◆ わからない問題はここに書いてね ４ ◆

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　 ヽ　| |　l　 l |〃　＜ わからない問題はここに書いてね♪
　　｀ｗﾊ~　ｰノ）　　 ｜それと、数学記号の書き方は >>2 を読んでね♪
　　 /　＼｀「 　　　 　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

古いスレッドはこちら
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=967755172&ls=50 その１
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=970795775&ls=50 その２
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=974911042&ls=50 その３

数学記号の書き方の例
---------------------------------------------------------------
●足し算 a+b　●引き算 a-b　●掛け算 a*b, ab　●割り算・分数 a/b, a/(b+c), a/(b*c)
※“*”は掛け算の記号です。×(かける)はＸx(エックス)と混同してしまうので使わないのが無難です。
※割り算は“÷”を使わず分数の形で表わすのが一般的です。
●指数 a^b, x^(n＋1)
●ルート √(a+b), (a+b)^(1/2)
※指数は“＾”を使います。｢xのn+1乗｣は“x^(n+1)”ときちんと括弧でくくりましょう。
※√は“るーと”を変換して下さい。
●三角比 sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
●対数 log_a(b), log[a]b, log(x/2), ln(x/2)
※底を省略する場合log(x/2)は常用対数,ln(x/2)は自然対数です。

●関数 f(x), f[x]
●数列 a(n), a[n], a_n
●積分 ∫[0,1]f(x)dx　∫[y=0,x]f(x,y)dy
●数列和・数列積 Σ[k=1,n]a(k), Π[k=1,n]a(k)
●極限 lim[x->∞]f(x)

※そのほか≠≧≦≒∈±≡∩などは“きごう”を変換して使います。

http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=accuse&key=974985294

後始末よろしく〜

〜別スレより移動〜

楕円 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
に点（α，β）から下ろした法線の傾きを求める．

こんな単純な問題が解けなくてかなり欝です。
よろしくお願いします。

>>3

了解！

＞４

楕円 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 上の（ｘ０,ｙ０）での接線は、
ｘ０＊ｘ／ａ＋ｙ０＊ｙ／ｂ＝１だから、これを使えばなんとかできるだろ。

フィールズ賞？って今からでもねらえますか？ちなみに僕は３０歳。

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=974911042&st=914&to=914&nofirst=true

>等加速度運動で狙った場所にとまりたいとき、
>ブレーキを踏み始める地点ってどうすれば求まるんですか？

ブレーキを踏む前の速度をｖ０、等加速度をａ（＜０）とすると、
ｖ（ｔ）＝ｖ０−ａ＊ｔ＝０
から、ブレーキを踏み始める時間は、
ｔ＝ｖ０／ａ
この間に進む距離は、
∫[0〜ｖ０／ａ]ｖ（ｔ）ｄｔ＝（ｖ０＊ｔ−ａ＊ｔ＾２／２）｜[0〜ｖ０／ａ]
＝ｖ０＾２／２ａ

答え ｖ０＾２／２ａ

＞７

首つって生まれ変わればＯＫ

log_{a}(b)=log_{*}b/log_{*}a (*は何でもいい)
となる直感的な理由をだれか教えてくれ。（式での証明は知っている）

＞ *は何でもいい

あっ、0や負の数じゃだめ。

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(*´ー`*)ﾉ さくらスレ旗掲揚

>>6
(x0,y0)での接線は x0/a^2 x + y0/b^2 y = 1
　　　　　　　 法線は a^2/x0 x - b^2/y0 y = a^2 - b^2
というのは確かにわかります。
学校を出てずいぶんになるますが、さすがにここまではわかります。

問題は、それで、どうするかです。
α、βを代入して
a^2/x0 α - b^2/y0 β = a^2 - b^2

陽関数なら、ここで、x0,y0はx0^2 / a^2 + y0^2 / b^2 = 1 を満たすから……
と、方程式を進めるのですが。。。。
そうしようと思うと方程式が爆発して、自力で収められそうにないのです。。(欝)

なんか根本的に違う方法はないのかな……という質問です。

>>10

　log_c(a) ×log_a(b) = log_c(b)
とすればほとんど自明じゃないか？

すまぬ。どう自明なのかわからない。
解説お願いします。

そもそも log_c(b) ってのは
「cを何乗したらbになるか？」の答だよね。
一方、log_c(a)×log_a(b) というのは
「cを何乗したらaになるか？」と「aを何乗したらbになるか？」の値を
かけているわけで、
指数法則「 (x^m)^n = x^(m×n)」を認めるならば
log_c(a) ×log_a(b) = log_c(b) がいえるのも自然なのでは？

＞１３
＞法線は a^2/x0 x - b^2/y0 y = a^2 - b^2

最終的には傾き＝(a/b)^2*(x0/y0)だけを出したいんだから、
x0/y0の値だけがわかればいいじゃん。
別にx0,y0を個々に求める必要なんかない。
x0/y0＝k（または(a/b)^2*(x0/y0)＝k）とおいてうまくいかない？

うわ〜〜ん むずかしいよぉ〜〜〜（泣）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　みんな，こんにちわっ♪ 新世紀まであと１２時間．
　 ヽ　| |　l　 l |〃　わからない問題は，２０世紀最後もさくらと一緒に
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 レリーズ！！
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　人ｗ/　从从) ）　 移動屋さん，新しいスレッド立てと手続きごくろうさまでした．
　 ヽ　| |　l　 l |〃　１ヶ月に約１スレ弱のペースで，いよいよ４スレ目に突入．
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 さくらもがんばって答えるね♪
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 (α,β)と(a*cosθ,b*sinθ)の長さが極値をとればいいので，微分してθを
　 ヽ　| |　l　 l |〃　求めると，sin(2θ)=2(αa+βb)/(a^2-b^2)．これからsinθとcosθを
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　計算すれば，傾き=(β-b*sinθ)/(α-a*cosθ)が出せるけど結果は複雑になってしまうよー．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＃ もっともっといい方法があると思います．

y''+(2/x)y'-(k/D)y=0
k,Dは定数です。
x=Xのときy=Y
x=0のときy'=0です。
途中の過程を詳しく書いてもらえるとありがたいです。

y''+(2/x)y'-(k/D)y=0
k,Dは定数です。
x=Xのときy=Y
x=0のときy'=0です。
途中の過程を詳しく書いてもらえるとありがたいです。

10ばんさんへ
a^(log[a]b)=b
b^(log[b]c)=c
∴(a^(log[a]b))^(log[b]c)=c
つまり
a^(log[a]b*log[b]c)=c
一方
a^(log[a]c)=c

これでどうでしょうか。

>>8
どうもありがとう！

>>24

ありがとう、じっくり考えてみます。

「フィボナッチ数列の項の中で、整数の二乗となるのは１と１４４のみである」
とかいうのを聞いた事があるんですが、これの証明を知りたいです。

α β γはα＞0 β＞0 γ＞0 α+β+γ＝πを満たすものとする。
このときsinαsinβsinγの最大値を求めよ。
L=sinαsinβsinγ+λ(a+b+c-π) という式を、
α,β,γについて偏微分する･･･
ってのがわからないです。どなたか、分かる方、お願い致します。

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　あけましておめでとうございます．
　 ヽ　| |　l　 l |〃　わからない問題は，２１世紀もさくらと一緒に
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 レリーズ！！
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　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 ラグランジュさんの未定乗数法という条件付き極値問題で
　 ヽ　| |　l　 l |〃　使われる手法だよ．一般に，条件なしの関数f(x1,x2,...)の
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　極値点の候補は∂f/∂xi=0 (i=1,2,...)で探すことができるけど，
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（つづく）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 g1(x1,x2,...)=g2(x1,x2,...)=...=0というような条件付き
　 ヽ　| |　l　 l |〃　の場合の関数f(x1,x2,...)の極値点の候補は，新しい関数
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　L(x1,x2,...,λ1,λ2...):=f+λ1g1+λ2g2+...の条件なしの問題に帰着できる．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（おわり）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 なお，この問題の具体的な解答と解法は，
　 ヽ　| |　l　 l |〃　 このスレの過去のログ中にすでにあるので，
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 探してみて下さい．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

曲線Cが卵形線ならC上の任意な点における接線に平行な他点における接線は
ただ１つであることの示し方を教えてください。

卵形線って何？ 定義を教えて。
ともかく、方向ベクトルを極形式で表して、
角度成分が単調に変化するのならば、ほぼ自明では？

記号の話ですけど、「〜」と「〜」が二つ重なった奴と「≒」って何が違うんですか？

>>34
単純閉曲線で囲まれる狭い領域の任意の2点を結ぶ線分がCの領域内にある
っていうのです。＞卵形線
確かに自明なのですが、それを示す必要がありまして困ってます。

授業で、以下のことを自明と言われ、各自証明せよと言われて困ってしまってます。
どなたか教えてくれませんでしょうか？問題は、微積です。

区間（a,b）で定義された単調関数の不連続点は高々可算個である。

>>36
卵形線というよりは一般の平面凸曲線で成立する性質かな。
凸だったら少なくとも区分的に微分可能曲線になるはずだから
各点で接線が定義されるのは良いとして、その偏角ψ(t)は[0,1]上の単調増加関数
# C={(x,y)=φ(t)|0<=t<=1} として ψ(0)=0,ψ(1)=2π
ψは連続関数だから中間値の定理から任意の偏角を一回だけとる。
という感じか。
結局区分的C^1級曲線であることを示さにゃいかんのか。

>>38
助言ありがとうございます。これを頼りにやってみます。

>>38
すいません。
中間値の定理から任意の偏角を一回だけとるということは言えるのでしょうか？
一回だけ取れるという理由がよくわかりません。
どうかご教授お願いします。

一回だけ、というのは、ψが単調増加だからでは？

区分的C^1級というより「加算個の点を除いてC^1級」だな。
37 を使うという話だろ。きっと。
ψがある偏角をとる点は一点、もしくは区間１個になると。
ψの不連続点(Cの「かど」)は右から近づけた極限にしとけばよかろ。
[0,2π] というよりは [α,2π+α] か。(ψ(0)=αとして)

しかしこれだと角の反対側がまずいなあ。
結局C^1級の曲線でないと成り立たないのか。
(だから卵形線なわけね)

＞３７

狭義の単調関数なら自明

４４さんへ＞
どうしてでしょうか？ご指導のほど　して頂けませんか？
あと、狭義でない場合はなりたたないのでしょうか？

>>42
なるほど。度々ありがとうございます。
Cは単純閉曲線で捩率＝0、DをCによって囲まれる狭い領域とした時
任意のp、qに対してsp+(1-s)q∈D、任意のs∈［0、1］
以上のことで凸曲線ということが言えると思うのですが、
これを用いて説明はできないでしょうか？
また逆を言う場合にはどうしたらいいんでしょうか？

競技短調な場合、不連続点は、跳ね上がり店（跳ね下がり店）
（leap)に限ります。（これは自分で納得して）
上から（下から）押さえられているので、跳ね上がり量は恥に
逝くにつれて、絶対値が小さくなります。
1/2^(n+1)<leap<1/2^nを満たす跳ね上（下）がり量の不連続点
が有限であることから、加算集合であることがわかりますね。

反例としては３角形とか。

>>37
>>44
なんにしても、｢自明｣で片付けるのはあんまりですな。

追加：最初に[a,b]の場合（塀区間）でやって下さい。
次に(a,b)(a=-無限大,b=無限大もOK）を加算個の塀区間で覆って考えて
下さい。そしたらどの場合でも、加算個ってでるわよ。

つーか、むずいこと抜きにして
非可算個も不連続点がある状態で、どのようにして単調に増加（または減少）
しているかどうか判断できるというんだ？？
「狭義単調」という言葉自体、高々可算個不連続点の関数でしか意味を
もたないだろーが。

ちなみに４４’は俺（４４）ではない。

>>51
>「狭義単調」という言葉自体、高々可算個不連続点の関数でしか意味を
>もたないだろーが。
なんで？

次の問題のとき方を教えてください。
（１）a,bを奇数とするとき、
　方程式x^2+ax+b=0は整数解を持たないことを証明せよ。
（２）nを自然数とするとき、log(n),log(n+1),log(n+2)を項として含む
　等差数列は存在しないことを証明せよ。
（３）Ａは実数をせいぶんとする2次正方行列で、
　Ａ^4＝Ｅ、det(Ａ)=-1を満たすとき、tr(Ａ)の取り得る値をすべて求めよ．

（１）a,bが奇数ならば任意の整数 x に対して x^2+ax+b は奇数になる．
　　（←何故か？）
（２）３個の数 u,v,w（u<v<w）に対して，
　　「a(i)=u, a(j)=v, a(k)=w （i<j<k）となる等差数列 a(n) が存在する」
　⇔「(w-v)/(v-u) は有理数」　（←何故か？）
（３）とりあえず A^4 - E を A^2 - tA - E で“割り算”せよ．（但し t=tr(A)）

レス有難うございます。
（１）
　xが偶数のときはx^2+ax+b＝(偶)+(偶)+(奇)=(奇)
xが奇数のときはx^2+ax+b＝(奇)+(奇)+(奇)=(奇)
ということでしょうか？
このあと整数解をもたないことはどうやって証明すればよいのでしょうか？
（２）
　交差をdとおくとき、w-v=(k-j)d , v-u=(j-i)dとなるから
(w-v)/(v-u)=(k-j)/(j-i)となるからこれは有理数
ということでしょうか？
ということは、ここから
(log(n+2)-log(n+1))/(log(n+1)-log(n))が有理数、と仮定して
背理法で証明するのでしょうか？
（３）
　よくわからないのですが、
　“割り算”というのは逆行列をかけるということでしょうか？

すみません、この問題の解き方を教えて下さい。

「平地からの山の高さｈメートルを求めるために、平地上のＡ地点で仰角αを得た。
次に、平地上を山の方へaメートル進んだＢ地点で仰角βを得た。ｈを求めよ」

解答は　ｈ＝a tanαtanβ/tanα-tanβ　となっているんですが・・・

その解答おかしくねぇか?
　　　 a・tanα・tanβ
h = --------------
　　　　tanα ー tanβ
って言いたいんだろうけど、

A地点よりB地点の方が山に近いんだから、α＜βだよな。
もちろん問題の趣旨からいって、０＜α＜β＜π/4 だから、
tanα ＜ tanβ ←→ tanα ー tanβ ＜ 0
となって、h < 0 となる。 これは０＜α＜β＜π/4 に矛盾する。
ということで、問題か、解答のどちらかまたは両方に間違いが含まれています。

そこまで書くなら解いてやれよ。
つーか 0＜α＜β＜π/2だな。

正解は、
h=(atanα・tanβ)/(tanβ-tanα)

β地点から山のふもとまでの距離をｘとしてみ。
ｘを消去してhについて解く。
(これくらいならおれにも解けるぅぅぅはははは)

Ｘ＾Ｘ＝２　を満足するＸの値は、どうやって求めればよいのでしょうか？
ｌｏｇや√等の組合せで厳密解が表現できるのかな？
漸化式で近似解を求めるしかなさそうな気がするのですが？
教えて下さい。

Ｘ^Ｘ＝４やＸ^Ｘ＝２７だったらいいのに。
つーか、いくつ解があるのかな。

＞６０・・・・新参者１，２，３・・・沢山と申します。
よろしくお願いします。
つまり、Ｘ＾Ｘ＝Ａの一般解方法が知りたかったワケなのです。
Ａ＝２は、たまたまＸ＊Ｘ＝２つまりＸ＝√2を眺めていて思いついた
具体例です。

Ｘ＝1.55961046947程度と思われ。＞Ｘ^Ｘ＝２

>>57 >>58
解りました！
写し間違いの様です・・・すみません。
B地点〜山をｂとすると、
tanα＝h/a+b（１）　、
tanβ＝ｈ/b　→　b＝h/tanb　となって
　　　　　　　　　　　　　　　　　ｈ　　
これを（１）に代入すると tanα＝――――
a+h/tanβ
ｈ＝tanα（a tanβ + h）/tanβ
h(tanβーtanα)＝tanα tanβ a
で、h＝tanα tanβ a/tanβ tanα　となりました。
57さんと58さん、有難うございました（＾＾）

＞６２・・・・・手元の関数電卓で確認しました。確かに！
でどうやって？？？Ｘ＝1.559〜にアプローチしていったのですか？

関数電卓。失礼。

この方法で実際の山の高さをある精度で計るには、aや
仰角測定精度をどれくらいにすればよいのかを(暇な時に)
考えると、工学的(実用的)センスがつくよん。
そんなセンスがあなたにとって役に立つかは知らんが。

>>44
何でも、明白であるといって、自白を押し付けてくる検察官みたいだ。
法治国家のもとでは、きちんとした証拠を提出しなければならないんだ。
うそうそ！

44は逃げたので許してあげなさい。

問　四面体ＡＢＣＤの４つの面の面積が等しいならば，４つの面は合同である事を
示せ。

解答　直線ＣＤを含み，直線ＡＢに平行な平面をπとする。この平面上へ線分ＡＢを
正射影したものをＡ´Ｂ´とし，直線ＣＤと直線Ａ´Ｂ´の交点をＱとする。
直線ＡＢ上の点で，正射影によりＱに移るものをＰとする。Ａ´、Ｂ´から，直線ＣＤ
に下ろした垂線の足をそれぞれ、ａ、ｂとすると、Ａａ,Ｂｂは直線ＣＤに垂直である。
�凾`ＣＤと�凾aＣＤの面積は等しいから，☆Ａａ＝Ｂｂであり、このことから、
Ａ´ａ＝Ｂ´ｂとなることがわかる。☆　よって，２つの直角三角形�凾`´ａＱ＝�凾a´ｂＱ
は合同となり、点Ｑは線分Ａ´Ｂ´の中点，したがって点Ｐは線分ＡＢの中点である。
同様に、点Ｑは線分ＣＤの中点であることがわかる。また,★ａＱ＝ｂＱより,ａＣ＝ｂＤ、
よってＡ´＝Ｂ´Ｄとなり、ＡＣ＝ＢＤとなることがわかる。★
つまり、四面体ＡＢＣＤの対辺どうしは同じ長さをもつ。ゆえに,４つの面は合同である。

と言う,素敵な解答が付いていたにもかかわらずわかりません。☆〜☆、★〜★のところが、
まずわからないのでお願い致します。
あと、四面体の対辺というものがよくわかりません。対辺が同じ長さだと、４つの面が
合同になるというのも、どうしてそうなのかが、わかりません。色々ありますが、
お願いします。

360/4 と π／2 をとっさに混乱して書き間違えるとは…
児戯にも劣るアホさ加減……

こんやはシバレルのう…

∫[１／(ｌｏｇｘ）＾β]ｄｘ
∫ｓｉｎ（１／ｘ＾２）ｄｘ
∫[１／（ｘ＾α＋１）＾１／β]ｄｘ
∫〔１／ｓｉｎｘ〕ｄｘ
∫[１／（１−ｘ＾−α）＾１／β]ｄｘ
を教えてください。広義積分の問題を解きたいのですが、積分がわからなくて
出来ません・・おねがいします。

ヒント追加♪

(1) 解と係数の関係。
(2) 背理法で OK です。
(3) 多項式の割り算と同じように計算。
　　O = A^4-E = {(A^2+t*A+(1+t^2)E}(A^2-t*A-E)+(2t+t^3)A+t^2*E

☆) 直角三角形 △AA'a と △BB'b について
　　Aa = Bb, AA' = BB' (平面π と 直線AB の距離)
から △AA'a≡△BB'b で A'a = B'b

★) 点a が線分CQ上にある場合、aQ = bQ なら
　　　aC = CQ -aQ = DQ - bQ = bD
　⇒ △A'aC ≡ △B'bD　∴ A'C = B'D
　⇒ △AA'C ≡ △BB'D　∴ AC = BD

対辺は向かい側の辺のことです。(「AB と CD」,「AC とBD」,「AD とBC」)
で、各対辺が等しいと、三辺相等で合同になります。

すみません。
幾何の問題なのですが、僕の頭では難しくて解けなくて困ってます。
どなたか愛の手をくださいませんか？

φ：R^n→R^nを線形写像とする。
この時、φについて上への写像であることと一対一の写像であることが同値であることを証明せよ。

宜しくお願いします。
そしてごめんなさい

準同型定理、もしくは次元定理知ってる？

「５十５十５＝５５０を棒線を一本使い
式を成り立たせろ。」

これがメールで送られて来たのですが
答えがわかりません(>_<)
どなたか教えて下さいお願いします。

次元定理はしっています。

５十５十５≠５５０

>78
僕もそう思ったんですが違うようです・・・
多分これナゾナゾの様な物なのかなー？

>>74
dim Imφ+dim Kerφ=dim R^nより
φが全射⇔Imφ=R^n⇔Kerφ={0}⇔φは単射

>>74
幾何というより線形代数の問題だな。

Fがontoのとき：
｛f1,f2,...fn｝をR＾nの基底とする。
このとき、F(ei)=fi, i=1,...,nとなるe1,...,enがあるが、
　a1*e1+...+an*en=0
ならば
　a1*f1+...+an*fn=F(a1*e1+...+an*en)=0
なので
　a1=...=an=0.
すなわち｛e1,e2,...,en｝は一次独立、従ってR^nの基底になる。
よって、F(x)=0のとき
x=a1*e1+...+an*en
と表せば、
F(x)=a1*f1+...+an*fn=0.
よってa1=...=an=0となりx=0がわかる。

Fがone to oneのとき：
｛e1,e2,...,en｝をR^nの基底とする。
　a1*F(e1)+...+an*F(en)=0
ならば
　F(a1*e1+...+an*en)=0
よって
　a1*e1+...+an*en=0　（Fは単射だから)
なので
　a1=...=an=0.
すなわち｛F(e1),...,F(en)｝はR^nの基底となる。
よって、yを任意にとって
　y=a1*F(e1)+...+an*F(en)
と表せば
　y=F(a1*e1+...+an*en)

＞76
５十５十５≡５５０
っていうのはだめ？
でも，(mod 5)が必要か・・・
そしたら棒1本どころではないね．

マッチ棒パズルかなんかじゃないですか？
数字は全て漢字で。
決め付けてて違ったらごめん。

>>55
>（１）
>　xが偶数のときはx^2+ax+b＝(偶)+(偶)+(奇)=(奇)
>xが奇数のときはx^2+ax+b＝(奇)+(奇)+(奇)=(奇)
>ということでしょうか？

そーです．

>このあと整数解をもたないことはどうやって証明すればよいのでしょうか？

既に証明は終わってるのです．何故でしょう？

>（２）
>　交差をdとおくとき、w-v=(k-j)d , v-u=(j-i)dとなるから
>(w-v)/(v-u)=(k-j)/(j-i)となるからこれは有理数
>ということでしょうか？

そーです．（交差　→　公差）

>ということは、ここから
>(log(n+2)-log(n+1))/(log(n+1)-log(n))が有理数、と仮定して
>背理法で証明するのでしょうか？

そーです．

>>55
>（３）
>　よくわからないのですが、
>“割り算”というのは逆行列をかけるということでしょうか？

違います．言い方がマズかったので最初から言い直します．
モンダイの行列 A は
A^2 = tA + E
という等式を満たします（←何故でしょう？）．これを使うと
A^4 = (t^3 + 2t)A + (t^2 + 1)E　　・・・・★
という等式も成り立つことがわかります（←確かめてください）．
ところでこの A は
A^4 = E　　・・・・・・・・・・・★★
という等式をも満たすのでした（←問題文に書いてあります）．
★から★★を引くと
(t^3 + 2t)A = -t^2 E
が成り立つことがわかります．
…で，どうします？

>>69です。　ｔｒさま、ありがとうございます。
＊�凾`ＣＤと�凾aＣＤは問から,面積が等しいというのはわかるのですが、
そのことから、Ａａ＝Ｂｂがわかりません。(☆の少し前のところです。）
ＡＡ´＝ＢＢ´は、わかるのですが・・

＊点ＱがＣＤの中点であることはどうやって示せば良いのでしょうか？

よろしくお願いします。

5＋5＋5は５がＩＩＩＩＩ本の線で合計ＩＩＩＩＩ十ＩＩＩＩＩ十ＩＩＩＩＩで１５本で十が二本（ＩＩ）の線で、
総計１９本。５５０の０に棒線を足して９に見えるようにする。すると５５９
になって、５足す５足す９で１９本。うーん判らんなー

これかも？マッチ棒で数字が書いてあるとしたら、５は五本のマッチがいる、
で5＋5＋5は１５本のマッチで書ける。５５０は０が四本のマッチで書けるから、
合計で５５０は１４本のマッチになる。一本足りないので０に棒を足して、９にす
る。
９は五本のマッチで出来てるから、合計15本になる。

これかな？5＋5＋5＝550の＋のどれか一つに棒を斜めに足して
４にする。５４５＋5＝550。

５＋５＋５＝５０５５
に棒を一本付け足して正しい式にせよ。

>>84=54
再びレス有難うございます。

（１）は、あのあと
　「0は偶数（と言っていいのかな？）なので、どんな整数ｘに対しても
　　x^2+ax+bは0になることはありえないから、
　　方程式x~2+ax+b=0を満たす整数解はありえない」
　と言ってよいでしょうか？

（２）(log(n+2)-log(n+1))/(log(n+1)-log(n))＝N/M （M,Nは整数）
　とおくと、
　　M*log(n+2)-M*log(n+1)=N*log(n+1)-N*log(n)
∴log{(n+2)^M * n^N}-log(n+1)^(M+N)=0
∴{(n+2)^M * n^N}/{(n+1)^(M+N)} =1
まで整理できたのですが、うまく矛盾がでません。
方針違いでしょうか？

>>90
５＋５＋５≠５０５５
はダメ？

(1)その通り零は偶数です。
(2)その変形は正確ではありません。
隣接しているとは問題には書いていないでしょう。
しかし、ご安心
log((n+2)/(n+1))=qlog((n+1)/n)(qは有理数）
とは言えます。
両辺のexpをとって。
n+2/n+1=(n+1/n)^qと書けるでしょう。
qの分母を払う為に、その分母乗すると、
(n+2/n+1)^l=(n+1/n)^mという形になります。
最終的にn^m(n+2)^l=(n+1)^k（kは整数）という
形になります。
左辺はnで割れますが、右辺はnで割れないので
矛盾になります。

>>71なのですが、誰かお願い致します。

８１さんの書き込みにおいてわからない部分があるのですが、
基底⇔�@一次独立�A生成する
と学校では言っていたのですが、
８１さんの証明において、
一次独立性は示されているのですが、
生成する　即ち　任意のベクトルは一次独立なベクトルの一次結合で表される
がどうのようにどこに示されているのかわかりません。

教えていただけませんか？
教科書にも、�@�Aの二条件が揃えば、基底となると書いてあるだけで
困り果ててます。

どなたかお願いします。

>>93

＞その変形は正確ではありません。
＞隣接しているとは問題には書いていないでしょう。
これよくわからん。>>91の変形で問題ないんじゃないのか？

＞９０
類題さん、答えなんですか？
わからないんで教えて下さい！

53さん@91> {(n+2)^M * n^N}/{(n+1)^(M+N)} =1
53さん@91> まで整理できたのですが、うまく矛盾がでません。
84さん@93> 最終的に n^m(n+2)^l=(n+1)^k （kは整数）という形になり
84さん@93> 左辺はnで割れますが、右辺はnで割れないので

n=1 だと、右辺も割り切れてしまいます。
ここは n, n+1, n+2 のうちひとつだけが 3の倍数であることを利用。

P.S. >>91 の変形あってます♪

>>86 = 69 さん
△ACD と △BCD について、CD を底辺とみたときの高さが Aa, Bb ですね。

> 点ＱがＣＤの中点であることはどうやって示せば良いのでしょうか？
辺AB を含み、辺CD に平行な平面π' を考えることにより
同様にして CQ = QD が得られます。

>>93 さん

>左辺はnで割れますが、右辺はnで割れないので
>矛盾になります。

これでは矛盾を導いたことにならないのでは？
ここでは、
「n^m(n+2)^l=(n+1)^k ･･･（＊）を満たす自然数nは存在したらおかしい」
ことを言いたいわけですから、
「（＊）がnの式として成り立たない」からといって
矛盾とはいえないと思います。

ここは次のように考えるとよいのでは？
「（＊）において、
　nが奇数のとき、（左辺）＝奇数、（右辺）＝偶数
　nが偶数のとき、（左辺）＝偶数、（右辺）＝奇数
　なので、（＊）を満たすような自然数nは存在しない。」

>>98 =trさん
またかぶってしまいました、すみません。

こういうことが書いてない教科書があるのか？
「ｎ次元ベクトル空間において、ｎ個の一次独立なベクトルの組は基底になる」
これは
「m>nのとき、ｎ次元ベクトル空間において、ｍ個のベクトルの組は一次従属になる」（＃）
を事実として認めれば、次のように証明される。

｛e1,e2,...,en｝を一次独立とする。
ｘを任意にとると｛ｘ,e1,e2,...,en｝は一次従属だから
　a0*x+a1*e1+...+an*en=0
であって
　 （a0,a1,...,an）≠（0,0,...,0）
となるものがとれる。このとき、もしa0=0ならば
　a1*e1+...+an*en=0
なので
　a1=...=an=0.
となり矛盾。よってa0≠0だから、bi=-ai/a0, i=1,...,n　とおけば
　x=b1*e1+...+bn*en

（＃）の証明は難しくないがここに書くのはめんどい。少しは自分でやれ。

>>90
最初の「＋」→「千」にして，
二つ目の「＋」はそのまま「十」とみる．
それで５０５５です〜

あー，最近問題が難しい・・・こんな問題しか解けないや（泣）
こーいう問題のスレッドほしいなぁ

書きこむ前に reload するといいですよ。
ともあれ、センター頑張ってください♪ > 迷える浪人女さん

おお〜、すごいッス！ > うきゃ＠初心者さん

参りました＞うきゃ＠初心者さん

>>104=trさん
ありがとうございます。がんばります。

x(n+1)=4*x(n)*(1-x(n)),x(1)=0.2
この漸化式の一般項は出るのか出ないのか、教えてほしいほうです。

>>107
「教えてほしいそうです」の間違いですね。

他掲の文はあれしないように。↑

常連になります。今後ともよろしくお願い申し上げます。

81さんへ＞
できました。
あとちょっと考えれば納得しそうです。
本当に申し訳ないです。
さすがですね。

>100
n^m(n+2)^l=(n+1)^k
が自然数nに対して有り得ないことを言うのは正にその通りで
偶奇性に頼る方法も、私が使ったnによる剰余による方法も
本質的には同じです。
n+1はｎの倍数ではありえませんね。
数学的機能法で(n+1)^k-1がnの倍数であることが解ります。
（貴方が受験生だとしたらちょっとした確認問題程度？）
ですから右辺はnの倍数+1となり、移項すれば、1がnの倍数
となります。

お邪魔してすみませんが、教えてください。
数学です。
ラマヌジャンの数学公式、ひとつでもいいです、
「この世のものとは思われぬほど美しく特異」
って どんなものなのか・・・？
それから
１９７６年にケンブリッジ大で見つかったという
ラマヌジャンの「失われたノート」が、
写真コピーの形で本になっているそうですが、
出版社を教えてください。
文系なので、手がかりがありません。
どうかよろしくお願いします！

>>110 さん
　　「任意の自然数 n に対し n^m(n+2)^l=(n+1)^k は矛盾している」
を示さなければならないのに、
　　「2以上の自然数 n について、右辺は n で割りきれず矛盾が生ずる」
では意味がない、と迷える浪人女さんは言いたいのですよ。
# n=1 のとき n+1=2 は n の倍数です

tan(x/2)=t とおくと、
　　sin(x) = 2t/(1+t^2), cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2), dx = 2/(1+t^2)dt
⇒ ∫1/sin(x)dx = ∫{(1+t^2)/2t}*{2/(1+t^2)}dt
　　　　　　　　　　= ∫1/t dt = log|t| = log|tan(x/2)|
# 私には、この積分しかわかりません(汗)

>>71
>∫[１／（１−ｘ＾−α）＾１／β]ｄｘ

α≧３、β≧２だったらどおすんの？

>>91（もとの問題は>>53）
>（１）は、あのあと
>　「0は偶数（と言っていいのかな？）なので、どんな整数ｘに対しても
>　　x^2+ax+bは0になることはありえないから、
>　　方程式x~2+ax+b=0を満たす整数解はありえない」
>　と言ってよいでしょうか？

よいです．0は偶数です．

>（２）(log(n+2)-log(n+1))/(log(n+1)-log(n))＝N/M （M,Nは整数）
>　とおくと、

左辺は正なので M,Nは正の整数，とまで書いちゃっていいです．
あとは他の人が答えてくれてるんで省略します．
「(n+2)^M * n^N = (n+1)^(M+N) となる正の整数 n,M,N が存在しない」
ことの理由は
「左辺は n+2 の倍数だけど右辺は違うから」
でもいいです．

>方針違いでしょうか？

方針通りです．

>>71です。
trさん、ありがとうございます。
１１４さんうつし間違えてました・・
問をすべて写すと
１、　∫１／[ｘ＾ａ＊(ｌｏｇｘ）＾β]ｄｘ (ａ＜ｘ＜＋∞、ａ＞０）
２、　∫１／[ｘ＾ａ＊(ｌｏｇｘ）＾β]ｄｘ （１＜ｘ＜ｂ、ｂ＞１）
３、　∫１／[ｘ＾ａ＊(ーｌｏｇｘ）＾β]ｄｘ (ａ＜ｘ＜１，０＜ａ＜１）
４，　∫１／[ｘ＾ａ＊(−ｌｏｇｘ）＾β]ｄｘ （０＜ｘ＜ｂ，０＜ｂ＜１）
５，　∫[１／（ｘ＾α＋１）＾１／β]ｄｘ （０＜ｘ＜＋∞，α，β＞０）
６、　∫〔１／ｓｉｎｘ〕ｄｘ （０＜ｘ＜π／２）
７、　∫(sin1/x)ｄｘ (ａ＜ｘ＜＋∞、ａ＞１／π）
８、　∫ｓｉｎ（１／ｘ＾２）ｄｘ（ａ＜ｘ＜＋∞、ａ＞０）
９、　∫[１／（１−ｘ＾α）＾１／β]ｄｘ （０＜ｘ＜１、α，β＞０）
これらの，広義積分は収束するか。このような問題です。

不定積分ですか？

…とおもったら括弧の中に積分範囲が。

次の問題が難しくてわかりません。教えてください。

数列｛a_n｝について、a_1=1 漸化式　a_(n+1)=a_n /n + n /a_n
(n=1,2,3･･･)　が成り立っているとする。
このとき、［(a_n)^2］=n 　(n≧4) を示せ。
ただし、［x］はxを超えない最大の整数を表す。

>>119
帰納法しか思いつきません。

　　［(a_k)^2］= k (k >= 4)
すなわち
　　4 <= k <= (a_k)^2 < k+1
を仮定して
　　k+1 <=　(a_(k+1))^2 < k+2
を導く方針はいかがでしょう。


仮定より
　　2 <= √k <= a_k <√(k+1)
　　1/√k <= (a_k)/k <(√(k+1))/k

左辺 = f(k) , 右辺 = g(k)と置いて
　　0 < f(k) <= (a_k)/k < g(k)
　　1/g(k) < k/(a_k) <= 1/f(k)
辺々足して
　　f(k) + 1/g(k) < a_(k+1) < g(k) + 1/f(k)
2乗して
　　(f(k) + 1/g(k))^2 < (a_(k+1))^2 < (g(k) + 1/f(k))^2


　　k+1 < (f(k) + 1/g(k))^2
　　k+2 > (g(k) + 1/f(k))^2
この2つが k >= 4 で成立することを示せば解決します。
あとは微分するなり頑張ってください。

再度お邪魔してすみませんが、てがかりが
ないので、お尋ねします。
数学です。
ラマヌジャンの数学公式、ひとつでもいいです、
「この世のものとは思われぬほど美しく特異」
って どんなものなのか・・・？
それから
１９７６年にケンブリッジ大で見つかったという
ラマヌジャンの「失われたノート」が、
写真コピーの形で本になっているそうですが、
出版社を教えてください。
文系なので、手がかりがありません。
どうかよろしくお願いします。

Ramanujan で検索したら？

＞１２２さん
じつは、論文関係（数学の）ばっかり
たくさん出て来て、辿りつけなかったんです。
でも、も一度時間かけて絞り込んでみます。
お邪魔しました。ありがとう。

ラマヌジャンつーと、やっぱりπの級数展開だな。
なんでこんなもの思いつくんだ？　というのがいっぱいあるよ。

連続関数f(x)が∫[0,1]g(x)dx=0を満たす全ての連続関数g(x)に対して、
∫[0,1]f(x)g(x)dx=0・・・�@
であればf(x)は定数でならなければならないことを示せ。

という問題で、ヒントとしてg(x)=h(x)-∫[0,1]h(x)dx*φ(x)･･･�Aとおき、
h(x)は任意の連続関数で、φ(x)は∫[0,1]φ(x)dx＝1を満たすある連続関数とする。
とあるんですけど、ヒントをつかって計算してみたら、
∫[0,1]g(x)dx＝0となりました。
そして、�Aを�@に代入してみたんですけど、うまくいきません。
ここから先はどうやったらいいですか？

>>125
fは連続だから平均値の定理より
f(c)=∫[0,1]f(x)dx,0<c<1をみたすcが存在する。
f(a)>f(c),a∈[0,1]をみたすaが存在するとする。
fは連続だからaの近傍Iで、∀x∈I∩[0,1],f(x)>f(c)を満たすものが存在する。
hはI∩[0,1]で常に正、[0,1]＼Iでは常に0である連続関数とする。
(f(x)-f(c))h(x)はI∩[0,1]で常に正、[0,1]＼Iでは常に0であるから
∫[0,1](f(x)-f(c))h(x)dx>0であるが
∫[0,1]f(x)(h(x)-∫[0,1]h(x)dx)dx=0より
∫[0,1]f(x)h(x)=∫[0,1]h(x)dx*∫[0,1]f(x)dx
∫[0,1](f(x)-f(c))h(x)dx
=∫[0,1]f(x)h(x)-f(c)∫[0,1]h(x)dx
=∫[0,1]h(x)dx*∫[0,1]f(x)dx-∫[0,1]f(x)dx*∫[0,1]h(x)dx
=0
よって矛盾。
同様にf(a)<f(c),a∈[0,1]をみたすaも存在しないから
fは[0,1]で定数である。

ちょっと訂正
=∫[0,1]f(x)h(x)-f(c)∫[0,1]h(x)dx
でなくて
=∫[0,1]f(x)h(x)dx-f(c)∫[0,1]h(x)dx

別解：
0<a<b<1 なる a,b をとる．
関数 g を次のように定義する．
a - (1/n) ≦ x ≦ a のとき g(x):= n^2 * (x - (a - (1/n))),
a ≦ x ≦ a + (1/n) のとき g(x):= -n^2 * (x - (a + (1/n))),
b - (1/n) ≦ x ≦ b のとき g(x):= -n^2 * (x - (b - (1/n))),
b ≦ x ≦ b + (1/n) のとき g(x):= n^2 * (x - (b + (1/n))),
その他の x では g(x):=0.

各 n に対して ∫_[0,1]f(x)g(x)dx = 0.
いっぽう n→∞ とすれば ∫_[0,1]f(x)g(x)dx → f(a) - f(b).
よって f(a)=f(b).

検索かけたらこんなのがありましたよ。

ラマヌジャンのゼータ関数
-> http://www.geocities.co.jp/Technopolis/5346/zeta3.html
円と同じ面積の正方形の作図
-> http://www.shirakami.or.jp/~eichan/oms/omsxx/oms37.html

＞ｔｒさん
>>69なんですけれど△ACD と △BCD について、CD を底辺とみたときの高さが
Aa, Bb になる,と言うのは、わかります。ＣＤ⊥Ａａをどうやって言うのかが,
わからないのですが、自明である・・と言う事にしちゃってもいいのでしょうか？

3垂線の定理により CD⊥Aa とわかります。 > 69さん

0.9999999・・・という循環小数を分数で表すと1になってしまいます。
1という数と0.99999・・・という数は同じなのでしょうか。

同じです

>>132

１０進法表記（他の進法表記でも同じ）で数を表す時、繰り上がりの９と０
において、その数は２通りの表記ができ、他の数は一意に表記できる。
人類が進法表記による数の表記を導入してから、こんなことは周知の事実。
今更こんなことを驚いて聞いてくるのは今井と同レベル。

＞今更こんなことを驚いて聞いてくるのは今井と同レベル。
今の段階でそこまで言うのは言い過ぎ。
１３２が今井レベルかどうかは今後の反応次第だ。

誰でも一度は考え込むところだとおもうよ．
だからいつまで経ってもこの質問は絶えない．

すみません、どなたか次の問題を教えてください。

ｎ次元上に２つの線分x,yがある。
xは点xa,xbをつなぎ、yは点ya,ybをつなぐ線分のとき
以下の値を求めなさい。

(1)線分xyの最短距離
(2)線分xyの最短距離の道のりを表すベクトル
(3)直線xyの最短距離
(4)直線xyの最短距離の道のりを表すベクトル

ベクトルなので外積を使うんですよね。
ｎ次元上でうまく解けるんでしょうか・・。
厨房レベルですみません・・。

↑
あ・・・線分xy→線分xとyの間の、直線xyは→直線xとyの間の、でした。

>>137

俺には３次元でしかわからん。

２つの直線、線分の方程式は
x：z(t)=(x_b-x_a)t+x_a （線分：0≦s≦1，直線：s=任意）
y：z(s)=(y_b-y_a)s+y_a （線分：0≦s≦1，直線：s=任意）
この２直線に垂直なベクトルは(x_b-x_a)ｘ(y_b-y_a)なので、
これを上の直線の両辺に内積してやると、その直線を含み、かつ
平行な２平面が得られる。
xを含む平面：[(x_b-x_a),(y_b-y_a),(z-x_a)]=0
yを含む平面：[(x_b-x_a),(y_b-y_a),(z-y_a)]=0
ただし、[A,B,C]=AｘB・C=A・BｘC はスカラー３重積を意味する。
よって、(3)直線xyの最短距離は
|[(x_b-x_a),(y_b-y_a),(y_a-x_a)](x_b-x_a)ｘ(y_b-y_a)|
また、(4)直線xyの最短距離の道のりを表すベクトルは
|[(x_b-x_a),(y_b-y_a),(y_a-x_a)]|(x_b-x_a)ｘ(y_b-y_a)
ある。

(1)(2)もこの結果を利用して同様にできるが面倒なのでパス。

>x：z(t)=(x_b-x_a)t+x_a （線分：0≦s≦1，直線：s=任意）

訂正
x：z(t)=(x_b-x_a)t+x_a （線分：0≦t≦1，直線：t=任意）

△ABCにおいて、∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、
Dから辺AB,ACに垂線DE,DFが引けて、AE/EB=1/2、AF/FC=2が成り立つ。
３辺BC,CA,ABの長さがa,b,cとするとき

１、BC/DC=ア□ｃ/ｂ、　cosB=イ□/ウ□（ｂ＋ｃ）/a,
C=エ□ｂ、a＝√オ□・ｂ
　　このア、イ、ウ、エ、オの□を求める。

２、ａ^2ー２ｂ^2が3の倍数であるような整数ａ、ｂは
　　ともに3の倍数であることを示す。

３、区間ａ≦ｘ≦ａ＋１におけるｆ(x)の最小値をｇ(a)と
　　するとき、ｇ(a)を最小にするａの値と最小値を求める。

１、BC/DC=ア□ｃ/ｂ、　cosB=イ□/ウ□（ｂ＋ｃ）/a,
C=エ□ｂ、a＝(√オ□)ｂ
　　このア、イ、ウ、エ、オの□を求める。

上の１がわかりにくかったんで修正します。
よろしくおねがいします。

本当にすいません。もう一度修正です。
どうも失礼しました。

１、△ABCにおいて、∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、
　　Dから辺AB,ACに垂線DE,DFが引けて、AE/EB=1/2、AF/FC=2が成り立つ。
　　３辺BC,CA,ABの長さがa,b,cとするとき

　　BC/DC=ア□ｃ/ｂ、　cosB=イ□/ウ□（ｂ＋ｃ）/a,
　　C=エ□ｂ、a＝√オ□・ｂ
　　このア、イ、ウ、エ、オの□を求める。

２、ａ^2ー２ｂ^2が3の倍数であるような整数ａ、ｂは
　　ともに3の倍数であることを示す。

３、区間ａ≦ｘ≦ａ＋１におけるｆ(x)の最小値をｇ(a)と
　　するとき、ｇ(a)を最小にするａの値と最小値を求める。

すみませんでした。よろしくお願いします。

まぁおちつけ

1.　FC=k とすると AF=2k, AE=AF=2k, EB=4k で
　　これと AB⊥ED から ∠A=90 とわかります。
　　# イ : 1, ウ : 3, エ : 2, オ : 5
　　# ア は分数になってしまいます、はて

2.　対偶 「a, b ともに 3の倍数でない ⇒ a^2 - 2b^2 は 3の倍数でない」 を証明。
　　# a= 3k+l, b = 3m + n (ただし l, m は 1 or -1) と表せます

3.　f(x) と g(a) の min は一致しますよね。

誤 ： a, b ともに 3の倍数でない
正 ： a, b どちらかが 3の倍数でない

「全ての放物線は相似である」ことの証明ください。
有名事項らしいのですが、図書室で調べた限りでは
見つかりませんでした。

誤 ： ただし l, m は 1 or -1
正 ： ただし l, n は 0 or 1 or -1

まあ落ちつけ(涙) > tr

>>147

対称軸をy軸にとれば、全ての放物線はy=ax^2+bx+c (a≠0)とかける。
これを頂点が原点に来るように平行移動すれば、y=ax^2と合同。
y=a'x^2はx軸を√(a/a')倍してやれば、y=ax^2となり相似。
よって、「全ての放物線は相似である」

空間上の２つの直線
(x-1)/3=(y-2)/2=-(z-3)
x+1=(y+2)/3=(z+3)/2
がねじれの位置であることを教えて

↑ 空間とは３次元空間。

>>147 さん
原点を頂点に持つ放物線どうしの場合は次のようになります。

y=ax^2 (a≠0) を変形して
　　ay = (ax)^2 ⇒ y/(1/a) = {x/(1/a)}^2
これは y=x^2 のグラフを
　　x軸方向に 1/a 倍、y軸方向に 1/a 倍
したグラフであるから
　　y=x^2 と y=ax^2 は原点を中心として相似

>>149 さん
一般の場合に、相似の中心がどこになるか
ご存知でしたら教示くださいませ。<(_ _)>

　　(第1式) = k から (x, y, z) = (3k+1, 2k+2, -k+3)
　　(第2式) = l から (x, y, z) = (l-1, 3l-2, 2l-3)
これをもちいて、2直線の交点をもとめようとすると..

>>152

相似の中心ってなんぞや？
ちゅーか、放物線を強引に座標系にもってきて証明しているわけだから
あんまそんな点求めても意味ないと思うよ。ﾊｧﾊｧ

＞これをもちいて、2直線の交点をもとめようとすると

するとなに？？

＞するとなに？？

この先できなかったので途中まで書いてみた＞ｔｒ？

相似の場合、「ある点」 を中心に、一方の放物線を拡大縮小すると
もう一方の放物線に重なるワケですが、その 「ある点」 のことです。＜相似の中心
> あんまそんな点求めても意味ないと思うよ
そうなんですかぁ。

>>156 さん
すると、解けない (不能) ので、交点が無いとわかります。

>>155-156

ｔｒたんをいぢめるな

＞すると、解けない (不能) ので、交点が無いとわかります。

不能であることを示して

>>150

２直線の方程式
(x,y,z)=(3,2,-1)s+(1,2,3)
(x,y,z)=(1,3,2)t+(-1,-2,-3)
に共通垂線ベクトルは、
(3,2,-1)x(1,3,2)=(7,-7,7)||(1,-1,1)
とわかる。これを上の２直線の式に内積すると、
x-y+z=2
x-y+z=-2
となる。よって２直線はねじれの位置よ。ﾊｧﾊｧ

あ、相似の中心があるのは特殊な状況だけなんだ..(汗)

>>159 さん
私が無能である証左をご所望ですか？(笑)

　　3k+1=l-1…(1)　2k+2=3l-2…(2)　-k+3=2l-3…(3)
(1),(2) を連立させて (k, l)=(-2/7, 8/7)
この値を (3) に代入すると
　　2/7 + 3 ≠ 16/7 - 3
なので解なし。

# フォロー感謝です♪ > 160さん

(x-a)(x-b)(x-c)・・・(x-z) の x^25 の係数はいくつですか？

既出です。(涙)

Ｘさん，Ｙさん，Ｚさんの３人がいます．
Ｘさんの血液型はＡ型，Ｙさんの血液型はＡＢ型，Ｚさんの血液型はＢ型です．
遺伝の法則によると，ＸさんとＹさんからＡ型の子供が生まれる確率が５０％，
またＹさんとＺさんからＡ型の子供が生まれる確率が２５％とわかりました．
このとき，ＸさんとＺさんからＡＢ型の子供が生まれる確率は何％でしょうか？

＃Ａ＝Ｂ＞Ｏ

＞１６４

生物板で聞け！

>>165

いいじゃん。確率の問題なんだから。

>>139

うわ・・解くのとても早いですね。
ご解答ありがとうございます。

>よって、(3)直線xyの最短距離は
>|[(x_b-x_a),(y_b-y_a),(y_a-x_a)](x_b-x_a)ｘ(y_b-y_a)|

えっと・・ x_b-x_a, y_b-y_a, y_a-x_a を辺とする平行６面体の体積に
x_b-x_a, y_b-y_a の平行４辺形の面積を掛けたもの、なのでしょうか。
とても大きそうな気がするのですが・・
すみません、もっと勉強してきます。(汗)

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　みんな，おはよ〜．
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　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 レリーズ！！
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>>164
０％
ＸさんとＺさんの間に子供は生まれません。

すいません。ごく初歩的な質問をしてもよろしいでしょうか？
あまりにも基本的な質問なのですが、恥をしのんでうかがいます。

0って、厳密には奇数ですか偶数ですか、どちらでもないのですか？
ちょっと気になったのですが、調べる方法が分からなくて
ここで質問させていただきました。
どなたか、お答え宜しくお願いします。

>>170

偶数

統計学の用語だと思うのですが，V.C.とは何の略なのでしょう？
すみませんがよろしくお願いします。

連続関数f(x)がg(0)=g(1)を満足する全ての1回連続的微分可能関数g(x)に対して、
∫[0,1]f(x)g'(x)dx=0
であればf(x)は定数でならなければならないことを示せ。

この問題って、部分積分で計算していけばいいのでしょうか？
与式＝[f(x)g(x)]-∫[0,1]f'(x)g(x)dx
＝g(0){f(1)-f(0)}-・・・？
それとも根本的に解き方が違う？

>>171
偶数なのですね。有難うございます。

どなたか、少し説明をしていただけませんか？

２の倍数を偶数と云う

いぢわるねえ

>>169
同性だもんね

＞175
0って2の倍数なんですか？
誰も優しく教えてくれないよーう、ふえーん(泣
数学板の人はいぢわるだあー。

>>177
なんで同性ってわかる？

正方形を円で表す方法を教えてください。

２ｃｈの公式を教えてください。

>>173(=125?)
125 はわかったの？

>>178
0=2×0

>>182
125は128の別解の方がよく分からなかったけど、126、127は理解できました。

>>182
125は128の別解の方がよく分からなかったけど、126、127は理解できました。

∫_[0,1] h(x)dx=0 を満たす連続関数 h(x) に対して
g(x):=∫_[0,x] h(t)dt とおく．そうすると
g は g(0)=g(1)を満足する1回連続的微分可能関数である．
このことと[>>125]を使えば[>>173]が得られる．

1回連続的微分可能関数とＣ１級の違いを述べよ

＞187
腰のくびれ方がちょっと違うと思う。

＞183
答えてくれてありがとー。
でも答えがシンプルすぎていまいち分かんないから、物理板の人に聞いちゃった。
でも、シンプルな答えの方が数学者っぽくてカッコイイね。
その方が数学板らしいといえばらしいよね。
こっちは分かりにくくて困るけど(ｗ
もう来ないけど、答えてくれた人、ありがとー。

［定義］整数ａ、ｂに対してａ×ｎ＝ｂとなる整数ｎが有るとき
　　　　ｂはａの倍数であると言う．

例：ａ＝２，ｂ＝０のとき
２×ｎ＝０となる整数ｎは有る（ｎ＝０）から０は２の倍数である．

＞もう来ないけど、

さようなら（ｗ

＞190
ちょっと気になってやっぱり来ちゃった。
どうもありがとう。
こんどこそ、さよならー（ｗ

>>129　 trさん
ご親切に教えていただいて、ほんとうに
ありがとうございました＜ラマヌジャンの公式
ずっと辿りつけずにマゴマゴしてました（＾＾；
数学の方って優しいですね！　ありがとう！！

>>192
>数学の方って優しいですね！

まーね

空間内の一般の位置にn個の平面がある。
これらの平面によって空間はいくつにわけられるか。

>>194

2 + n(n-1) + (n-1)(n-2)(n-3)/6

微分可能な連続曲線α(ｔ)でα'(ｔ1)＝α'(ｔ2)
(ただしα(ｔ1)における接線上にα(ｔ2)は存在しない)
この時α(ｔ1)とα(ｔ2)を結んだ接線は曲線α(ｔ)と交わる。
この証明どうしたらよいでしょうか？

空間の次元は？

>>197
あ、私かな･･･。平面曲線です。

これはほぼ自明といっていいんじゃなかろうか。
「交わる」をどう定義するかにもよるけど。

中間値の定理だろ。

Σ[k=1,n]a(k)=1 のとき、1-Σ[k=1,n](a(k)^2)が最大になるのは、
a1=a2=...=an すなわち a(k)=1/n のときだと思うのですが（直感で）、
数学的に証明する方法はありますか。

>>201 コーシー・シュワルツの不等式

>>202
コーシー・シュワルツの不等式というと、
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2
という式だったと思いますが（受験時代のかすかな記憶）、
これをどう使えばいいのでしょうか？

∫[0,2π]|1/(1-re^it)|dt
が解けません
教えて下さい

>>201
Σ[k=1,n]{(1/n) - a(k)}^2
=(1/n) - (2/n)*Σa(k) + Σa(k)^2
=(-1/n) + Σa(k)^2
だから a(1)=a(2)=...=a(n)=1/n のときΣa(k)^2は最小。

i∫_[|z|=r] {z(z-1)}^(-1)dz

>>205
多謝。

えっと、もう一度厚意に甘えさせて下さい。
>>201 で、a(k)が0と1の間にあるとき（両端を含む）、
Σa(k)^2 の最大値を求めるのはどうすればできますか。
（最大値が1になるのは感覚的に分かるのですが）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　みんな，おはよ〜． とっても今日は寒いですね．
　 ヽ　| |　l　 l |〃　わからない問題は，今週もさくらと一緒に
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　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 n=2のとき，直線a1+a2=1に原点中心の円a1^2+a^2が交わる最小半径は
　 ヽ　| |　l　 l |〃　a1=a2=1/2のとき1/2．n=3のとき，平面a1+a2+a3=1に原点中心の
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 球a1^2+a^2+a3^2が交わる（接する）最小半径はa1=a2=a3=1/3のとき1/3．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（つづく）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　と推測できれば，任意のnに対しても，n次元上の平面Σ[k=1,n]a(k)=1
　 ヽ　| |　l　 l |〃　にn次元上の球Σ[k=1,n](a(k)^2)が交わる（接する）最小半径は
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） a1=...=an=1/nのとき1/nと，幾何学的推測から直感的にわかるよ．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＃ よって，1-Σ[k=1,n](a(k)^2)の最大値はa1=...=an=1/nのとき1-(1/n)． （おわり）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 これも同じように，n=2のときは，線分a1+a2=1 (a1,a2≧0)に
　 ヽ　| |　l　 l |〃　原点中心の円a1^2+a^2が，n=3のときは，平面a1+a2+a3=1
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） (a1,a2,a3≧0)に球a1^2+a^2+a3^2が，それぞれ半径最大として交わるのは，
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（つづく）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　明らかに軸上の点（例えばn=2のときは，(a1,a2)=(1,0)(0,1)）
　 ヽ　| |　l　 l |〃　のときで，その時の半径はいずれの場合も1である．任意のn
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） のときも，軸上の点(a1,..,anのうち１つだけ1，その他は0)のとき最大．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＃ よって，a(k)が0と1の間にあるとき（両端を含む），Σa(k)^2 の最大値は
a1,..,anのうち１つだけ1，その他は0のとき1． （おわり）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　上の２つ説明はいずれもきちんとした証明にはなってないけど
　 ヽ　| |　l　 l |〃　幾何学的推測からその成立は自明であるし，頭で直感的に
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 納得したいのならこれでいいと思うよ．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＃ もちろん他にも直感的な説明はあるけどね．

なるほど、こういう解き方もあるんですね。目から鱗。
さくらたん、ありがとう。

>>208
0 <= a(k) <= 1 なら, a(k)^2 <= a(k) だから,
Σa(k)^2 <= Σa(k) = 1 だろ。

↑ ププッ

あー、さくらちゃんだ。

家の阿呆な父が言ってた事なんですけど、
｢正三角形ＡＢＣの辺ＡＢの中点（Ｄ）と辺ＢＣの中点（Ｅ）を結ぶ。
同様に辺ＡＣ（Ｆ）と辺ＢＣ（Ｅ）も結ぶ。
すると正三角形ＡＢＣの中に二つの正三角形ができ、
ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＥ＋ＥＦになるじゃないですか。
同様に中点をとって正三角形ＤＢＥと正三角形ＦＥＣの中に正三角形を２つ作る。
ＤＢの中点をＧ、ＢＥの中点をＨ、ＤＥの中点をＩ、
ＦＥの中点をＪ、ＥＣの中点をＫ、ＦＣの中点をＬとして
上記と同じような計算をする。
ＢＣ＝ＢＧ＋ＧＨ＋ＨＩ＋ＩＥ＋ＥＪ＋ＪＫ＋ＫＬ＋ＬＣ
これをずーと繰り返すとそのうちＢＣに近づき最終的には
くっついてしまう。（うまく表現できてないと思うけど）
だから、ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣなる。｣
みたいな事を言ってたんですけど、どうも納得がいきません。
父の言ってる事は正しいのでしょうか？
ＢＣに近づく事はあってもくっつく事は無いと俺は思うのですが。
俺は数学的な事が分からないので、うまく説明できて無いと思うけど
よかったらレスください。

＞２１７
２１６はどっか変なの？

f(x)＝x^2 [0.1]
|f(x)-f(a)|=|x-a||x+a|≦2|x-a|
最後の不等号がなんか納得できないんです。
誰かわかりやすく教えてください。

↑221
≦2|x+a|なら納得できるんですけど・・・。

数学オリンピック予選の答え教えて

>219
に近い疑問なんですが。
（０、０）と（１、１）を結ぶ線を考える時、
「右に１進んで上に１進む」↓
「右に０．５進んで上に０．５進むのを二回繰り返す」↓
「右に０．１進んで上に０．１進むのを十回繰り返す」・・・↓
「右に１／ｎ進んで上に１／ｎ進むのをｎ回繰り返す」
として、
まあようするにぎざぎざに進んでいったら、その線は
（０、０）と（１、１）を結ぶ線に近似しそうなものなのに、
実際計算するとlim{n→∞｝（（１／ｎ）＋（１／ｎ））ｎ
　　　　　　　　　＝２
間違ってるのはどこですか？

>>224
一様収束しないから？

やっぱ近づいて見えるだけなんですかねぇ。

>>226
だって，直線の“近さ”はどうやって測るのか問題だし，
そもそもこの直線列の“極限”はどんなものなのかも不
明。多分，『フラクタル』とか幾何の人だったら言うん
だろうけど…。
　僕は数論の人なのでこれ以上は言えません。ごめんな
さい。

卒論で苦しんでいます。お願いします。

ある鉱山Aが金をAA枚発掘できるとします。
更に鉱山への距離がBだとします。

このような鉱山がA、B、C、D、E、F、Gとあったとすると、
この中から、最適な鉱山をえらぶ方法（数式）を教えてください。

距離に重みをおくか枚数に重みをおくかで、変わってきますね。
ちょっと例がわかりにくいかもしれないが、平たく言うと生産性と距離の
問題において生産性と距離のどちらかに重みをつけることで
最適解を求める方法が知りたいです。

まず変数AAとBの値は意味が違いますよね。
AAは枚数。
Bは距離。
単位も違う。
しかし、この２つの値で望ましい、鉱山を選ぶとしたら？
やはり、枚数と距離を組み合わせて計算しなくてはいけないですよね。
ここで、枚数と距離はどちらも鉱山を選ぶ率として考えられますね。
２つの率を組み合わせて一つの最適な解を求める方法が知りたいです。

ここで、距離を重視するか、枚数を重視するかのパラメータθを
与えてθをかえることでどう、最適解が変化するか、というのが卒論
のテーマです。時間がありません。助けてください。

２２８でAno距離はAでした。.ちょっと間違えました。

今自分が考えたのは
AAとBの正規化です。
つまりAからGにたいして、
生産量AAが鉱山全体の生産量にしめる割合をもとめる。
（AA+BB+CC+DD+EE+FF+GG)分のAA
次に距離の正規化（これがよく分からない）
（A+B+C+D+E+F+G)分のA
そしてθを０＜θ＜１として
鉱山Aの価値を
（AAのθ乗）X（Aの（1−θ乗））っていう方法です。
すごいうさんくさいですね。おそらく間違っていると思うので
お願いします。教えてください！

（AAのθ乗）X（Aの（1−θ乗））
は
（AAの正規化のθ乗）X（Aの正規化の（1−θ乗））
の間違いでした。
お願い。早く助けて！

２３１の方法ではθの値を大きくすると
A（距離）を重視し、
θの値を１から０へと小さくすると
AA（生産性）の重要性が高まっていくという形になります。

でも、こんなんでいいの？
本当に頼みます。お願いです。卒業できなかったら鬱だ・・・・

そもそも少数の少数乗って言う形は存在したっけ？
０．３の０．３乗って計算できますか？

後、距離を正規化っていうのが相当無理してる気が。
ようするに距離を０＜A＜１の範囲に治めようとしてるだけ。

やっぱりおかしい。レス頼む。

ああ・・・・・鬱だ。やばすぎる。

２２８お願い。見てください。無視しないで・・・・

>222
|x+a|≦|x|+|a|≦2

>233
exp(0.3*ln(0.3))じゃ、だめ？

一様収束してるんじゃないの？>>225

>>236
exp(（AAの正規化のθ乗）X（Aの正規化の（1−θ乗））)
とすれば、計算はできそうですね。
exp(a)は単純増加だから、最適解を比較することには
役立ちそうです。

後、距離の正規化の件、そもそもの自分の考えた式
（AAの正規化のθ乗）X（Aの正規化の（1−θ乗））
についてもどうか教えてください。
卒論やばしです。

おねがいします。

おねがいします。

>>228
今井先生って言う，凄い数学者がいるから，その人に訊けば
親切に教えてくれと思いますよ。

どこできけばいいのですか？
時間がないのですが・・・

どこできけばいいのですか？
時間がないのですが・・・

2重カキコすみません。

ごめん，間違えた(^^;

どこだっけ，アドレス？？？

いろんな考え方があると思うけど。
制限時間を決めてしまうのはどう？
制限時間をｔ時間として、A鉱山では単位時間あたりAA枚取れる、
とする。ただし、一度L枚まで取れば、いったん最初の地点にまで
戻らないと行けないとする。（少し無理がある仮定だけど、
一度に運べる枚数に限度があるとして）
すると、移動の早さをｖとして
｛ｔ／（L／AA＋２A／ｖ）｝＊L
を比較すれば言い。
テキト―なので、もし判らなければ、無視してください。

>>225
えっつ！
もうそこで質問してしまいましたが・・・
ああ、申し訳ないことをしてしまった。
嵐みたいで。

>>248
レスありがとうございます。
でも、この問題は、本当の卒論を簡略化したもので、
実は
あるサーバー（ホスト）が持つ、望ましいファイル
＝鉱山の金貨の枚数
そのサーバーからダウンロードするバイト/時間（リモート距離）
＝鉱山までの距離
ということなので、少し方針がずれてしまいます。
時間を取らせて本当に申し訳御座いません。
最初からこう書くべきでした。

要するに最適なホスト（ダウンロード時間が短く、良質なファイルを持つ）
を選ぶ方法を計算したいのです。
ここで、ファイル数とリモート距離はあらかじめ算出ずみであります。

なんか計画法とかそっちのほうでモロなやつが出て来そうな気も
かなりするけど、ダウンロード時間はそのまま数量化出来ているとして
「良質な」っていうのをどう数値化するかによって変わるとしか
言いようがないのではなかろうか。

あげ

良質なというのはサーバにたいしてqueryを与え検索することで、
マッチするファイル数fです。サーバごとにファイルの持つ量Fも
違うからf/Fとして計算するのです。

>236
exp(0.3*ln(0.3))についてですが
exp(0.3)って計算可能な式ですか？

いくつかの標本、（ここでは、距離とする。）を
０から１の率に変換する方法はどういうものがあるでしょうか？
距離が近ければ率は高く、遠ければ率は低くしたいのです。

自分が考えたのは
距離をSとして、1/Sをまず、全標本に対して計算を行い、
その後に1/Sが最大となる標本を選び出して、その値を１と変換する。
そうすれば、他の標本も1以下となるのですが・・・・

しかし、この方法では、率の値にばらつきがでます。
つまり、全部1に近いとか、そういうふうになってしまいます。
そうではなくて、正規分布（？）のような形に変換するにはどうしたらいいのでしょうか？

代数の問題で
３乗根２i　　についてQ上の最小多項式と基底をもとめよ。
とあるのですがわかりません。
わかりやすく教えてもらえませんか？

８個のサイコロを振って出た目の和が３３になる確率を教えてください。
計算式も・・・お願いいたします・・・

証明論ってどんな研究がありますか？

>254
exp(x)=Σ[k=0,∞]((x^k)/k!)(Ｒ上広義一様収束)
ついでに
-ln(1-x)=Σ[k=1,∞]((x^k)/k)((-1,1)上広義一様収束)
てなわけで、極限は存在します。

昨日のジャングルTVの問題で、「5匹のねずみが・・・」
の問題と解答きぼーん 見逃しちゃったのね・・・
数学苦手なのね・・・ 厨房です・・・

距離ではなくて転送速で評価を決めるのはどうでしょう？

各サーバの転送速を s(A) という風に表すとして
　　転送速の平均 : u = ave{s(A),s(B),…}
　　格差の最大値 : v = max{|s(A)-u|,|s(B)-u|,…} (| | は絶対値)
をもとに、
　　A の転送速評価 : (1/2){1 + (s(A)-u)/v}

>>257
8個のさいころが33になる組み合わせは多分以下のとおり。
それぞれの組み合わせの個数を合計して6^8で割れ。
(プログラム組んだほうが絶対早いと思うけど）
1,1,1,6,6,6,6,6
1,1,2,5,6,6,6,6
1,1,3,4,6,6,6,6
1,1,3,5,5,6,6,6
1,1,4,4,5,6,6,6
1,1,4,5,5,5,6,6
1,1,5,5,5,5,5,6
1,2,2,4,6,6,6,6
1,2,2,5,5,6,6,6
1,2,3,4,5,6,6,6
1,2,3,5,5,5,6,6
1,2,4,4,5,6,6,6
1,2,4,5,5,5,6,6
1,2,5,5,5,5,5,5
1,3,3,3,5,6,6,6
1,3,3,4,4,6,6,6
1,3,3,4,5,5,6,6
1,3,3,5,5,5,5,6
1,3,4,4,4,5,6,6
1,3,4,4,5,5,5,6
1,3,4,5,5,5,5,5
1,4,4,4,4,4,6,6
1,4,4,4,4,5,5,6
1,4,4,4,5,5,5,5
2,2,2,3,6,6,6,6
2,2,2,4,5,6,6,6
2,2,2,5,5,5,6,6
2,2,3,3,5,6,6,6
2,2,3,4,4,6,6,6
2,2,3,4,5,5,6,6
2,2,3,5,5,5,5,6
2,2,4,4,4,5,6,6
2,2,4,4,5,5,5,6
2,2,4,5,5,5,5,5
2,3,3,3,4,6,6,6
2,3,3,3,5,5,6,6
2,3,3,4,4,5,6,6
2,3,3,4,5,5,5,6
2,3,3,5,5,5,5,5
2,3,4,4,4,4,6,6
2,3,4,4,4,5,5,6
2,3,4,4,5,5,5,5
2,4,4,4,4,4,5,6
2,4,4,4,4,5,5,5
3,3,3,3,3,6,6,6
3,3,3,3,4,5,6,6
3,3,3,3,5,5,5,6
3,3,3,4,4,4,6,6
3,3,3,4,4,5,5,6
3,3,3,4,5,5,5,5
3,3,4,4,4,5,5,5
3,4,4,4,4,4,5,5
4,4,4,4,4,4,4,5

(1-z)^(-1)∈H^1でないことがどうしても示せません
H^1は　hardy　space，｜ｚ｜＜１です
ノルムf_1が無限に発散するはずなのですが示せません
教えて下さい

>>261さん
感謝です。この方法はいいと思います。
有難う御座いました。

微分可能な全ての関数Fについて

F * d/dt(F) = 1/2 * d/dt(F^2)

が成り立つと物理の教科書に書いてあったのですが、
数学の教科書を見てもよく分かりません。
なぜそうなるのでしょうか。どなたかご教授ください。

>>265
F=F(t)で、d(F^2)/dt=2*F*(dF/dt)だから

>>263
>H^1は　hardy　space，｜ｚ｜＜１です

↑↓これは何ですか？定義を書いてくれ

>ノルムf_1が

あなたは人を殺したいと思ったことはありませんか？
誰にもバレない殺人術をお教えいたします…。

http://www5a.biglobe.ne.jp/~kongen/

>>263
lim_{r -> 1} ∫[0,1](1-re^(2πit)dt
を計算するだけだし、計算もすごく簡単だよね。

>>266

ああ、そうですね。難しく考えすぎてしまいました。
d記号に慣れないと・・・。
どうもありがとうございました。

次の方程式で与えられる陰関数y=ψ(x)の極値を求めよ。(ψ'、ψ"を調べよ。）
x^2+xy+2y^2=1

わかんね(;´Д`)ﾀﾉﾑ(´人`)ﾀﾉﾑ

>>271
両辺xで微分すると、
2x+y+xy'+4yy'=0

この式分からなかったら陰函数の微分とか
合成函数の微分とかのページを復習。

>>272
dxとかdyはかけなくていいの？

ﾊｧ?　微分形式にでもするんか？
y'って書いてんじゃん。
当たり前ですが、y'=dy/dxのつもりだ。

>>261
標準偏差を利用するのがいいといわれました。
サンプル値に標準偏差を適用する方法って
どういう風になるのでしょうか？

それは何？

さいころの質問をした257です。
>>262さん、本当にどうもありがとうございます！！
すごくすごく助かりました。恩に着ます。ありがとうありがとう！！

それにしてもこの問題って、組み合わせを考えないといけないのでしょうか？
計算式では出せないのかな・・・
「和が４０のとき」「さいころの面が９まであるとき」などもあるんですが・・・（涙）
プログラムの仕方がわからないので、コンピューターにやらせたら
楽だろうなーと思いつつできません・・・ううー

「平均」 と 「標準偏差」 でデータを標準化し
「偏差値」 を各データの評価とします。
cf.) http://www.clg.niigata-u.ac.jp/~takagi/may19.html

trって新潟大？

>>267
H^1 hardy space :H^1={f:|z|<1で正則,‖f‖_1=sup[0<r<1]{(2pi)^(-1)∫[0,2pi]f(re^it)dt}<∞}
f=(1-z)^(-1)
です　すみません
>>269 めどんさん
そこまではいけたのですがその後置換してCauchyの積分公式を使うと
‖f‖_1=･･･=f(0)=1
となってしまうのですがどこか間違っているでしょうか？
これだとhardy spaceに含まれてしまうと思うのですが？？？

H^1の定義のところで
∫[0,2pi]f(re^it)dt}<∞
ってあるけど
∫[0,2pi]|f(re^it)|dt<∞
じゃないの？
俺は定義知らないで想像で（藁）書いてるから
自信無いけどさ．

>>281
ごめんなさい
その通りでした
でも気づくの早いですね
すごい

↑
バーヤ

Borel集合と可測集合の違いをおしえてください

>>284
可測集合族⊃Borel集合族
可測集合族∋可測集合
Borel集合族∋Borel集合

lim(L→∞)sin(Lx)/(πx)=f(x)とすると
∫g(x)f(x)dx=g(0)を満たすからf(x)はδ関数らしいですが、どういう計算をしているのか分かりません。教えてください。

ａ（１）＝３，
ａ（ｎ+１）＝３ａ（ｎ）+３＾ｎ+１
の一般項ってどんなでしょうか？

両辺を3^(n+1)で割ってb(n)=a(n)/(3^n)に関する漸化式をつくれ。

＞可測集合族⊃Borel集合族

可測集合であってBorel集合でない例をあげよ

>>287

前スレ159-162を見れ

本当有難う。卒論もちょっと前進しました。

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　みんな，おはよ〜．
　 ヽ　| |　l　 l |〃　わからない問題は，今日もさくらと一緒に
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 レリーズ！！
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＞ａ（ｎ+１）＝３ａ（ｎ）+３＾ｎ+１
これって，a[n+1]=3a[n]+3^(n+1)でなくa[n+1]=3a[n]+(3^n)+1だよね？

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 この漸化式は線形なので（斉次式の一般解）＋（非斉次式の解の１つ）
　 ヽ　| |　l　 l |〃　が求める（非斉次）漸化式の一般解になります．まず，
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 斉次部分a[n+1]=3a[n]の一般式は，a[n]=C*3^n（Cは定数）だよね．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（つづく）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 次に，非斉次部分まで入れた全体a[n+1]=3a[n]+3^n+1
　 ヽ　| |　l　 l |〃　の解の１つを求めればいいのだけど，ここで単純に
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　解を見つけるためにa[n]=p*3^n+q（p,qは定数）とおくと
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（つづく）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 すでに3^nが線形部分の解になっているのでうまくいきません．
　 ヽ　| |　l　 l |〃　こういう場合は，解の候補としてnをかけたa[n]=p*n*3^n+q
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　とおくと，うまくいきます．実際この式を代入してあげると，
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（つづく）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 p*3^(n+1)-2q=3^n+1より，p=1/3,q=-1/2となるので，
　 ヽ　| |　l　 l |〃　一般解は，a[n]=C*3^n+n*3^(n-1)-1/2とわかります．
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　また，初期値解は，a[1]=3よりC=5/6となるよ．（おわり）
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

>>さくらさん
hardy apace の問題について質問したのですがまだ分かりません
絶対値がないと言われたのですが自分の計算では抜けてません
絶対値があるとCauchyの積分公式が使えないのですか？
どこが違うか分かりせん
教えてください

>>263
|1-z|^2 ＝ 1 + r^2 -2*r*cos(t)
だからようするに
∫_[0,2*pi] {1 + r^2 -2*r*cos(t)}^(-1/2) dt　・・・☆
が r->1 のとき∞に発散することを示せばいいんだけど
cos(t) ≧ 1 - (1/2)*(t^2)
だから☆は
∫_[0,2*pi] {1 + r^2 -2*r*(1 - (1/2)*(t^2))}^(-1/2) dt
で下から押さえられる．これが r->1 のとき∞に発散する
ことを，まともに計算して示せばいい．高校の微積分だ．

>>297
>絶対値があるとCauchyの積分公式が使えないのですか？

使えません．（1/|1-z| は正則関数ではない．）

４つの４次行列がＲ4の正規直行基底となる条件を教えて下さい。

(a,1,1,1,),(b,-1,1,1),(c,1,-1,1),(d,1,1,-1)がＲ^4の正規直行基底となる条件をa,b,c,dで表せ、という問題です。

>>299
すいません訂正。
４次行列→４つのＲ^4のベクトル

>>281
ありがとうございました
出直してきます

>299
正規＝長さが１だから、正規直交基底にはならない。
一般に{u[i]}が正規直交系⇔u[i]を並べてできる行列が直交行列（Q^TQ=E)。

(a,1,1,1,),(b,-1,1,1),(c,1,-1,1),(d,1,1,-1)
ではなく、
(a,1/2,1/2,1/2,),(b,-1/2,1/2,1/2),(c,1/2,-1/2,1/2),(d,1/2,1/2,-1/2)
でした。
まじごめんなさい。。。

>>298
分母の有理化を使うとさらに計算が楽なような気がする。
|z|=1 のとき 1/|1-rz|=|1+rz|/(1-r^2)

>>303
a=1/2, b=c=d=-1/2

一定の速さで走っている列車がある。この列車が３５２０ｍの
鉄橋を渡り始めてから終わるまで１６０秒かかり、
２３３６ｍのトンネルを通過する時、列車全体がトンネルの中に
ある時間は８４秒だった。この列車の長さを求めなさい。

すみません、厨房もんだいです。

>>306
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Kenji/9942/x01.wav

↓３次行列です。
　(001)
A=(100)
(010)
�@f(λ)=lλE-Al=0 を複素数の範囲で解け。
�AAを複素数の範囲で対角化せよ。
�BR^3の標準的な基底に関する表現行列がAである線形写像φはR^3
の回転を表すことを示せ。

たびたびすいません、明日テストなんで・・・泣
299の問題は分かりました。
考えてくださった方、ありがとうございました。
良かったら↑もお願いしますm(__)m
A=
(001)
(100)
(010)　です。ずれました。

１、頂点A、Bからおろした垂線の長さがそれぞれ３ｃｍ、４ｃｍで
　　ある三角形ＡＢＣがある。頂点Ｃから下ろした垂線の長さを
　　ｘｃｍとするとき
（１）ｘの範囲を求めよ
（２）ｘが６であるときcosAと辺ＢＣの長さを求めよ

２、２個の赤玉と８個の白玉が入った袋から
　　無造作にｎ(1≦ｎ≦10)個の玉を取り出す。
　　このｎ個に含まれる赤玉の個数をＸｎで表し、
　　Ｘｎ＝ｋ(k=0,1,2)となる確率をｐｎ(k)とおく。
　(1)ｐｎ(k)を求めよ
　(2)Ｘｎの期待値Ｅ(Ｘｎ)を求めよ
　(3)ｐｎ(2)＞1/2となる最小の自然数ｎをもとめよ

３、xの2次関数f(x)=x^2-4ax+a^2+5a+2(aは定数)について
　　x≧0の範囲においてf(x)の最小値が2となるようなaの
　　値をすべて求めよ。

多くてすいません。
よろしくお願いします。

ﾜﾗ

＞３１０
そのうちｔｒが答えてくれるよ

>>309
0=|λE-A|=|{λ,0,-1}{-1,λ,0}{0,-1,λ}|=λ^3-1
よって、固有値は 1,ω,ω^2、ただし ω=(1+i√3)/2。
固有ベクトル (Ax=λx となるベクトル x、ただしλ=1,ω,ω^2) は
方程式を解いて (1,1,1), (1,ω,ω^2), (1,ω^2,ω)。
よって、行列 T={1,1,1}{1,ω,ω^2}{1,ω^2,ω} を使って対角化でき、
結果 {1,0,0}{0,ω,0}{0,0,ω^2} を得る。
ちなみに A は回転行列ではないね。

＞３１３
＞ω=(1+i√3)/2

ω=(1士i√3)/2 じゃないの？
（ω^2=(1干i√3)/2 （複合同順））

↑まちがい
＞３１３
＞ω=(1+i√3)/2

ω=(−1士i√3)/2 じゃないの？
（ω^2=(−1干i√3)/2 （複合同順））

お待たせしました。(笑)

1.(1)　△ABC の面積を S として
　　S = (1/2)BC*3 = (1/2)CA*4 = (1/2)AB*x
　　⇒ BC = (2/3)S, CA = (1/2)S, AB = (2/x)S…(#)
ここで、三角形の存在条件より
　　|BC - CA| < AB < BC + CA
　　⇒ (1/6)S < (2/x)S < (5/6)S
　　⇒ x < 12 < 5x
　　∴ 12/5 < x < 12
(2)　(#) に x=6 を代入して k = (1/6)S と書きかえ
　　BC = 4k, CA = 3k, AB = 2k
　　∴ cos(A) = -1/4 (余弦定理)
B からの垂線の足を H とすると cos(A) = -1/4 から
　　AB : AH : BH = 4 : 1 : √15
　　⇒ AB = (4/√15)BH = 16/√15
これより
　　BC = 4k = 2AB = 32/√15

2. [注) nCr を C(n,r) と表記します]
(1) Pn(k) = C(2,k)*C(8,n-k)/C(10,n)
　　　　　= (2!/{k!(2-k!)})(8!/{(n-k)!(8-n+k)!})/(10!/{n!(10-n)!})
　　　　　= (1/45)*C(n,k)*C(10-n,2-k)

(2) E(Xn) = �納k=0,2] k*Pn(k) = 1*Pn(1) + 2*Pn(2)
　　　　　= (1/45){1*C(n,1)*C(10-n,1) + 2*C(n,2)*C(10-n,0)}
　　　　　= (1/45){1*n*(n-1) + 2*n(n-1)/2}
　　　　　= (1/5)n

(3) 1/2 < Pn(2) = (1/45)*C(n,2)*C(10-n,0)
　　　　　　　　　　= (1/45)*n(n-1)/2*1
　　⇔ 45 < n(n-1)
これより、求める n は 8

3. (1) f(x) = (x - 2a)^2 - 3a^2 + 5a + 2
　i) 定義域に軸が含まれる (a≧0) 場合
　　　2 = f(2a) = -3a^2 + 5a + 2
　　　⇒ 0 = 3a^2 - 5a = a(3a - 5)
　　　∴ a = 0, 5/3
　ii) 定義域に軸が含まれない (a<0) 場合
　　　2 = f(0) a^2 + 5a + 2
　　　⇒ 0 = a^2 + 5a = a(a + 5)
　　　∴ a = -5
以上まとめて a = 0, 5/3, -5

>>315 そうだね。ありがとう。
どっちか好きな一方を取れば良いんだけど、マイナスを忘れてました。

>>310

[1](1)
3a=4b=xc → a=(x/3)c, b=(x/4)c
|a-b|<c<a+b → (x/12)c<c<(7x/12)c → 12/7<x<12

[1](2)
a:b:c=4:3:2 → cosA=(3^2+2^2-4^2)/(2*3*2)=-1/4
sinA=√(1-(cosA)^2)=√15/4 → a=2c=8/sinA=32/√15= 32√15/15

なんだかぶっているじゃん
やめた

>>313
>ちなみに A は回転行列ではないね。

回転だろ？

ばか？＞３２１

誤) 「⇒ (1/6)S < (2/x)S < (5/6)S」 〜 「∴ 12/5 < x < 12」
正) 「⇒ (1/6)S < (2/x)S < (7/6)S」 〜 「∴ 12/7 < x < 12」

足し算まちがえた。他にもミスあったら適宜修正してください。(涙)

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　みんな，おはよ〜♪
　 ヽ　| |　l　 l |〃　わからない問題は，今日もさくらと一緒に
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 レリーズ！
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

trさんどうもありがとうございました。
大変助かりました。

＞＞３２０さんもありがとうございました。

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　列車の長さをl[m]，速さをv[m/s]とすると，
　 ヽ　| |　l　 l |〃　 3520+l=160*v, 2336-l=84*v となる．
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　これを解いてあげると，l=320[m]，v=24[m/s] だよ．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　A={(0,0,1)(1,0,0)(0,1,0)}〜{(1,0,0)(0,ω,0)(0,0,ω^2)}
　 ヽ　| |　l　 l |〃　〜{(1,0,0)(0,cosθ,sinθ)(0,-sinθ,cosθ)} だから，
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　AはR^3上の回転になっているよ．（ただし，ω=e^(2πi/3),θ=2π/3）
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

>>313,315,328
ありがとうございます、助かりました。
では、今からテスト頑張ってきま〜す。

ｘ−２ｙ＋６＝０
３ｘ＋ｙ−１＝０
２ｘ−１／２ｙ＋３＝０
上の方程式をy=mx+nに書き換えろという問題なんだけど
俺にはさっぱりわからん。
誰かおしえて

>>330
y=x/2+3
y=-3x+1
y=4x+6

>330
ありがと。
できれば、この答えになるまでの計算をおしえてください。

>>332
たぶん夜中にｔｒ先生か、早朝にさくらたんが教えて下さいます。
それまで待ちなさい。

＞３３２
寝ろ

>>328
それは、A を対角化したものが回転行列だといっているんでは。。。
>>308には「R^3の標準的な基底に関する表現行列がAである線形写像φは
R^3の回転を表すことを示せ」とあるから、これは A そのものが回転行列
であることを示せといっているんだと思うけど、A は回転行列でないね。

ところで、試験はうまくいったのかなあ。

ＣＢＣのプロ野球中継の表示がよくわかりません

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　ある正則なPによって，P^(-1)AP=Bとかければ，
　 ヽ　| |　l　 l |〃　AとBの表現の見た目はちがっても，Aでの標準基底e[i]
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　に対して，別の標準基底Pe[i]でBを見れば，AとBは全く同じ物だよ．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（つづく）

A={(0,0,1)(1,0,0)(0,1,0)}
B={(1,0,0)(0,cosθ,sinθ)(0,-sinθ,cosθ)}
A〜B ⇔ P^(-1)AP=B となるPが存在する
とするね．

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 つまり，ある標準基底e[1]=(1,0,0),...,e[3]=(0,0,1)でAを
　 ヽ　| |　l　 l |〃　見てもすぐにはわからないかもしれないけど，別の標準基底Pe[i]
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　からAを見れば，R^3上をPe[3]を軸にθ回転する行列だとわかるよ．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（おわり）

＞R^3上をPe[3]を軸にθ回転する行列だとわかるよ．

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 「Aは，R^3上をPe[1]を軸にθ回転する回転行列」
　 ヽ　| |　l　 l |〃　 の間違いでした．（Pe[3]→Pe[1]）
　　｀ｗﾊ~　ｰノ）
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

あれれ？間違えたちゃったな？

>>338

Ｐが直交行列かどうか言わないとまずいだろ。

>>335
とりあえず教科書を読んでくれ

>>322
…笑わせてもらった

つーか、「標準的な基底」を基本基底か正規直交基底かただの基底と読むか
解釈によって答えは異なる。

えーと。

もし僕が試験に合格する運命なら、勉強しなくても合格する。
もし僕が試験に合格しない運命なら、勉強しても合格しない。
上記２点の理由より；
僕の運命は、試験に合格するかしないかのいずれかしかないのだから、勉強したってしょうがない。

>>335
アホか、こいつ（藁

＞僕が試験に合格する運命なら、勉強しなくても合格する。

家庭がまちがっとる

>>338
そもそも、{(1,0,0)(0,ω,0)(0,0,ω^2)} は R^3上の変換ですらないね。
複素係数だからな。

>>347
>{(1,0,0)(0,ω,0)(0,0,ω^2)}

{(1,0,0)(0,cosθ,sinθ)(0,-sinθ,cosθ)}は？

＞ところで、試験はうまくいったのかなあ。
過去問（ココで質問したこと）と似たような感じだったので、結構デキました。
皆さんに感謝です。
それにしてもここの板は平和でいいですね〜。（他の板と比べて）

>>347
こいつは根本的に線形代数を知らんみたいだな（わら＞３１３

混乱させてすまん、よく考えたら A は回転行列だった。軸は(1,1,1)方向な。

>>349
あ、これって論理学の基本的な奴じゃん。
ここは数学ちゃうの？

例　４ｘ−２ｙ＋８＝０　・・・(3)　は
　ｙ＝２ｘ＋４　に直すと，傾きが２であることが分かります．

ｙ＝２ｘ＋４への直し方がわかりません。

お約束だけど・・・

>346
変換が間違っとる。(藁

てーか、論理学の世界では仮定が正しいかどうかは関係ないよ。
仮定は必ず正しいものとして話が進められるから。
例えば、「上野の西郷さんの銅像が連れているのは猿だ」
という仮定があった場合、実際には犬を連れていても、
思考の組立てはそれを猿として進めなくてはいけないんだ。

ま、難しい事はさて置き、この論理に反論してみる？＞346
無理だと思うけど。

＞３５４
その前にお前の日本語訳をもう少しなんとかしてくれ

>>353

いいかげんにガキは寝ろ

円：(ｘ-1)~2+(ｙ-1)~2=1…�@
直線:ｙ=-ax+k…�A
a>1の場合、�@が�Aと接するとき
最小値(ｙ切片の値)＝a+1-√a~2+1

という解答例なんですが、なぜa+1-√a~2+1という数字が
出せるのかがわからないんです。
�@のyに�Aを代入してD＝0としてもkは消えてくれないし…
多分もっと簡単な発想なのかなあ、と思うんですけど
なんで分らないんだろう。
どなたかお教えねがえませんでしょうか。
ご恩は忘れません…
数学苦手なんですけどギリギリまで出きるだけのことをしたいんですが、
なかなか空回り(笑）

>>357
>�@のyに�Aを代入してD＝0としてもkは消えてくれないし…

y切片の値=kだから、D=0のときのkの値をもとめればいいんでないの？
または、�@の中心(1,1)と�Aの距離＝1（�@の半径）から
|a+1-k|/√(a^2+1)=1 → k=a+1-√(a^2+1)

ちなみに指数は~でなく^を使おう。

a>1 を満たす a が与えられたとき
円と直線が接するような k の値は2つしかないので
小さい方の k を選べばよい。

k の出し方は358で出てますね。
ていうかいまいち題意がつかめなかった。

>>353
4x-2y+8=0
まず両辺を２で割るだろ？
2x-y+4=0
そしたら次は移項。yの項だけ右に移動させるよ。
移項すると - は + になるから、
2x+4=y
あとは逆にするだけ。ＯＫ？
中２か？だとちょっとヤバイな、オナニーのし過ぎじゃないか？
>>357
>最小値(ｙ切片の値)
↑の意味が分からんっす。
この問題、俺も気になるから教えてくれ。
明日はセンターだからなぁ。

↑すまん、358と359読んでなかった。

>355

あれ？わからなかったの？
・・・ヤレヤレ。 ┐（´ー｀）┌

あんた、数学より先に日本語を勉強しなよ。

>>362
オナニーのし過ぎじゃないか？

本年度数学オリンピック（予選）に参加するスレ
1 名前：去る惑星投稿日：2001/01/16(火) 20:32
http://www.shiojiri.ne.jp/~kensuu/index.html
から問題をダウンロードする。
実際とは違い、エレガントな解法ごと答えること。

>>358 >>359
いまレス見ました。これからやってみます。
質問に丁寧＆親切に答えていただいて感謝します。
あいがとうございました。

平面上に四角形ABCDがある。
この平面上の任意の点Pに対して
AP＾2＋CP＾2＝BP＾2＋DP＾2
が成り立つとき、ABCDはどのよな四角形か。

ttp://www.edo.toride.ibaraki.jp/edotori41/g2no2703.htm
このページの問い4と問い5が分かりません。
問い4を誤答すると「メラネウスの定理」という言葉が出てきます。
こちらも合わせてご教授いただけませんでしょうか。

本当に素朴です。
明瞭かつ簡潔な証明を求めます。

何故「−１＊−１＝１」になるのですか？

どうかお願いします。

定理としては了解してるつもりですが、
証明しろと言われると、どうしても閉口してしまいます。

１０÷３×３は９．９９９９〜になったり、１０になったり、どっちなの？

あ、要するに
「何でマイナスにマイナスをかけるとプラスになるのか？」
という事ですあしからず。

>370
中学校3年の数学の参考書に出てたんですが、
0.99・・・=1なんだそうです。
それによると
0.1・・・=1/9の両辺に9をかけると
0.9・・・=1となるとの事です。
だから9.99・・・=10です。

＞368
数学屋ではない素人ですが、
「ＸＹ座標軸とＸ＝−１とＹ＝−１
　でできる正方形の面積は１」
で証明になりませんか？
このときＸ・Ｙ＝正方形の面積だから。

あ、立方体やったらあかんがな、、、、すまそん。

正方形でもダメやね。

n面体のサイコロをm個振って、最も大きい数値を利用する時の
期待値、が解りません。


6面体のサイコロを3個振って、2,4,6と出たら、6を使用する、
と言う事です。

＞３７５さん
というと３７３さんの方法では証明した事にはならない…と？

う〜ん、ますます疑問符が積もるばかり…

１×１＝（Ｘの成分）×（Ｙの成分）
というぐあいにある座標の原点を「−２」だけ並進移動
したものの結果と、元の座標で計算した結果が一致すると
いうことを勝手に考えると、マイナス×マイナスはプラスに
なると証明できそう。正方形の考え方はいいと思いますが。

>>376
(1/n)^m*Σ[k=1〜n][k*{(k^m−(k-1)^m}]

mが具体的な（かつ小さい）値でないと、
実際に計算するのは苦しい。

>>370

>>137を嫁

↑ まちがい

>>134を夜目

複素数平面状にＡ(i)、Ｂ（1+2i)がある
点Ａを通り直線ＡＢに垂直な直線をｌとする。
点Ａを点Ｂの周りに-45度回転し点をＣとする。
点Ｂ，Ｃを通る直線をｍとする。
（１）ｌ、ｍの方程式を媒介変数を用いて表わせ。
（２）ｌ、ｍの交点Ｄを求めよ。
（３）点Ａ，Ｄを通る直線の方程式を　＿　　　＿
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｐｚ＋ｐｚ＋ｃ＝０
　　　の形で表わせ。

という問題です。どうやったらいいんでしょう？

訂正
（３）はｐバーｚ＋ｐｚバー＋ｃ＝０です。
ずれてますね；；。

>>382

午前１時３０分にｔｒ先生がお答えしてくれるそうです。

問題にミスがありそうな気もしますが、解答の時間 (笑) です。
　# A, B, etc. を複素平面に図示してください
　# Ve( ) はベクトル、~z は z の共役複素数です

(1) 直線l上の点 P(x+yi) に対し
　　l : (x,y) = Ve(OP) = Ve(OA) + k*(1,-1) = (k,-k+1)
次に C(1-√2+2i) であって、m上の点Q(x+yi) に対し
　　m : (x,y) = Ve(OQ) = Ve(OB) + t*(1,0) = (t+1,2)
# (1,-1) は l の、(1,0) は m の方向ベクトルです

(2) (1) で得た 2式を連立させて
　　k = t+1, -k+1 = 2 ⇔ k=-1, t=-2
　　∴ D(-1,2)

(3) 直線l は B(1+2i) と E(-1) の垂直2等分線だから、
l上の点を P(z)、また B(w), E(v) として
　　|z - v| = |z - w| ⇔ |z - v|^2 = |z - w|^2
が成り立つ。これより、
　　(z - v)(~z -~v) = (z - w)(~z -~w)
　　⇔ z*~z - z*~v -~z*v + v*~v = z*~z - z*~w - ~z*w + w*~w
　　⇔ (~w -~v)*z + (w - v)*~z + |v|^2 - |w|^2 = 0
　　⇔ ~(w - v)*z + (w - v)*~z + |v|^2 - |w|^2 = 0
ここで v=-1, w = 1+2i であるから
　　 ~(2+2i)*z + (2+2i)*~z - 4 = 0

>>367 について
メネラウスの定理とは、問4 の記号で書けば
　　(CA/AF)*(FE/EB)*(BD/DC) = 1
　　(CB/BD)*(DE/EA)*(AF/FC) = 1 … (#)
が成り立つことを言います。

問4を解くには (#) に与えられた比を代入すれば、
問5を解くには DG:GC or BG:GF を求めれば OK です。

a_1=1
a_(n+2)=4a_(n+1)-4a_(n)+2^n-1
の一般項を教えて

今日、せんたー試験受けに行く人いる？

b(n)=(a(n+1)-2*a(n))/(2^n)
の漸化式を作れ。

↑ それは、a_(n+2)=4a_(n+1)-4a_(n)+2^(n-1) の場合だろ

a_2は？

>>391
すみません、問題が間違えてました。
a_1=1
a_2=1
a_(n+2)=4a_(n+1)-4a_(n)+(2^n)-(n^2)

これでおねがいします。m(__)m

a(n) = (n-8)(n-9)*2^(n-3) - (n+2)^2 - 4

お久しぶりです。
この漸化式、いったい何に使うのか教えてね。
結果泥棒はいやだよん♪

＞３９３
どうやってやった？

意味不明だぞ。>390

(1) f(n+2)=4*f(n+1)-4*f(n) ⇔ 0=-n^2 となる n の多項式
を見つける。f(n)=(n+2)^2+4 とすれば OK♪

(2) b(n+2)=4*b(n+1)-4*b(n)+2^n を解く。

(3) (1)と(2)を辺々足せば f(n)+b(n)=a(n) が解だよ。

あ！ 書き間違えてる。ごめんなちゃい！
a(n) = (n-8)(n-9)*2^(n-3) + (n+2)^2 + 4
が正しいです。

>>389=396 さんへ
おそらく >>387 の漸化式の最後の部分は (2^n)-1 と読むのが
普通だから、その点を >>390 さんは指摘したんだと思います。

やっぱり >>393 で合ってました。
(2)-(1) で b(n)-f(n)=a(n) が解です。
ごめんなちゃい！

ちょっと説明がヘンだから直します。ごめんなちゃい。

(1) f(n+2)=4*f(n+1)-4*f(n)-n^2 となる n の多項式
を見つける。f(n)=-(n+2)^2-4 とすれば OK♪

(2) b(n+2)=4*b(n+1)-4*b(n)+2^n を解く。

(3) (1)と(2)を辺々足せば f(n)+b(n)=a(n) が解だよ。

400get

>>397
>a(n) = (n-8)(n-9)*2^(n-3) + (n+2)^2 + 4

a(1)=?

>>401
書き込む前に（別窓で）リロードすべし

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　みんな，おはよ〜♪
　 ヽ　| |　l　 l |〃　わからない問題は，週末もさくらと一緒に
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 レリーズ！！
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＞a_(n+2)=4a_(n+1)-4a_(n)+(2^n)-(n^2)

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 これも線形漸化式の問題だね．答えは３９３さんが出して
　 ヽ　| |　l　 l |〃　いるので，一般解だけ求めてみるね．まず，斉次項の
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　一般解は特性方程式の解が2の２重解だから，C1*2^n+C2*n*2^n．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（つづく）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 次に，非斉次項まで入れた解を１つ探すのだけど，非斉次項
　 ヽ　| |　l　 l |〃　2^nに対しては，すでに斉次式の２重解になっているので，
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　解の候補としてp*n^2*2^nを選ぶ．これを代入するとp=1/8が得られる．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（つづく）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 もうひとつの非斉次項-n^2に対しては，解の候補として
　 ヽ　| |　l　 l |〃　q1*n^2+q2*n+q3を選んで代入するとq1=-1,q2=-4,q3=-8
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） が得られる．以上より，a[n]=C1*2^n+C2*n*2^n+n^2*2^(n-3)-n^2-4n-8 ♪
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（おわり）

ここ助かりますね。ありがとうございます。

ミルクたえさん、さくらたん、どうもありがと（はーと

さくらたんﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ
ﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧﾊｧ

↑ 氏ね

　γ∞γ~　　＼
　人ｗ/　从从) ）　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ヽ　| |┬　ｲ |〃　＜　・・・・・
　　｀ｗﾊ~　.　ノ）　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 /　＼｀「

複素数平面状に異なる３点A(z1),B(z2),C(z3)があり
z3-z1/z2-z1=-1+2iを満たすとする。

１、cos∠BACを求めよ。
２、線分の長さの比AB:BC:CAを求めよ。
３、４角形ABDCが円に内接する様に点D(z4)をとる。
　　△ABCの面積が４のとき線分ＡＤの長さの最大値を求めよ。
　　またこのときz3-z4/z2-z4をa+biの形で表わせ。

この問題教えてください。よろしくおねがいします。

-1 の定義より　　1 + (-1) = 0、(-1) + 1 = 0

0*0 = 0 より　　{1 + (-1)}*{(-1) + 1} = 0

展開して　　1*(-1) + 1*1 + (-1)*(-1) + (-1)*1 = 0 --- (あ)

∀a に対して、a*1 = 1*a = a より
(あ) ⇔ (-1) + 1 + (-1)*(-1) + (-1) = 0 --- (い)

∀a に対して、a + (-a) = (-a) + a = 0 より
(い) ⇔ {(-1) + 1} + (-1)*(-1) + (-1) = 0 --- (う)

∀a に対して、a + 0 = 0 + a = a より
(う)　⇔ 0 + (-1)*(-1) + (-1) = 0
　⇔ (-1)*(-1) + (-1) + 1 = 0 + 1
　⇔ (-1)*(-1) + {(-1) + 1} = 1
　⇔ (-1)*(-1) + 0 = 1
　⇔ (-1)*(-1) = 1 (Q.E.D)

なんか変だから修正。

-1 の定義より　　1 + (-1) = 0、(-1) + 1 = 0
0*0 = 0 より　　{1 + (-1)}*{(-1) + 1} = 0
展開して　　1*(-1) + 1*1 + (-1)*(-1) + (-1)*1 = 0 --- (あ)

∀a に対して、a*1 = 1*a = a より
(あ) ⇔ (-1) + 1 + (-1)*(-1) + (-1) = 0
∴{(-1) + 1} + (-1)*(-1) + (-1) = 0 --- (い)

∀a に対して、a + (-a) = (-a) + a = 0 より
(い) ⇔ 0 + (-1)*(-1) + (-1) = 0 --- (う)

∀a に対して、a + 0 = 0 + a = a より
(う)　⇔ (-1)*(-1) + (-1) = 0
　⇔ (-1)*(-1) + (-1) + 1 = 0 + 1
　⇔ (-1)*(-1) + {(-1) + 1} = 1
　⇔ (-1)*(-1) + 0 = 1
　⇔ (-1)*(-1) = 1 (Q.E.D)

>>412

せめて、１は（参考書とか見て）自力で解いてみ。
１がちんぷんかんぷんだと、２以降は話にならんから。

標準偏差が小さいというのはどういう意味をもつのでしょうか？

分布が平均付近に集中してるっていう意味。

(標準偏差)^2＝(分散)＝V(X)＝Σ{(x_i - m)^2*p_i} （≧0）
たしかこんな感じ。

極端な例をあげると
ある試験において全員同点、
つまり分布にバラツキが全く無いときは
標準偏差＝分散＝0

かなり遅くなって申し訳ありません。

２８８さん、２９０さん、さくらさん、ありがとうございました。

あげとこう

お暇な方。
(1+k/r)^rtにおいての、rが無限大になるときの極限値を教えてください。
自分勝手な質問ですみませんが、１時間後テストが迫っているもので・・・

先輩方　わかりません教えてて頂けませんか？

f(x)：開区間（a,b）で、C＾ｋ級（ｋ≧１）で、f´(x)>0　（x∈（a,b））とする。

fの逆関数ｆインバースは、C^k級である。

これを確認せよ。

お忙しいかもしれませんが、よろしくお願いします

線形結合って英語でなんていう？
αF(x)+(1-α)G(x)

linear combinationでいいんじゃねぇの？

区分求積法で、
lim[n->∞] 1/ｎ Σ[k=1,n](1+k/n)^(-1/2)と
lim[n->∞] {1/√(n^2)+1/√(n(n+1))+1/√(n(n+2))+･･･+1/√(n(2n-1))}
っていうのは等しいですか？　教えてください。

毎分一定量の水が湧き出ている井戸がある。性能が同じポンプを何台か使って水をくみ出すとき
満水の井戸が空になるのに、ポンプ３台では４５分、４台では２４分かかる。
満水の井戸を５分以内で空にするには、少なくとも何台のポンプが必要か？

中学で習う接弦定理を証明して下さい。

.

接弦定理って何？

>>426
１２台

>>425
等しい。

前者 = 1/ｎ Σ[k=1,n](1+k/n)^(-1/2)
後者 = 1/ｎ Σ[k=0,n-1](1+k/n)^(-1/2)

☆型図形の内側の５点を通る円の半径と、外側の５点に接する円の半径の比率は？

円周上を144度おきに２周した５点を結んで☆を画面上に描いてますが、
36度おきに10点を結びたいので。

R/r
＝sin54°/sin18°
＝(3+√5)/2
≒2.61803398874989484820458683436564

↑　素早い解答、ありがとうございました。

２次方程式を解くための公式（−ｂ±√のやつです）
がどのように導き出されるのか解りません。

学校では「これを使えば解ける」というので納得しましたが、
突然、なぜこのような形の式が出てくるのか納得できません。

平方完成しよう

>>435
ax^2+2bx+c=0
変形すれば
a{x^2+2(b/a)x+(b^2/a^2)} - (b^2/a)+c=0
a {x+(b/a)}^2-(b^2/a)+c=0
{x+(b/a)}^2 ={(b^2/a)-c}/a
{x+(b/a)}^2 = (b^2-ac)/a^2
x+(b/a) =±√(b^2-ac)/a

x=-{b±√(b^2-ac)}/a
厨房バンザイ（wara

>>427 = 基礎さん
こんな風に図を描くと、接弦定理の証明ができます。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/m3cir106.htm

322です

どなたかおねがいします

>>422のことらしい

ヤングの標準盤って何ですか？？？

曲線ｙ＝logｘ，直線ｘ＝ｅおよびｘ軸によって囲まれた部分の
面積の求め方をおしえてください。お願いします。

logxを1からeまで積分すれば？

>443さん
面積を求める式を教えてもらえないでしょうか。
まったくわかんないもんなんで…

だから４４３のいう積分が面積を求める式だってば。

すみません。
４２２です。
４４０さんフォローありがとうございます

y=f(x) とおき、dx/dy, d^2x/dy^2, ・・・を順次計算すれば
よろしいのでは？

>>442
∫[x=1,e]log(x)dx=[x*log(x)-x][x=1,e]=1

それにしても最近、厨房・工房のネタ問題が多いのはなぜ？

>>435
>学校では「これを使えば解ける」というので納得しましたが、
>突然、なぜこのような形の式が出てくるのか納得できません。

そういう教え方をする先生もかなり問題だと思う、、、

>>449

a_(n+1)=p*a_(n)+q → x=px+q
a_(n+2)=p*a(n+1)+q*a_(n) → x^2=px+q

高校数学でやる上の数列の特性方程式はだれが考え付いたの？

↑すまぬ すれちがい

>>449
導出方法を教えてもほとんどの生徒は理解しないから
意味ないんじゃない。

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=980217583&ls=50
お願いします。

>√(x2乗-x) - xの値を求めよという問題で
>模範解答は
> ={x2乗-x-x2乗}/{√(x2乗-x)+x}
> ={-x}/{x√(1- 1/x)+x}
> =-1/2となっていましたが

上式
> =x√(1-1/x)-x (1)
> =x{√(1-1/x)-1} (2)
> =x{1-1} (3)
> =0
> としてはいけないのでしょうか?

いけない。
2)から３）の変形がおかしい
もし、x->無限大の時、そうなるって意味なら、
外側のxを残したままってのがヘン。

∫[∞、-∞] Exp(i*P*t)/Exp(√(P/r)t)/Exp(-(P/r)t) dt=0
この式で
i=虚数　P,ｒ=定数　tについて積分します
＝０とはならないのですが　0が０．００００以下のようになる
定数P,ｒを見つける問題です

積分した式が知りたいです　よろしくお願いします

∫[∞、-∞] Exp(i*P*t)/Exp(√(P/r)t)/Exp(-(P/r)t) dt=0
　　　　　　　　　　　　↑全体括弧　↑+です↑に√抜けてました
∫[∞、-∞] Exp(i*P*t)/(Exp(√(P/r)t)+Exp(-√(P/r)t)) dt=0
ですすみません

＞それにしても最近、厨房・工房のネタ問題が多いのはなぜ？

宿題・レポートはここ、みたいなスレが元祖。違和感無し。

>>457
>宿題・レポートはここ、

ふつうの宿題・レポートでなく、寝た問題が多くない？

ガレー除法とは、どう行うのでしょうか。
すごくつまらない質問ですみません・・・。

円周等分多項式が有理数係数の範囲で既約であることの
証明はどのようにすれば良いのでしょうか？

あげ

∫[0,π/3] sin^4(x)/cos^8(x) dx
を教えてください。

>>430

　　ち　が　う　よ　！

∫sin^4(x)/cos^8(x) dx
= ∫tan^4(x) (1 + tan^2(x)) d(tan(x))

あとは自分やってください

過去問をやっているんですがいまいち良く分かりません。
解説をお願いします。

数列{a[n]}は0<a[1]<3、a[n+1]=1+√(1+a[n]) (n=1,2,3,…)
を満たすものとする。このとき、次の(1),(2),(3)を示せ。
(1) n=1,2,3,…に対して、0<a[n]<3が成り立つ。
(2) n=1,2,3,…に対して、3-a[n]≦(3-a[1])*(1/3)^(n-1)が成り立つ。
(3) lim[n->∞]a[n]=3

(1)(2):帰納法
(3):(2)より明らか

>>466様
帰納法を使うことは付属の解説に載っているので分かるのですが
(1)について帰納法を使うと2<a[k+1]<3になるのですが正しいですか？
今までやった帰納法ではa[k+1]の時の結果もa[n]とピッタリ一致していたので
戸惑ってます。

2<a[k+1]<3が言えたのなら0<a[k+1]<3が成り立つからそれでいいじゃん。

２ｍ＋ｂ＝１２
３ｍ＋ｂ＝１７
５ｍ＋ｂ＝２７

ｍ＝５　ｂ＝２　だそうです。　過程が解りません。

>>468=466様
そうですかアドバイスありがとうございます。

微分方程式dy/dx=-y^2
の解き方を教えてください。お願いします。

＞
そんな
移項して積分すれば
どこの教科書で書いてる

∬D 1/(1+x^2+y^2)^(3/2) dxdy D:0≦x≦1,0≦y≦1
という積分なのですが、極変換したときの範囲が
よく分からないのです。
教えて下さい。よろしくお願いします。

d(1/y)/dx = (-1/y^2) * (dy/dx) 、以下略

dy/y^2 = -dx
両辺積分して
-1/y = x + C
はい、終わり

「ÅsiÅ」
なんて読むんですか？

あじあ

たびたびすいません
おかげさまで(1)と(3)は分かったのですが
(2)の解法がどうしても分かりません。
具体的な式などを教えてください。

>477
よく知ってるね
身元割れた？(^_^;)

＞　3-a[n]≦(3-a[1])*(1/3)^(n-1)

試算してないのでアレだけど、たぶん
　0≦3-a[n]≦(3-a[n-1])(1/3)　（n≧2）……(#)
が成立するはず。

そしたら(#)を(n-1)回使って
　　　　3-a[n]
　　≦(3-a[n-1])(1/3)
　　≦(3-a[n-2])(1/3)^2
　　　………
　　≦(3-a[1])(1/3)^(n-1)

＞４７３
直交座標の方が簡単だと思うが

＞3-a[n]≦(3-a[n-1])(1/3)　（n≧2）……(#)
を示すのに
＞2<a[k+1]<3
を使うことになるはず。

漸化式のルートをはずすと
　(a[n])^2-2a[n]=a[n-1]（n≧2）……(##)
(##)を使って(#)の(右辺−左辺)という式からa[n-1]を消去。
(右辺−左辺)≧0が示せればよい。

>ÅsiÅ様
直交座標だと、どうやってやればうまく積分できるのですか？
教えていただけないでしょうか。

実は、解答が極変換していたのですが、
そのときの範囲がいきなり出てて、
そこまでの過程がよくわからなかったのです。

e^(iθ)＝cosθ+i*sinθ
1.両辺をπ乗する。e^(iπθ)=(cosθ+i*sinθ)^π
2.θ=2πを代入する。e^(2iπ^2)=1
3.実部と虚部を比較して、cos(2π^2)=1,sin(2π^2)=0
4.したがって2π^2=0　∴π=0
どれがおかしい？

∬D 1/(1+x^2+y^2)^(3/2) dxdy D:0≦x≦1,0≦y≦1
= ∫[0,1]｛∫[0,1]1/(1+x^2+y^2)^(3/2) dy｝dx
= ∫[0,1]{1/(1+x^2)/(2+x^2)^1/2}dx
=.....

計算間違いかも（^_^;）

>>469

最初の式から2番めの式を引くとmと数値の関係式になるのでmが出る。
あとはいずれかの式にmを代入すればbと数値の関係式になるのでbが出る。

最大公約元が存在しない場合があるって聞いたことがあるんだけど
それってほんとー？

＞どれがおかしい？

おまえがおかしい。

ふくそかんすう　の　多価云々をもちださなくとも、
実数の範囲だけでも
　cos x) =1, sin(x) =0 を　満たす　ｘ　は　ひとつではないよ。

489だけでは
、2mπ = 2ππ　なる　整数があんのか
ていう、ちゃちゃがはいりそうだから。つけたしておこう。

1) 複素数 Z,実数 a について Z^a をどう定義するのか？
2) その　定義のもとで (Z^a)^b = Z^(ab)が実数の時と
　　おなじように成立するのか?

を考えないとだめ。

>>460
>円周等分多項式

ってなんだっけ?
pが素数のときf_p(x)=(x^p-1)/(x-1)が既約であることなら
f_p(x+1)がEisenstein多項式であることからすぐ出る。
(Eisenstein多項式: monicで最高次以外の係数がpの倍数で
定数項がp^2で割れない多項式)

>>491
説明不足ですみません。
円周等分多項式とは、1の原始p乗根のみを零点にもつ
多項式のことです。pが素数のときは(x^p-1)/(x-1)
になりますね。

(1) Eisenstein多項式は環Z[x]の中で既約である。(高校レベル)

(2) g(x)=f_p(x+1)=((x+1)^p-1)/x はEisenstein多項式である。
(高校レベル)

(3) 多項式g∈Z[x]がZ[x]の中で既約ならgはQ[x]の中でも既約である
　(Gaussのレンマかな? こちらは少々手強いので代数の参考書でもどうぞ)

ありがとうございます。
pが合成数のときはどうすれば良いのでしょうか。
例えばp=4のとき、1の原始4乗根はi,-iなので
F_4(x)=(x-i)(x+i)=x^2+1
なんです・・・
って、代数の本を読めってことですね ^^;

＞４５０
＞a_(n+1)=p*a_(n)+q → x=px+q ------�@
＞a_(n+2)=p*a(n+1)+q*a_(n) → x^2=px+q ------�A
＞高校数学でやる上の数列の特性方程式はだれが考え付いたの？
�@は自明
a_(n+1)-m = p*(a_(n)-m)　のような形に直せばいい

�Aは：
a_{n+2} p q a_{n+1}
( ) = ( ) ( ) のような形に直す
a_{n+1} 1 0 a_n

~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~
↑　　　　　↑　　　　↑
Ｙ_{n+1}とする　Ａとする　Ｙ_n

この式から
Ｙ_{n+1} = Ａ^n Ｙ_1

Ａ^nを求めるにはまず対角化する：
特性方程式：det(A-tI)=0 →　(p-t)(-t)-q = 0　から
t^2 -p*t -q = 0, 根をt_1 t_2 とする
　　　t_1 0
Ａ〜（ 　）　 そして
0 t_2

　　　 t_1^n 0
Ａ^n 〜（ 　 ）　　、、、、、、
0 t_2^n

ふぅ〜　難しすぎたかな（^_^;）

↑行列が全部ずれた（大汗）

やめた

離散的なデータをMathcadを使ってフーリエ級数にてんかいするには？

>>495

なにがいいたいのかさっぱりわからん

つーか、これって
・x=px+qの解をx0とすれば
a(n+1)-x0=p*(a(n)-x0)
・x^2=px+qの解をx1,x2とすれば
a(n+2)-x1*a(n+1)=x2*(a(n+1)-x1*a(n))
a(n+2)-x2*a(n+1)=x1*(a(n+1)-x2*a(n))
と変形できるだろ。

特定方程式を誰が考えついたのかは知らんが、
その意味するところの本質は線型性の利用だ。

＞a_(n+1)=p*a_(n)+q → x=px+q ------�@

p≠1 の前提で書く。(p=1 ならば等差数列だから簡単)

b(n+1)=p*b(n) は等比数列で一般項は b(n)=b(0)*p^n
一方、特性方程式 x=px+q の解 x=a は、漸化式の特解。
すなわち a(n)=a なる定数列は、漸化式の解である。

b(n+1)=p*b(n)
a=p*a+q

を辺々足せば {b(n+1)+a}=p{b(n)+a}+q となるから、
a(n)=b(n)+a は漸化式の一般解となっている。

＞a_(n+2)=p*a(n+1)+q*a_(n) → x^2=px+q ------�A

a(n) の解として a(n)=x^n の形を仮定する。(a≠0)
漸化式に代入すれば x^2=p*x+q を得るから、
この 2 次方程式の 2 つの解を α, β とすれば、

α^(n+2) = p*α^(n+1) + q*α^n
β^(n+2) = p*β^(n+1) + q*β^n

が成り立っている。両式をそれぞれ a 倍、b 倍して辺々足せば、

{a*α^(n+2)+b*β^(n+2)} = p*{a*α^(n+1)+b*β^(n+1)} + q*{a*α^n+b*β^n}

となるから、a(n)=a*α^n+b*β^n は、a, b を任意定数として
漸化式の一般解である。

長すぎた。鬱山車脳・・・

つまり、特性方程式の解は、何らかの意味を持つ
漸化式の解であると言いたかったのだ・・・

>>500

線形漸化式の解法と特性方程式の意味の解説
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=974911042&st=159&to=165

＞a_(n+2)=p*a(n+1)+q*a_(n) → x^2=px+q
線形斉次漸化式の特解をみつける操作

＞a_(n+1)=p*a_(n)+q → x=px+q
線形非斉次漸化式（非斉次項は定数）の解の１つをみつける操作

訂正

＞a_(n+2)=p*a(n+1)+q*a_(n) → x^2=px+q
線形斉次漸化式の特解をみつける式。
解をx1とx2とすれば、a_(n)=c1*x1^n+c2*x2^n

＞a_(n+1)=p*a_(n)+q → x=px+q
線形非斉次漸化式（非斉次項は定数）の解の１つをみつける式。
解をx0とすれば、a_(n)=c*p^n+x0

↑ 線形の常微分方程式と同じ理論になのね

>>480=482様
詳しい説明ありがとうございました。
しかし低脳な僕には良く理解できませんでした。
入試で通用するような表記方法が思いつかない…

付属の解説には　3-a[n+1]=2-√(1+a[n])=(3-a[n])/(2+√(1+a[n]))≦(1/3)*(3-a[n])
となっているのですがどうやっているのでしょう…

a[n+2]=p*a[n+1]+q*a[n] → a[n+2]-α*a[n+1]=β*(a[n+1]-α*a[n]) とし、
a[n+1]-α*a[n]=b[n] とおけば b[n+1]=β*b[n] となって等比数列。
ところで、上式を係数比較すれば α+β=p, αβ=-q より
解と係数の関係から α, β は x^2=px+q の解。

>>506
　　3-a[n+1]
＝ 2-√(1+a[n])
＝ {2-√(1+a[n])}/1
＝ {(2-√(1+a[n]))*(2+√(1+a[n]))}/(2+√(1+a[n]))（分子の有理化の準備）
＝ (3-a[n])/(2+√(1+a[n]))（分子の有理化）
(↑この式を(*)とする。)

ここで、a[n] ＞ 0 だから
2+√(1+a[n]) ＞ 2 + 1 ＞ 3

よって、
1/(2+√(1+a[n])) ＜ 1/3

故に
(*) ≦ (1/3)*(3-a[n])

>>507

499をみれ

>>508様
なるほど。ありがとうございます。
でも続きがわかんない…

＞５０４

なるほどね

すいません。
行列の固有値について基礎的なことを質問させてください

行列Aにたいして
Ax(ベクトル)=λx(ベクトル)・・・・・(※)
をみたすx(ベクトル)が成り立つ条件を考えるとき
(A-λE)x(ベクトル)=0(ベクトル)と(※)部分を変形してあるのですが
この変形は単にλが行列でないので単位行列をかけて
Ax(ベクトル)=λEx(ベクトル)
⇔Ax(ベクトル)-λEx(ベクトル)=0(ベクトル)
⇔(A-λE)x(ベクトル)=0(ベクトル)としただけでしょうか?

また↑を満たすためには(A-λE)が逆行列をもたないのが条件
とありますがこの意味がわかりません・・・
なぜ逆行列をもつとだめなのでしょうか?


とても当たり前のことですがご教授ください
おねがいします

(A-λE)が逆行列をもったら、それを
(A-λE)x=0
の両辺に左からかけると
x=0
になるじゃん。

あぁ、、なるほどたしかにx=0になります。
どうもありがとうございます
感謝いたします

質問です。

a が有理数で、sin(aπ),cos(aπ) が共に有理数になるのは
a=n/2 のときだけでしょうか？

１、曲線ｙ＝｜x^2+2x-3｜・・・�@と直線y=ax-2a+1・・・�A
　　がある。ただし、aは実定数とする。
　　（１）直線�Aが曲線�@に接する時、aの値を求めよ。
　　（２）直線�Aと曲線�@の共通点の個数を求めよ。

２、0°<θ<180°(ただしθ≠90°）で定義された関数
　 f(θ)=2sinθ-2cosθ+tanθ-1がある。
　　F(θ)<0となるθの範囲を求めよ。

あー解けない・・・誰か・・・まじヘルプです・・・・・・・・・・・・

�@６００世帯の家計調査によると、ある月の消費支出は平均が368,000円、標準偏差が136,000円であった。
母集団の平均消費支出額を信頼係数９５パーセントで区間推定せよ。

�A２つのグループＡ，Ｂの中からそれぞれ100人ずつを選んで適性検査を行ったところ、次のような結果が得られた。
　　グループＡ　平均スコア５０．５　標準偏差６．０
　　グループＢ　平均スコア４９．４　標準偏差４．０
このデータから、Ａ，Ｂの間で適性に差があるといえるか。有意水準５パーセントで検定せよ。

フィボナッチ数列 {Fn}の逆数の総和についてご存知の方、
教えてください．

F_1 = 1, F_2 = 1
F_n = F_(n-1) + F_(n-2) (n = 3,4,5,...)

のとき、Σ[n=1,∞]1/F_n は収束すると思いますが、
どんな値になるのでしょう。

>>510

[>>480]と同じなんだけど、

3 - a[n+1] ≦ (1/3)*(3 - a[n])
が言えたので、

3 - a[n] ≦ (1/3)*(3 - a[n-1])
3 - a[n-1] ≦ (1/3)*(3 - a[n-2])
3 - a[n-2] ≦ (1/3)*(3 - a[n-3])
　：
　：
3 - a[2] ≦ (1/3)*(3 - a[1])

が言える。よって

　　3 - a[n]
≦ (1/3)*(3 - a[n-1])
≦ (1/3)*(1/3)*(3 - a[n-2]) ＝ (1/3)^2 * (3 - a[n-2])
≦ (1/3)^2 * (1/3)*(3 - a[n-3]) ＝ (1/3)^3 * (3 - a[n-3])
≦ (1/3)^3 * (1/3)*(3 - a[n-4]) ＝ (1/3)^4 * (3 - a[n-4])
　：
　：
≦ (1/3)^(n-2) * (1/3)*(3 - a[1]) ＝ (1/3)^(n-1) * (3 - a[1])


∴ 3 - a[n] ≦ (1/3)^(n-1) * (3 - a[1])

>>518
見当違いのレスかもしれませんが。
数値計算してみたら、3.359886 ぐらいになりました。

　スカイライン問題ってわかりますか？建物の影だけを見て，
建物の数を求める。ってやつなんですけど、っこれの

アルゴリズムの説明と手間の評価を教えてください。スレ違いならば
どこで書けば良いか教えてください。

>518
塩川「無理数と超越数」森北出版に関連する話題があった。

>>455-456
P, r が正の定数なら多分
∫[∞，−∞] Exp(i*P*t)/(Exp(√(P/r)t)+Exp(-√(P/r)t)) dt
= (π/2)*(r/P)^(1/2)/cosh((π/2)*(r*P)^(1/2))
だよ．

＞515
正しい

1.　l : y = ax - 2a + 1 とする。

(1) i) x≦-3, 1≦x で接する場合
　　　x^2 + 2x - 3 = ax - 2a + 1
　　　x^2 - (a - 2)x + 2(a - 2) = 0 …(#)
　　　0 = D = (a - 2)^2 - 4*2(a - 2)
　　　　　= (a - 2){(a - 2) - 8}
　場合わけ条件に適するのは a = 10
　[重解なので (#) より (接点の x座標) = (a-2)/2 です]

　ii) -3≦x≦1 で接する場合
　　　-(x^2 + 2x - 3) = ax - 2a + 1
　　　x^2 + (a+2)x - 2a -2 = 0
　　　0 = D = (a + 2)^2 - 4*{-2(a + 1)}
　　　　　　= a^2 + 12a + 12
　場合わけ条件に適するのは a = -6 + 2√6

(2) l が (1,0) を通るのは a=1、(-3,0) を通るのは a=1/5 のとき。
これと l が定点(2,1) を通ること、および (1) により
　　　　10<a ; 2個　　　　　　　 a=1/5 ; 3個
　　　　a=10 ; 1個　 -6+2√6<a<1/5 ; 4個
　　 1<a<10 ; 0個　　　　 a=-6+2√6 ; 3個
　　　　a = 1 ; 1個　　　　 a<-6+2√6 ; 2個
　　1/5<a<1 ; 2個

2.　# 表記の簡略化のため θ を a とします

f(a) = 2sin(a) - 2cos(a) + tan(a) -1
　　 = 2{sin(a) - cos(a)} + {sin(a) - cos(a)}/cos(a)
　　= {sin(a) - cos(a)}{2 + 1/cos(a)}
0≦a≦180 の範囲における sin(a)-cos(a), 2+1/cos(a) の符号を調べて
　　　　　　　　 a　|　0 | ...| 45| ...|90| ...|120|...|180
　　sin(a)-cos(a) | - | - | 0 | + |XX| + | + | + | +
　　　2+1/cos(a) | + | + | + | + |XX| - | 0 | + | +
したがって、求める範囲は 0≦a<45, 90<a<120

＞求める範囲は 0≦a<45, 90<a<120

あげ足レベルでスマソ。0<a<45

>515
証明の方針としては、aが有利数のとき、cos(aπ)が有理数ならば、
a=n/m （m,nは互いに素） と書くとき、m=1,2,3である事を示す。
それから、sin(aπ)が有理数となる、aを調べる。
有理数aの候補は、1/1，1/2，3/2，2/3，1/3，4/3，5/3のみ。

高々有限個なのだから、どれが有理数になるかは分かるでしょう。

それと、515さん来てる？

来てるなら、もっとちゃんとした証明書くぜ。

>>528
515ではありませんが証明書いてくだされ。興味ﾂﾝﾂﾝ

>>528
今月の「エレガントな解答を求む」だから、
締め切りの後にして。

>>519=508様
ありがとうございました。

１　a,bは自然数とする。直線(x/a)+(y/b)=1とx軸、y軸で囲まれた
　　三角形の周及び内部にある格子点の個数を求めよ。

２　たとえば数１２は、１２＝３＋４＋５のように３個の連続する
　　自然数の和で表せる。このように、２個以上の連続する自然数
　　の和で表せる数をすべて求めよ。

３　２人が次のゲームを行っている。最初のプレーヤーが０でない
　　３つの数を与え、次のプレイヤーがその３つの数を、次の２次方程式

　　□x^2+□x+□＝０

　　の□のどの場所へ置くかをきめる。
　　このときえられた２次方程式が、２つの相異なる有理数解を
　　持てば最初のプレーヤーの勝ちとなる。最初のプレーヤーが
　　いつも勝者となり得ることを証明せよ。

いわゆるコーシーシュワルツの不等式
（ax+by+cz)^2≦(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)
を左辺-右辺≦0で証明する方法及び,
２つのベクトルの内積を利用する方法とは
本質的に違う方法で証明せよ。
という問題なんですが、分かりません・・・。
低レベルですみませんが、どなたか教えて下さい。
ちなみに文型なので数�V、数Cは使わないと思います。

(a^2+b^2+c^2) t^2 - 2(ax+by+cz) t + (x^2+y^2+z^2) =0 (1)
という　tについての２次方程式を考える

左辺 = (at-x)^2 + (bt-y)^2 + (ct-z)^2 >=0
だから (1) 実数解をもっていたとしても高々１つ
（ x/a=y/b=z/c が成り立っている場合のみ）

1) の　判別式を D とすると
D <= 0 (2)

(2)　が実は証明したい不等式

あーなるほど。
頭良い人はやっぱり違いますね・・・。
言われて見ればって感じですが、
全然見当違いの事やってました。
ともかく早いレスありがとうございました。

典型的な教科書的な回答です。そんなに尊敬する
必要はないですよ。
むしろ、「言われてみれば」って所で思考を
止めていたらもったいないし、534さんを越える
ことは出来ません。頑張って何故tに関する２次
方程式なんて持ち出したのか考えてみて下さい。
これから先暇な時でいいですから。>>535

529さんのリクエストにお答えして

aが有理数とする。cos(aπ)が有理数ならば、aの分母は3以下である。
事を示そう。

１．cosθが有理数ならば、coskθも有理数である。

ド・モアブルの定理より。

(cosθ+isinθ)^k=coskθ+isinkθ
二項定理で展開して整理すると
coskθ+isinkθ=Σk_C_(2l)[{cosθ}^(k-2l)]*[{sinθ}^(2l)]*(-1)^l+
iΣk_C_(2l+1)[{cosθ}^(k-2l-1)]*[{sinθ}^(2l)]*(-1)^l

よって、左辺と右辺の実部を比較して、

coskθ=Σk_C_(2l)[{cosθ}^(k-2l)]*[{sinθ}^(2l)]*(-1)^l=
=Σk_C_(2l)[{cosθ}^(k-2l)]*[{1-(cosθ)^2}^(l)]*(-1)^l

ゆえに、coskθはcosθの多項式で書ける。

よって、言えた。

2 cos{(m/n)π}が有理数ならば、cos(π/n)も有理数である。
ただし、m/nは既約分数

mu=nv+1を満たす整数、u,vをとる。

u>0のとき、cos{(m/n)*uπ}は有理数

u<0のときも、cos{(m/n)*(-u)π}=cos{(m/n)*uπ}は有理数。

u=0のときは明らかに、cos{(m/n)*uπ}=1は有理数。

よって、cos{(m/n)*uπ}は有理数。

cos{(m/n)*uπ}=cos{(m*u/n)*π}=cos[{(nv+1)/n}*π］=cos{vπ+π/n}
=±cos(π/n)

よって、cos{(m/n)π}が有理数ならば、cos(π/n)も有理数である事が分かる。

ちょっと訂正
2．cos{(m/n)π}が有理数ならば、cos(π/n)も有理数であるね

>「言われてみれば」って所で思考を止めていたらもったいないし

確かに自分は、分からない問題やテクニカルな解き方を要する問題に当たると
「数学のセンスがないから」などといって思考を停止していた気がします。
ご指摘有難うございました。>>536
受験１ヶ月前になってこんな事言っているようじゃダメだな・・・。

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 こんばんはっ♪
　 ヽ　| |　l　 l |〃　 わからない問題は，今晩も
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 さくらといっしょに レリーズ！
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

>>527 さん
チェックしてもらえると助かります。感謝♪

>>532 さん
1. O(0,0), A(a,0), B(0,b), C(a,b) に対し、
△OAB, 長方形OACB の周および内部をそれぞれ D, E とする。
自然数 m, n, k (ただし m と n は互いに素) をもちいて
　　b/a = (km)/(kn)
と表せるから、
　　領域E に含まれる格子点 : (a+1)(b+1) 個
　　線分AB上の格子点の個数 : (k+1) 個
したがって、
　　領域D に含まれる格子点 : {(a+1)(b+1)+(k+1)}/2 個

2.　(�納m=1,k-1] m) + kn　(n は自然数、k = 2,3,4…)

3.　3つの数として 1, 2, -3 を選べばよい。

続き

３．nが5以上の奇数ならば、cos(π/n)は無理数である。

cos(π/n)=r/s （r/sは既約分数）と書けると仮定する。
rとsは自然数とする。

ド･モアブルの定理より、

-1=cosπ+isinπ={cos(π/n)+i*sin(π/n)}^n=[r/s+i*√{1-(r/s)^2}]^n

より、-s^n+0*i={r+i*√(s^2-r^2)}^n=Σn_C_(2l)*r^(n-2l)*{s^2-r^2}^l*(-1)^l+i*(sとrの式)

nは奇数だから、n-2lは、1以上だから、

-s^n=r*Σn_C_(2l)*r^(n-2l-1)*{s^2-r^2}^l*(-1)^l

r>1と仮定すると、rの素因数pをとる事が出来る。

s^nはpで割り切れる、pは素数より、sもpで割り切れる。

r/sは既約分数である事に反する。

よって、r=1となる。

cos(π/n)=1/s 1>cos(π/n)=1/s>cos(π/2)=1/2

よって、1<s<2となって不合理。

よって、nが5以上の奇数ならば、cos(π/n)は無理数である。

4． cos(π/n)が有理数となるnは、1，2，3のみである。

cos(π/n)が有理数となると仮定する。

n=(2^f)*g (fは0以上の整数、gは奇数)と書ける。

gを5以上と仮定すると、1．より、cos{(π/n)*2^f}=cos(π/g)が有理数となり、３．に反する。

fを2以上と仮定すると、1．より、cos{(π/n)*2^(f-2)*g}=cos(π/4)が有理数となるが、

これは、cos(π/4)=1/√2が無理数である事に反する。

また、f=1かつ、g=3のとき、cos(π/n)=cos(π/6)=√3/2であり、cos(π/n)は無理数である。

よって、cos(π/n)が無理数である為には、nは3以下でなければならない。

逆に、cos0=1，cos(π/2)=0，cos(π/3)=1/2だから、nが3以下のとき、cos(π/n)
は有理数。

5． cos(π/n)が有理数ならば、cos{(m/n)*π}も有理数。

これは、1．より明らか。

１，２の方は、５３７，５３８を見てね。

論理学勉強してたら深みにはまってしまったんですけど．
抜け出せそうにないです．ケホっ

＞５２９

cos(m/nπ)が有理数ならば、nが3以下になる事の証明を乗せておきます。

537、538、542を見てね。

あ、間違えた
正しくは、cos{(m/n)*π}です。
何度もすみません。

>>537,542
すみませんが、別解をひとつ。
1.は、もう少し詳しい結果が言えて、
「2cos(nx)は、最高次の係数が1の整数係数の適当な多項式f_n(X)によって
2cos(nx)=f_n(2cos(x))と書くことができる。」
となります。(和積の公式を使って、数学的帰納法で証明できます)
すると、3.は、
cos(π/n)が有理数とすると、r=2cos(π/n)に対しf_n(r)=-2。
nが奇数のとき、f_nの定数項は0ですから、
1.の結果から、rは±1、±2のいずれかになります。
ここから、nは1または3になることがわかります。

問題
複素数平面上の相異なる３点０,α,βが正三角形の頂点を
なすためには、α,βがα^2 - αβ + β^2 =0をみたすことが
必要十分条件であることを示せ、さらに相異なる３点α,β,γ
が正三角形の頂点をなすための条件をα,β,γの２次式であらわせ

解けないよ〜

ちょっと飛躍したなと思うので、補足。
3.では、
整数係数の多項式で、最高次の係数が1のものが有理数解を持てば、
それは整数である。
ということを使いました。

>>548
前半：α、βの極座標表示を考えましょう。
後半：平行移動すれば終わりです。

>>548 さん
# αを a, βを b, γを c で表すことにします

[十分] △OAB が正三角形のとき
　　a/b = cos(±60) + i*sin(±60) = (1±i*√3)/2
なので、a/b は 2次方程式 : x^2 - x + 1 = 0 の解であり
　　(a/b)^2 - (a/b) + 1 = 0
　　⇔ a^2 - ab + b^2 = 0 …(#)

[必要] a^2 - ab + b^2 = 0 のとき
両辺を b^2≠0 で割って
　　(a/b)^2 - (a/b) + 1 = 0
これを a/b の方程式とみて解の公式を適用すると
　　a/b = (1±i*√3)/2
　　　　= cos(±60) + i*sin(±60)
であり、△OAB は正三角形である。

相異なる３点a, b, c が正三角形をなすための条件は
(#) の a, b の代りに c-a, b-a を代入すればよく
　　(c-a)^2 - (c-a)(b-a) + (b-a)^2 = 0

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　α^2-αβ+β^2 =0 より β=α*(1+i√3)/2
　 ヽ　| |　l　 l |〃　これより |β|=|(1+i√3)/2|*|α|=|α| と
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　arg(β)=arg(α)+arg((1+i√3)/2)=α±π/3 だから明らかだね．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＃後半は平行移動して考えてね．γを原点とすれば，α-γ,β-γは最初の２次方程式を満たす♪

　γ∞γ~　　＼
　人ｗ/　从从) ）　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ヽ　| |　・　・|〃　＜　ほえ〜，思いっきりかぶっている．（５５０＆５５１）
　　｀ｗﾊ~　．ノ）　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 /　＼｀「

550,551,552さん早いレスどうもありがとうございます。
これから自分で解き直してみます。どうもありがとうございました

∫[,c]1/(z-1) dz の値を以下の曲線Ｃに対して求めよ。
（１）C:を原点中心とし半径r (0<r<1)の円
（２）C:原点を中心とし半径Ｒ(R>1)の円
（３）C:→2+iを結ぶ線分
大学の閉曲線の問題ですが解けませんどなたか解る方
いらっしゃいますか？教えて下さい

>>530
元ネタはその通りです。
でも証明出ちゃったんですね。

>>473
xとyの対称性から、
∬D 1/(1+x^2+y^2)^(3/2) dxdy
=2∬D' (1+x^2+y^2)^(-3/2) dxdy
ただし、D:0≦x≦1,0≦y≦1; D':0≦x≦1,0≦y≦1,y≦x

直感的な説明をすると、極変換で境界は境界に移ります。
x=r*cos(s),y=r*sin(s)(r≧0,0≦s＜2π)とすると、
0≦x≦1,y=0→→→0≦r≦1,s=0
x=1,0≦y≦1→→→r=x/cos(s)=1/cos(s). また、0≦y≦xより、0≦s≦π/4
0≦x=y≦1→→→→0≦r≦2^(1/2),s=π/4
x=y=0(特異点)→→r=0(s軸)

よって、D'の極変換後の範囲は

0≦s≦π/4,0≦r≦1/cos(s)

となります。グラフでも書いて、どんな感じになるか
見てください。

# D'の極変換になっちゃいましたけど、対称性から、
# Dの極変換がどうなるかは、これで想像つきますよね？

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 これって複素積分？？
　 ヽ　| |　l　 l |〃　（１）0（２）1（左回り）or -1（右回り）
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 （３）は始点をどこにしているのかな？
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

>555
(1)(2)Cauchyの積分定理から、それぞれ、0、2πi
(3)どこと2+iを結ぶか書け。ぢゃないと答えも出せん。

>555
(3)はC:2→2+iを結ぶ線分です。この辺の所さっぱり解らなくて
苦労してます。なんとか自分で解けるようになりたいので途中の
式とかあったらそれも教えて下さい。無理を言ってしまって
大変申し訳ないです。よろしくお願いします

>>555
(2)558の言うとおり(?)、右回りなら-2πi だ。すまない。
(3)向きも指定してくれ。

＞（２）1（左回り）or -1（右回り）

訂正
（２）2πi（左回り）or -2πi（右回り）

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 （３）∫[C:2→2+i]1/(z-1)dz=log(z-1)|[2→2+i]=log(i-1) （パスには依らない）
　 ヽ　| |　l　 l |〃　 （１）と（２）はコーシーさんの積分定理（または偏角の原理）
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 から直接出るよ．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＞パスには依らない

訂正
極(z=1)に対してどのようなパスをとるかには依る．

2≦x≦5^(1/2)、0≦y≦1、|z|≦5^(1/2)で囲まれる図形上で1/(z-1)は正則。
よって、Cauchyの積分定理から、求める積分は
∫[c1]dz/(z-1)+∫[c2]dz/(z-1)
ただし、c1:2≦Re(z)≦5^(1/2)(向きは実軸の正の向き)
c2:|z|=5^(1/2)、0≦arg(z)≦arcsin(5^(-1/2))
第2項をz-1=r*exp(is)と置換して計算すると、結果は
(1/2)ln(5/4)+i*arcsin(5^(-1/2))

しまった、zとz-1を間違えた...
宇突山車脳

みんな、期末試験で大変そうだな

>>563
ln(i+1)では？ちなみに、展開すると
(1/2)ln(2)+i*π/4(パスをうまく変えて積分することで出せます)

＞（３）∫[C:2→2+i]1/(z-1)dz=log(z-1)|[2→2+i]=log(i-1)

訂正
（３）∫[C:2→2+i]1/(z-1)dz=log(z-1)|[2→2+i]=log(i)
普通に積分して始点と終点の値を代入すればいいです．

　γ∞γ~　　＼
　人ｗ/　从从) ）　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ヽ　| |　ｉ　 ｉ |〃　＜　はう〜，単純な間違えが多すぎる．
　　｀ｗﾊ~　．ノ）　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 /　＼｀「

みなさんレスどうもありがとうございます。現在
Caucyの積分定理の所で悩んでます。じっくりと考えたいと
思います。

　γ∞γ~　　＼
　人ｗ/　从从) ）　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ヽ　| |　ｉ　 ｉ |〃　＜　はう〜，タイプミス 誤：log(i)→正：log(1+i)
　　｀ｗﾊ~　．ノ）　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 /　＼｀「

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　ほ，ほぇ〜，お外が大雪で出られないよ〜．
　 ヽ　| |　・　・|〃　．．．ということで，わからない問題は，雪が止むまで
　　｀ｗﾊ~　．ノ） 　 さくらといっしょに，レリーズ！
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

高校の複素数の問題なんですがよく分かりません
問
条件2|z-3-3i|=|z|をみたす複素数のうちで|z|が最大と
なるものと最小になるものを求めよ。
どなたか教えて下さい

次の広義積分が収束することを示し、その値を求めよ。
∫[1,∞] 1/{x(x^2-1)}dx
これって、∞をmとして、lim m→∞ってやってもできないんですT-T。
教えてください。

>>574 ただの幾何の問題じゃないか、複素平面を書いて考えろ。
>>575 分数の差に展開して部分積分すれ。

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　2|z-3-3i|=|z|の左辺は複素平面上3+3iを中心とした円で，
　 ヽ　| |　l　 l |〃　右辺は0を中心とした円．これが後者が前者の半径の２倍
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　の位置で交わることから，|z|が最小（大）となるのは0と3+3i
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（つづき） を2:1で内分（外分）するときだよ．

＃ 高校の複素数の問題はほとんどやったことがないのだけど，こういうやり方でいいのかなぁ？

>574
複素平面上で円を書いてみました、調べてみるとアポロニウスの円
、って言うらしい
0, 3+3iを2:1に内分する点(2+2i)と、
2:1に外分する点(6+6i)を直径とする円になりました。
みそさん、さくらさんどうもありがとうございました。
とても参考になりました

　γ∞γ~　　＼
　人ｗ/　从从) ）　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ヽ　| |　ｉ　 ｉ |〃　＜　はぅ〜，なんか下限の方で収束してくれないよ〜．
　　｀ｗﾊ~　．ノ）　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 /　＼｀「

>>575　おお、すまん。複素積分が必要みたいだにゅ

>>575 ちゅうか、x=1 の近傍で可積分じゃないでしょ。終了。

本当にすみません。
x^2-1にルートがついてました。
∫[1,∞] 1/{x√(x^2-1)}dx
本当に申し訳ありませんが、お願いします。

教えて下さい。

平面上に異なる２つ定点に対して、
距離の和が一定になる点の軌跡は、楕円
距離の差が一定になる点の軌跡は、双曲線
距離の比（商）が一定なるに点の軌跡は、円（アポロニウスの円）
です。じゃあ
距離の積が一定なるに軌跡は、どういう曲線になるのでしょうか？

　γ∞γ~　　＼
　人ｗ/　从从) ）　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ヽ　| |　ｉ　 ｉ |〃　＜　はにゃ〜ん，まだ雪止まないよ〜．もう少し待ってみる．
　　｀ｗﾊ~　．ノ）　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 /　＼｀「

＞ x^2-1にルートがついてました。
＞ ∫[1,∞] 1/{x√(x^2-1)}dx

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　√(x^2-1)=t=tanθとすれば，x*dx=t*dt, dt=(secθ)^2dθより，
　 ヽ　| |　l　 l |〃　∫[1,∞]dx/{x√(x^2-1)}dx=∫[0,∞]dt/(t^2+1)
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　=∫[0,π/2]dθ=π/2 これでいいのかなぁ．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 レムニスケートという「∞」のような形をした曲線
　 ヽ　| |　l　 l |〃　 になります．例えば，f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　という曲線は，(±1,0)からの距離の積が1となる軌跡だよ．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 一般に，(±a,0)からの距離の積がa^2となる軌跡は，
　 ヽ　| |　l　 l |〃　f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(a^2)(x^2-y^2)
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　極表示で書くと r^2=2a^2cos(2θ) となる♪
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

f(x,y)=0だな

Cassinian oval
http://www.nikonet.or.jp/spring/V_curve/cassini/cassini.htm

さくらさん、589さんどうもありがとうです。

sup(k=1〜2m+1)(lXn+...+Xn+kl)の最小値ってなんですか？
ｌは絶対値、Xn+kはｎ+k番目のXのつもりです

（１）i を極形式　re^(iθ)の形で表せ、ただし、θは一般解、
θ＝α＋2nπi　(0<= α < 2π ,n：整数)の形で表せ、
（２）　（１）の結果を用いてi=e^w をみたすw　を求めよ
（３）　（２）の結果を用いて根号３√i=i^(1/3)の値を３つ求めよ

さくらさん、本当にありがとう。

実験値から
Y=a+b*X^c（a,b,cは定数)
となる実験式を求めたいのですが、
解法がまったくわかりません。
助けてください。

すんげー簡単な問題なんだろうけどどうしても答えがでない！
誰か教えて！

　2　　　　　2
∫　（−３Ｘ −２Ｘ＋４）ＤＸ
　-1

10　数学の教科書を用意
20　目次を見る
30　If　定積分のページ発見　then　60
40　別の教科書を用意
50　goto　20
60　定積分のページを適当にやぶいて食べる
70　If　吐き気をもよおす　then　正露丸を飲む
80　goto　60

int main(void)
{
for(;;)
{
数学の教科書を用意;
目次を見る;
if(定積分のページ発見)break;
別の教科書を用意;
}
for(;;)
{
定積分のページを適当にやぶいて食べる;
if(吐き気をもよおす)正露丸を飲む;
}
}

集合A=｛1,2,｛1｝,｛2｝｝に対して
（１）｛1,2｝⊆A
（２）｛1,2｝⊂A
（３）｛1,2,｛2｝｝⊆A
（４）｛1,2,｛2｝｝⊂A
だと（２）と（４）が正しくて（１）と（３）は違うんですよね？
いまいちよく記号の意味がわかりません。
できるだけ詳しくお願いします。
ちなみに
｛1,2,｛1｝,｛2｝｝⊆A
は正しいんでしょうか？

>>594 さん
実験値 (x[k],y[k]) から c だけの式をつくって
対数とってみては、いかがでしょう？

>>595 さん
積分する関数 f(x) = -3x^2 - 2x + 4 の
不定積分のひとつは F(x) = -x^3 - x^2 + 4x で、
　　(与式) = ∫[-1,2] f(x) dx = F(2) - F(-1)
　　　　　　 = {-2^3 - 2^2 + 4*2} - {-(-1)^3 - (-1)^2 + 4*(-1)}
　　　　　　 = -4 + 4 = 0

>>598 さん
「⊆」 と 「∈」 間違えてませんか？
　{1,2} ⊆ A は正しいです。{1,2} ∈ A は誤まりですが。

＞ｔｒさん
いえ間違えてないですよ。
共立出版のパワーアップ離散数学の演習問題なんです。

>>598
(1)から(4)のすべて正しいです。
⊆と⊂の記号の意味は、本によって異なっている場合があります。

⊆は、部分集合の関係を表します。
⊂は、真部分集合の関係を表すこともあれば、部分集合の関係を表すこともあります。
⊂が⊆と一緒に使われる場合は、⊂は真部分集合を表すと考えてよいでしょう。
このような記号の使い方は、言わば“決めた者勝ち”ですので、
教科書で確認してみてください。

集合Ａが集合Ｂの部分集合であることの定義は
　集合Ａの任意の要素ａを考えたとき
　このａは集合Ｂの要素にもなっている
ことです。これを、Ａ⊆Ｂのように表します。

集合Ａが集合Ｂの真部分集合であることの定義は
　Ａ⊆Ｂ　かつ　Ａ≠Ｂ
が成立することです。これを、Ａ⊂Ｂのように表します。

⊆と⊂の関係は、自然数の大小関係≦と＜との関係と
ある意味では同じです。
｛1,2,｛1｝,｛2｝｝⊆A 　の真偽は、２≦２　の真偽と一致します。
ところで、２≦２の真偽はわかりますよね？

すいません。なんか表現おかしかったです。
教科書の解答だと（１）と（３）は間違えで
（２）と（４）が正しいとなっているんです。
⊆と⊂の記号の意味はこの教科書によると
2つの集合A,Bに対して、Aの要素がすべてBに含まれる時すなわち
”x∈A⇒x∈B”のときAはBの部分集合
AがBの部分集合であって、しかもAに含まれていない要素がBに
含まれる場合をAはBの真部分集合という。
です。

(1) (3) についても 「x∈A ⇒ x∈B」 が成り立つので
「A⊆B」 と書いても問題ないと思います、私は。
とりあえず 「間違い」 = 「厳密ではない」 程度の
意味合いだと捉えていて、よいのではないでしょうか。

誰か助けてはもらえませんでしょうか．
どうしても，次の連立方程式が解けなくて困っています．
解くというより，θk を Z の式で表せればよいのですが
未知数　θmw，θk, θw, θp, θa, Z
既知数　θma，Nw，Na，L，X

1.　θmw + θk == θw
2. θma + θk + θp == θa
3. Nw Sin[θmw] == Na Sin [θma]
4. Nw Sin[θw] == Na Sin [θa]
5. θp == ArcTan[[X - Z]/L]

こんな感じなのですが　θk　== …Zの式　という
ようにはならないものでしょうか？数学のできない私に
どうか力を貸して下さい．お願いします．

>>598
私も両方とも正しいと思います。
その教科書では真部分集合であるなら”⊃”で書くべきであって
”⊇”を使うべきではないという程度の差でしょうね

体積Vの球の中にN個の点をランダムに配置する。
このときV内部に点が1個も含まれない半径Rの球の存在する確率P(V,N,R)を求めよ。

を教えてください。

方程式y=-x^2+a[n]x+b[n]で定義された放物線C[n]の頂点のx軸からの高さは
10/2^n,x軸との交点のx座標はα[2n],α[2n+1]　(α[2n]<α[2n+1])である。
α[0]=0,α[2n-1]=α[2n]であるとき,lim[n->∞]α[n]を求めよ。
を解いてください。

Rogers-Ramanujan Identity ってなに？

Sn=1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/(n+1)
という式が問題にあったとします。これが
「一般項1/kの数列の1〜n項の和」・・・�@
だというくらいのことは私にもわかるのですが、これをみて
「関数x^nを０から１まで積分した値」・・・�A
だと直感的に見ぬかなければ解けない問題がありました。

この�Aを見ぬく能力・熟練度は国公立医学部を目指す場合
当然要求されているものなのでしょうか。
私は地方総合大（岐阜・弘前・秋田）志望です。
ご意見ねがいます。

�Aは
「関数1+x+x^2+x^3+・・・+x^nを０から１まで積分した値」
です。訂正します。

�@は
「・・・の数列の１〜n+1項の和」
ですね。マイナーな事柄ですが訂正します。

本当にそれを見抜かないと解けないの？
問題文希望！

自然数ABCDがあり、
A＜B＜C＜Dで3つは奇数1つは偶数であり
4つの中から2つ取り出し大きいほうから小さいほう
引いた数を小さいほうから並べると
３、８、X、Y、17、Z　であるという
このときX,Y,Zをそれぞれ求めよ
お願います。

平面αと直線ｍが平行である
ということはベクトルでは
どういう条件式が立てられるのでしょうか？

又、→　　→　　→　　→
　　ｐ＝ｒａ＋ｓｂ＋ｔｃ
でこれに垂直なベクトルはどう表せますか？
ちなみにabcの大きさは1　なす角は60度です

任意の行列Ａの固有ベクトルと行列Ｂの固有ベクトルが
わかっているとします。このとき行列Ａ＋Ｂの固有ベクトルは、
Ａ、Ｂのものとどういう関係があるのですか？定式化できるのですか？

すみませんが、お教え下さい。

>>614
(X,Y,Z) = (11,14,22)

>>617
X=12 じゃないかい？

>>618

違った。
(X,Y,Z)=(9,12,20) じゃない？

問題のあらましはこんなのでした。
確かに（1）の式から気づく余地はありますが、
そのためには（1）の式が初項１、公比-xの
等比数列の和だと見ぬく必要があって、それもなかなか。
---------------------------------
正の整数nに対して
Sn=1-1/2+1/3-1/4+・・・+{(-1)^(n-1)}/n
とおく。
（1）Sn=∫[0,1]｛1-(-x)^n}/(1+x) dx
　　が成立することを証明せよ。
（2）｜Sn-∫［0,1]1/(1+x)dx｜＜1/(1+x)
　　が成立することを証明せよ。
　　　※左辺は分かりにくいかと思いますが
　　　　「絶対値記号で括られている」という意味です。
（3）無限級数�煤m1≦n≦∞］｛(-1)^(n-1)}/n
　　の和を求めよ。

あの、途中式もお願いします

p>0とする
(1)x>0のとき、logx<[2x^(p/2)]/p をしめせ。
また、lim(logx/x^p)=0をしめせ。(x→∞)
(2)極限値lim∫[1,k]{logx/x^(p+1)}dxを求めよ。(k→∞)
みちすじもみえません・・・。
処理方法を教えて下さい。

６２０について訂正します。
（2）の命題の式の右辺は　1/(1+n)　でした。

＞622
私も単なる受験生なのでアテにならないのですが（1）の前半は
�@（不等式の右辺）−（不等式の左辺）＝f(x)
　　とおいて、ｆ（x）を微分して単調増加を示す。
�Aｘ→+0の時のｆ（x）の値が０より大きいことを示す。
でいけそうです。間違ってたらごめんなさい。

>>624
>単調増加を示す。
残念ながら単調増加ではない。
でも、f(x)の増減を調べる方針はＯＫ．

レスどうもです！
さっそくやってみます。
まだ受験には１年ありますががんばります。
受験がんばってください。

1)
f(x)=[2x^(p/2)]/p -logx とおいて、
f(x)の増減を調べれば示せるでしょう。
さらに、この不等式がいえれば、
0< logx/x^p < [2x^(-p/2)]/p
から「はさみうち」により後半もＯＫ。

(2)
部分積分を用いて、（積分区間は省略）
∫{logx/x^(p+1)}dx
= (-1/p)[logx/x^p] + ∫{(1/p)x^(-p-1)}dx
第2項は計算可能、第1項は(1)が使えるかたち。

f'(x)=1/ｘ*[｛x^(p/2-1)}-1]
となって、x>0では
１/ｘが正、｛x^(p/2-1)}-1　も正ゆえ単調増加

・・・かと思ってたら、確かに0＜ｘ＜１のとき
右側が正にならず、単調増加ではないような気もします。
ここんとこ、本当はどーやるんですか？

>>628

>f'(x)=1/ｘ*[｛x^(p/2-1)}-1]
>となって
間違い（通分ミス？）、正しくは
f'(x)=(1/x)*[x^(p/2)-1]
でしょう。

そして、このあとは
「よってf(x)は、0<x<1で減少、1<xでは増加で、
　かつf(1)=2/p>0だから、
　x>0でつねにf(x)>0となる」

>>620
｛1-(-x)^n}/(1+x)で
分母＝０となるとき、すなわちx=-1のとき、
分子＝０となるので、
因数定理より、分子はx+1で割り切れる。
分子を因数分解すると
1-(-x)^n = (1+x)(1-x+x^2-.....+(-x)^(n-1))

等比数列の和を見抜く必要はない。
等比数列の和だと見抜かなければならないと
考える発想はタコツボ的で、むしろそっちのほうが問題。

Snは、テイラー展開を知っている人なら、ピンとくる式です。
数学ヲタの高校生なら、知っているかもしれません。
心配だったら、大学１年生が履修する解析学を
ベンキョウしたらいいでしょう。
まあ、大学受験問題では適切な誘導があるハズなので、
当然要求されているとは考えにくいですが。

>>608 さん
　　-{x-(1/2)*a[n]}^2 + (1/4)*a[n] + b[n]
　　= y = -(x - α[2n])(x - α[2n+1])
　　= -x^2 + (α[2n] + α[2n+1])x -α[2n]*α[2n+1]
なので、
　　a[n] = α[2n] + α[2n+1] ……(1)
　　b[n] = -α[2n]*α[2n+1] ……(2)
　　10/2^n = (1/4)*a[n] + b[n] …(3)
(3)*4 に (1), (2) を代入して、
　　40/2^n = (α[2n] + α[2n+1])^2 -4*α[2n]*α[2n+1]
　　　　　　　　(α[2n] - α[2n+1])^2
　　⇒ α[2n+1] - α[2n] = 2√10/(√2)^n
これより、
　　α[2n+1] = (α[2n+1] - α[2n]) + … + (α[1] - α[0]) + α[0]
　　　　　　　　= �納k=0,n] (α[2k+1] - α[2k]) + �納k=1,n] (α[2k] - α[2k-1])
　　　　　　　　= �納k=0,n] {2√10/(√2)^n} + 0
　　　　　　　　= (2√10)*{1 - (1/√2)^(n+1)}/(1 - 1/√2)
　　α[2n+2] = α[2n+1]
を得る。したがって、奇数項の極限と偶数項の極限は一致し、
　　lim[n→∞] (α[n]) = (2√10)/(1 - 1/√2) = (4√5)/(√2 - 1)

>>614 さん
差17 は C-A, D-B の大きいほうを表し、
差の 3 と 8 は、B-A, C-B, D-C のいずれかを表す。
求める X, Y, Z は差だから、対称性より
　　(B-A,C-B,D-C) = (3,8,?), (3,?,8), (8,3,?)
の 3パターンを考えれば十分。

i) (B-A,C-B,D-C) = (3,8,?) の場合
　C-A = 11 なので D-B = 17 で
　　　(B-A,C-B,D-C) = (3,8,9)
　　　⇒ (A,B,C,D) = (+,-,-,+) : 不適

ii) (B-A,C-B,D-C) = (3,?,8) の場合
　C-A < D-B なので D-B = 17 で
　　　(B-A,C-B,D-C) = (3,9,8)
　　　⇒ (A,B,C,D) = (+,-,+,+) : 適
　このとき X = 9, Y = 12, Z = 20

iii) (B-A,C-B,D-C) = (8,3,?)
　C-A = 11 なので D-B = 17 で
　　　(B-A,C-B,D-C) = (8,3,14)
　　　⇒ (A,B,C,D) = (+,+,-,-) : 不適

# +, - は偶奇の一致を表すために使用しました

>>615 さん
αの法線ベクトルを Ve(n), m の方向ベクトルを Ve(d) として
　　α⊥m ⇒ Ve(n)・Ve(d) = 0 (m がα上にある場合も含む)
です。がんばってください♪

フーリエ級数とフーリエ変換の違いを詳しく説明できる方、教えて下さい

【フーリエ級数】
有限区間で定義された関数（あるいは周期関数）を、
その区間幅（あるいは周期）の整数倍の周期を持つ関数
cos, sin （あるいは exp）の線型結合の形に展開したもの。

【フーリエ変換】
無限区間で定義された関数（f(x) とする）を
exp(ikx) の線型結合の形に展開したもの。
フーリエ級数でいうところの周期が 0 であるとみなせるので、
周期の整数倍についての和は、k についての積分となる。

pを素数としnを自然数とする
(1)1≦a≦（p＾ｎ）−1　を満たす整数aと、
0≦k≦nー1をみたす整数kがあり、
aはp＾ｋで割り切れるがp＾(k+1）で割り切れないとする。
このとき2項係数　p＾nＣａ　（p＾nコンビネーションａ）は
ｐ＾(ｎ−ｋ）で割り切れることを示せ。

(2)ａ＋ｂ＋c＝p＾n、a≧1、b≧1、c≧1を満たす
整数a、b、cのいずれかがｐと互いに素ならば、
(p＾n)！/(a！b！c！）　はp＾nで割り切れることを示せ。
　

>>636
青本でも見たら？

＞637
青本に載ってるんですか？
しかし青本持ってません。

>>638
立ち読め！

>629,630
遅まきながら、コメントありがとうございました。
昨夜は質問を打ちこんだ後、そのまま寝てしまいました。

（1）a*(p^n)_Ｃ_a=p^n*(p^n-1)_C_(a-1)

a=p^k*a' ただし、a'はpで割り切れない整数とする。

a'*(p^n)_Ｃ_a=p^(n-k)*(p^n-1)_C_(a-1)

a'とp^(n-k)は互いに素だから、(p^n)_Ｃ_aは、p^(n-k)で割り切れる。

（2）

aがpと互いに素のとき、a*(p＾n)！/(a！b！c！）=(p^n)*{(p＾n)-1}！/{(a-1)!b！c！}

{(p＾n)-1}！/{(a-1)!b！c！}は整数なので、

a*(p^n)！/(a！b！c！）はp^nで割り切れる。
p^nとaは互いに素だから、(p^n)！/(a！b！c！）がp^nで割り切れる。

b、cがpと互いに素のときも、同様にして示せる。


　

trさんありがとうございました〜♪

球x^2+y^2+z^2=a^2と円柱x^2+y^2=axの共通部分の体積の求め方を教えてください。
（重積分です）

全集合Ω＝{1,2,3,4,5} A=｛1,2,3,4｝B=｛2,4,5｝のとき
（１）AからBへの関係のうち(1,2)と(1,5)を含むものの個数
（２）AからBへの関係のうち、ちょうど2個の要素を含む個数
を求める場合どのように考えたらいいのでしょうか。

ちなみに（１）は２^10（２）12×11/2
だそうです

(a,b) a in A, b in B なる２つ組は
１２個ある
（１）　その１２個のうち２つ（１，２）（１，５）は
　　　含まれていることが確定
　　　　残り　１０個が、それぞれ　はいるかはいらないか
　　　　の組み合わせは　　2 ^10 個

（２）　１２個のなかから２個を選ぶ組み合わせ
12_C_11 = 12*11/2

(1) 位数５の群の可能な部分群を列挙しなさい。またこのことから
位数５の群は巡回群に限られる事を示しなさい。
(2)３次対称群をS,位数６の巡回群をGとする。
(2)-1 SからGへの全単射があることを実例によって示せ
(2)-2 Sの部分群をすべて挙げよ
(2)-3 Sの正規部分群を全部挙げなさい。（正規部分群であることの
証明も）
　どなたか解いて下さい。

ひとつぐらい自分でやれ

（１）２次元ユークリッド空間Ｒ^2において
任意の可算部分集合の補集合は弧状連結になあることを示せ。

（２）Ｘ,Ｙを位相空間とするとき、写像f:Ｘ→Ｙが連続になるための必要十分条件は、
任意のＸの部分集合Ａに対して f(Ａの閉包)⊆f(Ａ)の閉包
を満たすことであることを示せ。

（３）Ｘ:コンパクトHausdorff空間、Ｃ[Ｘ]:Ｘ上の複素数値連続関数全体とする。
f,g∈Ｃ[Ｘ]に対して、ｄ(f,g)=max|f(x)-g(x)| （x∈Ｘ ）と置く。
このとき、(Ｃ[Ｘ],ｄ)は完備距離空間となることを示せ。

（４）(Ｘ,Ｕ)をコンパクトHausdorff空間とするとき、Ｘ上の位相構造で
Ｕより真に弱いものは決してHausdorffにならないことを示せ。

（５）Ｏ(n):n*n実直交行列の全体
n*n実行列全体を自然にＲ^(n^2)と同一視して位相を導入し、
Ｏ(n)には相対位相を入れる。このとき、Ｏ(n)はコンパクトになる事を示せ。

今気づいたんだが、上の注意書きのリンク先が旧スレのままだ。

>>648
件の可算部分集合をＫとおく．Ｋに属さぬ２点Ａ，Ｂをとる．
この２点Ａ，Ｂを通る円（または直線）全体を
｛Γ＿ｔ｜ｔ∈Ｔ｝とおく．すると
Ｒ＾２＝｛Ａ，Ｂ｝∪（∪（Γ＿ｔ＼｛Ａ，Ｂ｝））
であって，右辺は非可算無限個の（Ｒ＾２の）部分集合の
ｄｉｓｊｏｉｎｔ　ｕｎｉｏｎである．Ｋは可算集合
だから少なくともひとつのｔで
Ｋ∩Γ＿ｔ＝φ
が成り立つ．このΓ＿ｔ上をＡからＢまで進めばいい．
（証明終）
他のはつまんないから放置．

合成関数の微分についてご教授ください。
{f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x)
という公式があります。

{(x^2 ＋x ＋1)^3}'を求めたいときは
fを( )^3 とし、gを(x^2＋x＋1)として合成関数の微分に当てはめると
f'=3( )^2
g'=(2x＋1)となり
f'(g(x))g'(x)=3(x^2＋x＋1)^2・(2x＋1)と求まります。

しかし{e^(x^2)}'を考えると↑とは違いませんか?
f=( )^(x^2)、g=eと考えると
f'=(x^2)・( )^(x^2 -1)
g'=e
となって
f'(g(x))g'(x)=(x^2)・(e)^(x^2 -1)・e
となっておかしいですよね・・・
fとgの取り方が逆だったのが原因だと思うのですが
fとgの取り方はどうやって見極めればいいのでしょうか?

よろしくお願いします

合成関数以前に関数の概念が身についてないんじゃないかな。
「f=( )^(x^2)、g=e」と記号をただ分割コピーするのではなく、

f(x)=....
g(x)=....

ときちんと関数の形にして書いてみそ。

＞f=()^(x^2)、g=eと考えると
これはちゃんと書くとf=(g)^(x^2)、g=e
で合成関数の立場では、ｇもｘも変数として残ってることに気を付けよう
むしろf=e^(g)、g=x^2という合成関数だね

どなたか考えて下さい。一見簡単そうなのですがどうしても解けません。

三角形ＡＢＣの点Ｂ，Ｃからそれぞれ角の2等分線を引く。
ＡＢ、ＡＣとの交点をＤ，Ｅとする。
もし、ＢＥ＝ＣＤ（角の2等分線同士の長さが等しい）ならば
�凾`ＢＣは２等辺三角形である。

という一見中学生でも解けそうな問題です。
ここに書いてある問題とは質が違うのです。
よろしくお願いします。

すみません。言葉の使い方がおかしかったので訂正します。

＞ここに書いてある問題とは質が違うのです。

ここに書いてある問題とは質が違っているので申し訳ないのですが、
よろしくお願いします、でした。

>>656様
>>657様
きちんとした関数の形で書くと

{e^(x^2)}'について
f=(g)^(x^2)//g=e　とおいて
f'=(x^2)・(e)^(x^2 -1)//g'=eになりました。
公式に当てはめて
f'(g(x))g'(x)=(x^2)・{(e)^(x^2 -1)}・e
>合成関数の立場では、ｇもｘも変数として残ってる
すいません、、この意味がよくわかりません・・
勉強不足でした。もう少し考えてみます

レスありがとうございました

>>660
g=eって書いたら、g=定数みたいだから
少なくともg=e^()とか書かないと混乱するよ

合成関数として書く場合はfはgだけの式で書く

f=e^g、g=x^2みたいにね
ｆの表示でｇとｘの両方が入ってる場合はｇの微分とｘの微分の両方を
考えなくちゃならないからね

657も何か変なこと言ってないか?
f=e^(g)、g=x^2 ではただマクロ置き換えしてるだけだ。
「f=...」でなく「f(x)=...」と引数も明示しなきゃ混乱の元。

>660
f(x)=e^x、g(x)=x^2ならf(g(x))=e^(x^2)となることはわかります?

>f(x)=e^x、g(x)=x^2ならf(g(x))=e^(x^2)となることはわかります?

はい。わかります。
『合成関数として書く場合はfはgだけの式で書く』
というのが大事なのですね。

http://wav2.hypermart.net/up/file/175.jpg
すみませんが、この問題の三番の解き方がよくわかりません。
点Ａが直線ＢＣに対象な点の位置とは、点ＡからＢＣにひいた垂線の先にあるのでしょうか、それとも
点ＡからＢＣの中点を通り、ＢＣまでの距離が等しい点のことでしょうか。
初歩的な問題でもうしわけありませんが、解き方をだれか教えていただけないでしょうか？

>>664
直線BDに関してAと対称な点Pというのは、BDで折り曲げたら重なる（線対称）ってことだから
BDがAPの垂直二等分線ってことだよ。

バースデーパラドックスの証明なんですが途中式がわかりません
x=(k-1)/nとする
(1/n)*log(1-p)=(1/n)Σ[i=0,k-1]log(1-i/n)
　　　　　　　＊ここの途中式＊
　　　　　　　≒∫[1-x,1]log(t)dt
　　　　　　　=-x-(1-x)log(1-x)
　　　　　　　＊ここの途中式＊
　　　　　　　=-(x^2)/(2*1)-(x^3)/(3*2)-....
となる。p=1/2となるkを求めるには上式から解xは小さいことを利用して
(x^2)/2≦(1/n)*log(2)
＊ここの途中式＊
k＜≒√(2*log(2)*n)=1.18√nを得る。
誰か教えてください

>>658
有名な初等幾何の難問です。

自信ありませんが、こんな感じではないでしょうか。

1. n が十分大きいとみて、区分求積。

2. 導関数を Maclaurin級数展開した
　　　{-x-(1-x)log(1-x)}'' = -1/(1-x)
　　　= -(1 + x + x^2 + x^3 + …)
　を項別積分。

3. 不等式に x = (k-1)/n を代入して、
　　　(k-1)^2/n^2 ≦ (1/n)log(2)
　　　(k-1)^2 ≦ 2n*log(2)
　　　k ≦ √{2n*log(2)} + 1　(1 が抜けてる？)

(同形なものをのぞいて)5点の木が3種類、6点の木が
6種類あるそうですが、それはどのような形ですか？

>>664
(2)番も間違ってないか？

>>658
↓この問題が出来ればいいんじゃないの？

問題：△ＡＢＣにおいて，
∠Ｂの二等分線とＡＣとの交点をＥ，
∠Ｃの二等分線とＡＢとの交点をＤとおく．
∠Ｂ＜∠Ｃを仮定する．
このときＣＤ＜ＢＥである．

証明：Ｄを端点とする半直線ＤＡ上に点Ｆを
∠ＤＣＦ＝∠ＥＢＡ　となるようにとる．
∠ＤＣＡ＞∠ＥＢＡ　だからＦは線分ＤＡ上にある．
線分ＢＥと線分ＣＦとの交点をＧとおく．

△ＦＢＣに於いて，∠ＦＢＣ＜∠ＦＣＢ　だから　ＣＦ＜ＢＦ　である．
よって（△ＦＢＧ∽△ＦＣＤ　に注意すると）ＣＤ＜ＢＧ．
これと　ＢＧ＜ＢＥ　より　ＣＤ＜ＢＥ　である．（証明終）

楕円C：x^2/9+y^2/4=1と定点A(√2,1/3)において、
Aを通る直線lとCとで囲まれる部分のうち小さい方の面積をSとする。
Sの最小値を求めよ。
わかりません、教えてください。

点Aが弦の中点になるようにすればよいのかな。
弦を元の位置から少しずらしたときのSの増減を考えれば、
Sが最小であるための必要条件としてこのことが得られる。
(変分法の原理?)
図を描けば説明しやすいのだが。

というか、x方向を2/3倍拡大してCを円に移してから考えればよいのか。

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 こんにちわっ♪ あっという間に１月も最後の日だね．
　 ヽ　| |　l　 l |〃　 わからない問題は，今日もさくらといっしょに
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 レリーズ！！
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 y軸方向に3/2倍して楕円を円にして考えて，
　 ヽ　| |　l　 l |〃　求めた面積を最後に2/3倍してあげたら，
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 2π-(3√3)/2 となった．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

http://wav2.hypermart.net/up/file/175.jpg
すみませんが、この問題の三番の解き方がよくわかりません。
初歩的な問題でもうしわけありませんが、解き方をだれか教えていただけないでしょうか？
どうして二番も間違っているのですか？　その理由も教えていただけないでしょうか？

>>677
>直線ＢＤに関して、点Ａとの対称な点をＰとする。

その図は、点Ｐの位置が間違ってねーか？（藁

二番 ∠DBC＝120°だよ。
三番 A の BD に関して対称な点は、BD で折り返した点だよ。

それより、君のメアドは危険な香りがするけれど、本気？

その図は気にしないで下さい。間違いはわかっています。
それより、三番の解き方おしえてください。

679 だが、君のメアドを見ると、こたえる気が失せるね。

すみません。めあどかえます。
だから教えてください。

>>682
ウザイから失せろ

すみません。本当にわからないんです。
どなたか教えてくれませんか？ウザイなら
謝ります。このめあどが気に入らないんですか？

氏ね ＞＞ ギュスダヴ・アントニオール・クリトリウス

では、名前を変えます。これでいいですか？

http://wav2.hypermart.net/up/file/175.jpg
すみませんが、この問題の三番の解き方がよくわかりません。
また張り付けるぜ。　三番の解き方おせぇろ　ｺﾞﾙｩｧ！

↑教えてやろうかと思ったが、これで完全にその気が失せた。
ただのネタ荒らしだったのか

679です。>>688 に同じ。

ネタ荒らしではありません。これだけは本当です。
あまりに答えが知りたいので、つい乱暴になってしまいました。すいません。
もう無礼なことはしませんからどうかこの私めに解き方をお教え下さい。

学校で先生に質問しなよ。どうしても知りたいんだろ？

＃先生に「教えろ　ゴルァ」なんて言っちゃ駄目だよ。
＃まあそんな度胸は無いとおもうけど。

出直して来い

でなおすわけには行かないんです！
お願いですからおしえてくださいませ！！

教えろ　ｺﾞﾙｧ
くらい言えますけど・・・・先生によってなら・・・
おしえてください！　ごるぁ（はぁと

とにかく学校で先生に質問してごらん。出来るだろ？

＞・・・・先生によってなら・・・

君、最低だね

いや、来週にならないと教えてくれません。
答えを教えるわけには行かないんでしょう。
それとも、難しくてわかりませんのですか？
つまり、来週までの宿題というわけです。

>>697
宿題は自分で解くものだ。

>>697
さくらが来ているようだから、さくらにでも聞きな。

>>673 >>674 >>676
ありがとうございます。

>>677

つーか、下手な字だね チミ

＞　　ｐ＝ｒａ＋ｓｂ＋ｔｃ
＞でこれに垂直なベクトルはどう表せますか？
＞ちなみにabcの大きさは1　なす角は60度です

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 ベクトルpの具体的な構成に関わらず，一般にpに垂直な
　 ヽ　| |　l　 l |〃　 ベクトルqは，q=pｘd （dは任意のベクトル）
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 と書けるよ．(∵ p・q=[p,p,d]=0)
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＃ p・q=m (p≠0) のときは q=p/(|p|^2)+pｘd

＞それとも、難しくてわかりませんのですか？

いや、そんなに難しくないぞ。

礼には礼をもって。
無礼には無礼をもって。

さつにはさつをもって。
ふだなしにはふだなしをもって。

空間において、球x^2+y^2+z^2≦5 と平面x+y=1との共通部分の円板を
x軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

まず、断面積から求めなければならないのか・・・・。
どう解けばいいっすか。

どうやって解けばいいですか

a(n)=[(1+√2)^n]
とおく。（[　]はガウス記号）
このとき、任意の自然数Nに対して、適当な自然数nをとれば
a(n)≡1(mod N) とできることを示せ。

X={a,b,c,d}とする.また,X上の2項演算*は,結合法則を満たすとする。
(1)a*a=d,d*a=aとすると,a*d=aが成り立つことを結合法則を使って示しなさい
(2)さらに,b*b=d,c*c=d,a*b=c,b*c=a,c*a=b,とするとき,b*a,c*b,a*cを求め
なさい.(なぜそうなるか根拠を示すこと)
(3)Xは演算*について群になることを示しなさい。Xは加法群かどうか判定しなさい
(4)Xの部分群をすべて挙げなさい.
(1)と(2)は解けたんですけど、他のが出来ません。
ちなみに(2)はc*b=a,b*a=c,a*c=dとなりました
(3)と(4)が出来ませんどなたか教えて下さい、よろしくお願いします

>>706

円板の半径の２乗は，
5-1/2=9/2
x軸に垂直な平面で切ったときの円板までの最短距離の２乗は，
r_min^2=(1-x)^2
x軸に垂直な平面で切ったときの円板までの最長距離の２乗は，
r_max^2=9/2-(x-1/2)^2-(1-x-1/2)^2+(1-x)^2=5-x^2
よって，求める体積は，
V=∫_[-1,2]π(r_max^2-r_min^2)dx=π∫_[-1,2](4+2x)dx=15π

>>709
>r_max^2=9/2-(x-1/2)^2-(1-x-1/2)^2+(1-x)^2=5-x^2

すまそ。変な計算をしてしまった。この結果は直に出る。

ぬう・・・・1/2が出てこないのだが。
平面のやつで考えるんすよね。

[1]
b(n)=(1+√2)^n+(1-√2)^n の漸化式を作り、
b(n)が整数列であることを示す。

[2]
b(n)を用いてa(n)を表す。
(|(1-√2)^n|<1であることに着目)

[3]
証明すべき命題を[2]によりb(n)に関する命題に置き換える

[4]
[3]で得られた命題を[1]の漸化式を利用して証明。

↑ 結局、b(n)の剰余が周期的に循環することを示さねばならんので
本質的には全く簡単になっていない。

標本の分散を求める時、標本数ｎではなくｎ−１で割るのが
自然なのはなぜ？

>>714
n個のデータを何組も取って、
nで割ったヤツで計算したものの平均と
n-1で割ったヤツで計算したものの平均を比べると
後者の方がより母分散に近い。

教科書で「不偏推定量」の項を見ましょう。

lim[n->∞]{1^(1/1)*2^(1/2)*3^(1/3)*……*n^(1/n)}^(1/logn)^2を求めよ。
たぶん、
log(k+1)/k+1<∫[k,k+1](logx/x)dx<logk/k (k≧3)
を用いるっぽいです。
できれば、途中式有りで教えてください。
お願いします。

(2x+y-2)^2+(3x-2y)^2=0　を満たす実数xとyを求めよ。

答えはあるのですが、考え方がわかりません
どのように計算すれば、よいのでしょうか？

(2x+y-2)^2も(3x-2y)^2もどちらも0以上。
0以上の数を二つ加えて0になるとしたら・・・以下略

申し訳ありませんが、どなたか教えていただけませんか？

確率変数X,Yは互いに独立に標準で正規分布に従うとき、原点から手（X,Y）めでの距離R＝√(x^2+Y^2　を用いて極座標表示をX＝Rcosθ、Y＝Rsinθ（0＜θ＜２π＞とする。
�@（X、Y）の同時確率密度関数を示せ。
�A（x、y）から（r、θ）への変換の関数行列式｜∂(x、y)／∂(r、θ)｜を求めよ。
�BRとθの同時確率密度関数を求めよ。
�Cθの周辺分布は区間(0、2π)上の一様分布であることを示せ。
�DRの周辺確率密度関数を求めよ。
�EθとRは確率変数として互いに独立であることを示せ。(θの周辺確率密度関数とRの周辺確立密度関数の積がRとθの同時確率密度関数に等しいことを示せばよい。)

お願いします。

>>717
(2x+y-2)^2≧0,(3x-2y)^2≧0だから
(2x+y-2)^2+(3x-2y)^2=0となるのは
(2x+y-2)^2=0,(3x-2y)^2=0
つまり
2x+y-2=0,3x-2y=0を連立して解くと
x=4/7,y=6/7
間違ってたらゴメン

>>717
あぁ、なるほどつまり
(2x+y-2)^2>=0、(3x-2y)^2>=0
にして片方を代入すれば、いいんですね。
ありがとうございます。計算してみます。

>>720
答えあってます。
自分も計算したらそうなりました。
ありがとうございます。

死ね

おまえらはくだらん　そしてわがままだ　死ね

すいません。この問題がわからないのですが、どなたか教えてくれませんか？

２点Ａ（−１．０）、Ｂ（１．０）がある。
円（X−３）＾2＋（Ｙ−４）＾2＝４　上に点Ｐをとるとき、
ＡＰ＾2＋ＢＰ＾2が最小になる点Ｐの座標を求めよ。

よろしくお願いします。

２X＾2＋２Ｙ＾2＋２　という式が出来たのですが、この先がわかりません。

わからない

>>725
方針１：
　円上の点を(3+2cosθ, 4+2sinθ)とおくと、ＡＰ＾2＋ＢＰ＾2 はθの関数になる。

方針２：
ＡＰ＾2＋ＢＰ＾2＝２X＾2＋２Ｙ＾2＋２
点Ｐ(X,Y)は、（X−３）＾2＋（Ｙ−４）＾2＝４　すなわち
X^2 + Y^2 =　6X + 8Y -21をみたすので

ＡＰ＾2＋ＢＰ＾2＝12X+16Y-40　である。

直線12x+16y = k （ｋは実数の定数）と円が交点Ｐで交わるとき
ＡＰ＾2＋ＢＰ＾2 = ｋ-40となる。

よって、連立方程式
　（X−３）＾2＋（Ｙ−４）＾2＝４
　１２Ｘ＋１６Ｙ＝ｋ
が実数解を持つようなｋの最小値を求め、そのときの解（X,Y)が求めるべき点Ｐである。

>>725
原点をO(0,0),円の中心をC(3,4),角POB=θと置くと
AP^2=1^2+OP^2-2*1*OP*cos(π-θ)
=1+OP^2+2*OP*cosθ
BP^2=1^2+OP^2-2*1*OP*cosθ
=1+OP^2-2*OP*cosθ
よって
AP^2+BP^2=2+2*OP^2
つまり、OPが最小のときAP^2+BP^2は最小
OPが最小となるのはPがOC上のときである
よって
OP=OC-2
=5-2=3
よって、AP^2+BP^2の最小値は
AP^2+BP^2=2+2*3^2=20…(答)
間違ってたらゴメン

あっ、Pを求めるのか…
OPはOCを3/5倍したものだか
Pの座標は(9/5,12/5)…(答)
間違ってたらゴメン
自信無し！

>>708
どうしても解けません、どなたか教えて下さい
よろしくお願いします

>>730
単位元はわかってるんだから、演算表なんかを作って定義に戻って確かめてみてください。

>>716 さん
　　f(n) = {1^(1/1)*2^(1/2)*…*n^(1/n)}^{1/log(n)}^2
　　g(n) = log{f(n)}　(= {1/log(n)}^2*�納k=1,n] log(k)/k)
　　h(x) = log(x)/x
とおく。このとき、
　　∫[k,k+1] h(x)dx < h(k) < ∫[k-1,k] h(x)dx (4≦k)
から、t = h(1) + h(2) + h(3) として
　　t + �納k=4,n]∫[k,k+1] h(x)dx < �納k=1,n]h(k) < t + �納k=4,n]∫[k-1,k] h(x)dx
が成り立つ。ここで、
　　(左辺) = t + ∫[4,n+1] h(x)dx = t + (1/2){((log(n+1))^2 - (log(4))^2}
　　∴ {1/log(n)}^2*(左辺) → 1/2 (n→∞)
　　(右辺) = t + ∫[3,n] h(x)dx = t + (1/2){(log(n))^2 - (log(3))^2}
　　∴ {1/log(n)}^2*(右辺) → 1/2 (n→∞)
なので、はさみうちの原理により、
　　g(n) = {1/log(n)}^2*(中辺) → 1/2 (n→∞)

　　∴ lim[n→∞]f(n) = √e

確率論でもいいすか？P(X=x)=0となるすべての点で、lim P(Xn≦ｘ）＝P(X≦x)
ならば、すべての整数値iに対して、lim P(Xn=i）＝P(X=i)であるって書いてあったんですけど
証明の仕方がわかりません。たのんます！！

２次元の場で、ラプラス方程式を差分表示せよ。

>>732
おかげでわかりました。
ありがとうございます。

X,Xnが次の分布に従うとする。
　P(X≦x) = 0 (x<0)
= 1 (x≧0)
P(Xn≦x) = 0 (x<0)
= nx (0≦x<1/n)
= 1 (1/n≦x)
このときＰ(X=x)=0となるすべての点（ｘ≠０）で、lim P(Xn≦ｘ）＝P(X≦x)であるが、
lim P(Xn=0）= ０、 P(X=0) = 1.

ずれるなあ。
P(X≦x) = 0 (x<0のとき)
P(X≦x) = 1 (x≧0のとき)

P(Xn≦x) = 0 (x<0のとき)
P(Xn≦x) = nx (0≦x<1/nのとき)
P(Xn≦x) = 1 (1/n≦xのとき)
という意味ね。

>>708
(3)までは解けたんですが(4)だけ出来ません
どなたかヒントを下さい

>>738
本当にできているか怪しいので、(1)〜(3)まで解答を書いてください。

複素解析で出てくる一致の定理の適用条件で、
無限大に発散する点列でも、
この定理は適用できるのでしょうか？

おねがいします

複素解析で出てくる一致の定理の適用条件で、
定義域が無限大に発散する点列（例えば自然数列）でも、
この定理は適用できるのでしょうか？

おねがいします

＞定義域が無限大に発散する点列（例えば自然数列）でも、

訂正

定義域が無限大に発散する点列（例えば自然数列）で
一致する場合でも、

>>740
だめ。たとえば、sin(z)とか。

>>740-742

例えば点列f(πn)=0 (n∈N)の場合、
f(z)=0とf(z)=sin(z) (z∈C)があるのでだめ

>>740-742
どれも意味不明．ステートメントを（省略無しの）完全な文章で
書かないと，それが適用出来るかどうかの判定は出来ないと思う．

↑あほかコイツ

無限遠点を含む領域で正則な関数に適用するなら正しい．

>>747

744の例は？

無限遠点を含む領域でsinzは正則なのか？恐れ入った。

↑この程度の質問で何いきがっているのか訳わからん。
本物のあほだねコイツ

>>749

せっかくがんばったのだから
ほめてあげまちょーね

よくできました（はーと

解答してくれた皆様ありがとうございました。
だいたい理解できました。

f(n)=(n-1)! (nは自然数) の定義域を
正の実数に拡張するとき、C^∞級という条件で
一意に定まるのでしょうか？

>>753
f(x)=Γ(x+1)

>>753
f(x)=Γ(x)

∫[1/cosX]dX
これ教えて下さい、できればはやめに。

ろぐたんじぇんとえっくすわるにたすぱいわるよん

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 みんな，おはよ〜♪
　 ヽ　| |　l　 l |〃　わからない問題は，今日もさくらと一緒に
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 レリーズ！！
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 ∫dx/cos(x)=∫dx*cos(x)/(1-(sin(x))^2)
　 ヽ　| |　l　 l |〃　=∫dt/(1-t^2)=(1/2)*∫dt*[1/(1-t)+1/(1+t)]
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 =(1/2)*[log|1-t|+log|1+t|]=(1/2)*log|1-t^2|=log|cos(x)|
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＞ =(1/2)*[log|1-t|+log|1+t|]=(1/2)*log|1-t^2|=log|cos(x)|

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 訂正
　 ヽ　| |　l　 l |〃　=(1/2)*[-log|1-t|+log|1+t|]=(1/2)*log|(1+t)/(1-t)|
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 =(1/2)*log|(1+sin(x))/(1-sin(x))|
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

>>754-755
このようなf(x)は、Γ(x)に限るのでしょうか？

すみません、x>0に対して
f(x+1)=xf(x)
という条件を付け加えます。

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　はう〜，答えが
　 ヽ　| |　ｉ　 ｉ |〃　log|tan(x/2+π/4)|=log|(1+tan(x/2))/(1-tan(x/2))|
　　｀ｗﾊ~　．ノ） 　になってくれないよ〜．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

>>708>>739
ほんとに解けてるか怪しいという事なので、解答書きます。
(1)は結合法則を使いa*bをb*aまで変形し証明しました
(2)は(1)と同様にやりb*a=c,c*b=a,a*c=bとなりました
(3)は>>731さんのアドバイスのように演算表を書きました、そうすると交換法則が成り立っているので
結合法則が成立しているということになり、加法群であると言えます。
(4)が解りません

訂正
(1)d*aをa*dに変形して=aを証明

分数xが与えられた時、次のような手順で新しい数｛x｝をつくります。

｛手順１｝xをできるだけ約分し、分子が分母より大きい分数は帯分数にします。
｛手順２｝手順1で直した数が帯分数　Kとl/m　の時、整数部分kと分子部分のlを入れ替え
　　　　　{x}=lとk/m　とします。ただし、xをできるだけ簡単にして整数になる時は
　　　　　{x}=0 とします。また、手順１で直した数が真分数l/mの時は{x}=lとします。
------------------------------------------------------------------------------
（問）{x}=4と3/8　となる分数xを最も小さい順ほうから順に並べた時、10番目何ですか。

文まちがえた。分かるよね&hearts;

>>766-767

氏ね

一意には決まらない。
[**] g(1)=1,g(x+1)=g(x)
を満たすg(x)を掛けたF(x)=f(x)g(x)もf(x)と同じ条件を満たす。
そして[**]を満たすC^∞なg(x)なんて腐るほどある。
(g(x)=1+(exp(2πix)-1)�蚤(n)exp(2πnix)の形のFourier級数の中から
C^∞関数に収束するようなのを選べばよいのだから)

>>764
X の空でない部分集合は全部で 15(= 2^4 - 1)個ある。
それを列挙してそのなかから群演算に関して閉じてる
ものを拾い出せばいい。

階乗ｎ！を自然数から実数に拡張する時
なんでガンマ関数で
ｘ！＝Γ（ｘ＋１）
とするの？

定義だから。。。
気になるんなら　MyG(x)= Γ（ｘ＋１）
と定義すれば、　NyG(x) = x!
となるだけの話

[1] x^2+6x-10=0のとき、x^3-46x=（　　）である。

[2] 関数f(x)=x^3-9x+a（aは定数）の極小値が0であるとき、極大値は
　　（　　）√（　　）である。

わかんないです、この問題

a,b,cは自然数であり
●a,b,cの最大公約数は1
●c^2=a^2+b^2-ab
を満たしている。
このとき、cを3で割ったときの余りは1であることを示せ。

[1]
整式x^3-46x を整式x-2+6x-10 で割ると
　x^3 - 46x = (x-6)(x^2+6x-10) + (-60)

[2]
f'(x)= 3x^2-9 = 3(x+√3)(x-√3) により、
f(x)はx=-√3で極大、x=√3で極小。
あとは、f(√3)＝(√3)^3 - 9√3 + a ＝0 から
aの値を求めて、さらにf(-√3)を求めればよい。

よろしくおねがいします。

k≠0 r＞0とする。xyz空間に点A(1,1,2)を中心とし、
半径rの球面Sと2点B(2,-2,5)C(5,7,-1)を通る直線l
がある。直線lと球面Sが点Fで接する時、点Fの座標と
rの値を求めよ。

何度やってもr^2が負の値になってしまう（泣

1)
x^3+6x^2-10x = 0
より x^3 = -6x^2+10x
そこで
x^3-46x = -6x^2-36x
=-6(x^2+6x)
()の中は10 だから　結局 -60

　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 直線BCの点Pは(x,y,z)=(1,3,-2)t+(2,-2,5)とかける．
　 ヽ　| |　l　 l |〃　FA⊥BCとなる点Fは，FA・BC=0よりt=1でF(3,1,3)．
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 このときの球の半径rは，r=FA=√5となるよ♪
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

>>776

直線l上の点は、tをパラメタとして
（3t+2 , 9t-2 , -6t+5)とおけます。
これと点Aの距離の平方は
(3t+1)^2 + (9t-3)^2 + (-6t+3)^2
= 126t^2 - 84t +19
なので、ここでは
「126t^2 - 84t + 19-r^2 = 0 がただ1つの解を
　もつようなrの値」
を求めればよい。
あとは判別式を考えれば、
r=√5 が出るのでは・・・

あら、かぶっちまった・・・

>>768

　　解けないからって僻むなよ〜。君が単細胞なだけだよ〜。

>>766
君はこの問題がわからないからここにカキコしたんだよね？

「この問題が解けるか！」ってスレ立てようと思ったんだけど
　単発スレを立るなんて日大ドキュソ的な事はしない。
一応その問題は俺の出身校（K成）の今年度の入試問題。

＞一応その問題は俺の出身校（K成）の今年度の入試問題。

それが解けないんじゃどうしようもねーじゃん（藁
もう一回高校入試からやり直したら

いや、だから俺は解けるんだって。
それにしても(藁 なんて書く奴がいるとは（笑）
解けないんなら解けないって言えよ。
解き方教えてやるよ。

arctanXを積分したら？

1.∫∫D log(y/x) dxdy　{D:1≦x≦e,x≦y≦x*x}
2.∫∫D x/√4x*x-y*y dxdy {D:1≦x≦4,0≦y≦x}
3.∫∫D yexp(y*y/x) dxdy {D:1≦x≦2,0≦y≦x}

君なら余裕で解けるからお願いします｡

∫1*arctan(x)dx として部分積分したまえ。

>>788 or >東大理一生
∫∫D 1/1+x*x+y*y dxdy {D:2≦x*x+y*y≦3}

∫∫D (arctan y/x)*(arctan y/x) dxdy {D:1≦x*x+y*y≦3,|y|≦x}

∫∫D 1/(1+x*x+y*y)*(1+x*x+y*y) dxdy {D:x*x+y*y≦1,x+y≦0}

∫∫D cos(x*x+y*y) dxdy {D:x*x+y*y≦π/4,y≦0}

これも頼みます。

>>787

やめとけ
東大理一生はミルク同様、口だけのおちこぼれだから
重積分なんかしらないし解けないよ。

みるくは解析やってたくせに重積分しらないのか。
素人童貞逝きてよし。

>>790
すみませんが代わりに解いてください、お願いします｡

>>774
とりあえず、方針だけ示しておくから、あとはなんとかしろ
1.
a、bのいずれかは3の倍数ではないことを示せ。
(以下の方針)
a,bを3で割った余りで場合分け
2.
a≡1 mod3, b≡2 mod3のとき、c≡3 mod9を示し、
ここから矛盾を導け。
a≡2 mod3, b≡1 mod3のときも同じことを示す。
3.
その他の場合に、c≡1 mod3を示せ。

>>793
７８７と７８９の問題もお願いします｡

煽りを相手にしてるの？？？

>>794
極形式にして積分しろ！
以上

実は、僕は東大生ではなく、元大東亜大生でした。理学部の数学科に所属していましたが、
とある理由により退学してしまい、現在２４歳までフリーターをしていました。
僕は中学生の頃からエリートとして周りから尊敬され将来を嘱望される人物でした。
ですが、その反動からか大学在学中に遊びほうけてしまい、フリーターの方が実は
楽しいのではないかと思い、何を勘違いしたのか大学を辞めてしまい、今までに至りました。
このご時世、大学中退者にまともな職があろうものなどなく、これからの人生後ろ指を指される
のはとても耐えられるものではありません。その上お金もついに底をつき、人生さえも否定する
ような考えを抱くようになり、このような経緯に至ったのです。
自殺をしようにもマスコミに取り上げられ、さらし者にされるのはとてもごめんです。
ならば、僕はこの世からいなくなる。つまり、行方不明者となる決断をしようと考えました。
今から海外のある国に向かい、そのまま楽に死のうかと思います。ある国というのは
ここではとても言えません。ただとても寒い場所とだけ言っておきましょう。
この事実を知っているのは２ちゃんねるのみなさんだけです。
インターネットをしている間はとても楽しかったです。
今まで本当にありがとうございました。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

>>796
いや、極座標を用いて積分するのはわかってるんですけど
その積分がわかりません。実際に解いてもらえないでしょうか？

どうせ俺は落ちこぼれだ。
ガキの頃からみんなにバカにされ、さげすまされて生きてきた。
これまでの人生で、うれしかった事や楽しかった事はひとつもない。
生きていて良かったと思った事は一度もない。
これといった「思い出」というものも、何もない。
俺は、まるで虫ケラのように生きてきた。
俺が生きた証はどこにも刻まれていない。
クズのような人間だ。俺は人から誉められたことが一度もない。
人に感謝された事も全くない。
俺を必要とする人間はどこにもいやしない。
クズのような人間だ。もはやこの人生に夢も希望も何もない。
早く死にたいと思っている。
ただし、俺は一人では死なない。死ぬときはみんな一緒だ。
俺は幸せに生きているやつらが憎い。こいつらをみんなぶっ殺してやる。細菌兵器は「弱者の兵器」だそうだ。
うまくやれば、これで国民全員と心中できるかもしれないと思っている。
俺はやる。これは社会に対する復讐だ。俺はキチガイだ。誰も俺を止める事はできない。

ごめんなさい。ぼくは数学はおろか算数さえまともに出来ない特殊学級上がりです。
負の数やら方程式やら微分積分（掛け算のこと？）なんて聞かれても答えることはできません。
ただ、唯一の友達たかし君から教わった問題を必死で4年かかって覚え、
皆をあざ笑おうと思っただけです。でももう限界です。
たかし君は「日本で一番むつかしい大学は東京大学って言うんだよ。」といいました。
だから、東京大学って書けばみんな驚くと思ったんです。
でも違いました。だれも驚きません。
誰か僕に微分積分（掛け算、割り算？）の意味を教えてください。

やったら出来ました。
返答遅れましたがありがとうございました。

某板で見つけた煽りコピペ
「ﾆｭｰﾄﾝ算が解けない数学板住人」って本当ですか？

a=a+1
は成り立つよ！

８０３＝８０２＝８００

どうやって解けばいいですか。

x"=(1/4)(1-x^2)x'-(1/16)x, x(-1)=0, x(1)=2
の近似解をシューティング法で求めよ.

次の級数は口≦x≦△の時、収束する。
　　∞　（x^2+x+1）^n
　　Σ　--------------
　　n＝1　　n(n+1)　　　　　　

誰か□と△教えてください・・・。

あと、
『Xが○○○○○空間であるための必要十分条件は、Xの閉集合からなる集合族Ｆ＝{f_λ｜λ∈Λ}が▲▲▲叉性「Ｆに属する集合を任意に有限個とると、
その共通部分は空集合でない」という性質を満たすならば∩_{λ∈Λ} f_λ≠φとなることである』

の、〇と▲のところには何が入りますか？
どなたかお願いします。

>『Xが○○○○○空間であるための必要十分条件は、Xの

２日前まったく同じ質問したひとが居るんだけど…
どおゆうこっちゃ？？？

>>807
レポートの季節だもんな。

１か２か４の現れる確率が等しい時の関数をもとめよという問題で唸ってます。
｛A｜A-3｜｝/6だと４の時使えないし、｛A^0.5｜A-3|}/6だと、２にあてはまらない。

（｜　｜は絶対値です）

どなたかお助けくださいませ。