☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆

が欲しいです。「くだらねえ〜」や「わからない〜」スレの大学入試数学特化バージョンってことで。
大学入試までの知識で解ける面白い問題・難問・奇問があったらどんどんカキコして下さい！（よければヒントなども・・・）　問題コピペも大歓迎。

>>1
浪人生は人に頼らずコツコツ勉強しなさい

nを２以上の自然数とする。
（ｎ＋１）個の非負の数の集合{ak}(kは添字で、
k=1,2,・・・,n+1。)について、
a1からan+1までの相加平均と相合平均の差が
a1からanまでの相加平均と相合平均の差より
も小さくないといえるか。

無論、人に頼るのが目的です(笑)。「これ解いて下さい！」という意味よりもむしろ「おもろい問題をくれ！」という意味でですが。

円Ｃ: x^2 + y^2 = r^2、楕円Ｄ: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
（ただし、a > b > r）を考える。
「円Ｃ上の点ＰにおけるＣの接線が楕円Ｄによって切り取られる
線分の長さ」を最大にする点Ｐの座標を決定せよ。

三角形ABC (BC=a, CA=b, AB=c とする) の内部に点Pをとり、
PからBC, CA, AB に下ろした垂線の足をD, E, Fとする。
このとき、 BC/PD + CA/PE + AB/PF の最小値を a, b, c で表せ。

３より大きい双子素数の間の数は６の倍数であることを示せ。

空集合はただ一つしかないことを証明しよ。

３は出題ミス。
nを２以上の自然数とする。
（ｎ＋１）個の非負の数の集合{ak}(kは添字で、k=1,2,
・・・,n+1。)について、
a1からan+1までの相加平均と相乗平均の差の（n+1）倍が
a1からanまでの相加平均と相乗平均の差のn倍よりも小さ
くないとつねにいえるかどうか。

おお、なかなかいい問題が揃ってきたな。（５と７しか解けんけど・・・）
でも、なんだか Read Only スレになりそうな予感・・・。(^^;
とりあえず、こんなのはどうでしょう：

赤、青、黄、緑、白の５色の玉が無数にある。これらの玉を用いて左から一列にｎ個並べるとき、左端と同じ色が左端も含め偶数回現れる並べ方は何通りあるか。

f(x)は[0,1]で連続、(0,1)で微分可能、[0,1]において0≦f(x)≦1、
(0,1)においてf'(x)≠1 とする。
このとき、f(x)＝xとなるx∈[0,1]が唯一つ存在することを示せ。

　底面の正方形の一辺の長さが1の他の辺の長さがａである正四角錐が
ある。この正四角錐の5つの面を通る平面でこれを切ると､切り口は五
角形となるが、これが正五角形となるａの値を求めよ。

a=1

某大学の入試問題です。

数列anを
an＝n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
とするとき
lim[n→∞]an
をもとめよ。

数学系２チャンネラーズ編の数学本って結構おもしろいのできそうだね。
おもしろパズルとかの話題が豊富じゃん。

0=<x=<1のとき
(1+x^2+・・・+x^2n)/(n+1)　>=(x+x^3+・・・+x^2n-1)/ｎ
を証明せよ.ただし、ｎは自然数。（x^2はxの二乗を表現しています。）

a[1]＝１、a[n+1]=√（a[n]+２）（n=1,2,・・・）によって与えられる数列{a[n]}の極限値を求めよ。

(1)　整式f(x)を整式g(x)で割った余りをh(x)とするとき
f(x),g(x)が互いに素である　ことと　g(x),h(x)が互いに素　は同値であることを証明せよ。
(2)　整式f(x),g(x)が互いにそのとき適当な整式p(x),q(x)があり
p(x)*f(x)＋q(x)*g(x)=1
が恒等的に成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

>>18は整数の場合の次の問題の拡張だね。うまいもんだ。
（ちなみに「互いにそのとき」→「互いに素のとき」）

>>18-19
素のとき　一羽の　カモメが　とーんーだーーーーー♪

問題ばかりではなく、解答をきぼーん

ユークリッドさんに訊きましょう。

容量１リットルのｍ個のビーカー（ガラス容器）に水が入っている。
ｍ>=４で空のビーカーは無い。入っている水の総量は１リットルである。
またｘリットルの水が入っているビーカーがただ一つあり、
その他のビーカーにはｘリットル未満の水しか入っていない。

このとき、水の入っているビーカーが２個になるまで、
次の(a)から(c)までの操作を、順に繰り返し行う。

(a) 入っている水の量が最も少ないビーカーを一つ選ぶ。
(b) さらに、残りのビーカーの中から、入っている水の量が最も少ない
　　ものを一つ選ぶ。
(c) 次に、(a)で選んだビーカーの水を(b)で選んだビーカーにすべて移し、
　　空になったビーカーを取り除く。

この操作の過程で、入っている水の量が最も少ない
ビーカーの選び方が一通りに決まらないときは、
そのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする。

(1) x < 1/3 のとき、最初にｘリットルの水が入っていたビーカーは、
　　操作の途中で空になって取り除かれるか、または最後まで残って
　　水の量が増えていることを証明せよ。

(2) x > 2/5 のとき、最初にｘリットルの水の入っていたビーカーは、
　　最後までｘリットルの水が入ったままで残ることを証明せよ。

・・・誰だこんな問題出題した野郎は！
・・・おかげで灯台落ちちまったじゃねーか！

解答きぼんしまっす

>>23
僕です。すみません。
あなたを落とすつもりで作ったんじゃないが。

・自然対数ｅについての定義式を書き、それよりｅ＝１＋１／２＋１／３！＋１／４！＋・・・を導け。

一辺ａの正方形の内部に長さｂの線分があり、両端は常に正方形の辺上にある。
１）正方形の内部を線分が一周回ることのできる条件を求めよ。
２）線分の通過領域の面積を求めよ。

二次正方行列Ａ＝（ｘ，ｙ，ａ，ｘ）についてＡ＾３＝Ａであるようなｘ、ｙの集合をｘｙ平面状にあらわせ。

ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ＾２）の０≦ｘ≦２での定積分をｎ等分の区分求積で誤差１０の−６乗の範囲内で求めたい。
そのためにｎはいくら以上取れば十分か。

↑26〜29を１５０分で解ければ上出来だと思います。
（ただ即興で作ったので答えがあるかどうかはわかりませんが）

xは整数、yは素数とします。
z=√(1155y/x)として、zが素数になるようにします。
zの最小値は？

>自然対数ｅについての定義式を書き、それよりｅ＝１＋１／２＋１／３！＋１／４！＋・・・を導け。
ｅをｅ＝１＋１／２＋１／３！＋１／４！＋・・・で定義する。
右辺は収束するのでwell-def.するとｅ＝１＋１／２＋１／３！＋１／４！＋・・・
が成り立つ。

>>32
藁

普通の教科書などの流れでは
タブン eは （(1+1/n)^n の極限 ）で定義してると思われる。

>>24, >>21
何番の解答をご希望？ でも僕自身まだ解けてないものもあるから…。

以下の分を述語論理式で書き表せ．述語記号は適宜定義せよ．
(1)Ｐ（ｘ）を真とするｘが高々一つ存在する．
(2)nを3以上の整数とする時，x^n+y^n=z^nを満足する正の整数x,y,zは存在しない．
(3)a,b,cを任意の整数，n,mを任意の正整数とするとき，ax^n+bx^m+c=0を満足する実数xが3個以上あ
　　ることはない．

量称記号も　”適宜定義”していいなら簡単だ。

>>17
0 < |a[n]-2| = |a[n-1]-2|/(2+√(a[n-1]+2) < (1/2)*|a[n-1]-2| < ・・・ < (1/2)^n*|a[1]-2| = (1/2)^n
∴a[n] -> 2 (n -> ∞)

３つの自然数、ＡＢＣがあります。
ＡとＢの積をＣで割った余りが１、かつＢとＣの積をＡで割った余りが１、
かつＣとＡの積をＢで割った余りが１になる自然数ＡＢＣを求めよ。

１辺の長さが１である正十二面体の隣り合う２面のなす角の余弦を求めよ。
（ただし、必要なら cos2π/5 ＝ (√5-1)/4 を用いてよい）

長さ４の定線分ＡＢを考える。
Ａを中心とする半径１の球面上に動点Ｐが、
Ｂを中心とする半径２の球面上に動点Ｑがあるとき、
線分ＰＱの中点Ｒが存在する範囲の体積を求めよ。

40-> -1/√5
41->19π/6
でどうでしょう

やっぱり４１は１３π/３かも・・・

>>39
A=2 B=3 C=5

>>43
>やっぱり４１は１３π/３かも・・・

やっぱりそうであると思われ。

>>44
それしかないって証明できる？それが解だっちゅうのはすぐわかったけど？

未だに14の問題解けないのよ・・・。
誰か解いてくれたら嬉しい。

>>47
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=988952592&st=157&to=157&nofirst=true

1) a,b,c>=0 ab+bc+ca+abc=4 ならば
　a+b+c>=ab+bc+ca であることを証明せよ。
　また等号が成り立つのは、どういう場合か。

2) 1)を用いて次の命題を証明せよ。
a,b,c,d>=0, 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16ならば
a+b+c+d>=2/3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)である。

↑ 整数論ヴァカ登場！

>>48
ありがとう。

>>50
整数のはなしじゃないよ。

>>48
解答読んだのですが、何か違うような・・・。

第3問　数列anを an＝n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
とするとき lim[n→∞]an をもとめよ。

―――――――――（書いてあった解答）―――――――――
問３
　a[n]
　=lim[n→∞]n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
　=lim[n→∞][n∫[0,1]e・x^ndx - n∫[0,1]x^n・{e - e^(x^2)}dx]
　=e - lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx
なので最終項をもとめる。
f(x)=e(1-x)とおく。f(x)≧e-e^{x^2}(0≦x≦1)は左辺ー右辺の２回微分まで
もとめて増減表をかけばわかる。e-e^{x^2}≧0(0≦x≦1)はあきらか。いっぽう
　lim[n→∞]n∫[0,1]x^n･f(x)dx
　=lim[n→∞]n∫[0,1](x^n-x^{n+1})dx
　=lim[n→∞]n[x^{n+1}/(n+1)-x^{n+2}/(n+2)]^1_0
　=lim[n→∞]n/(n+1)(n+2)
　=0
なので
　0≦lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx≦lim[n→∞]n∫[0,1]x^n･f(x)dx=0
よりlim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx=0。∴lim[n→∞]a[n]=e
――――――――（ここ迄）――――――――――――

問題と思われる点。
f(x)≧e-e^{x^2}(0≦x≦1)は成り立たない。
g(x)=f(x)-e+e^(x^2)=e^(x^2)-exとおく。微分して、
g'(x)=2x・e^(x^2)-e
g''(x)={4x^2+2}e^(x^2)>0
よって、g'(x)は単調増加。
g'(0)=-e<0、g'(1)=2e-e=e>0
よって、あるα(0<α<1)が存在して、
g'(x)<0 (x<α)
g'(α)=2α・e^{α^2}-e=0　―――�@
g'(x)>0 (α<x)
ここで、g'(1/{√2})=(√2)・e^{1/2}-e=(√e)・{(√2)-(√e)}<0
（なぜならば、2<eより√2-√e<0）
よって、1/{√2}<α　―――�A
g(α)=e^{α^2}-eα=e/(2α)-eα　（�@より）
　　=e(1-2・α^2)/(2α)<0　（�Aより）
従って、g(x)は最小値g(α)<0 (0<α<1)である。

>>14=53
すまん。まさかこんな問題を間違えているとは思わなかったので、読まずに紹介してしまった。
正しくはこうやる。部分積分で、

n∫x^n・e^(x^2)dx={n/(n+1)}x^(n+1)・e^(x^2)-{2n/(n+1)}∫x^(n+2)・e^(x^2)dx

と変形する。

n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx={n/(n+1)}・(e^2)-{2n/(n+1)}∫[0,1]x^(n+2)・e^(x^2)dx

となる。問題は最後の積分の評価。

0≦x≦1 では、0≦x^(n+2)・e^(x^2)≦x^(n+2)・(e^2) なので、これを積分し、
n→∞ とすれば、lim∫[0,1]x^(n+2)・e^(x^2)dx=0 がいえて問題解決。

>>54
明日ゆっくり読んでみます。

>>48の紹介先のように不等式で挟むなら・・・

f(t)＝e^t-｛(e-1)t^2+1｝≧0　(0≦t≦1)
これをを2回微分などで示し　t＝x^2　と変換して
e^(x^2)-｛(e-1)x^4+1｝≧0　(0≦x≦1)　を得る。

0＜(e-1)x^4+1≦e^(x^2)≦e　(0≦x≦1)　より
｛(e-1)x^(n+4)+x^n｝≦x^n・e^(x^2)≦ex^n　(0≦x≦1)
n∫[0,1]｛(e-1)x^(n+4)+x^n｝dx≦a[n]≦en∫[0,1]x^ndx
両端がeに収束するので（略

>>40の類題？： 正四面体の隣り合う２面のなす角の余弦を求めよ。
（ただし、鉛筆使用禁止で制限時間３分）

>>53-56
すまソ。私が解答の作者。訂正ついでにかいせつ。
f(x)=2e-2exにすればOK。（e^{x^2}'のx=1での値計算まちがえた。）
じつは C[0,1] に適当な Norm をいれて（L_2 Norm でOK）
連続線形写像 φ:f→lim[n→∞] n∫[t=0,1]t^nf(t)dt をかんがえる。
この空間は {x^u} ではられているので φ(x^u) を計算すると

　φ(x^u)=lim[n→∞] n/(n+t+u)=1=δ(1)(x^u) (=δ(x-1)ともかく。)

なので φ=δ(1) であることがわかる。そこで以下のようにかんがえればOK。

　(1) 答えはδ(1)(e^{x^2})=e のはずだ。
　(2) φ(e-e^{x^2})=0 のはずだ。
　(3) e-e^{x^2}≦((一次式))なる((一次式))で x=1 のとき 0 になる l(x)
　　　をとれば φ(e-e^{x^2})≦φ(l)=0 となるはずだ。
　(4) あとは挟み撃ちでなんとかなるはずだ。

この問題は e^{x^2} が下に凸なので（凹なので） e-e^{x^2} が上に凸なので
x=1 で 0 になる一次式によって簡単におさえこめる。って〜のがPoint。

>>53-55,>>57-58
しばし事情でカキコできんのでもちょっとカキコ。
>>58で“δ(1)”と書いたのは Dirac のデルタ関数というやつで
“だいたいの”関数でδ(1)(f)=f(1)が成立する。“だいたいの”
ってのがミソでもちろんそうならないのもある。（連続じゃないのら
いっぱつでつくれる。）でも e^{x^2} はそんなに変な関数でないので
δ(1)(e^{x^2})=e^{1^2}は成り立ってるだろう。と予想するのが
Point。(たぶん実解析的ならOKだったよね。)もちろんそんなこと
受験数学ではつかえないので e^{x^2}=f(x) とおくとき
g(x)≦f(x)≦h(x) で δ(1)(g)=δ(1)(h)=e が直接計算できそうな
かんたんな g,h を見つけてくればよいのだ。わたしは一次式で
さがしたけど>>56さんのように二次式でさがしてもよい。
もちろん>>54さんのように部分積分してもできる。
（それもしってたけどあきらかに出題者はデルタ関数を意識してるので
その線にのっとった解答をのせた。いいわけじゃないよ。ホント。）

みなさんありがとう御座います。
理解できました。

区間 [0,1] で連続な関数 f(x) に対して、
n→∞ のとき n∫_[0,1] (x^n)f(x)dx → f(1)
となることを示せ。

個人的に好きなスレなのでageときます。

自己同型群が２次の巡回群になるような有限群を同型を除いて全て求めよ。
（群Ｇに対して、Ｇの自己同型全体のなす群をＧの自己同型群と呼ぶ）

>>63 それって某大学院の入試問題やん。
なんでコンナ簡単な問題が出るんだろうと思ったね。

群 G の内部自己同型群 Inn(G) が巡回群なら群 G は可換。

異なる３実数 a<b<c が

　a+b+c=-4, ab+bc+ca=abc+7

をみたすとき b のとりうる値の範囲をもとめよ。

(1-√57)/4＜b＜-1,0＜b＜1+√57)/4
カナ

0じゃなくて１カモ

>>40見て正12面体の模型を作ってみたらひどくいい感じでした（はあと）。
やはり正12面体はこの世で一番偉大なる正多面体だ！！

１．正12面体の１頂点と中心を結ぶ直線に関してこれを回転させてできる立体の体積を求めよ。
２．点Ａ(0, 0, a)を中心とする一辺の長さが１の正12面体を考える。（ただしこの立体は任意の向きをとることができる）
　(1) この立体のxy平面への正射影の面積の最大値を求めよ。
　(2) この立体をx軸に関して回転させてできる立体の体積を求めよ。

ｽﾏｿ･･･ｻｯｷｵﾓｲﾂｲﾀﾓﾝﾀﾞｲﾃﾞｽ｡

あ〜恥ずかしい。１番では一辺の長さ1にしといてください。
２番の(2)は、「立体の体積の最大値」でした。(1)ができればカンタン？

>>61

次の３つと f の連続性から出る．
１．任意のε>0 に対して lim n∫_[0,1-ε] x^n f(x) dx =0
２．n ∫_[1-ε,1] x^n f(x) dx
≧ (1-(1-ε)^n) min_{1-ε≦x≦1} f(x)
３．n ∫_[1-ε,1] x^n f(x) dx
≦ (1-(1-ε)^n) max_{1-ε≦x≦1} f(x)

あとは１，２，３，および，１＋２＋３から目標を得ることを
言えばいい．ここまで言えば分かるだろう？

>>70

> ２．n ∫_[1-ε,1] x^n f(x) dx
> ≧ (1-(1-ε)^n) min_{1-ε≦x≦1} f(x)
^^^^ x f(x) に訂正

> ３．n ∫_[1-ε,1] x^n f(x) dx
> ≦ (1-(1-ε)^n) max_{1-ε≦x≦1} f(x)
^^^^ x f(x) に訂正

なお，このヒントは， 密度が n x^{n-1} で与えられる
[0,1]上の分布に従う確率変数 X_n は恒等的に 1 という
確率変数に確率収束する，ということと，確率収束すれば
法則収束する，ということを使えばこの問題が解ける，と
いうことをヒントにしたものです．

でも，私は出題者でもなんでもないから，出題者が
そう思って出したかどうかは知らない．

>>39


ａ，ｂ，ｃは自然数で、１＜ａ＜ｂ＜ｃとする　→　ａｂ＜ｃａ＜ｂｃ
ａｂ＝ｃｋ＋１　→　ｃｋ＝ａｂ−１…�@
ｃａ＝ｂｐ＋１　→　ｂｐ＝ｃａ−１…�A（ｐ、ｋは自然数）と置く。

Ｔ＝ａｂ＋ｃａ−１と置く。
Ｔ＝ａｂ−１＋ｃａ
　＝ｃｋ＋ｃａ＝ｃ（ｋ＋ａ）（�@より）
Ｔ＝ａｂ＋ｃａ−１
　＝ａｂ＋ｂｐ＝ｂ（ａ＋ｐ）（�Aより）
よってＴはｃで割り切れ、さらにｂでも割り切れる。

Ｔ＝ｂｃｑと置く（ｑは自然数）
Ｔ＝ａｂ＋ｃａ−１≦ｂｃ＋ｂｃ−１＝２ｂｃ−１より
ｂｃｑ≦２ｂｃ−１
１≦ｂｃ（２−ｑ）
ｂｃ＞０なので、２−ｑ＞０→ｑ＜２
ｑは自然数なのでｑ＝1
ｂｃ＝ａｂ＋ｃａ−１が成り立つ。

ｂｃ＝ａｔ＋１（ｔは自然数）と置く
ａｔ＋１＝ａｂ＋ｃａ−１
２＝ａ（ｂ＋ｃ−ｔ）
ａ，ｂ，ｃ，ｔのすべてが自然数というのに注意すると、
　（ａ＝１　かつ　ｂ＋ｃ−ｔ＝２）
　　　　　または
　（ａ＝２　かつ　ｂ＋ｃ−ｔ＝１）
のいずれかが成り立つが、１＜ａなので
ａ＝２　かつ　ｂ＋ｃ−ｔ＝１
ｂｃ＝ａｂ＋ｃａ−１＝２（ｂ＋ｃ）−１
ｂｃ−２（ｂ＋ｃ）＝−１
（ｂ−２）（ｃ−２）＝３
ｂ，ｃは自然数、ｂ＜ｃより
ｂ−２＝１　ｃ−２＝３
ｂ＝３、ｃ＝５

よって（Ａ、Ｂ、Ｃ）＝（２，３，５）（２，５，３）（３，２，５）
　　　　　　　　　　　（３，５，２）（５，２，３）（５，３，２）

訂正
（誤）Ｔ＝ａｂ＋ｃａ−１≦ｂｃ＋ｂｃ−１＝２ｂｃ−１より
　　　ｂｃｑ≦２ｂｃ−１
　　　１≦ｂｃ（２−ｑ）
（正）Ｔ＝ａｂ＋ｃａ−１＜ｂｃ＋ｂｃ−１＝２ｂｃ−１より
　　　ｂｃｑ＜２ｂｃ−１
　　　１＜ｂｃ（２−ｑ）

age

http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
ここを見て必死で勉強してください。

>>76
死ね。

某予備校のテキストより。
素数ｐをとる。自然数ｎにたいしε(n)でｎの素因数分解にあらわれるｐの
数をあらわすものとする。たとえばｐ＝３のときε(１２)＝１、ε(１０８)＝３、
ε(６４０)＝０である。このとき
　lim[n→∞]ε(n!)/n
をもとめよ。

>>76
マジでウザイよ。オマエ何なの？氏んでくれ。

>>78
ネタはｐ進距離か…？

>>80
むずかしいことしらんけどこれテストでやっててその採点
のバイトしてんだけど結構できてんのよ。びっくり。
最近の工房あなどりがたし。

http://www.geocities.com/aho21st/test.html

C[x,y,z,w] に GL(2,C) を次のように作用させる。
(Af)(x,y,z,w):=f(x',y',z',w').
ただし A は GL(2,C) の元で
X =
(x 　y)
(z 　w),
X' =
(x' 　y')
(z' 　w'),
X'=AXA^(-1)
である。
t:=x+w、d:=xw-yz とおく。
(1) t、d はGL(2,C)-不変である。
(2) C[x,y,z,w] の元で GL(2,C)-不変なもの全体は
　 C[t,d] に一致する。

>>78
1/(ｐ-1)

ε(n!)=Σ[n/p^k] (k=1,2,...,[log_p n])

>>84
しぇ〜かい。
>>85
Yes! それを1/n��(n/p^k-1)≦1/nΣ[n/p^k]≦1/n��1/p^kとはさんで→∞する。
...これを工房がやすやすとやってしまうからな〜。しかも何人も。
びっくり。

(1)
Σa_n/√n < ∞　かつ、Σ(a_n)^2 = ∞ となる
正項数列{a_n}は存在するか？

(2)
Σa_n/√n = ∞　かつ、Σ(a_n)^2 < ∞ となる
正項数列{a_n}は存在するか？

(3)
Σa_n/n = ∞　かつ、Σ(a_n)^2 < ∞ となる
正項数列{a_n}は存在するか？

数直線上の動点Pは，はじめ原点にある。１秒ごとに正の方向か負の方向に等しい
確率で１だけ移動する。このとき，２ｎ秒以下で原点に戻る確率を求めよ。

>>88
なんつーありがちな典型問題を出してくるんじゃ…

曲線Ｃ:y=logxの上に点P(t,logt)(1<t<e)をとり，原点Oと結んだ直
線とＣとの交点でPでない方をQ(a,loga)とする．
線分OPとＣとx軸で囲まれた部分の面積をS1，線分PQとＣで囲まれた
部分の面積をS2とするとき，S1+S2の最小値を求めよ．

　白玉ｍ個と黒玉ｎ個を一列に並べて、黒玉が２個以上続いたところは黒玉１個
に置き換えるとする。残った黒玉の個数の期待値を求めよ。

受験ネタ＼(^o^)／ﾊﾞﾝｻﾞｲ

>>49の2)
a,b,c,d>=0, 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16ならば
a+b+c+d>=2/3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)である。

f(X)=X^4-AX^3+BX^2-CX+D=0
という4次方程式を考えます。この方程式が4つの非負解 a,b,c,d
をもつとすれば、A=a+b+c+d, B=ab+ac+ad+bc+bd+cd, C=abc+abd+acd+bcd
D=abcdとなります。
そこで、F'(X)=0という方程式をつくると、この方程式は３つの非負解
α,β,γ（min(a,b,c,d)≦α,β,γ≦max(a,b,c,d))をもつことがRolle
の定理から分かります。
F'(X)=4X^3-3AX^2+2BX^-Cですから
α+β+γ=3A/4
αβ+βγ+γα=2B/4
αβγ=C/4

α,β,γ>=0で αβ+βγ+γα+αβγ=2B/4+C/4
B=ab+ac+ad+bc+bd+cd, C=abc+abd+acd+bcdを代入すると
αβ+βγ+γα+αβγ=1/4(2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd)
=4
したがって、1)から
α+β+γ≦αβ+βγ+γα
つまり3A/4≦2B/4　∴　A≦2/3B
A=a+b+c+d, B=ab+ac+ad+bc+bd+cdを代入して証明おわりです。

４角形ABCDで∠ABD=20°∠DBC=40°∠ACB=20°∠DCA=10°
とします。
∠ADBは何度になるでしょうか。証明をつけて答えてください。
「天才中学生スレッド」に載せた問題ですが、大学入試問題としては
やさしすぎるでしょうか？それとも難しすぎ？自分では判定できません。

ファッションは数学です

>94
うざい。昔教えてもらったが忘れた。変な補助線引くんだろ。

そんな問できてもなんの役に立たんよ。
自分で考えて出せる奴なんかほとんどいなくて、
やり方知ってる奴が答えるだけだろ。

ここは大学入試に出る問題だけを取り上げるスレだ。

＞96
ただの基地外か、今井?

96さんへ

94の答えは30度です。このことを正弦定理を使って証明せよ。
これだったら大学入試に出そうな問題といえませんか？

一番期待しているのは変な補助線ひいて出す答えですけどね。
私自身の模範（？）解答は実に素直なものです。
まあ、ちょっとは考えてみてくれませんか？たぶんあなたの
前に聞いた問題とは違う問題ですから。とにかく図を描いてみてください。


さて、これだったら

>>98
今井と一緒に逝け！！

http://users.goo.ne.jp/enomotok/

>>49,94
その不等式既出だよ。ずっと前にも誰か出してた。

>>101
前に出したのもKARL本人。そっとしといてやれ。

このスレよりもっと前だって
だって俺もやったけどわからんかったもん

だから別スレでもっと前に本人が出してるの。

>>104
だから、>>103が言ってるように、もっと前の話。
ここで分からなかったから、問題出した奴が今井の掲示板で聞いてた。
もちろん、今井先生には分かりませんでした（ｗｗｗｗｗ

>>104
ぎぇ！！それだしたの俺だし。（ｗ
天下の今井大先生なら解けるかなと思ったんだけど
（案の定）だめでした（ｹﾞ

>66 Reply これは出来ません 今井弘一（管理者） 2000/11/15 11:01
> ns.imai.gr.jp
> 今々さんへ、　a+b+c+d≧2/3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)　は出来ません。

>63 Reply 先生、これ解いて下さい！ 今々 2000/11/15 03:54
> 1cust39.tnt1.kyoto.jp.da.uu.net
> 先生のＨＰ見て数学の新境地を見出せました。
>と言うことで、僕のわからないこの問題を証明してみてください
>
>「a,b,c,dは非負実数で、条件
>2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16
>をみたす。次の不等式を示し、等号の成立条件も求めよ。
>a+b+c+d≧2/3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)」

明大生のクセして京都に住んでるの？？？（ｗｗｗｗｗ

おお！見つけてくれてありがとう（笑）
なぜか京都に住んでいるのだ！

>>108
去年は京都に住んでたの？

もう、みんな博士に行くよね。もち、学位とって
企業に就職する。学生のうちから、バンバン派遣
とかやって、スキルも身につけておこうかなー、
って思ってます。

上げとかナイト

正しい理科教科書を作る方法については
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
を見てください。

半径１の半球に含まれる円錐の体積の最大値を求めよ

次の式で表される点(x,y)の軌跡を図示せよ。
x=sin(s)+2*sin(2*s)
y=-cos(s)-2*cos(2*s)

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
x^2+y^2≦1
(y+1/2)*(y+√3*x-1)*(y-√3*x-1)≧0
y*(y+√3*x)*(y-√3*x)≧0

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
x^2+y^2≦25
x^2+y^2≧9　または　x^2≦1　または　y^2≦1

an=Σe^-(k!)が収束するかどうか

sqrd{x^2+y^2+z^2+w^2}+sqrd{(1-x)^2+(1-y)^2+(1-z)^2+(1-w)^2}
の最大値及び最小値を求めよ。
ただし、x、y、z及びwは、0以上１以下の実数とする。
http://saki.2ch.net/test/read.cgi?bbs=kouri&key=986151340&ls=50

あぼーん

問いばっかじゃなく解答も書いてよ

解答きぼんぬ

で、こたえは？

>>114 の類題

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
(y^2-x^2)*(y-1)≧1
(y-2)^2≧x^2
y^2≦2*y

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
((x+√3*y)^2-1)*((x+√3*y)^2-100)≦0
((x-√3*y)^2-1)*((x-√3*y)^2-100)≦0

つわものどもがゆめのあと。おぬしらもここまでか。

図示はつらいぜ。アスキーアート板に逝けや

問：
宜しくおねがいしまっす！

任意の正整数ｎに対し、
ｎ＾２＜ｐ＜（ｎ＋１）＾２
を満たす素数ｐが必ず存在することを証明せよ。

かちみらみはちち

>>124

初等的には未解決。n<p<2n では、帰納法を使って解く方法がある。

[1] f(x) = p sin(ax + b) + q について

lim f^n (x)
n→∞

の性質を詳しく調べよ。

[2] 自然数 n に対し、ln(x)/x^n を整級数に展開できるか。

[3] 自然数における「ふるい分け法」が有効であるとはどんな場合か。
そのような場合を一般的に示せ。

>>8
>空集合はただ一つしかないことを証明せよ。

空集合が2つあると仮定し A,B とおき、A≠Bとする。
すなわち (x∈A AND NOT(x∈B)) OR (NOT(x∈A) AND x∈B).
しかし、これは A,B が空であることに反する。

>>113
>半径１の半球に含まれる円錐の体積の最大値を求めよ

断面積を考察すれば、x √(1 - x^2) が最大になる場合の
π x^2 √(1 - x^2) に等しい（ただしx>0）。
このとき、式の対称性から x = √(1 - x^2) は明らかで、
x>0 を配慮してこれを解くと x = √(1/2) = √(2)/2 となる。

>>126
n≦p＜2n の間違い。

>>126
n≦p＜2nの帰納的な証明って，簡単ですか？
ここで説明するのが大変なら，その証明がのってる本とかHP
とか教えてもらえませんか。

>>131
「n>=1なる任意の整数nに対してn<p<=2nなる素数pが存在する。」
この命題は、"Proofs from THE BOOK"(Springer)という本にベルトランの
仮説として紹介され、Chebyshevによって初めて証明され、Ramanujanによって
ずっと単純な形で証明が与えられた、としています。この本に載せられた
証明はPaul Erdos(エルデシュ)が19歳のとき(1932)初めて活字になった彼の論文
からとったものだそうです。確かに初等的な証明ですが、帰納法を使って
はいないような気がします｡
その中にいくつか補助定理が出てくるのですが、そのうちの１つを紹介しま
しょう。

　　　　Π[p<=x]p <= 4^(x-1) (xは2以上の実数)

　＊　記号 '<=' は '等しいかまたはより小さい'
＊ [p<=x]は普通Πの下に書かれるものでΠ[p<=x]pはx以下の全ての素数
　＊　の積を表します｡

この命題はいつか問題としてＵＰしたような覚えがあります。
この本に載っている証明はエルデシュの初めて活字になった原論文
にはないけれど、やはりエルデシュ自身によるものだそうです。
２項係数を知っている人だったら読めば誰でも分るけど、なかなか思いつかない、
という種類の証明です。誘導する形にすれば入試問題にしてもいいかも。
（一部で帰納法も使ってます。）

×

>>132
をを！レスしてくれてる人がいたんですね。気が付きませんでした。たった今
レスを発見してしまいました。レスありがとうございます。

うげ

計算問題じゃないよ
｜｜…｜｜５８７５７−４０００｜−３９９９｜……｜−２｜−１｜＝

４次元の実数空間における半径rの超球の体積を積分を用いて求めよ。

>>136
１。

>>93
の解、あらためて見てほれぼれするなあ。ある人に教わったんですけどね。
３文字のやつはわかったんだけど、じつはちょっとくやしい。
>>94
の問題もいいなあ。これは自分で見つけたんですけど．．．
これについて96番さんの考え方は正しくない(とあえて言わせて)。
だって数学の問題の解き方っていろいろあるところが面白いんじゃないですか。
他人の解答をみてなるほどうまいことやるもんだね、と感心したり
その解答をヒントにして別の解答を考え出したりすることもあるし。
この問題については、ヒントを言わせてください。四角形の辺ＡＢ，ＣＤをのばすと
３角形ができます。すぐわかることですが直角３角形です。ＡＣ，ＢＤは２つの角の
３等分線(のうちの１本)です。じつは、直角３角形の３等分線をひいて問題のような
四角形を作ると、つねに角ＡＤＢ＝角ＤＡＣ＝３０度になるのです。私が見つけた
美しい(ちょっぴり感動した)定理(?)です。すれ違い？なはは。

>>100番さんの紹介してるＨＰはすごいですね。94の問題もちゃんとありましたね。
証明もどこかにあるのですか？

>>132で紹介した、"Proofs from THE BOOK"(Springer)は翻訳が出るという話を
どこかで読んだような気がするんですが、どうなんでしょう。

正多面体が
正４面体、正６面体、正８面体、正１２面体、正２０面体
の５種類しか存在しないことを証明せよ。

y=x^xのグラフをかけ。(x>0)

空間上にn個の点が与えられていて、1..nまでの番号が振られている。
数列a_iを点iから最も近い距離にある点の番号で定義したとき、
a_(a_k)=kなるk(1≦k≦n)が少なくとも1つ存在することを示せ。

>>142
ａ（ｉ）＝ｉとするならａ（ａ（ｉ））＝ｉ。
ｎ＝３，点１点２＝点１点３＝点２点３として
ａ（１）＝２，ａ（２）＝３，ａ（３）＝１
とすればａ（ａ（ｉ））＝ｉとなるｉはない。
点ｉ以外でもっとも点ｉに近い点が一つに定まり
それを点ａ（ｉ）とするならｎ＝１のときは存在しない。
ｎが２以上のときは１≦ｉ＜ｊ≦ｎで点ｉと点ｊの距離が最小になるように
ｉ，ｊをとればａ（ａ（ｉ））＝ｉ，ａ（ａ（ｊ））＝ｊで二つ以上存在する。

>>140
>>141
いい問題ですね。

ｘⁿ+ｘ&supn;+ｘ³+xⁿ⁺¹

問題どうぞ。

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1008766732/
ここの問題全部やってみ

>>17
どっかのすれで答えたような…
こみぱるから
だからうまくかきこめるかわかりません。文字化けするかも。

a[1]＝１、a[n+1]=√（a[n]+２）（n=1,2,・・・）
x^2=√（ｘ＋２）をといてｘ＝２だから極限＝2と予想。

｜a[n+1]-2｜=｜√(a[n]+2)-2｜
=｜(a[n]-2)/｛√(a[n]+2)+2｝｜≦｜｛1/(2+√2)｝(a[n]-2)｜
（∵a[n]>0)
よって
｜a[n]-2｜≦｜｛1/(2+√2)｝^(n-1)*(a[1]-2)｜=｛1/(2+√2)｝^(n-1)　→0　n→∞

よってa[n]→2　n→∞

kaminari sugoi desune///

＞１４１
奇妙な関数ですね・・・
y=x^x(x>0)
対数にあてはめて
logy=x*logx
これを微分して
y'/y=logx+1
y'=y(logx+1)

増減表は
0＜x＜1／eでマイナス、１／eでプラス。
x→0のときもx→∞のときもy→∞かな？よ￥これは予想です。
変局点はy’’を計算・・・。

＞１５０のつづき
訂正：０＜ｘ＜１／ｅでマイナス、１／ｅ＜ｘでプラス。
変曲点は、ｙ’’＝０
y'=y(logx+1)
y''=y'(logx+1)+y(1/x)=y(logx+1)^2+y*(1/x)
y''=0だから
y｛(logx+1)^2+1/x｝=0
でもこの式の左辺はy＞0で、（　）^2≧0で、1／ｘ＞0だから、左辺＞0だから
変曲点なし、でいいのでしょうか？？？

＞１１４
x=sin(s)+2*sin(2*s)
y=-cos(s)-2*cos(2*s)

dx/ds=cos(s)+4cos(2s)=cos(s)+4｛2cos(s)*cos(s)-1｝=8｛cos(s)｝^2+cos(s)-4
dy/ds=sin(s)+4sin(2s)=sin(s)+8sin(s)*cos(s)=sin(s)*｛1+8cos(S)｝
あとは０≦ｓ≦２πとして増減表を書く・・・。計算まちがい、うち間違いあるかもしれません。

＞１５２つづき
8t^2+t-4=0の2解をα、β（α＜β）とおくと
-1＜α＜β＜１
だから
x^2+y^2=1
x=α
x=β
x=-1/8
y=0
のグラフを書いて場合わけする。なんかめんどくさい・・。
0＜s＜θ1のときはx'>0,y'>0
θ1＜s＜θ2のときはx'<0,y'>0
θ2＜s＜θ3のときはx'<0,y'<0
θ3＜s＜πのときはx'>0,y'<0
π＜s＜θ4のときはx'>0,y'>0
θ4＜s＜θ5のときはx'<0,y'>0
θ5＜s＜θ6のときはx'<0,y'<0
θ6＜s＜2πのときはx'>0,y'<0
ただしθ1〜θ6は下のように定めたもの。
0＜θ1＜π/2＜θ2＜θ3＜π＜θ4＜θ5＜3π/2＜θ6＜2π
cosθ1=cosθ6=α=(-1+√129)/16
cosθ2=cosθ5=-1/8
cosθ3=cosθ4=β=(-1-√129)/16

帰ってきてもレスなし・・。
>>5
図を書くと、
P(0,±r)のとき最大値(2a/b)*√(b^2-r^2)
P(±r,0)のとき最小値(2b/a)*√(a^2-r^2)
という気がします。
でも証明がむずかしい・・。

接線と楕円形の交点をA,Bとおくと、
△OAB＝AB*r/2だから
ABが最大⇔△OABの面積が最大
ここから先がわからない・・。

>>6
△ABCの面積をSとする。（Sはヘロンの公式でa,b,cであらわせる）
またPD=x,PE=y,PZ=zとおくと
△ABC=△PAB+△PBC+△PCA=(1/2)*(ax+by+cz)
よって
ax+by+cz=2S・・・・ア
求める値はa/x+b/y+c/zである。ここで
アの左辺*(a/x+b/y+c/z)を計算してみると
(ax+by+cz)*(a/x+b/y+c/z)=a^2+b^2+c^2+(abx/y+aby/x)+(acx/z+acz/x)+(bcy/z+bcz/y)
≧a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
（∵相加相乗平均の公式.等号はx=y=zのときに限り成立）
したがって、
2S*(a/x+b/y+c/z)≧a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
⇔*(a/x+b/y+c/z)≧(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/(2S)
よって
PA=PB＝PCのとき最小値(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/(2S)・・・答

哀れな奴

数学板っつぅのはそういうものかと

このスレから選りすぐった問題を出せば、今年の東大の問題にも勝てるであろう。たぶん

うどだ

問題
三辺の長さが、a、b、cの三角形を考える。
この三角形の内接円の半径をr、外接円の半径をRとするとき、
Rとrをa、b、cで表しなさい。

>>165
京大のいつかの問題？

　

ヲタヲタくんＨＰへ逝く！！
http://ip.tosp.co.jp/i.asp?i=waku2land
↑ｸﾘｯｸカキコきぼーん
　　+　
+／■＼　∧＿∧+
( ´∀`)(´∀` )
(つ　 つ(つ　 つ
(　ヽノ (　ヽノ+
し(＿)　し(＿）
+　　+　　+

0以上の実数αに対してF(α)＝∫［-1,1］｜x＾2−α＾2｜αx
(1) F(α)を求めよ。
(2) αが0≦α≦2の範囲を動く時F(α)の最大値と最小値を示せ。

a,b,c>=0 ab+bc+ca+abc=4 ならば
　a+b+c>=ab+bc+ca であることを証明せよ。
　また等号が成り立つのは、どういう場合か。

既出問題ですが、解答が得られていない(どこかにあったら教えて)
のであえて、ふたたび出題させていただきました。

>>172
p=a+b+c,q=ab+bc+ca と置く。0<=q<=4 であることが条件からすぐわかる。
f(x)=x^3-px^2+qx+q-4 とすれば a,b,c は f(x)=0 の3解であるから、
f'(x)=0 の判別式が非負であることが必要。すなわち、p^2>=3q を満たす。

ここから背理法を使う
もし、ある p,q で p<q が成立すると仮定すると
上の条件から q^2>p^2>=3q だから、3<q<=4 である。
g_t(x)=x^3-tx^2+tx+t-4 と曲線族(3<=t<=4)を定義すると、
f(x) > g_q(x) >= inf{g_t(x)|3<t<=4} = min{g_3(x),g_4(x)} = min{(x-1)^3,x(x-2)^2}
よって、0=f(a)>min{(a-1)^3,a(a-2)^2} (b,cも同じ) から
0<=a,b,c<1 でなければならないが、
これでは、ab+bc+ca+abc<4となってしまって、矛盾。
よって、p>=q

等号条件を忘れてた。
p=q の時、3<=q<=4 で f(x)=g_q(x) だから、0=f(a)>=min{(a-1)^3,a(a-2)^2}
よって、a,b,c のうち少なくとも一つが、0,1,2のいづれかでなければならない。
条件式に代入して残り2つも求めると、
"すべて1である" か "0と残り二つが2である" 時に等号が成り立つ。

あといっこ条件抜けてるよう鳴きが

>>175
？

3次方程式の判別式は高校のレベルではあつかわない、と思います。
私自身わからない。説明をつけ加えて下さい。
f(x) > g_q(x) >= inf{g_t(x)|3<t<=4} = min{g_3(x),g_4(x)}
も、infとかminとか曲線族とか大学入試レベルを超えていると思います。
ふつうの高校生に分る解答をお願いします。

>3次方程式の判別式は高校のレベルではあつかわない、と思います。
１７３のどこで３次方程式の判別式使ってるか教えてくれ。

>f(x) > g_q(x) >= inf{g_t(x)|3<t<=4} = min{g_3(x),g_4(x)}
>も、infとかminとか曲線族とか大学入試レベルを超えていると思います。
別にinfとか曲線族使わなくても、f(x)>min{g_3(x),g_4(x)}は言えるだろ。
それにminって高校の範囲超えてるか？

結局は自分の用意した解答と違うから、文句つけたいだけだろ。
まさか理解できないなんてことはないだろうから（ｗ

１＋２＝８、２＋１１＝１８→７＋２＝１４

>>177
僕もちょっと便乗質問・・。

>>173で，「a,b,c は f(x)=0 の3解であるから、
f'(x)=0 の判別式が非負であることが必要。」

とあるんですが，判別式が負であることが必要なのはわかります。
でも，f'(x)=0のときは，f(x)は単調増加になるので，f(x)=0は，3重解をもつか
1つの実数解と2つの虚数解を持つかの2通りの可能性が出てくると思います。
この2通りに対して，場合わけをする必要はないのでしょうか？

inf，曲線族って教科書やチャトには出ていないのでわかりません。
解説おながいします。

>>178
>f'(x)=0 の判別式が非負であることが必要。
ほらね。．．．あれ？？ご、ごめん。老眼のせいでダッシュが目に
入らなかったようです。

>まさか理解できないなんてことはないだろうから（ｗ
そのまさかだぜい（大笑い）

>結局は自分の用意した解答と違うから、文句つけたいだけだろ。
ようするに理解できなかったからけちをつけたかっただけ。（大馬鹿笑い)

ぐへっつ

>>173
いくつか疑問点

3<q<=4 の十分性は？
f(x) > g_q(x) は ｘ＝０ では成り立たない
inf{g_t(x)|3<t<=4} = min{g_3(x),g_4(x)} は正しいか？

>>179は何？

「f(x) > g_q(x) は ｘ＝０ では成り立たない 」以外は
勘違いしてたみたい 無視してくらはい

>>173

3＜q≦4 ⇒ 3≦q≦4 だから g_q(x) ≧ min{g_t(x)|3≦t≦4} ＝ min{g_3(x),g_4(x)}
としたら inf 使わずに済んだね

今井　今井　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　
　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　
　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　
　　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　


イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　
　　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　

　　　　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ

>>172はもう少しスカッと解けないものかなぁ

>>188
ab,bc,ca,abcの相加、相乗平均の大小関係から、
(ab+bc+ca+abc)/4≧(abc)^(3/4)
左辺＝１なので、abc≦1

a,b,c,(abc)^3の相加、相乗平均の大小関係から、
(a+b+c+(abc)^3)/4≧1
∴a+b+c≧4-(abc)^3
　　　 ≧4-abc　（∵ 0≦abc≦1)
　　　 ＝ab+bc+ca

>>189
等号を答えるの忘れてた
a,b,c,(abc)^3の相加、相乗の式における等号から、
a=b=c
ab+bc+ca+abc=4に代入して、4a^2＝4
よって、等号はa=b=c=1のとき
（このときたしかに等号が成り立つ）

>>189
> (a+b+c+(abc)^3)/4≧1
意味不明

>>191
あれ、本当だ

疲れてるな…

>>172に対する私の証明は以下のとおりです。

ab+bc+ca+abc=4 (*)
これからc=(4-ab)/(a+b+ab)
だからこれを代入して
a+b+c-(ab+bc+ca)=a+b+(4-ab)/(a+b+ab)-ab-(a+b)*(4-ab)/(a+b+ab)
=1/(a+b+ab)*[(a+b-2)^2-ab(a-1)(b-1)]　　(**)

(*)はa,b,cについて対称だから a <= c <= b として一般性を失わない。
このとき、a>1 あるいは b<1 とすると、(*)が成り立たないから
a <= 1 <= b である。したがって　-ab(a-1)(b-1) >= 0
(a+b-2)^2>=0 だから右辺>=0.
したがって a+b+c >= ab+bc+ca
等号は a+b=2 かつ [a=0またはb=0またはa=1またはb=1]
つまり、a=0,b=c=2 または a=b=c=1
a,b,c についての対称性からb=0,c=a=2;c=0,a=b=2のときも成り立つ。■

注
(**)の[ ]内を(a-b)^2+(4-ab)(a-1)(b-1)として証明することもできます。

a1、a2は与えられた実数とし、n≧3に対しては
　an=|an-1-an-2|
で数列anを定める。
(1)a1、a2が整数のとき、ある正の整数Nが存在して、N以上のすべてのnに対して
an=0となることを示せ。
(2)a1、a2が有理数のとき、{an}の取りうる値は有限個であることを示せ。

もちろん、(1)ができれば(2)は簡単なのですが。

>>196
b[n]=max{a[n],a[n+1]}を考えたらできた。

東大の過去問。1時間で解けたら凄い？

Pはxy平面上の点。A={(x,x^3-x) | -1≦x≦1}。
Aを、常に点Pを通るように平行移動させる。
そうやって平行移動させた図形とAとの共有点がちょうど1点だという事が
ちょうど3回起きるようなPの範囲を図示せよ。

…文が変だな。言いたかったのは↓こういうこと
A={(x,x^3-x)| -1≦x≦1}
Φ(P)={A'| A'はAを平行移動させたものでP∈A'}
D={P| ＃{A'| A'∈Φ(P),＃(A'∩A)=1}=3}
Dを図示せよ。

ｒを素数とし、ｎをｒと互いに素な（１以外の公約数を持たない）自然数とします。
このとき、ｎr-1−１ が ｒ で割り切れることを証明して下さい

>>199
r=3, n=2とすると
ｎr-1−１ =6-1-1=4
これはr=3で割り切れない。
ｎr-1−１ は　n(r-1)-1という意味（？）
だとすると、
r=3, n=4のときn(r-1)-1=7
これはr=3で割り切れない。
タイプミスと思われます。よろしくご訂正願います。

>>200
フェルマーの小定理と思われ。
n^(r-1) - 1 が r で割り切れる。

(1)から(3)において、それぞれの解の逆数を解とする方程式を求めよ。

(1) ax^2+bx+c=0

(2) ax^3+bx^2+cx+d=0

(3) ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0

(3)が全然わからなくて解法見たら、鬱になってしまった記憶が…。

x →1/x としたいいだけじゃないの

∫(1⇒2)(x-1)/x^2*e^xdx
問題集の解法が何かﾃｸﾆｶﾙなものだったので
自然に思いつけるような解法を教えて欲しいです。
ちなみに問題集の解法は(fe^x)=(f+f')e^xを利用したものでした。

間違ってsageたのでageときます。

>>50あたり

.......

>>195の解答と似ているが....
ab+bc+ca+abc=4より
a(b+c+bc)+bc=4
a={4-bc}/(b+c+bc) a>0よりbc<4
a+b+c-ab-bc-ca=a(1-b-c)+b+c-bc={4-bc}(1-b-c)/(b+c+bc)+b+c-bc={(4-bc)(1-b-c)+(b+c-bc)(b+c+bc)}/(b+c+bc)....(1)
b+c=u,bc=vとおくとb,c>0よりu>0,0<v<4 b,cの実数条件より u^2>=4v
逆にu,vがこの条件を満たせば t^2-ut+v=0の２解は共に正で、{b,c}⊂解集合でありa=(4-v)/(u+v)でab+bc+ca+abc=4となる
(1)の分子＝(4-v)(1-u)+u^2-v^2=-v^2+(u-1)v+(u-2)^2=-(v-(u-1)/2)^2+(u-1)^2/4+(u-2)^2
各uを固定した時g[u](v)=-(v-(u-1)/2)^2+(u-1)^2/4+(u-2)^2とおく
g[u](v)は上に凸な関数である。従って最小値は、定義域の境界で取る。
境界は、0<=u<=4 ではv=u^2/4上、4<=uではv=4,及びv=0である。
g[u](0)=(u-2)^2>=0
g[u](4)=-16+4(u-1)+(u-2)^2=u^2-16>=0 (u>=4)
g[u](u^2/4)=(-1/16){u^4-4u^3-12u^2+64u-64}=(-1/16)(u-2)^2(u+4)(u-4)>=0(u<=4)
従って(u,v)の存在範囲、すなわちg[u](v)の定義域でg[u](v)>=0 (等号はu=v=4の時のみ）
∴a+b+c-ab-bc-ac>=0
等号はa=0,b=c=2の時のみ成り立つ

等号について訂正
２つ別の等号成立点が見つかった。（汗;
u=2,v=0 b+c=2,bc=0 これはa=b=2 c=0 a=c=2 b=0の場合に対応
u=2,v=1　これはa=b=c=1の場合も等号成立ね。

「０，１，２，３と書かれたカードが１枚ずつあり、点Pが平面座標上の原点（０，０）にいる
カードを１枚めくって１が出たら点Pは現在いる点よりx座標が１小さい点へ移動し、
２が出たら点Pは現在いる点よりy座標が２大きい点へ移動し、
３が出たら点Pは現在いる点よりx座標が３大きい点へ移動し、
０が出たら点Pは原点へ移動するとする。
めくったカードは元へ戻し試行を繰り返す。
点Pが領域S{(x,y)|x^2+y^2>5}へ到達した時点でゴールとし、試行を終える。
このときn回目の試行まででゴールする確率を求めよ

大学入試ってのはどんな問題が好まれるんだろう。

問　
a^2+b^2=c^2を満たす自然数の組(a,b,c)のうちで素数を２つ以上含むものは無限に存在するか。


こういうのは嫌われるかなぁ。

うざい芸能人ベスト５
　　　
　　1位　中居正広（ＳＭＡＰ）
　　
　歌は下手なくせに態度はでかい三十路過ぎの小汚い巨人ファン

　　２位　山田花子
　
　全くアドリブがきかない貧乳・醜顔のつまらぬダメ芸人。

　　３位　中尾彬
　
　態度でけーよ。こういう奴に限ってちんぽは真性方茎。

　　４位　古館伊知郎（←字違ってるかも）
　
　実況がうるさい。楽屋では一人でチンカス掃除してそう。

　　５位　小池栄子
　
　おっぱいだけで世渡りできると思うな。どうせ最期はヌード。

　ここでニ句。
　
　大不況　現代社会の　産物は　
　　　　　　　　　　　たまりにたまった　クズ芸人の山
　　　　　　　
　「♪帰れ　帰れ　みんな一緒に　異界送りだーっ！
　　　　　♪見たくなーい　芸人は　泡で固めよーっ！♪」　
　　　　　（ゴキパオのコマーシャルソングの音楽にのせて）　　

>>214
こんなの出したら差がつかないでつ。。。

>>214
っていうか俺解けないんですがｗ

>214
2m-1=n^2を満たす素数m,nの組は無限に存在するか、に帰着するかな。
そして無限にありそうな予感。証明は30分考えたけどできず。

>>214
面白い問題なので計10時間ほど考えてみたが、マジ和歌欄
うち、3時間ほどプログラムを組んで実験したらSTOPしなかったのでYESと勝手に予想

これくらいなら
無限に存在することを示せ/有限個なことを示せ（これだけで、格段に問題の
レベルはダウンするけど）でないと（それでも）試験にならない予感
嫌われるというより、難しすぎ（漏れがヴァカなだけか？）
数オリ本番より難しくない？

でも、気になる問題だなぁ…

フェルマー問題みたいに問題の作り逃げってことはないよね？
出題者の口ぶりからして、それはない予感がするが…

素数自体無限にあるんだし（オソラク）無限では・・？

未解決なんじゃねーの？
(s^2-t^2,2st,s^2+t^2)って形になるんだから
s^2-t^2とs^2+t^2が素数、って事でs=t+1に限る。p:=2t+1と置くと
2t^2+2t+1=(p^2+1)/2が素数となる素数pが無限にあるか？

>>220
フェルマー自身はわかってたっぽいよ。
それを示す証拠はないけど。

ゴメン、見てなかった。こんな話になってるとは。
いや、１週間前くらいに思いついて未解決なんだけど、「解決しろ」というのを求めない問題は出ないのかな、と思っただけで。
解決してしまったらしてしまったでいいし、そうでなければ考えた事を書け、というくらいで。

224は絞首刑ということで、ファイナルアンサー？

ファイナルアンサー！！！！！！！！！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,,　　　　　　　　＿,,,..--──＝=--
　　　　　　.　　 _,-─‐"─￣￣─...-──'''￣,.--─‐''""￣,.--─‐''""￣
.　　　　　　-‐''"..─‐( ,ﾉ.‐‐'''''"￣￣""''─､＿,,,..-‐'''""~~￣
　　 ,-‐'"~,..‐'"　　　( ,ﾉ
‐'"~,,-/"　　　　　　( ,ﾉ
　　　　　　　　　　　 ( ,ﾉ
　 　 　 ＜~＼＜~＼( ,ﾉ
　　　　 ／￣￣￣　( ,ﾉ
　　　 /　　　　　　　( ,ﾉヽ
　　　/⌒　 　　　　（ ｙ） |
　　　|（◯）　　　,γ,つつ )）
　　 /　　　　　γ',ノ　　　　ヽ
　　/　　　　 ,r'',ノ　　　　　　 |
　 .{　　　　,,( ノ''　　　　　　　 |
　　ヽ、__,,,( ﾉ'　　　　　　　　　 |
　　　　　　/　　|　　　　　　　　 |
　　　　　　|　　|　　　224　　 　 |
　　　　　　し,,ノ　　　　　　　　　|
　　　　　　 !　　　　　　　　　　/
　　　　　　 ヽ、　　　　　　 | |/
　　　　　　　　ヽ、　 、　　,,| |
　　 　　　　　　 |　　 |　　 |'| |
　　　　　　　　　|　　 ）　　）| |
　　　　　　　　 （＿_ノ＿ノ |'|'|

c^2=a^2+b^2
a=csinα、b=ccosα　とおく
cが5以上の素数である場合･･･�@
sinα=3/cを満たすαが存在すればa=3となりaも素数となる
このαは�@を満たすすべてのｃに対し存在するので
a,cの2つとも素数になる組み合わせは無限に存在する

っていうのは駄目かな？

お、いいのでは。聞いてみれば簡単。
数オリ的な良問に思える。

>>228
cosα=b/c,b∈自然数とは限らないよ。

0<α<Π/2においてって書いておけばOKかな？

一辺の長さが１の正方形の紙を１本の線分に沿って折り曲げたとき二重になる
部分の多角形をPとする。Pが線対称な五角形になるように折るとき、Pの
面積の最小値を求めよ。

↑東工大だな

スタートからｎマスでゴールするすごろくがある。さいころを振って出た目の数だけ進めていくが、
ゴールする際は、必ず出た目ちょうどでゴールに着かなくてはならず、出た目の数が大きすぎた場合は
多い分だけ戻ることとする。

例：ｎ＝４の場合
スタートでさいころを振って６が出た場合、２だけ多いので、ゴールから２マス戻って４のマスの位置に来る。

ｘ回目でちょうどゴールに着くとした場合、E(x)をｎを用いて表せ。

ただしｎ≧３とする。

age

＞228
三角関数使う必然性がわからん

>>237
他の方法でといてくれ

（＾＾）

いろんな方法で解きましょう！

This is test

よく考えたらよー
いろんな方法で解くって問題を２どたのしめるじゃん
おいしいじゃん

ところで2度楽しむのと
別の問題をもう１だいやるの
教育っていうか脳って言うか
どっちが頭にいいのかな？

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/enkop.htm
大学院生の友達がやってみてできんかったんだけどどうなの？
当然俺もできんわけで。コタエが気になる。
ちなみに俺は出題者じゃない（一応）。

>>78 の問題の拡張。


素数ｐをとる。自然数ｎにたいし、ｎの素因数分解にあらわれるｐの
数をε(n)と表記する。
このとき、
lim[n→∞]ε(n!!)/n
をもとめよ。

ちなみに
p=2のとき、1
p=3のとき、1/4
p=5のとき、1/8
p=7のとき、1/12
p=11のとき、1/20

予想だけならすぐにできそうかな？
一応解答は出しましたんで暇があればどうぞ。

ε（１／２（ｐ−１）に決まってんだろｳﾞｫｹ!!!!）／１／２（ｐ−１）に決まってんだろｳﾞｫｹ

ε（１／２（ｐ−１）に決まってんだろｳﾞｫｹ!!!!）／１／２（ｐ−１）に決まってんだろｳﾞｫｹ

俺かよ

ε（１／２（ｐ−１）に決まってんだろｳﾞｫｹ!!!!）／１／２（ｐ−１）に決まってんだろｳﾞｫｹ　　

>>249 は
lim[n→∞]ε((n^2)!!)/2^n
でも求めててください。

???

f(x)=∫[0→π/4]|sinx-tcosx|dx
の値を最大にするtの値を求めよ

>>252
f(x)ではなくてだな、f(t)。

>>252
求めたいのは最小だろ。この関数は上限ないぞ。

>>253-254
すいません、慌ててました

>>252
t=1/√7であってる？
自信無いな

>>256
あってる

もうすぐ入試だね、私立は大体終わったが。
ここから問題出るかな？

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e>2.7
を証明せよ

実際はどうだったの？

http://chekina.hp.infoseek.co.jp/updir/damashie.gif

＞＞261
(1+1/n)^n→e (n→∞)によってeを定義するときは、
(1+1/n)^nがnについて単調増加であることをいって、
n>=100くらいで(1+1/n)^n>2.7になることを示せばよい。
e=Σ_{n=0}^{∞}1/n!で定義するときは簡単。
a^xのx=0における微分係数が1になるようなaとして、eを定義するときは、
e=lim_{n→∞}(1+1/n)^nを示して、上記のようにすればよい。
とにかく、eをどう捉えるかによる。

円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

（x+1)dy+(y+2)dx=0

を、解きなさい♪

>>266
ふつうに変数分離形にできます。

ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し、
表を見ないで箱の中にしまった。
そして、残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、
３枚ともダイアであった。

このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか

答えは1/4？10/49？

>>266
両辺をdで割って
(x+1)y+(y+2)x=0
2xy+2x+y=0
y=-2x/(2x+1)
これでいいのかな？

>266
正解！！！！

>269
ごめんなさい。大学受験レベルじゃぁ、解けないんだこれｍ（＿＿）ｍ

>268
え〜久々にやったら、激しい答えになりましたよ。なんで？誰か指摘して

箱の中にしまうカードが、ダイア以外のとき
１３／５１＊１２／５０＊１１／４９＝２８６／２０８２５

箱の中のカードが、ダイアの時
１２／５１＊１１／５０＊１０／４９＝１３２／１２４９５

違った？だめじゃん俺・・・

>>270
メル欄見れ
y=C/(x+1)-2

それとも釣られたのは俺の方？

>>268
カードを戻すってことは独立試行だから
1/4でいいんじゃない？

すいません。きちんと読まずに書き込みました。
夜にきちんと答え出します。

やっぱり10/49じゃないかな？

>>275
わかんないです
答えは10/49なんですけどね
どー考えても1/4になる・・・

>>276
どう考えてんだよ

袋の中には赤、青、白、黄色の玉が入っている。
一個見ないで取り出して、ポッケに入れた。
２個取り出したら赤と白だった。
ポッケの中身が黄色である確率は？1/4でつか？

この問題方々で見る罠
条件付確率できちんとしれば問題ナッシング

>>279
ほんと？

（＾＾）

三角形ＳＥＸがあります。内接円の中心がＲのとき。それぞれの辺と内接円との接点を順番にＦＥＡととる。
凹四角形ＦＥＲＡのくぼみにちょうどおさまる長方形Ｐの長いほうの辺の長さの平均が１３センチである。
このことを証明せよ

こんな問題解けなくても、教科書の問題を完璧にできればどこでも受かる。

>>283
Eが２つありますが

二年前に立てたこのスレまだあったんですか・・・。
数学板によく出没し、数学に慣れ親しんだおかげで、
東大入試本番では数学5完1半をたたき出し見事東大理三に合格、
4月からは二年生になります。その節はありがとうございました。

>>246
Study Bayes.
Prior is 1/4, while posteria is 10/49.
Prior hypothesis was changed by experimental data.

not 246, but >>268...

761 名前： 名無し因果応報 ◆GOthLouM [sage] 投稿日： 02/10/01 03:26 ID:???
>758
くはははははははっ!!　効いたろう!!　歌詞をコピペしてやろう、くたばるがいい!!

放課後の体育倉庫に　突然呼び出されて（みたら） お兄ちゃんったら　も・う・エッチ！
「それじゃ舐めてみてね」　なんて言われたら 困って恥ずかしくて　視線逸らしちゃう
【千夏】『こんなの、ボク恥かしくて出来ないよ、兄ぃ……』
呆れちゃう　お兄ちゃん　いつもエッチばかりね　私の気持ちなど　おかまいなしなのね
女の子だってエッチなの　弄られたら堪らないの
【ななる】『ふあぁん……お兄たん、ブルマの上から擦っちゃいやぁん』
恥ずかしいレッスンね　ブルマを引っ張られて あそこがくいこんで　我慢出来ないダメなの
私達お兄ちゃんの為なら　どんな事してもいい 好き　好き　愛してるよ
【彩】『私、お兄ちゃんだったら……いいよ？』
ホントは気持ちいいのに　素直にそれが言えない（なれない）この気持ち　ダメね　分かってくれない
放課後の体育倉庫は　私達とお兄ちゃん（だけの） 秘密の場所ね　くいこみ・レッスン！
【千夏】『ねえ、兄ぃ……そんなに、ボクとＨしたいの？』
お兄ちゃん　夢中だね　エッチな指でぷにぷに♪ あそこを擦られて　クチュクチュしちゃって濡れちゃう
私達お兄ちゃんの為なら　凄い事してもいい もう　だめ　たまらないの
【ななる】『お兄たぁん……ななる、もうダメぇ……！！』
切ない心と身体が　私を夢中にしちゃう（させちゃう）この気持ち　いつか　伝えてみせるの
だから気づいて欲しいな　湧き上がるこの lovely heart（好きよ） 疼いちゃうのは　心も一緒！！
私達お　兄ちゃんの事　だけが　好きなのよ 本気なの　ねえ　ねえ　答えてねえ？
【彩】『私、本当は……お兄ちゃんの事……』
勇気を出して伝えたい　だけど言葉に出来ない（言えない）臆病ね　だから　恋が未完成
そんな事も忘れちゃいそう　感じ過ぎてダメなの（いいの）優しく挿・れ・て　お兄ちゃん
こんな私だけど　言って欲しいのよ　お兄ちゃんの口から 「好きだ、愛してる」って

>>289
この前聞きました。音楽は芸術だね。

なんで条件付き確率の問題はレス数がふえるんだろ。
♪なんでだろ〜、なんでだろ〜

（＾＾）

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

２年。

ほしゅったらあげろ！

4

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

13

ｶﾞｲｼｭﾂだったらゴメンね。

連分数展開を利用して√２の近似値を求める、なんてのはどうですか。

誘導（(1)で1/(1+1/x)などの計算、(2)で具体的な有理数の連分数展開、
(3)で√２を少しやってみせて、(4)で不等式による評価）をつけることを前提に。

使う知識は、有理式の計算と平方根の有利化なので文系数学でも可能。

10

もうないのかな〜？期待age

25

10

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

8

立方体の頂点から任意に３点選ぶとき
その３点を頂点とする三角形の面積の期待値を求めよ

2

>>286
特定されるんじゃ＞1、まあ名誉なことだけど。

現役受験生のために、東大入試レベルの問題を6問セット（150分）で作ってください。

>>312よ。

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.

>>314よ。

2

二年二百九日十六時間二十三分。

10

954

16

>>301
詳細きぼん

182

保っ守

やべー
二次試験まで数�VC間に合わないかも

290

(・∀・)age!

889

>>310
たぶん大丈夫でしょう・・・。
おかげさまで４月からは３年生になる予定です。
月日の経つのは速いものです・・・。

126

650

184

三年。

ほしゅったらageろ！

【問題】cos(π/7)*cos(2π/7)*coc(4π/7)の値を求めよ。

【解答】
A = cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)
とおいて両辺に sin(π/7) を掛けると

sin(π/7)*A
=sin(π/7)*cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)
=(1/2)sin(2π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)
=(1/4)sin(4π/7)*cos(4π/7)
=(1/8)sin(8π/7)
=-(1/8)sin(π/7)

となる。よって A=-1/8。

技巧的過ぎる上にすぐ思いつくﾔｼにとっては分量不足、悪門

>>286
この板で数学に慣れした死んだっていうのは本当だね。
自分もこの板でだいぶ数学缶が変わったヨ。
選択公理とか講義で出会うずっと以前から知ってたのは
大きかったなぁと思った。（周りのﾔｼのﾎﾟｶｰﾝぶりに複雑なものを感じた・・・ｗ

>>336
その文章を読んでると、かわいそうになってくる。

問題ｷｳﾞｫﾇ

m,nが正の奇数のとき、Σ[k=1 to n]k^m は nで割り切れることを示せ。

　　　　　　　　　　　　　　 _.. ..‐::´／
　　　　　　　　　　　　　_/::::::::::::/
　　　　　　　　　　　＿/:::::::::::::/　＿＿＿_
　　　　　　　　 ,..::::´:::::::::::::::::::::￣:::::::::::._／
　　　　　　　／:::::::::::::::::|　ヽ､:::::;::::::::::::／
　　　　　　 /:::::::::::::::::::::|´|ヽ　　　|/_:::.::／
　　_ .. -─':::::::::::::::､::|｀'　 　,　　　.!::∠
　　｀''　‐-.._:::::::;-‐､｀（●）　　（●）　|::::｀::-､　　　オッス！オラ悟空
　=ﾆ二::::::::::::::::|６ 　 　＼＿＿_／､｜　-──｀ >>338が悩んでるのを想像すると
　　　　‐=.二;;;;;｀‐ｔ　　 　＼／　　ノ　　　　　　　なんだかすっげえワクワクしてきたぞ！

　　　　　　　　ｒ;;;;;ノヾ　　　　　　 　
　　　　　　　　ﾋ‐=r=;'　 　　 　∬　　 　３日間だけ待ってやる！
　　　　　　　　'ヽ ニ/　　っ━~~　　　
　　　　　　＿と~,,　　~,,,ﾉ_. 　∀　　　
　　　　　　　　　 ﾐ,,,,/~), │　┷┳━　
　　　　　　￣￣￣ .じ'Ｊ￣￣|　┃
　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣ 　┻

mが奇数だから
k^m+(n-k)^m≡k^m+(-k)^m≡0 (mod n)
nが奇数だから
Σ[k=1 to n]k^m=n^m+Σ[k=1 to (n-1)/2](k^m+(n-k)^m)≡0 (mod n)

112

460

237

637

もうこの問題出たかな！？
素数は無限に存在することを証明せよ。

ｶﾞｲｼｭﾂだったらごめん

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

であることを証明せよ。（2000年？　東京大学）

791

>>348
東大って結構糞問題出すよな

加法定理って幾何的な証明でいいのかな

868

>>348
オイラーの定理・・・


だめかな？

172

>>348
行列を使った回転で。

東大はフィボナッチ数列を題材にした問題がお好きなようで、、、。

>353,355
少なくとも高校の範囲では循環証明であり間違いとされます

>>356
某教授の趣味だと思われ．

代ゼミ西岡に「食傷気味」と言われながらも出題を続ける事には
どういった主張が込められているのだろう？

何でロピタル使えんのや

>>359
東大の某教授は
「『知っているものは使ってよい』という事になっている．
但し，使う為の前提（仮定条件）が間違っていたらﾀﾞﾒ」
と明言していた．
その時ロピタルについても確認したので，
少なくとも東大では使用自体は大丈夫だと思われ．

一方，SEG光田は
「０点になるので計算用紙にも残さないように」と念を押していた．
なんでだろ？

710

898

計算用紙まで念を入れてみている暇は無い。
ざっと眺めるだけ。

ロピタルで０点は受験神話
メネラウスで０点は現実

あ

351

551

>>348
外積のような二項演算を定義。
その後、(cosα,sinα),(cosβ,sinβ)に使用すれば終わりだと思われ。

ついでにageておく

宿題の問題が分からなくて聞こうとしている工房のが集まるスレはここですか？

934

FeaturesOfTheGod ◆
は数学板のｴﾑｼﾗ

581

376

なんでメネラウスやロピタルつかっちゃいけないんだ？

アウチ

111

ちゅどーん

駅伝で有名な第一工業大学卒ですが大学時代に大学入試の数学に目覚めました・・・

2001年 平成国際大学(前期) 数学 (4)
　　一辺の長さが1の正方形の紙を1本の線分に沿って折り曲げたとき二重になる部分の多角形をPとする
　　Pが線対称な五角形になるように折るとき、Pの面積の最小値を求めよ

原点中心、1辺の長さが2の正方形を、直線y=tanθ・x(0<θ<π/4)で折り返すことを考える

直線y=-1を折り返したものと、直線x=-1、y=1の交点を、A、B、またC(-1、1)とする
A、Bは(-tanθ/1、-1)を通り傾きtan2θの直線(y=tanθ・xに対してy=-1と対称な直線)と
直線x=-1、y=1との交点である。A、Bの座標は計算とtan2θの公式から求まり
CA=2tanθ/(1+tanθ)、CB=1-tanθ、OBとy=tanθ・xは垂直がわかる

一方、直線y=tanθ・xと直線x=1の交点をD(1、tanθ)、直線x=1を折り返したものと直線y=1の交点をE
F(1、1)、とすると角EDF=2θ、FE=1-tanθより直角三角形△ABCと△EDFは合同

あとは□OBEDともう一つの四角形のそれぞれの角を調べて五角形がOBに対して線対称を示す

また△ABCの面積はtanθ(1-tanθ)/(1+tanθ)でtanθ=-1+√2のとき最大値(√2-1)^2
五角形の最小値は4√2-4、最初長さ2倍で考えているから面積は1/4で√2-1が答え

と、ここまでは解けたんだけど
まだ正方形の中心を通らない線分で折り曲げたときは線対称な五角形にならないという証明がわかりません。
手持ちの解答は幾何を使ってるんだけど見てもよくわからない・・・

535

３次元空間において、平面πとｘ軸、ｙ軸、ｚ軸との交点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとする。
条件「πと原点Ｏとの距離は１である」を満たしながらπが動くとき、三角形ＰＱＲの
面積の最大値を求めよ。（軸は互いに直交しています）

228

531

192

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431

269

このスレの連中、東大の院試の問題を全部知っているのか疑問だなｂ

783

271

n≧３のとき
ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n
を満たす自然数x,y,zを求めよ。
x＾nはｘのｎ乗を表す。

>>392
つまんね

ゼータ関数の実でない零点の虚部は1/2であることを示せ。

>>394
反例が挙がる罠

・・・もしかして釣られた？

262

274

Aは２行２列の行列。
固有値pに対する固有ベクトルの一つをu、固有値qに対する固有ベクトルの一つをvとする。
uとvの内積をu･vと表しAの転置行列をBとすると

(Au)･v=u･(Bv)

であることを証明せよ。

即出だと思いますが

だなたか証明してください。

よろしくお願します。

>>398
マルチで荒らすな、恥知らず。

400ツモ

こんな所でツモるな

564

239

こんな問題が入試に出るの？
諦めて別の進路進もうかな・・・

ロピタルで0点はわからなくもないことはないけど、
メネラウスで0点はありえないっしょ。
メネラウスは平面幾何の範囲に一応入ってるし。

648

確認したので

305

>>392
すいません。
２か月ちかく考えてますが
どうにもわかりません。
（頭が悪い、、、）
ヒントだけでも教えてください。

>>409
答えは1
ｘ＝ｙ＝ｚ＝１

>>409
ネタにマジレスしてしまい大変すまないが

n≧３のとき
ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n
を満たす自然数x,y,zは存在しない。

というのが有名なフェルマーの大定理だ。
知らなかったらググって知っとけ。

>>411
ありがとうございます。

（ ﾟ∀ﾟ）ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

n≧2のとき
ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n
を満たす成分が整数の2次の正方行列x,y,zを求めよ。
x＾nはｘのｎ乗を表す。

aij=(dij)p^1/n

>>414
葵玲のホームページに書いてあったような気がする。

312

366

１、A、B、C、D、E、Fの６チームがあり、それぞれのチームは他のチームと1試合ずつ試合を行う。
　各試合において、両チームの勝つ確率は1/2で、引き分けは無いものとする。
(1)6チームの勝ちが全て異なる確率
(2)A、B、Cの3チームがともに4勝1敗となる確率
(3)4勝1敗のチームがちょうと3チーム現れる確率

２、2つの数列の関係式
　　a(n+1)=(4a(n)+b(n))/6
b(n+1)=(-a(n)+2b(n))/6
を満たしており、a(1)=1,b(1)=2である。
(1)4a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0を満たすことを示せ。
(2)数列｛2^n×a(n)｝は等差数列であることを示せ。
(3)a(n),b(n)の一般項を求めよ。

３、xy平面において、x≧0、-x^3≦y≦x^3なる範囲にある格子点全体の集合をSで表す。
(1)Sに属する格子点でx座標がmであるもののうち、最下端から数えてN番目にあたるもののy座標をm、Nを用いてあらわせ。
(2)Sに属する格子点（m,n）は、x座標がmであるもののうち最下端から数えて何番目になるか、m,nを用いてあらわせ。
(3)mを正の整数とするとき、Sに属する格子点でそのx座標がm-1以下のものの総数をmの4次式で表せ。
　（ここで、正の整数nに対して、証明をしないといけないところがありますがそこは省略して結構です。）
(4)Sに属する格子点全体に次のような順序で通し番号をつける。
　格子点(0,0),(1,-1),(1,0),(2,-8),(2,-7),…,(2,7),(2,8),(3,-27),…に対して、それぞれ、1,2,3,4,5,6,…
のように、x座標が小さいほど小さい番号をつけ、x座標が等しいときは、y座標小さいほど小さい番号をつける。
このとき、Sに属する格子点（m,n）の番号をm、nを用いてあらわせ

計算過程も含めてよろしくお願いします。

856

>>347
素数は無限に存在することを証明せよ。

素数が有限であると仮定する
最大の素数が存在し、その数をnとおくと
(n!-1)はnまでの数で割り切れないので素数となる。
(n!-1)>nであるのでnが最大の素数である事に矛盾する。

でいいのかな？

＞(n!-1)はnまでの数で割り切れないので素数となる
ここがよーわからん。素数の定義はなんでしたっけ。

>>422
小学校に戻れ！

戻るのはおめーだ

どうも素数の問題は大学生以降でないとまともに議論の出来ない人が多い。
こんなことを高校以下でやるのもまた問題かもしれないが。
さて問題。2以上の整数nがある素数で割り切れるのは何故か？
nはnで割り切れる。よって、2以上の整数でnを割り切るものの最小という整数mが存在する。
そのmが合成数であり、2以上の二つの整数a,bでm=abとなると仮定すると、
a<mであり、nはaで割り切れてmの最小性に反する。
よって、mは素数である。
要するにだ、素数の最大がnであると仮定するとき、n!+1を割り切る素数がnより大きい、と言えばいいのだ。

というか、ただ単に、n!+1を割り切る素数が存在し、それはnより大きいとだけ言えば十分だな。

進んでないな

>>425-426　お前誰だよ？
数板住人は死ね、くたばれ、消えろ、潰れろ、馬鹿、あほ、間抜け、ドジ、 ガラクタ、クズ、最低以下の下劣、下等種族、下衆野郎、 腐れ外道、
邪道、外道、非道、ウジ虫、害虫、ガン細胞、ウィルス、ばい菌、疫病神、 病原体、汚染源、公害、ダイオキシン、有毒物質廃棄物、発ガン物質、猛毒、毒物、
ダニ、ゴキブリ、シラミ、ノミ、毛虫、蠅、掃き溜め、汚物、 糞、ゲロ、ほら吹き、基地害、デタラメ、穀潰し、ろくでなし、夏厨、ヤクザ者、社会の敵、犯罪者、反乱者、前科者、
インチキ、エロ、痴漢、ゴミ虫、毒虫、便所コオロギ、詐欺師、ペテン師、危険分子、痴呆、白痴、 悪霊、怨霊、死神、貧乏神、奇天烈、変人、
毒ガス、サリン、糞豚、邪鬼、クレイジー、 ファッキン、サノバビッチ、小便、便所の落書き、不要物、障害物、
邪魔者、不良品、カビ、腐ったミカン、腐乱、腐臭、落伍者、犯人、ならず者、チンカス、膿、垢、フケ、化膿菌、放射能、放射線、異端者、妄想、邪宗、異教徒、
恥垢、陰毛、ケダモノ、監獄、獄門、さらし首、打ち首、戦犯、絞首刑、斬首、乞食、浮浪者、ルンペン、不良品、規格外、欠陥品、不要物、
埃、塵埃、インチキ、居直り、盗人、盗賊、残酷、冷酷、薄情者、クソガキ、ファッキン、有害物質、 発ガン物質、誇大妄想狂、アホンダラ、怠け者無能、無脳、
脳軟化症、思考停止、人格障害、極道息子、見栄っ張り、不良、イカレ、狼藉者、放蕩息子、道楽息子、迷惑、厄介者、異端者、タリバン、オサマ・ビン・ラディン、テロリスト 、
チェチェン、嘘つき、不正、叩き上げ、ケチ、裏切り者、ムネヲ、抵抗勢力、悪性新生物、原爆を落とした奴、アルカイダ、宮崎勤、吉岡（旧姓：宅間）守、朝鮮将校、乞食、
知覚的障害者、邪教祖、DQN、覚せい剤、エイズウイルス、SARS、テロリスト、荒らし部隊、アーレフ（旧：オウム真理教）、精神年齢3歳、3審は必要なし、
金正日、宇田川慶一、放射性廃棄物、血歯死者、廣嶋死者、パナウェーブ研究所、
あの1１歳の少女以下の知能、国民の資格なし、白血病の原因、ハイブリッドカーの排気ガス、IQ10！
そして、この板に書き込む権利も価値もないクズ

Re:>428 早く消えろ。

886

163

問題
xの３乗＋６ax＋８aの３乗−１　　これ因数分解して

>>414
二次体の整数で非自明解があるから
行列表示すれば正則行列解が得られる。

入試問題あげてみます
前半は簡単だけど後半むずい
http://read.kir.jp/file/read4236.png

見れないと思いますのでこちらをどうぞ
http://www2.ocn.ne.jp/~y2knen/1.PNG

四年六時間。

age

>>435
名工大の編入試験？

508

269

√(441) = 21

>>432
二つ目の三乗は8には掛かってないよな？
俺は(x+2a-1)(x^2-2ax+4a^2+x+2a+1)まで行ったけど、ここからどう進めばいいのかわからん

636

193

1

age

501

age

195

506

609

773

398

658

Ｙ＝x*ｅ＾（−x）*sin（x）とx軸との間で囲まれた部分を
x軸の周りに一回転させる。
この時できる立体群の体積のうち、x＝（n−1）πとx＝nπ【n=１、２、・・・・・】
の間の立体の体積をＶ（ｎ）とする。
（１）Ｖ（１）を求めよ。

（２）Ｖ（ｎ）を求めよ。

（３）ｌim【n→∞】ΣＶ（k）［k＝１→k＝n］を求めよ。

関数Ｙ＝１/Ｘに於て、区間１から２までの間をn等分する。
（１、１）をａ（０）、そこから１/nずれた関数上の点をａ（１）とし、
以下任意の整数k（０≦k≦n）に対し、（１+k/n、１/（１+k/n））
をａ（k）とする。
そして原点、ａ（k）、ａ（ｋ+１）で囲まれた三角形の面積をＳ（k）
とする。
(1)
この時lim（n→∞）ΣＳ（k）（k＝０→k＝n-１）を求めよ。
(2)
(1)で求めた値をＴ１とし、∫【1→２】（1/x）dx＝Ｔ２とする。
Ｔ１/Ｔ２を求めよ。

以下の規則で数列を定める。
初項をＡ１とし、２以上の自然数ｎに対し
Ａ（ｎ+１）＝ｎ*Ａ（ｎ）/e＾nの漸化式を満たす数を次項とする。
この時lim（n→∞）Ａ（ｎ）を求めよ。

∫０→１（ｅ＾x＾n/（1+x＾n））dx＝Ｐ（ｎ）とする。
ｌｉｍ【ｎ→∞】Ｐ（ｎ）を求めよ。

（X＾2006/2006！）*（ｌｏｇX−Σ１/K【K＝１→K＝2006】）
の第2006次導関数を求めろ。


>>458
1以上の間違いだと思う。

∫（ｌｏｇ（x））＾ndxを求めよ。

lim∫(1-x^n)^1/ndx [x:0->1][n:1->∞]

x=cost^2/n
(1-x^n)^1/n=sint^2/n
dx=-(2/n)cost^(2/n-1)sintdt
-(2/n)(costsint)^2/ntantdt
-(2/n)((e^2it-e^-2it)^2/n)(e^it-e^-it)/(e^it+e^-it)/i(4i)^2/ndt

(1-x^n)^1/n->1
lim∫(1-x^n)^1/ndx [x:0->1][n:1->∞] ->1

五年二時間。

>>466
それがどうした？ あ？

age

n-1Cr-1+n-1Crを階乗記号で表し計算して、nCrの階乗記号に状態にしてください。
途中式も書いてください。

>>469
記号の書き方を勉強してからくるんだな。
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

どのようにだい？

>>469
してるやん。

だよな

x^8＋x^4＋1の因数分解をしてください

talk:>>474 これを四次式の積にするにはどうするか？(x^4+ax^2+1)(x^4+bx^2+1)あるいは(x^4+ax^2-1)(x^4+bx^2-1)の形になりそうだ。

talk:>>474 [>>475]のように考えるのはあまり良くない？

476普通に因数分解してくれ

>>474
等比数列の公式
=(1-x^12)/(1-x^4)
=(1-x^3)(1+x^3)(1+x^6)/{(1-x^2)(1+x^2)}
=(1-x)(1+x+x^2)(1+x)(1-x+x^2)(1+x^2)(1-x^2+x^4)/{(1+x)(1-x)(1+x^2)}
=(1+x+x^2)(1-x+x^2)(1-x^2+x^4)

571

持ち込み可能で解答時間が長時間の大学入試は存在しますか？

x^8＋x^4＋1
=x^8＋2x^4＋1 - x^4
=(x^4+1)^2 - x^4
=(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)

>>481
無いけど、確か名古屋大学？は｢公式集｣を配布してくれたはず

202

ラジウムは放射線を出しながら崩壊していくが、その崩壊の速さは
残存しているラジウムの量に比例するという。ラジウムが１６００年の間に
最初の量の1/3になるとすれば、次の1600年間にはどれほどになるか。
また最初の量の1/2になるにはどれほどの時間を要するか。
って問題の解き方を教えてくださ〜い。

talk:>>485 時刻tに対するラジウムの量をxとすると、dx/dt=-cxとなるから、xは指数関数になる。

>>486
N(t)=N(0)*(1/3)^(t/1600)
次の１６００年後（計３２００年後）は

N(3200)/N(0) = (1/3)^(3200/1600)
= 1/9
最初の量の1/9

1/2 = N(t)/N(0) = (1/3)^(t/1600)
log2 = (t/1600)*log3
t = 1600*{(log2) / (log3)}
常用対数でいいからlog2 , log3調べろ

あとは自分で計算しろ。どあほ。

すいません、編入学の為に大学数学を頑張ろうとしてる1年ですが
何かお勧めに参考書ないですか？
高校では極々普通の成績でした・・・。
ひらめきみたいなもんは備わっていません

>>488
おまいさんの学力、どこからどこへ行きたいのかなど、ある程度さらしてくれないとアドバイスできない。

>>489
えっとセンターは数学160でした
んで今は首都落ちて長崎に行ってます。
研究がしょぼいので農工に行きたいです。

五年七十四日。

age

148

今年の予想問題求む

殺されたうまこの遺体のつめ間から、むしりとられた植物片が見つかった。
Ｃ１４で犯行時刻を推定すること。

Xn乗＋Yn乗＝Zｎはn＞2のとき自然数解を持たない

証明して

反例　n=3のとき、x=3,y=3,z=18

>>459が新手の顔文字に見えたヤシ

age

1889703126568847810808766381
を因数分解してください

7*149*241*17383*39191*590321*18693599

それじゃ289308176100628931の素因数分解をお願いします

289308176100628931
100桁くらいの数でなきゃ、それほど手間はかからんよ。

電卓で１より大きい数を入力したあと、
√のボタンをバシバシ押し続けるとやがては１になることを証明しなさい。

テーラー展開

頭いいね、けど、大学入試で高校生はテイラー展開つかわないよ。

各科とも100点満点(1点未満の端数をつけない)の
A,B,Cのの3学科の試験において、
(1)合計得点が200点であるような成績表は何通りあるか？
(2)各科の得点に40点未満のものがないとき、
　合計得点が200点であるような成績表は何通りありうるか？

ある撮影があり
撮影時間は１０分
カメラマンと女優は
撮影場所とは違う
部屋に待機していて
カメラマンと女優共に
その内の一分しか
撮影場所に入れず
どちらも相手がいつ
撮影場所に来るか
わからない時
カメラマンが一秒以上
女優を撮影出来る
確率は？

17／81

>>504
1 より小さくても正ならいいやねん

数学で微積以外の重要分野はどこですか？

>>507
(1)合計点が100点の場合の数と等しい。
これは、「○」100個と「｜」2個の並べ方であり
102!/(100!*2!)=5151
(2)(1)のうち40点未満の科目がある場合の数を数える。
40点未満の科目は高々1個であるから、科目Aがｎ点
（0≦ｎ≦39）であるとしてよい。
このとき他の2教科の点をx,yとすると
x+y=200-ｎ 0≦x≦100　0≦y≦100
これを満たすx,yの組はn+1通り
だからn=0から39まで足すと820通り
どの科目が40点未満かで3倍して2460通り。
5151-2460＝2691（答え）　

>>509

正解は13/81らしいんだけど…

17/81じゃないの？何で？？

>514

じゃあなぜ17/81になるのか説明してくれ。

>>508
マルチ＆回答済み

いや回答済じゃねーだろw

(1)1円玉,5円玉,10円玉を使って
10n円(nは自然数)をつくる。それぞれ何枚でも使っていいものとすると
何通りできるか?

(2)1円玉,5円玉,10円玉,50円玉を使って
2500円をつくるときは何通りか?

tan1ﾟは有理数か
(京都大理系)

tan1ﾟは有理数か
(京都大理系)

↑連スレｽﾏｿ。操作ミスですた

>>520
tan1°が有理数と仮定すると、
tan(1+1)°,tan(2+1)°,‥,tan(29+1)°
も有理数だがtan30°=1/√3より、不適

なるほど

m,n,kは整数とする。
(1)(1+x+x^2+x^3)^3を展開したとき、x^3の係数を求めよ。
(2)(1+x+x^2+x^3)^3を展開したとき、x^4の係数を求めよ。
(3)n≧1、0≦k≦mとする。
(1+x+x^2+‥‥+x^m)を展開したとき、x^kの係数を求めよ。

a,b,cを正の数とする。�僊BCの内部の点ＰがaＰＡﾍﾞｸﾄﾙ＋bＰＢﾍﾞｸﾄﾙ＋cＰＣﾍﾞｸﾄﾙ＝０ﾍﾞｸﾄﾙ
を満たしているとき、�儕BC:�儕CA:�儕AB=a:b:cとなることを証明しなさい。

失礼、524問題間違えた。

(3)n≧1、0≦k≦mとする。
(1+x+x^2+‥‥+x^m)^nを展開したとき、x^kの係数を求めよ。

>>519
tan(44゜＋1゜)ときは？

>>527
論理というものがわかっとらんね。
数Ａの教科書よく読んで出直してこい。

tan1°が有理数と仮定すると、
tan(1+1)°,tan(2+1)°,‥,tan(29+1)°
も有理数なの？

いやいやお前が分かっとらん！背理法分かってないのきみやで

等面四面体の合成条件教えて下さい☆

ごめん言葉が悪かった
tan1°を有理数と仮定するとtan(1+1)°も有理数って論理展開おかしくない？
ある関数f(x)でf(1)が有理数だからf(1+1)も有理数って普遍的に成り立つ事なの？

かほうていり

だってQ/Qって必ずしもQじゃないじゃんー

ごめん意味わからんこと書いた…

>>527>>529>>532>>534
バカ

>>524
3つの因数から順にx^p[1],x^p[2],x^p[3]を取り出す
(1)P[1]+P[2]+P[3]=3,0≦p[1],P[2],P[3]≦3なので
重複組み合わせと同じ、5C2通り

(2)P[1]+P[2]+P[3]=4,0≦p[1],P[2],P[3]≦3
この条件が0≦p[1],P[2],P[3]≦4のとき、6C2通り
(P[1],P[2],P[3])=(4,0,0),(0,4,0),(0,0,4)のときを除いて
15-3=12通り

(3)P[1]+P[2]+…+P[n]=k≦m
0≦P[i]≦mを満たすので
(n+k-1)Ck=(n+k-1)!/{k!(n-1)!}通り

>>518
(1)10円玉をk枚用意する.
残りの10(n-k)円を,5円玉1円玉で補充するとき
5円玉の数は、0枚,1枚,2枚,・・・,2(n-k)枚
の2(n-k)+1通り、5円玉の枚数が決まれば、1円玉の枚数も一意に決まる。
∴Σ[k=0,n]{2(n-k)+1}=(n+1)^2通り

(2)50円玉を50-k枚用意すると,50円玉で2500-50k円つくれる。
残りの50k円を1,5,10円玉で補充するので、(1)より(5k+1)^2通り
∴Σ[k=0,50](5k+1)^2=1085926通り

加法定理を証明せよ

>>539
sinαcosβ+cosαsinβ=(sinα,cosα)*(cosβ,sinβ)=1*1*cosθ
θは(sinα,cosα)と(cosβ,sinβ)のなす角
単位円上で、αはy軸から時計回りに動く角,βはx軸から反時計回りに動く角
よって、θ=l(π/2-α)-βl
∴sinαcosβ+cosαsinβ=coslπ/2-α-βl=cos(π/2-α-β)=sin(α+β)

α=α'+π/2と置き換えればcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβを得る。

楕円関数の加法定理が三角関数で証明できるのか

>>540
おー、感動した。

>>541
スレ違い

そうそう。しかし、確率の加法定理が三角関数で（ry

一辺が　a　の正三角形△を張り合わせて

球を作ることにした。

限りなく球に近くなるようにしたい。

すると、その球の体積はいくらになるか。

ただし、その正三角形の厚さはゼロとする。

頭悪いな。無理。

中国学科教員　問題言動集

Ｎ．Ｓ教授・・・・・授業中に、
　　　　　　　　　　「人間は働かなくても生きていける」
　　　　　　　　　　「（自分のことを棚に上げて）中国語学科の学生は常識が無さ過ぎる」
　　　　　　　　　　「（上に同じく）教育学科の学生はロリコンだらけ」
　　　　　　　　　　「一般教養など必要ない」
　　　　　　　　　　「セクハラというものはその行為を行う本人に悪気が無ければセクハラには当たらない」
　　　　　　　　　　「大学教授は世間を知らなくて当たり前だ」
　　　　　　　　　　ｅｔｃ迷言多数
Ｗ．Ｙ教授・・・・同じく授業中に、
　　　　　　　　　　「第１２３代天皇は精神異常者」
　　　　　　　　　　「Ｎ．Ｋ（Ｄ大名誉教授）、Ｆ．Ｎ（Ｔ大教授）、Ｓ．Ｔ（元Ｇ大教授・故人）、Ｈ．Ｉ（元Ｎ大教授）、
　　　　　　　　　　　Ｉ．Ｓ（芥川賞作家・都知事）、Ｋ．Ｙ（妄想漫画家）は人間のクズ」
　　　　　　　　　　「金持ちへの税制優遇をやめて税金をできるだけ多く巻き上るべきだ」
Ｙ．Ｙ助教授・・・・退学願を提出した学生に対して、
　　　　　　　　　　「私の言う通りに行動すれば、君の要求が通るように私が裏で話をつけておいてあげよう」
　　　　　　　　　　という内容の取引を持ち掛けた。

以上のように、中国学科はキ○ガイ教員の巣窟です。
これから大○文化への入学をお考えの皆さんは、
中国学科にだけは絶対に出願をしないようにして下さい。

a,bを実数の定数とする。P(a,b),Q(2a,2b)を
端点とする線分PQ(端点含む)が放物線:y=(x-1)^2+1と
相異なる2点を共有するとき、点(a,b)の存在する領域を求めよ。

任意の正の実数x,yにたいして
(x+y)^3≧ax^2yがなりたつようなaの範囲を求めよ。

変数x,y,zはx+y+z=3n+1(nは3以上の整数)を満たす
正の整数である。
(1)このような(x,y,z)の組の個数を求めよ。
(2)x^2+y^2+z^2の最小値を求め、この最小値を
　mとおいたとき、不等式m≦x^2+y^2+z^2≦m+2を満たす
　(x,y,z)の組の個数を求めよ。

空間にn個の点が与えられている。また、これらの点を始点、
または終点とするいくつかのベクトル
a[1]↑,a[2]↑,‥,a[k]↑が次の規則(i),(ii)を満たすように
与えられている。
(i)a[i]↑(i=1,2,‥,k)はどれも0↑ではない。
(ii)n個のうち任意の点Pについて、Pを始点とする異なるベクトルが
　a[1]〜a[k]のうちにm(1≦m≦n-1)個以上ある。

このとき、a[1]〜a[k]の中から異なる(m+1)個以上のベクトルを選んで
その和を0↑にすることができることを示せ。

数学板で2番目に古いスレでiを叫ぶ

age

出題者として、これからいくつか問題を出していきますから、解いてください。

中学生でも解ける問題です。

『問１』

まず、下の図を見てください。

http://photos.yahoo.co.jp/ph/nen_kingkong/vwp?.dir=/811c&.src=ph&.dnm=d8de.jpg&.view=t&.done=http%3a//photos.yahoo.co.jp/ph/nen_kingkong/lst%3f%26.dir=/811c%26.src=ph%26.view=t

図のように、・横　　　　３　
　　　　　　・高さ（縦）５
　　　　　　・奥行き　　６
の直方体があります。この直方体のＡ点からＢ点までの最短距離を求めて下さい。
　
但し、最短距離は、内部を通らず、この直方体の表面を通って下さい。

答えは数値のみでよいです。（解き方、解答方法はまだ提示しない下さい。）

では、皆様！お願い致します。

age

>>555
さっさと病院行け池沼が

>>555
もうこなくていいよ

ｘ＾３−３ｘ＾２＋３ｋｘ−１＝０が虚数解を２つもつとしたら
このとき、ｋの範囲はどうなるんですか？
それに、絶対値が２の解を上の方程式がもったら、ｋの値は？

>>>555
でない。

五年百七十四日。

>>561
またお前か！
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

ちょー基礎からわかりやすく細かく説明してある問題集参考書等ありますか？

　
こんなことが許されていいのか？！！！



■■■■ 虚 偽 の 調 査 書 で 推 薦 入 試 に 大 量 合 格 ■■■■

佐賀９校２６４人の調査書虚偽 ６６人すでに合格や就職内定 (共同通信)
http://news.www.infoseek.co.jp/search/story/28kyodo2006102801000446/%25BA%25B4%25B2%25EC/

必修科目の未履修問題が発覚した佐賀県立高校９校が、生徒計２６４人の調査書に
未履修科目を履修したよう虚偽の記載をし、推薦入試の受験大学や就職希望先の
企業に提出していたことが２８日、分かった。うち６６人は合格が決定、
ないし就職が内定しているという。佐賀県教育委員会によると、９校は生徒が
履修していない科目に成績を付けた調査書を提出していた。
県教委は関係者から事情を聴き調べる。

（関連スレ）【いんちき】これが推薦入学の実態【調査書】
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1162097107/l50



未履修者に対する救済など絶対にしてはならない！！！！！！！

706

↑何の数字？

知らない

素数は無限に存在することを証明せよ

ζ(s)はs=1を1位の極にもつ。
ゆえに素数は無限に存在する。

251

↑何の数字？

俺も知りたい

・引き続く2つの整数の２乗の間には、必ず素数がある

・１より大きい自然数に対し、nと2nの間には、必ず素数がある

・４以外の偶数は、2つの素数の和で書き表せる（６＝３＋３）

・双子素数（３・５、５・７）は無限に存在する


これ証明したら１億円で（（モッテモテ））だってさ
ヘタすりゃ４億稼げる

>>569
ζ(s)=Π[p:あらゆる素数] 1/(1-(1^-s))
　　　　　=�納0〜n〜∞] 1/n^-s

無隋

鯖移転記念

sage

2001年

http://www.mathlinks.ro/Forum/search.php?search_id=egosearch

440

2001年の5月からスレたててまだ1000まで行かないのか…

>>581　問題解くだけで作ったことねーからな
めんどくさいし

＞・１より大きい自然数に対し、nと2nの間には、必ず素数がある
これはずっと昔に証明済みだよな。

半径1の半球の容器にこの容器の容量の半分の水を入れたい。
水面の高さはいくらにすれば良いか。虚数は使わずに表せ。
ただし底面が水平になるように容器を固定するものとする。

このグラフは、ある商品の価格の推移を1994年を100として表したものである。
2000年の価格が2080円であった。2006年の価格を求めよ。
http://imepita.jp/20070402/646540

お願いします

>>585
スレ違い
しかもマルチ

赤いきつね

n^3+n^2+n^1が立方数となる自然数nは存在するか。

>>588
どっかで見た問題だな。

n^3＜n^3+n^2+n^1＜(n＋1)^3

クダラン。

>>590
神！

>>584
2cos 2pi/9

5^nの最高位の数が8となる最小のnを求めよ。

付け加え
log10底の2＝0.3010
log10底の3＝0.4771とする。

>>594
>>1
>>1
>>1

>>590は神様なのか
拝んどこ
パンパン　Kingが氏にますように

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

　

>>590
すげえ！感動した！

600

23^3をもとめよ

>>600
ググレカス
http://www.google.co.jp/search?source=ig&hl=ja&q=23%5E3&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

>559

左辺は
　f(x) = (x-1)^3 - 3(1-k)x,
f '(x) = 3{(x-1)^2 - (1-k)},
　k > 1 のとき f(x) は単調増加、虚数解を2つもつ。　…　(*)
　k = 1 のとき f(x) は単調増加だが、3重根 x=1 をもつ。
　k < 1 のとき x=1-√(1-k) で極大、x=1+√(1-k) で極小。
　　f_max = f(1-√(1-k)) = (1-k){ 2√(1-k) -3},
　　f_min = f(1+√(1-k)) = (1-k){-2√(1-k) -3} < 0,
　　1 > k > -5/4 のとき f_max <0, 虚数解を2つもつ。　… (*)
　　k = -5/4 のとき f_max =0, 2重根x=-1/2 および 単根x=4 をもつ。
　　k < -5/4 のとき f_max >0, 3つの異なる実根をもつ。
以上より、k>-5/4, ただし k=1 を除く。

次のように定義される数列の一般項を求めよ。
a[1]=1,a[2]=2
a[n+2]=2a[n+1]-2a[n]



解　a[n]=2^(n/2)sin(nπ/4)

次のように定義される数列a[n]の一般項を求めよ。
　a[n+2] = 2a[n+1] - 2a[n].


解　a[n] = {2^(n/2)}b[n] とおくと
　b[n+2] = (√2)b[n+1] - b[n] = 2cos(π/4)b[n+1] - b[n].
そこで
　b[n] = c･sin(θ +nπ/4)
とおいて、θとcを決める。
　b[1] = c･(cosθ+sinθ)/√2,
　b[2] = c･cosθ
より
　tanθ = 2a[1]/a[2] -1,
　c = b[2]/cosθ = a[2]/(2cosθ).

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新・学習子鯖作成
共有ソフト「うたたね」に学習用の鯖を作りました。

学習に関する、すべてのものを扱う予定です。（NHK、各動画、テキスト、問題集、その他、、、）

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非公開ですので、ログイン名をこちらで登録します。（以下を見てわかる方ログイン名を送信してください）
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六年。

６年と１１日

>>606-607
おーい！ 我が家のおりこうさん達が、ここでも糞垂れやがったぞ！

1) a,b,c>=0 ab+bc+ca+abc=4 ならば
　a+b+c>=ab+bc+ca であることを証明せよ。
　また等号が成り立つのは、どういう場合か。

2) 1)を用いて次の命題を証明せよ。
a,b,c,d>=0, 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16ならば
a+b+c+d>=2/3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)である。

a=b=c=1

(x^n)'=nx^(n-1)を証明。

ほう

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ >611
　 くく　へﾍﾉ

302

guest guest

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ >>615
　 くく　へﾍﾉ

たけしのコマネチ大学数学科ってさ
何か、たけしのコンプレックスなのかな？

25年位前の神戸大の入試問題に「解なし」が正解の問題があって
物議を醸したそうですが、どんな問題だったのですか。

次の方程式で表されるxy平面上の3直線l_1, l_2, l_3を考える。
l_1 : x+y-1=0
l_2 : x-y+1=0
l_3 : x+k=0
(ただしkは0でない定数)
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）　1次変換fによりl_1がl_2に、l_2がl_3にうつされるとき、この1次変換fを表す行列Mをkを用いて表せ。
（2）　3直線l_1, l_2, l_3でつくられる3角形の重心が、（1）の1次変換fにより原点にうつされるとき、kの値を求めよ。
（82 神戸大）

619が618へのレスとして、レスすると、
1次変換fによりl_1がl_2に、l_2がl_3にうつるので、Mは正則。
よって、(2)のようなことが起こるとすれば題意の重心は原点に他ならない。
この条件でkの値が決まり、十分性をチェックしてみてもおかしくなさそうだが。

あ、すまん。l_2の式の符号を1箇所間違えていた。
重心が原点になることはない。

自分で間違って言うのもなんだが、出題者もl_2の式を
x-y-1=0で考えていたってことはないかな。

次のように定義される数列a[n]の一般項を求めよ。
　a[n+2] = 2a[n+1] - 2a[n].


解　a[n] = {2^(n/2)}b[n] とおくと
　b[n+2] = (√2)b[n+1] - b[n] = 2cos(π/4)b[n+1] - b[n].
そこで
　b[n] = c･sin(θ +nπ/4)
とおいて、θとcを決める。
　b[1] = c･(cosθ+sinθ)/√2,
　b[2] = c･cosθ
より
　tanθ = 2a[1]/a[2] -1,
　c = b[2]/cosθ = a[2]/(2cosθ).


これの詳しい説明頼む。バカな俺は理解できないんだが理解できるようになりたい。

609の答えは？

>>622
そのような置き換えをしたら上手に解けるということが書いてある

p

《�@＝１　�A＝３　�B＝４　�C＝７　�D＝６　�E＝１２　�F＝８　�G＝□》
まぁ、簡単かな
答えられるかな

1
1+2
1+3
1+2+2^2
1+5
(1+2)(1+3)
1+7
1+2+2^2+2^3

y=2x^2
と
y=-x^2+2x-a
との両方に接する共通接線二本が、
直行するときのaの値を定めてください。
できれば略解付きでお願いします。

共通接戦1本の条件で解けたぞ？ａ＝1じゃね

今日はセンター試験。
（だから何と言う事はないが。）

このスレって７年たってんだね。

過疎スレ。。。

今日、面白い問題をいろいろと聞いた。解答はまだ無い。
できれば、一日に一問ずつ、紹介していきたいと思います。

[1]
△ABCにおいてAB=c、BC=a、CA=bとし、内角A、B、Cを∠A、∠B、∠Cと表す。このとき以下の不等式の成立を証明せよ。

　　　　π/3 ≦ (a∠A+b∠B+c∠C)/(a+b+c) ＜π/2

[2]
nは自然数とする。数列{a(n)}は、a(k) = | k | (k=1,2,3,…,n) を満たす任意の数列とする。このときこの{a(n)}にたいして、S(n)を

　　　S(n)=Σ[k=1,n]a(k)

で定める。このとき以下の問いに答えよ。

(1) S(1),S(2),S(3),S(4)それぞれの取りうる値をすべて求めよ。

(2) S(n) の取りうる値の個数を求めよ。

ぽまえら頭よさそうでうらやましす
俺も数学もっと勉強したい

[3]
N、nは自然数、p,qを素数とする。また S(N) を S(N) = 1+2+…+N で定める。このとき、

　　S(p)+S(q)=S(n)

を満たす(p,q,n)の組み合わせをすべて求めよ。

>>634
こつこつがんばったらいいよ。
俺も頭良いわけでは決してないけど、こつこつ地道に数学勉強してる。

[4]
平面π上に一辺√3の正四面体Tが固定されている。また、半径1の円Dが以下の条件を満たしながら動く。
　　(ア) Dとπは平行である
　　(イ) DとTは、つねにすくなくとも一つの点で接している
このとき、Dの動きうる領域の体積を求めよ。

訂正

[4]
平面π上に一辺√3の正四面体Tが固定されている。また、半径1の円Dが以下の条件を満たしながら動く。
　　(ア) Dとπは平行である
　　(イ) Dの内部とTの内部は共有部分を持つ
　　(ウ) DとTは、つねにすくなくとも一つの点で接している
このとき、Dの動きうる領域の体積を求めよ。

[5]
(1) f(x)=sin^2(x)・sin(2x) の最大値・最小値を求めよ。

(2) f[n](x)=sin^2(x)・(sin^3(2x)・sin^3(4x)・…・sin^3(2^(n-1)x))・sin(2^n・x) (n=2,3,・・・)　とするとき、

　　　　　　| f[n](x) | ≦ | f[n](π/3) |
を示せ。

(3) sin^2(2x)・sin^2(4x)・…・sin^2(2^n・x) ≦ (3/4)^n　を示せ。

[6]
n 個の実数 √1、√2、…、√n のうち、その小数部分が α (0≦α＜1) 以下であるものの個数を N(n) とおくとき、

　　　lim[n→∞] N(n)/n = α

を示せ。


-----------------
極限値の予想はある程度ついていたものの、実際αに収束することを示せたとき、「へぇ！」でした。
じゃあ例えば√1、√2、…、√nではなく、log1、log2、…、lognだとどうなるんだろう。やってないですけど。

http://ex14.vip2ch.com/vip4classic/

zを複素数とする。
|z|=2のとき、Re(z)+Im(z)≧√2が常に成り立つことを示せ。
また等号の成立条件を調べよ。

良問が増えてきたので、texの練習も兼ねて今までの問題をpdfにまとめてみました。
すべて網羅しているわけではないのでご了承。
なお、自分で書き換えたいという方のために、texファイルもあげときます。

http://matherix.so.land.to/math/2ch.pdf
http://matherix.so.land.to/math/2ch.tex

これに解答が付けば最高だな

解答作りたいけど解けないorz

1問目から打ち間違えてるのが萎えるわ。

>>640
やってから書け！
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

>>642の訂正＋加筆

zを複素数とする。
|z|≦1のとき、Re(z)+Im(z)≦√2が常に成り立つことを示せ。
また等号の成立条件を調べよ。

不等号の向きを間違えるとは、お恥ずかしい・・・・

$\frac{d}{dx}\int_{x}^{e^x}\sin(t^2)dt$ を求めよ。

>>649 なぜTeX．．．
e^x・sin(e^(2x))-sin(x^2)

Reply:>>650 よく正解した。TeXならasciiコードだけで書ける。

>>651
褒められてこんなにむかついたのは久しぶりだ

Reply:>>652 お前の生活に何か問題があるかもしれない。

>>643
素晴らしい！見やすいですありがとうございます。

ついでにとりあえずミスプリ(らしき)ところだけ、おせっかいながら言わせてもらいます。
　1番→楕円の式の2乗がないのでは？
　10番、11番→重複しています。
　24番→n^1 の^1は必要でしょうか？
　67番→(1-x^n)^(1/n)だと思います。
　69番→直行→直交
それでは失礼します。

>>654
どもっす

ご指摘された点、早速訂正してみました。いかがでしょうか？
あとも一個気になるのが、１番の楕円の方程式で、
(a<b<r)ではないかなぁと思うんですが、どう思われますか？

レスをコピーして張り付けるという機械的な作業だったので、
自分で気づいたところ以外は本文そのままにしてるんですが、
またなんかあったら言ってください。新しい問題が増えてたら加えます。

ちなみに問題の順番ですが、分野別に並べようと思ったら途中から混乱してきたために、
一番下に「その他」的な項を作っちゃいました＾＾；

>>655
http://vipmomizi.jog.buttobi.net/cgi-bin/vestri/src/vestri36872.png
こういう状況を想定してるんだろうからいいんじゃないのかな？

[7]
各頂点の角が等しい n 角形が円に内接しているとする。
(1) n が奇数であるとき、必ず正 n 角形であることを示せ。
(2) n が偶数であるとき、必ずしも正 n 角形であることを各 n について反例をもって示せ。

[8]
非負整数 N に対して N < 2^k なる最小の非負整数を k として、

f(N) = 2^k-N-1

で f(N) を定める。このとき、f(f(N))=0 を満たす N をすべて求めよ。

[9]
任意の正整数 N に対して、以下の不等式が成立することを示せ。

　　　�納n=1〜N] ( (n)√n　-1)^n < 1/2


***(n)√n は n のn乗根です。

[10]

n 個の正四面体があり、各四面体には 9 個の自然数 1,2,…,9 から選んだ 4 数が 1 面に一つずつ書いてある。

(1) n=18とし、1,2,…,9 のどの異なる 2 数の組に対しても、その 2 数ともを含む四面体の個数は一定であるとする。

　　このとき、1,2 をともに含む四面体の個数を求めよ。また、1,2,…,9 のどの数についても、それを含む四面体の個

　　数は一定であることを示せ。

(2) 1,2,…,9 のどの異なる 3 数の組に対しても、その 3 数すべてを含む四面体の個数が一定であるならば、n≧126

　　であることを示せ。

[11]
2 円 C[1] : x^2+y^2=1、C[2] : (x-6)^2+y^2=9 の周上にそれぞれ点A,Bをとり、AB を一辺とする正三角形ABP

をA,B,Pが反時計回りとなるようにつくる。このような点Pの存在範囲の面積を求めよ。

[12]
実数 x,y,z が

　　　x≧0、y≧0、z≧0、x+y+z=1

を満たすとき、P=xy+yz+zx-2xyz のとりうる最大値、最小値をそれぞれ求めよ。

>>657-662
加えました。pdf,texファイルは>>643にあります。

>>656
画像が見えませんが、後で自分でもよくよく考えてみたら、なんか勘違いしてました＾＾；

にしても、始めから分類しなければよかった・・・・。手間かかる上に
ほとんど意味をなしていない・・・・。

そして明日の１限が体育という。

>>633 問題[2]は，絶対値の記号が変．有限集合 A に対して |A| をその要素数とすることがあるので

×　a(k) = | k | (k=1,2,3,…,n) を満たす任意の数列とする。
○　a(n) = 集合{1,2,3,…,n} のどれか1つの値 を満たす任意の数列とする。

としたかったのではないかと思う．
このときの解答は次の通り．
(1)

S(1)=a(1)={1} のどれかなので取り得る値は 1
S(2)=1+{1,2}のどれかなので取り得る値は{2,3}
S(3)={2,3}+{1,2,3}={3,4,5,6}
S(4)={3,4,5,6}+{1,2,3,4}={4,5,6,7,8,9,10}

(2)

S(n) の取り得る値の個数を b(n) と書く．
S(n) の最小値は，a(1)=a(2)=...=a(n)=1のとき達成されるので n
S(n) の最大値は，a(1)=1,a(2)=2,...,a(n)=n のとき達成されるので n*(n+1)/2
S(n) の取り得る値は [n,n*(n+1)/2] の間の自然数全てであるから------(*)
b(n)=n*(n+1)/2-n+1=n*(n-1)/2+1

(*) 間に抜けがないことを示すには{1,...,m}のどれかと{1,...,n} の
どれかの値の和が{2,...,n+m} を網羅することを示せば良い．
もし上記の形に戻すなら, m=d-c+1とおいた後{1,...,m}のすべての要素にc-1を足しても
値に抜けがないから．
一般性を失うことなくm>=n として良い．そうでなければnとmの役割を入れ替える．
{1,...,m}は抜けがなくて各項に1を足すと{2,...,m,m+1}．これも抜けがない．
{1,...,m}は抜けがなくて各項にnを足すと{n,...,m,...,n+m}　これも抜けがない．
これらの集合は共通部分を持ちそれぞれが抜けなしなので和集合{2,...,n+m}も抜けがない．

結構しんどい．

七年二時間。

今日授業中に思いついた問題を。

A^2=7A-6Eを満たす2次正方行列Aに対して、A^nとなりうる行列を全て
成分表示で示せ。ただしEは単位行列とする。

age坊へ

このスレは２００１年５月２日に立てられ、奇跡的に落ちず、1000スレにもいかず、現在２００８年５月迄
７年間も残っている貴重なスレです。

KARL や　山崎渉等懐かしい名前や、Kingの懐かしい名前Quserman ◆KeLXNma5KE等が残っている
という数板の歴史を語る方々が登場する大事なスレです。

無駄にageて、レスを増やすような事はやめて下さい。
御願いします。

sageられる限りageる

8ビット符号全体の集合をＸとする時、Ｘ上の関係Ｒをｘ、ｙ∈Ｘに対してｘＲｙ⇔ｘとｙの下位５ビットが一致する
によって定義する

(1)関係ＲがＸ上の同値関係であることを示せ
(2)符号00010110を代表元とする同値類00010110を具体的に示せ
(3)ＸのＲによる商集合Ｘ／Ｒの要素数はいくらか
(4)8ビット符号を非負の2進数とみなしたとき、関係Ｒの定義を2進数の除算の余りという観点から再定義せよ
大学からもらった資料にこの問題あったんだけどこれって高校レベル？見た感じ集合の問題ぽいけど全然わかんね

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>>669
高校数学の域は出てると思う。高校じゃ商集合は習わないし。

高３だが全然わからん

TDUUUUUUUUUAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

>>669
(1)
xとxは下位5ビットが一致しているからx=x。
xとyの下位5ビットが一致しているならyとxも然りだからx=y。
xとy, yとzの下位5ビットがそれぞれ一致しているならxとzも然りだからx=z。

(2)
{00010110,00110110,01010110,01110110,
10010110,10110110,11010110,11110110}

(3)
2^8/2^3=32

(4)
x=y ⇔(def) xとyをそれぞれ100000で割った余りが等しい。

e=lim[h→0](1+h)^(1/h)
と定義する。
このとき、lim[h→0](e^h-1)/h=1を示せ。

理論上は成り立つはずなんだが、証明となるとわからない・・・。

ＤＱＮ高卒・現フリーターの解く、東大・京大・東工大数学入試問題解答例
http://titech.J3E.info/ojyuken/math/tokyo/
http://titech.J3E.info/ojyuken/math/kyoto/
http://titech.J3E.info/ojyuken/math/titech/

>>675のブログ
http://titech.J3E.info/denpa/

log(a)が自然数になる超越数をもとめなさい

>>674
lim[h→0](e^h-1)/h　
e^h-1=tとおくと
=lim[t→0]t/(log(t+1))
=lim[t→0]1/{ log(t+1)^(1/t) }　e=lim[h→0](1+h)^(1/h)より、
=1/loge=1

∫(X+1/X)^5dx　を置換をつかいもとめなさい

多面体存在証明って群論使わないでできるの？

このスレはいつ見ても神がかってるなぁ・・・・・

f(x)=ax^2+bx+c と、0でない実数 p にたいして、以下の操作A,Bを設定する。

　　操作A : f(x) を a(x-p)^2+b(x-p)+c に変換する。
　　操作B : f(x) を c(x-p)^2+b(x-p)+a に変換する。

(1) f(x)=x^2-2x+4 にたいして、この操作を以下の順に施したときにできる二次関数 g(x)

f(x)=ax^2+bx+c と、0でない実数 p にたいして、以下の操作A,Bを設定する。

　　操作A : f(x) を a(x-p)^2+b(x-p)+c に変換する。
　　操作B : f(x) を c(x-p)^2+b(x-p)+a に変換する。

(1) f(x)=x^2-2x+4 にたいして、この操作を以下の順に施したときにできる二次関数 g(x) を求めよ。
　　　　操作A→操作B→操作A

(2) f(x)=x^2-x-4 , p=1 にたいして、この操作を有限回繰り返すことによって、h(x)=kx^2+3x-2 になったとき、kの値を求めよ。

うわっ、このスレ書き込んだぞ俺
大学中退しました、過去の自分本当にごめん

age

7年^〜＾

「すべての自然数nについて、0<a(n)<1が成り立つとき、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)…a(n)=0」
の真偽を調べよ。また、真のときは証明し、偽のときは反例を挙げよ。
--------------------------------------------------
某有名問題集から１問。
オレはこの問題を先生に出されて、間違った証明をしたら先生も
どこを間違ってるのかわからなったという苦い思い出が・・・
（後に間違っている箇所が判明しました。）

高３だけど、問題自作してみた。

Oを原点とする座標平面上に、任意の2点A,Bがある。
線形変換（１次変換）f は、
f (OA↑) ＝ 2*OB↑， f (OB↑) ＝ 3*OA↑
を満たすという。このとき、
線分ABを直径とする円上の動点Pをf によって写した点をQとしたとき、
動点Qはどのような軌跡を描くか。

注：
答えるときは、OA↑，OB↑を用いること。

ごめん、また追加

A，Bは相異なる点であり、どちらも原点Oではない

受験勉強しろ

もう7年も続いてるのか・・・・

どうせなら10年持たせようぜｗｗｗｗ

少し気になるのが

691はなぜ690が受験勉強してないと知ってるんだ？

Reply:>>691,>>693 勉強とは何か。才能の上での経験こそ利也。

691は690が受験勉強してないとは一言も言ってないし、
受験勉強してないことを知っているとも言っていない。

いくら過疎スレだからって
無駄レス増やすのはやめようぜ。
結構いいスレなんだから

すげー古参スレだな。

なぜ荒らす？

荒らしても問題ないと思ってるんだろ

そうやってかまってほしいからだよ。

他スレから問題ひっぱってきた

A(x)は成分が全て、xの実係数多項式である２次正方行列とする。
このとき、A(x+y)=A(x)A(y)を満たす行列A(x)を全て求めよ。

323

>>532
マジレスすると、加法定理

2年前の書き込みだぞそれ。

うるさい。

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age

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ほしゅ

ほ

八年五時間。

age

ほっしゅ

すごいなww

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