問されてた
1^1+2^2+3^3+4^4+5^5+…はどうなるんだろ

初歩的な話やの〜。
a+(b+c)=(a+b)+c とか　a+b=b+a
が成り立つのはあくまで有限個の数の話。
無限個の場合にも成り立つなんて、勝手に思っただけでしょ。
無限は手強いよ。

通りすがりのくせに終ったスレ掘り出してくるなよ

>>10
>1/2+1/3+1/4+1/5+･･････
>という級数は、適当に項を選んで好きな正の実数にできる。
>例）1/2+1/4+1/8+･･････ = 1

√2，π，exp(1)などはどう選べばいいですか？

ここに書き込む奴，過去のレス全部よんでからにしろよ．

>>73
何でもいっしょだ。
その実数を超えない範囲でどんどん足していけばいい。
足して超えるならその項はすてる。

>>73
>1にやりかた書いてあるよ。

73の聞いてるのと1は違うと思うけどなぁ…

あ、ほんとだ。スマソ。

あっ、そう。

なんだ　かしみーるこうか　って

↑すごい勢いで、ある時期にはやったスレッドばかりageてるね。キミ。

>>81
今回のage荒らしは糞スレage率が少なめなのが救いだな

>>1
ふーん。どんな実数rに対しても1-1+1-1+1-1+1-1+....＝ｒっつー屁理屈はつけられるのか。
rが有理数のときの屁理屈は考えてたけど、不思議太郎さんみたいにきれいなやり方は思いつかなかったよー

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>>81
かしみーるこうかってなにage

1+2+3+4+5+…=-1/12ってのは

1)まず1+2+3+…ってのをある関数にある値を入れた値で表す。（ここではf(s)=Σn^-sにs=-1を代入した値）
2)次にその関数を有限の値をとる所だけに制限しておく。
3)そして別の、どこでも有限の値を取り、なおかつ最初に与えた関数とちゃんと繋がる
（ここでの"ちゃんと繋がる"というのは"複素数全体で正則な関数に解析接続する"でいいですか？）
　関数を見つけてきて、それに最初の値、s=-1を入れると-1/12になる。

という解釈であってますか？

だとしたら上の(1)と(2)が出来る場合は必ず(3)が出来るのでしょうか？

おい！
【ＣＭ】だｺﾞﾙｧ!!
いつもは、話し合い、煽り合い、なじり合いしている俺たちだが、
ちょっくら、団結する時が来たようだ。

…え？
トーナメントだよ、トーナメント。
知ってるだろ？
数学板住人として、やっぱり予選ぐらい通過しておきたいと思わないか？
だってよぉ、俺たちは天才だぜ？
なんだ漢だ言って、算数・数学もできねぇ厨房に「ヲタ」扱いされて
狭い板の中で、縮こまってる場合じゃねーんだよ。

俺たちの頭の良さと、数学板の存在意義を賭けて、
4月30日のＡＭ0時〜PM23時の間に投票しようぜ。

な〜に、簡単なこった、投票板に行って、書き込みするだけだ。
めんどくさい事はない。

詳しくはココ↓でな。じゃ、待ってるぜ。
『２ｃｈ全板人気トーナメント』
http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1019912361/


********

　×××さんは、僕のことを

　１−１＋１−１＋１−１＋１−１＋・・・

　すき、きらい、すき、きらい、すき、きらい、すき、きらい、、、、

　＝ love

loveには縁が無いが、いずれは。

　　　

>>91
いずれは・・・そんなことを言っていてはいつまでも今のままです
何しろ無限級数ですからねぇ・・・

（１）０＋１＋２＋．．．

ｍを正の整数とする。
０以上の整数ｎに対してｋ（ｎ）を
ｍ（２＾ｋ（ｎ）−１）≦ｎ＜ｍ（２＾（ｋ（ｎ）＋１）−１）
となる整数とすると

　ｆ（ｘ）
＝�狽氏Eｘ＾ｋ（ｎ）
＝（３ｍ＾２／２）（１／（１−４ｘ））−（（２ｍ＾２＋ｍ）／２）（１／（１−２ｘ））。

ｆ（１）＝ｍ（ｍ＋１）／２。

（２）１＋１＋１＋．．．

　１＋ｘ＋ｘ＋ｘ＾２＋ｘ＾２＋ｘ＾２＋ｘ＾２＋．．．
＝１＋（２ｘ）＋（２ｘ）＾２＋．．．
＝１／（１−２ｘ）。

１／（１−２・１）＝−１。

　１＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＾２＋ｘ＾２＋ｘ＾２＋ｘ＾２＋．．．
＝１＋（３ｘ）＋（３ｘ）＾２＋．．．
＝１／（１−３ｘ）。

１／（１−３・１）＝−１／２。

　　　　　　　　　　　　　　ζ
　　　　　　　　　 ,,.-‐''""""'''ー-.､
　　　　　　　　,ｨ"　　　　　　　　　 ＼ 　　　やったオレ様が100ゲットだ！
　　　　 　 　 /　　　　　　　　　 　 　 `､ ボケ共がオレ様にひれ伏せ！！
　　　　　 　 ,illlllllllllll　　　　　　　　　 　i
　　　　　　r'-=ﾆ;'_ー-､___,,.ｨ‐‐-,,_　　_| >>101遅いんだよ、チンカス
　　　　 　 | r,i　　　~`'ー-l;l : : : `l-r'"ﾒ､ 　>>102アホすぎる、言葉もない。
　　　　　　ヾ､　　　　　　　`ー‐'": i!_,l_ノ` >>103人間辞めろ。
　　　　　　　|　　　　　　　　 ,:(,..､ ;:|/ 　>>104なにやってんだよ、この包茎ちんちん
　　　　　　　|　　　　　　　　,,,..lllllll,/ 　　>>105あらら、ご愁傷さま。死ね
　　　　　　 /　　`::;;.　　　'"`ﾆ二ｿ　　>>106うっさいハゲ。
　　　　　/7　　　　ﾞﾞ:`-､;:;:;;;:;:;:;;/ 　　　　　　>>107ビルから飛び降りて死ね
　　　,,.ィ"`:､　　　　　　　　"/;:`ｰ-:､.._ 　　>>108ネットワークすんなゴミが！。
　‐'":;:;:;:;:;:;:;:＼　　　. : :;: .　 ;/;:;:;:;:;:;:;:;:;:~`'''ー--:､,,_ >>109お前はクビを吊れ

　ζ
　　　　　　　　　 ,,.-‐''""""'''ー-.､
　　　　　　　　,ｨ"　　　　　　　　　 ＼ 　　　↑臭いインポデブが100ゲットだ！
　　　　 　 　 /　　　　　　　　　 　 　 `､ ボケデブがお前以外全員にひれ伏せ！！
　　　　　 　 ,illlllllllllll　　　　　　　　　 　i
　　　　　　r'-=ﾆ;'_ー-､___,,.ｨ‐‐-,,_　　_| >>100臭いんだよ、チンカス
　　　　 　 | r,i　　　~`'ー-l;l : : : `l-r'"ﾒ､ 　>>100童貞すぎる、言葉もない。
　　　　　　ヾ､　　　　　　　`ー‐'": i!_,l_ノ` >>100精神病院通うの辞めろ。
　　　　　　　|　　　　　　　　 ,:(,..､ ;:|/ 　>>100なにやってんだよ、この障害インポ
　　　　　　　|　　　　　　　　,,,..lllllll,/ 　　>>100あらら、ご愁傷さま。もう死んだか
　　　　　　 /　　`::;;.　　　'"`ﾆ二ｿ　　>>100うっさい悪臭臀部。
　　　　　/7　　　　ﾞﾞ:`-､;:;:;;;:;:;:;;/ 　　　　　　>>100ビルから飛び降りて下半身破裂
　　　,,.ィ"`:､　　　　　　　　"/;:`ｰ-:､.._ 　　>>100人間社会で生活すんな細菌が！。
　‐'":;:;:;:;:;:;:;:＼　　　. : :;: .　 ;/;:;:;:;:;:;:;:;:;:~`'''ー--:､,,_ >>100お前はコギャルに
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　リンチされて死ね

sin xの無限級数の導き方おしえてください！
テイラー級数についてもおしえてください！！

>>40ＶＢきぼんぬ上げ

カシミア効果（カシミール効果）

２つの板を非常に接近させると、
板に外側から力が加わるという効果。
真空のゆらぎを観測する実験として有名。
詳しいことは検索でもしてちょ。

sage

age

>>101
女性ホルモンの助けを借りなければ
こんな頭になってたかもね。すでに
てっぺんが少し薄くなっていたのだよ。

e＝2.7・・・って予想される数字でしょ。確実にその値になる
っていう証明はできるんですか

　　_, ._
（　ﾟ Дﾟ）

｛１＋（１÷ｎ）｝^ｎ

>>117は証明になっているのであろうか・・・

(1+1/n)^nはややこしいのでΣ1/n!を使いなされ。
あとは実数のコーシー列による定義を使えばよろし。

しかし「ある値に収束するんだろうなあ・・・その値をeっておこう」
ってことでしょ？
>>119の解答でﾎﾝﾄに収束するのを証明できるんですか

上に有界な単調増加列は収束する

んじゃ君にとっての「収束する事が証明された」とはどーゆー事か言ってみるとよろし。
もしくは実数の集合についてもっと勉強しなされ。

単調増加列なのはどうして分かるんですか？明らかなの？

Sn=1+…1/n!
S(n+1)-Sn=1/(n+1)!＞0

ついでに(1+1/n)^n=Σ1/n!（ｎ→∞）も分かり易く教えていただきたいんですが・・・

(1+1/n)^n=Σ1/n!（ｎ→∞）ならば
Sn=1+…1/n!のときS(n+1)-Sn＝｛1+1/(n＋1)｝^(n+1)-(1+1/n)^n
≠1/(n+1)!・・・？？？

極限が等しいからといって、一般項も等しいとは限らない。

じゃ、>>124は無効ということですね？

1/(n+1)!（n→∞）=0だし

exp(x)をマクローリン展開
exp(x)=Σ[n=0→∞]x^n/n!
exp(1)=Σ[n=0→∞]1/n!
exp(1)=e=lim[n→∞](1+1/n)^n
∴lim[n→∞](1+1/n)^n = Σ[n=0→∞]1/n!

松阪和夫氏の解析入門の86ページくらいに詳しく載ってます。
しっかり等式も示されてます。

（＾＾）

　　　　　　　

1と（-1）が交互に無限に足される数列である。

1は無限個存在する。-1は無限個存在する。

これらを分けてまとめて足すと

　　1+1+1+1+1+1+1+1+1・・・・・・・・　=　 ∞
+)-1-1-1-1-1-1-1-1-1・・・・・・・・　=　-∞
―――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0

微妙。高等数学は分からん。