大学にいくまで何しませう？

受験も終わった。ってまだ結果出てないけど、どうにしろ12日で終わる。
それから大学の授業が始まるまでなぁんもせんのって・・・なんだかな。
このままの生活だとまるで半ヒッキです。
活力が欲しい。ってんで、大学の数学の予習をやろうと。
線形代数は実対称行列の標準化ぐらいまでやりました。今はとりあえず
群論みたいなのを読んでます。けどようわからん。
解析概論も持ってるからそっちをやるべきかな？
独習なので、「こんな分野やっとくと面白いぞ」とか、
「この教科書（演習書）がいいよ」とか教えてもらえると嬉しいです。
特には群論（代数？）の勉強のし方が教えてもらえるとすっごい
嬉しいですが。
よろしくおねがいします。

たとえば数学以外のものにも目を向けるとか

何を専攻したいのかわからないから一般的なことしか書けないが、
線形代数では(複素数体上の)ジョルダン標準形、単因子論
解析学ではベクトル解析
の両方は、ほとんどの理系にとって一生役に立つ知識だろう。

もしも数学を専攻したいのなら、ほかに数学以外の本を読むことを薦める。
ファインマン物理学シリーズとか、熱力学、統計力学の標準的な教科書など。

>>2
ごめん、書き方がわるかったです。
別に活力が欲しいからってだけの理由じゃなくって、
数学やりたいんです。

>>3
３０講シリーズなら力学と相対性理論がありますが、
それでもいいでしょうか？
ファインマンは高くってつらい・・・

数学のほうに進んでいきたい予定です。

線形代数やら微積やらは、大学に入ればいやでもやらなければならないから、
初等整数論や、古典的な微分方程式などあまり大学でやらない？ものをお勧めします。
初等整数論はやっぱ高木「初等整数論講義」かな。
BakerやWeilの本を英語で読むのも面白いと思う。
微分方程式は佐藤総夫「自然の数理と社会の数理１」日本評論社とか。
最近高校では微分方程式をやらないようなので、勉強しとくのもいいと思う。
あと解析を勉強するなら、いきなり解析概論を読むより
ハイラー、ワナー「解析教程（上）」シュプリンガー東京　が読んでいて面白い。

>>6
ありがとうございます♪　激感謝。
初等整数論講義は聞いた事ありますね・・これを機会に買ってみようかな。
＞英語で読む
あ、それいいかも。暇なうちに１回トライしとくべきですよね。
そういうのってどこで買えばいいんでしょう？　普通の本屋じゃ
売ってないですよね？多分（見た事ない）
それと、数学用語なんかは高校で使ってるような辞書にのってないので
その点はどうすればいいんでしょうか？

オレは大学行くまでに、せめて中学校レベルの問題を6割はできるようにしたいな♪

＞８
それで大学に逝けたのか？

おれはずっと作曲してたな。晴康も。

>>7

クレジットカードを持っているなら
http://www.amazon.co.jp
や、
http://www.books-sanseido.co.jp
などいろいろあるけど
持ってなければ
http://www.yurinsha.com/

ちなみに
Bakerの本
A CONCISE INTRODUCTION TO THEORY OF NUMBERS
を友隣社で検索したら3000円弱だった。

Weilの本
NUMBER THEORY FOR BEGINNERS
は品切れみたい。

なおどっちも日本語訳がでてるはず。

>数学用語なんかは高校で使ってるような辞書にのってないので
>その点はどうすればいいんでしょうか？
読めばわかるよ。
わからなかったらここ（2ch)で聞けば誰か教えてくれるでしょう。(^^;

現代数学概説１（小平、イヤナガ；岩波）の集合論のところを読んどきなさい。
余裕があればそのまま代数の章へ突入しましょう。

30講などは敷居が低いのが魅力だな。
それも悪くないが、ファインマンの味わい深さも捨てがたい。
ぜひJuniorのうちに読むことを薦める。

数学といっても広い。数論もいいが、情報や数理物理もいいぞ。
とにかく、学部のうちは数学に凝り固まらない方がいい。
厳密な数学を理解するよりも、まず理系としての教養を身につけるのだ。

そのためには、本代は絶対に惜しむな。大事なことだ。バイトしてでも買え。
たとえ数万円の本だって、塾や予備校に払ってきた授業料を思えば安いもんだろ。

>本代は絶対に惜しむな。
そうなんだよなあ

私的には、位相空間論的な感覚に早めに慣れておくことをお勧めしたい。
いまでも出版されていれば、松坂和夫『集合・位相入門』、
なければそれに代わるもの、って、何があるのか最近のことはわからなけど。

それから以外に見落としがちで、しかし身につけておきたい感覚が『圏論（カテゴリー論）』のセンス。
日本語の入門書はないのかな。（導入は上記の本にでているが）
英語には良い初等本が何種類かあるのだが。

集合論や位相や圏ならやはり現代数学概説でしょ。

＞圏論（カテゴリー論）』のセンス。

ナンセンス。知らなくて良し。少なくとも学部ではいらんだろ。

幾何が好きなら
クネラー「幾何学　上」シュプリンガーを勧める。
群はやっぱ絵があると理解しやすいし。

あとたぶん悪名高いイプシロン･デルタ論法の準備として
田島一郎「解析入門」岩波を勧めとく。

最近本屋で見て読みやすそうだったのが
「新入生のための数学序説」高崎金久 ／実教出版
かな。

『集合・位相入門』にもう一票。懇切丁寧に書いてあるし
演習問題の質・量ともに適切。
高校生でも気合入れずに読める程度の本としては
ONE POINTや岩波のキーポイントシリーズ。適当に
流し読みしてどんな雰囲気かをつかんでおくと
後々楽になると思われ。ε-δ は最初はONE POINT
使うといいと思うよ。これで物足りなければ解析概論なり
何なり読むよろし。

>>17
いやいや、もし計算機科学関連やロジックに進むのなら、
今や早めにカテゴリー的な思考法になれておくべきだろうと思う。
勿論私見だが。
実際、Lawvereなんかが、極めて初等的なテキストを書いているのだよ。
レベル的には、教養程度。
計算機科学分野への応用をはっきり意識した英語のカテゴリー論初等本も多い。

とはいえ、確かに「大学逝くまでに」すべきことではなかったな。

へえ、計算機科学でカテゴリーなんか使うの？
もう少し詳しく教えてちょ。

ありがとうございます。
とりあえず入学手続きの日に書店に行って、教えて頂いた本を
見てみようと思います。
それでやれそうなやつを1冊か2冊選んで、大学に行くまで
精いっぱい読み込んで見ます。
＞本代は絶対に惜しむな
ええ、おしんではおりませぬ。
でなければ高校生で３０講シリーズや解析概論など持ってないっす(笑)
＞１１
英書はやっぱりもうちょっと考えます。昨日ちょっと代数の本読んで
みたら、すっごいおもしろかった。今はなによりも、高校数学よりも
高い視点からの数学にたくさん触れたいです。
どうこういってもぼくの英語力で英書はちょっとまどろっこしい(笑)
もう少し落ちついて、大学の雰囲気に慣れてからにしようと思います。

ついでに質問。
直積と直和ってどこが違うのでしょう？
ぼくがもってるのには「有限群では両者は一致する」とは
書いてありますが、？？？です。

>>20 なんか意味論の世界で使うらしい。けど俺、挫折したから解説できん(T_T)

>>22 直積って A×B で、直和は A ○+ B だよね? (○と+は
重ねがきされるし、もしかして記号はちがうかも)
有限集合の場合、#(A×B) = #A * #B, #(A ○+ B) = #A + #B
となるし、明らかに違うものだと思うけど...
群論だと用語が違ったりしないよなあ?

>>22
>直積と直和ってどこが違うのでしょう
このあたりの話は圏レベルで考えるとわかりやすいんだけどね。

>>22
>ぼくがもってるのには「有限群では両者は一致する」とは
>書いてありますが、？？？です。

「有限個の群では…」じゃないの？

>>25
ﾊｧ?

>>26
ﾊｧ?

>>27
ﾊｸｼｮｰﾝ大魔王〜♪

直積と直和は有限群では一致するね。
具体例は加群とか線型代数で考えてみてちょ。
なんでかは圏論とかいるんでないかな？誰か説明してケロ。

＞23
それは集合論だろ。
おっちょこちょいだな。群って書いてあるじゃん。

大学にいくまでスキーでもしたらどうですか。
http://www.hayariki.com/

>>29
>直積と直和は有限群では一致するね。

「有限個の群では」じゃないの？

>なんでかは圏論とかいるんでないかな？

圏論は・・・知らん（ｗ

>>1
私も今の時期ならば17さんの「幾何学　上下」を読まれることを
お勧めしますよ。
高校から大学数学へのギャップを埋めるために、書かれているものですし。
訳者の一人である秋葉先生は、私のゼミの先生でしたが、
「コレ訳しても、全然儲からなかったんだよなぁ・・・」って
言ってましたけどね（笑）
売れてはいませんが、面白いですよ。

>>20
いろんな使い方があるけど、例えば関数型プログラムの意味論で
対象をデータ型、射をデータ（プログラムも含む）と見なすとか。
例えばこのとき型を引数にとるようなプログラムまで考えると、
単純に型をその型のデータ全体の集合とするような集合論的なモデル
（つまり意味論）は自明なものしかないことが証明されているので
自明でないモデルを作る時には圏論的な議論を使う必要がある。
他には計算過程で対象を状態、射と状態遷移と見なすとかもあるし
まあいろいろ。

Logic in Computer Scienceとか
Category Theory in Computer Scienceとかで
Webで検索すればいろいろ見つかるんじゃないかな。
でも数学科ではあんまりやってないと思う。
トラディショナルな数学で必要なのは圏論というよりもホモロジー代数だよね。
計算機で使うのはホモロジー代数とは別の純粋に圏論的な手法。
日本語のテキストはたぶんない。

本題と関係のあるレスもしておこう。
大学初年級の代数のテキストで好みなのは
彌永昌吉、彌永健一「代数」岩波全書
コンパクトで好き。でも数学科以外には向かないかも。
品切かもしれないけど古本屋にはあるかな。

>33
解説あんがと。
確かに数学科では大学院でホモロジー代数のおまけに圏論やるかも。
和書では竹内外史の本があったような気がした。
マイナーなのは確実だね。
あんな抽象的なのが計算機系でつかうなんて意外。

松坂和夫　代数系入門　も良かった。
もっと計算や例が欲しければ
代数学入門　永田　培風館　かな。
群と加群　岩波基礎数学　も厚いけど丁寧で好きだな。

温泉に行って受験の垢を落とす

２２＞　直積と直和ってどこが違うのでしょう？
ぼくがもってるのには「有限群では両者は一致する」

一致せんだろ。つうか有限群の圏で直和なんか存在せんだろ。
群の圏でなら、直和は「自由積」といわれるものと一致する。
これは、めちゃめちゃ非可換な群で、常に無限群だ
（自明な群の場合を除く）。
理由は、universal property を使った直和、直積の
（圏論的）定義を知る必要がある。


直積と直和が一致するのは、加群の圏だろ。

>>22
すいません、その通り、“有限個の群”です（汗）
圏（カテゴリ？）はぜんぜん知りませんが、たしかにぼくの本には
「ここでの直積、直和の使い分けは、カテゴリー論のそれに従うようにしてある」
とあります。サッパ分からんけど（笑）
っつうことは、直積、直和って言葉の使い方は場合によっていろいろあるってことすか？
ええと、今読んでるのは群とか環とかの初歩（むしろ定義）のあたりです。
ぼくの読んだ感じでは、直和群は直積群の部分群として定義されてるようなのですが、
だからなに？って気分なので。
「直和群は直積群の有限部分群のことを特に言う」・・・ってだけじゃないっすよね（汗）やっぱり。
はじめ出てきた時はそれでほっといたんだけど、読み進めて加群のとこでまたでてきて、
この際だからはっきり理解しとこう、っとおもって。
どぞ、かみくだいてお願いします。

っぱぁ〜、あした合否はっぴょ。こえ〜〜（笑）

>>38
>「直和群は直積群の有限部分群のことを特に言う」

そおではなくて．．．

群 G_i 達の直積群をとりあえず P とおきます．P の元は
(...,x_i,...)などと書くことにします．P の元のうちで
その成分（「成分」とは x_i 達のことです）が高々有限個を
除いて全て単位元であるようなもの全体をとりあえず S とおきます．
明らかに S は P の部分群になってます．この S を群 G_i 達の
直和群と言います．以上です．

あのう。有限群と、有限個の群
って違うんですか？超基本的質問ですんません。

高校の授業かったるくてさ、内職で解析概論ちょこちょこ
読んでたんだよね。でもルベーグ積分ってむずかしいじゃ
ないすか。ラドン・ニコディムの定理とか、ちょっとついて
いけなくなって高校の先生に質問したんですよ。そしたら
「こんな本読まないで受験問題集やれ」って言われるんです。
そういうもんですかねえ？

脱包茎祭り！

>>41
ちうぼう以下の子が『解析概論』を読んでいたのなら、
「君、次にアレ読んで、コレ読んで、とにかくどんどん進みなさい・・・」
などと、煽るだろうね。相手は天才なわけだし。

高校の場合、うーむ、学年と（受験数学の）実力にもよるけど、
受験生だったら、やっぱり受験勉強やれ、って言うだろうね。
読んでる本が、専門書だったら、こりゃまた話は別だけど。

あ、当方物理系の大学教師。
まじレスしてよかったのか？

標準的理系大学生の数学体験

「あったりまえじゃん」
→「だから何？」
→「えぇ〜〜とぉ〜〜」
→･･･全然解らん

>>41
ルベーグ積分面白い？もっと面白いものを読めばいいのに。

>>45

でもルベーグ積分わかんないと関数解析が
できないし、確率過程とかもわかんない
らしいから我慢して読んでるんですけど。
高校の先生はこのくらい知ってますよね？

>>40
>有限群と、有限個の群って違うんですか？

群Ｇにおいて，Ｇの元の数が有限個のとき「Ｇは有限群である」と言う．
（上述の話にでてくる）「有限個の群では…」というのは
「群を有限個もってきて，その直積（または直和）を考えれば…」
という話です．個々の群が有限群かどうかという話ではないです．

>38
カテゴリでは、Ｇ が Ｇ_i(i∈Ｉ)の直積であるとは、ｐ_i：Ｇ→Ｇ_i(i∈Ｉ)が
与えられていて、任意の Ｘ と ｆ_i：Ｘ→Ｇ_i(i∈Ｉ)に対してｇ：Ｘ→Ｇ が唯
ひとつ存在して ｆ_i = ｐ_i ｇ が成り立つことをいいます。
　これと共役な概念が「余積(coproduct)」で、Ｇ が Ｇ_i(i∈Ｉ)の余積である
とは、ι_i：Ｇ_i→Ｇ(i∈Ｉ)が与えられていて、任意の Ｘ と ｆ_i：Ｇ_i→Ｘ
(i∈Ｉ)に対してｇ：Ｇ→Ｘ が唯ひとつ存在して ｆ_i = ｇι_i が成り立つこと
をいいます。
　この「余積」は、考えているカテゴリによって集合としても異なり、群のカテゴ
リでは37さんのおっしゃっている「自由積」が余積になり、アーベル群のカテゴリ
では39さんのおっしゃっている「直和群」が余積になります。

>>46
ルベーグ積分って理論の構築は複雑だけど、それを使う段になると、リーマン積分
よりずっと楽ですよね（特に収束関連の定理）。だから、ルベーグ積分を使い慣れ
てる人でも、ルベーグ積分論の定理の証明を忘れちゃってる人も多いんでないかな
（特に高校の先生あたりだと危ない）。「こんな本読まないで・・・」云々はその
辺の警戒心からの発言かも。
　ところで「集合のσ加法族」から出発しないルベーグ積分論（ダニエル積分とも
いうらしい）というのがあるの知ってました？ルベーグさんは幾何学者だったから
「図形の面積」によって積分論作ったわけだけど、純解析的な立場からの積分論と
いうのがちゃんとあって、なぜか日本では見たことないけど、私にはこの方法の方
が自然に見える（ちなみにブルバキは実はこの路線で積分論を展開したが、局所コ
ンパクト空間という条件付きにしたために一般性がなく、しかも理論はかえって複
雑になってしまい、失敗している。可算という概念を捨てようとしなければうまく
理論構築できたのに・・・）。

有限群と有限個の群について
お答えありがとうございます。勉強になりました。
最近、数学板は荒れ気味だったのに
きちんとした情報交換も可能なんですね。（感謝）
カテゴリはもう少し勉強しないとわからないです。
なんか初心者にオススメの文献ありますか？

>1
受験問題的な勉強方法ですと、必ずつまずきますよ。
１ヶ所でも分からないところがあったら、じっくり考える。
そういう事ができるかどうかが大学の数学では要求されます。

知識ばっかし増やしてもしょうがないよ。

例えば、ε−δ論法を「きちんと」理解するとか、
やってみる。証明を自分で試みるとか。

つまづいたらまた読み直せばよろし
別に入学前なんだし最初からそこまでせんでも
どんなものかくらいつかむだけでも構わないと思う

0

>>41
うちの先生はとめなかったよ。
内職の態度にもよるんじゃないかと思うけど、
ぼくはもう諦められてる感じだったから(?)。読み放題（藁。
http://plaza27.mbn.or.jp/~aozora_gakuen/
で、解析概論を読む会がある。MLによる。
なんだったら参加してみたらいいよ。高校生は大歓迎されるはず。

>>51
＞１ヶ所でも分からないところがあったら、じっくり考える。
分かりました。肝に銘じておきます！
「受験勉強的な・・」ってのがよく分からないけど、
暗記で数学試験を乗りきろうって態度のことを言ってるんですか？
大丈夫です。たぶん、そういう事はしたことないんで(藁。

>>52
はい。とりあえずはそのつもりです。
詳しくは講義でやらせてもらえるだろうから、
いまは気負わずに楽しもう、と思ってます。

入学手続きの時本買おうと思ってたのに、
時間足りなくなって結局本屋見れなんだ・・・(泣)

>>39
ありがとうございます！
たぶん、定義としては分かった。けど・・・
あんま、それをわざに考える理由がよくわかりません。

名前のゆらいみたいなもんでも誰か教えてもらえれば
うれしいんですが・・・

初等整数論講義とか解析概論は今の時代どうかとおもうよ。
数論や実解析ばかりが数学じゃないし。
うちの指導教官も高木貞二は嫌いだと言ってたな。
今の時期やるなら論文がバリバリ読めるくらい英語やるとか、
計算のアルゴリズム組めるようコンピュータのことやるとか。
じかに大学に行って適当な教官に聞いてみたら？
いっくらでもやるべきことがあります。

>>57
でもそんな事を本当に教官に聞いてる学生って、どうよ。

貞二　→　貞治

>>15

圏論？何もしらんうちにあんなことだけ覚えても無駄（笑）

ああ、そうそう「ゲーデル・エッシャー・バッハ」はいい本です。
読んでて眠くなったらマクラにもなります。（笑）

あと、同じホフスタッターの「メタマジックゲーム」もいいね。

私が学生の頃は、マーチン・ガードナーの
「数学ゲーム（�T〜�W）」
は欠かさず読んだものである。

>>57
>初等整数論講義とか解析概論は今の時代どうかとおもうよ。
私も学生時代はそう思って読まなかったのですが、最近「初等整数論講義」は読む機会があり
いろんな人が推すだけのことはあると思いました。例が豊富なので初学者には読みやすい
と思います。

>いっくらでもやるべきことがあります。
自分の場合はひたすら長編小説をよんでました。
「モンテクリスト伯=岩窟王」とか「レ、ミゼラブル=ああ無情」とか
ともに文庫本で７巻ぐらいという超長編でしたけど(^^;

集合と位相の本を読むのもいいかも。

>63
確かに、高校数学にはない
目新しさがあるね。

>>64

目新しいだけでツマランから
大学いってからでよし

数学科半分留年するってきいた。怖い。
まじめに勉強すればそんな憂き目はみませんか？

>まじめに勉強すればそんな憂き目はみませんか？
する奴はやっぱりするね。

＞66

数学科では授業に出てノートを取る
みたいな勉強より、自分で本を読んで勉強するのが大切。
その辺、間違わないようにね。
あと先生に嫌がられても質問すべし。授業後に聞いたり、
先生のヒマな時間帯を聞いてから研究室まで押しかけてみよう。

正解！

で、結局なにしてる＞1

細野本読破！

>70
すいません、遊びまわってて実はあんまやってません(汗；；；
結局大学に行った時に時間があんまりなくて本が買えなかったのもありますが。
本とはもっと暇になる予定だったんですが、いざとなると
友人との別れがおしくって（かどうかは知らんが）ついつい遊びに行きっぱなしですね(笑)
この調子だと大学でほんとやばそう・・・（恐

洋書で数オリみたいなのの問題を集めた本があったので、
頑張って問題の意図を推測しつつちょこちょこやっとります。

>>72
あんまり、問題ばっか解くよりも理論を味わうことが大事です。
それだと、結局、入試問題マニアで大学の数学は全然分からない
受験マニアになってしまいます。

入学前の３月なんてそんなもんだよ>>72

>73
それはそれで予備校に就職できるかもよ

>>73
うん、、、何もしないよりはいいかと思って。
こんな問題する事ももうないかも、と思ったりもして。

>>74
ってよく聞くけど・・・自分はもっと暇になると思ってた（笑）