確率微分方程式って？

確率論で盛り上がっているスレもありますが、
確率微分方程式ってのもありますよね？
この分野はどうなんでしょう？最近の主流ですか？

あげ

>最近の主流ですか？

「主流」を定義づけて、ウェルディファインドか用例を示せ。

あげ

主流：＝複数ある方法の中で過半数を得ている
「確率微分方程式は確率を考える主流だ」
＝「確率微分方程式は確率を考えるときに過半数を得ている」

no!

>「確率微分方程式は確率を考える主流だ」
>「確率微分方程式は確率を考えるときに過半数を得ている」
どっちも意味不明。

ｐｌｉｍ｛Σ（ρα：φ）｝

　

age

age

２ｃｈでは高度過ぎる話題のようです。

正直俺もよくわからん。
みんなもか？

わからんというよりこのスレで何を聞きたいのかがわからん
岩波の舟木先生の本は面白かったよ

確率微分方程式がどんなものなのか教えて〜。
確率変数を微分するんかい？
なんかイメージも全然つかめないんだけど。

印象としては、確率空間なんてものは結局測度空間な分けで
そこでの微分方程式といえば。。。

うーん

一般関数とかいうやつみたいな形でやるのかなぁ。。。

といっても、一般関数自体、既に忘れてきているけど。。。

>>15
おいおい…

>>14
実際は「確率積分方程式」というほうが適当なのだが、
普通「確率微分方程式」と言っている。
確率積分というのは、確率過程｛X(t)}に新しい確率過程｛I(X,t)}を対応させるものなのだが、
この確率積分を使って
　X(t) = x + I(a(X),t) + ∫[0,t]b(X(s))ds
と書けるような確率過程｛X(t)}を確率微分方程式の解という。

といっても解りにくいだろうが、確率積分をきちんと定義するためには、
martingaleに関する知識などが必要なのでここでの説明は難しいな。
かなりおおざっぱにいうと、
例えば確率過程｛X(t)}のBrown運動｛B(t)}に関する確率積分というのは、
Riemann和�嚢(ｔ_j)*{B(t_j+1)-B(t_j)}の（ある意味での）極限として定義される。
ようするに、Brown運動に関するStieltjes積分みたいなもんだな。
Brown運動に限らず、一般のmartingaleに関する確率積分も同様に定義できる。

ナイチンゲールも
マルチンゲールも
なんかやらしいと思う今日この頃。

しょせん応用数学だよね。

>>16
だって、全く知らないんだもん。。。

まあ、少し調べてきたから
今は、少しは、わかったけど。。。

>>19
そうでもないよ
純粋数学バリバリだとおもうんだけど…

なぜ、みるくは「確率」という言葉にすぐ寄って来るのだろう・・・

>>19
普通の微分方程式＋ブラウン運動項Bって感じ
Bは微分不可能なんだけれどもそこに測度考えて
微積分ができるようにというものなので、ある意味
微分方程式の拡張になってます。
どうして応用数学だと思われてるのか疑問

>>22
MilkTeaの数少ない知識の一つ
＞確率空間なんてものは結局測度空間
が言いたくてしょうがないのだと思われ(w
>>23
１９にとっては解析全般が応用数学なのだと思われ(w

＞MilkTeaの数少ない知識の一つ
＞＞確率空間なんてものは結局測度空間
＞が言いたくてしょうがないのだと思われ(w

さすが、２チャンネル。

なかなかの読解力だね。

＞１９にとっては解析全般が応用数学なのだと思われ(w

そういう奴は少なからず存在する

つーか文系の連中が使うようになったら応用

>>27
そんな無茶な、、数学やってる奴のせりふとは思えないな
あぁ教養課程の学生か（ﾜﾗ

文系あげ

確率過程をやってたら大抵でてくるもんじゃない。
確率論自体を応用数学だと思ってるバカチンがいるみたいだけど。

普通の微分方程式は例えば、
dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)dc(t)
なんて形ですよね。xの変異が時間tとともにどう変わるか？って意味合いの方程式です。
この方程式のx(t)やc(t)が確率過程とすればどうなるのか？
すなわち例えば変異xは時間と場所から予測できる力と、時間と場所によってはまったくでたらめな確率に支配される力の両方を受けて決まってくる確率的な変異の場合はどうか？
こういう意味合いの式が
dX(t)=a(X,t)dt+b(X,t)dC(t)
のような形で書かれ、これが確率微分方程式です。
ただ、確率が絡んでくるために単純にlim C(t)/dtなどの極限は求めることができず、この式の解を求める、というより意味を持たせるためには、確率積分の概念が理論的には最初にいります。
つまり、上の式を積分の形で書いた
X(t)=∫[0,t]a(X,t)dt+∫[0,t]b(X,t)dC(t)+X(0)
の積分の定義を与えるわけですね。17の方がおっしゃるように複雑ですが…。
どちらかというと上の微分の形式で書くことが多いので確率微分方程式と言いますが、理論としては下の確率積分方程式の方です。

確率積分自体、学生時代は確率論を先行していた私としては立派な純粋数学としての研究対象だと思いますが、今や確率過程は金融工学の主要な位置を占める、というかそのものですから応用数学と位置付けられることが多いようですね。
上のX(t)を株価の時間による動きなどと見るわけですね。
伊藤の公式やギルザノフの定理等は実際応用上有用で、これらが無ければ現在の金融工学は無かった、と言ってもいいですね。

おおざっぱでいいから
伊藤の公式を解説してくれ

ちなみに高校レベルでおねがいします

>>32
＞ちなみに高校レベルでおねがいします

爆笑した

伊藤積分をテーラー展開したようなもん？

趣味で確率微分方程式の勉強してます。
測度をやって、伊藤清の本も終わってシュプリンガ−のGTMのKaratzasの
本の真ん中辺を読んでますが、すげ−難しいっす！
皆さん、どんな本読んでます？

からざすしゅれーぶは難しいよねえ。
辞書だな、あれは。

dX(t)=a(X,t)dt+c(X,t)dB(t) 　（B(t)はブラウン運動過程）
のような確率微分方程式で、
Y=f(X(t),t)と変数変換した時に、このYも、
dY(t)=g(X,t)dt+h(X,t)dB(t)
のようなXの従う確率微分方程式と同じ形の確率微分方程式に従う、というのが伊藤の定理の主張です。
この２番目の式で、 gやhはfのt,xによる１階微分や２階微分で表現され、この２番目の式を伊藤の公式や伊藤の変換公式と言います。
（gやhの形は色んな文献を参照してね。）
ちなみに各種正則条件は略してます。

gに、fのxによる2階微分の形の項が出てくるのですが、これが確率微分方程式ならではのポイントです。
簡単には、Y=f(X(t),t)をテイラー展開して１番目の式に代入すれば導けるんですが、テイラー展開した時の２次の項(dX)^2が通常の場合と違って無視できないんですね。

高校レベルにはなってないかな？（笑）

マルチンゲール性を理解してからだな。>>高校生

っていうか自分で調べろよそれくらい。
ちなみにおれは計量経済やってるから確率には
自身

>35

丁寧に書いてあるから、読みやすい本だと思うよ。
> Karatzas & Shreve の本
私もあの本で勉強したし。

確率微分方程式の教科書としては、標準的だと思うけど。

確率論が応用数学だと思っている人間は文系の「確率・統計」のイメージで話をしていると思われ。

ちなみに私、確率論専攻の学部生です。
明後日ゼミの発表。
共立の「確率微分方程式」の本使っているんだけど、条件付期待値が説明無しに導入されていて困っとります。

>41
ごめん、それ、私の担当教官だ。
みんなそう思うよね。。

>>41
あれは学部４年生のこの時期では少し早いと思うよ．
他の本をいろいろ読んでからのほうがいいと思うけど．

なんか最近すごく憂鬱だ。論文、計算えらくて読めないし、
基礎的な確率解析の本もほうってかなりになるから。

憂鬱すぎて、ほとんど鬱だ。

そこで最近思っている。
頑張ろうって

＞４５
がんばれっ！
自分は今、確率積分を定義するところまで勉強したっす

>>32 こんな本があります。
石村貞夫＋石村園子「金融・証券のためのブラック・ショールズ方程式」東京図書
・・・微分の初歩からやさしく学べてよくわかる・・・とあります。

小山昭雄著
「経済数学教室　別巻　確率論」
はどうよ？

2chで最初に確微スレを作ったのはオレ様さ、エッヘン

反射壁確率偏微分方程式を創造したのはオレ様さ、エッヘン

>>41
共立の確率微分方程式はかなり分かりやすくできていると思うのですが…
条件付期待値はあの本に行く前に理解しておくべきだと思います。
というより、わからない内容が出てきたらその場で調べて理解するべきでしょう。
って思うんですけど。

>>51
うい。
今のところボチボチ順調に進んでいます。
Martingaleの表現定理まで進んだよ！
ちょっとペース遅いかな・・・

>>52
表現定理か。
あれは数理ファイナンスとかで基本となる定理ですね、たしか。

あ

確率論って最近は研究動向がなかなか拡散してきているようだが、
主な方向としてはどういうのがあるのかな？
無限次元の複雑な空間を研究してるのもあるし、確率過程論とか、
関連はしあってるんだろうけど。
なんというか、目的の違いというんでしょうか？そういうの何種類くらいあるの？

>>52
あなた様はひょっとして東大のK友先生？
マサカネ〜

>>52
それならMartingaleの表現定理を教えてYO！
以下は既知としていいよ。

確率積分をきちんと定義するためには、マルチンゲールに関する知識などが必要です。
Brown運動を含む、より一般の確率過程のクラスであるマルチンゲールに関する
確率積分も同様に定義できる。（マルチンゲールとは公平な賭けを意味する。）

マルチンゲールが有効である理由
（１）ある時間区間での最大値は最後の時刻の情報のみについて評価できる。（Doobの不等式）
（２）ある種のランダムな時間変更についてマルチンゲール性が保存される。（任意抽出定理）

さらにマルチンゲールには「マルチンゲール収束定理」という重要な性質がある。
この「マルチンゲール収束定理」がマルチンゲールが可積分であることを保証する。

>>51
条件付期待値はもう高校ではやらないの？

５０さんはまさかＯさんですか？

>>58
たぶん君の思っている条件付き期待値とは全然違うモノだよ。
確か、符号付き測度を入れて、Radon-Nikodymの定理を使って存在を保証していたような。

マルチンゲールを定義するには、条件付平均値（または「条件付期待値」とも言う）が必要。
>>58が混乱するのは>>41,>>51が間違えやすい方の「条件付期待値」を使ったから。
実際、教える方も「条件付き期待値（条件付平均値）」を高校で習うと信じ込んでいるが、
>>58が間違えた方の「条件付期待値」を習っている。

確率微分方程式なら
舟木直久「確率微分方程式」岩波書店
長井英生「確率微分方程式」共立出版
この２冊がお勧めかな。
初学者には条件付平均値の説明があるぶんだけ舟木の方が読みやすいかもね。
もちろん長井もいいよ。