フェルマはいい、ゴールドバッハ予想はどうなったよ

たしか　任意の偶数 = p1 + p2×p3 までは証明されたんでしたっけ？
今もそこから進展なしですか？

>>1
十分大きな偶数だ。

p1, p2, p3の大きさについては色々な評価が出ているようだが
今資料（Reviews in Number TheoryというMathematical Reviewの
数論関連の記事を纏めたもの）が手元に無い。鬱だ士農。

p1とかp2とかp3とかって何よ？教えてや。

>>2
ああー氏なないで、もうちょっと解説よろピクッ！

>>3
pといえばprime numberのp。

「ペトロス伯父とゴールドバッハ予想」って本を読んだけど、
それなりに面白かったよ。

>>5さん
ということは、ゴールドバッハ予想って

　十分大きな偶数Nについては、ある素数p1、p2、p3を用いて
　　N＝p1＋p2×p3
　と表すことが出来る。

ということですか？

>>7
確か、
　　「２より大きいすべての偶数は２つの素数の和で表せる」
と、ゆーのじゃなかったですか？例えば
１６＝７＋１１
みたいな。

>>7
>十分大きな偶数Nについては、ある素数p1、p2、p3を用いて
>N＝p1＋p2×p3
>と表すことが出来る。

Chenの定理です。証明は難しい！

>>8-9
ありがとうございます。

「ペトロス伯父とゴールドバッハ予想」
どんな内容ですか？

ペトロスっちゅう才能ある数学者がゴールドバッハ予想に
とりつかれたばかりに人生を棒に振ったっていうお話。
タイトルがちょっと間違ってたね。
詳しくは「ペトロス」で検索するか、本屋で探してね。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4152083360/249-6169148-1400358
アマゾンでレビューしてる人はだいぶイタイひとみたい。。。

>>7
８さんのいうとおりです。ただし、その証明は容易でないのですが、

19世紀の終わりか20世紀になって、
十分大きな偶数＝素数の積　＋　素数の積
となることが分かって、その素数の積の数がだんだん減らされていって、

９さんのとおり、Chen（中国の人）が

　>十分大きな偶数Nについては、ある素数p1、p2、p3を用いて
　>　N＝p1＋p2×p3
　>と表すことが出来る。

までは証明しました。 ところが、ここからは進んでないということ
ですね。

ところで、双子素数や、ソフィージェルマン素数、メルセンヌ素数などが
無限にあるかどうかはどうなってるのかな？まだ未解決？

奇数の完全数の不在って証明されたっけ？

warata

>>15
双子素数が無限にあるかどうかは解決していない。

双子素数の逆数の和が収束してしまうのは知られている。

>>18 「双子素数の逆数の和が収束」
の証明知りたい。アイデアだけ簡単に・・・

『ペトロス伯父と「ゴールドバッハの予想」』
アマゾンの書評より：
現代の日本には真に数学の天才はいないようなので（いれば10代のうちから有名になっているはず）、この本に書かれていることはすべての日本人には関係のない話だが、数学の世界はシビアだなあと思う。天才以外は近づいてはならない世界なのだ。数学の全国試験で一番だという程度で才能を見誤るとこうなるという、見せしめの話かもしれない。

>>19
10年前にやったやつだからなー。ただのサラリーマンになった
今はワスレタ。そのうちに家のノートから調べとくから待ってーな。

双子素数について。

これもゴールドバッハによく似ていて
素数、素数×素数　の組み合わせが無限にあることまでは
証明されています。
ゴールドバッハのときのChenによる証明です。

x≧2よりちいさい双子素数の数π(x)<<x/(logx)^2より
n=π(pn)<<pn/(logpn)^2<pn/(logn)^2(n≧2)となり
1/pn<<1/n(logn)^2が成り立つ。従って
Σ1/pn<1/3+Σ1/pn<<1/3+Σ1/n(logn)^2<∞
(pnはn番目の双子素数、f(x)<<g(x)はlim(x→∞)f(x)/g(x)=定数)

＞『ペトロス伯父と「ゴールドバッハの予想」』

それは「お話し」だから、あんまりまともに受け取るもんじゃない。
本当の天才がある問題に取り組んだために人生を棒に振るということはない。

>>23
＞　x≧2よりちいさい双子素数の数π(x)<<x/(logx)^2
結局この評価がどっからでるかだな。難しい？

>π(x)<<x/(logx)^2
篩法(sieve method)を使います。アイデアは簡単ですが、計算がハードです。
ところで
Σ1/n(logn)^2
が収束するのはどうすんだっけ？

やっぱり篩法ですか。素数定理みたい解析的なのがあるといいですけどね。
Σ1/n(logn)^2<∞ は　dx/x(logx)^2=d(logx)/(logx)^2 でOKかな

>Σ1/n(logn)^2<∞ は　dx/x(logx)^2=d(logx)/(logx)^2 でOKかな
それでOKですね。

>>26-27

　解析的な方法としては、Selbergの篩+Bombieriの大きな篩（large sieve）
を使えば計算はかなり簡単になる。Bombieriの大きな篩の証明に誤差項付きの
等差数列の素数定理を必要とする。

　まともな本を上げておくと篩の方法については

Halberstam&Richert, Sieve methods, Academic Press, 1974

　で詳しく記されている。あと

Nathanson, Additive Number Theory, The Classical Bases, GTM 164, 1996

　でもChenの定理が詳しく解説されている。

　Bombieriの大きな篩は

Davenport, Multiplicative Number Theory, GTM 74, 3rd edition, 2000.

　で解説されている。

>Halberstam&Richert, Sieve methods, Academic Press, 1974
これってamazonで検索してもでてきません。もう売ってないのかな？
>Nathanson, Additive Number Theory, The Classical Bases, GTM 164, 1996
Chenの定理はこれを読んでも難しいです。
>Davenport, Multiplicative Number Theory, GTM 74, 3rd edition, 2000
これは買って読もうと思ってるのですが、読んだ感想など聞かせてください。

ここいいスレだね．
２ちゃんとは思えない
他のスレもみならってほしい

>>20
長尾健太郎君はどうよ？
http://saki.2ch.net/test/read.cgi?bbs=kouri&key=991929736

参考文献を探しながらは大変だね。

みんな流石だね。3連休にノートを探そうとおもったけど
その必要なかったね。

>>30
Sieve methods ですが、
学生時代に図書館でコピーしたやつがあるかもですが、
ちょっと大きな大学図書館にならあるでしょう。
最近は大学間での検索依頼サービスもあると思うので
大学図書館の司書のところへいってみなよ。

この分野は人気があるとはいえないので、大学図書館
には本がそろっているけど、誰も借りていないので、
資料を独占できる喜び？がありました。

ここいいですね。どなたかSieve methods について説明していただけ
ないでしょうか。お願いします。

流行りの数論幾何もいいけど，
篩法みたいなテクニカルなのもいいよね

>どなたかSieve methods について説明していただけないでしょうか。

ごく簡単な例ですが、4以上10以下の素数の数を数えるとすると、
それは２の倍数でない数かつ３の倍数でない数の個数になります。
X={4以上10以下の数}, A={4以上10以下の２の倍数},A={4以上10以下の3の倍数}
とおくと、4以上10以下の素数の数=|X|-(|A|+|B|)+|A∩B|=7-(4+2)+1=2
と計算することができます。つまり、直接素数の数を数えるのは難しいのですが、
それを倍数を数えること（またはなんらかの計算可能な数）に還元してやるのが
ふるい法のアイデアです。

>>37
ありがとうございます。
ふるい法の起源みたいなものの感じは分かりました。

Reviews in Number Theoryがようやく手に入ったので見てみたが
記憶に反してGoldbach予想関連の論文はあまり無いようだ。

　MathSciNetで調べたがやはりGoldbach予想関連の論文で進展性の
あるものは少ない。
今の所知られている結果を（Chen以外で）私の知る限りで挙げておくと、

Li, Hongze; The exceptional set of Goldbach numbers,
Acta. Arith. 92(2000), 71-88.
二つの素数の和として表わせないx以下の偶数の個数はO(x^0.914)

Wang, Tianze; On Linnik's almost Goldbach theorem,
Sci. China ser.A 42(1999), 1155-1172.
十分大きな偶数は二つの素数と2249乗以下の2の累乗の和で現される。

　こんなところか。

　双子素数の問題については似たような成果として

Salerno, Saverio & Vitolo, Antonio; p+2 with few and bounded prime factors,
Analysis 11(1991), 129-148.
p+2が2つまたは3つの素因数を持ち、それらが全て[x^α, x^β]に属する様な
x以下の素数の個数をS(x;α,β)とおくと、S(x;1/6,5/6)>>x(logx)^-2,
S(x;0,4/5)>>x(logx)^-2となる。

　というものがあり、またn^2+1の形の素数の問題についても、
(J.-M.Deshouillers & H.Iwaniec, Ann. Inst. Fourier, 32(1982-1983), 1-11)
任意のεに対してn^2+1, n≦xの形の数の中でx^(1.1-ε)より大きな素因数を持つ
nが存在することが知られているのだが、不思議とGoldbachの問題については
その様な結果は見つからなかった。

>>30
Davenportのは標準的な入門書。
ツッコミたければPracharのPrimzahlverteilung, Springer-Verlg, 1978
(2nd edition)とかMontgomery, Topics in Multiplicative Number Theory,
Lecture Notes in Math., 227(1971)とかあるがこれらも絶版。

ζ関数やL関数に関しては'80年代中盤に結構本が出ているので、無くなる前に
注文するのが良いと思われ。

ゴールドバッハ予想が解決されたら、他のどういった分野に
応用があるだろうか？

複雑系読んだら科学が信用できなくなった…
哲学者のほうが高次元なのではないかと。
しかし、文系集めても月には行けないし。
かといって、月に行ってどうするの？

>>41
それを言い出したら人間の知的活動は全てが無価値になる。
どうして哲学崇拝者っていつも同じ事しか言えないのだろうか。

てゆうか科学を信用するって何？（ｗ
言わんとするところは分かるけど、言葉使い一つであまり考えてない人だって思われるよ。

役に立つたたないとか､信用するとかどうとかってのは物理板の方が向いてるな
数学板では､議論が成り立たないと思うが

>>41
＞複雑系読んだら科学が信用できなくなった…
わけわからん。変な夢でも見たのか？

http://www.utm.edu/research/primes/largest.html

>ところで、双子素数や、ソフィージェルマン素数、メルセンヌ素数などが
>無限にあるかどうかはどうなってるのかな？まだ未解決？
>奇数の完全数の不在って証明されたっけ

私が思うにまだだったと。

>ゴールドバッハ予想が解決されたら、他のどういった分野に
>応用があるだろうか？

数え上げ組み合わせ論に大きく影響し、これによりリーマン予想が解ける可能性がある。

>>47
そういう数学って、クラシカルで素敵だね。

「ペトロス伯父とゴールドバッハ予想」ならオレも読んだよ。

ゲーデルがチョイ役で出てくるのが気に入らんね。

ゲーデルは小学校時代から秀才ではあったが、いわゆる早熟の天才ではなかった。
ウィーン大学では物理を専攻するつもりだったが、フルトベングラー氏の講義に
魅せられて、専攻を数学に変えたそうである。解析学の無矛盾性証明という
ヒルベルトのプログラムに挑んだが、その途上でそれが不可能であることを悟り
その結果を不完全性定理としてまとめた。２５歳のときである。

不完全性定理の証明は基本的にはそんなに難しいわけではない。
しかしながら、その結論の意味するところはあまりに大きい。
注目度、重要度は必ずしも難易度と比例しないところが数学の
オモシロイ点である。

＞才能ある数学者がゴールドバッハ予想に
＞とりつかれたばかりに人生を棒に振った

数学のセンスというのは、問題を解くためのものだと
一般に考えられているが、それは少々見当違いである。
ホントウのセンスは、問題を見出すことにある。
そういうセンスのない奴が、数学の無駄な知識と技法ばかり
詰めこむものの、マトモな論文が書けずに研究者として
失敗するのは大学では実にしばしば見られるありふれた
「悲劇」である。

>ペトロス伯父と……
数学はともかく、単純に、話として面白くないだろ？

>>50
そうだよね。一個の問題に取り付かれて人生を棒に振るようなタイプは
数学的見識に欠けるよね。
ゴールドバッハでも、篩法とか数論的特殊函数とかいろんなテーマと結びついて
いるわけで、ゴールドバッハを視野に入れつつその周りを探索するという
数学的判断力（？）が悪い人は、大きな問題は解けるはずないよね。
正しい方向で研究すれば、なにか結果がでてくるはず。
少なくとも、人生を棒に振ることはない、と思う・・・。

数学は、オリンピックの金メダルレースとは違う。

このスレッド、ゴールドバッハ予想が完全に解決するまで頑張って残しましょうよ

>>54
キサマは一体何十年このスレッドを残すつもりだ？（藁藁藁藁藁藁藁藁藁藁藁藁藁藁藁藁藁藁藁藁

藁は一回でよろしい

完全な証明を発見したけど、
それを書くにはスペースが少なすぎるなぁ・・・。

>>57
別に荒らしでないのなら連続投稿OKだろ。
10スレッドフルに使えば250万文字は書き込めるけど
それでも少なすぎるの？

ところで、Goldbach予想関連の最近の研究はDirichletのL関数（もしくは
等差数列中の素数の分布）の研究に基づいているんだが、これを
一般の代数的整数に拡張した研究はないんだろうか？
（要するに有理整数環の代わりに一般的な整数環で篩を行い、
DirichletのL関数の代わりにHeckeのL関数の性質を使う）

>58
だからネタだっつーの。
それとも、その書き込みもネタ？っぽいね。

どうなんだ？オイオイ

Baica, Malvina Solution of Goldbach's conjecture. Ital. J. Pure Appl. Math. No. 9 (2001), 187--200.
これってどうなん？

>>62
その人は以前Fermatの最終定理を初等的に証明したとか主張していたんだが、
Referenceを辿れなかった為、正しいかどうか判断できなかった。
多分、イタリアの数学界では有名なトンデモだと思われ。

>>63
スマソ。そうみたい。18本論文があるみたいだけど、最後の数本のレビュー
評価は完全なおちょくり状態だね。しかし、こんなんでもPacificと
Discrete Math(こっちがどの程度の雑誌かはよく知らんけど)にPublication
があるのね。激しく鬱かも。かつてはまともだったのかも知んないけど。

>>62-64
2ch 名物「晒しage」みたいなもん？

>>8
16＝3＋13じゃないのか？

って7月11日の人に言ってもな・・・

>>59
Z[X]でのGoldbach予想の類似はあるよ。(解けてるみたい)

>>64
Pacificは国際的な雑誌の中では安い（最近は少し高くなってるが）かわりに
レヴェルは低い方。
Discrete Math. は名前の通り離散数学の専門誌で、一年数1000〜10000ページに
及ぶ。内容は玉石混交だが、離散数学の分野では一番有名。
とりあえず、PacificとDiscreteの論文の情報きぼんぬ。

>>67
こっちもソースきぼん。

Rattan, A. and Stewart, C.; Goldbach's conjecture for Z[x].
C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can. 20(1998),no.3,83--85.
任意のF(X) in Z[X]に対し既約多項式P(X), Q(X) in Z[X]が存在し
F(X) = P(X) + Q(X).
上のページ数できちんとした証明なのだとすると実はフェルマーの多項式版等と同様に
数セミのエレガントな解答を求むレベルの難易度のものなのかも知れない。

>>69
「Ｚ［ｘ］の多項式ｆ（ｘ）＝ｘ＾ｎ＋�煤Q｛０≦ｋ＜ｎ｝（ａ（ｋ）ｘ＾ｋ）は
素数ｐが存在して
任意のｋに対して０≦ｋ＜ｎならばａ（ｋ）はｐの倍数
ａ（０）はｐ＾２の倍数ではない
となるならばｆ（ｘ）は既約。」
という定理を使えば簡単に証明できます。

上の場合の既約ってf(X)=g(X)h(X)でdeg g, deg h > 0となるものがないって意味なのかそれとも>が>=なのかが分からん。

あ。>=の時はg ,h は1でないとしての話ね。

スマソ。-1もunitだわ

Z[x]は分かったけど、代数的整数環とかだとどうなるんだろう？

具体的情報出してもいいけどGoldbachとは直接関係ないよ。

>>74
予想の性質から言って単項イデアル整域でないと厳しそうだと思うが、どうよ