素数の一般項について
1 ：１３２人目の素数さん：
素数の一般項は存在すると思いますか？
また、存在しないと思うならば理由も教えてください。
個人的には一般項は存在しないと思ってるんですけど、ボクの能力では証明が不可能です。
また、存在しないと思うならば理由も教えてください。
個人的には一般項は存在しないと思ってるんですけど、ボクの能力では証明が不可能です。
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2 ：１３２人目の素数さん：2001/07/20(金) 23:13
「一般項」って何？
3 ：KARL：2001/07/21(土) 02:06
>>1
参考までに、次のような定理があります。
「kをある自然数, b_i(i=0,1,2,...,k)をそれぞれ特定の整数としたとき、
f(n) = b_k*n^k + b_(k-1)*n^(k-1) + b_(k-2)*n^(k-2) + ... + b_1*n + b_0
という関数のとる値(数列の各項)が全て素数となることはあり得ない。条件をゆるめ
て、ある数以上の全ての自然数についてf(n)が素数になることもあり得ない」
証明は高校数学の範囲で(２項定理をご存知でしょうか）できます。興味があったら
証明してみてください。
参考までに、次のような定理があります。
「kをある自然数, b_i(i=0,1,2,...,k)をそれぞれ特定の整数としたとき、
f(n) = b_k*n^k + b_(k-1)*n^(k-1) + b_(k-2)*n^(k-2) + ... + b_1*n + b_0
という関数のとる値(数列の各項)が全て素数となることはあり得ない。条件をゆるめ
て、ある数以上の全ての自然数についてf(n)が素数になることもあり得ない」
証明は高校数学の範囲で(２項定理をご存知でしょうか）できます。興味があったら
証明してみてください。
4 ：１３２人目の素数さん：
>>1
p_nをn番目の素数とする時、
p_n=1+Σ_{1≦m≦2^n}[[n/(Σ_{1 \le j \le m}F(j)]^(1/n)],
ここでF(j)=[cos^2(π((j-1)!+1)/j)]
という公式が知られています。
参考
Willians, On formulae for the nth prime, Math. Gaz. 48(1964), 413--415.
Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records,
Springer-Verlag, 1996, Chapter 3.
あと、Richard Guy, Unsolved Problems in Number Theory,
Springer-Verlag, 1994(2nd edition)のA17に文献が多数載っています。
p_nをn番目の素数とする時、
p_n=1+Σ_{1≦m≦2^n}[[n/(Σ_{1 \le j \le m}F(j)]^(1/n)],
ここでF(j)=[cos^2(π((j-1)!+1)/j)]
という公式が知られています。
参考
Willians, On formulae for the nth prime, Math. Gaz. 48(1964), 413--415.
Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records,
Springer-Verlag, 1996, Chapter 3.
あと、Richard Guy, Unsolved Problems in Number Theory,
Springer-Verlag, 1994(2nd edition)のA17に文献が多数載っています。