【今年の数学オリンピック】

について語り合いましょう。

予選を受験した方、どんな問題でしたか？
発表とかはいつ？

本戦のレポートもよろしく。

　

早稲田理工の推薦って、昔は合宿メンバーとかじゃなきゃ
ダメだったのに、今は予選通過だけでいいみたいね。

さっすが、早稲田も身の程をわかってきたな。

　

友人が受けて今問題持ってます
希望するなら載せてもいいです

載せてー。

めんどかったら簡単に載せれるのだけでいいから。

3時間で12問です

問3　2001個の自然数1,2,3,・・・,2001の中から何個かの数を一度に選ぶとき
　　　選んだ数の総和が奇数であるような選び方はなん通りか。
　　　ただし1個も選ばないとき総和は0とする
　　　また2001個すべてを選んでも良い

おいおい。レベル高いな。でも解けた。
確か３時間で１２問だったよな？
じゃあこれは１５分で解かなきゃいけないのか。
高校生にはハイレベルだな。
よければ他の問題も、書いてくれ！！しょぼいのでもいい！！

【問３：解答】
偶数は1000個から、いくらとっても良い。
→とり方は1000Ｃ0＋1000Ｃ1＋……＋1000Ｃ1000＝2^1000
奇数は1001個から、奇数個とる。
→1001Ｃ1＋1001Ｃ3＋……＋1001Ｃ1001＝1/2・2^1001＝2^1000
ゆえに、
（2^1000）^2＝2^2000（通り）
　

選んだ数の総和が偶数or奇数なら残りの数の総和は奇数or偶数。

＞７

てことは、「選ぶ」「選ばない」で2001個の数字を分けると、
2^2001
がすべての選び方。それを2で割って、
2^2001／2＝2^2000（通り）
というのが模範解答か！！

…奥が深いな。俺みたいな文系ドキュソでは6に書いた解き方で
もー限界だ。これでも8分で解けたって喜んでたのに。

さあ、次！
　

問4　2003個の自然数1,2,3,・・・,2003の中から何個かの数を一度に選ぶとき
選んだ数の総和が奇数であるような選び方はなん通りか。
ただし1個も選ばないとき総和は0とする
また2003個すべてを選んでも良い

＞6　確か友達の答えもそんな感じでした。

では第5問
1＾(2001)+2^(2001)+3^(2001)+・・・+2000^(2001)+2001^(2001)
を13で割ったあまりを求めよ

>>10
２００１≡(−１) mod １３ かつ １３は素数よって
Ｘ^(２００１) ≡ １ (X ＝ １ ... ２００１)
で全部足して２００１、更に１３で割って答えは１２

指数をmod13で考えても意味ないぞ。

>>12
いや、指数をmod13で考えるのは別にいいはず。
ただどっちにしろ>>11の解答は不完全。
(13n)^2001を13で割った余りは、１にはならないだろ（ｗ

第5問の答えは 0 ですか？

Fermatの小定理から帰結されるのはx^13≡x(mod13)なのだから
x^(12m+n)≡x^n(mod13)となるだろ。
つまり指数はmod12で考えないといけない。

めんどいので、13で巡回することの証明は省く。（記述なら、この証明で差のつくところだが）
1^13＋12^13≡1^13＋(-1)^13≡0 （mod13）
2^13＋11^13≡2^13＋(-2)^13≡0 （mod13）
3^13＋10^13≡3^13＋(-3)^13≡0 （mod13）
4^13＋9^13≡4^13＋(-4)^13≡0 （mod13）
5^13＋8^13≡5^13＋(-5)^13≡0 （mod13）
6^13＋7^13≡6^13＋(-6)^13≡0 （mod13）
13^13≡0 （mod13）
いま、2001＝153×13＋12 であるので、
与式＋2002^2001≡0 （mod13）
ただし、2002≡0 （mod13）より、2002^2001≡0 （mod13）
よって、
与式≡0 （mod13）

＞１５

しまった。12回で循環するの？
じゃあ間違えたか。

>>16
(13n+k)^2001　+　(13(n+1)-k)^2001 ≡ 0 (mod 13)
∴Σ[k=1,13](13n+k)＾(2001) ≡ 0 (mod 13)

与式 =Σ[n=0,153] {Σ[k=1,13](13n+k)＾(2001)} - 2002^2001 ≡ 0 (mod 13)

＞１８

要約ありがと。

問題持ってる人、次の問題カモン！！

S = 1＾(2001) + 2^(2001) + ... + 2000^(2001) + 2001^(2001)
　 = (2002-2001)^(2001) + (2002-2000)^(2001) + ... + (2002-2)^(2001) + (2002-1)^(2001)
　 = (-2001)^(2001) + (-2000)^(2001) + ... + (-2)^(2001) + (-1)^(2001)
　 = -{1＾(2001) + 2^(2001) + ... + 2000^(2001) + 2001^(2001)}
　 = -S

お。またもエレガントな解答ですな。

問題と答えは別スレッドに分けてほしかったよう...

>22
じゃあどうします？
どこに問題書けばいいですか？

問題は、★☆第１問☆★のように修飾を付けてくれればOK！

問題知りたければ、検索しろよ。

今年の問題はまだ公式ページでは公開されてないよ。

　

いままでここに書かれていた問題が掲載されてるページあるけど、
今やってる問題は過去の問題なの？

じゃあそのページを教えてよ。

サンクス。

結果とかも見たけど、今年は12点満点が7人もいるのか。
簡単な年だったんだね。

　

>>27 >>29
どうも。

>>28
自分で検索しろよ。教えて君は格好悪いぞ。

なんだ。

もう公開されてたんだ。
昨日か一昨日はなくなかった？

　

受験人数増えたねぇ。
やっぱり早稲田の推薦入試が効いてるのかなぁ。
高３で予選通過ってＪＭＯ史上初じゃない？

受験人数、8年ほど前でも1200人程度で変わってないと思うが？

「友の会」の名簿を見ればわかるように、早稲田の推薦とる人って
あまりいないでしょ。

高３は、もともと普通の奴は受けないからな。
思い込みリベンジ君だけ。

>>34
あの友の会っていうのはどうやったら抜けることができるの？

昔、第２回か３回の頃受験したんだけど、その後こちらから
なんの連絡もせずにいたのに、いつのまにか友の会というものに
入れられていて、会費払えだの寄付しろだのいう手紙がたまにくるようになった。

で、実家の方に送られてくるものだから、何も知らないうちの両親は
僕に関係ある何か必要な手続きと勘違いしてお金を振り込んでしまってました。
なんか友の会…詐欺っぽくて嫌（＞＜。

サントリーリザーブ友の会

俺は、住所変更知らせなかったら手紙来なくなった。
会費も払ってなかったんだが。（わら

あれ？ひょっとしてレイプ事件で話題になった東大医学部の
あの人も名簿に載ってるの？
確か桑名高校時代に通ってたんじゃなかったっけ？

>>34
３年くらい前は３桁だったよ、受験人数。
学校が受けさせてるんじゃない？
とりあえず、早稲田キープってことで。
ちなみに予選通過者にまで枠が拡がったのは
１９９９年入学からだったと思う。

>>38
サンクス。しかしそのためだけに引っ越すのは無理だなあ。
金はもちろん払ってないけど。

＃それはそうとしてあんまり個人情報っぽいのを書き込むのは良くないんじゃない？

> ＃それはそうとしてあんまり個人情報っぽいのを書き込むのは良くないんじゃな
> い？

いや、あれ捨てちゃったんでつい、気になったんだが。
確かにそうかもな。

もともと早稲田って入学者のうち、予選合格者が１〜２人しか
いなかったんだから、推薦あげるのに予選合格で十分だったんだよね。
しかもその１〜２人が実際に学科を引っ張っていってるんだから。

>>6
違うと思うんだけど

ごめん、>>6じゃなくて、>>7だ

どう違うの？正しいように見えるけど？？

１から２００１まで足すと偶数だから、選んだ総和が偶数なら、残りも偶数。
奇数もしかり。
だから、一つ一つ選ぶか選ばないかを掛け算した後、だぶりのぶんを２で割っちゃえってのは、成り立たないと思う。
（僕の方に誤解があるかもしれない）

その前の解答は見事だと思いました。

>１から２００１まで足すと偶数
奇数です

予選よゆー

43=ktsurut=ヴァカ

ほんとだ、ごめんなさい。

＞48
特定されないよう気をつけな

最近はすごいね。

昔なら公立中学の３年生が予選通ってびっくりしてたのに、
今は小学5年生も通るからな。

＞日本数学オリンピック本選
＞
＞予選合格者の中から上位約２０名を選抜
＞選抜方法：４時間で５問に証明を与える筆記試験
＞日時： 2001年２月１１日午後１時から５時まで

受けた人います？
問題ぷりーず

1.m×nのマス目がある。次の条件を満たすように各マスをクロまたは白に塗る。
条件：　全ての黒マスについて、そのマスに隣接する黒マスの個数は奇数である。
この時、黒マスの総数は、偶数であることを示せ。ただし、２つのマスが隣接するとは、それ
らが異なり、かつ一辺を共有することである。

>>54 本選の問題ではないよね？
隣接する黒桝の組の数を p とする。
黒桝が q 個、うち隣接する黒桝が1個のもの r 個とすれば
2p=1*r+3*(q-r)=3q-2r より、 3q = 2(p+r) なので q は偶数。

本戦の問題にしては、簡単すぎるなあ。

誰か本戦受けてるでしぉ？

pを素数とする。任意の自然数mに対し、自然数nが存在して
p^nを10進法で表したときその数字列に0が連続して
m個以上並ぶ部分があるようにできることを示せ。

>>58
激しくﾜｶｰﾘません

５４は確かに本選問題。
ちなみに俺の解答は
２つの黒マスに共有される辺の本数をgとする。
今、黒マスの個数を奇数と仮定して、全ての黒マスに、
「いくつの黒マスと隣接しているか」を書き込むと、
題意よりそれらの数は全て奇数である。
一方、「２つの黒マスに共有される辺」と
「隣接する２つの黒マスの組」は対応するので、
それらの数の総和は偶数（=2g）。
つまり奇数個の奇数の和が偶数ということになり矛盾。
よって黒マスは奇数個。

よって黒マスは偶数個。
の間違い。簡単すぎると思ったけど毎年恒例
「花を持たせてくれる問題」。

＞５８
一般化してk進法で解いておこう。

kがpで割り切れないとき

フェルマー･オイラーの定理より
p^{φ(k^(m+1))}≡1 (mod k^(m+1))

よって、p^{φ(k^(m+1))}は、00･･･01と書ける。

kがpで割り切れるとき

kは、k=p^h*w
ただし、 wはpで割り切れない整数と書ける。

フェルマー･オイラーの定理より
任意の自然数、gに対して、

p^{φ(w^g)}≡1 (mod w^g)

p^(h*g+φ(w^g))≡p^{φ(w^g)}*p^(h*g)

={w^g*K+1}*(p^h)^g=k^g*K+(p^h)^g

k^g/{(p^h)^g}はgを大きくすると、無限に大きくなる。

よって、gを大きくとると、p^(h*g+φ(w^g))は、
00000･･･00((p^h)^gの最高位の数)と書ける。

平面上に三角形ABCと三角形PQRがあり、
以下の2つの条件(i), (ii)を満たしている。
(i) 点Aは線分QRの中点であり、点Pは線分BCの中点である。
(ii) 直線QRは∠BACの二等分線であり、直線BCは∠QPRの二等分線である。
このとき、AB+AC=PQ+PRとなることを示せ。
但し、ここでXYとは線分XYの長さを表すものとする。

一見、できそうな感じだけど…

0以上の実数a, b, cがあり、
a^2≦b^2＋c^2，b^2≦c^2＋a^2，c^2≦a^2＋b^2
を満たしているとする。このとき、
(a＋b＋c)(a^2＋b^2＋c^2)(a^3＋b^3＋c^3)≧4(a^6＋b^6＋c^6)
が成り立つことを示せ。また、等号が成立する条件を求めよ。

10進表記で自然数nがa(m)a(m-1)・・・a(1)と表されるとする。
つまり、0以上9以下の整数a(m), a(m-1), ・・・，a(1) (ただしa(m)≠0)を用いて、
n＝10^(m-1)×a(m)＋10^(m-2)×a(m-1)＋・・・＋a(1)
と表される。このとき、
n＝(a(m)+1)×(a(m-1)+1)×・・・×(a(1)+1)
を満たすｎをすべて求めよ。

あ

最近のわかいもんはすごいなあ。

しかし、予選と違って本戦って受験者の点数公表しないよな？？
あれは何でだ？？？

>>68
本戦の合格は、一種の資格だからなんでしょう。

>>68
去年から公表するようになったぞ。

そういえば数学検定も点数公表しないよな。

＞52
その小五の子の後ろで受けました。
情けない。
はぁ〜〜（泣）。

>>72
そんな事書いたら個人特定されるじゃん。

わかんないよ。その小五の子は一番後ろで受けてたりして…

おぢさんにはついていけません。

＞６６
やはりk進法で解いておこう。
n＝k^(m-1)×a(m)＋k^(m-2)×a(m-1)＋・・・＋a(1)
となるとき
n＝(a(m)+1)×(a(m-1)+1)×・・・×(a(1)+1)
となるnですね。


m≧3のとき、k^(m-1)×a(m)＋k^(m-2)×a(m-1)＋・・・＋a(1)
>(a(m)+1)×(a(m-1)+1)×・・・×(a(1)+1)
を示す。

証
(a(m)+1)×(a(m-1)+1)×・・・×(a(1)+1)<k^(m-2)×(a(m)+1)×(a(m-1)+1)

k^(m-1)×a(m)＋k^(m-2)×a(m-1)-(k^(m-2)×(a(m)+1)×(a(m-1)+1))
=k^(m-2)×{k×a(m)-a(m)×a(m-1)-1-a(m)}
=k^(m-2)×[{k-a(m-1)-1}×a(m)-1]≧0

a(m-1)≦k-1，a(m)>0より、
さて、この証明より
k^(m-1)×a(m)＋k^(m-2)×a(m-1)＋・・・＋a(1)
=(a(m)+1)×(a(m-1)+1)×・・・×(a(1)+1)
が成立するのは、a(m)=1，a(m-1)=k-1，a(m-2)=a(m-3)=･･･=a(0)=0
かつ、a(m-2)=a(m-3)=･･･=a(0)=k-1となるときだが、明らかに、
この条件は成り立たない。

よって、m≧3のとき、上記のようなnは存在しない。

m=2のとき、
k×a(2)+a(1)={a(2)+1}×{a(1)+1}

{k-a(1)-1}×a(2)=1
これをみたすのは、a(2)=1かつa(1)=k-2のときのみである

m=1のとき

a(1)=a(1)+1これは明らかに成り立たない。

よって、k進法で条件を見たすのは、k進法で、1(k-2)の数のみである。
因みに、10進法で、この数は18である。

http://yasai.2ch.net/test/read.cgi?bbs=ojyuken&key=982398398&ls=50
厨房必見

>このスレッド立てた者ですが、僕がもう一つ疑問に
>思ってるのは、JMOの講演会みたいなものでも、
>選手と墜ちた人に対する差別はすごいです。
>本来両方とも数学に興味をもって講演に来ているのに、
>テストに通った人だけをせきに座らせてあとは立ち見させている
>態度が、数オリそのものを物語っています。
>優性保護思想ですね。数オリは。だから価値がないんです
>一部の人間にしか理解できない、そして必要のない学問は
>学問とはいいませんから。

勘繰り過ぎのような気がしないでもないが、
なんだかキツ〜い雰囲気だな…。
俺には全く無縁の世界だが。

というより、単なる妬みじゃん。

悔しかったら数学を使わずに他の学問してみろってんだ。
当然、数学の知識によって作られた電化製品も使わずに。

>>79
だから数学じゃなくて数学オリンピックがくだらないんだよ。
それくらいわからないのか？てめえは数学やる前に
日本語やれよ。
ヴァカが。

>>79
わかったか！この厨房ヴァカが。

>>80-81
数学オリンピックが「学問」だってのか？アフォウ！

>>79は、

>一部の人間にしか理解できない、そして必要のない学問は
>学問とはいいませんから。

ここに反応したんだろ？

>>82
思い込み？？

　　　　　　　　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　 ∧ ∧　　＜ 　>>78-82は一体なにしてるの？
　　　　　　　　　（ﾟДﾟ ）＿_　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　 ／￣￣∪　∪ ／|
　　　／∧＿∧　　　／／|
　 ／_ （　´∀｀）＿／／ ┌─────────
　||￣（ 　　　 つ　||／　 ＜　モテない男達が傷を舐め合っているんだよ
　||　（_○_＿_)　　||　　　└─────────

＞８０

本当に妬みじゃん。

野球は面白くてすばらしいスポーツだけれど、技術の優れた人間が
金をとってその技術を見せびらかすプロ野球は許せん！

と言ってるのと同じだぞ。

数オリは面白くもすばらしくもないって言ってんじゃねーの？>留学生ｸﾝ

数学は良いが、数オリはダメって80は言ってたじゃん。

だから、そうじゃん？って85に言ってるの。
わかりにくくてｽﾏｿ。

参加者全員イスに座らせれば解決する

馬鹿に座らせるイスはねえよ。

＞８８

「数学は良い学問が数オリはくだらん！」
と言うことは、
「野球は良いスポーツだが、プロ野球みたいに見せ物にする
　のはけしからん！」
と言うのと同じではないか？

と俺は85で言ってたんだけど。

JMOの講演会をビデオに撮っておいて
あとで公開すればいいんじゃないの？
もうやってるのかな？

あぼん？？？

↑勘違いでした

>>91
>「数学は良い学問が数オリはくだらん！」
>と言うことは、
>「野球は良いスポーツだが、プロ野球みたいに見せ物にする
>　のはけしからん！」
>と言うのと同じではないか？
同じかどうかは知らんが、仮に同じだとして
>野球は良いスポーツだが、プロ野球みたいに見せ物にするのはけしからん！
と主張することがなんで妬みになるんだ？
>>79で言ったこと忘れてるのか？

ほかのもんだいは〜

野球は良いスポーツだが、高校野球は歪んでるとおもう。

どんなに良いスポーツでも、人間が実際にプレイすれば歪む。
数学だって同じ事。
人間がそれで何かしようとしたら歪むのよ。

↑誰か通訳してください

「誰か」なんて言わないで９８本人に聞けば？

野球やるのが好きなおっちゃんが、野球のうまいプロ選手を妬んでる
っていう意味だよ。

数学好きなバカ理系が数オリに出れるような優秀な高校生を
妬むってことはそんなおっちゃんみたいなものだということ。

数学が得意な、ものすごく性格悪い人間がいるということでわ？

>>101
つまり、
>数オリに出れるような優秀な高校生
と
>野球のうまいプロ選手
が同じ扱いなわけね（ｗ
では、プロの数学者は野球でいうと何なのかな？

>>105
新庄

審判

>>106
ｵﾓﾛｲ
>>107
ﾊｧ?

解説者だろ。

>>105
客席を回ってる弁当屋だろ

長島監督

>>105
ナベツネ

>>105
ゴールキーパー

>>113

きみ、お友達が待ってるよ
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=topics&board=1835554&sid=1835554&type=r

　

ホームティーチャー

ジャイリーガー

自作自演うざい。

・・・っていうか

ＫＤＤＩ＝元国営、日本道路公団＋民間資本（トヨタ、イナモリ）
テレコム＝ＪＲ、ＢＴ（元イギリス国営）、ＡＴＴ（元アメリカ国営）
ＮＴＴ＝元国営
ＴＴNet＝東京電力

超安定感のカタマリじゃん
それにイナモリが入って好き放題。。。

めでたい業界だ。

＞１１８
>>101さんですか？泣いてんの？（わら

スレ違い？

荒らしに決まってんだろ

低レベルなスレになってきた。

曝し挙げ

>>123
だいたい数学オリンピックを数学板で語ろうというあたりから低レベルなんじゃないの？（ｗ

オリンピック板で語りたい？

>>126
ttp://teri.2ch.net/tubo/index2.html
こっち逝けば？

このスレは、２，３人のバカが争ってぼろぼろにされてしまったなあ。

>>128
ボロボロになったスレは下げろ

私が復旧します

今井死ねうざい

死にます！死にます！

＝＝＝＝＝＝＝＝大感動！愛と涙と友情の最終レス＝＝＝＝＝＝＝＝

　　　　　〜未だかつてこれほどまでに感動的な
　　　　　　　　　　　　　最終レスがあっただろうか？〜

　★このスレッドを読んだ人達の声★
「何気なく開いたこのスレッドとの出会いから、
　新しい自分の可能性を信じようと思った。」（２７歳、フリーター、女）
「感動した！勇気が湧いてきた！人生観が変わった！
　自分にも何かやれそうな気がした！」（２４歳、会社員、男）
「落ち込んでる時にこのスレッドを見つけ、
　期待しないで読んだが、読んで涙が出た。」（２１歳、学生、女）


これほどまでにみなさんに愛されてきたこのスレッドですが、
残念ながら、このレスで終了となってしまいました。
でも悲しまないでください。
このスレッドはいつまでも
あなたの心の中で生き続けているのですから…

sage

＝＝＝＝＝＝＝＝大感動！愛と涙と友情の最終レス＝＝＝＝＝＝＝＝

　　　　　〜未だかつてこれほどまでに感動的な
　　　　　　　　　　　　　最終レスがあっただろうか？〜

　★このスレッドを読んだ人達の声★
「何気なく開いたこのスレッドとの出会いから、
　新しい自分の可能性を信じようと思った。」（２７歳、フリーター、女）
「感動した！勇気が湧いてきた！人生観が変わった！
　自分にも何かやれそうな気がした！」（２４歳、会社員、男）
「落ち込んでる時にこのスレッドを見つけ、
　期待しないで読んだが、読んで涙が出た。」（２１歳、学生、女）


これほどまでにみなさんに愛されてきたこのスレッドですが、
残念ながら、このレスで終了となってしまいました。
でも悲しまないでください。
このスレッドはいつまでも
あなたの心の中で生き続けているのですから…

いい加減、うざいからこっち逝ってやってくれ。

http://cocoa.2ch.net/olympic/index2.html

ギャンブル板

さげ

あげ