−と−を掛けると何故＋になるのか？。。

上のタイトルについて証明できる人はいますか？僕は東大理�Tですがこれに関してはまだ理解できません｡｡

既出です。よって終了。
>>1さんは削除依頼をよろしくお願いします。

−１（１−１）＝０
⇔（−１）（１）＋（−１）（−１）＝０
⇔−１＋（−１）（−１）＝０
⇔（−１）（−１）＝１

マイナスかけるマイナス＝プラスって定義なんだけどね。

下記ＨＰで全てが解決しています。

http://www.imai.gr.jp/users/imai/japanese/seisu/no002.html

>>4
だから定義じゃないって。

っていうかこのネタ出過ぎ。

だって−になっちゃったらあなた困るでしょ。

半群
集合Gが以下の条件を満たす時半群であるという。
(0)Gに・と言う算法が与えられていて、
Gの任意の元a,bに対してa・bがGに含まれる。
(1)a・(b・c)=(a・b)・c

群
集合Gが以下の条件(0)〜(3)を満たす時Gを群と言う。
(0)Gに・と言う演算（算法）が定義されていて
Gの任意の元a,bに対してa・bがGに含まれる。
(1)a・(b・c)=(a・b)・c
(2)Gに単位元と呼ばれる元eが含まれていて
任意のGの元aに対し
a・e=e・a=a
(3)Gの任意の元aに対して或る元bが存在して
a・b=b・a=e
(このような元bをaの逆元といいa^(-1)と書く。

また、群Gが以下の条件(4)を満たす時Gをアーベル群と呼ぶ。
(4)Gの任意の元a.bに対して
a・b=b・a

環
集合Rが以下の条件を満たす時にRを環(ring)と呼ぶ。
(1)Rが+と言う演算に対してアーベル群をなす。
(2)Rが・と言う演算に対して半群をなす。
(3)Rの任意の元a,b,cに対して次の法則が成り立つ。
(a+b)c=ac+ab
a(b+c)=ab+ac

(-1)×(-1)=1
は環の公理から出てくる。
分かりやすく言えば、>>3のようになる。

>>9
　なんで、整数が演算＋と・で環になっているって事が保証さ
れているの？

>>10
整数が環になるような都合のいい演算+,・が存在するから。
保証されるというより、
「整数は+と×に関して環をなす」
という命題が成り立つ。

こっちに書いたら?

激しく既出スレ
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=986389805&ls=50

>>11
　だから、都合良く何でそんな命題が成り立つの？
って、著しくガイシュツみたいだからなんとも…。

>>12
そこにこの問題を書くの？
なんかそういう雰囲気じゃないんだけど・・・。

>>13
っていうか、成り立つかどうか調べてみてよ。
足し算と掛け算で。
成り立つでしょ？

つーか
1×（−１）＝−１
って時点で何らかの前提があるよな。

>>14
　数学ってそうやって調べるんだっけ？
だったら、証明なんて不必要なんじゃないの？

>>15
1を×と言う演算に関する単位元としているんだよ。
逆に、×に関する単位元を1と呼ぶ、といったほうが解りやすいかもしれないけど。

>>16
じゃあ、整数って何ナノ？
君にとって整数は既知なの、それとも未知なの？
別に、>>8を使って整数を定義しなおす事もできるけど、
そっちの方がいい？

"整数"という名の集合を定義する
"整数"は環であるとする。
"整数"に関して

+という演算に関する単位元を0と置く。
×という演算に関する単位元が存在するとし、それを1と書く。
1+1は集合"整数"に含まれこれを2と書く。
1+2は集合"整数"に含まれこれを3と書く。
1+3は集合"整数"に含まれこれを4と書く。
・
・
・
このとき1に何回1を加えても0にはならないとする。

"整数"の元aに対して、+という算法に関する逆元を-aと書く。
例えば、7の+に関する逆元は-7と書くようにする。
1に対して1を有限個加えた元、及び、その逆元、及び0を
集合"整数"の全体とする。

>>18 >>9
これが俺らがふだんモノの個数とか人数の量に使っている「数」っての
を形式的に定義したものなわけか。なるほど。>>8の規則と>>18の規則
で一体全体どんなものが定義されたのか、ぱっと見には分かりにくいけどよ、
俺らが普段直感的に使っている「整数」の性質を、>>8と>>18の規則で
定義されたモノはピッタリカバーしているってわけだ。というより、
普段「個数」や「人数」として使っている「整数」の、エッセンスというか、
「足し算できる」「掛け算できる」
「割算したら整数から外されたぞゴルア」
みたいな「整数を整数ならしめていた性質（本質）」を抜きだして
形式化・一般化したのが>>8で、それを用いて逆に整数を定義したのが>>18と。

>>18
めちゃくちゃ。
なにが定義で、なにが仮定で、なにが命題なの？
さっぱりわからんよ。

>>20
全部定義だろ。

>>21
「"整数"は環であるとする。」
というのは何の定義？

"整数"という集合を定義しているんだろ？

　その整数の定義に最初から−×−＝＋の要素を入れてるじゃ
ないか（ｗ
　話にならんぞ（ｗ

-×-＝+
なんてどこにも書いてないぞ。

　書いて無くても必然的にそれが内包されているじゃないか。
巧妙にね（ｗ

>>26
じゃあどこにそれが書いてあるのか指摘してもらおう。

>>27
　大体、環であることを認めるのなら、内部に分配則が入って
いるからそこから直ぐに−×−＝＋が説明可能だ。
　なぜ整数は環なんだ？

>>28
>なぜ整数は環なんだ？

だから定義だって言ってるだろ。

じゃあ君にとって整数とはなんだ。

>>29
　何の説明にもなっていない。なぜ定義として入れる必然性が
ある？教科書に書いているからか？

　俺にとっての整数？何だろうな？とりあえず環は除外しても
らおうか。（後で復活したとしても）

じゃあ君が整数を定義してみなよ。

なんだろうなじゃ話にならないよ。

　しらん。でもまあとりあえず、１８から環を抜いておくか。

知らない整数に関してどうやって議論するんだよ。

>>34
　だから環ぬいてくれって要請したじゃないか。とりあえず
それでやってくれ。

>>35
だから整数ってなんだって聞いてるんだろ？
34では環なんて話はしていない。

>>35
もうあきらめろ。

>>36
　何度も書いているが18番の定義から、環を抜いてくれと書いている訳だ。

>>38
だから18の定義を放棄するには君の勝手だが君は整数をどう定義するんだ？

>>37
　つまり「ごまかしに入っているから相手にするな」って事か
了解。

とにかく18は最初に
「"整数"は環であるとする。」
というふうに集合としての整数が既に定義されているかのような
いいまわしをしておきながら、
「 1に対して1を有限個加えた元、及び、その逆元、及び0を
集合"整数"の全体とする。 」
というように、集合の元を最後に決めているところなどきわめて不自然。
もうちょっと論理的にかきなおしてくれ。

>>40
どこをごまかしてるんだよ。
お前がドキュンだから言ってるんだろ？
ごまかしといいながらどこがごまかしかも指摘できない。

>>39
　やはりごまかしだね。こうやって紛糾させて話を曖昧にさせる
って訳か。了解。（18の定義を放棄するなんていつ書いたんだ（ｗ）

>>42
　俺はもう寝るから、後は勝手にやってね。明日正常になって
いることを期待して ZZzzz...

>>41
つまり0と1によって生成されたものの全体が"整数"と言っている。
と言うのは、それがないと有理数や実数なども含み
集合に含まれるか含まれないかを決定できない。

>>43
あいまいなのはお前の頭が空っぽだからだろ。

>>43
18を放棄するのは勝ってだが
ならばお前の定義を提示しろと言っているだけだろうが。

>>45
いや
最初に「"整数"は環であるとする。」
というときの"整数”は何かをきいてるんだが。
最後に"整数の集合”をちゃんと決めてるところをみると、
前者の”整数”はなにか別物のようだからね。

http://cheese.2ch.net/math/kako/967/967525626.html

>>48
ごめん良く解らない。
環って言っても一つじゃないから、どういった環かを定義しているつもりなんだけど。

>>50
じゃあ質問をかえる。
45で「つまり0と1によって生成されたものの全体が"整数"」
といってるけど、何のなかで生成されたもの？

+と×と言う演算によって生成されるものが"整数"。
何か集合があってその中で整数に含まれるものと含まれないものを
峻別している訳ではなくって、
環という構造によって生成されるもの。
具体的には
1,1+1,1+1+1,1+1+1+1,・・・
と生成していく。

整列順序を入れないと整数環の特徴付けにはならないのではないかと。

　数直線かけばいいんじゃん

厨房がいらしゃったぞ

演算って言うのは、先に集合Ｍがあって
Ｍ×Ｍ→Ｍ　という形の写像なのかと思ってたが。
違うのかな？

「負×負＝正」は今井塾セミナーで完全に解決した。この問題に投稿するものは蛆虫である。

正しい社会科教科書を作る方法については
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
を見てください。

>>57
精神異常者がいらっしゃったぞ

大体「環」って言っている段階で既に−×−＝＋になっちゃうん
だよ。環を使わない定義をして欲しいね。

私は，（−１）×（−１）＝１が定義だといってる人のほうに軍配を上げる。
（−１）×（−１）＝１が定理でしかありえないといっている人のほうは
頭が硬い。たとえば，自然数から整数を作るときのことを考えても，自然数の
中で定義された＋と×を整数に拡張する場合，分配法則等が成り立つように拡張
する（つまり整数が環になるように）のが普通であり，そうした拡張が我々の
＋や×の感覚にマッチしているというのはそうだけど，あくまでも「感覚」に
マッチしているだけ。そうでなくてはならない論理的理由はない。
　それに，整数が環になるように＋と×を拡張するということは，結局，
（−１）×（−１）＝１になることを将来期待して（期待するのはそれだけで
はないが）拡張しているという「感覚」もある。そういう意味では
（−１）×（−１）＝１は定義だとも言える。

７５＝蛆虫

５９＝蛆虫 　　　６２は誤りです。

>>60
だから環を使わない定義をしてもいいが、
それに替わる定義をしなかったのが問題なんだろ？
そもそも、>>10と>>16のトンデモ発言が発端なんだよ。
環である事を定義にしなくても環である事は容易にわかる。
そこでピンとはずれなレスを付けた>>16が事の発端なんだよ。

>>64

>環である事を定義にしなくても環である事は容易にわかる。

　きちんと証明してくれ。煽りは無視する。以上。

まず+に関してアーベル群になる。
ＯＫ？

>>66
　なんで？

　そういうのを認めていくとなし崩し的に環まで行っちゃう
気がするな（ｗ

>>67
へ？
じゃあ、まず+に関して半群になる。
これはＯＫ？

>>69
　だから、なんでだ？結合則ってまぁ成り立つと直感で分かるが
本当か？

>>70
整数って結合側が成り立つでしょ？
それを否定するの？

それならそれでいいけど、じゃあ整数って何？
整数にはどんな法則が成り立つの？

>>70
まず君が整数に対してどういう性質が認められるかを
示してくれないと議論のしようがないよ。

どういう性質なら認められる？

>>72
どんな性質を認めようと，それは人間の恣意だ。つまり，
（−１）×（−１）＝１も恣意だ。そのことを
（−１）×（−１）＝１は定義だと言ってるのではないか。

>>73
なら聞くが
7-6=1
3×2=6
これは定義か？
それとも定義でないか？

>>74
そもそも，定義か定理かは，その理論の作り方による。それが，数学は
自由だということのあらわれだ。君はそれを理解していないように
思える。

>>75に同意。
何を仮定しているのかをわかっていないで、
カンとかカンでないとか言ってんじゃなっつーの。

>>75
だから能書きはいいから整数を定義してみろよ。

>>77
その質問が出てくる事からして，75で言った事を理解していない事
になる。ほんとうに，（−１）×（−１）＝１を定義という形で
登場させるように理論的に整数が構成できないと思っているのか。

>>76
だから君達が何を仮定しているのかをはっきりさせていないのが問題なんだろ。
結合側を仮定していないのならば何を仮定しているんだ？
解ってないんじゃなくって、君達が何を認めるかを提示していないだけだろ。
それをはっきりさせないと議論が成り立たないだろ？
>>70は何故1+1=2なのかを聞いているのかと同じなんだよ。

整数に関して認められる性質を提示しない限りレスしない。

>>78
理論的を論理的に訂正

>>79
「１＋１＝２」は定義です。

>>81
私も今それを書こうと思っていた。まあ，冷静に考えてみる事だ。
もうこの議論を止めたいならそれでよい。

訂正、>>78には取りあえずレスする。
定義の仕方なんていくらでもある。
7-6=1
3×2=6
を定義にする事もできる。
しかし、それを定義にする馬鹿は居ない。
何故それを定義にしないのかをもう少し良く考えろ。
どうせ、まともなレスが帰ってこないだろうから、これ以上レスする気はない。
もっと謙虚になってよく考えろ。
無理だろうけど。

>>81
ごめん、確かにそれは定義だ。
7-6=1に訂正。

いや、間違ってなかった。
1+1=2
に戻す。

>>81
+に関して結合側が成り立つのは定義ですか？
定義ではないのですか？

「１＋１＋…＋１＝ｎ」と仮定するなら、＋に関して
（↑１がｎ個ある）
結合則が成り立つのは、定義ではなく、上の性質から
導かれることだね。

>>86
+と言う演算は整数の２つの元a,bに対して定義するもので
それを二回使った場合
(1+1)+1=1+(1+1)　・・・(a)
が成り立つとはいえないんじゃないかな？
>>52では確かに紛らわしい書き方をしてしまったけれど
あの時は環である事を仮定しているから
(a)が成り立っているんだよ。
だから
1+1+1
のような書き方ができる。

整数の２つの元でなくって整数有限個の元に対して適用するような
演算によって整数を定義するのならば上手く良くかもしれない。

間違えて下げてしまった。
あげ。

自然数という前提ならいいけど、整数ではダメだ。
０や負の整数を定義してなかった（汗）

鬱だ…。

説明するのジャマくさくなってきた…。
「環と加群」山崎圭次郎著　でも読んでください。

もう、みんな博士に行くよね。もち、学位とって
企業に就職する。学生のうちから、バンバン派遣
とかやって、スキルも身につけておこうかなー、
って思ってます。

結局　群を考えないと証明は出来ないのですか？

>>92 厳密にやろうとするとそれぐらい難しいって事ヨ

>>93
群論まで理解すれば証明できます？

俺は工学部だから線形数学はジョルダン、ユニタリ、テンソルまでしか
やっていません。
リー代数はやったけど理解しないまま終わった（ｗ
もしこのスレの題が群論を用いて厳密に証明できるなら
勉強しようと思います。

群じゃなくって環だろ？
可換環なら成り立つって言う話だろ？

集合論・群論あたりで零元・単位元・逆元を厳密に定義するところ位から勉強するからねェ
知らないと理解できないって訳じゃないけど、知ってても損じゃないと思うヨ

なるほどね
＞零元・単位元・逆元を厳密に定義
このへんは面白そうだったので、本読みました
可換環ってどんな分野ですか？
どの程度の数学力で読めます？

可換環は代数学の初歩の初歩。

>＞零元・単位元・逆元を厳密に定義
>このへんは面白そうだったので、本読みました

なら十分。
可換環の定義を読んで式をいじればすぐに出てくる。

簡単です。すぐに理解できます

レス遅れてすいません
勉強しながらなので・・

よくわかりました。
院試が終わり次第、早速本屋で関連書籍を買いたいと思います。
ありがとうございました

　なんつーか。前にも書いたが　−×−＝＋　なんて「整数が環」であるこ
とを認めると一瞬にして証明できるよ。で、なんで「環なの」って聞いても
明確な答えは返って来ないじゃないか。
　「別の定義をしてくれ」って奴が返ってくるだけ。単に−×−の問題を、
環の問題にすり替えているだけだな。整数なんてどう定義しても良いじゃな
いか。その勝手な定義がダメだって言うのならそれは結局「直感」に過ぎな
い。直感が元になっているのだから、−×−＝＋が内包されるのはあたりま
え。
　結局−×−＝＋は定義に過ぎないと思うね。

多分「環」を知らないか、知っているけど・・・って人に
単に引っかき回されただけだと思うよ

もし自分だったら、あそこまでかき回されたら
「整数が環なのは自明、詳細な説明が必要な奴は群論でも読め」
でお終いだけど・・・。

それでも食ってかかってくる奴は、群論を読まない奴か
或いは群論を理解出来ない奴って事で切って捨てる。
「読んでちゃんと理解してから反論しろ」ってね。
厨房にいちいち反応してたら疲れちゃうよ。

>>102
　はいはい（笑）環なんて、ちょっと数学かじった奴なら知らな
い訳ないよー（笑）
　ま、そう思って心の平安を保っているのも良いかもね。

>>103
残念ながら、環を知っているなら上の方のレス合戦の無意味さ
呆れるぐらいの低レベルなやりとりはしないと思う

もしかして呆れるぐらい低レベルなやりとりをしてた人？
そうでないなら変な勘ぐり入れて悪かったと思うけど。

かけ算としての辻褄が合うように下の表を完成せよ


　×　｜　３　　２　　１　　０　−１　−２　−３
───＋────────────────────　　　
　３　｜　９　　６　　３　　０　−３　−６　−９　
　　　｜
　２　｜　６　　４　　２　　０　−２　−４　−６
　　　｜
　１　｜　３　　２　　１　　０　−１　−２　−３
　　　｜
　０　｜　０　　０　　０　　０　　０　　０　　０
　　　｜
−１　｜−３　−２　−１　　０　　？　　？　　？
　　　｜
−２　｜−２　−４　−６　　０　　？　　？　　？
　　　｜
−３　｜−９　−６　−３　　０　　？　　？　　？

・・・と言われたら、自然とマイナス×マイナス＝プラスになるでしょ
俺が聞かれたらそう答えるけど
環の定義を使うなんて、自分の頭で考えられない証拠（ｗ

>>105
ちなみに「勉強してこい」も同じね（ｗ

今井の臭いがプンプンするな（ｗ

・・・今井？

　×　｜　３　　２　　１　　０　−１　−２　−３
───＋────────────────────　　
　３　｜　９　　６　　３　　０　−３　−６　−９
　　　｜
　２　｜　６　　４　　２　　０　−２　−４　−６
　　　｜
　１　｜　３　　２　　１　　０　−１　−２　−３
　　　｜
　０　｜　０　　０　　０　　０　　０　　０　　０
　　　｜
−１　｜−３　−２　−１　　０　　０　　０　　０
　　　｜
−２　｜−２　−４　−６　　０　　０　　０　　０
　　　｜
−３　｜−９　−６　−３　　０　　０　　０　　０

>>109
ﾊｽﾞﾚ

　×　｜　３　　２　　１　　０　−１　−２　−３
───＋────────────────────　　
　３　｜　９　　６　　３　　０　−３　−６　−９
　　　｜
　２　｜　６　　４　　２　　０　−２　−４　−６
　　　｜
　１　｜　３　　２　　１　　０　−１　−２　−３
　　　｜
　０　｜　０　　０　　０　　０　　０　　０　　０
　　　｜
−１　｜−３　−２　−１　　０　猫　2猫　3猫
　　　｜
−２　｜−２　−４　−６　　０　2猫　4猫　6猫
　　　｜
−３　｜−９　−６　−３　　０　3猫　6猫　9猫

>>111
ｱﾙｲﾐ､ｲｲﾈ