指数関数

２のパイ乗とかの仕方がわかりません。

どうやって考えるんですか。

2^π = 2^3 = 2*2*2 = 8

「およそ」忘れてる

πとかけば3.14...のことだから、ただしくは
2^(円周率）=2^(およそ３）=2^(およそ）*2^3=2^(およそ）*8

有理数の値をとり、πに収束する数列 {f(n)} を持ってきて、
2^f(n) の極限値が 2^πだな。

何次の項まで計算すればよいのやら。

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　 Λ＿Λ 　　|　 「〜教えて」と突発的な質問でスレッド建てても、
　（　´∀｀）＜　すぐ下がって放置されたり、荒らされちゃうよ。
　（ ΛΛ つ ＞――――――――――――――――――――
　　( ﾟДﾟ) ＜　以下のスレッドに書き込むのをお勧めする。
　　/つつ　　|　住人は暇なとき、ここをチェックしているぞ。
　　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_

『◆ わからない問題はここに書いてね ◆』（さくらスレ）
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=970795775
『くだらねぇ問題はここへ書け』（くだらんスレ）
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　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 Λ＿Λ 　 　|　もしかしたら同じ質問が既にあるかも知れないよ。
　（　・∀・） ＜　一通り目を通してから書き込んだほうがいいね。
　（　　　　つ　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

そもそも、２のパイ乗なんて数、何のために必要なの？＞１

「何次の項」って？　どこかに「次数」って出てきた？

＞９
級数展開して、ってことでしょ。

xの関数a^x (a>0)が有理数で定義されているとして、
無理数でどう定義されるかというと、5の要領。
実際に計算するなら、必要な精度でやればよろしい。

何を級数展開するって？

大学入試でe^πの評価が出題されたらしいね。
出題時の誘導の有無等、詳細は知らないんだけど。

ってなわけで1は
無理数乗の計算（評価）法を聞きたいんじゃないのかな？＞8


(1)　e^π＜22　（やや甘い評価）
(2)　e^π＜23　（結構厳しい評価）

これは模範解答が出てしまっているので
π^eを評価せよと出題されたらどうするか考えてみる？

とりあえず電卓での荒い評価。
(e^π)と(π^e)ってけっこう近い値なんですね。

(3.14159)^(2.71828)≒22.45905
(2.71828)^(3.14159)≒23.14058


（問）　22，23，(e^π)，(π^e)の大小を比較せよ

こんなん触りたくもないぞ（＾＾；
東工大後期とかがやらせそうだ・・・・・

(e^π)と(π^e)の大小評価だけなら
即答問題レベルなんでしょうかね。

誤＞(1)　e^π＜22　（やや甘い評価）
誤＞(2)　e^π＜23　（結構厳しい評価）


正＞(1)　e^π＞22　（やや甘い評価。これが出題されたらしい）
正＞(2)　e^π＞23　（結構厳しい評価）

e^π＞22 を示す問題は、99年東大で出題されています。

f(x)=(log x)/x とおくと、f'(x)=(1-log x)/(x^2)
より x>e で f'(x)<0
∴ f(e)>f(π)
⇔ 1/e>(logπ)/π
⇔ π>e・logπ
⇔ e^π>e^(e・logπ)
⇔ e^π>π^e

f(x)=x-elogx とおくと
f'(x)=1-e/x より f'(x)>0(x>e)
π>e なので π-elogπ=f(π)>f(e)=0
e^xは単調増加関数だから
e^π>e^(elogπ)=π^e

>>17-18
改行一個分足りなくて二重投稿になっとる。つーかコピペ嵐なんか。

18は17を見る前に投稿したか
別解を示しただけだった。

勘違いもハナハダシイ。
鬱だ氏のう　・　・　・　・　・

＞（問）　22，23，(e^π)，(π^e)の大小を比較せよ

みんなこれに手を出さないのはつまらないから？

難しいから

>21
2.71<e<2.72＠｀ 3.14<π<3.15は使っていいの？

それ使っても計算器なきゃ難しいか。

確か京大だろ

＞２５
東大でーす

1999年東大6番は、e^π>21 だな。
試験場ではこれでもむずい。

一般に e^x＞1+x ・・・(*)
∴　e^π＞e^3.14＝e^3・e^0.14
　＞e^3・(1+0.14)　(∵(*))
　＞2.7^3・(1+0.14)＝22.4・・・

2.71^π=22.9…　だから、e^π>23 を示すためには
少なくとも e>2.718 を使う必要があるな。

x>0 にて log(1+x)>x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4　(証明略)　に
x=0.155 を代入すると、log1.155>0.1440…
また、π/e>3.141/2.719>1.1552…
∴　logπ=1+log(π/e)>1+log1.155>1.144
∴　e・logπ>2.718・1.144=3.10…
∴　π^e=e^(e・logπ)>e^3.1=e^3・e^0.1
　>e^3・(1+0.1)　（∵　e^x>1+x)
　>2.718^3・1.1=22.0…

(*) は x≠0 のときね。

x>0 で e^x>1+x+x^2/2
∴　e^π>e^3.14=e^3・e^0.14
　>2.718^3・(1+0.14+0.14^2/2)=23.08…

π^eの評価はどうすれば？

高校ではあんまり不等式をやらないんじゃないのかな。
というわけでおまけ問題です。
e<3を示せ。
なお、大学生ならできて当然です。

30はπ^eの評価では？

上からの評価は？

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+ ... より
e=1+1+1/2+1/(3・2)+1/(4・3・2)+ ...
<1+1+1/2+1/2^2+1/2^3+ ...
=1+1/(1-1/2)=3

おまえら訳わからん記号ばっかり書くんじゃぁねぇ！
おとこは力だ！金だ!てぃむぽだ!
お前ら頭でっかちの宇宙人に見えるぜ!

＞e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+ ... より
これって高校レベルなんでしょうか？

高校では e^x はどう定義してるの？

すまん、これしか思いつかない。

高校では
e=lim{n->∞}(1+1/n)^n
じゃなかったっけ？

そうなら2項定理を使って37と同様にできる。

（π^e の上からの評価）
x＞0 にて log(1+x)＜x-x^2/2+x^3/3　（証明略）　に、
x＝0.156 を代入すると、log1.156＜0.145...
∴　logπ＝1+log(π/e)＜1+log(3.142/2.718)＝1+log(1.155...)＜1.15
∴　e・logπ＜2.72・1.15＝3.128
∴　π^e＝e^(e・logπ)＜e^3.13
一方、0<x<2 にて e^x＝1+x+x^2/2!+x^3/3!+ ...
　＜1+x+x^2/2+x^3/2^2+ ...
　＝1+x/(1-x/2)=1+2x/(2-x)　に、
x＝0.13 を代入すると、e^0.13＜1.139...
∴　π^e＜e^3.13＝e^3・e^0.13＜2.72^3・1.14＝22.9...＜23