どうしてもわからじ。

「どんな平面できってもその断面図が相似になるような立体は
球のみである。」
というのは正しいんですかねぇ。証明できず。

立体の表面の２次曲面の方程式はＸ，Ｙ，Ｚの２次式で表されるが
Ｘ，Ｙ，Ｚどの２つを交換しても元の方程式と同じになる
という事が導かれるような気がするが。そうすると球だといえる。

＞２
レスの速さにびびりまくり。（＾＾）
しかしどうやってそんなことを導くのだろうか・・
っていうか導けるか？？

立体の表面は２次曲面なのか？

そうだよな、立体ってったっしいろいろあるしな。

有界で区分的に滑らかな連結曲面に限ることにして、
S と書くことにします。
S の 2 点で最も遠いものの一組を P＠｀ Q として、
PQ を通る平面による断面を考えると全て合同(C と書く)。
この合同が P＠｀ Q のうちどちらかを保つようにできれば
いいんだけど、これはなかなか怪しい...
実際 C がルーローの多角形なんかだと、
一方が動いている可能性がある。
まあこの場合は S が球面の一部を含むので
円をふくむ断面が取れて否定できるんだけど。

うーん。続きは一眠りしてからにします。

>>6
おーい、続きは？
何時間寝てんだ。

>>7
いや、実はその後布団の中で考えてるうちに大体解けた(と思う)んだけど、
だれかがあげてからにしようと思ってたんです。

有界で滑らかな閉曲面については示せたような気がするので
これから書きます。

証明すべきこと。
S を 3 次元空間内のコンパクトで境界を持たない
(区分的ではなく本当に)滑らかな曲面として、
S を任意の平面で切ったとき(空、有限点集合を除き)相似であれば、
S は球面である。

まずは簡単なところから。
B を S の内部として、適当な(generic な)直線と直交する
平面の族で切ると、まず空集合、次に一点、それから凸集合になる
と思います(可微分の世界って苦手なんで、違ってたら教えて)。
ということは、全ての断面が凸と言うことになり、
B は凸集合(特に連結)になります。

6 に書いたように、P＠｀ Q を S の点でもっとも遠い距離にあるものとします。
すると P＠｀ Q での接平面は PQ と直交します。
言い換えると、Q は P での S への法線と S との交わり
(B が凸だから 2 つある)のうち
P でないほうになっていて、P は(略)になっている。

このへんで切った方がいいかな。

さて、PQ を含む平面を H(t) と書いて(t はパラメータ)、
H(t) と S の交わりを C(t) と書くと、C(t) は全て合同、
よって、C:=C(0) から C(t) への合同写像 f_t で、t について
可微分に変化するものがある(ここも怪しいかも)。

もしも P(s)Q(s)=PQ であるような C の点 P(s)＠｀ Q(s) が
s の連続関数として定数しか存在しなければ、
f_t(P)=P＠｀ f_t(Q)=Q となって S は回転面、
よって断面として円があるので C も円になります(矛盾)。
P(s) が定数、Q(s) が定数でない(またはその逆)の場合、
C は P を中心とし、 Q を通る円弧を含むことになります。
f_t(P)=P だから、C(t) も同様の円弧を含み、
やはり断面として円が得られて矛盾となります。

そこで、P(s)Q(s)=PQ となる連続な P(s)＠｀ Q(s) で、
いずれも定数でないものがあることになります。
C(t) は C と合同なので、f_t の可微分性も使うと、
S の開集合 U であって、そのなかの任意の点 P' について
P'Q'=PQ となるような Q' が存在するようなものが
あることが、多分言えます(要チェック)。

書かれたことを理解する以前に、10の２段落目あたりから
定義無しにs＠｀P(s)等が導入されていて読む気になれない。

この Q' は、上に書いた通り P' での S への法線と S との交わりなので、
P' にたいして Q' を対応させる写像 g は可微分です。
また、その逆も可微分なので、可微分同相になります。

10 の P(s) の軌跡の中程に P を取り直し、
P が U にはいるようにしておきます。
また、もとの P から新しい P への方向に近い方向に
少し進んだ点 P' を取り、P＠｀ P'＠｀ Q を含む平面を H(t) とします。
これと S の交線を C とすると、C 上には P'Q'=PQ となる点があるので
Q'=g(Q) も H(t) 上にあることになります。
PQ が P＠｀ Q における S への法線だったことから、
g は等角写像であることがわかります。

再び C 上で考えると、ある PQ 上の点 O を中心に PQ を
回転したものが P'Q' に(一次の無限小で)なっています。
この点 O は PP' と QQ' の比で決まるわけですが、
g の等角性から、O は(小さな t について) 一定であることがわかります。
ということは、f_t(P)＠｀ g_t(P) は円弧を描くことになり、
S が球面の一部を含むことがわかります。あとは簡単。

12 の下から 2 行目、
f_t(P)＠｀ g_t(P) は P(s)＠｀ Q(s) の間違いです。

f_t の可微分性がやっぱりあやしいかなあ。

>>11
s はある開区間を動く実変数です。
C の性質によって場合分けしているだけなので、
t 等とは関係ありません。

P(s)は？

ス、スゴイ！！
ここの皆さんは東大理系数学、何完できます？
俺、文�Vなんですけど数学は１完でした。
皆さんって、どこの大学なんですか？

東海大

＞１６
えっ、マジっすか？やっぱ、理系はスゴイですね。
東大っていっても文系じゃダメですね。ハァ〜。
理系から見たら、俺なんてバカですよね。

数学だけで勝負すれば
東大文系＜＜東海大理系
は自明

↑
そうでもねえぞ

>>14
P(s) は s によって連続にパラメータ付けされた C 上の点で、
P(0)=P となるもの。

KARLだって灯台文�Uじゃない。

>>21

KARL＜＜東海大理系

>B を S の内部として、適当な(generic な)直線と直交する
>平面の族で切ると、まず空集合、次に一点、それから凸集合になる
>と思います(可微分の世界って苦手なんで、違ってたら教えて)。

結局そういうことになるけど、この時点でそれを証明できんの？

>>22
まず、「generic な」というのは「ほとんど全ての」
くらいの意味です。念のため。

直線 l が z 軸になるように座標変換すると
z は S 上で最小値を持ちますが、
その最小値を与える点が 1 つだけで、かつこの点を原点として
S が z=ax^2+by^2+(高次の項) (ただし a＠｀ b>0) となれば
いいわけで、ほとんど全ての l についてそうなる
と言うのが主張なのですが、まずいですかね。

直観的には任意の閉曲面について言えそうなんだけど。

なんの説明にもなっていません。
失礼ですがもう少しきちんと数学をやられた方がよろしいかと。

>>25
23 さんですか ?
可微分多様体に詳しい人だったら教えて欲しいんですけど、
24 の主張って正しくないんでしょうか ?
基本的な問題だから知られていてもいいと思うんですけど。

私は知りません。
しかしなんの証明にもなっていないことは分かります。

>>27
　 　　　　 ／￣￣￣￣￣
　冫、 　＜　　あっそー
　` 　　　　＼＿＿＿＿＿

>>27
証明になってないというのはおっしゃる通りです。
24 は、この問題の場合に限らず
任意の閉曲面について成り立ちそうな事実であると
述べておいた方が分かりやすいかと思って書きました。

ま、今の問題の状況なら証明できそうなんで、できたら書きます。

そうです。

>>28
　 　　　　 ／￣￣￣￣￣
　冫、 　＜　　あっそー
　` 　　　　＼＿＿＿＿＿

矢野健太郎のコラムにそんな問題があったとおもう。
ボットだっけ，出題者は？

>>29
次はまともなやつを期待しています。

1です。
俺の方針もだいたい６さんと同じなんです。
ようするに最長の２点PQをとって、その二点を通る平面できった断面は
合同であり、・・・・とかやってどこかの断面が円になるとかいう道筋なんだけど
うまくいかない。
とりあえず今確実に言えていることは、相似である断面図がある直線に対して
線対称だってくらいかな？何の役にもたたんかもしれんが。

　 　　　　 ／￣￣￣￣￣
　冫、 　＜　　それで？
　` 　　　　＼＿＿＿＿＿

24 に書いたことですが、証明できました。
万一興味のある人がいれば書きますけど、
ミルナーの「モース理論」にある、ユークリッド空間に埋め込まれた
多様体上のモース関数の構成のところと同様です。

で、考えてみると、これを使えば簡単に証明できますね。
座標軸を取り換えると、S 上の z 座標の最小値は 0＠｀
最小値を与える点は原点のみ、
原点の近傍で S は z=ax^2+by^2+o(x^2+y^2) (a＠｀ b>0)と書けるので、
z=c (c>0) での断面は c を 0 に近づけると
楕円 ax^2+by^2=1 に「十分近い」図形と相似になる。
ここで仮定を使うと断面は楕円。あとは同様。

というわけで、滑らかなコンパクト曲面の場合は
これでいいのではないでしょうか >>1

＞３６
＞原点の近傍で S は z=ax^2+by^2+o(x^2+y^2) (a＠｀ b>0)と書けるので

なぜに？たとえばなんでｚ＝ｘ＾４＋ｙ＾４の形にならないといえる？
これは楕円じゃないぞ？

>>37
ですからそれが 24 の主張なんです。
とだけ言うのもあれだから、一応証明の概略を。

まず、v を単位球面上の点として
S 上の関数 f_v を f_v(P):=(v.P) (内積)によって定めると
この関数は非退化な臨界点しか持たない。
すなわち、P を中心とする S の局所座標系 s＠｀ t に関して
f_v(s＠｀ t) の s＠｀ t に関する偏微分がいずれも 0 のとき、
f_v(s＠｀ t)=(定数)+as^2+2bst+ct^2+(高次の項) と書けるが、
この係数について ac-b^2 は 0 でない。

このことの証明も書きかけてたんだけど、
いま岩波数学辞典(第 3 版)をみたら
書いてあったのでやめときます(Morse 理論の項、C. Morse 関数の存在)。

さて S はコンパクトなので f_v は最小値 k を持ちます。
必要ならば v を少し動かすと f_v(P)=k となる点は
一つだけになることが証明できるので(ここは少しだけ面倒)
この点を原点、v を z 軸の向きとするような座標系を取ると z 座標 = f_v-k.
さらに xy 座標もうまく取る(2 次の項を標準化する)と、
原点の近傍で S=(z=ax^2+by^2+o(x^2+y^2)) (a＠｀ b>0)になります。

>>37
おまえさん、多様体とかやったことないだろ？（ｗ