簡単な数学の証明問題だよ。解いてみて！！

数学的帰納法の原理
１、命題Ｐ(1)が成立する。
２、命題Ｐ(n)が成立すると仮定するならば、命題Ｐ(n+1)も成立する。
をが正しいことを示せ。

ネタかアホか？まーアホだろうな

どうだろうな。むしろ、うんこじゃないか？

でもおれ示せるよ。

>>4
やってみろ

まじで示してほしい？

>>6
やれ

やったところで君はその答えがあってるかわかるの？

>>8
分かる。やれ。

Ｍ：＝｛k｜kは自然数で、かつ命題Ｐ(k)は成立しない｝
を考えて、Ｍ＝φであることを示せばよい。
ここでＭ≠φと仮定する。まずＭには最小の自然数mが存在する。
このmは帰納法の仮定よりm＞１である。
いまn:=m-1とおけばnは自然数であり、またＭの定義から、
命題Ｐ(n)は成立する。これにより帰納法の仮定から、
命題Ｐ(n+1)が成立する。即ちn+1はＭの元でない。
これはm=n+1がＭの元であることに反する。
よってＭ＝φなので。命題が正しいことが示された。

あの変な記号は空集合の間違え。

ていうか、この問題って、数学基礎論の域じゃないか…
めちゃくちゃ高度な問題だから、下手に手を出さない方がいいと思われ。

10ならまだましだ。１はムチャクチャ

>>10

「1の言う命題」の証明ではないよな。

>>10
それは、1のいうＰとは別物だよな？
なぜm＞1なんだ？なぜいきなり帰納法を仮定してるんだ？

いや１の命題の証明になってるでしょ。

「をが正しいことを示せ。」
というのがワカラン。

>>10
ﾊｧ?

お前ら文句があるならてめえらで解答してみろよ。

もしかして１行落ちてるのか？

ペアノの公理見ろ。

要するに公理と同値ってことか。
証明と言っても、公理と同値なのを示すのがせいぜいだろうな。

公理以前に１は言葉を操れないらしい

10の証明は自然数nで定義されている命題Ｐ(n)が
すべての自然数nに対して成立することを、
帰納法の原理を用いて証明してるんじゃないかな。

１は多分何行か落ちてるんだ。
そして本人は全然気づいていない

>>24
帰納法の原理を証明するのに帰納法を使ってるから問題があるってこと？

そうだね。帰納法の原理を証明するのに帰納法は使えないよね。
いや、しかし帰納法の原理を証明するのはけっこう難しいんじゃない？

数学的帰納法の原理
「１、命題Ｐ(1)が成立する。
　２、命題Ｐ(n)が成立すると仮定するならば、命題Ｐ(n+1)も成立する。
1,2が成り立つならば、P(n)はすべての自然数nについて成り立つ。」
が正しいことを示せ。

証明
Ｍ：＝｛k｜kは自然数で、かつ命題Ｐ(k)は成立しない｝
を考えて、Ｍ＝φであることを示せばよい。
ここでＭ≠φと仮定する。まずＭには最小の自然数mが存在する。
このmは仮定よりm＞１である。
いまn:=m-1とおけばnは自然数であり、またＭの定義から、
命題Ｐ(n)は成立する。これにより仮定から、
命題Ｐ(n+1)が成立する。即ちn+1はＭの元でない。
これはm=n+1がＭの元であることに反する。
よってＭ＝φなので。命題が正しいことが示された。

いやぁ帰納法の根源の疑問が判っ……らねぇ……（笑）。

>>10=28
逝って良し。

>>28

「ここでＭ≠φと仮定する。まずＭには最小の自然数mが存在する。」
これがポイントですね。この命題は数学的帰納法で証明することができます。
楽しい循環論法！

>>28 は高校生に対する答えとしてなら正しいと思う。
厳密には、数学的帰納法はそれが成り立つように（あるいはそれを使って）
自然数を構成したから成り立つんだよ。

正しくねぇよ。誤魔化してるだけじゃない。

28は正しいだろ。数学的帰納法を使ってるわけじゃないし。
数学的帰納法は常に正しい。定義だとか言ってる奴は電波だろ。

>>34を晒し上げ

>>28が成り立つためには、
「Ｎの任意の部分集合は最小元を持つ」
ことを仮定することが必要。

>>1
P(n):x^n+y^n=z^n は自然数解を持つ。

>>34のように数学板は公理系といものを認識すら出来ない
高校レベルの厨房多いね。
厨房のくせに偉そうに他人を電波呼ばわりしてるし。

>>38
>>34はこのスレを盛り上げるために、ドキュソのふりしてるだけだろ。
もし、本気で言ってるとしたら、今井と一緒に精神病院に入院した方がよい（藁

よく解んないんだけど、最小の自然数mが存在せず、かつ M が空でないことがあるのかなぁ？

>>34
定義と言ってる奴がいたのか？（藁

＞いまn:=m-1とおけばnは自然数であり、またＭの定義から、
＞命題Ｐ(n)は成立する。
どうでもいいけど、「またmの定義から」
じゃないの？

>>1
公理です。

>>28は今井がやりそうな証明だな（ｗ

学校教育は無茶苦茶だ・・・

あげ

>>42
mとMの両方の定義がかかわりますね。
>>44
私は不賛成。
>40
初心者クンへ
>よく解んないんだけど、最小の自然数mが存在せず、かつ M が空でないことがあるのかなぁ？
その通り、そんなことはありません。でもそんなあたりまえのことを証明しようとするのが
数学というやつで。自然数からなる集合Mが空でなく、かつMの中に最小の自然数が存在しないと
したら、矛盾が生ずることを数学的帰納法で証明してみてください。ヒント：Mが空集合である、
という結論が導けます。

［ペアノの自然数の公理5)］
　Ｎを自然数全体の集合とする．Ｎの任意の要素ｎに対して，ｎ'が定義されており，ｎ'のことをｎの後者（successor，Nachfolger）と呼ぶ．ｎ'＝ｎ＋１と書かれることもある．
Ｎは次の５つの公理を満たす．

(1)１はＮに層す．
(2)ｎがＮに属せば，ｎ'もＮに属す．
(3)ｎがＮに属せば，ｎ'≠１．
(4)ｎ'＝ｍ'ならば，ｎ＝ｍ．
(5)数学的帰納法の公理
ＭをＮの部分集合とする．次の２つの条件
　　�@１はＭに属す．
　　�AｎがＭに属せば，ｎ'もＭに属す．
が満たされれば実はＭ＝Ｎである．

　公理の(2)(3)(4)は，写像：ｎ→ｎ'がＮからＮ＼｛1｝の上への全単射であることを示している4)．
　公理の(5)は数学的帰納法と全く同じ形式であり，数学的帰納法の公理と呼ぱれている．自然数の集合に限らず一般の集合が�@，�Aを満たせばその集合は継承的であるという．例えば，有理数の集合Ｑや，実数の集合Ｒなども継承的である，自然数の集合ＮはＲの部分集合の中で最小の継承的集合であることがわかっている5)．
　さて，数字的帰納法はふつう次のようなかたちに書かれる．

(6)数学的帰納法
　自然数ｎに関する命題Ｐ(ｎ)が次の２つの条件
　　（ａ）Ｐ(１)は真である．
　　（ｂ）任意のｎに対し，Ｐ(ｎ)が真ならばＰ(ｎ＋１)も真である．
を満たせばすぺてのＮの要素ｎに対し命題Ｐ(ｎ)は真である．

数学的帰納法の公理と数学的帰納法とは命題として同値であることを証明しよう．

（証明）
数学的帰納法の公理を(5)と記し，数学的帰納法を(6)と記す．まず(5)⇒(6)を示す．
Ｐ(ｎ)が真となるｎの集合Ｈを考えると，ＨはＮの部分集合である．Ｈが(5)の�@，�Aの条件を満たすとする．すなわち，
　　　�@１はＨに属す．⇔　Ｐ(１)は真．
　　　�AｎがＨに属せば，ｎ＋１もＨに属す．⇔　Ｐ(ｎ)が真ならばＰ(ｎ＋１)も真．
このとき(5)からＨ＝Ｎである．つまりＰ(ｎ)が真となる集合はＮ全体である．これですべての自然数ｎについてＰ(ｎ)ば真であることが示された．
　次に，(6)⇒(5)を示す．Ｎの部分集合をＭとし，命題Ｐ(ｎ)を［ｎがＭに属する］とする．Ｐ(ｎ)が条件（ａ），（ｂ）を満たすとする．すなわち，
　　　（ａ）Ｐ(１)は真．⇔　１はＭに属す．
　　　（ｂ）Ｐ(ｎ)が真ならばＰ(ｎ＋１)も真．⇔　ｎがＭに属せば，ｎ＋１もＭに属す．
このとき(6)から，すべてのＮの要素ｎに対し命題Ｐ(ｎ)は真である．つまり，Ｎの任意の要素ｎに対し，ｎはＭに属する．よってＮ（Ｍである．Ｍ（Ｎでもあったから，Ｍ＝Ｎである．これで，(5)と(6)は同値であることが証明された．　　■

そこで，次の定理をえる．

［定理］
ペアノの自然数の公理(5)と数学的帰納法(6)とは同値である．

さらに，数学的帰納法は自然数全体の集合Ｎが次の性質(7)をもつことと同値である6)．この性質はＮの整列性と呼ばれている．

(7)自然数の整列性
自然数Ｎの任意の部分集合Ｓには必ず最小数が存在する．

うろおぼえだが確かゲンツェンが証明していた。
しかし超限帰納法を使っているので、結局のところより強力な公理系の下でしか
証明できないのでは？