フェルマーの定理を上回る難問「谷山・志村予想」

フェルマーの定理を証明する時にも役立った「谷山・志村予想」が
完全証明されたそうで。すごいですね。

ソースは？

ニュース板を見れ！

ここを見るとずいぶん以前に証明されているようだが・・・
http://www.maa.org/data/features/mathchat/mathchat%5F7%5F1%5F99.html

π+π/(π-1)=πXπ/(π-1)
驚異的な式だと思いませんか？

>>7
ドキュソだね。恒等式だ！

>>6は文系
ニュース速報板の方が、盛り上がってら（わら
http://saki.2ch.net/test/read.cgi?bbs=news&key=981638036

で結局、谷山は何故自殺したんだ？

腹が減っていたらしい

4のリンク先
>まったく異なる分野で使われ、形や内容も違う二つの関数を示す
>数学方程式が実は同じ内容と予想した。

数学方程式とは何ぞや。
この文章では抽象的すぎて何のことやらわからんぞ。
せめて「楕円曲線」「保形形式」「L関数」とかいった重要語句くらいは
入れてほしい。(それらの内容説明は省いてもいいから)

ニュースレベルでは難しすぎるだろ？

>まったく異なる分野で使われ、形や内容も違う二つの関数を示す
>数学方程式が実は同じ内容と予想した。

や、このレベルの説明↑ではほとんど何も言ってないに等しいから
せめて「わかる人にはわかる」形式にしてくれということよ。
「重要語句くらいは入れてほしい。(それらの内容説明は省いてもいいから)」
と書いた意味わかります?

ニュースで専門用語を連発するのはやはり問題あると思うな。

１１、１３はktsurut予備軍決定！

「保型形式論と楕円曲線論という異なる二つの分野で用いられる
(L関数という)関数が実は同種のものであると予想した」
くらいで何か問題か？

勿論「どうせ一般読者にはわからんだろうから志村谷山予想の概要を
全く説明しない」という選択肢なら当然あってもよいと思う。
その方針を採らずに

>まったく異なる分野で使われ、形や内容も違う二つの関数を示す
>数学方程式が実は同じ内容と予想した。

という何の説明にもなってない文章をあえて挿入する意味は一体何よ?

>>16
記者が理解してないんで、適当に又聞きしてわかったつもりになったことをそのまま書いた。が正解だろう。

それで、>>5が指摘してる点はどうなんでしょうか？

ずいぶん以前に新聞で見たけどね．
正確な日付はわすれたけど，何ヵ月も前だったとおもう．
確認作業をしてたのかなあ．．．

サイモンシンの本の後書きには、証明したって
言い張ってるドキュソがいるって書いてあったけどこれかな..

おうすけがこれでフィールズ取ったはずだが？

>>16
　これだから、数学やってるのは世間に疎いとか思われるんじゃ
ないのか？そんな事言ってたら、ニュースが専門用語だらけにな
ってしまうじゃないか。数学はともかく経済学や社会学や言語学
や…もろもろの専門用語が乱舞するニュースなんて、誰が理解で
きるんだ？

>>22
×世間に疎い
○世事に疎い
これだから、数学やってるのは日本語に疎いとか思われるんじゃないのか？

>まったく異なる分野で使われ、形や内容も違う二つの関数を示す
>数学方程式が実は同じ内容と予想した。

↑じゃあ、この文章を記事の中に挿入する意味を説明してみろよ。

たとえていうなら「日航機同士が焼津市上空でニアミスを起こし、
両機の回避行動の際に数十名の負傷者を出した」という内容の事柄を
「ある会社のある乗り物が事故を起こし複数の被害者を出した」
と報道するようなものだぞ。

なにも専門用語をふんだんにちりばめた記事を作れと言うのではなく
「解説するつもりなら必要最小限のキーワードくらい入れろ」
と言ってるだけなのになんで誤解するやつが後を絶たないのかな。

関係ないけど、>>6
の式にはﾜﾗﾀ

>>24
　航空機は専門用語じゃないからねぇ。しょうがないじゃない。
日航機も専門用語じゃないと思うな。というか、省略している
単語は殆ど一般的に使われるものじゃないか。

　必要最低限のキーワードそのものが専門用語で、解説しよう
にも一般人には理解不能じゃないか。

素人目に見てもソースの文より>>16の方がわかりやすいのだが。俺だけ？

>>27
　どう分かりやすいんだ(^^;) 素人目だと、全く説明していないと
同様じゃないか。

数学科のひとは新聞社に就職しないんですか？

>>29
出来ないのです。

フェルマーの最終定理は
ｎ≧３なる全ての自然数ｎに対し、これを満たす
ような正の整数ａ、ｂ、ｃの組は存在しない。ですよね？？

普通の人が谷山志村予想と聞くとこれと同じように
とある方程式かな？？って思います。
それに対する返答として、この予想は
「まったく異なる分野で使われ、形や内容も違う二つの関数を
示す数学方程式が実は同じ内容」であると説明してるわけです。

しかし「保型形式論と楕円曲線論という異なる二つの分野」といわれても
同じような分野じゃないか！っておもってしまいます。

具体的な例を出すよりもこの場合は「全く関係ないと思われていた
関数が実は同じモノだ」という抽象的な説明の方がわかりやすいと思います。

私のような素人には「保型形式論と楕円曲線論」がどのようにことなる
分野なのか分からないからですね。

つうーことで>>16「何の説明にもなってない」とういことはないですね。

数論の先生に取材してるんだからついでに記事の文章を
見てもらえばよかったのにね。

サンデープロジェクト見た？
実社会では理論とか正確な説明なんて大して意味ないんだよね。

>>29
科学部とかあるけど、数学科の人はまず行かないし
理系のほとんどの分野で数学を理解してる人は希少なので
数学の話題について説明できる記者はまずいません。

　知っている記者がいるかいないかとか、数学の先生に原稿を見
て貰うとかの問題ではないと思う。新聞記事に専門用語を載せる
のなら、それが今話題になって、多くの人がその用語に慣れてい
るので無い限り、その専門用語にはその専門分野の素人が分かる
ような解説が必要だ。そうじゃないとかえって誤解する可能性が
あるだろう。数学だけじゃなく、全ての専門家が専門用語の使用
を主張したらとんでもない紙面になってしまうだろうし。

そういうことも取材先の先生に相談すればいいとおもう>>36

　取材先の先生に聞いたのかも知れないよ。で、帰って来たのが
一般人を無視した専門用語ばりばりの解説。これじゃ記事にでき
ないよっていうわけで、自分たちで話をまとめたってとこじゃな
いかな？だいたいあのフレーズ結構前から聞いているぞ。そんな
に違和感あるのなら、初期の段階で冷静に的確に文句を言うべき。
いや…言っても一般人を考えてないって却下されたってのが正解
かな？

…この板で谷山・志村予想が証明されたことを
初めて知りました。皆さんどうもありがとう。
世間（世事？笑）にうとくてごめんなさい。
ところで谷山・志村予想って、結局『谷山・志村・ヴェイユ予想』
とは呼ばれなかったんだね。…まぁどうでも良いのだが。

一般人はそもそもこのニュースに興味がないと思うが・・・。
記者としては、日本人の数学者が数学界において世界的な貢献をした
ってことが伝われば、内容はどうでもいいんだろう。

>>40の意見に尽きる

>>39
　ヴェイユさんは、谷山さんと志村さんの研究結果を横取りしたみたいで
名前からはずされてしまいましたとさ。

>>40
　それは、ある意味で全ての専門分野に言えるわけだ。

>>31に書いてあるとおり、
フェルマーの最終定理が実社会でも有名なのは
その式が、素人にも理解できるからです。

で、このスレで提案したいんですが、
せっかく日本人の名の付いた定理
（もうそう呼んでいいでしょう）
なんですから、議論する前に
一般人が理解できるような
説明が実際に書けるか
リレー形式でいいからやってみませんか？

で、ここでの一般人の定義として
とりあえず高校の理系数学は
理解してるものとする。

こんなかんじで。
いかがでしょうか？

>>43
保型形式をどうやって説明するかが難しいと思うなぁ…

>で、ここでの一般人の定義として
>とりあえず高校の理系数学は
>理解してるものとする。

これが真ならば、どれほど仕事が楽なことか！
（時々社内研修でデリヴァティブの講師もやってる人）

おれも保型形式ってわかんないので期待 age。

Fermatの話に振っちゃうと、Wylesは Kummerの成果とか利用せずに
結局といちゃったの? せっかくそこまではおれも理解したのに....

そもそも、「図形が方程式で表される」ってこと自体理解できない人が
多いんだよなぁ…学部卒でもさ。

>>47
　うーん。それって中学でとりあえずはやったと思ったけど…。

保型形式とL関数は院でやってたからわかるけど、どうやって
説明すればいいんだ？だいたい、L関数（というよりもゼータ
関数）の意味から説明するとそれだけで凄いことになりそう…。
まずは準備段階として（リーマン）ゼータ関数や楕円曲線の整
数論から始めた方が良いのではと思う。

　補足。だけど楕円曲線については僕は素人なので、代数幾何の専
門家にお願いしたいと思います。志村・谷山予想のstatementで保
型形式を理解するためには、
(1) SL(2,R)の上半平面Hへの作用とSL(2,Z)の代表的な部分群、
cuspについて
(2) 周期性を持つH上の関数のfourier展開とcuspidalityとの
関係
(3) level付保型形式の定義
(4) 保型形式の例（Eisenstein級数、Ramanujan Delta ft)
(5) 保型形式のL関数(Koecher-Dirichlet級数？）の定義と
基本的性質、SL(2,Z) のEisenstein級数が２つのゼータ関数
に分解できることとかRamanujan予想（の一番簡単なケース）
も説明した方がいいかな？
　ってところかな？志村・谷山予想の証明は見てないからわか
らないけどWeilの逆定理とかも必要なのかな？あとJacobi形式
とかも要るのかな？
　だれかフォローよろしくです。

うむ、さすがだな..問題を理解するだけでもこれだけの知識が要るのか。
Fermatとは違うわい。
ζと楕円曲線の定義だけは知ってるぞ。
ζ(s) = Σn^(-s) = Π1/(1-p^(-s))
で楕円曲線は
{(x,y)| y^2 = x^3 - ax + b}
ってやつだよな (一般には x^3 や x^2の係数もあるけど、
ここでは変換してこの形式にしてもいいんだよな?)。

しったかでとんちんかんなことをいってるかも知れないが、
フォロー頼む。おれも一皮向けて、立派なハンドルになりたいぜ。

>>51
でね、保型形式のL関数は大まかに言うと、
　�煤i保型形式のフーリエ係数）/n^(-s)
=Π1/(ヘッケ作用素の固有値を含むp^(-s)の２次式）
なわけさ。ってことはヘッケ作用素の説明もしないとマ
ズイのか…。
　ちなみにヘッケ作用素っていうのは保型形式のなすC-
vector space（←高々有限次元、次元公式も有り）に
作用するある種の線形作用素なのさ。

　んでもって（話を簡単にするためにSL(2,Z)に話を限定）、
cuspと呼ばれる特定の点（SL(2,Z)でいうと∞）で０の値を
とる保型形式(cusp formという）のL関数はリーマンゼータ
に類似する性質を持つわけ。具体的には、
(1)C上に正則に解析接続
(2)s←→k-sという対称性を持つ関数等式(kは保型形式の
weightと呼ばれるもの）
(3)special value（リーマンゼータでいうとζ(2n)/π^(2n)
が有理数になるってこと、関数等式を使えば負の整数での値が
有理数ってことになるね）
ってことね。

記憶不鮮明だけど、Fermat予想の場合はFrey曲線に
対応する保型形式がlevel 2,weight2とできたんじ
ゃなかったっけ？だけど、保型形式の次元公式で
level2,weight2の保型形式の成す空間が{0}だから…
って概略だったはず。

知らん述語の嵐になってきたが、それはそれでスタックに積みながら
読んでいこう..
保型形式→fourier係数→L関数(→ヘッケ作用素の固有値)
って対応がつくのだな。
さらに特殊な保型形式の L関数は ζっぽいいい性質を持つと..

そこらへんの嬉しさは間を埋めていけばわかるのかな。
何なら計算もするけど、ちょっとニガテ♪
まあ、ガッコの先生がぜーたぜーたってうるさかったのが
ちょっと分かると嬉しい。

　じゃあ、保型形式に入る前にHについての定義から。
複素数zが与えられたときにx+iy(x,yは実数）って一意
的に書けるでしょ？zに対してこのyを与える写像をIm
って書くのね、つまりIm(z):=yって。みんな知ってると
思うけど。
　で、H:={z∈C;Im(z)>0}を複素上半平面っていうのさ。

　お次に行列の基礎。実数成分の２次正方行列
全体の成す集合をM_2(R)ってするとき、
　SL(2,R):={A∈M_2(R);det(A)=1}
って定義するのね。det(A)っていうのは行列式
のこと。同様にSL(2,Z)も定義するのね。これが
(elliptic) modular groupって呼ばれているも
の。で、
M=(a,b)∈SL(2,R)とz∈Hが与えられたときに、
(c,d)
M<z>:=(az+b)/(cz+d)とするのね。M<z>∈Hは
簡単な練習問題。

上の変換はケーリー変換と呼ばれているものなんだけど、
次のような性質を持つんだね：
(1) 1_2:=(1,0)∈SL(2,R),z∈Hとするとき1_2<z>=z
(0,1)
（↑E_2って書くと保型形式論ではアイゼンシュタイン
級数と混同してしまうのでｎ次の単位行列は1_nとかく
事が多い）
(2)M,N∈SL(2,R),z∈Hに対してM<N<z>>=(MN)<z>
ここでMNは行列の積。
　群論的に言えばSL(2,R)は左からHに作用しているわけ
さ。これも簡単な練習問題。

M∈SL(2,R)だったら-M∈SL(2,R)なんだけどM<z>=(-M)<z>
が全てのz∈Hに対して成り立つからPSL(2,R):=SL(2,R)/{±1_2}
とするとPSL(2,R)はHに推移的に作用していることになる。
　“推移的”っていうのはこういうことだと思って：
M,N∈SL(2,R)に対して、
M<z>=N<z> for all z∈H → M=N
　質問無ければ fundamental domainの話に逝くよ。

M∈SL(2,R)だったら-M∈SL(2,R)なんだけどM<z>=(-M)<z>
が全てのz∈Hに対して成り立つからPSL(2,R):=SL(2,R)/{±1_2}
とするとPSL(2,R)はHに推移的に作用していることになる。
　“推移的”っていうのはこういうことだと思って：
M,N∈SL(2,R)に対して、
M<z>=N<z> for all z∈H → M=-N
　質問無ければ fundamental domainの話に逝くよ。

↑59は嘘。60が正解

　お次はfundamental domain（基本領域）の話（保型形式の
定義だけだったらfundamental domainは不用なんだけどね）。
　fundamental domainっていうのは群論的に言えば
SL(2,Z)＼Hの“完全代表系”で連結なもの、ってこと。厳密
には境界の部分は微妙なんだけどね。
　群論知らない人が持つべきイメージとしてはHに含まれる
平面図形FでH上の全ての点が上のSL(2,Z)の変換でFに移さ
れるようなもの、と思っていれば十分かな？
　一番標準的なfundamental domainは
F:={z∈H;|z|>1,|Re(z)|<1/2}
ってやつ。Re(z)はｚの実数部分ってこと。セールの数論
講義よむと図が載ってるね。

>>57-58 計算して確かめたぞ。がりがり計算しただけだけど
いいんだよな。久しぶりにまじめに計算していいかんじ。

>>59-60 ってのは
M<z>=N<z> for all z∈H ⇒ M=-N or M = N
の方がただしそうな気がするけどだめ?

　次はcusp（尖点）について。まぁ、読んで字のごとく“とがった
点”ていう意味。さっきのfundamental domainを複素上半平面H
上に図示してみるとわかるんだけど、∞に伸びてるでしょ？もう
ちょっとだけ正確に書くとcuspっていうのはfundamental domain
と∞、もしくは実軸との交点のこと。だからSL(2,Z)の場合は∞と
できるわけ（fundamental domainを取りかえるとcuspも本当は
変化するんだけど…）。
　cuspに関する重要な性質はこれ：
z∈HがcuspならばM<z>=zとなるようなM∈SL(2,Z)全体は
Γ_∞:={
M=(±1,b)
　(0,±1)∈Γ}
に一致する。つまりΓの∞でのstabilizerはΓ_∞って
こと（正確な書き方じゃないかもしれないけど）。

>>63
フォローありがとう。僕も忘れてることが沢山あるから
今後もフォローよろしくです。
　次にz→exp(2πiz)という関数を考えると、
(1)この写像は正則（複素関数として何回でも微分できて
微分した関数は連続と言う意味）
(2)しかもF→S:={z∈H;|z|<1}とすると単射（Fの境界は
あまり深く考えないで）
てことが簡単にわかる。ところが全射ではないのね。Sの
どの点が余計かというと、原点。
　なんだけど、Z∈Hが“∞に近づく”（←上半平面上をどん
どん上に、って近づけ方で）とexp(2πiz)が0に近づくこと
がわかるよね？この対応関係がすんなり理解できれば保型形
式の定義は９割は理解できるようになるよ。

>>63
フォローありがとう。僕も忘れてることが沢山あるから
今後もフォローよろしくです。
　次にz→exp(2πiz)という関数を考えると、
(1)この写像は正則（複素関数として何回でも微分できて
微分した関数は連続と言う意味）
(2)しかもF→S:={z∈H;|z|<1}とすると単射（Fの境界は
あまり深く考えないで）
てことが簡単にわかる。ところが全射ではないのね。Sの
どの点が余計かというと、原点。
　なんだけど、Z∈Hが“∞に近づく”（←上半平面上をどん
どん上に、って近づけ方で）とexp(2πiz)が0に近づくこと
がわかるよね？この対応関係がすんなり理解できれば保型形
式の定義は９割は理解できるようになるよ。

で、H上の“いい”関数（←有理形だったり連続だったり）
fが周期１をもてば上の写像（関数）で“well-defined”に
S上の関数に移されるわけ。
　well-definedっていうのはこういうこと→fに対して（
原点は抜いて考えた）S上の関数Fを次のように定める：
　F(w):=f(z) ただし z∈Hはw=exp(2πiz)となるもの。
だけど、w∈S-{0} に対してこんなzは一意的には決まら
ないんだけどexp(2πiz)=exp(2πil)→z-l∈Zだからf
の周期性からFの定義は変ではない。

>>62 SL(2,Z) で移りあえない点の集合だな。イメージ的にはわかるが
そんな形にもなるのか。
>>64 Γって何だだ?? っていうか ∞,x+0i ∈H なのか??

>>60
>　“推移的”っていうのはこういうことだと思って：

それは“効果的”のほうじゃない？“推移的”はこっち↓↓↓
「任意の z, z'∈H に対して M<z>=z' なる M∈SL(2,R) が存在する．」

　上のfに更に“H上正則”っていう条件を付加するとFも
正則になるのね。で、FはS上原点以外では正則ってことに
なるからLaurent展開できるわけ：
　F(w)=…a(-2)w^(-2)+a(-1)w^(-1)+a(0)+a(1)w+a(2)+w^2+…
　要するに正則＝すごく“滑らか”＝多項式で近似可能、って
いうイメージで考えればあたらずとも遠からず。
　これをfに引き戻して考えればフーリエ展開、
f(z)=�蚤(n)exp(2πinz)
が得られるわけ（ｎは整数全体をわたる）。
　もしこの和で負の冪がでないときfは“∞で正則”
っていうわけ。複素関数論知ってる人はわかるよね？

>>69
　ゴメソ、勘違いだった。
>>68
　Γ:=SL(2,Z)を忘れてた。ゴメソ。あとSL(2,R)の∞への
作用の仕方も忘れてたね。ちょっとマッテテ。

>>68
実際にはSL(2,R)はC∪{∞}に作用してるのね。粗く言うと、
(a,b)
(c,d)<∞>:=a/c
c=0の場合は（a=d±1だから）:=∞
ってこと。段々とボロが出てきたなぁ<自分。

↑∞同様０でも怪しげなところが有るけど、そこは各自調査ね。

　やっとこ保型形式の定義に入れる… (^^;。以下、kは
整数。
【定義】H上の正則関数fが次の２条件を充たすとき weight
kの保型形式（elliptic modular form）という：
(1) f(M<z>)=(cz+d)^k*f(z) for all M∈Γ,z∈H
ただしc,dはMの２行目の第一・第二成分。
(2)fは∞で正則、すなわち次の形のフーリエ展開を持つ：
f(z)=�農{n≧0} a_n exp(2πinz)
　特に(2)よりも強い条件、
(2')fは∞で０、つまり次の形のフーリエ展開を持つ：
f(z)=�農{n>0} a_n exp(2πinz)
ときfをカスプ形式(cusp form)であるという。
　cusp form の一番わかりやすい特徴はy→0としたとき
のf(x+iy)→0の“いい”収束性にあるんだね。この辺は
詳しく書かないけど、この解析的な性質が後で定義する
保型L関数の積分表示に影響することになる。

　保型形式の例で有名なところ、その１：Eisenstein（アイゼ
ンシュタイン）級数。
　k>2なる偶数kに対して、
E_k(z):=��(cz+d)^k
をweight k のEisenstein級数という。ただし、上の和は
Γ_∞＼Γの完全代表系（の一つ）をわたるものとし、cと
dはその第２行の第１・第２成分。
　このE_kの定義式の和はちゃんと収束してweight kの
保型形式になってるんだけど、その証明は大変。で、大
まかなフーリエ展開の形は、
E_k(z)≒�倍n≧0}（ｎの約数のk乗和）exp(2πinz)
ってこと（n=0は深く考えないで）。重要なのはEisenstein
のフーリエ係数は全て有理数って事。この辺の話が数論と関
わってくる。

>>66 これまた細かいけど、Sは Im(z) < 0 の方まで広がらない?
z = -1/4 + i ∈ F とか...
>>69 ふむ...でも推移的かつ効果的っぽそうだね
>>72 諾
0 だと ((a,b), (c,d))<0> = b/d
d = 0のときは ∞だな。

　下げながら書くね。

　もう一つはRamanujan�凵iデルタ）っていうweight12のcusp form：
��(z):=(E_4(z)^3-E_6(z)^2)/12^3 （だったと思う）
確か無限積表示もあってけど失念。大切なのは0でないcusp form
でもっともweightが小さいって事と�凾ﾌn番目のフーリエ係数を
τ(n)とするときτ(n)が全部整数って事。
　で、Ramanujan予想（Deligneの定理？）っていうのは
|τ(p)|<p^(11/2) が全ての素数pに対してなりたつってやつ
（↑合ってるかな？）。これは�凾ﾉ関する保型L関数のオイラ
ー積表示と関係するんだけど、それは後述。

>>76
ゴメソ、S={z∈C;|z|<1}だったね。

　ちょっと志村・谷山予想のstatementからは離れるし
関数解析っぽい話題になっちゃうんだけど、f,g∈L^2(Γ＼H)
としたときに、　_____
<f,g>:=∫_F f(z)g(z)dxdy/y^2
って内積いれるとE_kと全てのweight kのcusp formは直交
する。ちなみにcusp formはL^2ノルムで収束するけど（←
無限遠点で＝“虚軸について急減少”っていうのが利く）、
上の内積（ピーターソン内積と言う）は少なくとも一方が
cusp formであればもう一方がcusp formでない保型形式（
アイゼンシュタイン級数とか）でも収束はする。
　そうするとM_k（←weight kの保型形式の成すC-vector
space）はアイゼンシュタイン級数の張る空間とcusp form
の成す空間に分解される、しかもピーターソン内積に関して
直交にね、と思ったけど…（記憶不鮮明）。

↑内積の定義の積分の中にy^kを忘れちゃったね。じゃないとwell-defined
にならないや。

　やっと保型L関数。classicalには、f∈M_k（M_kについては
>>79)に対して形式和
L(s,f):=�農{n≧0} a(n)/n^s
と定義（a(n) はfのn番目のフーリエ係数）。L(s,f)の性質は
以下の通り（cf. >>53)
(1) C上有理形に解析接続（非正則点はあったとしてもs=kで
高々１位、留数の分子にa(0)が出てくる）。
(2) s←→k-sの関数等式
　ただし、オイラー積（Πで書きなおせるということ）は
ヘッケ作用素に関する同じ固有関数という条件が必要。

じ、実は複素解析の方弱いんだよなあ。家かえって教科書持ち出して
復習してみるか。
>>74 定義は分かったけど、まだ天下りって感じだ...
ホケイケイシキを定義すると何が嬉しいのかっては、実例をにらんでいれば
分かったりするのか知らん。

まあ、これでおれも 9割は分かったカナ...ふ...

　最近の保型形式では、
L関数→オイラー積から定義
って考え方みたい。だから、オイラー積を持たないような
ゼータ関数は保型形式ではKoecher-Maass級数って呼んで
区別してる。elliptic modular formだと両者は定数倍を
除いて同じなんだけど、他の保型形式（SiegelとかJacobi
とかHilbertも？）ではまったく別物。確かにL関数の方が
数論的に持つ重要性は大きいんだけど、最近の研究でKoecher
-Maass形も重要って事が知られつつある（Weilの逆定理とか
斉藤・黒川リフトとか）。

>>82
本当にわかりやすいのは楕円関数（Weierstrass P-関数）
からなんだけど、それも説明した方がイイかな？そこにく
ると楕円曲線→楕円関数→保型形式ってスムースに繋がるよ。
ApostolのGTMはそういう構成だと思ったけど。あと、重さ
半整数の保型形式やJacobi形式との関連もこっちの方が
わかりやすいかも…（Eichler-Zagierのテキストの最初の
例もこんな感じだしね）。

>>84 の補足。
　Apostolのテキスト読むと、Eisenstein級数はP関数の
充たす微分方程式の判別しきって事が書いてある（と思っ
た）。
　ちなみに楕円関数って言うのは適当な言い方すればC上
の有理型な２重周期関数。で、楕円関数が充たす微分方
程式がC上の楕円曲線の充たす微分方程式をf'→y、
f→xと置き換えたものに一致したような気がする（LNM
の何番か忘れたけど楕円曲線扱ったやつの最初の方に
書いてあった、Robertだったかな？）。

C上の楕円曲線の充たす微分方程式
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
→楕円曲線の一番classicalの定義式（>>51)
って読み替えて

>>84 もしもわかりやすい道があるならそっちも教えてほしい。
二つを見比べてると分かるかもしれないから..

とはいうものの、今は保型関数の実例を確かめるだけで
あっぷあっぷだったりする...

　ヘッケ作用素は誰か別の人に任せた（もう疲れた…）。
天下り式に逝けば志村さんの群論的な定義（ヘッケ環使
ったやつ）が一番すっきりするんだろうけど、あれじゃ
あわかりづらいだろうなぁ…。
　L関数について補足しておくと、L関数の積分表示には
対応する保型形式のメリン変換（←フーリエ変換の親分）
を使うのね。これは、ゼータ関数の積分表示がテータ級
数（←weight1/2の保型形式）のメリン変換から得られ
るって事の類似。weight 1/2の保型形式の定義は↑に書
いたやつとほぼ一緒だけど(cz+d)^(1/2)のbranchの取り方
が厄介だし、書くのも面倒だから志村さんの論文でも読ん
でちょ（1975年くらいのやつ？）。
　余は手淫して寝る。

>>84
EisensteinもRamanujanも本当に保型形式になっていることの
証明は大変だよ。だって、級数の収束性だけでも絶対収束性や
局所収束性（任意のコンパクト集合上で一様収束すること）を
示す必要があるからね。
　Eisensteinが定義の(2)を示すことは群論の練習問題。Fourier
展開はPoisson和公式が必要。とにかくApostolがBumpの表現論の
やつ読めばのってるから間違っても自力でやろうとは思わないよう
に（人生棒に振るぞ）。
　楕円関数については書いた手前責任を感じてるのでちょこっとだ
け（学部４年で勉強したっきりなのでインチキ多いと思うけどそこ
は各自確認してね）。

　τ∈Cは次の条件を充たすものとして暫く固定：
<τ,1>は２次元R-vector spaceCの基底になる
　楕円関数って言うのはC上の有理型関数で
f(aτ+b)=f(τ) for all a,b∈Z
となるもの。これが２重周期性と呼ばれるもの。で、
楕円関数の主な性質はこんな感じ：
(1)正則な楕円関数は0だけ（Liouvilleの定理の簡単な
帰結？）
(2)0,1,τ,1+τを頂点とする平行四辺形（基本平行
四辺形という）の周にそってfを積分するとこの内部
でのfのpoleと零点に関する情報が出てくる（何かは
忘れた、偏角の定理か何かの系）。
(3)ワイエルストラスp関数が楕円関数の例（定義忘れ
た）で、全ての楕円関数はpとp'の有理式で表示される。
(4)pは確か次のような形の微分方程式を持つ：
(p')^2=4p^3-(E_4の特殊な点での値）p+(E_6の以下同文）
↑ここでEisensteinの初登場
(5)しかもp'→y,p→xで置き換えた方程式は非特異楕円曲線
を表す。だから��:=（上の式の判別式）≠0（←ラマンジャ
ン�凾ﾌ初登場）
　こんな感じ。んでもってpをτも含めた２変数関数と見ると
Jacobi形式って言う保型形式の例になる。Jacobi形式が
楕円関数と保型形式のあいのこ的な保型形式と呼ばれる所以。
weightとindexは忘れた、Eichler-Zagierの前書き読んで（
誤植の多い本だけど）

逆に言えば↑でE_4やE_6、そして�凾ﾌ数字は各τに対して変化する。
だからτの関数としてEisensteinやRamanujan�凾ｪ定義されるわけ
さ。しかもτ∈Hとしても一般性を失わない（なぜかは各自調査）
から、そこから自然に保型形式の意味でのEisensteinやRamanujan
�凾ｪ定義される（本当は両方ともフーリエ係数をnormalizeしてお
かないといけないんだけど）。
　さっきからしつこいほどに書いているApostolの本は学部２年生
の知識でも読めるから数学科の人は読んでみるとイイかも。だけど、
ヘッケ作用素とかは逆に今風ではないかも（←保型形式の一般論を
勉強するという意味で）。

　今度こそクソして寝る。保型形式の補足や楕円曲線の
L関数（F_p rational pointの個数で決めることくらい
しか俺はしらない）については誰かお願いします>俺より
もまともそうな数学の人。
　とにかく、志村・谷山予想って言うのは楕円曲線のL
関数が何かかしらの保型L関数になるって事。だけど、
それはΓ=SL(2,Z)の部分群に関する保型形式(level
付き）も含めて。levelついていようが重さが半整数
だろうが保型形式の定義の大筋は上で書いた通りなの
であとは頑張ってください>all

　あ、あと数論もこの辺になると複素関数論バリバリ出てく
るけど、その辺は滝沢さんの関数論が良いテキストになるよ。
まともな大学の図書室に逝けばあるんじゃない？それにリー
マンゼータの性質とかも掻いてあったはず。

ちょっと計算を続けているといつのまにか書き込みが増えているし...
親切な御仁だ。
楕円関数から入っていくのがいなせなのかしらん。確かにやや分かりやすそう。
ではあるがやはり教科書は参照せねばならぬようだな。

Apostolとかいうのを探してみようとはおもうが、おれはもうセイガクじゃ
ないんで図書館も頼れんだろうな。
とりあえず、よい手淫を!

　さらにおまけ。ジーゲル保型形式のRamanujan予想は
解けてなかったと思うから、２０代でそれが解ければ
フィールズ賞もらえるんじゃない（ﾜﾗ

>>94
　楕円曲線も保型形式も楕円関数から入るのが一番のお薦め
なんだけど、複素関数論知らないと厳しいかも。Apostolは
塵膨張とかその辺の洋書屋から買うor万引きすればいいんじ
ゃないかな？GTMシリーズだから、さすがにあるでしょ<Apostol。
　楕円曲線だったらKnappの黄色いやつがイイらしい。まち
がって赤いやつとか買うと悲惨らしいけど（表現論の人はわ
かるよな？）

>>96 の補足。
　だけど楕円曲線（代数幾何）も保型形式（表現論）も抽象
論がバリバリにできているのでM論のテーマとしては大変か
も。僕が院生の頃はそうでもなかったけど、今は世知辛いか
らなぁ（涙）。

20代か!! っておれもうあと 1年しかないよ!!
でも、フィールズ賞は 40未満じゃなかった?
腎膨張は近いので見てみるよ。
じゃ、おれも皮を引ん剥いてひとつしごいてみるか。

刑事マーラーさんって、小学生の頃はどんな
子供だったんですか？

　>>99
別に普通の子供だよ。別にそんなに数学できたってわけで
はないし。まぁ人よりかはエロかったことは認めるけど。

うわ、このスレがあがってて慌てたよ。
っていうか誰か楕円曲線の方も教えてくれよーー。
あと、モジュラーって概念も聞いた気がするけどなんなのやら。

とかいいつつ Apostolも探していない俺であった。

楕円曲線がモジュラーっていうのは、楕円曲線から出来るL関数が
なんらかの保型形式のL関数に“一致”するということだよ。書き
忘れちゃったかな？

前提・・・高校数学・・・
楕円曲線の一般形とζ関数の定義とFourier級数しかしらんです
わけわからん

ああ、モジュラーってのは楕円曲線についての性質なのか...
なぜか保型形式の性質だと思ってたぞ!! 笑うなよ!!

楕円曲線の L関数ってのは、
E(n) = {(x,y)| y^2 = x^3 - ax + b (mod n)}
って、Z/nZ * Z/nZ 上の楕円曲線を定義するところからはじめるんだっけ。
で、各nについて a_n = #E(n) = E(n)の元の個数、とかすると
　　　　　　　L(s,E) := Σ_{n>0} a_n/n^s
って聞いた気がするぞ。これが L(s,f) に一致すればいいんだな。
でも逆にいえば、a_nから保型形式 fが作れそうな気がするが...
うーむ、今は空腹だからよくわからんぜ。

速いペースで来ちゃってすまんな>>105
まあ、フーリエ級数知ってるだけえらい。
俺がギャップを埋めてやればいいのかもしれんが、
複素解析だの群の作用だの説明するのはつらい...
別のスレでも立てればいいのか?

>>106
　あれ、楕円曲線のL関数ってディリクレ級数で定義するんだっけ？
てっきり今までmod pでの解の個数を使ったオイラー積で定義するも
のと思ってたんだけど…。
　ちなみに対応する保型形式は必ずしもΓの保型形式とは限らない
ところが志村・谷山予想の厄介なところ。

志村ってどりふの？

>>107
　ちょっと最短距離走りすぎたかも…、反省してます。
じゃあ、楕円曲線は他の人に任せることにして（爆）、
我々はギャップを埋めましょうか？

>>107
　ちょっと最短距離走りすぎたかも…、反省してます。
じゃあ、楕円曲線は他の人に任せることにして（爆）、
我々はギャップを埋めましょうか？

>>107
　ちょっと最短距離走りすぎたかも…、反省してます。
じゃあ、楕円曲線は他の人に任せることにして（爆）、
我々はギャップを埋めましょうか？

２重カキコスマソ。

あげ

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

109 名前： 嵐山勘三郎 投稿日： 2001/02/27(火) 13:34

志村ってどりふの？

＞１１５
荒らしはやめよう。
それがマナーだ。

sage

ああ、俺はうろ覚えなんで間違ってるかも... >>108

いや、俺もHasse-Weil zetaとL関数の違いすら説明できない
からあまり人のことはとやかく言えない（汗）。

>119
きにするな。

ojaru

SAGE

ドリフっていえば、最近いかりやがコマーシャルで
ウッドベースひいてるの結構かっこよかったりしない？

ねぇ？

あげ

さげ

あげ

あげ

age

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=981637839

あげ

２月８日を祝日化キボンヌ

高校数学が前提だと思って、ひょっとしてちょっとわかるかと期待してた
んですが、ぜんぜんわからないです。ま、高校数学だって怪しいんですけ
ど。
>>50で書いてある、理解するための前提そのものがさっぱりわかりません。
やはり、素人には無理だという事がわかりました。