嵐山勘三郎主催「数学セミナー上級篇」開始！！
1 ：嵐山勘三郎：
では開始！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
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2 get!
3 ：１３２人目の素数さん：2001/08/13(月) 13:36
複素数wが複素平面の4点1+i、-1+i、-1-i、1-iを頂点とする正方形を正の向きに１周するとき、z=e^（πw）で定義される複素数zの描く曲線をCとおく。次の問いに答えよ。
(i) Cの外形を描け。
(ii) 次の積分を求めよ。
∫c log z/（1+z^2)dz
∫c sin(πz)/（z*(1-z)^2)dz
(i) Cの外形を描け。
(ii) 次の積分を求めよ。
∫c log z/（1+z^2)dz
∫c sin(πz)/（z*(1-z)^2)dz
4 ：１３２人目の素数さん：2001/08/13(月) 13:51
4 get!
a(1),...,a(n)が自然数列であるとき、
この単調部分列で長さが √n 以上であるものが存在することを示せ。
ここで単調列とは単調増大列( i≦j => a(i)≦a(j) )もしくは
単調減少列( i≦j => a(i)≧a(j) )を意味するものとする。
この単調部分列で長さが √n 以上であるものが存在することを示せ。
ここで単調列とは単調増大列( i≦j => a(i)≦a(j) )もしくは
単調減少列( i≦j => a(i)≧a(j) )を意味するものとする。
6 ：１３２人目の素数さん：2001/08/13(月) 23:35
6 get!
7 ：１３２人目の素数さん：2001/08/14(火) 06:40
f(x)は閉区間[0 1]で連続とする
∫[0 1]f(x)dx=0 ∫[0 1]xf(x)dx = 1/4 であるとすれば
f(c)>1を満たすcが[0 1]に存在することを示せ。
8 ：尊師@お盆限定 ◆BI2EKkq.：2001/08/14(火) 10:07
尊師降臨！！
>>5
p(i)=「a(i)から始まる単調減少部分列たちの中で一番長いものの長さ」
q(i)=「a(i)から始まる単調増大部分列たちの中で一番長いものの長さ」
とおくと i<j に対し
a(i)≧a(j) なら p(i)>p(j)
a(i)≦a(j) なら q(i)>q(j)
が成り立つので (p(i),q(i))≠(p(j),q(j))
後は部屋割り論法から結論が従う。
>>5
p(i)=「a(i)から始まる単調減少部分列たちの中で一番長いものの長さ」
q(i)=「a(i)から始まる単調増大部分列たちの中で一番長いものの長さ」
とおくと i<j に対し
a(i)≧a(j) なら p(i)>p(j)
a(i)≦a(j) なら q(i)>q(j)
が成り立つので (p(i),q(i))≠(p(j),q(j))
後は部屋割り論法から結論が従う。
あぼーん
10 ：嵐山勘三郎：2001/08/14(火) 16:41
もっと物理っぽいのないですか？
11 ：１３２人目の素数さん：2001/08/14(火) 17:03
>>10
tに依存するR^3上のベクトル場u(x,t),B(x,t)（x∈R^3,t∈R）
が、
∇・u=0
∇・B=0
∂B/∂t=∇×(u×B)+λΔB
を満たすとする。ここで、λ>0は定数、
∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
Δ:ラプラシアン
である。また、u(x,t),B(x,t)は(x,t)に対して十分に滑らかであるとする。
(1)次を示せ。
∇×(u×B)=(B・∇)u-(u・∇)B
(2)Bがzによらない関数B(x,y,t)によってB=(0,0,B(x,y,t))と表わされ、かつ
∂u/∂z=0
とする時
∫[-∞.∞]∫[-∞,∞]{B(x,y,t)}^2・dxdy
はtの（広義）減少関数である事を示せ。但し、uとBはxy平面における
遠方(x^2+y^2 -> ∞)で十分速く0に収束するものとする。
(3)u=(αx,-αy,0)（αは正定数）,B(x,0)=(0,0,b_0・sin(k_0・y))
（b_0,k_0は定数）とするとき、B(x,t)=(0,0,b(t)sin(k(t)y))の
形の解を一つ求めよ。
tに依存するR^3上のベクトル場u(x,t),B(x,t)（x∈R^3,t∈R）
が、
∇・u=0
∇・B=0
∂B/∂t=∇×(u×B)+λΔB
を満たすとする。ここで、λ>0は定数、
∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
Δ:ラプラシアン
である。また、u(x,t),B(x,t)は(x,t)に対して十分に滑らかであるとする。
(1)次を示せ。
∇×(u×B)=(B・∇)u-(u・∇)B
(2)Bがzによらない関数B(x,y,t)によってB=(0,0,B(x,y,t))と表わされ、かつ
∂u/∂z=0
とする時
∫[-∞.∞]∫[-∞,∞]{B(x,y,t)}^2・dxdy
はtの（広義）減少関数である事を示せ。但し、uとBはxy平面における
遠方(x^2+y^2 -> ∞)で十分速く0に収束するものとする。
(3)u=(αx,-αy,0)（αは正定数）,B(x,0)=(0,0,b_0・sin(k_0・y))
（b_0,k_0は定数）とするとき、B(x,t)=(0,0,b(t)sin(k(t)y))の
形の解を一つ求めよ。
12 ：１３２人目の素数さん：2001/08/14(火) 18:08
(1)
X=L^2([-1,1])
として{1,x,x^2,x^3,・・・}をシュミットの方法で
正規直交化せよ！！
但し、L^2([-1,1])とは区間[-1,1]上のL^2空間で、
f,g∈L^2([-1,1])に対して内積が
<f,g>=∫[-1,1]f(x)g(x)dx
と定義されている。
(2)
X=L^2(R)
として{x^n*e^(-x^2/2);n=0,1,2,3,・・・}をシュミットの方法で
正規直交化せよ！！
内積は
<f,g>=∫[R]f(x)g(x)dx
とする。
X=L^2([-1,1])
として{1,x,x^2,x^3,・・・}をシュミットの方法で
正規直交化せよ！！
但し、L^2([-1,1])とは区間[-1,1]上のL^2空間で、
f,g∈L^2([-1,1])に対して内積が
<f,g>=∫[-1,1]f(x)g(x)dx
と定義されている。
(2)
X=L^2(R)
として{x^n*e^(-x^2/2);n=0,1,2,3,・・・}をシュミットの方法で
正規直交化せよ！！
内積は
<f,g>=∫[R]f(x)g(x)dx
とする。
13 ：１３２人目の素数さん：2001/08/14(火) 18:32
14 ：１３２人目の素数さん：2001/08/14(火) 20:33
14 get!
15 ：１３２人目の素数さん：2001/08/14(火) 22:40
15get!
ちゅどーーーーーーーーん！！
17 ：１３２人目の素数さん：2001/08/15(水) 17:29
こら嵐山！もっとマメにレスつけろ！
18 ：１３２人目の素数さん：2001/08/15(水) 21:14
18 get!
19 ：１３２人目の素数さん：2001/08/15(水) 21:35
まじめにやれ、嵐山！！
20 ：嵐山勘三郎：2001/08/16(木) 13:18
まあまあ、慌てなさんな。
では解いていきますか。
さぁみんなで考えよー！
では解いていきますか。
さぁみんなで考えよー！
おっさーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーん！！
いたって真面目な理科の問題です。
想像してください。
一杯に空気を入れたサッカーボールがあります。
その、サッカーボールを水の中に沈めていきます。
さて、サッカーボールはどうなるでしょう？
＜注＞：
・想像しにくい場合は他のボールでも構いませんが、
空気を注入する穴があいている事が条件です。
・水の中に沈める速度に決まりは有りません。
ゆっくりの場合、一気に沈めた場合の両方について考えてみてください。
・沈める水の深さですが、特に定めません。
サッカーボール内の空気圧・サッカーボールそのものの収縮力も同様に定めません。
（つまり、机上の空論を楽しんで頂きたいのです。）
・「水の中」と表現しましたが、
サッカーボールの内部より高い圧力の中という事ですので、
水の成分などは考慮しないで下さい。
・この問題でいう「どうなる」とは、ボールに変化が見られる事をさします。
（手を離して水面に向かって上昇という事ではなく、物理的な変化です。
たとえば、しぼむ。破裂する。ボール内に水が入るetc...）
想像してください。
一杯に空気を入れたサッカーボールがあります。
その、サッカーボールを水の中に沈めていきます。
さて、サッカーボールはどうなるでしょう？
＜注＞：
・想像しにくい場合は他のボールでも構いませんが、
空気を注入する穴があいている事が条件です。
・水の中に沈める速度に決まりは有りません。
ゆっくりの場合、一気に沈めた場合の両方について考えてみてください。
・沈める水の深さですが、特に定めません。
サッカーボール内の空気圧・サッカーボールそのものの収縮力も同様に定めません。
（つまり、机上の空論を楽しんで頂きたいのです。）
・「水の中」と表現しましたが、
サッカーボールの内部より高い圧力の中という事ですので、
水の成分などは考慮しないで下さい。
・この問題でいう「どうなる」とは、ボールに変化が見られる事をさします。
（手を離して水面に向かって上昇という事ではなく、物理的な変化です。
たとえば、しぼむ。破裂する。ボール内に水が入るetc...）
23 ：嵐山勘三郎：01/09/20 12:23
あげ
24 ：１３２人目の素数さん：01/09/20 12:55
しね、あらしやま。
25 ：１３２人目の素数さん：01/09/20 16:56
まじめにやれ、嵐山。
おまえはageるだけか。
とっとと問題解きやがれ！
おまえはageるだけか。
とっとと問題解きやがれ！
26 ：をっさん ◆96jfHsJM ：
をっさんモナー