ＭのＮ乗＝ＮのＭ乗

となるような自然数（Ｍ,Ｎ）の組は（２,４）以外に存在するか？
おせーて！

(5,5)

＞２ もちろんM≠Nですよね。
これは(2,4)以外に有りません。
f(x)=log(x)/x とおくと
f'(x)=(1-log(x))/x^2 より
f(x)は x<e で単調増加，x>e で単調減少
M<N で f(M)=f(N) になるには M<e<N が必要
M=2 は N=4 でOKだが M=1 は f(M)=0 でダメ

類題・・・
N×M＝N^Mを満足する自然数は(2,2)だけ？

>>4
(1,1)は？もっと一般的に(a,1)は？

M=1 なら Nは何であっても N×1＝N^1
M=2 のときは N≧3 で N^M>N×M
M≧3 のときは N≧2 で N^M>N×M

1^0=0^1=0

>>7
>1^0=0^1=0

違う。1^0は1。

素朴な疑問だけど，何で足し算や掛け算は交換律が成り立つのに，累乗になると成り立たなくなるの．

誰がそうと決めたの？

東京都議会で決まりました

>>9
過半数の人間がそう思ってるから。

>>9
つまり，累乗では底と指数とが対等でないって事だよね．
ｅ(ネイピア数or自然対数の底：指数函数と関係している)が超越数である
という事実がからんでいると思う．
あと，知っていれば聞き流してほしいけど，交換律が成り立たない掛け算もある(行列など)．

>>13たん、例えば
　　e^x
が
　　有理数となるための x の必要十分条件
　　無理数となるための x の必要十分条件
　　　　超越数となるための x の必要十分条件
なんかは知られているのですか？

[a_1a_2...a_m]^[b_1b_2...b_m]=[b_1b_2...b_na_1a_2...a_m]
（ただし、たとえばa_1=3,a_2=5なら[a_1a_2]=35とする）
となるような数は、5^2=25以外に存在するのか？
（かなり面倒な評価が必要になりそうだ・・・）

>>15
桁数の関係でかなり限られそう。
（あんまりおもしろくなさそうだ…）

>>14
超越数の定義(代数方程式の解にならない)によれば，
x≠0のときe^xは超越数になるハズ．

もし間違いがあれば叱責願います＞ＡＬＬ

x=log n -> e^x=n

>>18
ゴメン，抜けてた．
｢nが代数的数(＝非超越数)のときlog nは超越数｣が証明されているから，
｢e^xが有理数の必要条件はxが超越数｣だね．
そうするとトリビアルでない(x＝log nとおくのではない)代数的数e^xは無い事になるから
結局必要充分条件か．>>13

それと，>>17はとりあえず｢xが有理数｣に訂正します．
代数方程式から無理数冪の項を作る事は(自分には)できなかった．
これについて詳しい方説明希望．

>>9　というより、交換律が成立つ方が特異なんだよ。行列もそうだし、不換であるほうが普通。

不換（ぷ

正しい数学教科書を作る方法については
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
を見てください。