線形空間の次元

Vが2X2の空間全体の時、Vの次元は？という問題で、次元は
V全体を表すために最小限必要な要素の数という考え方だと
４と思うんですが、次元＝階数（dim(V)＝rank(V)）という
考えだと、１になってしまいます。こちらで考えたらいいん
でしょう？

「2X2の空間全体」って
「2×2行列の全体のなる空間」のことか？

だいたい、rank(V）とは何のことだ？

「･･･のなる空間」→「･･･のなす空間」

＞３
これはありがとうございます。

＞２
rank(V)
V＝　１　１ と考えて出てきた階数。
　　 １　１
だったんですが、Vは空間全体だからダメか。

M_2(R)だったら４次元、R＾２だったら２次元では。

っていうかそもそもＶの定義と、どの体上で考えてるかがわかりにくすぎ。
Ｒ上でなら６の言うとおり。
あと、５に関しては線形写像の行列表示の概念と、
Ｖの定義たる行列とを混同してると思う。
問題は後者だけど、前者を混同しない限りrankなんて考えは出てこないはず。
dimは「表示に必要な要素数」ではなく、「基底集合の濃度」が定義。
（Zornの補題によってwell-definedが示される）
つまり、「基底を構成するベクトルが何個あるか」。