ＡｌｇｅｂｒａｉｃＧｅｏｍｅｔｒｙをゆっくり読む

Ｈａｒｔｓｈｏｒｎｅの
”ＡｌｇｅｂｒａｉｃＧｅｏｍｅｔｒｙ”をゆっくり読む

Ｃｈａｐｔｅｒ�T.Ｖａｒｉｅｔｉｅｓ
1Ａｆｆｉｎｅ　Ｖａｒｉｅｔｉｅｓ
から着実に読み進める。

ｋ：代数的閉体
Ａ＾ｎ：ｋのｎ組み全体
Ａ：ｋ[ｘ1、・・・、ｘｎ]
（ｋ上のｎ変数多項式環）
Ａの部分集合Ｔにたいして、
Ｚ（Ｔ）を任意のＴの元ｆ対して
ｆ（Ｐ）＝０となるＡ＾ｎの元全体の集合とおく。
Aはネター環（体はネター環で
Rがネター環ならばR[ｘ]もネター環だから）
よってＺ（Ｔ）は有限個のＺ（ｆ1）、・・・、Ｚ（ｆｒ）
の共通部分としてかける。

Ａ＾ｎの部分集合Ｙについて、
Ｙがａｒｇｅｂｒａｉｃ　ｓｅｔ
であることを
”Ｙ＝Ｚ（Ｔ）なるＴが存在する”
で定義する
Ａ＾ｎのａｒｇｅｂｒａｉｃ　ｓｅｔ全体は閉集合の公理を満たす。
よってａｒｇｅｂｒａｉｃ　ｓｅｔの補集合全体を開集合系とする
位相をＡ＾ｎに定義できるこれをＺａｒｉｓｋｉ位相という。

名無し定理の未解決さんという名前は長すぎるし
そればかり記憶に残ってしまうから使うのをやめる。
生物板のななしゲノムのクローンさんみたいなのを
考えたかったのだが。
以降は内容に応じて
ｄｅｆｉｎｅ、ｔｈｅｏｒｅｍ、ｌｅｍｍａ
などと名前を使い分ける。

位相空間Ｘの空でない部分集合Ｙについて、
Ｙがｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅであることを
ＹがＹの真部分集合であるＹの閉集合Ｙ1、Ｙ2
をもちいてＹ＝Ｙ1∪Ｙ2
と表されないこととする。

Ａ＾1はｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ
なぜならＡ＾1の閉集合であり真部分集合である
部分集合は有限点からなる。
しかし、Ａ＾1は無限集合
ｋが代数的閉体だから。

代数的閉体が無限集合なのは何故？

文字化けしてた1の発言
＞Ｈａｒｔｓｈｏｒｎｅの
＞”ＡｌｇｅｂｒａｉｃＧｅｏｍｅｔｒｂ・・
＞から着実に読み進める。
は
＞Ｈａｒｔｓｈｏｒｎｅの
＞ＡｌｇｅｂｒａｉｃＧｅｏｍｅｔｒｙ
＞ｃｈａｐｔｅｒ1．ｖａｒｉｅｔｉｅｓの
＞1．ａｆｆｉｎｅ　ｖａｒｉｅｔｙ
＞から着実に読み進める。

勘違いだった。
でも機種依存文字つかってたらかも。

体 K は有限体だと仮定する。
K={a(0),a(1),a(2),...,a(n)}
とおく。このとき多項式
f(x):=(x - a(0))(x - a(1))(x - a(2))...(x - a(n)) + 1
の根は K の中には無い。よって K は代数的に閉じてない。

セミナーは友達とやれや。

ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ　ｓｐａｃｅ　Ｘの
空でない開部分空間Ｂは
はｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅであり稠密。
示す
1.稠密
Ｂｃ：Ｂの補集合
［Ｂ］：Ｂの閉包
とおくと
Ｘ＝Ｂｃ∪［Ｂ］
［Ｂ］＝Ｘでないと
Ｂｃ＝Ｘで矛盾
2.ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ
Ｂ＝Ｙ1∪Ｙ2とＢの真部分集合である
Ｂの閉集合Ｙ1、Ｙ2をつかってかけたとする。
Ｙｉ＝Ｂ∩Ｚｉ
となるＸの閉集合がある。
Ｘ＝（Ａ∩Ｚ1ｃ）ｃ∪Ｚ2
となりＸがｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅであることに矛盾。

Ｙが位相空間Ｘのｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｓｕｂｓｅｔ
ならばＹの閉包［Ｙ］もＸでｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ。
示す
［Ｙ］がｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅでないと
［Ｙ］＝Ｚ1∪Ｚ2
と［Ｙ］の真部分集合であり
［Ｙ］の閉集合（よってＸの閉集合）であるＺ1、Ｚ2
をつかってかける。
Ｙ＝（Ｙ∩Ｚ1）∪（Ｙ∩Ｚ2）となる
ここでＹ∩Ｚｉ＝Ｙとはならない
（もしＹ∩Ｚｉ＝Ｙならば
Ｙ⊂Ｚｉ
［Ｙ］⊂Ｚｉとなり矛盾）
よってＹがｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅであることに矛盾

サンクス

ａｆｆｉｎｅ　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｖａｒｉｅｔｙ
（アフィン代数多様体）
をＡ＾ｎのｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅな閉集合として定義する。

ｑｕａｓｉ　ａｆｆｉｎｅ　ｖａｒｉｅｔｙ
（準アフィン代数多様体）
をアフィン代数多様体の開部分集合として定義する。

Ｙ⊂Ａ＾ｎに対して
ＡにおけるＹのイデアルＩ（Ｙ）を
Ｉ（Ｙ）＝｛ｆ∈Ａ：∀Ｐ∈Ｙ　ｆ（Ｐ）＝0｝
で定義する。

訳語があるものはなるべく訳語を使うことにする。

今、ＡからＡ＾ｎ代数的集合全体のつくる集合への写像Ｚと
Ａ＾ｎからＡのイデアル全体のつくる集合への写像Ｉを得た。

（1）Ｔ1⊂Ｔ2⊂Ａならば
Ｚ（Ｔ1）⊃Ｚ（Ｔ2）
（2）Ｙ1⊂Ｙ2⊂Ａ＾ｎならば
Ｉ（Ｙ1）⊃Ｉ（Ｙ2）
（3）Ｙ1、Ｙ2⊂Ａについて
Ｉ（Ｙ∪Ｙ）⊂Ｉ（Ｙ1）∩Ｉ（Ｙ2）
（4）Ａのイデアルａについて
Ｉ（Ｚ（ａ））はａの根基
（5）Ａ＾ｎの部分集合Ｙについて
Ｚ（Ｉ（Ｙ））はＹの閉包

ヒルベルトの零点定理
ｋを代数的閉体。
Ａ：＝ｋ［ｘ1、・・・、ｘｎ］
とおくＡのイデアルａについて
ｆ∈ＡがＺ（ａ）のすべての点で０
になるなら、ある自然数ｒが存在し、
ｆ＾ｒ∈ａ

Ａ＾ｎの代数的集合全体の集合
↓Ｉ↑Ｚ
Ａのイデアル全体の集合

この写像Ｚ、Ｉは一対一であり包含関係
を逆にする。
さらに代数的集合が規約であることそのイデアルが
素イデアルであることと同値。

＞Ａ＾ｎの代数的集合全体の集合
＞↓Ｉ↑Ｚ
＞Ａのイデアル全体の集合
は
＞Ａ＾ｎの代数的集合全体の集合
＞↓Ｉ↑Ｚ
＞Ａのradicalイデアル全体の集合

＞規約
ではなく
＞既約

Ａ＾nは既約。
なぜなら
A＾ｎ＝Z（（0））
であり（0）はAの素イデアルだから。
corollary1.4.より示せた。

A：＝ｋ［ｘ、ｙ］
ｆをAの既約多項式とおく。
Aは一意分解整域なので
ｆは素イデアルを生成する。
よって
Y＝Z（ｆ）は既約。
これをf（x、y）＝０で定義された、
affine　curveと呼ぶ。
fの次数がdのとき、Ｙはジスdのcurveであるという。

＞fの次数がdのとき、Ｙはジスdのcurveであるという。
＞fの次数がdのとき、Ｙは次数dのcurveであるという。

より一般に
A：＝ｋ［ｘ1、・・・、ｘｎ］
ｆをAの既約多項式とおく
Y：＝Z（ｆ）はaffine　variety
これを
ｎ＝3のとき曲面
ｎ＞3のとき超曲面という

お前だけのためにスレッド作りやがって。
勉強は自分でやれ。馬鹿野郎。

訳も思いっきり直訳じゃんかよ！
あほか？

わかんないとこだけ質問したら？そっちの方が
はるかに効率的だよ。

こんなスレ立てて君ちょっと追い込まれてる？

Atiyaの代数の本でも熟読してろよ。
Hartsuhoneは最初からじっくり読めば理解できる、
ってもんじゃねえぞ？
急ぎたい気持ちはわからんでもないが、効率の良さを追求したら？
１章から、ってことは代数の基礎知識がしっかりしてないんじゃねえの？

>Atiyaの代数の本

って題名おせえて

>32
マクドナルドって奴と共著で書いてある本。
名前忘れたな。図書館行って調べればすぐだよ。
ってハーツホンの教科書に出てくるだろ？

Atiyah, M.F. /MacDonald, I.G.
Introduction to Commutative Algebra
ISBN0-201-40751-5

Atiyah / MacDonald かあ、
4年のときのゼミのテキストだったな。
可換環を勉強するにはいい本だよね。

松村可換環でもいいかもね。
復刊してるけど高え・・・。

松村の「可換環論」は名著。

＞27,28
声援ありがと（ワライ）。
＞29
それだと教えて君になっちゃうからねえ。
でも方針は変える。
＞31から37
本の紹介感謝。
しかし、必要な予備知識を全部そろえてからだと
きりがないってこともあるし。
今回は逝けるとこまで逝ってﾐﾙ

試しに方針変更。
本に直接かかれている内容を写すのはやめる。
具体的には
0.疑問点
1.疑問点に対する返事。
2.問いの答案。
3.例の証明。
4.飛ばしている部分の補足。
5.必要な予備知識。
6.自分で考えた例。
7.証明の中心となるアイデア。
8.定義、命題などのイメージ。
9.まとめ。
10.その他・・・
などを書く。
全体としてのペースはなるべく保つ

５ページの下から１０行目
（Y−Y1）の閉包＝Y2∪・・・∪Yｒ
を補う
Yiが既約閉集合のとき
（Ｙ1∪Ｙ2∪Ｙ3−Ｙ1）の閉包＝Ｙ2∪Ｙ3
を示す。
⊂は解る。
⊃は
xを右辺の任意の元とする。ｘ∈Y2とする。
ｘが左辺に含まれないと、
ｘを含まない閉集合Bで
Y2∪Y3−Y1⊂Bとなるものが存在する。
Y2＝（Y2∩B）∪（Y2∩Y1）
となりY2の既約性に矛盾。

Example1.1.3使ってもいいか。

６ページのproposition1.7の
証明で使われていること

Aを可換環、IをAのイデアル
ｆ：A→A／I
を標準的射影としたとき、
Iを含むAのイデアル全体と
A／Iのイデアル全体は
ｆにより一対一対応している。
さらに
Iを含むAの素イデアル全体と
A／Iの素イデアル全体は
ｆにより一対一対応している。

age

>>42
１はノートがわりにスレたててる奴だろ？
鬱陶しいから age ないでくれ。

このスレ，少なくてもパズルみたいなのよりは
おもしろいと思うけどね．
勉強になるし．

こういうスレやゼミ・スレみたいなのがもっとあってもいいと思う。
現状では雑談系のスレが多すぎる！（全くなくせという意味ではないです）

Bが体ｋ上の有限生成整域のときね。

ってい定理の証明を「可換環論」で調べよう
と思ったが図書館にも近所の本屋にもなかったので、
明日でかい書店に逝ってくる。

＞43
別にノート代わりというわけではない。
もし参加者がいれば、
ゼミ形式に方針変更してもいい。

＞44、45
ゼミ形式に参加しない？

新しい方針の提案として
1.コテハン同士で馴れ合いながら、役割分担してすすむ。
2.３９に書かれているようなことを、名無しさん同士でわいわい言いながら、
ある程度強制的に進む。
3.その他

一般論はさーっと読み流してExercisesの易しそうな問題を何問か解いてみては？
代数幾何は概論をせっせと追っていくよりも実例で計算しながら様々な概念に
慣れていく方が吉。

＞48
一般論を読み流すわけにはいかないが、後半の意見は参考にする。

とりあえず、参加者が現れるまでは、
４７の２の方針でいく。

A（Z（ｙ＝ｘ＾2））とｋ［ｘ］が同型を示す。
左辺はk［ｘ、ｙ］／（ｙ-ｘ＾2）
示す）
ｋ［ｘ、ｙ］→ｋ［ｘ］
ｆ（ｘ、ｙ）→ｆ（ｘ、ｘ＾2）
に準同型定理

A（ｘｙ＝1）とｋ［ｘ］が同型でないことを示す。
A（ｘｙ＝1）はｋ［ｘ、ｙ］／（ｘｙ-1）
示す）
ｋ［ｘ、ｙ］／（ｘｙ-1）
には零因子ｘ+（ｘｙ-1）が存在するが、ｋ［ｘ］には存在しない。

A＾2のザリスキ位相がA^1*A^1
の積位相と一致しないこと。
示す）
A^1*A^1の開集合は
A^1−有限点*A1−有限点
の形だがA^2は違う。

はEXAMPLE1.1.3と1.1.4
12と13ですでに示した

（a）は定義どうり
（b）noetherian　topological　spaceが準コンパクト
であることを示す
示す）Ｘ：noetherian　topological　space
｛o｝：Xの開被覆
とおく。
Ｂを｛o｝の有限個の元の和集合としてかける
集合全体の集合とすると
（a）よりＢには極大元が存在する。それが求めるもの。

（C）は定義どうり

>>51
>ｋ［ｘ、ｙ］／（ｘｙ-1）
>には零因子ｘ+（ｘｙ-1）が存在する

？？？

＞55
あ、勘違いだった。訂正スマソ。

f＝x＾2+y＾2+1
でもいいけどもっとましな例がありそう。

参加者が集まることをキボンする。
まだ７ページぐらいしか進んでないし、
本が手に入らないヒトは手に入るまで待ってるよ。
参加するための十分条件はこの本を読んだことがないこと。
余裕で読んでるってひとは暇なときにでもつっこんでやってください。

基本方針案
1.節ごとに当番を決める。
2.当番はその節の問題を解けるだけ解き（1問も解けないこともあるかも）
＞39にかかれていることも書けるだけ書く。
3.当番がこれ以上問題を解けなくなったら、
「ワケワカンネー」と書き込む。
4.その他の参加者が当番が解けなかった問題に攻撃をしかける。
あと疑問点も
以上の動作は基本的にsageにて行う。
5.それでも歯が立たなかったらageて詳しいひとに訊く

いまいちだな。雑談しながらやる方がいいかも
大きな書店にいてくる

Hartshorneのテキストとは関係ないけど、同じ代数幾何絡みということで。

どっかからダウンロードした読み物に、genus2 のcurve C:y^2=x^5+1
(というか、P^2内のcurve Y^2Z^3=X^5+Z^5の正規化C~)について

(1) C~上の任意のdegree0のdivisor D のclass [D]は
　　[D]=[P+Q-2∞](P,Q∈C~、∞は無限遠点)と表され、
(2) さらに[P+Q-2∞]=[R+S-2∞](P,Q,R,S∈C~)なら
　「divisorの時点でP+Q=R+S」or「[P+Q-2∞]はtrivial class」

という記述がありました。(易しいことらしく、証明抜きで)

(1)はRiemann-Rochを使って証明できましたが、
(2)はどのような方針で証明すればよいのでしょうか?
degree2の射f:C~→P^1がf(x,y)=(ax+b)/(cx+d)という形のものに限られること
(or L=k(x,sqrt(x^5+1))の部分体Kが[L:K]=2を満たせばK=k(x)であること)
が示せたら良さそうというところまではわかりましたが、そこで力尽きました。
(それとも全く別のやり方で容易に解けるのか?)

>>59
知ったかぶりもほどほどにしろ。
このスレちゃんと読めよ、、、。

意味不明。わかんないから質問してるだけだけど。

52の
＞A^1−有限点*A1−有限点
＞の形だが
は
（A^1−有限点）*（A1−有限点）の和の形だが
に訂正

＞58は
「ワケワカンネー」より
「 ｵﾃｱｹﾞﾀﾞヽ（´ー｀）ノ」
の方がいいかも。

「可換環論」買ってきた。確かにこっちを先にやったほうがよさそうだ。
こっちの方も参加者がいればやりたい。

＞Jac
私はかまわないよ。参加者が集まるまでは
親切なヒトが答えてくれるかもね。
てゆーか参加しない？

＞60
貴方も参加しない？

＞Jac
あ、でもなるべくsageでたのむわ

1>

あのな。いいかげんにしろ。
ネット上セミナーしたいなら自分でサイト立ち上げてやれ。
削除依頼出すぞ。

>てゆーか参加しない？

ども。Hartshorneは最初の方は理解してるつもりだから、
ゼミ形式に参加するならもうちっと進んでからにします。

ここに書いてあるexerciseについてコメント。
>>51
k[x,y]/(xy-1) とk[x]が同型でないことは両者の単数群を比較すれば
わかるでしょう。どちらも整域なので零因子の比較は意味無し。

代数の言葉へ翻訳した部分の書き方が間違っていたので訂正。

g,h∈k(x)として自然な埋めこみ
k(g(x)+h(x)sqrt(X^5+1))⊂k(x,sqrt(x^5+1))
が2次の拡大であるならばh=0であることを示せ。

要はこれを示したい。誰かヘルプ。

＞64
何故自分が怒っているのか考えて、言葉にしてから理由を書いてね。
いまいちやめなきゃいけない理由がわからんのだ。マジで。
どんな実害を与えているのかな？わたしは。
削除依頼は出していいよ。

＞Jac
サンキュー。じゃあもうちっと先までたどり着けたら、
参加考えてくれ。
暇だったらアドバイスください。
あと質問も
代数幾何質問スレの機能もあった方がひとが集まるかもしれないし。

64をさらしあげ

任天堂６４

余計だったらスマン。

ここは代数幾何のスレであって、数論のスレでないことは
わかっているつもりです。しかし、皆さんが結構本気で「代数幾何」
を勉強しようとしているので、レスさせてください。
やっぱり（特にスキーム論による）代数幾何を習得するのは
しんどいです。きっかけ、というか、なんかこう、「わくわく感」
が無いときついんですよね。そこで読んでおくと幸せになれる
A.Weil:Number of solutions of equations in finite fields [1949b] in collected works
を熟読されることをお勧めしたいと思います。
10ページ程度の論文で、学部３年生程度の知識でも、背伸びをすれば
読んで感激することが出来ると思います。有名な「Weil予想」が
提出された論文で、平易な説明で書かれていて読みやすいです。
数学図書室にいって「Weil全集」に載っていますのでコピーすると
いいと思います。

うざかったらごめんなさい。みなさんが代数幾何の基礎を習得
出来るといいですね。では。

h^0(D)>=2, deg D=2 をみたす因子が二つ(D_1, D_2)あったとして、
それらの定める射 C\to P^1xP^1 を考えると、
D_1〜D_2 でなければ埋め込みになるでしょう。多分。
酔っ払ってるから自信無いけど。

ところで「どっか」ってどこですか ?

age

1です。名前つけました。名前があったほうがゼミっぽくなると思ったので。
わたしはゼミなるものをやったことはないのですが。
それと試しに丁寧語でかいてみます。
＞70
ありがとうございます。探してみます。うざくないです。また来てくださいね。

＞71
もしこんど71さんが書き込まれるときは、71という名前でも結構ですので
同一人物だとわかるように書いてくれませんか？
実力のある名無しでないひとがいると心強いのです。

引き続きゼミ形式の参加者を募集します。「可換環論」の方も。
ルールはひとが集まってから決めます。

ＪＭ

I（A＾ｎ）＝｛　｝
であることが使われている、
これを示す）
⊂を示せばいい。
ｎ＝1のときは、ｆ∈I（A＾ｎ）について
ｆの解がｎ個以下であることと、ｋが無限体であることからいえる。
以下ｎに関する帰納法。

って思ったけど、
Ｉ（Ｚ（ａ））＝ａの根基
からもわかる

http://www.math.washington.edu/~harrison/ALG/alg.html

にハ−ツホーンの本の練習問題の答えがある。

＞76
すばらしいです。

age

ＪＭ

Ｙ：＝｛（ｔ、ｔ＾2、ｔ＾3）｜ｔ∈ｋ｝⊂Ａ＾3
とおく
1）Ｉ（Ｙ）の生成元を求める
2）Ｙは一次元のアフィンヴァラエティであることを示す
3）ＹのアフィンコーディネートリングＡ（Ｙ）がｋ[ｘ]に同型であることを示す
示す）1）
Ｉ（Ｙ）＝（Ｙ−Ｘ＾2、Ｚ−Ｘ＾3）を示す。
⊃は解る。⊂は
ｆ∈Ｉ（Ｙ）について
ｆをＹの多項式とみて（Ｙ−Ｘ＾2）で割る
ｆ＝（Ｙ−Ｘ＾2）ｇ＋ｈ（Ｘ、Ｚ）
ｈをＺの多項式とみて（Ｚ−Ｘ＾3）で割る
ｆ＝（Ｙ−Ｘ＾2）ｇ＋（Ｚ−Ｘ＾3）ｉ＋ｊ（Ｘ）
これに（ｔ,ｔ＾２,ｔ＾３）を代入して0になることから
∀ｔ∈ｋ：ｊ（ｔ）＝0
>>74で言ったことからｊ＝0
よって示せた

ＪＭ

2）3）
Ｚ（Ｉ（Ｙ））＝Ｙであることを示す
⊃は解る。⊂は、
Ｐ＝（ａ、ｂ、ｃ）を左辺の任意の元とすると
（Ｙ−Ｘ＾2）Ｐ＝0よりｂ＝ａ＾2
同様にｃ＝ａ＾3で示せた。

ｋ[Ｘ、Ｙ、Ｚ]→ｋ[Ｘ]
ｆ（Ｘ、Ｙ、Ｚ）→ｆ（Ｘ、Ｘ＾2、Ｘ＾3）
の核がＩ（Ｙ）であることが1）と>>74でいった
無限体の上の多項式環と多項式関数が同一視できることから解る。
よってＡ（Ｙ）＝ｋ[Ｘ、Ｙ、Ｚ]／Ｉ（Ｙ）とｋ[Ｘ]は同型

Ａ（Ｙ）は整域、よってＩ（Ｙ）は素イデアル、よってＺは既約、
よってＺはアフィンヴァラエティ

＞78
ａｇｅさんもゼミ形式に参加しませんか？
あと、なるべく今度書き込むときはどのａｇｅさんかわかるように
してください。

ＪＭ

汚い解答だけど、計算問題だしまあいいか
Ｙ＝Ｚ（Ｘ＾2−ＹＺ、ＸＺ−Ｘ）⊂Ａ＾3について
1）Ｙを３つの既約成分の和で表す
2）それら既約成分に対応する素イデアルを求める

1）2）
ＸＺ−Ｘ＝0より（Ｘ＝0またはＺ＝1）
これとＸ＾2−ＹＺ＝0より
（Ｘ＝0、Ｙ＝0またはＸ＝0、Ｚ＝0または
Ｚ＝1、Ｙ＝Ｘ＾2）
よって
Ｙ＝Ｚ（Ｘ、Ｙ）∪Ｚ（Ｘ、Ｚ）∪Ｚ（Ｚ−１、Ｙ−Ｘ＾2）
よって（Ｘ、Ｙ）、（Ｘ、Ｚ）、（Ｚ−１、Ｙ−Ｘ＾2）
が素イデアルであることを示せばこれらが2）の答えで
上式が1）の答え。
Ｉ：＝（Ｚ−１、Ｙ−Ｘ＾2）についてだけ示す
ｆ、ｇがＩに含まれないとすると
ｆ＝（Ｚ−1）ｉ+（Ｙ−Ｘ＾2）ｊ+ｋ（ｘ）
ｋ（ｘ）は0でないｘのみの多項式とかける
ｇも同様。よってｆｇもＩに含まれない。

ＪＭ

Ｂ：ｋ代数
とする
∃Ｙ⊂Ａ＾3：Ａ（Ｙ）とＢが同型
⇔Ｂはｋ上有限生成で冪０元をもたない
を示す。（Ａ（Ｙ）はＹのアフィンコーディネートリング）
示す）
⇒）Ｂがｋ[Ｘ1、・・・、Ｘｎ]／Ｉ（Ｙ）と同型とする。
ｆ＾ｍ∈Ｉ（Ｙ）ならばｆ∈Ｉ（Ｙ）の根基＝Ｉ（Ｙ）
よって冪0元なし。
ｋ[Ｘ1、・・・、Ｘｎ]／Ｉ（Ｙ）はｋ上
1+Ｉ（Ｙ）、Ｘ1+Ｉ（Ｙ）、・・・、Ｘｎ+Ｉ（Ｙ）で生成される。
←）Ｂの生成元をａ1、・・・、ａｎとおく、
ｋ[Ｘ1、・・・、Ｘｎ]→Ｂ
ｆ（Ｘ1、・・・、Ｘｎ）→ｆ（ａ1、・・・、ａｎ）
の核をＩとおくと
Ｉの根基＝Ｉ
（∵ｆが左辺の元ならｆ＾ｍ∈Ｉ
ｆ＾ｍ（ａ1、・・・、ａｎ）＝0
ｆ（ａ1、・・・、ａｎ）＝0（Ｂに冪０元はないから）
ｆ∈Ｉ）
よって
Ｉ（Ｚ（Ｉ））＝Ｉの根基＝Ｉ
よって
Ｂはｋ[Ｘ1、・・・、Ｘｎ]／Ｉ＝ｋ[Ｘ1、・・・、Ｘｎ]／Ｉ（Ｚ（Ｉ））＝Ａ（Ｚ（Ｉ））
と同型

ＪＭ

Ｘ位相空間
Ｘがネター空間でハウスドルフ空間ならば
Ｘは有限、離散空間。
示す）
Ｘがネターでハウスドルフ
∴ＸはハウスドルフでＸの任意の部分空間はネター（ＥＸ1.7（ｃ）より）
∴ＸはハウスドルフでＸのに任意の部分空間はコンパクト（ＥＸ1.7（ｂ）より）
∴ＸはコンパクトでＸの任意の部分集合は閉（ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉より）
∴Ｘは有限かつ離散

揚げ

挙げ

age

TeX 使える掲示板があるといいな。
Java で書けるかなぁ。

あぼーん

age

89 の「投稿日」以降が太字な気がする

今日初めてこのスレッドを見ました．ずいぶん前の話ですが，もしよろしければレス
させてください．

＞genus2 のcurve C:y^2=x^5+1
＞(というか、P^2内のcurve Y^2Z^3=X^5+Z^5の正規化C~)について

＞(1) C~上の任意のdegree0のdivisor D のclass [D]は
＞　　[D]=[P+Q-2∞](P,Q∈C~、∞は無限遠点)と表され、
＞(2) さらに[P+Q-2∞]=[R+S-2∞](P,Q,R,S∈C~)なら
＞　「divisorの時点でP+Q=R+S」or「[P+Q-2∞]はtrivial class」

＞という記述がありました。(易しいことらしく、証明抜きで)

Cのcanonical divisor K_C=2∞(分岐被覆等の議論より出る)に注意．

(1)は |D+2∞|が空集合でないこと，つまりl(D+2∞)>0を示せばよい．
Riemann-Rochより　l(D+2∞)=l(-D)+1>0 だからよい．

(2)は 「|D+2∞|=1点」と「D=[P+Q-2∞]のP,Qがただ1通り」が同値であることに
気をつけると，「|D+2∞|=1点(すなわちl(D+2∞)=1) または Dがtrivial」を
示せばよいと分かる．(1)の証明と合わせると，「l(-D)>0 ならば Dはtrivial」
を言えばよい．
l(-D)>0より|-D|は空集合でない．よって-Dと線形同値なeffective divisor E
が存在する．deg E=deg(-D)=0であるからE=0(trivial)．従ってDもtrivial．

ご存知のこととは思いますが，Riemann-Rochは大変強力な定理であり，曲線の
因子についての定理はほとんど全てこれから出ます．以前の書き込みにあった
代数的な言い換えによって解くのは（不可能とはいえないまでも）あまり得策では
ないと思われます．

戻ったかな>91

</B>

>>92 さん
確かに Riemann-Roch 使った方がいいんでしょうけど、
71 の方針でも簡単ですよ。

71 で D_1〜D_2 でないと仮定して、
p_1, p_2 を D_1, D_2 によって定まる P^1 への写像としたとき
(p_1, p_2): C → P^1 x P^1 が埋め込みでないとすると
p_1^{-1}(P)=p_2^{-1}(Q)=2R となる P^1 の点 P, Q と
C の点 R が存在するので矛盾。
よって埋め込みとなるが、
P^1 x P^1 の bidegree (2, 2) の曲線は種数 1 なので矛盾。
よって h^0(D)=2, deg D=2 なる因子は 2∞ と線形同値なもののみ。

ちょっと古臭い方法だけど、
特殊線形系を詳しく調べる場合なんかに役に立つかも知れませんです。

...とここまで書いてから思ったんだけど
「代数的な言い換え」って 71 のことじゃなかったのかな。
まあ、ちょっと説明が足りなかったので補足ということで。

>93
いや、89 の「投稿日」以降、96 までずっと太字です。
96 の名前欄も文字化けしてます。

でも、このほうが読みやすかったりして。

>>92

Mumford,D. Tata Lectures on Theta II, Birkhauser(1984)
の最初のところの記述を見るべし。

95 の訂正。
× p_1^{-1}(P)=p_2^{-1}(Q)=2R
○ p_1^{-1}(P)=p_2^{-1}(Q)

あと、
>>99 さん
見ると何が起こるんですか ?

>95
まず，「代数的な言い換え」とは59,66にあるもののことです．言葉が足らず
申し訳ございませんでした．

さて，95の別証についてですが，D_1,D_2がP^1への射を定めるというのが
分かりません．|D_1|がfixed partを持たないことはどのようにして分かるの
でしょうか．（degreeを見るだけでは分からないのでは?）ご教示ください．

久しぶりに具体的な代数幾何の問題を考えたような気がする．こういうのも
新鮮でいいですね．

>>100

1) Hyperelliptic curveのAnalytic&AlgebraicなJacobianの記述が書いてあり、そこに上記の類いの話がある。(随分昔に読んだので全く同じstatementがあるかどうかは分からないが、あったような気がする。)

2) Periodの構造は基本的に曲線のRiemann-Rochだけでは捕まらないので、Riemann-Rochだけではcurveをしゃぶり尽くすことが不可能なことを知ることができる。

3) Hyperelliptic curveのJacobianを力技で記述するとたくさんの御利益があることが分かる。

はず。

>>101

共通零点があったらそれをD_1から引くと、degree 1の因子Dでh(D) = 2となるものがあって、これはC = P^1を意味すると思うが。

>>101
> 申し訳ございませんでした．
いえいえなにをおっしゃいますやら。
「|D_1| が fixed part を持たないこと」の証明は
ななしさんに先に書かれてしまったので略。

>>102 ななしさん
ありがとうございます。これで安心して眠れます。

>102
92の後半の記述は当然任意体上の代数曲線の取り扱いを意図してのものです．
複素数体上の代数曲線（ないし代数多様体）のHodge structureの重要性は
一応認識しているつもりですが，代数的な構成ができない（Galois表現と
いうことになるのだろうがよい分類空間を私は知らない）ため92の書き込みでは
全く念頭にありませんでした．
まあそれにしてもetale cohomology 等種々の道具があるわけで，curve及びそのJacobianが
Riemann-Rochで全て分かるというのは戯言であり批判されても仕方がないと思います．
ただ，言い訳がましいようですが，このスレッドがHartshorne(A.G.)についてのもの
であることから，その程度の知識のみを前提としていたこと，そして，体の問題として解く
ことの困難さを強調したかったことによる発言であるとご理解ください．

>102
気づかなかった私がアホでした．どうもありがとうございました．

>>92, 104, 105

いろいろと勘違いしていたようだ。すまぬ。

etaleなら少なくともweightはFrobeniousから来るのでは？p-進Hodgeではどうなっているのか誰か教えてくれないものだろうか？

常人が体の問題として解こうとすると、最終的には零点or極の構造の話になるのでそれはそれでいい練習ではないかと思う。

あぼーん

>>107
死ね、屑野郎が。

亜解

さげ

sage

さげ

さっぱり分からないスレッドだけど、あがってよし。
さげ。

このセミナーなんで1月で終わっちゃったの？
>>107が原因なの〜ん？

他人のせいじゃないだろ。単に１の熱が冷めただけ。

冷めてはいないが、一緒に読もうという人が一人も現れなかったので
ここで読み進めるのは止めた。

上の発言は1。