1 :
132人目の素数さん:
2のパイ乗とかの仕方がわかりません。
どうやって考えるんですか。
2 :
132人目の素数さん:2000/10/23(月) 15:11
2^π = 2^3 = 2*2*2 = 8
3 :
>2:2000/10/23(月) 15:54
「およそ」忘れてる
4 :
>2:2000/10/23(月) 16:12
πとかけば3.14...のことだから、ただしくは
2^(円周率)=2^(およそ3)=2^(およそ)*2^3=2^(およそ)*8
有理数の値をとり、πに収束する数列 {f(n)} を持ってきて、
2^f(n) の極限値が 2^πだな。
6 :
132人目の素数さん:2000/10/23(月) 17:15
何次の項まで計算すればよいのやら。
そもそも、2のパイ乗なんて数、何のために必要なの?>1
9 :
>6:2000/10/23(月) 17:33
「何次の項」って? どこかに「次数」って出てきた?
>9
級数展開して、ってことでしょ。
xの関数a^x (a>0)が有理数で定義されているとして、
無理数でどう定義されるかというと、5の要領。
実際に計算するなら、必要な精度でやればよろしい。
12 :
>10:2000/10/23(月) 20:43
何を級数展開するって?
13 :
132人目の素数さん :2000/10/24(火) 04:50
大学入試でe^πの評価が出題されたらしいね。
出題時の誘導の有無等、詳細は知らないんだけど。
ってなわけで1は
無理数乗の計算(評価)法を聞きたいんじゃないのかな?>8
(1) e^π<22 (やや甘い評価)
(2) e^π<23 (結構厳しい評価)
これは模範解答が出てしまっているので
π^eを評価せよと出題されたらどうするか考えてみる?
14 :
132人目の素数さん :2000/10/24(火) 04:53
とりあえず電卓での荒い評価。
(e^π)と(π^e)ってけっこう近い値なんですね。
(3.14159)^(2.71828)≒22.45905
(2.71828)^(3.14159)≒23.14058
(問) 22,23,(e^π),(π^e)の大小を比較せよ
こんなん触りたくもないぞ(^^;
東工大後期とかがやらせそうだ・・・・・
(e^π)と(π^e)の大小評価だけなら
即答問題レベルなんでしょうかね。
誤>(1) e^π<22 (やや甘い評価)
誤>(2) e^π<23 (結構厳しい評価)
正>(1) e^π>22 (やや甘い評価。これが出題されたらしい)
正>(2) e^π>23 (結構厳しい評価)
16 :
>13 :2000/10/24(火) 07:57
e^π>22 を示す問題は、99年東大で出題されています。
17 :
>14 :2000/10/24(火) 08:23
f(x)=(log x)/x とおくと、f'(x)=(1-log x)/(x^2)
より x>e で f'(x)<0
∴ f(e)>f(π)
⇔ 1/e>(logπ)/π
⇔ π>e・logπ
⇔ e^π>e^(e・logπ)
⇔ e^π>π^e
18 :
>14 :2000/10/24(火) 11:09
f(x)=x-elogx とおくと
f'(x)=1-e/x より f'(x)>0(x>e)
π>e なので π-elogπ=f(π)>f(e)=0
e^xは単調増加関数だから
e^π>e^(elogπ)=π^e
>>17-18
改行一個分足りなくて二重投稿になっとる。つーかコピペ嵐なんか。
20 :
19 :2000/10/24(火) 11:45
18は17を見る前に投稿したか
別解を示しただけだった。
勘違いもハナハダシイ。
鬱だ氏のう ・ ・ ・ ・ ・
>(問) 22,23,(e^π),(π^e)の大小を比較せよ
みんなこれに手を出さないのはつまらないから?
22 :
>21 :2000/10/24(火) 12:33
難しいから
23 :
132人目の素数さん :2000/10/24(火) 12:40
>21
2.71<e<2.72@` 3.14<π<3.15は使っていいの?
24 :
23 :2000/10/24(火) 12:43
それ使っても計算器なきゃ難しいか。
25 :
>16 :2000/10/24(火) 15:40
確か京大だろ
>25
東大でーす
1999年東大6番は、e^π>21 だな。
試験場ではこれでもむずい。
28 :
132人目の素数さん:2000/10/25(水) 07:43
一般に e^x>1+x ・・・(*)
∴ e^π>e^3.14=e^3・e^0.14
>e^3・(1+0.14) (∵(*))
>2.7^3・(1+0.14)=22.4・・・
29 :
132人目の素数さん:2000/10/25(水) 11:22
2.71^π=22.9… だから、e^π>23 を示すためには
少なくとも e>2.718 を使う必要があるな。
30 :
132人目の素数さん:2000/10/25(水) 13:58
x>0 にて log(1+x)>x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4 (証明略) に
x=0.155 を代入すると、log1.155>0.1440…
また、π/e>3.141/2.719>1.1552…
∴ logπ=1+log(π/e)>1+log1.155>1.144
∴ e・logπ>2.718・1.144=3.10…
∴ π^e=e^(e・logπ)>e^3.1=e^3・e^0.1
>e^3・(1+0.1) (∵ e^x>1+x)
>2.718^3・1.1=22.0…
31 :
28:2000/10/25(水) 17:29
(*) は x≠0 のときね。
32 :
132人目の素数さん:2000/10/26(木) 08:12
x>0 で e^x>1+x+x^2/2
∴ e^π>e^3.14=e^3・e^0.14
>2.718^3・(1+0.14+0.14^2/2)=23.08…
π^eの評価はどうすれば?
34 :
132人目の素数さん:2000/10/26(木) 12:48
高校ではあんまり不等式をやらないんじゃないのかな。
というわけでおまけ問題です。
e<3を示せ。
なお、大学生ならできて当然です。
35 :
>33:2000/10/26(木) 13:16
30はπ^eの評価では?
上からの評価は?
37 :
>34:2000/10/27(金) 07:26
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+ ... より
e=1+1+1/2+1/(3・2)+1/(4・3・2)+ ...
<1+1+1/2+1/2^2+1/2^3+ ...
=1+1/(1-1/2)=3
38 :
暴走:2000/10/27(金) 07:35
おまえら訳わからん記号ばっかり書くんじゃぁねぇ!
おとこは力だ!金だ!てぃむぽだ!
お前ら頭でっかちの宇宙人に見えるぜ!
39 :
132人目の素数さん:2000/10/27(金) 07:53
>e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+ ... より
これって高校レベルなんでしょうか?
40 :
>39:2000/10/27(金) 08:15
高校では e^x はどう定義してるの?
41 :
37:2000/10/27(金) 08:19
すまん、これしか思いつかない。
42 :
>40:2000/10/27(金) 11:03
高校では
e=lim{n->∞}(1+1/n)^n
じゃなかったっけ?
43 :
>42:2000/10/27(金) 11:46
そうなら2項定理を使って37と同様にできる。
44 :
30:
(π^e の上からの評価)
x>0 にて log(1+x)<x-x^2/2+x^3/3 (証明略) に、
x=0.156 を代入すると、log1.156<0.145...
∴ logπ=1+log(π/e)<1+log(3.142/2.718)=1+log(1.155...)<1.15
∴ e・logπ<2.72・1.15=3.128
∴ π^e=e^(e・logπ)<e^3.13
一方、0<x<2 にて e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+ ...
<1+x+x^2/2+x^3/2^2+ ...
=1+x/(1-x/2)=1+2x/(2-x) に、
x=0.13 を代入すると、e^0.13<1.139...
∴ π^e<e^3.13=e^3・e^0.13<2.72^3・1.14=22.9...<23