◆ わからない問題はここに書いてね ７ ◆

　　　 , ― ﾉ）
　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 わからない問題はここに書いてね♪
　 ヽ　| |　l　 l |〃　それから，数学記号の書き方の例は >>2 を
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 業務連絡・その他は >>3 を読んでね♪
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

【過去のスレッド】
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=967755172 その１
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=970795775 その２
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=974911042 その３
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=978209589 その４
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=981372834 その５
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=985594205 その６（前スレ）

【掲示板での数学記号の書き方例】

●スカラー変数・定数：a-z, A-Z, α-ω, Α-Ω,...
●ベクトル変数・定数：x, |x>, x↑, vector(x) （← 混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．）
●関数：f(x), f[x]
●数列：a(n), a[n], a_n
●行列・テンソル：A, A(i,j), A[i,j], A[i,j,...;p,q...]
●足し算：a+b
●引き算：a-b
●掛け算：a*b, ab （← "*"を使い，"ｘ"は使わない．）
●割り算・分数：a/b, a/(b+c), a/(bc) （← "/"を使い，"÷"は使わない．）
●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2) （← "√"を使う．「るーと」で変換可．）
●指数・指数関数：a^b, x^(n+1), exp(x+y)=e^(x+y) （← "^"を使う．"exp"はeの指数．）
●対数・対数関数：log_{a}(b), log(x/2)=log_{10}(x/2), ln(x/2)=log_{e}(x/2) （← 底を省略する場合，"log"は常用対数，"ln"は自然対数．）
●三角比・三角関数：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
●内積・外積・スカラー３重積：a・b=(a,b), aｘb=[a,b], [a,b,c]=det(a,b,c)
●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)
●絶対値・ガウス記号：|x|, [x]
●共役複素数：z~, bar(z)
●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk
●微分・偏微分：y', dy/dx, ∂y/∂x （← "∂"は「きごう」で変換可．）
●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf （← "∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬_[D]f(x,y)dxdy, �点[C]f(r)dl （← "∫"は「いんてぐらる」，"∬��"は「きごう」で変換可．）
●数列和・数列積：Σ[k=1,n]a(k), Π[k=1,n]a(k) （← "Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可．）
●極限：lim[x→∞]f(x) （← "∞"は「むげんだい」で変換可．）
●図形："△"は「さんかく」，"∠"は「かく」，"⊥"は「すいちょく」で変換可．

●その他
・関数等の変数表示や式の括弧は，括弧( )だけでなく[ ]{ }を適当に組み合わせると見やすい場合がある．
・ギリシャ文字はその読み方で変換可．
・複号は"±"の他に漢字の"士干"なども利用できる．
・上記のほとんどの記号やその他の記号"⇒∀≠≧≒∈±≡∩∽"などは「きごう」で順次変換できる．

【業務連絡・その他】
●新スレへの移行
・９００を超えたら新スレに移行準備．
・旧スレ側 → 終了宣言，新スレへの誘導．
・新スレ側 → 開始宣言と目次，旧スレのリンク，掲示板での数学記号の書き方例，業務連絡・その他，旧スレ側の残り問題の移動．
・数学板の要望スレで数学板の注意書き（リンク先）の変更依頼．

●数学板の要望スレ
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=accuse&key=981797747

●数学板の削除依頼スレ
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=986384122 （レス削除）
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=974165593 （スレッド削除）

●このスレッド「わからない問題はここに書いてね ７」
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=988952592

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│　はにゃ〜ん　　　　│
｜　　γ∞γ~　　＼ 　　│
│人ｗ/　从从) ）　　　│
│ ヽ　| |┬　ｲ |〃　　 │
│　｀ｗﾊ~　.　ノ） 　　　│
│　 /　＼｀「 　　　　　│
｜　　さくらスレ　　　　│
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（● ´ ー ｀ ●）ﾉ さくらスレ旗掲揚

移転完了 ъ( ﾟｰ^)

１辺がａの立方体を対角線について回転させた回転体の体積を
積分を使わずに求めよ

906 名前：(＠。＠) 丸三証券 投稿日：2001/05/04(金) 13:03
正多面体の面の数と頂点の数と辺の数って、なんか法則性ある？

　　 面の数　　頂点の数　辺の数
　　正四面体　　　 ４　　　　　４
　　正六面体　　　 ８　　　　 １２
　　正八面体　　　 ６　　　　 １２
　正十二面体　　 ２０　　　　３０
　正二十面体　 １２　　　　３０

ありそうなんだけどわからない。


909 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2001/05/04(金) 13:09
>>906
点-線+面=2...(Euler標数ってかんじ。)


９０９は何で？　どうやって導き出すの？　Euler標数？

１）平面での次のことを示す。
孤立している線分がない,線分の集まりの図について
　線分の数　 H
線分の端 　T (共有してても１と数えろ）
　区切られている閉領域の数 M

T+M-H = 1が成立を示す

M=0 のとき
　 線分の数の帰納法

M = k で成立を仮定
　　M=k+1 の図について
　適当な線分をとっぱらえば 閉領域が一個消えてM=k の図になる。
この図形につおて与式が成立。。
これを変形して M=k+1がわかる


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
２）　１）結果を利用して
　　立体について、面を一個はずして、平面におしひろげる
　
　　この押し広げた模様について考えると１）がなりたつので

　　（面−１）＋頂点 - 辺 = 1
　　これを変形
　　　面 + 頂点ー辺 =2

これ自体はデカルトの定理だったっけ？

>>7

任意の適当な多面体から１つの面を抜いて，その面の各頂点から
出ていた辺を１つにまとめて１つの頂点にして新しい多面体を作る．
いまこの面がn角形だったとすると，この作業で点の数は(n-1)個，
辺の数はn個，面の数は1個減るが，２つの多面体の
（点の数）−（辺の数）＋（面の数）の値は，
(n-1)-n+1=0
より変化しない．
この作業１回につき面が１つずつ減っていくので，これを繰り返すと
いずれ一番簡単な多面体である四面体になる．
四面体の点の数は4個，辺の数は6個，面の数は4個なので，
（点の数）−（辺の数）＋（面の数）＝2
よって任意の多面体でもこの関係式が成り立つ．

>>9
>この作業１回につき面が１つずつ減っていくので，

この作業１回につき面が１つずつ減って，またその面の隣り合う
すべての面の角形数も１つずつ減っていくので，

・・・・・と書かないと誤解するかもね．

ここで答えて見つけてくれるかな？
引越し前後は気になるな〜。
バイトにいってたので返事できませんでした。

905 名前： のぞみ 投稿日： 2001/05/04(金) 12:01

ｎ種類の文字が2個ずつ（計2n個）ある。
これらを一列に並べる時、
同じ文字が連続して並ばないような並べ方の総数をa(n)とおく。

たとえばa(1)=0 , a(2)=2 , a(3)=30 となりますが、
このa(n)を一般に求めることはできますか？
あるいは、a(n)の漸化式でもわかれば嬉しいのですが･･･

長レスになります。興味ないひとは無視すべし。
----
条件をみたす列を＊列とでもよびましょう。
＊列がi型であるというのを先頭の文字を X とするとき
もうひとつの X の前後が長さiにわたって対称となってるものとします。
たとえば n=4 のとき

ABCDACBD は０型
CBADCDBA は１型
ABCDADCB は３型

などとします。i型の＊列から先頭の文字 X ともうひとつの
X の前後 i 文字をぬくと長さが 2n-2i の＊列ができます。

n=4

i=0 ABCDACBD -> BCDCBD
i=1 CBADCDBA -> BABA
i=3 ABCDADCB -> φ（長さ０の文字列も一個の＊列としてかぞえることとします。）

逆にいえば長さ2n-2iの＊列とそれと
それとは文字の重複しないi+1文字の任意の順列を合成して2n文字の新しい文字列
がつくれます。

BCDCBD と A -> ABCDCABD, ABACDCBD,... (Aを先頭につけて,Aを挿入)
BABA と CD -> CBADCDBA, CBDCDABA,... (Cを先頭につけて,DCDを挿入)

そこであたえられたn個の文字C_1〜C_nを２文字づつ使って以下のようにして
＊列を構成します。
(1)n種類からi種類をえらびそれで長さがiの列をつくります。(1≦i≦n)
(2)残ったn-i種類の2n-2i文字で＊列を作ります。
(3)最初につくった文字列とそこから先頭文字をぬいてひっくりかえした列を前に
くっつけて前後対称な文字列をつくります。
(4)(3)でつくった文字列を(2)でつくった＊列に挿入して(3)でぬいた文字を先頭に
くっつけます。
(1)〜(4)の手順でつくられる文字列の全体が＊列の全体になります。そこでこの
手順でできる文字列の数をかぞえます。
まずstep(1)で文字をえらんでならべる組み合わせはP(n,i)
次にstep(2)でできる＊列の数は a(n-i)。
次にstep(4)で前後対象な文字列を挿入できる場所の可能性は i≠1 のときは
2n-2i+1, i=1 の時は 2n-2 通り。
ここで i=1 のときは前後対象文字列（といってもこの場合１文字からなる列）
は先頭にはつけられないことに注意してください。（さもないと最後に一文字
追加したとき連続してしまう。）
そこで a(n) は以下のようにあらわされます。
a(n)=�納i=2,n]P(n,i)a(n-i)(2n-2i+1)+P(n,1)a(n-1)(2n-2)
それで n-i=j などと変換し整理すれば
a(n)=�納j=0,n-1](2j+1)P(n,n-j)a(j)-na(n-1)
がでます。

問）円Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝２と直線Ｙ＝Ｘ＋ａの共有点の個数は
定数ａの値によってどのように変わるか。

QR法の対角成分が、左上から絶対値の大きい純に並んだ固有値に収束することの
証明がわかりません。
検索しても見つからないので、どなたかわかるかた、教えてください。

X^2+Y^2=2 Y=Y+a
Yを消去して、Xについての２次方程式。
これの判別式を考える

>>11さま

丁寧に説明していただいてありがとうございます。
よくわかりました。
感謝しています ＆ 感激しました！

>>12
原点から直線Y=X+aをｄとして、
ｄと√2（＝円の半径）の大小を考えてもよろし。

>>11、15
その問題、inclusion-exclusion principle を使えば、

a(n)=Σ[r=0,n](-1)^r*nCr*(2n-r)!/2^(n-r)

となるみたい。（r=0 の項と r=1 の項は相殺するので Σ[r=2,n] でもよい）
この和を簡単に求めることは、たぶんできないと思う。

>>17
これどうやってだすんですか？
Out Line だけでも教えてください。

>>11,>>17
この二つの答え n=4 ですでにちがうぞ。
どっちが正しい？

>>18
まず、inclusion-exclusion principle の説明。
N 個のものがあり、そのうち条件 A を満たすものの個数を N(A)、
条件 B を満たすものの個数を N(B)、条件 A, B をともに満たすものの個数を
N(A,B) という具合に書くことにする。
このとき、３つの条件 A, B, C のいずれも満たさないものの個数は、

N-N(A)-N(B)-N(C)+N(A,B)+N(B,C)+N(C,A)-N(A,B,C)

となる。（条件が３つくらいならベン図を書けばすぐわかる）。
条件が多いときでも同様の式が成立する。それを inclusion-exclusion principle という。
条件が A_i (i=1,2,3…) なら、これらのいずれも満たさないものの個数は、

N-ΣN(A_i)+ΣN(A_i,A_j)-ΣN(A_i,A_j,A_k)+ΣN(A_i,A_j,A_k,A_l)-…

という具合になる。符号が交互にプラス・マイナスになるわけね。
証明は落ち着いて考えれば高校生程度。
で、ここでの問題では、

N=(2n)!/2^n : つまり、あらゆる並べ方。
条件 A_i ： i 番目の文字が連続して並ぶ並べ方。

として inclusion-exclusion principle を適用すればいいはず。
これで間違っていないと思うんだけど・・・。

>>19
11 さんが a(0)=1 としているのを見落としていないか？

>>11,>>17,>>19
あってた。すまソ。

>>20
なるほど。ありがとうございました。これいいですね。
１５さんよんでるかな。

よんでます。
なるほど、包除原理をこうやって用いる方法もあるんですね。
これも感謝感激です。

∫dx/(1+X^4)=
これの答えを教えて下さい

∫dx/(1+x^4)=(1/4√2)log{(x^2+√2x+1)/(x^2-√2x+1)}
+(1/2√2){Arctan(√2x+1)+Arctan(√2x-1)}

以下の問題教えて下さい

(x+1)(x-2)の小数第１位を四捨五入したものが1+5xと等しくなるような実数xを求めよ。

1+5x-0.5≦(x+1)(x-2)＜1+5x+0.5
実数ってイパーイあるヨ

遅ればせながら、答えてくれた人ありがとう。
またよろしくね。

一応自分でやってみたところx=32/5になったんですが…。
じゃあ僕のやり方があってるかどうか見て下さい。

まず、小数第１位を四捨五入したものが1+5xとなることから、
x=p/5（pは整数）とかける。
その上で27さんがかいてくださった式を計算すると、
その範囲にあって分母が5となり得る実数は32/5のみ。
よって答えはx=32/5となる。

みたいな感じなんですが、これでよろしいでしょうか？

数体の標数って必ず0でしょうか？
一言よろしくです。

>>30
そうです。

>>29
だいたいいいですが、そのまま例えば入試問題の解答用紙にかくと
かなり引かれます。
（減点point）
数学では“解なし”の可能性もあります。かりに以下の(＊)の範囲に
5x が整数になるものがひとつしかなくてもそれは
“それが唯一の解の候補”
しか意味しておらずそれが与式をみたすかどうかはチェックして
やる必要があります。いわゆる“十分性のチェック”ってやつ。
それと(＊)解きそこなってませんか？
3-√12.5≦x≦3-3+√11.5 又は 3+√11.5≦x≦3+√12.5
なので x=-0.6 と x=6.4 が候補のハズ。
あとこまかいことですが(x+1)(x-2)は負の数かもしれないので
>>27さんの評価式は両方に等号をつけるべきです。
　1+5x-0.5≦(x+1)(x-2)≦1+5x+0.5...(＊)

>>32
訂正
x=-0.6とx=6.4が候補 → x=-0.4 と x=6.4が候補
すまソ

>>32
正の四捨五入しか考えてませんでした。ご指摘ありがとうございます。
十分性のチェックは代入して調べればそれでいいんでしょうか？

>>34
それで十分です。

複素数平面上にα,β,γで表される３点A,B,Cがある。この３点は三角形をなし、α,β,γがこの順に正の向き(反時計回り)に並んでいるとする。
１,この平面上に点Ｐを　ＰＢ:ＰＣ=ＡＢ:ＡＣ,∠ＢＰＣ=∠ＢＡＣ+６０゜(角の向きもこめて)であるようにとる。
点Ｐを表す複素数ξをα,β,γで表せ。
２,１で作った点Ｐは　ＰＡ:ＰＢ=ＣＡ:ＣＢ,ＰＣ:ＰＡ=ＢＣ:ＢＡをも満たすことを、複素数計算によって証明せよ。

１)コンパの費用を全員でもつとき､1人2800円にすると4200円余り、
　 2680円では1人だけ他の人より多く、2700円だと1人だけ2150円以下になる。
　 コンパの費用総額はいくらか。

２）１から1000までの整数のうち、同じ数が隣り合っていないものは全部でいくつあるか。

おしえてくらはい。

>>36
やだ

>>37 ネタか？
(1)費用を x、人数を n として
2800n=x+4200 ....... (a)
2680n<x ............ (b)
x-2700(n-1)≦2150 .. (c)
(a),(b)より n>35 (a),(c) より n ≦ 36.5
∴n=36 ∴x=96600

(2)
一桁の可能性 = 9個
二桁の可能性 = 十の位の可能性×一の位の可能性 = 9×9 = 81
三桁の可能性 = 十の位の可能性×一の位の可能性十の位の可能性 = 9×9×9 = 729
よって 9+81+729=819

反則技のロピタルの定理を使えば、答えは1/6だとわかるのですが、高校数学の範囲での求め方がわかりません。
「x→0　のときの　(x -sin x)/x^3　の極限」の求め方を教えて下さい。

あと
[問]次の不等式を証明せよ。
　　(1)α>1,x>1ならばα(x-1)<x^α -1<αx^α-1 (x-1)
　　(2)0<x<π/2ならば　2/πx<sinx<x

この二問おしえてください

>「x→0　のときの　(x -sin x)/x^3　の極限」

まず準備として
「x>0において、x-(x^3)/6 < sinx < x が成り立つ」
ことを示してみよ。

>>41
ご解答ありがとうございます
さっそくアドバイスの通り示してみたいと思います

>>41
それを示せば十分なの？

x-x^3/6 < sinx < x-x^3/6+x^5/120 を示せ。

>>41
示しましたが・・・

時針・分針・秒針が同じ長さで区別のつかない時計がある。
この時計を写した写真があるとき、
その写真からそれを写した時刻を知ることができるか？

という問題なんですが、どう考えれいいですか　？

>>45
スマヌ。
示すべきは>>44の提示した不等式だった。

１７，０００円を３人で平等に分けるには
どうしたらいいでしょう？
（ただし、割り切れない端数で何かを買ったり、換金や寄付するもダメです）

これって、数学と哲学、どっちに絡めたクイズ？

「１７０００／３」円玉（なり札なり）があればいい。

うちにちょうど三枚あるよ。
両替したろか？

展開して下さい。それも簡単な方法で。

（２ｘ＋ｙ−３）（４ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋９−２ｘｙ−６ｙ＋６ｘ）

４の横はｘの二乗プラスｙの二乗です。
入力方法わからんので。
出来れば６日までに教えてぇ！

>「x→0　のときの　(x -sin x)/x^3　の極限」の求め方を教えて下さい。
>x-x^3/6 < sinx < x-x^3/6+x^5/120 を示せ。

すいません。45さんに便乗して
質問したいのですがこれを示した後どうなるのでしょうか?

>>52
その不等式を使って、(x -sin x)/x^3を評価するんだよ。
後は、挟み撃ちの原理で結果が出るだろ？

>>53
なるほど!!
ありがとうございました

数学板≠嵐山板が証明できません、
どうしたら証明できますか。

>>49
いや・・・その答えは違うのでは？

>>40
>次の不等式を証明せよ。
>(1)α>1,x>1ならばα(x-1)<x^α -1<αx^α-1 (x-1)
>(2)0<x<π/2ならば　2/πx<sinx<x

微分してみた?

>>48
ジャンケンで勝った奴が全部もらうことにする。
ある意味平等。

>>39
すまない、１）はよくわかったのだが２）が全くわからない。
可能性ってどういうことだ？
まじでネタではないので優しく教えてください。

此処で一発お茶の水女子の奇問を
軸はy軸に平行で点（ｔ．０）でx軸に接し、点（−１．１＋ｔ）を通る
放物線を考える。tがt≧０の範囲を動くとき、この放物線の通りうる範囲を図示せよ

直感的にt=0の場合y=x^2となることからこの放物線の右側全部が求める範囲ですか？
まず普通に解いていきます。
x=tで重解を持つからf(x)=a(x-t)^2=0
これが(-1，1+t)を通るから　a(-1-t)^2=1+t ←→　a(t^2)+(2a-1)t+a-1=0･･･�@
　�@がt=0のときa=1となりy=x^2となります。
　�@がt＞0のとき判別式＝１となり、またt= 1 or (1-a)/a　よって条件より(1-a)/a＞0→１＞a
またa=0→t=-1よりa≠０　a＞0→t=1であるから
よって０＜a＜1であることが解る。
この後よく解りません
御教授願います　

a＞0→t=1であるから
は
a＞0→判別式=1であるから
でした

>>59
すまソ。ネタと思った。これ
“十進表示したとき同じ数字がならんでないものの数は？”
だよね？一桁の数１〜９は全部ＯＫなので９個。
二桁の数は樹形図をかいてみるとわかる。
一度目の分岐は十の位で分類する。
最初の分岐は１〜９なので９枝。
二度目の分岐は一の位で分類する。
　１の下には０〜９で１以外なので９枝
　２の下には０〜９で２以外なので９枝
　...
　９の下には０〜９で９以外なので９枝
で総枝数は９×９の８１枝。
３桁の場合も同様に樹形図をかくとやはりすべての分岐は９枝で
３層の枝分かれがあるので結局９×９×９の７２９枝
結局全部で９＋８１＋８１９通りのくみあわせが可能。

>>60
やあ。なつかしの高校生�東Nではないかね。元気にしとったかね。
この問題はまず�@からaをtであらわしたまへ。
�@のまえの式の両辺を(1+t)^2でわればよし。(0じゃないから。)
そうすると放物線の方程式がtでパラメータ表示される。
分母をはらって整式にしたまへ。
それを t に関する方程式とおもってそれが t≧0 の範囲で解をもつ
x,yの条件をもとめたまへ。

>>31
ありがとうございました！

>>60
べつに「奇問」じゃないよ、これ。

>直感的にt=0の場合y=x^2となることからこの放物線の右側全部が求める範囲ですか？
ちがうよ。

http://quote.yahoo.co.jp/q?s=9984.t&d=b

の対数チャートを作りたいのですが、以下の
時系列データを使って、どの様にすれば
実現出来るでしょうか。

http://chart.yahoo.co.jp/w?s=9984.t

馬鹿でゴメンナサイ。心優しき方、ぜひご指導下さい。

宜しくお願いします。

時系列データの終値を使って、ご指導下さい。
宜しくお願いします。

>63
a=1/1+tとしてあらわしてa(x-t)^2=1/1+t(x-t)^2とする？
>65
じゃあ解いてみて解ける能力があるなら

>>60 >>68
>x=tで重解を持つからf(x)=a(x-t)^2=0
>これが(-1，1+t)を通るから　a(-1-t)^2=1+t

このあとは・・・
いまt≧0で考えているので1+t>0 。よって両辺1+tで割ってa=1/(1+t)。
よって題意の放物線はy=1/{(1+t)}(x-t)^2と表され、これを整理して
　t^2 −(2x+y)t＋x^2−y ＝0 ･･･（★）
となる。

このあと、
　（★）をtの2次方程式とみて、これがt≧0の範囲に
　少なくとも1つの解をもつための条件
をもとめることになる。

あとは自分でやれ。
これくらいできるだろ。

>>68
ちが〜う。a=1/(t^2+1)でしょ。だから放物線の方程式は分母をはらって
　(t+1)y=(x-t)^2
tに関して整理して
　t^2-(2x+y)t+(x^2-y)=0
これを t に関する方程式とみなしてこれが t≧0 の範囲で解を持つ
(x,y)の条件をもとめんの。わ〜った？

>>59,>>62
ちょっとがむばって２桁の場合の樹形図を
つくってみました。以下でわかるとおり
同じ文字のならばない２桁の数字は81個
あります。３桁、４桁でも原理は同じです。

┳１┳０　→　１０
┃　┣２　→　１２
┃　┣３　→　１３
：　：
┃　┣８　→　１８
┃　┗９　→　１９
┣２┳０　→　２０
┃　┣１　→　２１
┃　┣３　→　２３
：　：
┃　┣８　→　２８
┃　┗９　→　２９
：
┗９┳０　→　９０
　　┣１　→　９１
　　┣２　→　９２
　　：
　　┣７　→　９７
　　┗８　→　９８

>>66
かぶこー掲示板あたりで聞いた方がいいと思うよ。

非常に答えが解るとtrash問題に見えますね

偏差値の算出法を教えて

偏差値＝（（得点−平均点）÷標準偏差×１０）＋５０

>>46
以下で[]をGauss記号、<x>=x-[x](つまりだいたい x の小数部)
とします。また時間の単位は12時間=1,角度の単位は一周=1 という
単位で考えます。そうすると時刻 t での“針の位置”はそれぞれ
時針 = <t> 分針=<12t> 秒針=<720t>
と考えることができて楽です。すると問題は
｢“針の位置”の集合が等しければその二つの時刻の差は１２時間の整数倍か？｣
だから
{<t>,<12t>,<720t>}={<u>,<12u>,<720u>}⇒<t>=<u>
と書けます。この仮定から次のいづれかが成立します。
(i) <t>=<u>, <12t>=<720u>, <720t>=<12u>
(ii) <t>=<12u>, <12t>=<u>, <720t>=<720u>
(iii) <t>=<720u>, <12t>=<12u>, <720t>=<u>
(iv) <t>=<u>, <12t>=<720u>, <720t>=<12u>
(i)から結論はあきらか。
(ii)を仮定すると前２式から<143t>=<0>,<143u>=<0>これからt=k/143,u=l/143
(k,lは整数)と書けます。これを第３式に代入して720k/143-720l/143は整数、よって
720(k-l)は143の倍数となります。よってk-lも143の倍数となりこれからt-uも
整数となります。
(iii)を仮定した場合は(ii)と同様に<t>=<u>がでます。
(iv)を仮定すると３式から<8639t>=<0>がいえてここからt=k/8639(kは整数)と書けます。
同様にu=l/8639(lは整数)とも書けます。これを１式、２式に代入して
k≡12l(mod 8639),12k≡720(mod 8639) がでます。ここから k≡l≡0(mod 8639)
となりよって t,u はともに整数となり特に <t>=<u>=<0>(つまりこうゆうのはtもuも正午か
深夜０時のいづれかであるときしかおこらない。)がでます。

>>76
(iv)を書き間違えました。正しくは
(iv) <t>=<12u>, <12t>=<720u>, <720t>=<u>
です。

５の０乗の答えはどうして１になるんでしょうか？
あと０の０乗はどう計算するんですか。

>>78
>５の０乗の答えはどうして１になるんでしょうか？

そう決めたからです。

>０の０乗はどう計算するんですか。

０の０乗は普通は定義しません。

放物線y=2x^2の頂点をOとし、放物線上に２点A,Bを角AOBが直角になるようにとる。
このとき、OからABへの垂線の足の軌跡を求めよ。

という問題がわかりません。どなたか手助けを…。

>>78

「5のn乗」を「１に5をn個かけたもの」と考えたら、どお？
そしたら、
　　5の0乗は「１に5を0回かけたもの」だから１
というのも自然じゃないかな。

g(x)=(arcsin3x)/x の d/dxがどうして
[x(3/√(1-9x^2))-arcsin3x]/x^2になるのか教えてください。
これまだ途中経過なんですけど、どうやってもこうならないんです。

下の問題を解こうと
二晩考えたのですが解けません。
誰か解法を教えて下さい。
よろしくお願いします。

因数分解して下さい

次数の低い文字について整理する
x^4 + 2x^2 - 4ax - a^2 + 9
a^2bc + abd + bc - ab^2 - ac^2 -cd
x^2 - y^2 + 2yz + 2zx + 4x + 4x + 2y + 2z + 3

一度展開してからｘについて整理する
( x + y + z )( yz + zx + xy ) - xyz
( x + 1 )( y + 1 )( xy + 1 ) + xy

>>81
その定義でいくと０の０乗は１って定義できるのでは？
１に０を０回かける・・・から。

なぜ０！＝１なのですか？
教えてください

誰か助けてください。この２問どうやって、解くんですか？

ＤをＲ^nの開部分集合とする。
１問目：f or ∀x∈Ｄ、∀ｖ∈Ｒ^n、∃r∈Ｒ(r＞０)
s.t　０≦|t|＜r(t∈Ｒ)⇒x+tv∈Ｄ　を示せ。

２問目：x∈Ｄ、v∈Ｒ^nを一組固定する。
g(t)=f(x+tv)が開区間(-r、r)で微分可能のとき次を示せ。
g'(t)=f'(x+tv;v) (∀t∈(-r、r))

お願いします。

>>697
Ｄが開集合じゃから、テキトーな正数 ε をとると
点 x の ε-近傍がＤに含まれるワイのう。さすれば
r = ε/|v| とでもとれば x+tv はＤに含まれるじゃろうて。

ごめんなさい。いまいち、わかりません。もう少し詳しく教えて下さい。

>>85
0!=1!/1=1

>>82
y=(arcsin3x)/x から dy/dx を導く方針で。
ｘｙ=arcsin3x より sin(xy)=3x , cos(xy)=√(1-9x^2) ・・・ (注)

sin(xy)=3x の両辺を x で微分すると
cos(xy)*(y+x*(dy/dx))=3

↑と cos(xy)=√(1-9x^2) , y=(arcsin3x)/x から
dy/dx=(3/(x√(1-9x^2)))-(arcsin3x)/(x^2)

(注) cos(xy)=±√(1-9x^2) かどうかは他の人に任せた。(^_^;

>>80
その問題去年の東大模試で見た覚えがあるぞ。
模試の過去問が問題集として売ってるから、それを見ればいい。

g(x)をβのK上最小多項式、h(x)をγのK上最小多項式とする。
ghのK(β,γ)上の分解体をMとすれば、M[x]において、g,hともに
一次式に分解される。

なぜK(β,γ)上でghについて考えるのですか？単にK上じゃ
いけないのですか？お願します。

>>82
やり直し(^_^;

(arcsinx) ' =1/√(1-x^2) を既知とすれば

｛(arcsin3x)/x｝'
=｛(arcsin3x)*(1/x)｝'
=(1/x)*｛(arcsin3x) ' ｝+(arcsin3x)*｛(1/x) ' ｝
=(1/x)*(3/√(1-9x^2))+(arcsin3x)(-1/x^2)
=略

>>76 >>77

あるがとうございます。

＞８７
あれがとうございます。

>>81
そんな感じで考えるとなんだかわかるような気がします。ありがとうございました。

>>90
その文以降の話の都合上、M がβ、γを含んでいることにしたいからじゃないのか。

一般に、多項式の分解体は“同型を除いて”一意に決まることに注意。
つまり、勝手な分解体を取った場合、β、γに“相当する”元は
含まれるが、β、γそのものが含まれているとは限らない。

確立変数と確立分布に関する問題です。
さっぱり分からないので、
この問題が分かる方教えてください。
お願いします。


1．Xは非負の確率変数でその分布関数をF(x)とする。その平均値が存在するとき、
　次の等式が成り立つことを示せ：

　　　　　E(x)＝∫[0,∞]｛１−F(x)｝dx

2.　Xは正の整数値をとる確率変数であり平均値が存在する時、

　　　　　E(x)＝�納x＝1,∞]P{X≧x}

　　が成り立つことを示せ。

3.　確立変数X,Yは共通の平均値μをもち、それぞれの分散σ(x)^2,σ(y)^2
　　が存在するとする。任意の整数t>0に対して

　　　　　　　P{|X-μ|>t}　≦　P{|Y-μ|>t}

　　が成り立つならば、σ(x)^2≦σ(y)^2　が導かれることを示せ。

>>95
な〜るほど。後半の部分がとても参考になりました。
ありがとうございました。

>>83
第１問（aについて整理する)
x^4+2x^2-4ax-a^2+9 = -a^2-4xa+x^4+2x^2+9 (1)
= -a^2-4xa+(x^2+3)^2-4x^2 (2)
= -a^2-4xa+(x^2+3+2x)(x^2+3-2x)
= -(a+x^2+3+2x)(a-x^2-3+2x)
= (x^2+2x+a+3)(x^2-2x-a+3)
(1)から(2)への複２次式の因数分解はつぎのChartから。

* 複２次式の因数分解のChart
*
* 判別式が正のとき
* x^4 + p x^2 + q = (x^2 -(-p+√(p^2-4q))/2)(x^2-(-p-√(p^2-4q))/2)
* 判別式が負のとき
* x^4 + p x^2 + q =(x^4+2√qx^2+q)-(2√q-p)x^2
* =(x^2+√q)^2-(√(2√q-p)x)^2
* =(x^2+√q+√(2√q-p)x)(x^2+√q-√(2√q-p)x)

第２問(zについて整理する)[元の問題は4xがダブってるので勝手に削除した]
x^2-y^2+2yz+2zx+4x+2y+2z+3 = (2y+2x+2)z+x^2-y^2+4x+2y+3
= 2z(x+y+1)+x^2+4x-(y^2-2y-3)
= 2z(x+y+1)+x^2+4x-(y-3)(y+1)
= 2z(x+y+1)+(x+y+1)(x-y+3)
=(x+y+1)(x-y+2z+3)
(zを含まない部分はxについて整理した)

第３問(dについて整理する)
a^2bc+abd+bc-ab^2-ac^2-cd = (ab-c)d + a^bc+bc-ab^2-ac^2
= (ab-c)d + ab*ac - ac*c -b*ab +bc
= (ab-c)d + ac(ab-c) - b(ab-c)
= (ab-c)(d+ac-b)
(ab-c を共通因数としてくくりだせるように工夫した)

第４問
展開して整理する。
(x+y+z)(yz+zx+xy)-xyz = (y+z)x^2 + (y^2 +2yz+ z^2)x+ yz(y+z)
= (y+z)(x^2+(y+z)x+yz)
= (y+z)(x+y)(x+z)

第５問
展開して整理する。
(x+1)(y+1)(xy+1)+xy = (y^2+y)x + (y^2+3y+1)x + y+1
= y(y+1)x^2 + (y^2+2y+1+y)x + (y+1) (3)
= (yx + (y+1))((y+1)x +1) (4)
= (xy+y+1)(xy+x+1)
((3)から(4)はいわゆるたすきがけ)

第1問　nを２以上の自然数とする。
（ｎ＋１）個の非負の数の集合{ak}(kは添字で、k=1,2,
・・・,n+1。)について、
a1からan+1までの相加平均と相乗平均の差の（n+1）倍が
a1からanまでの相加平均と相乗平均の差のn倍よりも小さ
くないとつねにいえるかどうか。

第2問　赤、青、黄、緑、白の５色の玉が無数にある。
これらの玉を用いて左から一列にｎ個並べるとき、
左端と同じ色が左端も含め偶数回現れる並べ方は
何通りあるか。

第3問　数列anを an＝n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
とするとき lim[n→∞]an をもとめよ。

第4問　0=<x=<1のとき
(1+x^2+・・・+x^2n)/(n+1)　>=(x+x^3+・・・+x^2n-1)/ｎ
を証明せよ.ただし、ｎは自然数。（x^kはxのk乗。）

第5問　a[1]＝１、a[n+1]=√（a[n]+２）（n=1,2,・・・）
によって与えられる数列{a[n]}の極限値を求めよ。

第6問
(1)整式f(x)を整式g(x)で割った余りをh(x)とするとき
f(x),g(x)が互いに素であることと　g(x),h(x)が互いに
素　は同値であることを証明せよ。
(2)整式f(x),g(x)が互いにそのとき適当な整式p(x),q(x)
があり p(x)*f(x)＋q(x)*g(x)=1 が恒等的に成り立つこ
とを証明せよ。

>>96
問１以下って
平均値の定理とか普通の微積分を確率版に直せれば良いんじゃないの。
間違ってたらごめんなさいね。

>>96
1．分布関数って何のこと？もし
F(x)=∫[0,x] f(t) dt （ただしf(x)は確率密度関数）
のことだったら、F'(x)=f(x)だから、
∫[0,∞] { 1 - F(x) } dx
=[ x{ 1 - F(x) } ]　(0〜∞)　　- ∫[0,∞] x{ -f(x) } dx
= lim(x→∞) { x*{ 1 - F(x) } } + ∫[0,∞] x*f(x) dx

第二項はE(X)にほかならない。
第一項は不定形だが、G(y)=1-F(1/y) (y＞0), G(y)=0 (y≦0)
と定義すると、第一項は　y=1/x として
lim(y→0) G(y) / y これが0に等しいことを示せばよい。

まず、明らかに G(y) はすべての実数 y につき連続である。
lim(y→-0) G(y) / y = 0　も明らかである。また G(y) の定義より
G(y) は y>0 で微分可能で、
G'(y) = f(1/y) / (y^2) が成立する。よって平均値の定理より
G(y)/y = G'(c) ( 0<c<y ) なるyが存在する。

lim(y→+0) G(y) / y = lim(y→+0) G'(c)
だから、もし lim(c→+0) G'(c) が存在すれば、その極限値が
lim(y→+0) G(y)/y に等しいことがわかる。

ここで、
E(X) =∫[0,∞] t * f(t) dt
= ∫[0,∞] f(1/s) / (s^3) ds ( s=1/t)
= ∫[0,∞] G'(s) / s ds　だから、E(X)が存在(収束)するには
lim(y→+0) G'(y) = 0　が必要である。

従って、lim(c→+0) G'(c) = 0 であり、さかのぼって
lim(y→+0) G'(c)　= 0
lim(y→+0) G(y) / y =0
lim(x→∞) { x*{ 1 - F(x) } } = 0

が示された。

2.
1.を解くだけで力尽きたから、今思いついた方針だけ書いておく。
考え方は 1. と同じである。無限和と積分を置き換えて
考えればよい。
部分積分での微分と積分は、差分と和に置き換わる。

3.
式の意味を考えれば直観的には明らかであるが、ギブアップ。

g(x)=(x-β_1)…(x-β_n), h(x)=(x-γ_1)…(x-γ_m), β_1=β, γ_1=γ
ここで (β-β_i)/(γ_j-γ), i=2,…,n, j=2,…,m と異なるcを選ぶ。
そこで α=β+cγ とおくと、 h(x)とg(α-cx)とは共通根γを持つ。
cの取り方から共通根はγのみである。

・・・γのみってのがなんでなのかわかりません。具体的に説明して
いただければ幸いです。お願いしますです。

>>102
(β - β_i)/(γ_j - γ) ≠ c　（i = 2、…、n、 j = 2、…、m）と
なるように c を取ったのだから、変形して
β + cγ - cγ_j ≠ β_i　即ち　α - cγ_j ≠ β_i ．
これは α - cγ_j が g(x) の根となり得ない、i.e.、
γ_j が g(α - cx) の根となり得ないことを示しているにょ。

>>103
ありがとう…にょ？

>>102
c は(β-β_i)/(γ_j-γ) と 0 以外からとらないとだめ。
つまり走らせるsuffixはj:2〜はいいけどiは1〜にしないと。
そうしないと>>103さんの証明で“α - cγ_j≠β_i(∀j≠1)”がi≠1
の場合しか言えないョ。でもそれじゃ証明は完成しないよネ。
具体的にh(x)=0とg(α-cx)=0の根をlist upしてみるとわかりいいかも。
　前者={γ_1,...,γ_m}
　後者={α-cx=β_iの解;i:1〜n}={γ+(1/c)(β-β_i)}...(*)
以下>>103と同様にいけばよし。c=0だと(*)の２つ目の等号がだめ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　┷===〓□┘　∧=∧　 ＜　 祖国統一！金正日将軍まんせー！！
　　　　　　　　　　　　　　　　　＿┗ ＿_(ﾟДﾟ )＿＿＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 ＿＿＿＿　　　　　　　 ／￣￣ ＞ ７ /　　 /＝＝|===￣||
　　〇 ))))　））￣￣￣￣ ）￣））　 // Г/ 〇)./　▽　 |　　⇒⊥＿＿＿＿＿_
　　 ￣￣￣￣￣￣￣￣|回￣]　（（ /_７　 " /　　　　　|　☆　／ ＼　　>　 　ヽ
　　　　　　　　　　　　＿＿ ＞――ゝ ＿＿ /＿＿＿＿ |＿＿＼_ノ＿_ ノ＿_ノ
　　　　　　　　　　∠＿_ ／￣￣ ∠＿＿_／/￣￣◎￣￣◎￣￣￣◎￣￣¬}
　　　　　　　　　 　〈==={＼￣￣　〈==={ (◎)　　　　　　　　　　　　　　　　(◎)/
　　　　　　　　　　　 ゝ==＼＼＿　 ゝ== >　（(◎) （(◎) （(◎) （(◎)（(◎) ／
　　　　　　　　　　　　　 ゝ==ヽー￣￣ ゝ==ヽ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
157 名前：マサヲ 投稿日：2001/05/04(金) 00:36
　　　／~⌒~⌒⌒~ヽ､
　　　　　/　　　　　　　　 　）　
　　　　 （　　／~⌒⌒⌒ヽ　)
　　　　　(　ξ　　 　､　　, |ﾉ
　　　　　(6ξ　　　 ヽ　ﾉ　|
　　　　　　ヽ 　 　 　　・・　）ﾁｮﾊﾟｰﾘのみんな、ヨロシク！
　　　　　　 /＼　　　ー　ノ


158 名前：名無し 投稿日：2001/05/04(金) 13:58
　 Λ＿Λ 　 　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　<丶｀∀´> ＜ 　南朝鮮傀儡の人民も
　（　　　　） 　│　地上の楽園に来るニダ！！
　｜ ｜　|　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　〈＿フ__フ
北
━━━━━━━━━━
━━━━━━━━━━
南　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　∧＿∧ 　 ／
　　　 （´д｀； ）＜ 　ﾄﾞｳｼﾖｳ・・・
　　　 （　　　　）　|
　　　　 |　|　　|　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　 （__（_＿_）


159 名前：ニダー中将の記念写真 投稿日：2001/05/04(金) 21:04
　┌──────────────┐
　│朝鮮人民軍創建６０周年記念撮影　 　│
　│──────────────│
　│ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│
　 Λ＿Λ
　<丶｀∀´>
　（　　　　）
　｜ ｜　|
　〈＿フ__フ


160 名前

＞＞わからない問題はここに書いてね６の６５０
分解したりしてみましたがどうもしっくりくるのがありません。
こういうのの一般式はどいう表し方をするんですか？

間違えて前のスレッドにも書き込んでしまいました
ごめんなさいｍ（,,）ｍ

>>96
１．
f(x):確率密度

E(X)=lim[a→∞]∫[0,a]xf(x)dx
=lim[a→∞]{[xF(x)][0,a]-∫[0,a]F(x)dx}
=lim[a→∞]{aF(a)-∫[0,a]F(x)dx}
=lim[a→∞]∫[0,a]{F(a)-F(x)}dx
=∫[0,∞]{1-F(x)}dx：(∵F(∞)=1)


２．
F(x):累積度数 P(X<=x)
f(x-1)=�僥(x-1):度数分布 P(X=x)
S:総和 P(X=全てのx)
f(0)=F(0)=0

E(X)=lim[a→∞]�納x=1,a]xf(x-1)
=lim[a→∞]{[(x-1)F(x-1)][1,a+1]-�納x=1,a]F(x-1)}：(∵ ※)
=lim[a→∞]{aF(a)-�納x=1,a]F(x-1)}
=lim[a→∞]�納x=1,a]{F(a)-F(x-1)}
=�納x=1,∞]{S-F(x-1)}
=�納x=1,∞]P(X≧x)

※
�納x=m,n]{f(x)G(x)}=[F(x)G(x-1)][m,n+1]-�納x=m,n]{F(x)g(x-1)}
f(x)=�僥(x)=F(x+1)-F(x):前進差分
g(x)=�僭(x)


３．
∀t>0:P(|X-μ|>t)≦P(|Y-μ|>t})
であるから、
∀t>0:P((X-μ)^2>t)≦P((Y-μ)^2>t})：(t:=t^2)
問１．２．の結果を利用して両辺をtで和をつくれば
E((X-μ)^2)≦E((Y-μ)^2)
これはもちろん
σ(X)^2≦σ(Y)^2
のことである。

E(X)=E(Y)って必要？
正解希望！

　＞＞100
　＞＞101
　＞＞108

　　　ありがとうございます。
　　　助かりました。
　　

　　

はじめまして厨房です。いまがつこうでベクトルをやつています。
せんせいは向きと大きさがあるものだとおっしゃっていますが、ベクトルの内積
にいたっては、詳しく説明してくれましぇん。向きと大きさのあるもの同士を掛けるなんてどういう状態なのかわからないです。どなたおしえてくださいませ

　この問題がどうしても
分かりません。略解は存在するのですが、
そこまで、どうやって到達するのか
教えてください。
答え、(1)　ψ(t)=a^2/(a^2+t^2）
　　　(2)　ψ(t)=exp(-a|x|)

　次の密度関数をもつ確立分布の特性関数を求めよ。

　(1)　f(x)=a/2exp(-a|x|)

　(2)　f(x)=a{π(a^2+x^2)}^-1

ゲーム理論です。序説ででてきたんですが、お願いします｡
三山崩しでｎ個の石の山のエネルギーはｎであることを証明せよ。

(x1 + x2 + … + xn)/n ≧ (x1 * x2 * … * xn)^(1/n)

上の式より、「相加平均≧相乗平均」となることを
２通り証明せよ、という問題なんですが、
１通りもできません…。どなたかご教授お願いします。

数学的帰納法かな？と思ってやってみたのですが
途中で詰まって挫折してしまいました…。

>>113
悪いけど問題を正確に書いてくれる？

>>107
ちゃんと計算してみたの？
ｎ（ＡＵＢＵＣ）＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）＋ｎ（Ｃ）−ｎ（Ａ∩Ｂ）−ｎ（Ｂ∩Ｃ）−ｎ（Ａ∩Ｃ）＋ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）

ｎ（ＡＵＢＵＣＵＤ）＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）＋ｎ（ＣＵＤ）−ｎ（Ａ∩Ｂ）−ｎ（Ｂ∩（ＣＵＤ））−ｎ（Ａ∩（ＣＵＤ））＋ｎ（Ａ∩Ｂ∩（ＣＵＤ））
＝ ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）＋｛ｎ（Ｃ）＋ｎ（Ｄ）−ｎ（Ｃ∩Ｄ）｝−ｎ（Ａ∩Ｂ）−｛ｎ（Ｂ∩Ｃ）＋ｎ（Ｂ∩Ｄ）｝
−｛ｎ（Ａ∩Ｃ）＋ｎ（Ａ∩Ｄ）｝＋｛ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＋ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｄ）−ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ∩Ｄ）｝

こうしてみるとそれぞれ、ｎ（Ａ）、ｎ（Ａ∩Ｂ）、ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）の符号は３個の集合の和の時と一緒だし
例えばｎ（Ａ∩Ｂ）、ｎ（Ｂ∩Ｃ）、ｎ（Ｂ∩Ｄ）、ｎ（Ａ∩Ｃ）、ｎ（Ａ∩Ｄ）はＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４つの中から
２つ選んだ組み合わせ全部になっててその符号は全て一緒だからさ予想はつくんじゃない？

>>113
＞上の式より、「相加平均≧相乗平均」となることを

その式が「相加平均≧相乗平均」そのもの□

>>114
すみません。
左辺はx1(1は添字)からxnまでのn個の項の和をnで割った
普通の平均値で、
右辺はx1とx2と…とxnのn個の項の積のn乗根です。
で、問題はこの不等式を二通りの方法で証明せよ、というものです。
自分にはお手上げですので、よろしくお願いします…。

>>80
答は「(0,1/4)を中心とする半径1/4の円（原点のぞく）」

方針としては、
　A、Bのx座標をa,bとすると直線ABの方程式は
y=2(a+b)x-2ab ･･･（i)
となる。この(i)と垂直で原点を通る直線の方程式は
　 x＋2(a+b)y=0 ･･･（ii)
なので、題意の「垂線の足」とはこれら(i)と(ii)の交点である。

　∠AOBが直角になるための条件が「4ab+1=0」であることに注意して
　(i)(ii)の交点を調べよ。

>>116
書き方が下手だったようで申し訳無いです。
>117にも書いた通り、その不等式を証明せよ、という問題です…。
手間をかけてすみません。

次の数列の初項からｎ項までの和を求めてください。
お願いします。
1/5, 9/5, 9/13, 13/17, ・・・

問題
∫[-∞,∞]x*{1/√(2π)}*exp(-x^2/2)dx=0
∫[-∞,∞](x^2)*{1/√(2π)}*exp(-x^2/2)dx=1
になることをそれぞれ証明せよ。

どなたか教えてください。

対称正定値行Ａについての連立方程式Ａｘ＝ｂの解が

（ｘ、Ａｘ）／２−（ｘ、ｂ）を最小にする

これがなぜなのか説明お願いします。
これを元にいろいろな事書いてあるんですが、
なかなかこれそのものについての説明はないもので。

>>122
A の逆行列を A' と書くことにすると、

与式=(x-A'b/2,A(x-A'b/2))-1/4*(A'b,b)

と平方完成みたいなことができるから。

>>123
サンクス！
やっぱ基本がないと駄目ですなあ。

訂正。
与式=1/2*(x-A'b,A(x-A'b))-1/2*(A'b,b)

>>124　安易に人を信じないように！

>>108
1.の解答で
lim[a→∞]∫[0,a]{F(a)-F(x)}dx
=∫[0,∞]{1-F(x)}dx：(∵F(∞)=1)
としているが、無条件には
lim[a→∞]∫[0,a] u(x,a) dx
=∫[0,∞] U(x) dx 　　　　　　ただし U(x) = lim[a→∞] u(x,a)
は成立しない。だから>>101に書いたような論証が必要。
2.の解答にも全く同じ誤りがある。
>>109=96　あなたは高校生ですか？高校生ならこの程度の
曖昧さは許されると思いますが、大学ではこういう厳密なところまで
考えなければなりません。覚悟しておいてください。

やっぱわかりまへん


問１
「複素数体Ｃ上の３変数有理関数体Ｃ(Ｘ_1,Ｘ_2Ｘ_3）に
３次交代群Ａ_3が変数の添数の置換
　　　　　　　　Ｘ_i→Ｘ_σ(i)
で作用しているとする。有理関数体Ｃ(Ｘ_1,Ｘ_2Ｘ_3)のA_3の作用に
ついての不変元の全体Ｃ(Ｘ_1,Ｘ_2Ｘ_3）^(A_3)はＣ上３個の元で生成されることを示せ。」

問２
「離散付値環Ｒとその素元ｔについて
Ｒ[X]/｛(X^n -t)R[X]｝は離散付値環になることを示せ」

113ですが、n=2^mのときに成り立つことをまず証明する、という方法で
なんとか一通りは導くことができました。
あとの一通りについてはあきらめます…。
解いてくれた方、もしいらっしゃいましたらありがとうございました。

xは整数、yは素数とします。
z=√(1155y/x)として、zが素数になるようにします。
zの最小値は？

第1問　nを２以上の自然数とする。
（ｎ＋１）個の非負の数の集合{ak}(kは添字で、k=1,2,
・・・,n+1。)について、
a1からan+1までの相加平均と相乗平均の差の（n+1）倍が
a1からanまでの相加平均と相乗平均の差のn倍よりも小さ
くないとつねにいえるかどうか。

第2問　赤、青、黄、緑、白の５色の玉が無数にある。
これらの玉を用いて左から一列にｎ個並べるとき、
左端と同じ色が左端も含め偶数回現れる並べ方は
何通りあるか。

第3問　数列anを an＝n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
とするとき lim[n→∞]an をもとめよ。

第4問　0=<x=<1のとき
(1+x^2+・・・+x^2n)/(n+1)　>=(x+x^3+・・・+x^2n-1)/ｎ
を証明せよ.ただし、ｎは自然数。（x^kはxのk乗。）

第5問　a[1]＝１、a[n+1]=√（a[n]+２）（n=1,2,・・・）
によって与えられる数列{a[n]}の極限値を求めよ。

第6問
(1)整式f(x)を整式g(x)で割った余りをh(x)とするとき
f(x),g(x)が互いに素であることと　g(x),h(x)が互いに
素　は同値であることを証明せよ。
(2)整式f(x),g(x)が互いにそのとき適当な整式p(x),q(x)
があり p(x)*f(x)＋q(x)*g(x)=1 が恒等的に成り立つこ
とを証明せよ。

>>130
少しくらい自分で考えろ
っていうか教科書見れ

>>128
http://diver.miffy.to/freebbs/mkres5.cgi?aoki
をみなされ。

>>115
そこまでは私も一応導いたのですが、文字が増えたときの
表し方が何を使うのか分からないんです。どんどん足していくのなら
Σとか使ってあらわすんですか？高校でこういうものの証明とか表し方
をほとんどしてなかったので・・・

>>133
http://www.junko-k.com/collo/collo112.htm
をみなされ

以下の分を述語論理式で書き表せ．述語記号は適宜定義せよ．
(1)Ｐ（ｘ）を真とするｘが高々一つ存在する．
(2)nを3以上の整数とする時，x^n+y^n=z^nを満足する正の整数x,y,zは存在しない．
(3)a,b,cを任意の整数，n,mを任意の正整数とするとき，ax^n+bx^m+c=0を満足する実数xが3個以上あ
　　ることはない．

お願いします。
「9の倍数の各桁を足すと、9の倍数になる」
たとえば、954は9の倍数で、さらに9＋5＋4＝18で9の倍数になる。
これはどうすれば証明できますか。教えてください。

>>136
(10^n)-1が常に９の倍数である事を利用。
３桁の数の場合
a,b,cを一桁の自然数とすると
100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)
n桁の数の場合は
a1,a2,a3,...,anを一桁の自然数とすると（以下略

10本のくじがあり
そのうち３本があたりくじとする
Ａ君,B君、C君がこの準にくじを引く
（引いたくじは戻さない）とき
それぞれがあたりを引く確率を求めよ

この問題の詳しい解説お願いします
答えはみんな3/10です

>>127 (=sakura6_901?)
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=985594205&st=901&to=902&nofirst=true
↑質問するときに「これやって見られ」はないと思う

>>138
A・・・3/10
B・・・９本のくじのうち当たりが（２本の場合）＋（３本の場合）
C・・・８本のくじのうち当たりが（１本の場合）＋（２本の場合）＋（３本の場合）

√5が無理数であることを示せ

という問題でn/m(n.mは互いに素)と設定するところなのですが
これはより一般性をもたせると互いに素という条件をはずしてもいいのではないでしょうか?
先生は有理数の定義が既約分数で表せれることなので絶対駄目といわれたのですが・・

南に１００ｋｍ
東に１００ｋｍ
北へ１００ｋｍ進むと最初の場所に戻ってるような場所は何処か？
答えは北極点とそれ以外にもあるらしいけど誰か教えてください。
一応数学の時間にこの問題出されたので・・・

>>142
南極点の近く、１００キロ＋α北のところ

南に１００キロ進み南極点の周りをぐるぐる何周も周り１００キロ進んで
元の地点に戻るような距離αを取ればよい

>>137
136です。
ありがとうございました。これでゆっくり寝られます。

>>132
ありがとうございました。
見事に2通りの解答が載ってますね…

>>141
「絶対駄目」なんて大ウソにょ。m、n は互いに素でなくてもちっとも構わないにょ。
ただ、それで話を進めてもどうせ互いに素な m'、n' の場合に帰着されるので、
二度手間だから最初から m、n が互いに素だとしておくんだにょ。

>>146
互いに素でなくても因数に５が含まれてるかどうか見てりゃ十分

>>111
ψ(t)=∫[-∞,∞]f(x)exp(ixt)dx を計算するだけでしょ。
(1)の計算は簡単。(2)は留数定理を使う。
何がわからないの？

>>143
ありがとうございました。
でも、これって南極点から北に１００キロ＋αってことでしょうか？
理解悪くてすいません。

自然数X（２進表現）が３の倍数かどうかを判定する
チューリングマシンを定義せよ。
計算機科学の課題なのですが…どなたかご教授願います。

>>149
そう

１周して１００キロのところもあれば
２周して１００キロのところもあるし
３周して…
と沢山あるけどな

γ =＝==　 ヽ
　　|_|||_||_||_| |　||　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 ||ｰ.　ー |)　||　＜　あらまぁ、このスレこんなに続いてましたのね。さくらちゃんﾌｧｲﾄですわ。
　　.|ﾊ　ﾜ ~ノ| 　||　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　|（ 「）￣　|　 ||

γ∞γ~　　＼
　人ｗ/　从从) ）　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ヽ　| |┬　ｲ |〃　＜ さくら、今日はイライラしてるの。
　　｀ｗﾊ~　.　ノ）　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 /　＼｀「

>>153
生理？

γ∞γ~　　＼
　人ｗ/　从从) ）　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ヽ　| |┬　ｲ |〃　＜ ブルーのラインが出たの。
　　｀ｗﾊ~　.　ノ）　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 /　＼｀「

ブルーのラインって何？

>>131
まあまあ。
>>130
とりあえず
問１
みにくいので添え字は[]にします。
a=a[1]×a[2]×...×a[n], x=a[n+1]
とおいておくと
　(a[1]〜a[n+1]の相加平均-a[1]〜a[n+1]の相乗平均)*(n+1)
　-(a[1]〜a[n]の相加平均-a[1]〜a[n]の相乗平均)*(n)
　=x-(n+1)a^{1/(n+1)}x^{1/(n+1)}+na^{1/n}
である。最後の項をf(x)とおくと
　f'(x)=1-a^{1/(n+1)}x^{-n/(n+1)}
なので増減表をかいて x=a^{1/n} のとき最小でそのとき
　f(a^{1/n})=0
よりf(x)≧0。

問２
赤が先頭のものの数をかぞえてあとで５倍すればよい。
すると問題は
　赤、青、黄、緑、白の５色の玉が無数にある。
　これらの玉を用いて左から一列にｎ-1個並べるとき、
　赤色が偶数回現れる並べ方は
　何通りあるか。
赤色がk個のならべかたをa[k]とする。a[k]は
　a[k]=C(n-1,k)4^{n-1-k}
ここで C(n,k) は２項係数である。するともとめるのは
　Y=�納k;奇数]a[k]
そこで
　X=�納k;偶数]a[k]
とおいておくと
　X+E=�納0≦k≦n-1]C(n-1,k)4^{n-1-k}=5^{n-1}
　X-E=�納0≦k≦n-1]C(n-1,k)4^{n-1-k}(-1)^k=3^{n-1}
ここからYをもとめればよい。（以下略）

問３
　a[n]
　=lim[n→∞]n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
　=lim[n→∞][n∫[0,1]e・x^ndx - n∫[0,1]x^n・{e - e^(x^2)}dx]
　=e - lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx
なので最終項をもとめる。
f(x)=e(1-x)とおく。f(x)≧e-e^{x^2}(0≦x≦1)は左辺ー右辺の２回微分まで
もとめて増減表をかけばわかる。e-e^{x^2}≧0(0≦x≦1)はあきらか。いっぽう
　lim[n→∞]n∫[0,1]x^n･f(x)dx
　=lim[n→∞]n∫[0,1](x^n-x^{n+1})dx
　=lim[n→∞]n[x^{n+1}/(n+1)-x^{n+2}/(n+2)]^1_0
　=lim[n→∞]n/(n+1)(n+2)
　=0
なので
　0≦lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx≦lim[n→∞]n∫[0,1]x^n･f(x)dx=0
よりlim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx=0。∴lim[n→∞]a[n]=e

問４
　左辺ー右辺=1/(1-x^2){-x^{2n+2}/(n+1)-x/n + x^{2n+1}/n + 1/(n+1)}
かつ1-x^2≧0 (0≦x≦1)なので f(x)=-x^{2n+2}/(n+1)-x/n + x^{2n+1}/n + 1/(n+1) が正または０であることをしめせばよい。
　f'(x)=-2x^{2n+1}-1/n+(2n+1)x^{2n}/n, f'(1)=0
　f''(x)=(4n+2)x^{2n-1}(1-x^2)
から増減表をかけばよい。以下略。

問５
別スレでだれかが答えてたので略

問６
(1)
　f(x)=g(x)q(x)+h(x)
とおける。d(x)がf(x)とg(x)の公約数とすると
　h(x)=g(x)q(x)-f(x)
はd(x)の倍数なのでd(x)はh(x)の約数である。よってg(x)とh(x)の公約数でもある。
d(x)がh(x)とg(x)の公約数とすると
　f(x)=g(x)q(x)+h(x)
はd(x)の倍数なのでd(x)はf(x)の約数である。よってg(x)とf(x)の公約数でもある。
よって
　{f(x)とg(x)の約数}={h(x)とg(x)の約数}
なので
　h(x)とg(x)がたがいに素
　⇔左辺に定数しかない
　⇔右辺に定数しかない
　⇔h(x)とg(x)がたがいに素

(2)
f(x)の次数lとg(x)の次数mのちいさい方nに対する帰納法。
(I)n=0のときはあきらか。
(II)n<kで成立するとしてn=kのときをかんがえる。n=mとして(mのほうがちいさい
として)一般性をうしなわない。
f(x)をg(x)でわってえられる剰余の式
　f(x)=e(x)g(x)+h(x)
をとる。このとき(1)よりh(x)とg(x)もたがいに素でかつh(x)の次数<g(x)の次数=m=n=k
だから((h(x)の次数とg(x)の次数のちいさい方))=((h(x)の次数))<kなので
帰納法の仮定より
　1=p'(x)g(x)+q'(x)h(x)
なる整式p'(x),q'(x)がとれる。これにh(x)=f(x)-e(x)g(x)を代入して
　1=q'(x)f(x)+(p'(x)-q'(x)e(x))g(x)
なのでp(x)=q'(x),q(x)=p'(x)-q'(x)e(x)ととればよい。

＞＞１３４
どうもありがとうございましたｍ（。。）ｍ

代数的数はなぜ加算なのでしょうか？
当たり前と思っていたら、突っ込まれて困ってしまっています。
証明方法を教えてください。お願いします。

>>134
１３４で紹介してもらったページにいきました
証明しようとおもったのですが、帰納法でやるとうまくいきません
どういう風にやればいいのですか？

>>159
整数係数多項式の係数を０次から並べてやれば
（a,b,c,…,0,0,0…）⇔a+bx+cx^2+…
という対応ができる
有限次以上の係数は０
例えば十分大きなｍ次元（有限次元）まで考えてやっても各点の上にある解は
たかだかｍ個。

（a,b,c,…,0,0,0…）なる格子点は加算個で、それぞれの上に有限個の解しか乗ってないから
代数的数は加算個

>>160
どううまくいかなかったのか書いてください

ｎ＝ｋの時成り立つと仮定して
ｎ＝ｋ＋１のときｋ＋１を代入して展開しても成り立たないし
ｎ＝ｋから式を変形させようとしたのですが・・・
多分やりかたが悪いだけなんでしょうが（＠＠；）

>>163
＞ｎ＝ｋ＋１のときｋ＋１を代入して展開しても成り立たないし

どう展開したのか書いてくれ

＞＞１６４
とりあえずΣをはずしてみようとしたのですが
二つ目のΣの上に何も書いてないのでどこまで
足して良いのか分かりません

>>165
要は展開はしてないわけね…

2個目のΣは下の条件のものを全て足せって意味だから
集合Ｉの要素の個数がｋである全てという意味だよ
ｋ個の集合の組ごとにまとめてあるだけ
４個の時の証明と全く同じにできるはず

＞＞１６６
なるほど、なるほどそういう意味だったんですね
たしかに厳密には展開してないかもしれません（＾＾；
ばらそうとしているときに「どこまでたすねん！」ってつっこみた
くなりましたよ（＾＾）
どうもありがとうございました

初歩的な質問なんですが、
「○○するとき、かつその時に限り」
の「その」というのは何をさすことになるのでしょうか？
○○するとき、だけだとまずい事があるのでしょうか？
どうにも良く分からない文書です。

>>168

たとえば、
「彼は通学するときバイクに乗る」
という主張と
「彼は通学するときかつそのときに限りバイクに乗る」
という主張は意味がちがうでしょ。

前者だと、通学するとき以外にもバイクにのる機会があるかもしれぬが、
後者の場合は、バイクに乗るのは通学のときだけだといってるわけだ。

質問なんですが
折り紙（正方形の紙）を用意します
正方形の紙の中に、３辺が最大となる正三角形を作ります
作るというよりは折り込んで折り紙に正三角形の型をつけます
正三角形の頂点は、必ず正方形の４辺のどこかにあります
どのようにすれば正三角形ができるかご教授ください
お願いします

>>161
>（a,b,c,…,0,0,0…）なる格子点は加算個で、それぞれの上に有限個の解しか乗って
>ないから

格子点っていうのは、横軸に次数、縦軸に各多項式をとったような感じでしょうか？
（↑なんか伝わりにくいかも・・・↑）

>>170
折り方を文章で伝えるのは難しい・・・

一辺が1の正方形ABCDから取れる最大の正三角形は三角形DEFなど
（E、FはAB、BCを(2-√3)：(√3-1)に内分する点）

E、Fの取り方は・・・以下次号

一辺が1の正方形ABCD
(1)
辺ADが辺BCに重なるように折り目をつける
（ABの中点をM、DCの中点をNとしてMNに折る）

(2)
BC上の点FとAを結んだ線で折る。このとき
Bのかどが(1)で作った折り目の上に来るようにする。
#　Bが移った点をB’とすると
#　△ABB’は正三角形になり、BF=(√3)/2

(3)
B’を通ってCDに平行に折り、
折った後のC、Dの位置をC’、D’として
C’D’に沿って折る。
#　CF=1-(√3)/2
#　CC’=2-√3
#　CC’/CD=2-√3=tan15°
#　CDC’=15°

(4)
BDとC’D’の交点を通ってADに平行な折り目をつける。
この折り目とABの交点をA’とする。
#　AA’=2-√3

(5)
△DA’C’が正三角形になる。
#DA’=DC’=A’C’=√6-√2

>>172
>E、Fの取り方は・・・以下次号

A’とC’に訂正。て優香わかりづらくてｽﾏｿ

>>172
＞（E、FはAB、BCを(2-√3)：(√3-1)に内分する点）

誤　AB、BCを
正　AB、CBを

>>171
ｍ次までの多項式しか考えてなければm次元空間の格子点

>>175
×m次元空間の格子点
○(m+1)次元空間の格子点

そのものズバリな画像は見つかりませんでした。
http://www.origami.gr.jp/People/CAGE_/divide/div15.gif

＞(2)
＞BC上の点FとAを結んだ線で折る。このとき
＞Bのかどが(1)で作った折り目の上に来るようにする。

白丸がBとB’、点線がAFだと思ってください。

すみません。ほんとうに基本的な問題かもしれないんで悪いんですけど
ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｋ∈Ｎの自然数解って最大で何個あるんですか？
そもそもどうやって証明するんでしょうか？（ああ数学ってむずかしい）
ちなみに自分では２個までしかみつけられませんでした。
だけど証明できなきゃ全然信用できないじゃありませんか。ムキーッ。
どなたかこのいらいらを解決してくれませんか？おねがいします。おねがいします。

>>178
最大値を決められない、つまりいくらでも作れるはず。

例えばx^2+y^2=z^2の自然数解は無数にあるので、

a^2+b^2=c^2　⇔　(arz)^2+(brz)^2=(crz)^2
p^2+q^2=r^2　⇔　(cpz)^2+(cqz)^2=(crz)^2
x^2+y^2=z^2　⇔　(ｃｒｘ)^2+(ｃｒｙ)^2=(crz)^2

式を３つ用意すれば３つの解を得られるので
いくらでもできるというわけです。

【問】
x^n（nは4以上の整数）を(x-1)^4で割ったときの余りをR(x)とするとき、
R(2)を求めよ。

いきなりx=2を代入して2^nを1で割った余り、つまり0じゃだめですか？

x(n)，y(n)，z(n)∈N
x(n)＜y(n)
u(n)=x(n)/y(n)
｛x(n)｝^2+｛y(n)｝^2=｛z(n)^2｝，(n=1，2，3，・・・，n)

i≠j　⇒　u(i)≠u(j)　なら
ｋ=Π｛z(n)^2｝=z(1)*z(2)*・・・*z(n)とすれば
x^2＋y^2=ｋの自然数解はｎ個以上

異なるu(n)は無限に作れるので
x^2＋y^2=ｋの自然数解の最大値は存在しない。

用語の誤用は許して。

>>180
だめです。たとえば n=3 のとき

　代入してから割り算したあまり=0
　あまり=x^3にx=2を代入=8

と違ってます。ちゃんと割り算してから代入しましょう。
やりかたはいろいろありますが、受験数学の範囲ないなら
変数変換してしまうのが楽でしょう。
x-1→yと変換してしまうと、x=2→y=1、x^n→(y+1)^n、(x-1)^4→y^4
つまり
　“(y+1)^nをy^4でわった余りにy=1を代入せよ。”
にしてしまうと随分らくです。

微積の問題なんですけど、この２問教えてください。

１問目：１変数関数に対する平均値の定理をg(t)=f(x+tv)に用いることにより次を示せ。

x∈D、v∈R^nを一組固定する。
0≦t≦1なる全てのt∈Rに対してx+tv∈Dかつf'(x+tv;v)が存在すると仮定する。
このとき
∃θ(0＜θ＜1)　s.t　f(x+v)-f(x)=f'(x+θv;v)

２問目：f'(x;v)が存在するとき、∀λ∈Rに対してf'(x;λv)が存在してf'(x;λv)=λf'(x;v)となることを示せ。

誰か教えてください。お願いします。

>>183
２変数以上の多変量の関数の“微分”を考えるときは極力f'のような
書き方はやめましょう。なにで微分してるかさっぱりわかりません。

ex. f=x^2y のとき df/dx=2xy, df/dy=x^2 f'はどちら？

あと問題の写し方が正確でないのでよく意味がわからないとこが
あります。問１はこうゆう意味ですか？
（問１）
　２変数関数 f(x,v) をとる。(x の定義域はD,vの方は R^n?)
　x,v を0≦t≦1なる全てのt∈Rに対してx+tv∈D
　であるようにとり、かつd/dt f(x+tv,v) が存在するとかていする。
　このとき

　∃θ(0＜θ＜1)　s.t　f(x+v)-f(x)=d/dt f(x+tv;v)_{t=θ}

　をしめせ。

かな？だったら g(t)=f(x+tv,v) とおいておけば平均値の定理より

　g(1)-g(0)=g'(θ)(1-0)

となる0<θ<1がとれるでしょ。
問２はそもそもそんなこと成り立ちません。問題を写し間違ってるか
なんかです。ただしい問題も推定できないので正しく問題を写して
ください。

>>183
ひとにえらそうな事いっといて自分もまちがってるよ。
df/dx,df/dyは∂f/∂x,∂f/∂yなどと書くべきだね。

>>183-185
うわ〜。えらい間違い。>>183さんの名誉のために修正。
>>185≠>>183です。ただしくは>>184=>>185=私、です。
>>185は>>184の間違いを訂正するための自己レス。
>>183さんが>>184を受けて>>185のように毒づいたわけではありません。

>>113, >>117, >>119, >>128, >>145
技巧的なこと考えなくても安直に差をとって微分すればいいです．

f(t):=(x(1)+...+x(n-1)+t)/n - (x(1)...x(n-1)t)^(1/n)
とおく．t=(x(1)...x(n-1))^(1/(n-1)) のとき f は最小値
((n-1)/n){(x(1)+...+x(n-1))/(n-1) - (x(1)...x(n-1))^(1/(n-1))}
をとる．（t で微分すればわかる．）

これと帰納法により問題の不等式が得られます．

>>187
名前欄はそうやって使うのか！

>>188
今知ったのか？
あれはハンドル兼レスタイトル用なのだよ。

これ教えてください。
2/3*3^x=2*3^-x
で、Xの値を求めるって問題です。式とか省略なしでおねがいします。

>>190
>2/3*3^x=2*3^-x
まず両辺から2を約せ。
すると全て3の何乗かになってるだろ。
両辺の指数比べりゃいいだろ。

>式とか省略なしでおねがいします。
だめ。ちょっとは考えろよ。
初心者だから何でも有りってのは傲慢すぎねぇか？

初心者だから何でも有りってのは肛門すぎねぇか？

＞１８４さん
問題の書き方悪くてごめんなさい。確かに、微分わかんないですね。

問題を解く前に定義が与えられていました。
定義：fをＲ^nの開部分集合Ｄで定義された関数ｆ:Ｄ→Ｒとする。x∈Ｄ、v∈Ｒ^nを一組固定し、さらに正の実数rを次を満たすようにとる。
０≦｜t｜＜r（t∈Ｒ）⇒x＋tv∈Ｄ。Ｒの開区間(‐r、r)で定義された１変数関数、g(t)＝f(x＋tv)のt＝０における微分係数　g'(0)＝lim(g(h)-g(0))/h｛h→０｝が存在するとき、ｆはＤ内の点xにおいてv方向に微分可能であるという。g'(0)をｆのxにおけるv方向の微分係数とよび、ｆ'(x；v)で表すことにする。(i.e.　ｆ’(x；v)＝lim(f(x+hv)-f(x))

周知のことだったら、ごめんなさい。
１問目は、１８４さんの訂正通りで宜しいのだとおもわれます。
２問目は、問題文通り書きました。これは、学校の先生のオリジナル問題なので間違っているのかもしれません。先生に聞いてみたいと思います。出来れば成立しない理由を教えてください。
宜しくお願いいたします。

別証：次の補題を示せばいい．

［補題］x(1),...,x(n) は正の数で x(1)+...+x(n)＝n
ならば x(1)...x(n)≦1 である．

［証明］n に関する帰納法で証明する．
x(1),...,x(n) は正の数で x(1)+...+x(n)＝n
だとする．x(1)＝...＝x(n) (=1) の場合は主張は自明．
そうでない場合は x(i)＜１＜x(j) なる i,j がある．
そこでたとえば x(1)＜１＜x(n) だとする．このとき
n-1 個の数 x(1)+x(n)-1,x(2),...,x(n-1) は全て正で
(x(1)+x(n)-1)+x(2)+...+x(n-1)＝n-1 だから帰納法の仮定より
(x(1)+x(n)-1)x(2)...x(n-1)≦1
が成り立つ．これと不等式
x(1)x(n)-(x(1)+x(n)-1)＝(x(1)-1)(x(n)-1)＜0
より
x(1)...x(n)＜(x(1)+x(n)-1)x(2)...x(n-1)≦1
を得る．［証明終］

>>191 ありがとうございます。ちょっとその方向で考えてみます。
今年から数学始めたもんでさっぱりわからんのです。できれば勉強の方法
とか教えてもらえるとありがたいです。

>受験者＠数学超初心者

＠の使い方わかってるか？

>>196　堅いこと言うなよ

改名してみました。それにしても>>190 わかりません。
一応両辺を２で約してみたら
1/3*3^x=3^-x
となったんですがその先がどうにも計算できないんです。

>>198
1/3=3^-1
であることに注意せよ。すると
3^(x-1)=3^-x
指数を比べて
x-1=-x
答えはx=1/2だな。

>>198
1/3=3^(-1)
だろ？
じゃぁ1/3*3^x=3^(x-1)
じゃねぇか。指数法則もうちょっと勉強しな。

なんだかんだ言いながら優しすぎるか？ ｦﾚ。

>>199 そういうことだったんですね。わかりました。簡単な問題（らしいです）
のにきちんとレスくれてありがとうございます。
どうやったら数学ドキュソから開放されるんでしょうか？

>>201
>どうやったら数学ドキュソから開放されるんでしょうか？

ここに書き込む暇があったら勉強すれば？

なしておまえらわしの問題解かんのじゃ
あんぽんたんばかりよのーう（ﾜﾗｲ

よろしく頼みます．

　　a,m,n:正の整数　m<n　とすると，
　　GCD(a^(2^m)+1,a^(2^n)+1)＝１(a偶数)
　　　　　　　　　　　　　　　　２(a奇数)
　　となることを示せ．

>>204
b=a^(2^m)+1 とおく。
a^(2^n)+1=(b-1)^(2^(n-m))+1≡(-1)^(2^(n-m))+1≡2 (mod b)

∴GCD(a^(2^m)+1,a^(2^n)+1)=GCD(a^(2^m)+1,2)

>>179,181 回答ありがとうございます。申し訳ありません。数学とはある意味で論理学と同じく
そこに書いてあることがすべてであり、「意を汲んで欲しい」とか「書いていないけど
わかってよ」っていうことは一切期待してはいけない学問であることを思い出しました。
（もう十年以上も純粋な数学からははなれているものですから）
ご丁寧にご回答いただいた内容はよくわかりました。反例をひとつあげればすむ証明では
ありませんから、厳密に示すだけで結構手間隙をかけさせてしまって申し訳ありませんが、
残念ながらこれは私が知りたかったこととは違います。

私のできる範囲でもういちど問題を書いてみます。（今度こそ正しいことを祈ります）
おそらく代数幾何の初歩の初歩にあたる問題だと思うのですが、おわかりになるかた
ご回答よろしくお願いします。

「N.O.E.(Ａ)：Ａ（集合）→ｎ∈Ｎ，ｎは集合Ａの要素の個数
とします。Ｎは自然数の集合。いま自然数ｋをパラメータとする集合Ａ（ｋ）を
Ａ（ｋ）＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｋ∩ｘ∈Ｎ∩ｙ∈Ｎ｝と定義するとき、
max［N.O.E.(Ａ（ｋ）)］を求めよ。」
という問題です。もうすこしひらたく言えば（私にもわかりやすい言葉でいえば）
「ある自然数ｋに対し、ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｋを満たす二個の自然数の組（ｘ、ｙ）の
最大数を求めよ。」という問題でした。ｘ≠ｙなら（ｘ，ｙ）を反転した（ｙ，ｘ）
が必ず解になっていますから、最大数は２以上です。
問題を間違えたこと、重ねてお詫びします。

>>206
179 ので解答になっているんじゃないの？ どうして駄目なのかおせーて。

ちなみに、k=5^n （n=1,2,3,…) とおくと、(x,y) の個数は、

k=5,25→2個
k=125,625→3個
k=3125,15625→4個
k=78125,390625→5個

という具合に規則的に増えていくことが知られている。
このことからも「最大数はない」でいいはず。
それとも俺も題意を取り違えているの？

>>207　なるほど、こんどこそわかりました。
確かにおっしゃるとおりでした。ごめんなさい。
回答をしっかり読めていなかったようです。
ついでに質問させてください。
N.O.E.(Ａ(ｋ))をｋの関数として表すことは可能ですか？

>>207　教えていただく一方で申し訳ありませんが、
もうひとつついでに教えていただけませんか？
ｋが小さいときはN.O.E.(Ａ(k))＝２となるｋがほとんどですが、
いちばん最初に３になるｋはいくつですか？わかる方法はありますか？

>>208
x,y を整数とすると、次の定理が成立。

(1) k の約数のうち、4 で割って 1 余るものの個数を A 個、
4 で割って 3 余るものの個数を B 個とすると、解の個数は
4*(A-B) 個である。

(2) k を素因数分解する。4 で割って 1 余る素数を p1,p2,p3,…、
4 で割って 3 余る素数を q1,q2,q3,… とし、
k=2^α・p1^a・p2^b・p3^c・…・q1^r・q2^s・q3^t・…
と表すとき、解の個数は、4(a+1)(b+1)(c+1)… である（つまり、
4 で割って 1 余る素数しか関係していない）。

この２つが同じ個数になるということ自体、示すのが面倒かな？

x,y が自然数の場合。

(A) k が平方数でないなら、上の数え方は、(±x,±y) という具合に、
４倍に数えているので、上記の個数を４で割ればよい。

(B) k が平方数なら、(±x,0), (0,±y) という解が４つあるので、
{(上記の数)-4}/4 が解の個数。

(2),(A),(B)から少し考えれば、k=5^3 が解 3 個となる最小数。

なお、>>207 の表は間違えていた。次が正しい。
k=5,25→2個
k=125,625→4個
k=3125,15625→6個
k=78125,390625→8個

ぎゃ。k=5^3 は解 3 個じゃないんだった。
3 個になる奴は自分で考えて！　俺、もう寝る。

>>209
＞ｘ≠ｙなら（ｘ，ｙ）を反転した（ｙ，ｘ）
＞が必ず解になっていますから

だとすれば
k = 50 のとき (x,y) = (1,7) , (5,5) , (7,1) …が最初に3個になる（以下略

(x,y)と(y,x)を区別しないで
解が3つになるｋを探したいんだと思いますが…

>>205
ありががとうございました．
　たすかりました．

>>193なるほど。わかりました。

問２の解答（の Hint）
f'(x;v)が存在すると仮定する。つまり
　f'(x;v)=lim[t→0](g(x+tv)-g(x))/t
が存在すると仮定する。λ∈R をとる。このとき
　lim[t→0](g(x+tλv)-g(x))/t
　=λlim[t→0](g(x+(tλ)v)-g(x))/tλ
　...
以下t→0のときtλ→0に注意しながら適当に変数変換などして
　右辺=λf'(x,v)
を示してください。

なお、f(x;v) がこのような形ならたしかに問２は成立します。
...参考...
f(x;v)をvの関数とみると

　f(x;λv+μw)=λf(x;v)+μf(x;w)...(*)

が成立します。このような関数を“線形関数”といいます。
g が多変数関数のとき“gの微分”を考える際、“どちらの方向に”
微分するか？という問題が発生するので、微分する方向に応じて
“微分”というのが無限に発生します。それら全体を制御して
くれているのが（＊）で一般に

　線形関数は基底（とよばれるもの）の値だけで決まる。

といういちじるしい性質がありそれが多変数関数の“微分”を
考える際の Key Point になります。もう面倒なので詳しいことは
先生にきいてください。

>>194別証：次の補題を示せばいい．

［補題］x(1),...,x(n) は正の数でx(1)...x(n)＝1
ならば x(1)+...+x(n)≧n である．

［証明］n に関する帰納法で証明する．
x(1),...,x(n) は正の数で x(1)...x(n)＝1だとする．
x(1)＝...＝x(n) (=1) の場合は主張は自明．
そうでない場合は x(i)＜１＜x(j) なる i,j がある．
そこでたとえば x(1)＜１＜x(n) だとする．このとき
n-1 個の数 x(1)x(n),x(2),...,x(n-1) は全て正で
(x(1)x(n))x(2)...x(n-1)＝1 だから帰納法の仮定より
x(1)x(n)+x(2)+...+x(n-1)≧n-1 が成り立つ．
これと不等式
x(1)+x(n)-(x(n)x(1)+1)＝(1-x(1))(x(n)-1)＞0
より
x(1)+...+x(n)＞x(1)x(n)+x(2)+...+x(n-1)+1≧n
を得る．［証明終］

＞２１４
さんきゅうです。先生に聞いてみます。

>>183>>214
わ〜。うそ書いた。>>214の(*)は無条件には成立しない。
どんなとき成立するか？それは先生に聞いとくれ。

すいません。
幾何分野について教えてください。


平面上に直線Lがあり、
L上に中心を持ち半径がそれぞれa.bである円、C(1)、C(2)が点Oで外接している
C(1)、C(2)の円周上に
それぞれ動点p.qをLに関して同じ側にとる。
p.qを任意に動かすとき�儕OQの面積の最大値を求めよ

よろしくお願い致します

>>210 に嘘があるので、訂正。
(2) のところで、r,s.t,… はすべて偶数でなくてはならない。
そうでないときは解の個数はゼロ。
だから、4 で割って 3 余る素数も少しは関与する。

>>218
この問題結構受験数学では有名っす。
C(1),C(2)の中心をA,Bとする。三角形OABの面積をSであらわす。
まず点Pを固定する。∠POA=θとおいておく。Sが最大となるのは
OPを底辺だと考えて高さが最大となるとき、すなわち点QでのC(2)の接線が
OPと平行となるときでこのとき点QからOPへおろした垂線の足を
Hとするとき、QH=QB+BH=b+b sinθ。またOP=2acosθだから

　S=(b+b sinθ)a cosθ
　=ab(1+sinθ)cosθ

となる。θの範囲は0<θ<π/2。この範囲でSの最大値は
S=ab(cosθ+1/2 sin2θ)から

　S'=ab(-sinθ+2cosθ)
　=(-2sin^2θ-sinθ+1)
　=-(2sinθ-1)(sinθ+1)
...
ここまででどうでしょう。以下sinθ+1≧0からS'の符号は2sinθ-1の符号だけ
しらべればよいのですぐ増減表がかけると思います。
おためしあれ。

>>220
レスありがとうございます
早速ためしてみたいと思います

>>220
＞S'=ab(-sinθ+2cosθ)

S'=ab(-sinθ+cos2θ)　っすね。

倍角に直さず、積の微分で

(S/ab)’
=(1+sinθ)’ cosθ + (1+sinθ) (cosθ)’
=1-(sinθ)^2 - (1+sinθ)sinθ
=略

でもいいかも。

＞この問題結構受験数学では有名っす。

初見でした。面白いっすね。

>>220と同じ一点固定の方針で始めると
P(a(1+cos2x),asin2x)としたとき
Q(-b(1+sinx),bcosx)で最大となるから、
4S^2=(|OP||OQ|)^2-(OP・OQ)^2 ←これが煩雑になってやめ(^_^；

＞S=ab(1+sinθ)cosθ

やめて正解。こんなに簡単になるとは。

謎な瞬殺計算
2α=π/2-α　⇔　α=π/6

大学の授業に愕然としてる新入生です。
馬鹿な質問で申し訳ないのですが、皆さんの推薦する
数学・物理の参考書・問題集を教えてください。
（数学では：微積・線形代数・微分方程式
　物理では：力学・電磁気学・　　　　　）
僕は工学部で、自習してやっと教授の授業が理解できたレベルです。
自力でやらにゃーと思いながらも、図書館ではいい本が
なかなか見つかりません。

よろしくお願いします。

追加ですが、担当教授のテキストに誤答が多すぎてあてにならないです。
質問に行くと正答を教えてもらえるのですが、最近対応が面倒らしく
「誤答があるほうがいい問題集だ！」
と突っぱねられてしまいました。

ま、大学は研究するために行くとこだから
先生頼るもの限度はあるのだろうけど…
……ちょっと鬱でした。

>>223
講義ではどんなテキスト使ってるの？

＞２２５
数学：
・『初歩から学べる　微積分学』　佐藤・吉田・野澤・宮本著
・『基本演習　線形代数』　　　　野澤・成田著
とくに上は誤答だらけ。……最悪です。

どちらも担当教官の書いた本ばかりです。
ばか高いテキストを生徒に押し付けないで欲しい……。

>>226
つまり野澤って先生なんだね？（ｗ

いや、犯罪級は佐藤です。奴はA級戦犯。
…って、同じ大学のやつが見たらやばいな。

>>226
すまん、どっちも知らない本だ。
解析はやさしい本なら田島、詳しくやりたいなら杉浦、個人的には小平がオススメ。
書名はどれも「解析入門」。

線型代数は本によって用語の定義のしかたが全然違ってたりするからまずは講義のテキストを我慢してやったほうがいいと思うよ。
余裕があったら松坂「線型代数入門」なんかが解りやすいから読んどくといいかもね。

大学１年の数学でこける奴多いからなｹｹｹ…

>>223
もし佐藤なら授業はハズレだが単位はくれたはずだ。
残念ながらこないだ退官してしまった。

野澤も佐藤も理学部じゃなくて元教養学部の教授だから
般教の数学は手抜きかもな。それで誰の授業なの？

>>229に同意。工学部なら数学はあまり手をひろげずに
今の教科書を我慢して読まれたし。

＞２２９
ありがとうございます。
さっそく明日からでかい本屋まわるので、どれがしっくりくるか探索します。

＞２３０
実際みんなどの程度理解してるんだろう…。自分も知りたいです。
（ちなみに友人はみな悲惨な状況）

>>223
http://saki.2ch.net/test/read.cgi?bbs=kouri&key=987845003

＞２３１
吉田先生です。熱心で好感もてますが、黒板に授業してます。
線形代数は、先輩の勧めで越谷先生にしました。

理学部数学は工学部数学とかなり違うようで・・・。
確かに、今はテキストをみっちりやるべきかと思います。（もうすぐ終わりそうだけど）
ただ、図書館の『ガウス整数論』よんで妙な啓発を受けたので、
趣味としてちまちまやっていきたいな。（笑）

>>223
吉田か…。うーん。頑張ってください。
なんだったらわざと吉田の来ない日を調べて
野澤（EかF号館）か宮本（理学部、女）に質問しにいくといいですよ。

＞２３５＝２３１
ありがとうございます。
そうですねー、さっそく実践します！
これ以上ローカルネタ引っ張るわけにいかないし、今日はこれにて寝ます。
上の助言を参考にしてあしたは本屋探索します。

それにしても２ちゃん広いなー。

http://www.ac-bbs.net/search.html
あんまりヒトいないけど

>>176
納得。ありがとうございました。

上のは159さんではありません。間違えです。m(__)m

lim｛(x,y)→(0,0)｝(x^3-1)(y^3-1)の解き方を教えてください。
明らかに一発で(-1)(-1)=1は分かるんですけど、
ｙ＝0とした後にｘ＝0、ｘ＝0とした後にｙ＝0として２つの極限を求めて、
｜(x^3-1)(y^3-1)-1｜＜・・・
というふうにやるべきなのでしょうか？

>>240
わかってんならどっちでもいい…

>>220
>平面上に直線Lがあり、
>L上に中心を持ち半径がそれぞれa.bである円、C(1)、C(2)が点Oで外接している
>C(1)、C(2)の円周上に
>それぞれ動点p.qをLに関して同じ側にとる。
>p.qを任意に動かすとき�儕OQの面積の最大値を求めよ

>C(1),C(2)の中心をA,Bとする。三角形OABの面積をSであらわす。
�儕OQの面積をsとするのでは?

>まず点Pを固定する。∠POA=θとおいておく。Sが最大となるのは
>OPを底辺だと考えて高さが最大となるとき、すなわち点QでのC(2)の接線が
>OPと平行となるときでこのとき点QからOPへおろした垂線の足を
>Hとするとき、QH=QB+BH=b+b sinθ。またOP=2acosθだから

QH=QB＋BHにどうしてなる?
BH=bsinΘもよくわからないけど・・
やばい、、俺ドキュソかも

>>218
>>242
BはQHの中点
bは円Bの半径

α=∠PAO、β=∠QBO、とすれば
＞Sが最大となるのは
＞OPを底辺だと考えて高さが最大となるとき、すなわち点QでのC(2)の接線が
＞OPと平行となるとき
の条件から
α/2+β=π
α+β/2=π
がすぐ求まるから、面積を考える必要はない。と思われ

ゴメソ
BはQHの中点→BはQH上の点。と思われ

>>243
すいません、便乗質問させてください

>α/2+β=π
>α+β/2=π
>がすぐ求まるから、面積を考える必要はない

どうやって求めたのでしょうか?
またなぜ面積を考えなくて良いのでしょうか

C(1)(円Aと呼ぶ)の中心をA、C(2)(円Bと呼ぶ)の中心をB
α=∠PAO、β=∠QBO、とし
底辺OPからの高さが最大になる円B上の頂点をQとして
Qにおける円Bの接線をλとおく。
(この時、あるOPに対して面積POQが最大)
するとOP//λとなる事は証明済みとして

∠POQ=(α+β)/2：(∵地道に計算、接弦定理が簡単)
OQとλのなす角のうち小さい方をγとすると
γ=β/2：(∵接弦定理が簡単)
である。
∠POQとγはOP//λから補角(和が平角)の関係にあるので
∠POQ+γ=α/2+β=π
となる。

同じことを底辺をOQとして求めれば対称的なので
記号を入れかえるだけでよくて
α+β/2=π
となる。と思われ

検討求む

>>246
なるほど。
でも面積考えなくて良いと言うのはどういうことですか?
すいません質問ばっかりで

高さ最大=面積最大

>>248
いや、そういうことじゃなくて
最大値を求めよと書いてあるので嫌でも面積を出さなければ
いけないと思うのですが・・

本当だ…

>>243
α/2+β=π
α+β/2=π

この二つを利用して面積のMaxもとめれないかな?

>S'=ab(-sinθ+2cosθ)
>=(-2sin^2θ-sinθ+1)
>=-(2sinθ-1)(sinθ+1)

これ最終的に最大値求めていくとすごく変な数になってしまいました

>>252
本当だ。
なんか途中計算でつまった

>>251
2式より
α=β=2π/3
中略
OP=2acos(π/6)
OQ=2bcos(π/6)
∠OPQ=2/3π
中略
S=(1/2)|OP||OQ|sin(∠OPQ)=3√3ab/4

>>252
SとS ' をかんちがいしていると思われ。

S=ab(1+sinθ)cosθ
ｄS/dθ=ab(-sinθ+cos2θ)=-ab(2sinθ-1)(sinθ+1)θ=π/6のときSは最大値(3√3)ab/4

改行キャンセル・・・（打つ

S=ab(1+sinθ)cosθ
ｄS/dθ=ab(-sinθ+cos2θ)=-ab(2sinθ-1)(sinθ+1)

　θ=π/6のときSは最大値(3√3)ab/4

>>210,>>212　ありがとうございました。思いのほかむずかしかったです。
というかひとりでは何日かかったかわかりません。
ｎ元の問題でも解はたくさんできることもすぐわかりました。つまり
Σ[i=1,n]ｘ(i)^2＝ｋの整数解もいくらでもあるということになりますよね。
だけどｎ次元になったときにｎ−１次元の解から考えられる自明な解以外のものが
出てこないかなど、まだ気になることは残っていますが、有用な定理も教えていただき
たいへん助かりました。それではまた。

>>254
Θ=π/6ってどうやって出しました?

>>257
>ｄS/dθ=ab(-sinθ+cos2θ)=-ab(2sinθ-1)(sinθ+1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　^^^^^^^^ここが0になるθ

おー!!
すばらしい。ありがとう254

おー!!
すばらしい。ありがとう254

スマソ二重投稿

　Ａ　Ｂ　
　　□
　Ｃ　Ｄ

の正方形の折り紙があるとします
そこから、どうやって最大辺の正三角形を作れますか
計算的じゃなくて、簡単に折って作れるようなのですが
また教えてください

1+ｗ＾1+ｗ＾2+ｗ＾3+･･････+ｗ＾9＝(1-ｗ＾10)/(1-ｗ)

　　右辺から左辺になる途中式を教えて下さい。

>>263
左辺をSとおいてｗS-Sでも計算してください

>>264
おお！！すげえ！！できました。
ありがとうございます、これはやっぱり暗記の部類にいれた方が良いですかね？

>>265
ｗ＾20ぐらいまでは暗記しといたほうがいいよ

まぁ定石手法と思って覚えても
問題ないでしょう
等比型数列の和を計算するときは
これを思い出すようにしてください

>>266　　>>267
はい、わかりました。

>>266　　コラ

背理法と対偶はおなじなのですか。

＞２７０
多分、似て非なるもの。

　証明の問題なんでしょ…ならば、
・背理法：「矛盾」を導く。
・対偶：「対偶が成り立つ」ことを証明する。

間違えてたらスマソ。

>>262
長方形二つに等分するように折って、できた長方形の対角線で折ってから開いたら
正三角形の折り目ができると思うが・・・

>>262
マルチポストはやめようね。（＠面白い問題スレ）

>>263
こういうのって、なんで思いつかないのかなぁ。
１からＮまで足したらいくつになる？ってのも暗記してんのかなぁ。

誰か助けてください。

問１：Ｉn＝（0 ,1/n)とするとき、∩In、はなんですか
問２：Ｄn＝｛（x,y）∈Ｒ^(2)｜(x-1/n)^(2)＋y^(2)＜1/ｎ^(2)｝とするとき、∩Ｄn、はなんですか

問１は、０not∈Inなんで ０not∈∩In
任意の実数ｒ(≠０)について、アルキメデスの原理より
ｒｎ＞１となる自然数が存在する。
ｒ＞１/ｎ
ｒnot∈In
ｒnot∈∩Inとなり、空集合であってますか？
問２はアルキメデスをどう使ったらいいんですか？おしえてください。
お願いします。

>>270
根本的に違う方法だと思われ。

>>270
同じ。よくある背理法の記述では
(p⊃q)≡(¬q⊃¬p)
ここで
｢qの否定を仮定するとpの否定が成り立つ｣
を
｢qの否定を仮定するとpに矛盾する｣
に言い換えているだけ

>>275
>問２
Ｅn＝｛（x,y）∈Ｒ^(2)｜0＜x^(2)＋y^(2)＜1/(2ｎ)^(2)｝とおくと
Ｄn⊂Ｅn だから ∩Ｄn⊂∩Ｅn。明らかに∩Ｅn＝φだから∩Ｄn＝φ。

>>277
ちがうだろう。

>>277
なんで集合記号と論理記号合わせてつかってるの？

背理法は
条件qを満たす集合Xは条件pを満たす
を証明する為に
条件qかつpを満たす集合が存在しないことを示す方法
じゃないでしょうか
つまり
qを満たす集合Xはかならずqを満たすか¬qを満たすから
¬qを満たさなければqを満たす
と言う風に行き先を制限してやる手法

sinΘ＋sin２Θ＋sin３Θ＝０を解け

どうしていいのかまったくわかりません
一つ質問お願いします

よく考えたら違うようだ。ゴメソ
対偶証明法
(p⊃q)≡(¬q⊃¬p)
背理法
(p⊃q)≡((p∧¬q)⊃⊥)
でいいかな？

>>280
⊃は⇒のこと、変な流儀でゴメソ

>>282
sin2Θとsin3Θをそれぞれ展開して、左辺の和を
sinΘ×(cosΘの多項式)という形に持っていく。

＞２７８
さんきゅうです

θをn次代数的数とします。K = Q(θ)は 1,θ,…,θ^{n-1} によって、
K∋∀α = c_{0} + c_{1}θ + … + c_{n-1}θ^{n-1} (c_{i}∈Q)
と一意に表せます。θの最小多項式は相異なるn個の根 θ_{1},…,θ_{n}
を持ち、これらをθの共役といいます。そして
σ_{i}(α) = c_{0} + c_{1}θ_{i} + … + c_{n-1}(θ_{i})^{n-1} (1≦i≦n)
をαのKにおける共役といいます。Kから代数的数全体への同型写像は
σ_{i} (1≦i≦n) で与えられ、その個数はn個です。

ここまではいい（同型性はフツーに準同型性+全単射性で示せました）
のですが、ここから先がピンときません。

K = Q(θ)がθのすべての共役を含む時、各σ_{i}はKの自己同型となる。
αの次数mはnを割り切る。そして、αの共役は{σ_{1}(α), … ,σ_{n}(α)}
の中にピッタリn/m個ずつ現れる。

長くなってしまいましたが、ご指導よろしくお願いします。

>>286
「各σ_{i}はKの自己同型となる」の部分はいいんでしょ。
その次の部分は、たとえばこう考えればいいんじゃない？（やり方はいろいろありそう）

f(x)=(x-σ_{1}(α))*(x-σ_{2}(α))*(x-σ_{3}(α))*…*(x-σ_{n}(α)) ・・・（♯）
とおく。
σ_{i}(α)=c_{0}+c_{1}θ_{i}+ … +c_{n-1}(θ_{i})^{n-1} を（♯）に代入し、展開する。
展開して、f(x)=x^n+Ax^(n-1)+Bx^(n-2)+ … +Z となったとすると、係数 A〜Z は、
θ_{1}, θ_{2},…, θ_{n} の対称式になる。よって、A〜Z は有理数。

αを根に持つ有理係数の最小多項式を g(x) とおく（g(x) は m 次式）。

f(x) を有理数の範囲で既約多項式に因数分解する。
次のように k 個の既約多項式に分解されたとしよう。
f(x)=h_1(x)*h_2(x)*…*h_k(x) ・・・（♪）

適当な i を取れば、x=σ_{i}(α) は、h_1(x)=0 の解である（（♯）と（♪）の比較による）。
いま、θ_{i} を θ に写す自己同型（つまりσ_{i}の逆写像）を h_1(σ_{i}(α))=0 に作用さ
せると、係数の有理数は不変で、σ_{i}(α) は α に写るから、h_1(α)=0 である。
つまり、h_1(x) は、αを解に持つ既約多項式。
∴ h_1(x)=g(x)

h_2(x), … , h_k(x) についても同様で、これらはすべて g(x) に等しい。
つまり、f(x)=g(x)^k となるが、次数を考えれば、k=n/m である。
この式と（♯）を較べることから「αの共役は{σ_{1}(α), … ,σ_{n}(α)}
の中にピッタリn/m個ずつ現れる」ことがわかる。

質問です。
ttp://www2.odn.ne.jp/aaj64220/NewFiles/NPatch.html
上記のサイトのN-Patch曲面を生成する部分は出来たのですが、
補間点の法線を高速に求める方法が解りません。
曲面上の１点の法線（垂直に交わる線でもいいです）を求める方法を教えてください。

こんなに難しそうな問題が並ぶ中で大変恐縮なんですけど、どなたか
（-1）×（-1）が何故１になるのか中学生に分かるように教えて
いただけませんか？

>>289
マイナスにマイナスを掛けるとなんでプラスになるの？
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=953590762

>>289

0=(+1)*0=(+1)*((+1)+(-1))=(+1)*(+1)+(+1)*(-1)
0=0*(-1)=((+1)+(-1))*(-1)=(+1)*(-1)+(-1)*(-1)
辺ぺんひいて
0=(+1)*(+1)-(-1)*(-1)
(-1)*(-1)=(+1)*(+1)=+1

>>290
>>291
ありがとうございます☆
もう少し考えたらしっくりいきそうです。

>>283
その二本の論理式は同じものだと思います。
むしろ、対偶証明法と背理法が、ともに排中律に立脚している
ことが重要だと思います。

>>246
その論法は有名なあやまりです。
PにおけるC(1)の接線をλ、QにおけるC(2)の接線をμとよぶことにして

　PをとめてQをうごかすときSが最大になるQはμ//OPのとき...(*)
　QをとめてPをうごかすときSが最大になるPはλ//OQのとき...(**)

の二つが確認できたとしても

　μ//OP,λ//OQ のとき S は最大

は言えません。もっとも典型的な問題として

　f(x,y)=((-(x+iy)^4の実部))=-(x^2-y^2)^2+4x^2y^2 (x^2+y^2≦1)
　の最大値をもとめよ。

という問題で (x,y)=(0,0) は

　x=0 をとめるとき y=0 で最大。
　y=0 をとめるとき x=0 で最大。

はいえるけど (x,y)=(0,0) のとき最大でないことはおろか極大ですらない。
なぜこんなことがおこるかというと f は (0,0) で病的特異点(critical
singular point)といわれるところでこういうところでは相異なる２方向での
微小変化を考えたときの最大になっていたとしても（i.e. 極大）そこで
２変数関数として極大とはいえません。どうしてもこの手のLogicでのりきるなら
∠POA=θ、∠QOB=ζとおいて

　（１）S=2cosθcosζsin(θ+ζ) が (θ,ζ)=(π/6,π/6) で病的特異点でない
　　　　ことを示す。具体的には S のヘッシアンが0でない事をしめす。
　　　　さらにSは必ず最大値をとることを示す。

　（２）S の定義域を 0≦θ,ζ≦π/6 に拡張して境界での最大値とが (θ,ζ)=(π/6,π/6)
　　　　における値を比較する。

のいづれかぐらいしか思いつきません。いづれにしても結局 (θ,ζ)=(π/6,π/6)
における S の値は計算せざるをえません。（たとえ問題が最大になる(θ,ζ)を
もとめよという問題でも。）また（１）、（２）は大学受験数学の範囲では
相当むづかしいので結局よけいな回り道をしてしまいます。

生物板でも聞いてみてるんだけど、こっちの方がいいかもしんない。
生物の宿題のデータの処理の仕方がわからないので、誰か助けて！

誤差付きの数字同士の割り算って、どうやるんですか？

具体例：
Ａ：2.3±0.1
Ｂ：0.5±0.1
Ａ÷Ｂを求めて、結果をXXX±XXの形で書け。

ってことなんですけど。たぶん答えは4.6±XXだと思うんだけど、
プラスマイナス以降のXXのところをどうやって計算したらいいかわかんない！
助けてください。お願いします。

>>295
分からないんだったら
(2.3+0.1)/(0.5+0.1)
(2.3+0.1)/(0.5-0.1)
(2.3-0.1)/(0.5+0.1)
(2.3-0.1)/(0.5-0.1)
をそれぞれ計算してみれば？

すみませんーん。
医者で処方箋書いてもらって、薬をもらったのはいいのですが、
ひとつあたりの薬の金額がわからないので、質問してもいいですか？

AとBを各28錠ずつもらいました。
Aの薬は18.9円/1錠ぐらいです。
合計で16000円でした。
だいたいでいいのですが、AとBの1錠の金額が割り出せますかねぇ・・・。
お願いいたします。

>>297
( 1600 - 28 * 18.9 ) / 28 = 38.24...
１万６千は間違いだと思うのだが、どうか？
本当に１万６千なら、別な料金が混じっているか、相当に高価な薬だ。
保険効いてるはずだから、原価の２〜３割の金額だと言うことも忘れてはいけない。

>>298
ごめんなさい。1600円です。・・・
ありがとうございます。

あと、すみません。
小数点以下いくついってもいいので、
割り切れませんかねぇ・・・。>>297の答え。

>>300
割り切れません。「18.9円くらい」というのに問題があるのでは？

>>287
ご丁寧な証明ありがとうございました。
けど、いくつか質問させてください。

>係数 A〜Z は、
>θ_{1}, θ_{2},…, θ_{n} の対称式になる。

ここでいっている対称式って、例えばどんな感じのモノですか？

>「各σ_{i}はKの自己同型となる」の部分はいいんでしょ。

すいません、そこもよくないんです…。 ご面倒おかけします。

何度も聞いてすいません。
問題を解く前に定義が与えられていました。
定義：fをＲ^nの開部分集合Ｄで定義された関数ｆ:Ｄ→Ｒとする。x∈Ｄ、v∈Ｒ^nを一組固定し、さらに正の実数rを次を満たすようにとる。
０≦｜t｜＜r（t∈Ｒ）⇒x＋tv∈Ｄ。Ｒの開区間(‐r、r)で定義された１変数関数、g(t)＝f(x＋tv)のt＝０における微分係数　g'(0)＝lim(g(h)-g(0))/h｛h→０｝が存在するとき、ｆはＤ内の点xにおいてv方向に微分可能であるという。g'(0)をｆのxにおけるv方向の微分係数とよび、ｆ'(x；v)で表すことにする。(i.e.　ｆ’(x；v)＝lim(f(x+hv)-f(x))

１問目：１変数関数に対する平均値の定理をg(t)=f(x+tv)に用いることにより次を示せ。

x∈D、v∈R^nを一組固定する。
0≦t≦1なる全てのt∈Rに対してx+tv∈Dかつf'(x+tv;v)が存在すると仮定する。
このとき
∃θ(0＜θ＜1)　s.t　f(x+v)-f(x)=f'(x+θv;v)

２問目：x0∈Ｄ、v,w∈Ｒ^nを一組固定する。f’(x0；v)が存在するものとし、更に次を仮定する。
∃r∈Ｒ(r＞0)　s.t. |x-x0|＜r⇒f’(x0；w)が存在する。
このとき、f’(x；w)がx=x0においてxに関して連続であればf’(x0；v+w)が存在して
f’(x0；v+w)＝f’(x0；v)＋f’(x0；w)となることを示せ。

お願いします。

関数f(x)=(2/3)x^3-px^2+px+1は、x=αで極大になり、x=βで極小になるとする。
(1)pの値の範囲を求めよ。
(2)pが(1)で求めた範囲を動くとき、２点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

この問題の(2)がわかりません。どなたか教えてくださいませんか？

閉曲線が滑らか(接線が決定される)という条件をつけても駄目？

閉曲線Cは有界で滑らか⇒ある直線λからの最遠点が存在
⇔そのCに含まれる近傍でλからの距離が極値を取る
⇒仮定から接線が存在し一意でλに平行

という風に。返信求む。

>>304
極値を持つ点を求めて中点求めてpを消去すればでるっしょ
αとかβとか気にしないでpの式になるよう計算してみー

と、思ったらそういう話ではない？
｢平行⇒極大｣が成り立たないという事？
それはもちろん成り立たないと思われ。
ヘシアンの検討は必要。

閉曲線が滑らかで凹な点が無いという条件を仮定すればどう？

整式で表された関数f(x)が、任意のx,yに対して
f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)-4
を満足するとき、次の問に答えよ。

(1)f(0)を求めよ。
(2)f'(0)=2のとき、f'(x)を求めよ。

上の問題教えてください。

x=y=0を代入セヨ

>>308

(1)x=y=0を代入すると
f(0)=f(0)+f(0)-4
f(0)=4
(2)両辺をxで（偏）微分
f'(x+y)=f'(x)+3y(2x+y+2)
f'(y)=f'(0)+3y(y+2)=3y^2+6y+2
これが任意のx,yについて成り立つのでy=xを代入
f'(x)=3x^2+6x+2

>>304
αとβはf'(x)=2 x^2 -2 p x+p=0の解だから解と係数の関係より
α+β=p,αβ=p/2
２点(α,f(α)),(β,f(β))の中点は（α+β,f(α)＋f(β))なので
あとはf(α)＋f(β)をα＋βとαβだけで表せばｐの式になります。

(2) は与式を微分係数の形に変形セヨ
二つの微分係数項を作るように考えて
y≠0として両辺yで割ったあとf(0)=-4を使い、極限を取レ

＞294

つーか１階の微分だけで極値点かどうか判定するのは無理

>>304
学コンは自分で解きましょう。

大学への数学の問題はこちらのスレッドで聞いてください
別に解答ばらすのは構わないけど

大学への数学
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=969597101

>>314
こんな問題今月号ありましたっけ?

Ｍが平坦、if and only if、Ｎ’を有限生成Ｒ-左加群、ＮをＲ-左加群とし、ｆ：Ｎ’→Ｎを単射準同型写像とすると、１M〇ｆも単射。１MはＭ→Ｍの恒等写像。〇はテンソル積とする。

Ｍが平坦、if and only if、Ｎ’を有限生成Ｒ-左加群、ＮをＲ-左加群とし、ｆ：Ｎ’→Ｎを単射準同型写像とすると、１M〇ｆも単射。１MはＭ→Ｍの恒等写像。〇はテンソル積とする。

x=(√3)cosθ-sinθ,y=x^3-3xとおく.
(1)0°≦θ＜180°のとき、xのとりうる値の範囲を求めよ.
(2)実数aに対して,y=aを満たすθが、0°≦θ＜180°において３個存在するように、定数aの値を定めよ。

(1)は合成して-2≦x≦√3となったんですが、
(2)がわかりません。
どなたかヒントだけでもお願いします。

>>319
ネタか？
y=x^3-3xのグラフ書いて
(1)でもとめた定義域から値域もとめて
あとはy=aとどこで3つ共有点をもつか調べるだけ

時刻tにおけるxy平面上の二点P.Qの座標が
P(2t,-t^2＋2t) Q(t＋4,-3t＋4)であるとする。
tが0〜1まで変わるとき線分PQが通過する部分を考えその面積を求めよ

この問題を教えてください
よろしくお願いします

>>321
PQの式を出してtについて平方完成すると
PQがある放物線に接することがわかる
あとはtに応じて接点を動かしていけば
PQの通過範囲がわかる
ついでに接点がPなのでQの動向を見れば
線分の通過範囲もわかる

>>302
たとえば、a, b, c の対称式とは、

a^3+b^3+c^3-3abc

みたいな式。文字を入れ替えても式の形が変わらないもの（ここの問題では係数は有理数に限る）。
こういう式は基本対称式（a+b+c, ab+bc+ca, abc のこと）で表せます（係数は有理数）。

念のために言っておくと、θの最小多項式を p(x) とすると、その根 θ_{1},…,θ_{n} の
基本対称式は、解と係数の関係から、p(x) の係数で表せるので有理数です。

＞各σ_{i}はKの自己同型となる

何が分からないのかが分からないですが・・・。
たとえば、x^3-2=0 の解は、2^(1/3), 2^(1/3)ω, 2^(1/3)ω^2 です（ωは 1 の 3 乗根）。
K, K' を次のように決めます。
K={x+y2^(1/3)+z2^(2/3)│x,y,z∈Q}
K'={x+y2^(1/3)ω+z2^(2/3)ω^2│x,y,z∈Q}
K, K' はどちらも体で、x+y2^(1/3)+z2^(2/3)⇔x+y2^(1/3)ω+z2^(2/3)ω^2 の対応で、
同型となります。これが、σで表される同型写像なわけ。
しかし、この例では K≠K' なので、自己同型にはなっていません。

一方、x^2+1=0 の解は、i,-i です。このときは、
K={x+yi│x,y∈Q}
K'={x-yi│x,y∈Q}
とすると、x+yi⇔x-yi の対応で同型ですが、集合として K=K' だから、これは自己同型。
こういうようなことを言っているにすぎませんけど。

>>127
問１のヒント：
t=Ｘ_1＋Ｘ_2＋Ｘ_3，
u=Ｘ_1＋wＸ_2＋(w^2)Ｘ_3，
v=Ｘ_1＋(w^2)Ｘ_2＋wＸ_3
とおく．ただし w は (w^2)+w+1=0 を満たす複素数．
C[Ｘ_1,Ｘ_2,Ｘ_3](=C[t,u,v])の A_3 不変部分環は
C 上 t, uv, u^3, v^3 で生成される．何故か？

問２のヒント：松村『可換環論』ｐ２８０を参照せよ．

>>323
具体例ありがとうございます。
おかげさまで自己同型がなんたるかがわかりました。ふむふむ。
「含む」って言葉に拒絶反応を起こしていた私…。

>>246
>>294

S(α,β)は
　　どのβ(0＜β≦π)に対してもα=π-β/2で最大 　(i)
　　どのα(0＜α≦π)に対してもβ=π-α/2で最大 　(ii)
なら
　　任意のα、β(0≦α,β≦π)について
　　β(n+1)=π-α(n)/2
α(n+1)=π-β(n)/2とおくと

　　S(α(n),β(n))≦S(α(n),β(n+1))≦S(α(n+1),β(n+1))
となるような点列(α(n),β(n))[n=0,∞]が取れる

　　α(n+1)=π-β(n)/2=π/2+α(n)/4より
α(n)=(1/4)^n*α(0)+2π/3
　　lim[n→∞]α(n)=lim[n→∞](1/4)^n*α(0)+2π/3=2π/3
また
　　lim[n→∞]β(n)=2π/3でS(α,β)≦S(2π/3,2π/3)
したがって
α=2π/3,β=2π/3でS(α,β)が最大となる

というのはどうですか。検討よろしく！

>>305
だめでしょう。結局のところ“高さ最大のところで面積最大”というのは
“底辺を固定して”という仮定のもとでしか成立しえずそれは

　S=2cosθcosζsin(θ+ζ)

のζ（又はθ）のどちらかを固定しているという事に他なりません。
結局 λ//QB の時最大というのは QB を固定しているので

　βを固定したとき S が最大になるのは α=π-β/2 のとき
　αを固定したとき S が最大になるのは β=π-α/2 のとき

がいえてもその両方を満たす点で最大になるとはいえない。という問題点を
なんとかして回避する方法をしめさないかぎり証明は完成しているとは
いえないでしょう。

>>326
これなら証明になっています。

>>307
ここでもレスしてくれてたのね。きづかんかった。
“凹がない”でもだめです。ヘッシアンは“２次の微分”なので

　凸だから２次の微分がきえていない。

なんていえませんから。ヘッシアンが＋かーかという事というよりは
それが０であるか否かということの方が重要です。（つまり
通常特異点か病的特異点か。）病的だと先にあげた例のように
“異なる２方向での変分がーであるのに極大でない。”という
問題が発生します。もちろん病的でなければ異なる２方向で
極大になっていればそこは極大点ですが。
“２次の微分”を式をつかわず初等幾何だけでしめすのは大変です。

ちょっと横から失礼します。
「割り算の優位性 」ってなんですか？

>>319
　x=2sin(θ+α)　(αは(-1,√3)の仰角)

まではできたとして、各 x の値についてθが何個対応するかかんがえる。
点線で単位円をかいてα≦θ＜α+180°のとこだけ実線でぬってみるよろし。
すると
　xの値
　x=-2 　　　　　１個
　2＜x＜−√3　　２個
　ー√3≦x≦√3　１個
　それ以外　　　 ０個
がわかるのでy=x^3-3xのグラフを点線でかいて2＜x＜−√3に
対応する部分を2重に、-√3≦x≦√3とx=2の部分を1重に線を引く。
（x=2のあたりちょっと見にくいけど...）それと y=a が何回ぶつかるか
かぞえます。たとえば a=-1 だと2重線部分と1回、1重線部分と2回
ぶつかるので解は4個とわかる...
みたいなかんじでさがしてゆきたまへ

>>330
訂正 -2 と書くべきところが 2 になってるとこが何箇所かある。
わかるよね？

>>246
>>327

S(α,β)=2absin(α/2)sin(β/2)sin((α+β)/2)について
D={(α,β)|0≦α≦π,0≦β≦π}で2ab≧S(α,β)≧0

　どのβ(0＜β≦π)に対してもα=π-β/2でのみSが最大 　(i)
　どのα(0＜α≦π)に対してもβ=π-α/2でのみSが最大 　(ii)
なら
α=0またはβ=0または(π,π)でのみS(α,β)=0だから
　(α,π-α/2)(0＜α≦π)かつ(π-β/2,β)(0＜β≦π)
となる点でのみ最大値をとる
よってα=2π/3,β=2π/3でS(α,β)が最大となる

これじゃだめですか

>>332
めんどいので本質的でない係数は無視して

　S=sin(α/2)sin(β/2)sin((α+β)/2) (0≦α≦π,0≦β≦π)

にしてしまいましょう。Pointは

　定理　任意の連続関数はcompact集合上で最大値をもつ。

です。0≦α≦π,0≦β≦π はcompactなのでどこかで最大値を
もつはずだという論述があれば>>332の解答でOKです。
でも上の定理（だれの定理だっけ？Weierstrassかな？）は
少なくとも受験数学ではゆるされませんよね。大学の教養の数学では
使ってもいいですが、この部分の指摘をわすれているとたぶん０点です。

ありがとうございました^^

早く教えて〜〜〜〜
>>329の割り算の優位性って奴
ねたモトはココ
http://saki.2ch.net/test/read.cgi?bbs=qa&key=988713546&ls=100

>>333

それじゃあ
　連続関数f(x)は閉区間で最大値を持つ　　から
S(α,π-α/2)(0≦α≦π)は(0≦α≦π)で最大値を持つ
でいいかな

>>335
うるせーな、厨房。
1/3*3=1 に決まってんだろ。優位性も糞もあるか。
厨房は厨房同士でジャレあってろや。

>>337結局わかんないって事ね！
ありがとさん。

>>336
OKです。それが１変数固定法です。αを固定してβを動かしたときの
最大値S(α、π-α/2)の最大値をαを動かしてもとめるのです。
受験数学の範囲で２変数以上の最大値をもとめるならこの方法を
とっておくのが無難です。

>>339
どうもです^^

ａ1=2, ａn+1=1/2(ａn+2/ａn)で定義される数列｛ａn｝について
(1)｛ａn｝は下に有界で、単調減少であることを示せ
(2)極限値lim n→∞ ａn を求めよ
この問題の解き方を教えてください。
相加平均・相乗平均を使うのは分かるのですがそれからが分かりません
ご教授よろしくお願いします

相加平均と相乗平均をどうつかうかわからん
それとは違うアプローチを
１) a_1>0 から　定義にしたがい、 a_n>0は容易。
下に有界だけならこれでいいが、後の便宜のためにもう少し大きな下界を探しておく。

f(x) = x/2 + 1/x
g(x) = = -x/2 + 1/x
を考える
x > 0で　f(x)は　x=√2 の時 極小値 √2をとることから
x>0で f(x) >= x=√2 (*1)

g(x)は x>0 で単調減少 g(√2)=0であることから
x>=√2 で g(x) <= 0 (*2)

この(*1) と(*2)ふたつを使えば
a_n+1 = f(a_n) >= √2
a_n+1 - a_n = g(a_n) <= 0
を示せる。
.........................

2)極限値はおまけみたいなもんだね。
1)から極限があることはわかった。
それは
x = x/2 + 1/x
を満たす。。。。

前々から数学は苦手な高二です。
レポートのプリントが出てやってるんですが、
2問わかりません。
おそらくここの方からすれば馬鹿みたいな問題だと思うんですが。

※iは虚数単位

(x+yi)^2=i　を満たす実数xを求めよ。

（a+bi=c+diのような形にして、
a=cとb=dを連立するような気がするんですが、変形できないです）

x=3+2iが二次方程式x^2+ax+b=0の解であるとき、
実数の定数a,bの値ともう1つの解を求めよ。
（x=3+2iをx^2+ax+b=0に代入してa,bを求めるんでしょうか。
でも文字が多くて方程式としては解けない気が）

高校生はオイラーの exp(ix)= cos( x) + i * sin(x)は
使っちゃだめ？
じゃあ正面から
(x+yi)^2 を素直に計算する
x^2-y^2 + 2xy i
　　　　(複素数同士の乗算は理解してる?)
これが iと等しいから
　x^2-y^2=0　 　2xy = 1
(複素数の比較　はOK?)
を満たす x,yを求める
　

>>343
x=±１/√2

ｘ+ｙ＝ｒ（cosθ+sinθ）とおけ

訂正:ｘ+iｙ＝ｒ（cosθ+isinθ）とおけ

>>344様

x^2-y^2=0
2xy=1

まではいくんですが、
これを解くというのがわかりません。
連立方程式は一次しかやったことがないんで、
x^2とかy^2が出るとどうなるのかという。

低レベルですいません。

>>345様

突然sinとかcosとか出てきて困惑してます。
低学力高二なので、そんな大それたレベルまで達してません。

>>348
0=x^2-y^2=(x-y)(x+y) だから x-y=0 または x+y=0

＞（x=3+2iをx^2+ax+b=0に代入してa,bを求めるんでしょうか。
＞でも文字が多くて方程式としては解けない気が）
文字多くないよ
このように計算すると
(aとbの式1) + (a+bの式2)*i = 0
になる。
式１も式２も０でなければいけない
（これを理解してるかな？）
ので、ちゃんと求まる。


ただしこの問題はもっと簡単に
もうひとつの解は x=3-2i に決まってるので
(これが何故かをいちいち示すとなると、ちょっとだけ面倒）
あとは解と係数の関係を使って。。

x^2-y^2=0
2xy=1

上の式を因数分解して
(x+y)(x-y) = 0
よって　y=x か y=-x
で後は下の式を使って求める。

？
結局、xとyはどうなるんでしょうか。
x+y=0 y=-x
(2x)(-x)=1
-2x^2=1
x^2=-1/2
x=√-1/2
x=√1/2√-1
x=√1/2 iですか？

う〜ん、、、

y=-x か　y=x どちらか
y=-x の方は３５３のようにおかしいから捨てる
y = xの方も試してみて

y=-xも、y=xもどちらも正しく導き出されているのに、
使える使えないがあるんですか。

y=xとすると、

x,yとも√1/2？

しかし、これを元の式に入れても合わない気が。

すいません、√1/2入れると合いますね。

>しかし、これを元の式に入れても合わない気が。
あうよ　落ち着いて計算してみ
(√1/2+i √1/2)^2 = (√1/2)^2 + (i √1/2)^2 + 2 * (√1/2 * i√1/2)
=1/2 - 1/2 * 2* (i*/2)
= i

それと答えはもう一つあるよ.
　2*x^2=1 を満たす x はひとつではない

-√1/2もですね。
345で既に出ていたとは。すごいなあ。

２番目やろうとしてるんですが、
どうも分かりません。そもそもどういう問題なのかも分からない。

解と係数の関係というのは、
α＋β＝−ｂ／ａ
αβ＝ｃ／ａ

のことですか？

そうです。この問題にあわせれば

α＋β＝−a
αβ＝ b
ですね。
α=3+2iなら β=3-2i なんで(これを証明なし使っていいかどうかが不明ですが）
ここから求まります。

（これを証明なし使っていいかどうかが不明ですが）
が心配だったら 351の前半の方法をレポートには書いておこう。

＞x=3+2iが二次方程式x^2+ax+b=0の解であるとき、
＞実数の定数a,bの値ともう1つの解を求めよ。

あれ？
とすると、もう1つの解っていうのは、3-2iそのものなんですか？

>>351
>もうひとつの解は x=3-2i に決まってるので
>(これが何故かをいちいち示すとなると、ちょっとだけ面倒）

複素数α、βに対して
（αの共役）＋（βの共役）＝（α＋β）の共役
（αの共役）−（βの共役）＝（α−β）の共役
（αの共役）×（βの共役）＝（α×β）の共役
（αの共役）÷（βの共役）＝（α÷β）の共役（←但しβ≠０）
が成り立つことを認めれば自明。

a=-6,b=13で、もう一つの解は3-2i

1週間かけて、19問と問題集がようやくできたようです。
ありがとうございました。

>とすると、もう1つの解っていうのは、3-2iそのものなんですか
直観的には
x^2 + a*x + b = 0 解の公式を考えると
x = -a/2 + √(a^2 - 4b)/2
　 x = -a/2 - √(a^2 - 4b)/2
a,b実数だから虚数があるとしたら第２項の方だけ、
　で一方の解は実部は同じで虚部をマイナスにしたものと
わかる。

　

すいません、この問題を教えてください

方程式
(x^n)＋[P1{x^(n-1)}]＋[P2{x^(n-2)}]＋..............＋Pn=0
の解を
α1、α2、α3.............αnとするとき
次の等式を示せ
(1＋α1^2)(1＋α2^2)............(1＋αn^2)={(1-P2＋P4-........)^2}＋{(P1-P3＋P5-......)^2}

f(x)=(x^n)＋[P1{x^(n-1)}]＋[P2{x^(n-2)}]＋..............＋Pn=0 とおく。

i を虚数単位として、方程式、
f(x+i)f(x-i)=0
を考えよ。

この方程式のすべての解の積が、(1＋α1^2)(1＋α2^2)............(1＋αn^2) である。
あとは、解と係数の関係を利用。

　>342 ありがとうございました

>>367
助言ありがとうございます
やってみますです

レポートなんです。やばいです。

sin(x^2) (0≦x≦π)
の積分って解析的に求められますか？
簡単そうで･･･うう解らない。

２のマイナス１乗が、なぜ　１／２　になるのか、
いろいろな方面から詳しく教えてください。

ＭにＲは作用してないのか？>>318

exp（6πi）-1

の答えってなんですか？

方面1
a^n * a ^ m = a^(n+m)
が n,mが自然数でなくても成立するようにべき乗を拡張

2^(-1) * 2^1 = 2^0=1が成立
2^(-1) = 1/2^1 = 1/2

方面2
exp(x) = Σx^n/n!
で定義する
　２項定理をうまく使って exp(x+y)=exp(x)exp(y) は容易に示せる
expの逆関数を log と表記する

2^xとは exp(x*log2))のことと定義する

(-------* ここまで　a^x は aをx回かけるという表現を一切使わず。)
この定義では
2^-1 = exp(-1*log(2))
ところで
exp(log(2))*exp(-1log(2))=exp(log(2)-log(-2))=exp(0)=1
2^(-1) * exp(log(2)) = 1
2^(-1) * 2=1

　

時間がないのでも一回書かさしてください。
求められないなら「求められない」って誰か言ってください。

sin(x^2) (0≦x≦π)
の積分って解析的に求められますか？
おねがいします。

それを公式無しで説明することは可能でしょうか。

>>375
荒らすな馬鹿者

>>375
>求められないなら「求められない」って誰か言ってください。

↑ちょっと笑った…

>>375
回答

「馬鹿でも簡単に求められます。」

この時期にヤバイレポートなんてあるかい！（−−メ

これお願いします

3X−Y＋6＝0,6X＋5Y−30＝0,X軸で囲まれる三角形の重心の座標を求めよ。

です。交点の求め方が分かりません。お願いします。

え〜と
3X−Y＋6＝0　…１
6X＋5Y−30＝0…２
の連立方程式と
6X＋5Y−30＝0…２
Y＝0 …３
の連立方程式と
Y＝0 …３
3X−Y＋6＝0　…１
の連立方程式で３点を求めてください

A = {n∈N| n<=1000 & n^2は12の倍数}のときAを列記法で表せ。また、元の個数を求めよ。

おしえて
n^2 = 12m (m∈N)
n = 2√3m
こっからうまくいきません。

>>383
m=3 l^2とでもしてみれば？

>>383
12=2^2*3なので
12mがある整数の２乗なら
12m=2^2*3^2*□^2
これから
2^2*3^2*1^2=36,2^2*3^2*2^2=144,2^2*3^2*9^2=324…
となります

＞列記法

これはなーに

>>382 ありがとうございます。解けました。

>>38612の約数なら
{1,2,3,4,6,12}

≫375
正直、俺もわからん
置換、部分じゃ無理だよな
何使うんだ？
馬鹿で御免。

>>378 >>389
解析的には求まらないよ、これ。

>>390
ありがとう。それが聞きたかった。
バカにしたやつがバカってことだ（藁

T:V→Vで内積（Tx,x)を考えることにより、エルミート変換の固有値
はすべて実数であることを示せ、教えてください。

実計量ベクトル空間VにおいてT:V→Vがある正規直交基底で対称行列で
表されるならば、どんな正規直交基底を用いても対称行列で表されることを示せ。お願いします

>>161
>例えば十分大きなｍ次元（有限次元）まで考えてやっても各点の上にある解は
>たかだかｍ個。

ｍが有界でない場合（ｍを固定しない場合）はいかにしたらよいでしょうか？

>（a,b,c,…,0,0,0…）⇔a+bx+cx^2+…
>という対応ができる

もしかして、ここがポイントなんでしょうか？
古い話ですが、よろしくお願いします。

>>391
幸せな奴･･･（ﾜﾗ

>>384-385
thnks
簡単だったのねw

2の−1乗はなぜ0.5なのですか？
1に2を−1回かけると-2になるんですけど、誰かわかりませんでしょうか？

>>397
そのｰ１回かけたやつに１回２をかけたら
１回もかけてないってことになるはずだが…

>2の−1乗はなぜ0.5なのですか？
>1に2を−1回かけると-2になるんですけど、誰かわかりませんでしょうか

２をマイナス１回かけることが
−２をかけることとなぜ同じと思うの。

”マイナス１回かける”とは”１回かけたことをチャラにすること”
と考えれば 2 で割ることになるでしょ。

a^b を　aをb回かけることで出発すると、
b が　負の時
b が　1/整数　のとき
b が 有理数のとき
b が　無理数の時、
何のこっちゃ？になるから ( aをπ回かけるとは何のことやら）
a^bは、別の定義方法を持ち込んだ方がいい場合がある、

そうすれば 2^(^1) = 0.5 は定義と開き直りも可能

2^nは2をn回かけたものだから、2＾n＝2*2＾（n-1）となる
nに0を代入して2＾0＝1＝2*2＾-1だから2＾-1＝1/2＝0.5になる。

これでは、説明不十分といわれたのでなんとかならないでしょうか？

定義としかいいようがない

2^n は ” n>0 では 2をn回掛け合わせたもの　”
だけがあるとことろか出発して、
n<= 0では 2^nをどう定義すれば自然かを考える。

例えば 2^n を順に(n=1,2,3,.....)並べる
2,4,8,16,,,
当たり前だけど、 右の数字は一つ左の２倍になっている
さて２の左側にも数字を並べる時、
この２倍関係があった方が自然だと思うなら
......... 0.25,0.5,1,2,4,8,16 .......
この並びを採用するなら
2^0 =1 2^(-1) = 0,5 , 2^(-2) = 0.25

>>401
ｎ回かけるというのは、１にｎ回かける
-ｎ回かけるというのは、あとｎ回かけたら１になる

でどこらへんが不十分なんだ？

>>403
＞2^nは2をn回かけたものだから、2＾n＝2*2＾（n-1）となる
＞nに0を代入して2＾0＝1＝2*2＾-1だから2＾-1＝1/2＝0.5になる。

これを書いて提出したらなんでこの式を使ったんだ？って言われた。

学校のレポートか？教師の出題意図が何だったかだね。
1) ２＾ｎ　の定義 n<0 まで自然に拡張することを考えさせる
ということだったな？

意図がはっきりしないまま2^-1 = 0.5 は何故かと聞かれているのら
その質問は　1+1=2は何故か唐突に聞いているの同じこと
だから、そんな宿題答える必要もない愚問ということになる。

それこそ 400でいうように
a^b の定義自体を全く別のアプローチでもってきて
　それは定義ですと開きなおるしかない。


　

>>392
複素数zに対しz^*を複素共役として
　(Tx,y)=(x,Ty)...(1)
　(ax,y)=a^*(x,y)...(2)
　(x,ay)=a(x,y)...(3)
が一般になりたつ。vを固有ベクトル、eを固有値として
　ev=Tv
そこでx=v,y=Tvとして(x,y)を計算すると
　(v,Tv)=(v,ev)=e(v,v)
　=(Tv,v)=(ev,v)=e^*(v,v)
(v,v)≠0からe^*=e。

>>393
以下X゛でXの転置行列をあらわし、Xのi行j列の成分をX[i,j]であらわす。
v[i]を直交基底、fをv[i]による表現行列をA[i,i']とする。
つまりf(v[i])=�納i']A[i,i']v[i']とする。べつの直交基底w[j]をとるとき
v[i]とw[j]の変換行列B[i,j](⇔v[i]=�納j]B[i,j]w[j]をみたす行列。)
は直交行列となるすなわちB゛･B=B･B゛=(単位行列)となる。
(ここでB゛はBの転置行列。)これはやってミソ。(v[i],v[i'])=δ[i,i'],
(w[j],w[j'])=δ[j,j']を利用。)
そうするとw[j]をつかったfの表現行列はB^{-1}ABになる。このとき
B^{-1}=B゛をつかえば

　(B^{-1}AB)゛=B゛A゛B=B゛AB=B^{-1}AB

となる。
微妙にsuffixの上下（前後か？）がまちがってるかも。
適宜なおしてよんでみてタモ。しかし教科書にのってるゾ。
どこがわからんかを書いてくれんとこれ以上説明できん。

ありがと、みんなのをまとめて提出してみます。
認めてもらえなかったら科目留年でごわす。

√3は有理数ではない。ってのを証明するのに、背理法を使って解いてたんですが、
√3 = m/n (n,m∈Z,互いに素、n≠0)と置いて
3*n^2 = m^2
m^2は3の倍数。⇒m = 3k (k ∈ Z)　っていえます？

m = 3k+1 ⇒ m^2 = 3l+1
m = 3k+2 ⇒ m^2 = 3l+1

>>409
納得。ありがとございました

質問です。
　lim[ｎ→∞](ln(ｎ))^r/n=0
これってわかります？

>>411
左辺の1/r乗が０であること i.e.
　lim[ｎ→∞](ln(ｎ))/n^(1/r)=0
をしめせばよい。n^(1/r)=xとおけば左辺は
　lim[x→∞](ln(x^r))/x
　=r･lim[x→∞](ln(x))/x
　=0

正も負も，ひとつも漏れることなく，かつ重複がないように，
有理数の列を書き出すようなアルゴリズム，わかる人，
教えてください．

わからないって優香、理解してない

同値って何？例えば、P,Q:命題　として
PとQの真理値が等しいとき、P ⇔ Q でいいの？ P = Q　は何なん？

>>412
　ありがとうございました。

おたずねです

　a,b:整数 a,b>0　GCD(a,b)=1　a^2-b^2:完全平方数
　ならば，�@a+bもa-bも完全平方数
　または，�A(a+b)/2も(a-b)/2も完全平方数

これ，どこかで見た気がしますが，分かる人頼みます！

>>413
正と負は交互に同じ絶対値のものを置けばいいので正だけ考える
(0,1]は1/xで反転すれば[1,∞)なので、xと1/xも交互に置けばいいので
(0,1]だけ考えればよい
最初は1をとり第２項からは
n/mの列を考える
mは２から順にとる

mに対してn=1から始め、その後は1<n<mでｍと互いに素な整数を取っていく
すなわちｍを分母にもつ１より小さい既約分数をとっていけば全ての有理数を並べる事ができる

俺も解析系だが…

>>413
＞有理数とは、整数に、分数で表される数を追加した数の集まり
＞この場合、分数で表される数は、整数で表せない数とする。
らしいんだけど、無限にあるように思われるが。
n/(n+1) （n ≧ 2）
この条件だけだって無限になる。

せめて、もっと詳しい条件（値の範囲なり）付けてくれないと、コーディングできん。

>>418
加算無限って知ってる？

>>416
整数nと素数pに対しnの素因数分解にでてくるpの回数を素因子pのnに
おける多重度(=multiplicity)とよぶ。たとえば72における
2の多重度は3,3の多重度は2,5の多重度は0。(素因子としてでてこない
ときは０。)そうすると

　nが平方数⇔任意の素数pに対しpのnにおける多重度は偶数

と

　(abにおけるpの多重度)=(aにおけるpの多重度)+(bにおけるpの多重度)

をみとめてもらって
aもbも偶数ってことはないので場合分け。
(i)aかbかどっちか偶数のとき
(a,b)=(奇、偶),(偶、奇) いづれにしても a+b,a-bともに奇数。
x=a^2-b^2=(a+b)(a-b)
奇素数pをとる。xは平方数なのでxにおけるpの多重度は偶数。
もしa+bにおけるpの多重度が奇数とするとa-bにおけるpの多重度も
奇数になる。(たして偶数だから。)そうするとa+b,a-bともに
pの倍数なので2a,2bもpの倍数になる。しかしpは奇数なので
a,bがpの倍数になるけどこれはGCD(a,b)=1に反する。
p=2についてはa+bもa-bも奇数なので特に2の多重度はa+bにおいても
a-bにおいても0。よってどんな素数pについてもその多重度は
a+bにおいてもa-bにおいても偶数。
(ii)aもbも奇数のとき。
奇素数についてはpの多重度はa+bにおいてもa-bにおいても偶数なのは
(i)同様。a+b,a-bが平方数でないとすると多重度が奇数となりえる
のは2しかない。このときa+bとa-bにおける多重度はともに奇数
(たして偶数だから。)このとき(a+b)/2、(a-b)/2における2の多重度は
ともに偶数となる。すると全部の素数の多重度が偶数になる。

<<420
420っす。いまよみなおしてみると我ながら恥ずかしい証明だな〜。
場合分けのタイミングとかしかたとかめったヘタ。
適当に直してよんでちょ。
たぶんウソは書いてないけどヘタクソ。

GCD(a+b,a)=GCD(a,b)=1　だから
GCD(a+b,a-b)=GCD(a+b,2a)=1or2

以下の問題教えて下さい。

aを定数として、次の不等式を解け。
ax-2<a^2*x^2-4<ax+2

⇔ -2 < a^2*x^2-ax-4 < 2
⇔ 9/4 < (ax-1/2)^2 < 25/4
⇔ 3/2 < ax-1/2 < 5/2 or -5/2 < ax-1/2 < -3/2
⇔ 2 < ax < 3 or -2 < ax < -1

後はaの符号で場合分け

分散を大学で勉強してるのですが、高校で飛ばしたのでわかりません。

統計学で、標準偏差を二乗した物の分散です。（なんか分散にもいろいろあるらしいので・・・

分散とは、どんなものか？何がわかるのか？全然わかりません

>>425
ここで勉強↓
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/lecind.html

L=2,3,4.........と順次(無限）{
p=1,2,3,,, L-1 と順次(有限){
　　　　　q=L-p とおいて
　　　　　q/p を書き出す
　　　　　ただし　ガイシュツ　はすっとばす
}


}

で　全部の正の有理数を列挙可能。

助けてください。

問題１：地表が平面である斜面がある。真東に斜面上の実測で１７m進むと高さは８m高くなり、真北へ斜面上の実測で３７m進むと高さは１２m低くなる。
(1)　斜面上水平となる方向を求めよ。
(2)　斜面上tanが最も急な方向を求めよ。

問題２：地表が平面である斜面がある。斜面上を東へ水平距離に換算して１００m進んだら高さが２０m高くなり、真東から北へ３０度の方向へ水平距離で１０m進んだら高さが２０m高くなった。
(1)　真北へ１００M進むと高さはどれだけ変わるか？
(2)　tanが最も急な方向と大きさを求めよ。

誰か教えてください。方向だけでなく、やり方も教えてください。
お願いします。

工学系数学のロピタルの定理のあたりに演習で出ていたのですが、
不定形の呪縛からのがれることができません。ロピタルでは解けないん
ですかね？　これは、∞にいきそうですが、lim[x→0][1/x - 1/(tan(x)]は
0に収束しそうな？　どなたかご教授おねがいします。

>>429
工学系数学には、分数の通分は載ってないの？（ｗ

解と係数の関係の一般形ってどんなものですか？

>>428
問題１
x = 西＜東、z = 南＜北、y = 高さ

原点(0,0,0)
東17m(17,8,0)
北37m(0,-12,37)

２ベクトルの外積を求め、法線を得る。
(-12 * 0 - 37 * 8, 37 * 17 - 0 * 0, 0 * 8 - -12 * 17 )
= ( -296, 629, 204 )
よって、西296m、北629、高さ204の方向

上となる方向を足せば良いはずなので、
(17,8,0) - (-(0,-12,37)) = (17,20,-37)
よって、東17m、南37mの方向。（高さ20m）

あってます？

>>432
ちょっとまちがってない？
だって“実測で”17mすすむと8m高くなったってことは“水平距離”
では15mすすむってことでしょ？
質問者のレベルを考えてあげると“高さ”を“z”にしたほうが
いいかも。
というわけで東をx、北をy、高さをzにして原点を“現在地”にすると
平面は(0,0,0),(15,0,8),(0,35,-12)を通るので法線は>>432さん
のようにやるか、しかしどう考えても“外積”はつかえなさそうなので
法線ベクトルを(a,b,c)として 15a+8c=0, 35b-12c=0。よって
法線ベクトルとして (-8/15,12/35,1) がとれる。
ということはもっとも急な方向(Fall line)はこの法線ベクトルの
(x,y)平面への正射影をした(-8/15,12/35,0)の方向。
斜面上水平になる方向は Fall line に垂直な方向 (12/35,8/15,0)。

>>432
＞上となる方向を足せば良いはずなので、

ﾏｼﾞｶﾖ???ﾈﾀ?

x = 西＜東
y = 南＜北
z = 高さ

原点(0,0,0)
東100m(100,20,0)
東北30度10m(cos(30゜)*10,20,sin(30゜)*10)

(1)
20mの高さの直線の式を求める
y = a*x + b
＞方向き = zの増加量 / xの増加量
a = ( 0 - sin(30゜)*10 ) / ( 100 - cos(30゜)*10 )
b = 0 - a*100 = sin(30゜)*100 / ( 10 - cos(30゜) )

z軸上（南北線上）の20m地点は、x = 0の時のy、すなわちbになる。
後は比例計算で、b : 20 = 100 : 高さ を解けば良い。

(2)
北に100m、東にbmの方向？＜自信ネェ

>>433
スマソ、問題１の(2)は完全に寝ぼけました。
>>434
そういうなよ。間違うこともあるっつーの。

1/(x^2) - 1/(tan(x)^2) = (1 - (x^2)/(tan(x)^2))/(x^2) で
分子分母を各々２回微分しても、∞　* 0 の不定形から逃れられないん
ですけど、根本的になにか勘違いしてますか？

>413 へのレスだね
L=2,3,4.........と順次(無限）{
p=1,2,3,,, L-1 と順次(有限){
　　　　　q=L-p とおいて q/p を書き出す
　　　　　ただし　ｐ、ｑが互いに素でないときは　はすっとばす
}


}

で　全部の正の有理数を列挙可能。

>>436
これもロピタルでとける。一応...
(tan^2x-x^2)/x^2tan^2x と通分して４回微分したまへ。

>>435
問題２か？あってはいるみたいだがわざわざ>>433の問題１とちがう
方針でとく必要はないだろ？>>433の方針と同じ方針で平面が(0,0,0),
(100,0,20),(10cos(30゜),10sin(30゜),20)を通るから法線ベクトルは
(-1/5,-√3/5-4,1)がとれるでいいじゃん。（１）も斜面の方程式は
-x-(√3+20)y+5z=0 だから x=0,y=100 のときのzを求めりゃいい。

微分の問題とかで
f(x)=x^(1/3)+1のf'(x)は1/3x^(2/3)で極値を求めようとすると
undefined。
でもF(x)=x^2/(x^2-9)のf'(x)は-18x/(x^2-9)^2でx=0が極値。
この二つは何が違うんですか？
だって両方ともxに０入れたら０ですよね？
ここんとこ全然わかってないんです、わかりやすい説明お願いします。

>>440
おいおい。f=x^(1/3)+1の導関数は1/3x^(-2/3)だぞ。つまり
f'=1/{x^(2/3)}... ん？>>440 の 1/3x^(2/3) の x^(2/3) は分母に
あるの？... ま、いづれにしても分母=0になってしまうので
undefined。F'(x)のほうの分母は０にならんでしょ？

すいません上見間違いです、混乱しまくってるもんで。
分母が０になったらundefinedってことですか？

>>442
ま、“だいたい”そんな感じ。正確には“右”微分可能か否かは
lim[h→+0](f(x+h)-f(x))/h が収束するか否か。Fのほうはちゃんと
x=0で０に収束するけどfのほうはx=0で発散する。でも収束のあやしい
ところ以外できちんと“分数”の形みたいにかけてて“あやしい”ところで
分母が０になってるとほぼまちがいなく収束しない。i.e. 微分不能。
でもほんとに定義不能かどうかは上記の極限が存在するか否か
チェックせんとだめ。

どうもありがとう！
2/3　になりました。４回も微分しなければならないとは
気がつきませんでした。ねばりが足りなかったですね。
反省。

三重積の問題
a,b,c:一次従属　⇔　｜a b c |=0
の証明がわかりません。 すべてベクトルです。だれか教えてください。

>>445
｜a b c |=a･（ｂ×ｃ）
b･（ｂ×ｃ）=0、ｃ･（ｂ×ｃ）=0だから自明

>>446
どうもありがとうがざいます。

数列｛αｎ｝を初項４/５，公比２の等比数列，数列｛βｎ｝を初項１/５，公比−１／２の等比数列
とする。

（１）　ｎ＝１，２，３，４，５，のとき、αｎの少数部分は？

（２）　ａｎ＝αｎ＋βｎの少数部分βｎは？

（３）　数列｛βｎ｝の初項から第１００項までの和の整数部分は？

以上です。　よろしくお願いします

>>448
異なる定義でβｎが重複してますよ。

数列｛αｎ｝を初項４/５，公比２の等比数列
数列｛βｎ｝を初項１/５，公比−１／２の等比数列とする。

（１）　ｎ＝１，２，３，４，５，のとき、αｎの少数部分は？
（２）　ａｎ＝αｎ＋βｎの少数部分ｂｎは？
（３）　数列｛ｂｎ｝の初項から第１００項までの和の整数部分は？

これでいいのかな？

yes

449さんお願いします

x(≧0)の小数部分をS(x)とするとき、S(x+ｙ)≠S(x)+S(ｙ)に注意。（例：x=y=0.5)
本問では「負数の小数部分」が未定義なので「βｎの小数部分」という表現を使わないように。

(1)書き出していくとS(αn)の規則性が見える
(2)bn＝S(an)＝S(αn)+βnを示す
(3)0＜Σ[n=1,100]βn＜0.2より　(Σｂｎ)の整数部＝(ΣS(αn)+Σβn)の整数部＝(ΣS(αn))の整数部

＞(2)bn＝S(an)＝S(αn)+βnを示す

これはn=1で成立しない。
注意せよと書いた自分がひっかかってしまった。鬱

1＋1/2＋1/3＋1/4＋‥‥‥‥
は収束しますか？
また、
1−1/2＋1/3−1/4＋‥‥‥‥
は収束しますか？
よろしくお願いします

>>454
しない。
する。

>>455さん
A=1+1/2+1/3+1/4+‥‥‥‥
B=1-1/2+1/3-1/4+‥‥‥‥
として、
A/2=1/2+1/4+1/6+1/8+‥‥‥‥
B=A-2*(A/2)=0
であってますか？

>>456
全然だめ
A=∞だから
それではB=∞-∞だよ

五目並べで、
先手が勝つパターン
後手が勝つパターン
決着がつかないパターン
は、それぞれ何パターンづつあるか、求めることってできますか？
とても知りたいです。
１５＊１５の盤です。

>>457さん
ではどうやって出すのでしょうか
Aが無限大になる理由も教えてもらえるとありがたいのですが

あと、禁止問題っていうのはどういったのがありますか？
0^0とか0!の他に教えてもらえたら嬉しいです

>>456
（１）Ａ＝1+1/2+1/3+1/4+・・・とする。
（１）の答えはＡ＝∞である。
（１）より、1/2+1/4+1/6+1/8+・・・＝1/2（1+1/2+1/4+1/6+・・・）＝∞

>>459へ
460は無視してくれ。君の発言を誤解してた。

>>460
???

>>462
かちゅーしゃ使え。

＞４０６
どうもありがとう、感謝します。

>>459
∫[0,∞]1/xdx=∞

むしろΣではないのですか？

>>432
>>433
どうもありがとう。

>>432
>>433
どうもありがとう。
問題１は高校生でもできるって、書いてあったんですけどできるんですか？

y=tan -1 (1+x)/(1-x)
-1 は逆三角関数の-1です。
y=log(x+√x^2+3)
√のかかる範囲はx^2+3です。
この２つの式を微分すると、どうなるか教えてください。
お願いします。

>>466
不等式の評価

有り難うございます、何となく分かる気がしました。
後でやってみます。
もう一つ1-1/2+1/3-1/4+‥‥‥‥
のほうもよろしくお願いします。

それともう一つ他スレで見たのですが
１＋２＋３＋４＋‥‥‥‥＝−１／１２
というのは本当ですか？
おいらには分かりません（泣

>>471
1-x+x^2-x^3+・・・+(-x)^(n-1)={1-(-x)^n}/{1+x}
の両辺をxで0からxまで積分すると
x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-・・・+(1/n)(-x)^n=log(1+x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-(-1)^n{∫[x=0,x](x^n)/(1+x)dx}
あとは残った定積分を評価してn→∞としてください

>>471
　　　　 　〜-、
　　　　 /￣　l |　　 ／￣￣￣￣￣
　　　　■■-っ　＜ んなこたーない
　　　　´∀｀/ 　　　＼＿＿＿＿＿
　　 ＿_／|Ｙ/＼.
　Ё|＿_　| /　　|
　 　　　| У..　　|

平面上の点Oを中心とする１辺の長さrの正六角形ABCDEFに関して、初め△OABの
位置にある△XYZを次のように動かす。
つねに△XYZ≡△ABCであり、かつ頂点Xはこの正六角形の内部を動き、頂点Y,Zは
ともに正六角形の周上すべてを動く。
このとき、点Xの軌跡を図示せよ。
また、点Y，Zがともに正六角形の周を１周するとき、点Xの通過する道のりを求
めよ。

上の問題がわかりません、、
二日ほど考えているのですが・・・
よろしくお願い致します

すみません。
微分です。

f(x)=(x*y^2)/(x^2+y^2)
偏微分が(0,0)で偏微分可能かを調べるという問題なのですが、
変数xについての(0,0)での偏微分可能ってことを示すだけでいいのでしょうか？
変数yについての(0,0)での偏微分可能ってことを示さなければいけないのでしょうか？
一応 lim[h→∞0] {f(x+h)-f(x)}/hで
計算はして極限の存在をしらべて、変数xでもyでも可能ってことはわかりました。

あと、このf(x)が（0,0）で連続の証明方法がまったくわからなくてこまってます。

よろしかったら先輩がたおしえていただけませんか？

f(x,y)の間違いでない？

問 題
次の□の中に入る数字を求めよ
8 18 36 □ 77

>476さんへ

f(x,y)です。
すみません。
まちがえました

>>475
極座標…

教えてください。微分方程式の問題です。

ある国の人口が50年で２倍になるとすると、増加率が住民の数に比例するという仮定のもと、
何年で３倍になるか。

>>474
う、、むつかしい

>>480
dN(t)/dt=kN(t)
解は
N(t)=N_0 * e^(kt)
あとは適当に

＞482
ありがとうございます。
何となく解けました。答えは50log{2}3になるのかな？

三角形ABCの各辺をm等分し、そこからそれぞれの辺に平行になるような線を引く。
m*m個の三角形ができる。
頂点Aには0を、頂点Bには1を、頂点Cには2を。
辺AB上の分点には0or1を、辺CD上の分点には1or2を、辺CA上には2or0をつける。
また平行線の交点には0or1or2をつける。
このとき分けられた三角形のうち頂点についた数字が1,2,3になっているものが
奇数個であることを示せ。

意味が分かりづらくて申し訳ありません。
しばらく考えてるんですけどめどが立ちません。
教えていただけないでしょうか。

>>474

平面上の点Oを中心とする１辺の長さrの正六角形ABCDEFに関して、初め△OABの
位置にある△XYZを次のように動かす。
つねに△XYZ≡△ABCであり、かつ頂点Xはこの正六角形の内部を動き、頂点Y,Zは
ともに正六角形の周上すべてを動く。
このとき、点Xの軌跡を図示せよ。
また、点Y，Zがともに正六角形の周を１周するとき、点Xの通過する道のりを求
めよ。

とりあえず予選決勝法とファクシミリでいけないだろうか?
ちょっと俺にはとけない、、すまん
修行しなおすぜ

>>484
＞m*m個の三角形ができる。

できないような気が…

>>486
いやできるんだって。
おそらく俺の書き方が悪いから伝わってないんだろうけど・・・
(mの2乗)個ね。1つの分点からは2本の平行線を引くことになるんで。
m=2の時は4個の三角形ができるというわけね。

意味が分かりづらくて申し訳ない。

>>483
そうですね

ついでに
CD上の分点には1or2
ってBC上でしょ

>>489
そうです。
ご指摘ありがとうございます。＋申し訳ありません。

>>489
そうです。
ご指摘ありがとうございます。＋申し訳ありません。

積分区間を[−∞，∞]→[−１，１]
に変換するにはどうすれば？
ガウス・ルジャンドル（数値計算）で使います。
F(t)＝f(x)のカタチで示してくれるとありがたいです。

>>492
そんなんも分からない奴が、ガウス･ルジャンドルなんて計算してるの？
嫌な世の中になったものだねぇ

ベクトル解析のお勧め教科書・演習書ってありますか？

>>484
帰納法

帰納法でいける？
k等分してたものからk+1等分の示し方が謎です。
申し訳ないです。

今ラウンジで
「SEXというIDが出るまでがんばるスレ！！PART2」
http://corn.2ch.net/test/read.cgi?bbs=entrance&key=990113430
というのをやってます。
で、八文字のIDの中に大文字で「SEX」と出る確立はどれくらいでしょうか？
彼らがあまりに不憫なので気になりました。教えて下さい。

注意
・IDは全部で八文字、アルファベット大文字・小文字と数字、
　あとピリオド、スラッシュが使われるみたいです。
・生成の法則がわかんないので、確立は全くのランダムってことでお願いします。
・よければ計算式も教えて下さい。

>>497 1/(10^(10^10))

>>498
ｳｿﾂｷ…

>>497
アルファベット大文字＝２６種類
アルファベット小文字＝２６種類
数字＝１０種類
ピリオド＋スラッシュ＝２種類
合計６４種類
８文字に６４種類の文字を使用すると、
６４の８乗＝２８１兆４７４９億７６７１万０６５６通り
８文字の中に３文字は６ヶ所置けるから、
求める答えは、
６÷２８１兆４７４９億７６７１万０６５６
です。

間違えた・・・

>>497
アルファベット大文字＝２６種類
アルファベット小文字＝２６種類
数字＝１０種類
ピリオド＋スラッシュ＝２種類
合計６４種類
８文字に６４種類の文字を使用すると、
６４の８乗＝２８１兆４７４９億７６７１万０６５６通り
ＳＥＸ以外の５文字は、
６４の５乗＝１０億７３７４万１８２４通り
８文字の中に３文字は６ヶ所置けるから、
求める答えは、
１０億７３７４万１８２４×６÷２８１兆４７４９億７６７１万０６５６
＝６÷２６２１４４
＝４３６９０．６６６６６分の１

これでいいかな？

>>502
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?

>>497
\を任意の文字として
IDが"SEX\\\\\"となる確率；(1/64)^3=(1/2)^18
{S,E,X,\,\,\,\,\}の並べ方；8*7*6=21*2^4

∴21*(2^4)*(1/2)^18=21/2^14≒1/780

あれ？こんなもん？
さらに大/小文字関係無いなら8倍で約1/100？

>>474
>初め△OABの位置にある△XYZを次のように動かす。
>つねに△XYZ≡△ABCであり

△OABと△ABCは合同ではないのでどちらかが間違いのはず。
「つねに△XYZ≡△ABC」が正しいとすると
頂点Xの軌跡は正六角形の外部になってしまうので
「つねに△XYZ≡△OAB」が正しいとして
複素平面上に以下の様に点を配置する。

r=1
O=0
A=1
B=(1/2)+(√3/2)i
C=-(1/2)+(√3/2)i
BY=tBA (0<=t<=1)
BZ=sBC (0<=s<=1)

|BY|=2t , |BZ|=s
YからBCに降ろした垂線の足をHとすると
(|BZ|+|BH|)^2+|HY|^2=|ZY|^2より
(s+t/2)^2+((√3)t/2)^2=1
s=(-t+√(4-3t^2))/2
つづく

YZ=-√(4-3t^2))/2+((√3)t/2)i
YX=YZ*(cos(π/3)+isin(π/3))
OX=OY+YX=略=((2-t-√(4-3t^2))/2)OB　←ﾋﾞｯｸﾘ!

f(t)=(2-t-√(4-3t^2))/2とすると
2f '(t)=-1+(3t/√(4-3t^2))
2f '(1/√3)=0
-0.154≒f(1/√3)=(3-2√3）/3<=f(t)<=0

OX=f(t)*OBより
YとZが正六角形の外周を一周すると
Xの軌跡はまさに”＊”型になる。
道のり=12ｒ|f(1/√3)|=(8√3-12)r

YがAからBに動くときに頂点Xが直線OB上に来ることは
計算なしに示せると思うけど、道のりは無理かな？
続きは他の人に任せます。

f(t)が最小になるのはYZ//ACのとき

YZとOBの交点をGとすると
XB=OX+OB=GB+GX
OX=GB+GX-OB=(2/√3)-1=|f(1/√3)|

幾何のみで示せそうです。

参考図
http://r1.ugfree.to/~angriff/up1/585.jpg

勘違いしてた。
SEXって3文字がこの順番で並んでないといかんのか。

IDが"SEX"（大文字限定）から始まる確率；(1/64)^3=(1/2)^18
"SEX"の並びがどこかに出現するパターン；6通り

∴6*(1/2)^18≒1/43691（小文字限定も同様）

大文字小文字を区別しないなら
8*6*(1/2)^18≒1/5461

Ｗ（α）＝｛ｘ｜（αIーT）ｘ＝０｝、Tは線形変換で
Ｗ（α）≠｛０｝⇔α＝固有値を解いていただけないでしょうか？
お願いします。

>>510
自明

階乗の階乗、n!!はなんと読んだらいいんでしょう。

>>512
n!!は階乗の階乗ではなくて奇数だけ偶数だけの階乗
(n!)!とは違うよ

なるほど…勘違いしてた。でなんと読めばいいんですか？＞n!!
同様に、(n!)!は？

不躾な質問で申し訳ありませんが、
射影多様体の基本群の計算方法に
一般論があるのでしょうか？
ご存知でしたら教えてください。

>>515
KAWAMATAに聞いてくれ

この虫食い算がわかりません。答えは１通りだそうなんですが、
ヒントなどいただけないでしょうか？

　　　　　□□９□□□□
　　　＊　□□□□□９□
　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　□９□□□□
　　　　□□□□□９□
　　　　□□９□□□
　　　９□□□□９
　□□□□９□□
　□９□□□□
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　□□□□□□□□９□□

ずれてしまいました。修正します。■には９が入ります。

　　　　　□□■□□□□
　　　＊　□□□□□■□
　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　□■□□□□
　　　　□□□□□■□
　　　　□□■□□□
　　　■□□□□■
　□□□□■□□
　□■□□□□
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　□□□□□□□□■□□

そろえるのに■
式の空欄に□
をつかって整形すればいいとおもわれ

大変すみません。修正します。
　　　　　　□９□□□□
　　　＊　　□□□□９□
　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　□９□□□□
　　　　□□□□□９□
　　　　□□９□□□
　　　９□□□□９
　□□□□９□□
　□９□□□□
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　□□□□□□□□９□□

ｎ個（ｎ≧2）の点があり、
どの2点間にも一方向にのみ矢印が引かれている。
このとき、適当な1点をとれば、
　　他のｎ-1点へ、高々2本の矢印を通ってたどり着くことができる

これを証明してください。

どうやってもずれてしまうのでしょうか・・・
荒らしみたいですいません。・・


　　　　　　　□□■□□□
　　　　　　＊□□□□■□
　　　　　　　□■□□□□
　　　　　□□□□□■□
　　　　　□□■□□□
　　　　■□□□□■
　　□□□□■□□
　　□■□□□□
＝　□□□□□□□□■□□

■■■■■■□○□□□□
■■■＊■■□□□□○□
　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
■■■■■■□○□□□□
■■■■□□□□□○□
■■■■□□○□□□
■■■○□□□□○
■□□□□○□□
■□○□□□□
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
■□□□□□□□□○□□

○は9

でいいですか？
>>520

>>552の図
６桁*６桁の掛け算です。

>>519>>523　やっと意味がわかりました。ありがとうございます。

■■■■■■□□○□□□
■■■＊■■□□□□○□
　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
■■■■■■□○□□□□
■■■■□□□□□○□
■■■■□□○□□□
■■■○□□□□○
■□□□□○□□
■□○□□□□
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
■□□□□□□□□○□□

　○は９

　です。

>>524と>>525が微妙に違う問題になってるよ
525が正しいの？

>>523と>>525が微妙に違う問題になってるよ
525が正しいの？

>>521
induction on n
n=2のとき明らか
n=kで成立と仮定
n=k+1のとき
k+1個のうちのk個の点を選んだとき、その中には
題意の「適当な点」が1つ存在する、これをAと呼ぶ
また、矢印を2本を通るとき経由する点があり
これをB_1、B_2、・・・、B_mと呼ぶ
次に、ｋ+1個目の点をとり、これをCと呼ぶ
a) AC上の矢印がAから順方向のとき、題意は満たされる
b) AC上の矢印がAから逆方向のとき、
　　b-i)B_1からB_mのうちどれかからCへ順方向の矢印が
　　少なくとも1本引かれる場合、
　　Aを題意の「適当な点」として題意は満たされる
　　b-ii)B_1からB_mすべてにCから順方向の矢印が引かれる場合
　　Cを題意の「適当な点」として題意は満たされる

以上あわせて、題意は示された

>>528
本文9行目
× 次に、ｋ+1個目の点をとり、これをCと呼ぶ
○ はじめにｋ個選んだとき残った1点をCと呼ぶ

より簡潔に

induction on n
n=2のとき明らか
n=kで成立と仮定
n=k+1のとき
k+1個の点のうちk個の点を選ぶと、その中には
題意の「適当な点」が1つ存在する、この点をAと呼び
矢印を2本を通るとき経由する点をB_1、B_2、・・・、B_mと呼ぶ
また、残った1点をCと呼ぶ
i) A及びB_1、B_2、・・・、B_mのうちどれかからCへ順方向の矢印が
少なくとも1本引かれている場合、Aを題意の「適当な点」とすれば
題意は満たされる
ii) A及びB_1からB_mすべてにCから順方向の矢印が引かれる場合
Cを題意の「適当な点」として題意は満たされる

以上あわせて、題意は示された

>>484
＞このとき分けられた三角形のうち頂点についた数字が1,2,3になっているものが
＞奇数個であることを示せ。
示せません。3はひとつもないので０個です。

0,1,2になってるのなら奇数個です。
以下各平行線の交点を“格子点”とよぶことにして

補題　Pを内部の格子点とするときPのまわりの６点のなす六角形の辺のうち
０−２型の辺の個数と１−２型の辺の個数の奇偶性はひとしい。
∵)２がひとつもなければあきらか。２があるとしてそこから６角形の周を展開して
２−＊−＊−＊−＊−＊−２とする。０−１、０−２型の辺のまんなか１/３を
とりのぞいてできる幾つかの線分のうち２がのってない線分も消してしまうと
(残った線分の端点の数)＝(１−２型の辺の数)＋(０−２型の辺の数)＋２なので
主張を得る。

主張　０−１−２型の三角形の数は奇数個である。
∵)内点の０以外の点の個数に関する帰納法。全部０ならそれはBC上の１−２の
数なので奇数個。n個までならよいとしてn+1個のときどっかに１か２がある。
１として一般性をうしなわない。１のまわりの六角形をかんがえる。
この１を０にとりかえると

　元の０−１−２型の三角形の数
　＝六角形のまわりの０−２型の辺の数
　≡六角形のまわりの１−２型の辺の数 (mod 2)
　＝とりかえたあとにできる０−１−２型の三角形の数

から０−１−２型の３角形の数の奇偶性はかわらない。一方それは帰納法の仮定
よりそれは奇数である。よって主張はしめされた。

>>528 >>529 >>530
おおっ、すごい！
ありがとさんです。

頼むから虫食い算でスレッドを荒らさないでくれ
以前もあったと思うが、こういうパズルは自分で解いてニヤリとするものであって
人に聞くものではない

>>527
そうです。525のほうです。
>>533
すいません。どうしても解けなかったもので。

>>534
答えを見れ
答えの載ってない虫喰い算なんてすておけ（ｗ

>>534 = 517 さん
□ に 9 が入ってもいいのかなぁ.. -> 139777*597395

>>531様
どうもありがとうございます。
問題を何カ所も間違えてしまいご迷惑おかけしました。

■■■■■■□□○□□□
■■■＊■■□□□□○□
　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
■■■■■■□○□□□□
■■■■□□□□□○□
■■■■□□○□□□
■■■○□□□□○
■□□□□○□□
■□○□□□□
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
■□□□□□□□□○□□

　・


　　　　　　　□□■□□□
　　　　　　＊□□□□■□
　　　　　　　□■□□□□
　　　　　□□□□□■□
　　　　　□□■□□□
　　　　■□□□□■
　　□□□□■□□
　　□■□□□□
＝　□□□□□□□□■□□

算数オリンピックのポスターに載っている去年のファイナル問題の解き方教えて

正方形PQRSが3点で外接する三角形ABCがあって、辺AB,BC,CA上にそれぞれ点P,Q,Rがある。
AP=7cm,PB=6cm,BQ=QC,CR=2cm,RA=7cmのとき、正方形PQRSの面積を求めよ

できるだけ小学生的な方法でね

>>539
調べてきたけどRA=9cmのまちがいです

わからないのでおしえてください
（理由も）

1 6 6 11 16 32 37 42 ?
？に当てはまる数字は何か

覆面算
英語×国語＝古文漢文
教えてください

>>542
語×語≡文≠語　（ｍｏｄ　１０）だから
文は４，６，９のいずれか。

ここから先がわからない。「７つの文字が異なる」　「文＝４，６，９」の条件から
１５０個程の式を書き出したら唯一の解、２３×８３＝１９０９が見つかった。

誤　　７つの文字が異なる
正　　６つの

>>536
trさん。ありがとうございました。

>>541
?＝74
∵階差数列＝5+｛-5+16(n-2)/3｝[｜cos(2(n+1)π/3)｜]　（|ｘ|は絶対値，[x]はガウス記号）

てゆーか問題はそれで合ってます？

>>541 さん
適当にルールをでっちあげ。(笑)
+5, *1, +5, +5, *2, +5, +5, +5, *3, …

ある物体の空気中で測った重さをMグラム、水中で測った重さをＮ
グラムとする。M,Nの測定にそれぞれΔM、ΔNの誤差があるとき、
密度ρのごさΔρは、Δρ=(-NΔM+MΔN)/(M-N)^2によって
近似されることを示せ。
とゆー問題なんですけど教えてください。ちなみに分野は微分です。
ヒントはアルキメデスの浮力原理と書いてあります。

>>548
体積をVとおいて
　V=M-N
っちゅうのがアルキメデスの浮力原理だったっけ？もわすれた。
だとすると
　Δρ
　=∂ρ/∂MΔM+∂ρ/∂NΔN
　=-N/(M-N)^2ΔM + M/(M-N)^2ΔN
となるんではなからうか？

添削おねがいします

Prop. 写像f:Y→X g:X→Y に対して
f・g:X→Xは恒等変換 かつ g・f:Y→Yは恒等変換
ならばfは全単射

Proof
f・gはX上の恒等変換よりfの値域=f・gの定義域X
よってfは全射。
fが単射で無いと仮定すると
∃x,y∈Y x≠y⇒f(x)=f(y)
よって
∃x,y∈Y x≠y⇒g・f(x)=g・f(y)
これはg・fが恒等変換であることに矛盾する
よってfは単射
以上よりfは全単射である

>>548-549
あれ？かきわすれた
　ρ=M/V=M/(M-N)
これを M と N で偏微分するだけね。

>>550
添削してもいいの？気悪くしないでね。
＞fの値域=f・gの定義域
これちょっとヘタクソ。これやっぱり
fの値域⊃f・gの値域...(*)
という恒真式とf・gの値域=Xからfの値域=X
といく方がsmart。なぜかは将来“category”というのを
勉強するとわかるけど、これは
　f・gが全射⇒fが全射
という事実が背景にある。このことを保証してくれているのが
(*)なのでこれをおさえておくほうがBetter。
あと数学界には“背理法拒絶教”という信仰があって極力背理法を
つかわないほうがよい。そこでfの単射性の論述も
　f(x)=f(y)とする。
　このときgf(x)=gf(y)。
　gfは単射なのでx=y
としたほうがよい。この証明もじつは
　g・fが単射⇒fが単射...(**)
ということをおさえている。(*),(**)は“写像”のもっている
大変重要な性質なのでおぼえとくといいかも。

>>550,>>552
まちげ〜た。(*)は
　f・gが全射⇒fが全射...(*)
のこった。

>>550,>>552-553
ありゃ？やっぱおかしいや。もと記事の(*)はそのままでcategorical
に重要ってのが
　f・gが全射⇒fが全射
と
　g・fが単射⇒fが単射
の２つ。まあ大目にみてやってちょ。

>>552
>あと数学界には“背理法拒絶教”という信仰があって極力背理法を
>つかわないほうがよい。

これについて詳しく推していただけませんか？

サイン波の場合、周波数が同じなら振幅や位相が違っても
重ねあわせればサイン波になることを示せ。という問題です。
和積の公式を使えばいいよっていわれたんですが分かりませんでした。
ヒントだけでもいいので誰か教えてください。お願いします。

>>556

合成公式をつかえ
A*sin(ωt)+B*sin(ωt+δ)

合成公式のほうが難しそうなのですが･･･。

>>558
AsinX+Bsin(X+Y)
=AsinX+BsinXcosY+BcosXsinY
=(A+BcosY)sinX+(BsinY)cosX
=CsinX+DcosX　(C=A+BcosY , D=BsinY
=Esin(X+Z)　(E=√(C^2+D^2) , sinZ=D/E , cosZ=C/E)

>549
どーもありがとうございました。

有限次代数体Ｋのアデール化はＫpのＯpに関する制限直積でそれをＫAと表すとすれば
ＯAってのはどういう意味なんでしょうか？

（ＯはＫの整数環　pは素点）

>>561
わたしも最近“数論”の勉強をはじめたドドキュソです。この質問の
意味すらわかりません。森田先生の教科書をいましらべてみたんですが
ＯAってのはこの教科書にものってません。そちらの教科書でのＯAの
定義ってなんですか？

>>552
単射の定義は証明に使いやすいから f(x)=f(y)⇒x=y
という形で覚えろと良く言われてたのですがうまく使えませんでした。
こうするんですね。
categoryというのはGrothendieckのcategory論ですか
ちょっと話は聞いています。すごいスピードで論文書いたんですよね。
(*)覚えておきます。
美しい証明をありがとうございます。

>>562
教科書で見たわけではなく何かの本（プリントだったかもしれない）で見たのです。
定義はのってませんでした。岩波数学辞典を見てもよくわからなかったので聞いてみたのです。
環ＲがＫ上の多元環（他にも条件が必要かも）だったらＲAはＲとＫAのＫ上のテンソル
でいいと思うのですがＫの整数環ではそうは出来ないのでわからなかったのです。

ところで森田さんの本とは東京大学出版の整数論ですか？

>>564
＞ところで森田さんの本とは東京大学出版の整数論ですか？
そうです。うちの大学には数論の研究室があるわけでなし、だいたい
私自身幾何の研究室なので代数は他の院生さんと“自主ゼミ”で
院生さんにならってる程度なのでほんとにききかじった程度の知識しか
ないのですが、きちんと数論の研究室のある大学の学生さんはどうゆう
勉強をされてるのか大変興味ぶかいです。
そんな話はさておき、そのＯAってのはどういう文脈のなかででてきたの
ですか？KAはKの“アデール”ですよね。Ｏ自身も“アデール”とよべる
ようなものをもっているのでしょうか？なんとなくよくわからない
です。もしよろしかったらどんな文脈ででてきたかだけでも
教えてください。

>>565
いやあ恥かしいことに内容は全然理解してないんです。英語の本でしたので語学の問題も
多少はあると思いますが・・・
たしかＫAからＱAへのノルム写像のカーネルをＫA＾1と表した後にＯA＾1という記号が出て
きたと思います。
僕はまだどういう方向に進むかは決めてないので特に数論の勉強ということはしてないです。
まあ興味はありますが。今は森田さんの本で手一杯です。

>>566
う〜ん。わからない。とりあえずノルム写像のあたり(積公式のあたり)
をよみかえしてみても該当しそうな概念がみつかりませんね。
もう私は撤退します。でもここには Eisenstein級数のスレがあった
ぐらいですからきっと何人かは専門家もいると思います。その人たちの
レスを期待してわたしはROMモードにはいります。もし2ch以外の
場所で判明したらぜひぜひ概略だけでもカキコしてください。

AB=120、BC=122の長方形ABCDがある。
AB、BCに接する半径20の円と、AB、DAに接する半径rの円があるとき、
この２つの円に外接し、CDに接する円の半径が50であった。
rはいくつか。

>>568
きたない解になった。問題が悪い。
AB=187、BC=126に直せば整数解を得る。

>>568-569
ほんとだ。なんだこの問題。こんな問題やらす教師のほうがわるい。無視すべし。

>>568-570
もしかしてBC=112じゃないか？それだとまだまし。
>>568の返答もとむ。

有理数の閉包と内部を教えてください。

>>572
閉包＝実数全体
内部＝φ

>>572,573
有理数をどんな位相空間の部分空間と見なすのか明示しないと
閉包とか内部とか考えることはできないぞ。

>>574
まぁまぁ自然なのでいいじゃないですか、

たとえばQのsubspaceとしてのQの閉包はQ。
「自然なの」って何だよ……

命題「ｐならばｑである」
の否定は
「ｐならばｑでない」
でいいんでしょうか？

>>577
違いますよ。

>>577
いくないよ。

あら、かぶっちった。スマソ。

>>577
良くない。

>>577
だめ

>>577
ちゃうなあ。

あぁ、やっぱりちがうんですね。
正しくはどうなるんでしょうか？

「ｑでないならばｐでない」
でもない･･･ですよね。

>>577

「ｐならばｑである」は
「ｐでないかまたはｑである」と同値であることに注目せよ。

>>584
それは同値。対偶。

「全ての命題は偽である」みたいな命題の矛盾性はどうやって回避するのですか？

>>587
回避って？
命題は真偽を定めることができるものだから
真とは限らないから、そういうのは矛盾出たら偽ってことじゃないの？

1+1＝2を証明しなさい。
これが1年生のころやった問題だった。
数学科じゃないからわけわからんかった。

「全ての命題は偽である」が偽　→　全ての命題は真
という手順は間違いてことですか？排中律とかではなくて。

>573,574
ありがとうございます。
ただ有理数と言うことだったので普通ので良いと思います。

あのう、この問題を解くに当たって息詰まってしまったのですが、
解説していただけないでしょうか。

(1)次の各々に答えよ。
　　　１．ｋが偶数のとき、ｋ＾２を４で割った余りを求めよ。
　　　２．ｋが奇数のとき、ｋ＾２を４で割った余りを求めよ。
(2)ｋが奇数のとき、ｋ＾２を８で割った余りを求めよ。
(3)a^2+b^2+c^2+d^2＝６４　を満たす正の整数a,b,c,dの値を求めよ。

まず、 (1)は分かりました。　偶数は２nと表せ、また奇数は２ｎ＋１と表せるので、
あまりは０．１と順になりますよね。
ところが、 (2)がよく分かりません。　８で割るときに、文字式のわり算の中で、０．５ｎ＾２とかを使っていいのでしょうか。
教科書ガイドや参考書を見ましたが、やり方が乗っていないので困っています。
実は簡単な問題でしたらすみません。
(3)は、この (1)、 (2)を用いて条件式をつくるのだと思うのですが・・・・
やはり (2)がわからないと始まらないので、どなたか解説お願いします。。

4n^2+4n は8で割り切れるを示してもいいし、
上がわからないなら、奇数は8n+1,8n+3,8n+5,8n+7の形をしてるから
それぞれについて8で割った余りを考えればよい。

問題が証明問題じゃないんだから適当な定数当てはめて求めただけでいいじゃん
（３）もすべてとか言ってないんだからぱっと浮かぶＡ＝Ｂ＝Ｃ＝Ｄ＝４と単純に考えればいいじゃん
難しく考えすぎ、つうか出題が変

>>594
明記してなくてもこの場合は全てという意味だろ？
(1)（２）を使えば(3)がかなり簡単な式になるんだからさ

Kを体、f(x)∈K[x]を既約多項式とするとき、イデアル{f}によって
L=K[x]/{f}は体となる。π:K[x]→Lという自然写像が定義される。
xの剰余類をαとしたとき、L=Im(π)=K[α]は体であるから、K(α)=K[α]。
よって、K[α]の元はg(α)の形に表される。

「L=Im(π)=K[α]は体である」ってところがわかりません。K[α]と結べる
ところがなんとも・・・です。
よろしくお願いします。

>>596
>Im(π)=K[α]
K[x]→K[α]を考えろ。

三角形の底辺１ｍ、その辺に垂直な辺１．５ｍ
残り２つの角は何度になるのでしょうか？
数式あったら教えてくだされ、先生方

>>596
おぼえておこう。(単位元をもつ)体から環への環準同型は単射しかない。
これ頻出。本問に適用すれば L→Im(π) は体から環への環準同型だから
単射。一方あきらかに全射。ゆえに同型。

>>596,>>599
うん？カキコしたあとちみの記事よみなおしてきづいたけどちょっと
おかしいぞ。その証明は“任意のK(α)の元 x は多項式 g(T)∈K[T]
をとって g(x) の形にかける。”のだろ？まあ、どうちでもいいけど。

56.30993247402 度
もう　一方は　９０度からこれをひく。
図を書いて測ればわかるよ。（ネタ）

601のつづき
　　あえて　式を書くなら　ArcTan(縦の辺/横の辺)

この手の知識は、生活していて使う機会が無いもので
こんなことも分からなくなってしまいました。

601さんありがとう。これを機に、もうちょと勉強してみるよ

あのぉ、結局
「ｐならばｑである」の否定はどうなるんでしょうか？
教えて下さい。

pならば q とは　(NOT P) OR (P AND Q)
のこと
pならば q の否定は Not ( (Not p) OR (p AND q))
これを整理し
p AND Not( p AND q)
= p and (Not p or Not q)
= p and (Not q)

P かつ (Qではない)

もっと簡潔には　天地真理値を表を書くといい
P Q P->Qが成立
--------------------
T T ○
T F ×
F F ○
F T ○

P->Q の否定とは 上の表の×の行の全部の和
（この場合は１個しかないが）
すなわち P=true,Q=Falseのみなので
P かつ Not Q

誰か助けてください。

問１：Ｉn＝（0 ,1/n)とするとき、∩In、はなんですか
問２：Ｄn＝｛（x,y）∈Ｒ^(2)｜(x-1/n)^(2)＋y^(2)＜1/ｎ^(2)｝とするとき、∩Ｄn、はなんですか

ｒ＞１/ｎ
ｒnot∈In
ｒnot∈∩Inとなり、空集合であってますか？
問２はアルキメデスをどう使ったらいいんですか？おしえてください。
お願いします。
>>275
>問２
Ｅn＝｛（x,y）∈Ｒ^(2)｜0＜x^(2)＋y^(2)＜1/(2ｎ)^(2)｝とおくと
Ｄn⊂Ｅn だから ∩Ｄn⊂∩Ｅn。明らかに∩Ｅn＝φだから∩Ｄn＝φ。

これは大きい円に小さい円が含まれてるから正しいのですか？
小さい円と重ならないとこは考えなくてよいのですか？

誰か助けてください。

問１：Ｉn＝（0 ,1/n)とするとき、∩In、はなんですか
問２：Ｄn＝｛（x,y）∈Ｒ^(2)｜(x-1/n)^(2)＋y^(2)＜1/ｎ^(2)｝とするとき、∩Ｄn、はなんですか

問１は、０not∈Inなんで ０not∈∩In
任意の実数ｒ(≠０)について、アルキメデスの原理より
ｒｎ＞１となる自然数が存在する。
ｒ＞１/ｎ
ｒnot∈In
ｒnot∈∩Inとなり、空集合であってますか？
問２はアルキメデスをどう使ったらいいんですか？おしえてください。
お願いします。
>>275
>問２
Ｅn＝｛（x,y）∈Ｒ^(2)｜0＜x^(2)＋y^(2)＜1/(2ｎ)^(2)｝とおくと
Ｄn⊂Ｅn だから ∩Ｄn⊂∩Ｅn。明らかに∩Ｅn＝φだから∩Ｄn＝φ。

これは大きい円に小さい円が含まれてるから正しいのですか？
小さい円と重ならないとこは考えなくてよいのですか？

ttp://www.geocities.co.jp/Athlete-Crete/2165/miura.gif

教えて。

教えてください
球（直径6cm）が9個入る最小体積の正六面体の一辺の長さはいくらですか？

きゅっ球が九個…

｛（sinθ+cosθ)＾２＋（sinθ+cosθ)＾２｝＝
は、「２」でいいですよね？

>>605 >>606
ありがとうございます。
ところで、天地真理値ってなんですか？

>>612
いくないよ。

ただのギャグです。
むかしむかし、天地真理というアイドルがいて
そこから文字っただけです。
正しくは真理値です。
。。。

>>610
多分８ルート３＋１２ルート２で良いと思うが
ちょっと検討してみる

>612
与式
＝4sinθcosθ=2sin2θ
∴
θ=30*360n° 150*360n°　n=整数
で２の値を取りうる

>>609
３個の頂点からそれぞれ角の２等分線を引いてください
それらが辺と交わる点３個を結んだ物が
正三角形です

>>612
２個目のかっこ内の＋はーの間違いじゃあ無いですか？？？
そこがーなら２になります

>>617
与式＝２＋4sinθcosθ=２＋2sin2θ
2θ=１８０°＊ｎ
θ=９０°＊ｎでしょ？？？

教えてください。
―――――――――
X,Y:位相空間　O:直積空間X×Yの開集合
K:Yのコンパクトな部分集合
の時、
U(K)={x;{x}×KはOの部分集合}
はXの開集合である事を証明せよ。
―――――――――
U(K)に含まれる任意のxについて、U(K)に含まれるxの開近傍が取れる事を示せば命題が成り立つ事は分かったのですが、そこで止まってしまいました。

1)中心が直線y=x+5上にあり、原点と点(1,2)を通る。円の方程式を求めよ。
2)点(1,2)を通り、x軸、y軸に接する円の方程式を求めよ。
親切な方、解き方を教えてください。

>>618
ﾀﾞｳﾄ!!
36°，72°，72°の三角形で実験してみ。
54°，54°，72°になっちまうから。

>>621
x をU(K)の元とする。
任意の y(∈K)に対して(x,y)∈{x}×K⊂O だから
xの（Xに於ける）近傍 A(y)
yの（Yに於ける）近傍 B(y)
が存在して A(y)×B(y)⊂O となる。
K⊂∪_[y∈K]B(y) で K がコンパ

>>622
1)
円の中心を(t,t+5)半径をrとして座標を代入してみれば？

>>622
2)
x軸に接する円とy軸に接する円をそれぞれ求めよ、って言う意味だよね。
図を書いてみるとすぐわかると思うけど。

∫X/1-cosX dX
です。どうやればいいのかなぁ

>>627
とりあえず頼み方から勉強してください（ｗ

お助け願います。

ψ:K[x]→K[α]⊂L（代入写像）、I={f}(∵K[x]は単項イデアル整域)ってお膳立ての下、
Lが体であるから、部分環K[α]は整域。(1)
{f}≠{0}は素イデアルなので、fはK[x]の既約多項式。(2)

(1)は体Lが整域となるからでしょうか？
(2)は・・・なぜ故？

よろしくです。

(2)
既約ではないと仮定してみる。

f=g*hと書けると仮定する。(g、hはK[x]の一次以上の多項式)

f=g*h∈{f}だが、g∈{f}でもh∈{f}でもないから矛盾。

これは、{f}が素イデアルである事に反する。

よって、fは既約である。

>>609 さん
頂点から反時計廻りに A, B, C とします。(C が鈍角)
　1.　角C の2等分線をひき, BA との交点 D を求める
　2.　DC と 30度の角をなすように 2直線 DP, DQ を書く
てな感じッス。

>>622 の (2)
(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2 が (1,2) を通るナリ。

【問】---------------------------------------------------
１００個のボールを、区別のある２つの箱Ａ，Ｂに無造作に入れる。
次の各場合について、２つの箱にそれぞれ５０個ずつボールが
入る確率を求めよ。
（１） ボールに区別がない場合。
（２） ボールに区別がある場合。
---------------------------------------------------------

で、この答えは私わかるんです↓
【解】---------------------------------------------------
組み合わせ C[n,r] = n(n-1)(n-2)…(n-(n-r))/r!
重複組み合わせ H[n,r] = n(n+1)(n+2)…(n+(r-1))/r! = C[n+r-1,r]
と書くことにすると、
（１）1/H[2,100]
（２）C[100,50]/2^100
---------------------------------------------------------

でも、（１）の「ボールに区別をつけない」ということが現実問題として
どういう意味を持つのかよく分からないのです。
例えば、
[箱Ａに５０個、箱Ｂに５０個入る]という事象と
[箱Ａに０個、箱Ｂに１００個入る]という事象が
同じ確からしさで起こるということが信じられません。
具体的にどういう実験をすれば、こういう結果が得られるのでしょうか？
（１）に対応する実験を教えてください。

訂正
>>632
> 組み合わせ C[n,r] = n(n-1)(n-2)…(n-(n-r))/r!
は

組み合わせ C[n,r] = n(n-1)(n-2)…(n-(r-1))/r!

の間違い。

Kを体、RをKに含まれる部分環とするとき、(i), (ii), (iii)は同値であることを示せ。
(i) KはRを含む最小の体。
(ii) K={ r/s ; r∈R, s∈R-{0} }。
(iii) KはRの商体。

という問題なのですけど、解けなくて困っています。教えていただけないでしょうか。宜しくお願いします。

>>634
教科書（イデアルのあたり）見ろ

>>618
>>631
ありがとうございました。助かりました。

>>635 さん
さっきからずっと教科書見ながら格闘しているのですけど．．．．(汗

例えば(2)→(1)
K⊃F⊃R Fは体とする。s/t∈K-Fをとると、
s∈R⊂F　t∈R-{0}⊂FでFは体だから1/t∈F
Fは体だからs/t=s*(1/t)∈Fでs/t∈K-Fに矛盾
従ってK=FつまりKはRを含む最小の体。
K=Q R=Zだと思ってやればいいよ。

>>637
ちょっとステートメントがいいかげんだぞ。
(i)はこうか？
　(i)f:R→Lが環準同型でLが体であるとき体準同型g:K→Lで f=giとなるものがある。
　　　ただしi:R→Kはしぜんな埋め込み写像。
それともこっちか？
　(ii)R⊂L⊂K,Lが体ならL=K。
どっちかわからんとHintもだせん。

>>630
ありがとうございます。逝ってきます。。。

>>624
ごめんなさい、よく解りません。

>xの（Xに於ける）近傍 A(y)
>yの（Yに於ける）近傍 B(y)
>が存在して A(y)×B(y)⊂O となる。

何故こうなるのでしょうか？

あの、お願いします。
ψ=ψ(x)
ψ''(x)={ax^2+b}・ψ
a,b:定数
こう言った微分方程式は解けるのでしょうか？
教えてください。

609で質問したものですが、>>618のやり方では正三角形になりません。
>>631には「DC と 30度の角をなすように」とありますが、定規とコンパスのみで可能なのでしょうか。
教えてください。

ttp://www.geocities.co.jp/Athlete-Crete/2165/miura.gif

>>567
有限次代数体Ｋのアデールは
局所コンパクト群の族｛Ｇp｝と（有限個のpを除いた）そのコンパクト部分群｛Ｕp｝
として考えたものですが（すなわちＧp＝Ｋp、Ｕp＝Ｏp）初めからＧ＝Ｏとして
｛Ｏp｝の｛Ｏp｝に関する制限直積をＯAと見ればいいのかと思います。
つまりただの直積を意味するというわけではないかと・・・
もし違うようでしたらすいません。

>>643
３０°を作ることは可能です。まずは、
その辺を１辺とする正三角形を書けば
６０°は出来るその角の２等分線をとればいい。
ちなみに６１８はミスです

定理
x：I→R^n が求長可能である
⇔
x(t)=( x_1(t)　…　x_k(t) )^t としたとき、
各x_i :I→Rが有界変動である。

の証明はどのようにしたらよいのでしょうか。
上から下への証明はなんとなく分かったのですが
逆のやり方が分かりません。よろしくお願いします。

すみません。書くところを間違えました。

すみません。まちがえてなかったみたいです。
646の問題お願いします。

>>646
「^t」って何？転置？

（問題）
F（ｘ）を（ｘ+1）＾2で割ったとき余り2ｘ+3
また（ｘ-1）＾2で割ったとき余り3ｘ−2である

（1）F（ｘ）を（ｘ+1）＾2（ｘ-1）で割った余りを求めよ。

解答
除法原理より
F（ｘ）＝（ｘ+1）＾2（ｘ-1）Q（ｘ）+ax＾2+bx+c
で表せるよって
F（ｘ）/（ｘ+1）＾2の余りは
（-2a+ｂ）ｘ-a+c・・・・・・・・・・・A　　←この部分がわかりません
2ｘ+3・・・・・・・・・・・・・・B　　　　　　　どのようにして求めたか
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　教えて下さい。
AとBより-2a+ｂ＝2　　　　-a+c＝3
F（-1）＝ax＾2+bx+c
この3式より
a=-1 b=0 c=2

答え：余りは-x＾2+2

>>645
何度もすみませんでした。
おかげさまで理解できました。

>>650
F（ｘ）＝（ｘ+1）＾2（ｘ-1）Q（ｘ）+ax＾2+bx+c において
右辺を（ｘ+1）＾2で割ってみる
（ｘ+1）＾2（ｘ-1）Q（ｘ）の部分は割り切れる
ax＾2+bx+c の部分を割ってみると
商がaあまりが（-2a+ｂ）ｘ-a+cとなるから。

式で書くと
F（ｘ）＝（ｘ+1）＾2（ｘ-1）Q（ｘ）+ax＾2+bx+c
　　　　＝（ｘ+1）＾2（ｘ-1）Q（ｘ）+a（ｘ+1）＾2+（-2a+ｂ）ｘ-a+c
　　　　＝（ｘ+1）＾2｛（ｘ-1）Q（ｘ）+a｝+（-2a+ｂ）ｘ-a+c

英国にある三階建てのアパートでの話です。そのアパートの住人は全部で
３３人です。そのうち英語を読み書き出来ない人の割合はちょうど５０％
でした。１階に住んでいる１３人は全員読み書きできます。２階の住人の
読み書きが出来る人の割合は７０％でした。ある日のことそのアパートに
あたらしく３人の人が入居して、１階・２階・３階に入りました。２階に
住む人の割合は８０％にかわりました。
はたしてそのアパートの三階の住人の読み書き出来る人の割合は一体いくら
になったのでしょう？

>>652
理解しました、ありがとうございました。

ずっと思ってたんですけど、中学校のころ先生に聞いて、先生が解んなかった事なんです。
「四角形の中に４つの辺と接するように、円を入れました。みんなどんな事がわかる？」
生徒A「円の中心から接点に線を引くと、その線とその四角形の辺は直角で交わります。」
先生「おっ！その通りだ。なかなかいいとこに目をつけたな。他には？」
僕「えっと、、向かい合った辺の長さはその円の直径の２倍以上になると思います。」
先生「、、、おっ、そうか。えっ、そうだよなぁ。あれ、＊＊君ちょっとこれは今すぐには、証明できないなぁ。ちょっとまってくれるかな。」
それっきりその先生は僕が聞きに行っても「もうちょっと待って。」の連続でした。
あれから８年ぐらいずっともやもやしてます。この話は本当に実話です。
誰か証明してくれませんか？四角形が正方形の場合は簡単なんですけどね。円に接すればどんな四角形でもいいっていう事で。図で説明できないのが残念ですが、簡単な状況なんで想像できると思うんですけど、、。
ちなみにその先生は日大出身でいい先生でした。僕は国立工学部に行き、数学とちょっと離れてしまいました。

>>653
３３人の５０％って１６．５人だぞ？？？

>>655
良い問題ですな考えてみます

>>653
３３人の５０％って１６．５人だぞ？？？

>>655
良い問題ですな考えてみます

有難うございます！！！ホントニうれしいです。よかったー。馬鹿にされないで、、、。

>僕「えっと、、向かい合った辺の長さはその円の直径の２倍以上になると思います。」
僕がそう思ったのは、それなりに理由があったの？
だったらそこが糸口だね。

>６５９さん。
えーと。そんなに深い意味はないです。中学の時ですから。先生がそういう質問をして
みんなが三角定規を使っていろいろと計ってるから、ぼくもそうしただけです。
で、２倍以上にならないと、四角形で円を囲めないのかなぁ。と思っただけです。
卒業のちょっと前の学年集で先生が、「ひょっとしたら、＊＊の定理がができるかもしれません。
先生はまだ証明できずにいます。」とか言っていたのが印象的でした。

＞６５９
すいません。>僕「えっと、、向かい合った辺の長さはその円の直径の２倍以上になると思います。」
は
＞＞向かい合った辺を足したその長さは、円の、、
です。問題訂正。

０〜９までの数字をそれぞれ一つずつ用いて十桁の数を作る時、
その数のいちばん上位の桁からｎ(ｎ＝１〜１０）桁目までの数が
すべてのｎで割り切れるようにこの数を定めよ。

>>661
分子構造

>>662
３８１６５４２９０です。
証明は結構長くなる、うまいの見つけた方お願いです

>>662 >>664
３８１６５４７２９０です
上のに７書き忘れました

>>610
よろしくおねがいします。

平行四辺形の一辺の中点を
定規を使って（点と点をむすぶ事だけができる）
求めよ
（１）補助線はどこに引いても良い
（２）補助線は平行四辺形の中だけ
この問題お願いします

>>644
なるほど。それならなんとなくＯの“アデール”とよべなくもありませんね。
こまかいことですが、そう解釈するとＯAはＯの無限直和ですね。
ところでそう解釈するとそちらの資料はきちんと解釈できそうですか？
こちらにはＯAなるものが登場する資料がまったくないので判断つきません。
なんのお力にもなれなかったのにわざわざ私の“好奇心”におつきあい
していただいてカキコしていただいてありがとうございました。

>>664
[n]=n桁目の数
[n-m]=n桁目からm桁めまでの数（(m-n+1)桁）とする。

すぐに[10]=0，[5]=5が決まる。
[10]=0より[1-9]≡0(mod9)なので[9]はなんでもよい。

[1-3]≡0(mod3)，10*[1-3]≡30≡2(mod4)より[4]=2,6

1000*[1-3]≡0(mod6)，[1-6]≡0(mod6)より[4-6]≡0(mod6)
[4-6]=258，654の2通りだけ。

以下略

>>667
対角線を２本引くその交点を通る、辺に平行な線を引けばいい。
>>668
そう、そこまではいいんだけど、
そっから書くのが場合分け多くなっちゃうんだよね

>>670
それ定規だけでできるの？

えっと点と点を結ぶ事しか出来ないんですが>>670

（平行四辺形の頂点を除く）辺上の勝手な点Aと対角線の交点を結べば対辺との交点A'を得る。
…ってな具合に進めるとできんのか？ﾜｶﾗﾝ

>>661
円の半径は１としておく。
中心から接点、頂点に線分をひくと８つの角ができる。２つづつ
はひとしいのでそれぞれをα,β,γ,δとする。α+β+γ+δ=π、
0<α,β,γ,δ<π/2、この範囲で２対辺の和　S=tanα+tanβ+tanγ+tanδ
の下限をもとめる。Sの定義域を-π/2<α,β,γ,δ<π/2と拡張すると
境界上で無限大になるのでこのSは内点のどこかで最小値をとる。
それが正であることをしめせばよい。未定乗数λを導入して
　T=tanα+tanβ+tanγ+tanδ+λ(α+β+γ+δ-π)
とおく。(α,β,γ,δ)で最小とする。このときdT=0より
　1/cos^2α+λ=0
　1/cos^2β+λ=0
　1/cos^2γ+λ=0
　1/cos^2δ+λ=0
よってcos^2α=cos^2β=cos^2γ=cos^2δであるが-π/2<α,β,γ,δ<π/2
によりα=β=γ=δ=π/4で最小。

>>667
平行四辺形ABCDの辺BC上に勝手な点Eを取る。
AC，BDの交点をF
RF，ADの交点をG
AE，BDの交点をH
GH，BCの交点をI
とすればIはBCの中点…のように見えた（w

誰か確認して

×　RF，ADの交点をG
◎　EF

>>675はでたらめでした。ｽﾏｿ

>>675
みえんけど...

たのみます
　a^2+b^2=c^2 GCD(a,b,c)=1 となる　a,b,cを求めよ。
ということですが，いかかがでしょう？

>>679
m>n,GCD(m,n)=1 に対し
(i)m,nともに奇数のとき
a=(m^2-n^2)/2,b=mn,c=(m^2+n^2)/2
(ii)m,nどちらかが偶数のとき
a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2
が整数解のすべて。(だれの定理だっけ？だいぶ昔の人)

おねがいします。
次の方程式について、Ａu↑=b↑の形に書き，Ａｕ↑=b↑の解の全体は、
どのようなものになっているかに対応する形で解を求めなさい。
ｘ+3ｙ+ｚ+w=1
　　ｙ-ｚ-w=1　

＞６７４さん
有難うございました。僕の知識でぎりぎり理解できました。すごいですね。
なるほど。ナットクです。ウィー、８年間のなぞが解けるって、、。すっきりしました！！

>>668
いえ直和ではなく直積ですね。もともと集合としての｛Ｇp｝の｛Ｕp｝に関するアデールの定義は
ＧA＝｛Ｘ＝（Ｘp）∈ΠＫp｜有限個のpを除いてＸp∈Ｕp｝（ここでΠ＝パイは積の記号の意味）
という制限直積ですから、ＧとしてＵ自身をとればＵAはただの直積になります。
初めに見た記号ＯAの解釈として正しいかどうかはともかく、これ自体は合ってる話だと思います。

>>682
すまソ。“それが正であることをしめせばよい”は“それが２以上である
ことをしめせばよい。”でした。まあもうわかってえてるみたいだから
いいけど。

>>683の定義内のΠＫpはΠＧpの間違いです
すいません

>>683
おっと。そのとうりでした。つまんない事かいてしまいました。
“イデール”を構成する最後の段階であくまで帰納的極限を
とるだけで各コンポーネントワイズには直積でしたね。
つまり（直積、id)の形の帰納的極限なので直積そのものがでるん
ですね。すいません。うっかりしました。

√33

>>686
コンポーネントワイズ・・・聞いたことないです（笑
まあ言ってる意味はアデール化の操作の事なんで内容はわかってると思います

それではどうもありがとうございました。もし上の解釈と違うようでしたらまた書きます

度々申し訳ないですが>>688の「わかってると思われる人」は僕ですから

すいません確率について教えて頂けないでしょうか

北大の問題で
りんごを9こを、S君、Y君、K君でわける。
一人ももらえない場合があっても良いとする。
このときS君が4つもらえる確率を求めよ

という問題があるのですが
普通ですと確率なのでりんごを区別して考えるはずですし
答えもそうなっているのですが
アインシュタイン型の確率と受けてればりんごは区別しないから
この問題はこたえが2つある、、と友人に言われました。

どう考えてもおかしいと思うのですが
知識不足で論破することができません。。
みなさん教えてください。

アインシュタイン型？