無限大って何よ？

2^n（n→∞）と3^n（n→∞）は共に無限大に発散すると言われているが、この２つは本当に同じものなのか？
2を何回掛けても3で割り切れるようにはなりません。

無限大はそもそも数ではないので、倍数とか約数とかの話は通用しないと思う。

2^n（n→∞）も3^n（n→∞）も｢限り無く大きく｣
なることにかわりない。だから｢無限大｣

2^n/3^n（n→∞）はゼロに収束する。
場合にもよるが別に同じものと考えるわけじゃない。

>2^n（n→∞）と3^n（n→∞）は共に
>無限大に発散すると言われているが、
>この２つは本当に同じものなのか？

何かの評価可能な値をもつということではないから
同じも違うもない

無限大について言えること
∞＋１＝∞
∞−１＝∞

具体的には
2^n（n→∞）+ 1 = 2^n（n→∞）
2^n（n→∞）- 1 = 2^n（n→∞）
と書いてよいの？

∞＋１＝∞
は
（無限大に発散する数列）＋（１に収束する数列）
＝（無限大に発散する数列）
と捉えましょう。

無限大は

実数？有理数？無理数？偶数？奇数？整数？

>>4
まぁ
その場合同時に近づける
ってことだけどね

>>6
加法って無限大に対して定義できなくない？

>>11
というか式と言うより概念だと思われ。
１を足そうが引こうが変化無し。

>>12
うい
了解

無限小の逆数

無限大ってどれほど大きいの?
大きさが示されなくても量的概念といえるの?

>>8
数列同士の加法って具体的にはどのように定義されているのですか？

無限大って実数の上界みたいな感じでしょ。

R* において |x| > a (∀a∈R) とか。

1/zのことだってば

>>17
座布団一枚。

>>18
顔文字かと思った

>>17
上限ではないの？

>>22
そもそも、実数の範囲では無限大に達しないよ。
2^n（n→∞）とかは、無限大に限りなく近づくだけで、
2^n自体は無限大の一歩手前の状態まで。

むりやり無限大をを数として認めるなら
それは上界であって上限ではない、と思う。

1は
lim_(n→∞)3^nは3の倍数で
lim_(n→∞)2^nは3の倍数で無い
とでも主張したいのだろうか？

1は無限大を数だと勘違いしていると思われ

>>23
上限は最大値とは違うから実数の範囲外でもOKじゃないの？
無限大に限りなく近づくというのは
まさに上限のほうがぴったりのように思うのは私だけかな？
>>24
ニュアンス的に無限大にも程度（順序）があって比較できると言うことから？

無限大が``数"であるかないかは``数"をどう捉えるかの
立場に依存する.無限大を数と認めても、ここで微妙に
指摘されているように倍数とかその他の概念は定義されない.

>>23
＞2^n（n→∞）とかは、無限大に限りなく近づくだけ

無限大に限りなく近づくいたらそりゃ無限大じゃないかよう！
ま、実数ではないわな。

∞ってのは、あくまで概念上の存在なんだよね。実在はしない。
平たく言えば、2^n（n→∞）も3^n（n→∞）も、共に“無限大”という状態に
どんどんと近づいていく、もしくは似ていくってだけの話。

>>27
いや、わかんなくなってきた。上界かつ上限か?
無限大を数だとすると、それはどんな実数よりも大きいから
無限大は上界。
上限は上界で最小のものだけど、無限大は１つしかない？
とすれば上限でもある。

どうよ？

超限解析学勉強しないとな。

単に実数上で収束の定義をする上で実数の集合が無限大を
元に持たなくとも定義を与える事が出来るから通常は無限大を
数に考えなくてもいいだけで、無限大が実在する云々は別の問題.

っていうか、数そのものが概念じゃないの？
あとは概念が実在するかという問題.
あ、30にレスです.

上限ってよりは上極限だな

無限大を数体に加えた拡大を扱うものに超準解析という
のがありますね。そこでは無限大の倍数も当然あります。

議論より前に無限大という概念を定義しとかないと訳分からない事になる
と思ったのは私だけかな？
人ごとにそれぞれ違う無限大の概念もってるし、実際本読んでも現状
統一感が私には感じられないから、議論するだけ無駄と思う。

少なくとも、ここの lim で登場する無限大は、どんな有理数からも
どんどん離れていって、どっかいっちゃうよって意味。

「だから、この２つは本当に同じものなのか？ 」は、何についてという前提抜け。

どちらも、「どっかいっちゃいますか」といわれれば、どちらも同じと思った。
「2を何回掛けても3で割り切れるように」については違うものと思った。

無限大の議論は議論のターゲットを明確にして欲しいなといつも思う。

35>のがありますね。そこでは無限大の倍数も当然あります。

無限大の倍数について説明を希望します.

>36

どう好意的に無限大を解釈しても1の推論は誤っていると
言う話では？

素数全部の積（2×3×5×7×…）と
素数全部の積×2（2^2×3×5×7×…）は同じ物ですか？

「素数全部の積（2×3×5×7×…）」と「素数全部の積×2（2^2×3×5×7×…）」
は前から７番と８番目の文字が違います。

「同じ物」とは何を指すのか明確にせよ。

無限大が数じゃなくて状態だというのはわかっているつもり。
ただ、2^nとか以外にもたとえば2+4+6+8+…はどこまで逝っても絶対奇数にはならないし、
π×n（n→∞）はどこまで逝っても絶対整数にはならないよな。
そういう性質を抜きにただ「限りなく大きくなる」というだけで同じようなものとして扱うのはちょっと乱暴なんじゃないかと思ったわけ。
大量の砂糖と大量の塩を前に、「どっちも白い粉がいっぱいあるんだから似たようなもんだ」と言っているようなもんじゃないか？
そこがどうしても気になったんだが、くだらない疑問だというなら消える。

>そういう性質を抜きにただ「限りなく大きくなる」というだけで同じようなものとして扱うのはちょっと乱暴

それでいいんじゃない、オレもそれ以上でもそれ以下でもないと思うが・・・

>39

そうか、収束での無限大とは限らないで、
素数全部の積と
素数全部の積×2
が同じと結論できないケースもあるかという話か.
納得しました.

でも、1は「2を何回掛けても3で割り切れるようにならない
から同じでない」と言っている気がしますが、
これは納得できないなぁ.

ああ、「2を何回掛けても3で割り切れるようにならない
から同じでない」じゃなくて「2を何回掛けても3で割り
切れるようにならないから同じとはいい切れない」って
いってるのか？

うーん、頭悪いな俺.

ｱﾔﾏﾘ:
2^n(n->8)=8
3^n(n->8)=8
so
2^n(n->8)=3^n(n->8)

ｾｲｶｲ:
2^n(n->8)->8
3^n(n->8)->8

>>46
ﾊｧ?（ﾟдﾟ）

>>42
>無限大が数じゃなくて状態だというのはわかっているつもり。
う〜んなるほど、つもりぽいですね。(笑）

>、2^nとか以外にもたとえば2+4+6+8+…はどこまで逝っても絶対奇数にはならないし

偶数奇数はね、あくまでも「整数」に定義されてるんです。
相手は数字じゃないですよね、ならば新たに定義する必要があるんです。
どう定義するかは 1 の自由。
普通数学の拡張をするとき、元になる集合の性質をできる限り保持するのが通例。
自然数−＞整数−＞有理数と拡張されるときの手順を考えてみるべし。
もちろんそうしなくても良い。例えば
>>40
こんな極端な例もあるだろう。
この定義ができて初めて「何について」ができ上がる、ここで始めて議論可能に
なるわけだ。
それがなければ、同じかどうかなんて議論は空っぽなんです。

例えば、大量の砂糖と大量の塩を前に、同じとは白いものと定義する。
そうすれば、砂糖と塩は共に白いから、砂糖と塩は同じである。と結論される。
ここでの「同じ」の前提は「色」です。

砂糖は奇数ですか？どう定義してみます？
無限大とはそんなものです。
最近バカ電波が、クソもツマラン今井しかいないから、
お前定義してみたら、無限大に偶奇。

これ以降は気にするな
答え：無限大 = 1 / z
オレ的に結構好きなんだけどね、あの案(爆死）

>>48
誰も無限大が奇数なんて言ってねえだろ。
2,2+4,2+4+6,2+4+6+8,…に登場する数は整数。どこまで行っても整数。ずーっと整数。
それの偶奇を論じて何が悪い？　相手はあくまで「数字」だよ。無限大ってのはそれが果てしなく大きくなっていく「過程」だろ？
お前こそ無限大が数だと思ってねえか？　バカ電波はお前だよ。

>>48
今井降臨(ﾌﾟ

>>16
項別和です。実数列全体はR上のベクトル空間になります。
この考え方でいくと、
∞＋∞＝∞、a*∞＝∞（ただしaは正の実数）
0*∞=0
などが成り立ちます。（*はスカラー倍です）
∞−∞は定義できません。

>49
その「過程」を要素とする集合って分かる？
まっいいか（笑）

>>49
無限が数でない（？）のはわかってるって言ったのは嘘だったのかYO！
数でないものに（もちろん整数でもないものに）偶数も奇数もないじゃんか。

あと無限は過程っつー表現はいけてんの？＞ALL
俺には結果にしか見えんのだが・・・。

発散するコーシー列で数として定義できますか？

コーシー列じゃないや

>>53
数じゃん。

数の定義は？

>>57
普通は体（の部分集合）だな。
定義せずに数だとかいっているちゅうぼうが多すぎ。
極限値の意味での無限大ならば実数の1点コンパクト化と考えるのが普通だろう。

はぁ？無限集合も理解できねぇ奴らが無限を語るんじゃねえ！！
君等は可能的無限についてしか語れないのか？
1の言ってる事は、ある意味最後の一行以外は正しいぞ。
集合Ω｛Ω／全ての実数｝の最大の数について考えてみろ。

>>58
うん、普通だね。
幾何学的には、頭良い奴だったら小学生か中学生のときに
思いつきそうな簡単なことだ。
一般のコンパクト化は、かなり複雑だがね。

しかしここでは、自然数に話を絞ろうや。
ここで言っている無限っていうのは、集合論（ＺＦ）的には、
「無限の公理」で定義される最小の極限数のことと思われ。

その意味では、無限もやはり数（っていうか集合）だよ。
ただ、極限数ってのは、その一つ手前の数（直前数）が存在しな
い、っていう性質がある。
うんと噛み砕いて言うと、∞-1という数はない、ってこと。
偶数-1は、もちろん奇数。
奇数-1は、もちろん偶数。
偶数とか奇数とかっていう性質は、「直前数の逆になる」
と考えて良い。３の倍数とかも、要するに同じこと。
だから、直前数を持たない∞は（例えそれが数の一種で
あったとしても）偶数でも奇数でもない。

#俺は、ＺＦ以外は勘弁して（笑）

>>57
自然数から整数、有理数、実数..って拡張してけ。
>>58
集合があって、それが環とか体とかいうならわかるけども
いきなり「体（の部分集合）」て.....
どういうことよ？
群とか環でも数じゃねーの？

>>62
普通、行列は環だが、数とはいわんだろう。
整数は環だが、有理数体の部分集合だから数だ。

>>63
いや、行列だって数だよ。
表現方法のひとつ。
整数だって元々数でしょ？
「有理数体の部分集合だから数」ってのはおかしくない？

>>59
悪いがあんたが一番分かってなさそうな気がするが・・・
ここの議論では実数は登場しないぞ。
整数だけでしかも極限でっせ。

全行列環を数といっていいのかな？割り算ができないのはちょっと抵抗があるな。
>表現方法のひとつ。
部分集合が複素数体と同一視できるということなら、それはそうだが。

>>61
こんなんどお？
整数だけが対象なんで、コーシー列もどきとして。
１．数列がある項以降、整数Ａとすべて等しいの時、その数列のことをＡと呼ぶ。
２．数列が整数Ａで割り切れるとは、ある項以降Ａですべて割り切れるときである。
３．無限大とは、ある項以降が、どんな整数よりも大きくなるとき。
これで、無限大に偶数奇数をつけられます。
この定義なら 2^n（n→∞）と3^n（n→∞）は違うものと定義できます。

そこでこの整数のことをバカ１整数と呼びませう。(笑)

無限とは幻であった。　今井塾セミナーより、

>>67
日本語が変なのでちゃんと定義できてない。
ネタなのか？

>>65
誰も整数に話を限ってなどいないぞ。
もっと広く議論しようや。

long int の上限
#define MAXLONG 0x7fffffff

>>68
いまいは消えろ。

>>31
> 上限は上界で最小のものだけど、無限大は１つしかない？
> とすれば上限でもある。

上界の下限じゃなかったっけ？
ずっと昔微積分で習ったような。

>>64
行列が数だっていうなら、行列＝線形写像だから、写像は数ってことになるのか？
関数⊂写像だから、関数も数か。数じゃないものは何って聞いたほうがはやそうだな。

>>74
いきなり「行列＝線形写像」はちょっと乱暴な気がする。。。
定義さえきちんとできれば
或るものは数になりえるって程度じゃないの？

群・環・体の定義はあっても数の定義ってないんか。。
考えてみると面白いね。。
「自然数との間で足し算ができる集合」ってのはどうかな。

>>76
> 数の定義・・・「自然数との間で足し算ができる集合」
自然数を無定義用語にするの？

>>77
ん？自然数は自然数で定義すればいいんじゃないかな？
基礎論とかよく知らないけど・・

>>74
f:x→2x
g:x→Ax
どちらも写像
2は数で写像じゃない
行列≠線形写像
行列＝線形写像を表現するもの

幻か‥‥(^^;
しかし、その幻の中にも、整合性のある構造を
見い出すことができる、っていうのが数学の、
最も魅力的なところではないか？
（１００年以上も前から分かっていることだが（笑））
「幻であった」とか何とか言ってふんぞり返ってても、
ちっとも面白くないのう。
今井とかいう電波は、つまらん奴だなぁ。

有理数を使って実数を作るのに無限は不要です。お疑いなら今井の実数をご覧下さい。

このスレに関係あるの？

>81
なんで、実数にこだわるんだよ？
無限の使い道なんていろいろあるじゃねぇか、ほんっとツマンね奴だな。バカ今井。

>>81
トンデモは消えろ。

講談社現代新書「無限論の教室（著：野矢茂樹）」
まともに話を続けるつもりなら、図書館で借りてくるなりして
読むことをお勧めする。

>>85
それ、文系連中のバイブルと化しているようだけど、そんなにいい本か?
「ε-δわかんねー」というレベルの人がその本で無限を理解した気になって
「数学者は知らないだろうが可能無限という概念があって……」
なんて言い出したりするから、自分的には印象が悪い。
無限を理解しようとするなら、数学的素養の乏しいまま
てちゅがく系の本を読んで観念的に無限を捉えようとするよりも、
普通の大学数学を身につけた方が遥かにマシだと思うけどなあ。

数学の言葉と他の分野での言葉は意味が異なるからな。
このスレの１のように数学の言葉としての意味を知りたいならば
数学の本を読んだ方が良い。
でもそれだけのことだろ？

相手が数学の言葉としての意味を知りたいのでないならば、その本を
読むことをとやかく言う筋合いは無いと思う。

>>86
あの本自体は面白いと思う。でも、数学の本じゃない。あくまで、哲学のお話。

ここは、数学板だから物理的無限は、無しってことで・・・・・・

>物理的無限
なにそれ？始めて聞いたが

　2^n（n→∞）　を考える前に　n→∞　が分からない。
任意のεに対してｎ＞εとなるｎを考えることって出来るの？
εを考えられる最大の数とした時、でもさらにｎ＞εが考えられる。
つまり無限大とは上限を持たないということ？

「任意のεに対してｎ＞ε」となるｎは無い。
任意のεに対して「ｎ＞εとなるｎ」は有る。

「任意のεに対して」と言った瞬間、そのεはひとつの数として確定する。
だから
「任意のεに対してｎ＞εとなるｎを考えることって出来るの？」
の問いに対しては
「できます」

>>93,94
分かりやすい解説ありがとう。

>>87
哲学でも記号論理ぐらい使うよ。特に野矢みたいなのは。
それをふまえない議論は他の板へどうぞ。

>>93
こういう対にして説明されると、全体像が見えて
私みたいな初学者にもわかりやすいです。
こういうスレ成長するといいんだけどな・・・

どーでもいいけど、野矢は灯台で「座禅ゼミ」ってのをやってる。
怖いもの見たさで結構受講希望者は多いらしい。

age

>>99
オカルト板で幽霊が出るって言われてる場所ですね？

age

>2^n（n→∞）と3^n（n→∞）は共に無限大に発散すると言われているが
ってありますが、4^n(→∞）は無限大には発散しないのです？？？

>>103
ﾊｧ?

>2^n（n→∞）と3^n（n→∞）は共に無限大に発散すると言われているが

ってありますが、4^n(ｎ→∞）や5^n(ｎ→∞）や6^n(ｎ→∞）・・・は、
無限大には発散しないのですか？？？何故に「２」と「３」に限定しているのです？
わかりません。ネタじゃないです。教えてください。

？こりゃ　２と３に限定しているのでなくて、2^n（n→∞）と3^n（n→∞）が
同じかどうか、って話なんですか？

>>105
ネタとしか思えない

>>105
(ｎ→∞）（ｎは全角）でも（n→０)（ｎは半角）なら4^n→０です。

つうーことか？

しかしこれだけレスがついてても、超限基数論は話題になってないな。今どき、
数学科じゃ濃度や基数の講議はしないのか？みんな、たかがアレフ・ゼロで
思考停止しているように思われ。もっと勉強しろ！連続体仮説については、
２＾アレフ・ゼロ＝アレフ・２といったぐあいに晩年のゲ−デルは「思って」
いたとか竹内のおっさんが言ってたがなぁ（遠い目）・・・。

とりあえず、超限数論だったら、Heinz Bachmannの名著"Transfinite Zahlen"
(Springer 1967)でも読むよろし。無限論もここまでくると「哲学」だぞ！

濃度や基数の話は、別に数学科じゃなくても本を読んだ
だけで理解できると思うが。大して難しいこと言ってる
ワケじゃなし。
ていうかそもそも、教科書を読んだだけで理解できる
のが数学の良いトコロ‥‥‥。

しかし、このスレは１に対する回答だからね。アレフ
ゼロで充分だろう。
それ以上の濃度や、連続体濃度について語りたいなら、
別スレ立てるよろし。
哲学板に行くもよろし。

わかりました。ありがとうございます！

>111
なにがわかったんだ？

さっき時間がなかったんでいい加減な表現になってしまいました。
「a^n (a>1)はn→∞のとき∞に発散する」と、自分は思っていたのですが
自分は、１　さんの表現を「a=2 a=3 の時のみ∞に発散する」とも解釈
できたんで、少し混乱しちゃいました。

f(X)=1/X(X!=0)はX→0のとき∞に発散するがなにか？

>>109
そんなもん不要じゃん、と思ったこのスレの場合・・・
やれば返って焦点があいまいになるだけでしょうね。
でもまあ、それも面白そうではあるね。
各種無限論スレとか立ててみたら？
面白そうな話題でたら、オレも書くよ。

>>109みたいな馬鹿って結構多いよ
ｚ案の時も、逆元が存在しないという証明を３０回以上見せられた（鬱

>>109は最近、連続体仮説のことを知って他の人に自慢したくて
しょうがない奴だろ。黙って聞き流してやれよ。

しかし、連続体仮説だと２＾アレフ０＝アレフ１だろ。もしそれがアレフ２
だというなら、自然数と実数の濃度の中間に第三の無限の濃度があるというの
だろうか？果たしてGoedelはその種の公理系を考えていたというのか？まるで
ナマコのような解析学ができるだろうな（感嘆。

うん、118の言う通りだね。
俺もそういう公理系のハナシなら、興味あるよ。
逆に言えば、そこまで踏み込んでくれなくちゃ、
面白くないぞ‥‥>>109

Cohenが、そういう公理系も連続体仮説が成立つ公理系も
「ZFが無矛盾ならば」ありだよ、てなこといってフィール
ズ賞貰ったんだよ、　>>118

109のいう本を読んでも理解できんだろうな．
真面目に理解したきゃT. J. Jech, Set Theoryが定番だ
わさ．

基礎論の勉強って必要か？

>>121
無限大とかみたいな、普通には考えにくい厄介な物は必要なんじゃないのかなぁ？

数学屋にとって、点集合論、基礎論、一般位相など基本的教養だと思うが。
素人から（例えばやけに基礎論に詳しい哲学屋＝哲学科ヒッキー院生に）、
超限数、連続体仮説やツォルンの補題、叉は不完全性定理について質問されて、
数学屋さんが答えに窮したらやっぱ「恥」だわな。

学生時代、研究室の書庫で見つけたEduard CechのTopological
Spacesに「撃たれ」た。KellyやEngelkingで欲求不満に陥って
いたのが救われた。こりゃ無限の哲学だとおもった。いい教養
になったと思うよ。一般位相は今でも数論なみに好きだ。

＞１２０、　うん、Cohenの業績くらいは知ってる。でも、問題は
実際そういう解析学を創った物好き「なまこを始めて食った奴も
偉いがLieも偉い」野郎はいるんだろうか？「玄妙」なる領域だな。

おうよ。さすがにCohenは既知だろう。
それよりも、>>123の
「やけに基礎論に詳しい哲学屋」
ってのに笑った。
数学を知らずに、基礎論だけ詳しいってことかい？（笑）

>>123
>超限数、連続体仮説やツォルンの補題、叉は不完全性定理

知ってて悪いことはないけど、別に知らなくても「恥」とは思わない。
数学の「枠組み」ばかりに関心を示して
ふつーの数学屋の研究テーマについては概要すら知ろうとしない
素人の哲学ヲタよりはよほど健全でしょう。
上記の例ではツォルンの補題はともかく、他は知らなくても
ふつーの数学をやってく上で殆ど何の支障もないし。
教養として身につけるだけなら基礎論以外の代数・解析・幾何の
全分野を習得する方を優先したいな。自分としては。

ちゃんとルベグ積分とか真面目に勉強した？>>127 >>126 >>125
Cohenという数学者はうじゃうじゃいるけど、とりあえずそのCohen
は元々は解析学者だぜ．

ＺＦの公理なんぞ知らなくても生きていける
Zornの補題は知らないと生きていけないが

>連続体仮説やツォルンの補題、叉は不完全性定理

どんなもんか少しも知らないとなると、ここらへんは「恥」だと思う。
しっかり説明できるかどうかは別として（ｗ

あげとくか…

＞ＺＦの公理なんぞ知らなくても生きていける

か、そりゃそうだ。その公理系のもとで商売してるからな（藁。

＞数学を知らずに、基礎論だけ詳しいってことかい？（笑）

そう、ドイツ語はまるで話せないし、ドイツ哲学も知らないが、ドイツ語文法
は滅茶苦茶詳しい、「それは正しくは接続法?�ではねぇ」とかいう文法オタに
「似ている」のが居る。数学はともかく、数理論理、あるいはラッセル・ホワ
イトヘッド、ゲーデルの「超数学」には詳しいって（というかその教養がある
）のが確かに居る。もちろん、それはそれでいい。知らないよりはいい。

無限大は、ING

＞知らないよりはいい。

うん、それはその通りだね。
しかし、その対象となる数学自身に対しては、イメージを
殆ど持たぬまま、メタ数学をいきなり理解するのか。
少なくとも、私には真似のできない離れ業だ。
それも別種の頭の良さかな。