エレガントな解法を求む！

リーマン積分

/ 1
| X
I = | X dX
|
/ 0

ってどれくらいの値になるでしょうか？極限の議論が面倒なので、
0^0=1と定義しておきます。

>>1

思いっきり崩れてますね。言葉で書きます。

関数f(x)=x^xがあります。f(x)をx=0からx=1までリーマン積分する
と結果はどれくらいの値になりますか？但し、f(0)=1と定義します。

1-(1/2)^2+(1/3)^3-(1/4)^4+(1/5)^5-(1/6)^6+…

になるんだよね。収束、速そう。初めて導いたのはベルヌイだったっけ。

∫[0,1]x^xdx≒∫[0,1/2]x^(1/4)dx+∫[1/2,1]x^(3/4)dx
＝(4/5)x^(5/4)[0,1/2]+(4/7)x^(7/4)[1/2,1]
＝(1/2)^(1/4)((2/5)-(2/7)(1/2)^(1/2))+ 4/7
≒(7/10)^(1/2)(2/5-(2/7)(7/10))+4/7
≒(83/100)(1/5)+4/7
≒0.166+0.571＝0.734
(ここで 2^(1/2)≒140/100 (7/10)^(1/2)＝83/100とした）

ってぜんぜんエレガントじゃない...

0.7835ぐらいかな。

In[1]:= NIntegrate[ x^x , {x,0,1} ]
Out[1]= 0.783431

x^x = exp(xlogx)=1+ xlogx + (xlogx)^2/2! + ... + (xlogx)^n/n! + ...

上式右辺は[0,1]で一様収束するとすれば、項別積分可能で

I = 1-(1/2)^2+(1/3)^3-(1/4)^4+(1/5)^5-(1/6)^6+… +(-1)^(n-1)/(n^n) + ...

が得られます。(xlogx)^nの[0,1]積分はx^p(logx)^nの[0,1]積分をn,pを用いて
書き下せばp=nとして求められます。これは初等的な部分積分で導出できるはずです。

項別積分のところを除けば、高校数学で一応計算できます。ところで、本当に一様収束
するのかな？

>>7
0.7834305107121344　あたりに収束したぞ。

>>8
ﾊｧ?

>>7

(xlogx)^nの積分のところの詳細を書きます。

I(n,p) = ∫[0,1] x^p(logx)^n dx　とします。
I(n,p) = ∫[0,1] (p+1)^(-1)(x^(p+1))'(logx)^n dx
= [(p+1)^(-1)x^(p+1)(logx)^n][0,1] - ∫[0,1](p+1)^(-1)x^(p+1)n(logx)^(n-1)x^(-1) dx
= -∫[0,1](p+1)^(-1) nx^p(logx)^(n-1) dx
= -nI(n-1,p)/(p+1)
但し積分表面項[(p+1)^(-1)x^(p+1)(logx)^n][0,1] = 0となるpを仮定した。(p>=nで十分)
I(0,p) = 1/(p+1)より
I(n,p) = (-n/(p+1))(-(n-1)/(p+1))...(-1/(p+1))I(0,p)
I(n,p) = (-1)^n n!/(p+1)^(n+1)
特にp=nと置くと、
I(n,n) = n!(-1)^n /(n+1)^(n+1)
が得られます。