線型代数に関する話題はこちら

線形代数
線型代数
どちらでもOK。お気軽にどうぞ〜

>>3以下は2が移した転載です。

頭をひねって考えてみたのですが、まだよく分かりません。
この本を持っておられない方にも何か書いてもらえるように、内容を書いておきます。
「任意の(m,n)型行列は、基本変形を何回か施すことによって、
標準形（左上から右下に向かって１が並んでるやつ）に変形できる」の証明です。

１列目はできた。２列目もできた。だから３列目以降もずっとできるはず。
みたいなニュアンスなんでしょうか？
どこが帰納法の仮定で、どこがスタートなのか、分からないです。
帰納法ってのは(m,n)型のとき可能なら、(m+1,n)型と(m,n+1)型のときも可能である。
そして、(1,1)型のとき、可能である。
みたいにして、やるのではないのでしょうか？
どなたか、お願いします・・・。

ついでに質問します。
同じ齋藤正彦「線型代数入門」なのですが、
正方行列の対称区分けのところ(p42-43)で、
p42の一番下の
「Aが正則であるためには、A_1,A_2,…,A_pがすべて正則で
あることが必要かつ充分な条件である。」
ってとこに、何の証明も何の説明もないのですが、
これは自分で証明してみろということなんでしょうか？
p43の真ん中あたりの
「二つの対角行列はたがいに交換可能である。」
「対角行列Aが正則なためには、a_i≠0(i=1,2,…,n)が必要かつ充分な条件である。」
ってとこも、何の説明もないのですが、
これって明らかなことなんですか？
それとも自分で証明を試みるべきなんですか？
それとも、気にせず読み進めれば、そのうち分かる、という類のことなんですか？

どなたか、助言をお願いします。

他にもいっぱい分からないところがあるのですが、
もう少し自分で考えてみて、どうしても意味不明なところだけ質問するようにします。

で、>>4で書いた質問で、
「〜が正則であるための必要充分条件」として、
p52に
「n次正方行列Aが正則であるためには、
その階数がnに等しいことが必要かつ充分な条件である。」
っていうのがあるんですけど、要するにこれが理解できればいいんですよね。。。
これの証明が理解できないんです・・・。
もう少し考えてみようと思いますが、
何かアドバイスがあれば、お願いします。m(__)m
たくさん書いて失礼しました。

＞「Aが正則であるためには、A_1,A_2,…,A_pがすべて正則で
＞あることが必要かつ充分な条件である。」
必要性は明らか（p.43 の２行目の形になる）。十分性はp.42[2.2]
の「逆にAが正則ならば、A_11,A_22も正則である」を使う。
＞「二つの対角行列はたがいに交換可能である。」
自明。わからなければ直接成分の計算をすること。
＞「対角行列Aが正則なためには、a_i≠0(i=1,2,…,n)が必要かつ充分な条件である。」
1次行列(a)が正則⇔a≠0 と最初の「Aが正則であるためには、
A_1,A_2,…,A_pがすべて正則であることが必要かつ充分な条件である。」
を使う。

一般論がピンとこなければ、２×２行列あたりで証明を試みては？

>これって明らかなことなんですか？
>それとも自分で証明を試みるべきなんですか？
仮に明らかと書いてあったとしても、その証明の概略が
すぐ頭に浮かばなければ、証明は試みるべきだよ。

>「対角行列Aが正則なためには、a_i≠0(i=1,2,…,n)が必要かつ充分な条件である。」
a_i≠0ならb_i=1/a_iとして逆行列を作れる。
逆は逆行列の一意性(P41)からいえる。

他のもそんなに難しくない。
つーか、証明自体はやろうと思えばできるんだよね？

おまけ・・・正則や階数、部分空間などは本によって定義が違う
ので他の本を調べる時は気を付けましょう。

転載終了です。
強制ではありませんが以後こちらで展開してもらえれば幸い。
線型代数初心者と線型代数マニアの為に。

便乗質問させて下さい。松坂和夫｢線型代数入門」からです。

A=(a_ij)をｎ次の正方行列とし、またσを{1,2,･･･,n}の１つの置換とする。

b_ij = a_σ(i)σ(j)とおき、b_ijを(i,j)成分とする行列をＢとすれば、

det B = det A であることを証明せよ。

小学生にもわかるようになどとは申しません。
証明の方針だけでも御教示願いますです。

＞b_ij = a_σ(i)σ(j)とおき、b_ijを(i,j)成分

は

＞b_ij = a_σ( i)σ( j)とおき、b_ijを(i, j)成分

です。

>>10
方針：行列式の定義をもう100回くらい読む、問題文をちゃんと理解する。
当然、n=1,2,3ぐらいは実験したんだろうな？

ここに上がってる質問って、もう末期ガンのような感じだよね
終わってる・・・（絶句

こんな質問する前に少なくとも１週間くらい本と向き合って考えをつめて
みるべきですね

＞頭をひねって考えてみたのですが、まだよく分かりません。

考えたというあたりがかなり嘘くさいですね

言いたいことは山程あるが黙っておくじょ。

数学天才のあなた達なら皆まで言わずとも
　わ　・　か　・　る　・　よ　・　な？

>>15
で、何を言いたいわけ？
13も14も親切にヒントを教えてくれている人でしょ。

>>15
オカリー発見！！！

ここもあいかわらずだな。
質問者達、がんばれよ〜

「オカリー」って何ですか？

なんだこのオカリーどもの会話は

解けました。何て簡単な問題を質問してしまったんだ！

恥ずかしいです。

>>12
>方針：行列式の定義をもう100回くらい読む

定義？
君、本当にわかってる？

＞13 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2000/10/16(月) 06:32
＞
＞ここに上がってる質問って、もう末期ガンのような感じだよね
＞終わってる・・・（絶句


これで叱咤激励のつもりなの？嫌味を言いたいだけ？
一生絶句したまま末期ガン患え、とでも言いたくなる。逝ｯﾃﾙｹﾄﾞﾅ

１２には是非、定義を利用する解法を示してもらいたいものだ。

>>22, 24
そだね、すまぬ。
鬱だ、逝こう。

>>10,>>21
もう出来ちゃったみたいだけど、「定義を利用する解法」の方針。

A=(a_(i,j))をn次の正方行列とし、sを{1,2,･･･,n}の１つの置換とする。
【１】a_(s(i),j)を(i,j)成分とする行列の行列式は sign(s)det(A) である。
【２】a_(i,s(j))を(i,j)成分とする行列の行列式は sign(s)det(A) である。

…っていうのは行列式の定義：
det(X) := Σ_{t} sign(t)x_(1,t(1)) ...x_(n,t(n))
（= Σ_{t} sign(t)x_(t(1),1) ...x_(t(n),n)）
からわかる。あとは略。

>>26
>…っていうのは行列式の定義：

オカリーですか？

オカリーは数学板のみのスラングとして承認サレマシタ。

det(a_σ(1),a_σ(2),･･･a_σ(n))=sgn(σ)det(a_1,･･･a_n)
(a_iはＡの列ベクトル）

はdetやsgnの性質から導けるから定義じゃないよ＞２６

>>29

>>26が定義といってるのはその下の

>det(X) := Σ_{t} sign(t)x_(1,t(1)) ...x_(n,t(n))

のことではないの？

＞数学天才のあなた達なら皆まで言わずとも

10のように、分かった瞬間に恥じ入るようなレベルの質問だ
天才でなくてもスルリとわかるレベルのね

>>31
質問とズレてるよ。

これ以下

煽りにレスするのはやめましょう。

線形代数のお話をしましょう。

１に「お気軽にどうぞ」って書いてあるから基本的なことを
きいても１さんは怒らないでしょう。

>>29
既に >>30 の人が言っている通り、>>26 では
det(X) := Σ_{t} sign(t)x_(1,t(1)) ...x_(n,t(n))
を行列式の定義としてます。よく使われる定義ですわ。
松坂「線型代数入門」がどういう定義で話をしてるか
確認したほうがよかったんだろうけど、１０のひとは
もう解決しちゃったようなので、おしまい。

>>27
それを連呼してる奴がいるみたいだな。ハヤらせたいの？
残念だが、わたしゃそういうセンスにはついていけん。

>松坂「線型代数入門」がどういう定義で話をしてるか
>確認したほうがよかったんだろうけど、
34さんの御推察の通り松坂線代では、Artinのやり方をもとに、
通常は行列式の特徴とされる多重線型性、交代性、単位性で
行列式写像を定義し、その後各次元での行列式の存在と一意性を
示すというかたちで話が展開されます。
(注１．交代性も普通とはちょっと違う定義です。
注２．単位性というのはdet(E)=1のこと。
長岡亮介氏（放送大学）の造語？）

松坂線代は説明も詳しく面白いので是非読んで頂きたい本なのですが、
定義が一般的でない部分が多々あり、これ一冊で線型代数を済ませる
のはやめといたほうがいいでしょう。
一冊だけで済ませたいのならやはり斎藤線代のほうがいいと思います。

佐武一郎
線型代数学　消火帽
も忘れないでね。

やっぱ行列理論での最終ゴールは、ジョルダン標準形ですかね

ジョルダンブロックってなんだったっけ？

線形代数の「線形」ってのはどの辺が線形なんでしょうか。

＞３９
教科書に載ってるのでは？

１の方、わざわざスレを立ててもらってありがとうございます。
実を言うと、線型代数以外にも質問したいことがあるのですが、
「大学で数学を勉強中の学生の質問はこちら！」とかいうスレを立ててもいいでしょうかね？
（下手に立てると風紀委員の方に叩かれそうなので、立てる前に聞いてみます。）
さくらスレとかくだらねぇ問題スレとかは、
高校の内容とか、パズル的な問題が多くて、
大学の教科書の内容に関して質問するのは場違いに思えるので・・・。

で、質問した件ですが、回答していただいた方、ありがとうございました。
それも参考にして、色々考えてみたのですが、
回答していただいた方が書かれていることは、理解できました。
質問の内容も、ほぼ解決されました。

で、１つ疑問が生じたのですが、
「〜が正則であるためには…が必要充分である」とあった場合に、
「〜」の逆行列として、実際にこんなものがある、という例を示すことができて、
その逆行列が「…」をみたしているなら、「…」は充分条件と言えるのでしょうか？
そうすると、逆行列は存在するなら１つのはずということで、
「…」が必要でもあると言えるのでしょうか？
どうも斎藤「線型代数入門」で生じた（上にコピペしていただいた）疑問の箇所というのは、
全部この理屈で議論してるように思えるのですが・・・。
また何か助言をお願いします。

あと、自分では理解したつもりで、確認したいことがあるので、
それも書かせてください。

p49の14行目
(Q^(-1)XP^(-1))(PAQ)=Eであるから、
と唐突に書かれているのですが、
これは、証明したい命題が
「n次正方行列Aに対し、XA=Eとなるn次行列Xが存在すれば、Aは正則である。」ということだから、
とりあえず前提としてXA=Eは成り立つとして、（というか、そのようなXを用いて）
その上で帰納法の仮定((n-1)次の時命題が真）を行って、
その時、Aが正則と言えるかどうかを調べている。
ってことで間違ってないでしょうか？

あと一番最初に質問したp51の2行目に関してですが、
もし1行手前まで掃出しが完了して、
(m-1,n-1)型の標準形ができたとしたら、
m行目とn列目にいくら数字が残っていても、
(m,1)成分は(1,1)成分を使えば、0にできる。
(m,2)成分は(2,2)成分を使えば、0にできる。
・・・
というようにして、m行目も、左から順に0にしていくことができるはずで、
最終的にn列目だけ数字を残して、
あとは(m,n)成分を割り算して1にしたあとで、
これを使ってn列目の成分を上から順に0にしていけるはず。
だから、要するに「1歩手前までできていれば、次もできるはず」ってことで、
1行目と1列目に関しては必ず掃出しできるから、
結局いつでもできる。
っていう風に思ったのですが、どうでしょうか？
何かおかしいところがあれば、指摘してください。

もう1つだけ書かせてください。
p52[4.3]の証明で、
PAQも正則であるから、r=nでなければならない。
と唐突に書かれているのですが、
この部分は
「Aが正則なら、それに正則行列をいくらかけても正則である」という事実と、
「PAQは標準形、すなわち対角行列だから、p43[2.4]により、
対角成分はすべて≠0でなければならない」という事実から、
出てくることですよね？
つまりは、p43[2.4]を使えば、任意のn次正方行列Aが正則であるための必要条件を、
（標準形に変形することで）その階数によって規定することができる。
ということですよね？
おかしなところがあれば、教えてください。
またよろしくお願いします。

>>45で書いたことに関してですが、
p43[2.4]を使っているとすれば、
p52[4.3]の「正方行列」という条件は欠かせないですよね？

また1つ思い出したので、書きます。
>>45で書いた、
「Aが正則なら、それに正則行列をいくらかけても正則である」
という事実は、p41[2.1]に書かれていて、
しかも「証明はどちらもやさしい」と必殺の言葉が書いてあるのですが、
これに関しても>>42で書いた理屈から出していいんでしょうか？
つまりABに対してB^(-1)A^(-1)を左右どちらからかけても、
ABはEになる、すなわちABの逆行列が実際に存在するから、
ABは正則なのだ。
という議論で間違ってないんでしょうか？

内積（ａ、ｂ）を計算するとき、先に書いてあるほうのベクトル（ａ）
は成分を共役複素数に変えて計算するようになってますが、なぜでしょうか？

岩波理工系の基礎数学『線形代数』をやってます。
とても抽象的で、これがどういう風に応用されるのか？というのはまだ掴めないけど、
なぜかこれ自体でとても面白いです。思いがけずハマってます。

＞４１
別にさくらスレやくだらんスレで聞いてもいいんじゃないの？
厨房数学〜大学教養＋α レベルぐらいなら他の人も聞いているようだし
ただ解けもせず、やたら専門用語ばかり並べる奴は嫌われるけど

ということで、とりあえず４８をさくらスレにもコピペしておいたぞ

問題解決への誘導ありがとさんですです。

このスレを立てた最たる理由は
「類題検索の利便性追求＝同種の話題をひとまとめに」ですです。

さくらスレには即答してくださる住人が多数居て心強いのも確かですが
”さくらスレで既出だから探して読んで”と言うには膨大な量になっています。質問と解答が。
また質問内容のジャンル分けが成されていないのもネガティブな面の一つです。

もし線型代数の問答が他のスレで話題になっていたら
ここへコピペしてもらえるとデータベースとして有効利用できるはずですです。

線型代数関連に限りませんが
旧鯖の過去スレは情報が貯まって有効でしたので。

>「〜が正則であるためには…が必要充分である」とあった場合に、
>「〜」の逆行列として、実際にこんなものがある、という例を示すことができて、
>その逆行列が「…」をみたしているなら、「…」は充分条件と言えるのでしょうか？

その論理は変。
つーか、、、
「…」という条件が満たされていれば実際にこんなものがある
ということが言えれば「…」は十分条件。
どこで42の論理が使われているのか具体的に挙げてみて。

>>42
何をききたいのかよくわからないニダ。
>>43
それでいいニダ。
>>44
>(m,1)成分は(1,1)成分を使えば、0にできる。
>(m,2)成分は(2,2)成分を使えば、0にできる。
r-1次まではすでに掃き出し完了しているニダ。だから(m､2)成分とかは既に０だニダ。
ここでは、要するに
（１）＊の部分に０以外の成分がなければ操作完了するニダ。
（２）0以外のものがあれば、その成分を“r−1次の部分を変えないで”“基本操作だけで”
(r､r)成分の位置にまで持って来ることができ、それでｒ行およびｒ列を掃き出す
ことができるニダ。
（３）（２）の操作は＊に０以外の成分がある限り同様の仕方で続けられるニダ。

つーことニダ。

>>45
Ｐ４１問３を使っても導けそうな気がするニダ。

>>46
正則の定義に正方行列であることが含まれているニダ。

おまけ

基底変換を知っていると、掃き出し操作はずっと理解しやすくなるニダ。

＞５０
だふもありがたふ。

線形代数の問題なのですがあまり得意じゃなく良くわからない為
参考に模範解答を教えて頂きたいと思います。
模範解答を元に自分でも色々考えてみるつもりです。

ベクトルa1,a2,b,cについて　　　c∈/<a1,a2>, c∈<a1,a2,b>
が成り立つとする。次を示せ
１　b∈/<a1,a2>　２　b∈<a1,a2,c>　３　<a1,a2,b>=<a1,a2,c>

以上です。途中∈/と書いている部分が有りますが
これは∈版の≠みたいな物とお考えください。
記号を変換しても出てこなかったのでこうしました。
ちなみに簡単なヒントとして

１　b∈<a1,a2>と仮定して矛盾を導け
２　cをa1　a2　b　の一次結合に表して考えよ
３　<a1,a2,b>⊆<a1,a2,c>　と　<a1,a2,c>⊆<a1,a2,b>を示せ

というのが与えられています。
どうかよろしくお願い致します。

以下の x, y, l, m, n, i, j, k はスカラーとする

1) 背理法による。b∈<a1,a2> と仮定すると
　　　b = x*a1 + y*a2
と表される。一方、第2条件より
　　　<a1,a2,b>∋ c = l*a1 + m*a2 + n*b
と書けるから、結局
　　　c = l*a1 + m*a2 +n(x*a1 +y*a2)
　　　　= (l+x)*a1 + (m+y)*a2 ∈<a1,a2>
となって、第1条件に矛盾する。

2)　 c = l*a1 + m*a2 + n*b
を変形して、
　　　b = (-l/n)*a1 + (-m/n)*a2 +(1/n)*c∈<a1,a2,c>
　　　(注 ： n=0 は第1条件に矛盾するので n≠0 )

3) <a1,a2,c>∋d = i*a1+j*a2+k*c に対し、
　　　d = i*a1 + j*a2 +k(l*a1 + m*a2 + n*b)
　　　　= (i + kl)*a1 + (j + km)*a2 + kn*b ∈<a1,a2,b>
　∴ <a1,a2,c)⊆<a1,a2,b>
b, c の対称性により、逆の包含関係も成り立ち
　　　<a1,a2,b> = <a1,a2,c>

# こんな感じでいいですか？

xi,yiはスカラ−だよーん。
１．b∈<a1,a2>とするとb=x1a1+x2a2と表わせる。
またc∈<a1,a2,b> だからc=y1a1+y2a2+y3bとも表わせる。
ゆえにc=(y3x1+y1)a1+(y3x2+y2)a2となりc∈/<a1,a2>に矛盾。
２．c∈<a1,a2,b> だからc=y1a1+y2a2+y3bと表わせる。
この時y3=0とするとc=y1a1+y2a2となりc∈/<a1,a2>に矛盾。
ゆえにy3≠0となりb=(1/y3)c-(y1/y3)a1-(y2/y3)a1となるから
b∈<a1,a2,c>
３．<a1,a2,b>の任意の元はa1,a2,bの一次結合であり、問２により
ｂはa1,a2,cの一次結合

途中で送っちゃったよ。
しかもtrさんとダブってる。
・・・氏煮たい

気にしなーい♪ > 61さん

>　　　　= (l+x)*a1 + (m+y)*a2 ∈<a1,a2>
これは
>　　　　= (l+nx)*a1 + (m+ny)*a2 ∈<a1,a2>
ですね（笑）

>trさん、61さん
こんばんは。お二人とも本当にありがとうございます。
大変助かりました。
今から教えて頂いた解答を元に自分の力でも答えを
導き出せるように頑張ってみます。
本当にありがとうございました。

が〜ん ��(￣□￣； またミスが！
ご指摘ありがとうございます。^^ > 61さん

ミスを修正しつつ解読がんばってね > 58さん

授業で配布されたプリントの問題なのですが、よくわからず、
答もなく困っております。

R^4の部分空間UとWが次のように定義されるとき、U,W,U∩Wの次元と
基底を求めよ。
U={(a,b,c,d)|b+c+d=0} W={(a,b,c,d)|a+b=0,c=2d}

という問題なのですが、どなたか宜しくお願いします。

a,b,cを決めればdは決まる
dim U = 3

b,dを決めればa,cは決まる
dim W = 2

dを決めればa,b,cが決まる
dim(U∩W)=1

Ｕの次元は３。条件式が１個だから、Ｒ＾４の次元から１引いて３。
基底は条件式満たすベクトルで、１次独立なものを適当に。例えば
（１，０，０，０）
（０，１，０，−１）
（０，０，１，−１）

Ｗの次元は２。条件式が２個あるから４−２＝２。
基底は例えば、
（１，−１，０，０）
（０，０，２，１）

Ｕ∩Ｗの次元は１。基底は
ｂ＋ｃ＋ｄ＝０，ａ＋ｂ＝０，ｃ＝２ｄ
を解いて、えーと、ちょっと待ってね、
（３，−３，２，１）

(1 0 0 0),(0 1 -1 0),(0 1 0 -1)

(1 -1 0 0),(0 0 2 1)

(3 -3 2 1)

またダブった、
・・・氏煮鯛（２回目）

68さん、70さん、大変助かりました。
本当にありがとうございました。

＞６６
伊藤先生の問題みたい・・・・

>行列
>1 名前：１３２人目の素数さん投稿日：2000/10/26(木) 15:12
>ABが単位行列だとＢＡも単位行列になるらしい。
>証明をお願いします。

上記問題文の不備を補ってみましょう。

＞７３
Ａ（Ｂ）は正則な行列。だめ？

そこまで言わなくてもＡまたはＢは正方行列でいいのでは？（未確認）
（あと正則の定義が何なのかも本によって違うし）
まあ何を既知とするかにもよると思うが・・・

すいません、自分はまだ高校生で未熟者なんですが行列についてお聞きしたい事があります。
それは、行ベクトルと列ベクトルについてなんです。（数Ｃの教科書には載ってなくて・・・。しかも高２なんで空間ベクトルは未習です。）
例えば３行目と４列目の交点に当たるところの成分を（４，９）
とします。この場合（４，９）はべくとるのせいぶんとみなしていいんですか？

もし、そのように考えるとすると、行ベクトルはｘ軸方向のベクトルを表す事になって列ベクトルはｙ軸方向のベクトルをあらわすことになると思うんですが・・。
やっぱり、私の説明は意味不明でしょうか・・・・？（＾＾；）

あ、ついでに加えると教科書に載っていないのは行ベクトルと列ベクトルについても詳細です。

質問のご返答どうかよろしくお願い致します。

>例えば３行目と４列目の交点に当たるところの成分を（４，９）
>とします。この場合（４，９）はべくとるのせいぶんとみなしていいんですか？
???

>やっぱり、私の説明は意味不明でしょうか・・・・？
はい。

>例えば３行目と４列目の交点に当たるところの成分を（４，９）
>とします。
（４，９）って何だ？
−４．９っていう意味？

>あ、ついでに加えると教科書に載っていないのは行ベクトルと列ベクトルについても詳細です。


日本語になってねーぞ。

>（４，９）って何だ？
今井の実数？

お返事ありがとうございました。今までわけのわからないことを聞いて申し訳ありませんでした。（行列の積に着いて聞いた者です。）

質問の内容を変えるのでどうかもう一度お返事お願いします。
それで、質問の内容は行列AとBがあるとします。このAの成分ai2（aが大きくi2が小さく書けません。悪しからず・・・）あるとします。
これは行列Bの成分ｂ2kとしか掛けれませんよね？

是非その理由が知りたいです。
どうか、ご返答よろしくお願いします。

＞８３
あんまり今はそこにこだわらない方がいいと思うよ。
A=A[i,j], B=B[i,j], C=C[i,j], C=ABとすると、
C[i,j]=Σ[k]A[i,k]*B[k,j]=A[i,1]*B[1,j]+A[i,2]*B[2,j]+A[i,3]*B[3,j]+.....

>質問の内容を変えるのでどうかもう一度お返事お願いします。
いや、元の質問の正しい和訳をしてくれれば問題ないはず。

>質問の内容は行列AとBがあるとします。このAの成分ai2
>（aが大きくi2が小さく書けません。悪しからず・・・）あ
>るとします。
>これは行列Bの成分ｂ2kとしか掛けれませんよね？
>是非その理由が知りたいです。
行列の積の定義だから。
なんでそんな定義なのか、ってのは、行列と線形写像、行列の
掛け算と写像の合成、をそれぞれ同一視するとそうなるから。
ちなみに、成分はa(i,j)とか書いた方が見やすいかな。

高校数学から1次変換を削除した弊害の典型例だね。
行列やって1次変換やらんっちゅーのは本当に片手落ち。

行列には和・積の演算が定義されているが、
これは実数の和・積の演算とは異なる性質をもつ。
行列Ａ、Ｂに対し、
一般には、ＡＢ≠ＢＡ　である。（積について交換法則がなりたたない）
ＡＢ＝０　だからといって、Ａ＝０またはＢ＝０とは必ずしもいえない。

こういう性質をキミは“気色悪い”と思うかもしれない。
だが、一般に集合Ｖが与えられ、
その集合上で「和」や「積」と呼称される二項演算が与えられたとき、
その演算がどのような性質を持つかは、定義次第としか言いようがない。

キミは、実数の和・積にあまりにも慣れすぎている。
実数には実数の和・積があり、行列には行列の和・積がある。
これらは、別々のものだ。
ただ、「全く違う性質を持つ」と言うほどのことはなくて、
「ある面においては同じ性質を持つ」とは言える。

自然数や実数なら、実生活においてそれに対応したものを見つけられるだろう。
モノの個数や、長さ・面積・体積など・・・。和・積を視覚的に考えることもできる。
ベクトルに対応するものは、平面や空間上の矢印だろう。ベクトルの和は、矢印の合成だ。
では、行列に対応するものは何か？
高校数学では教えてくれないかもしれないが、行列に対応するものは確かに存在する。
行列は、記号遊びの産物では決してない。

これどこからコピペしてきたの？

731 名前：行列について質問です。投稿日：2000/11/11(土) 15:20
固有値、固有ベクトルを使った解法で、
行列Ａ＝
┌　a　b　┐
└　c　d ┘
の固有方程式の解が重解になった時、
A^(n)の値はどうやって求めたらいいのですか？

普通にやろうとすると行列Ｐの逆行列が存在しなくなって
解けないのですが。
本屋でどの参考書を調べてもなくて困ってます。

733 名前：>731投稿日：2000/11/11(土) 16:30
A^n=((A-aE)+aE)^n=n{a^(n-1)}(A-aE)+a^nE (a:固有値)

(A-aE)^2=Oを使っています。736 名前：１３２人目の素数さん投稿日：2000/11/11(土) 17:25
>>731
じょるだんひょうじゅんけい。737 名前：731投稿日：2000/11/11(土) 17:44
>>733 >>736
すいません。
一生懸命考えたのですがどうしても理解できません。
私はまだ高２なのですが、数Ｃの範囲で解ける問題なのですか？

もう少しレベルの低い所から教えていただけたら幸いです。

>>90↑いくつか改行が無効になってる。なぜ？
>>92↓やり直し

733 名前：>731投稿日：2000/11/11(土) 16:30
A^n=((A-aE)+aE)^n=n{a^(n-1)}(A-aE)+a^nE (a:固有値)

(A-aE)^2=Oを使っています。


736 名前：１３２人目の素数さん投稿日：2000/11/11(土) 17:25
>>731
じょるだんひょうじゅんけい。


737 名前：731投稿日：2000/11/11(土) 17:44
>>733 >>736
すいません。
一生懸命考えたのですがどうしても理解できません。
私はまだ高２なのですが、数Ｃの範囲で解ける問題なのですか？

もう少しレベルの低い所から教えていただけたら幸いです。

738 名前：１３２人目の素数さん投稿日：2000/11/11(土) 18:21
>>731

固有方程式は、λ^2-tr(A)*λ+det(A)=0 この重解をλ0とする（λ0=tr(A)/2）
ケーリー・ハミルトンの公式から、A^2-tr(A)*A+det(A)*E=(A-λ0*E)^2=0 --(*)
（ただし、tr(A)=a+d, det(A)=ad-bc）
A^n=[(A-λ0*E)+λ0*E]^n
=n*(A-λ0*E)*λ0^(n-1)*E+λ0^n*E （２項定理よりと(*)より）
=n*λ0^(n-1)*(A-λ0*E)+λ0^n*E
=n*λ0^(n-1)*A-(n-1)*λ0^n*E


744 名前： 731 投稿日： 2000/11/11(土) 22:09

>>738 >>733 >>736
おかげで解くことができました。
ありがとうございました。

2*2行列Aのn乗計算ってやり方はいくつもあったような。
高校生のときどうやったっけ・・・
整関数における剰余の話題に帰着させるのが好きだったな。

　問　x^nを(x-a)(x-b)で割った余りを求めよ
　　(1)a≠bのとき
　　(2)a＝bのとき

(1)略
(2)
　x^n＝P(x) (x-a)^2 + (px+q)　---(*)
と書ける。(*)にｘ＝ａを代入して
　a^n＝ap+q　---(**)

(*)の両辺をxで微分して
　nx^(n-1)＝Q(x) (x-a) + p
を得る。これにｘ＝ａを代入して
　na^(n-1)＝p ---(***)

(**)と(***)から以下を得る。
　p＝na^(n-1)
　q＝(1-n)a^n

行列Aに話しを戻す。Eを単位行列とすると
　A^n＝P(A) (A-aE)^2 + (pA+qE)
と書ける。行列Aの固有方程式の重解＝aとすれば
ハミルトン・ケーレー（ｗの式より
　(A-aE)^2＝O
なので
　A^n＝pA + qE＝na^(n-1)A + (1-n)a^nE


さくらスレ738>　A^n=[(A-λ0*E)+λ0*E]^n
さくらスレ738>　=n*λ0^(n-1)*A-(n-1)*λ0^n*E

これと同じ結果を得た。

三項間漸化式a(n+2)＝pa(n+1) + qa(n)の
特性方程式x^2＝px+qが重解を持つときも同様。

固有値が重解になったら適当な行列で
[a1]
[0b]
に変換できなかったっけ？んでこれを帰納法でn乗を計算する・・・

>>97
できねえよ。

三角化

単位行列は？

ありの行列は？

行列のできる店は？

＞行列のできる店
前は映画館だった。
ほら「マトリックス」やってた頃。

>>98
じょるだんひょうじゅんけい。

98が正しい。

ほんと？おしえてくらさい。

↑すいません(^_^;;;;;;;;)
名前間違えました。１０４です。

>>106
何を知りたいのかわからん。
映画「マトリックス」の内容か？

>映画「マトリックス」の内容

主人公が与えられた使命は
100万次元の正方行列の対角化だった。
与えられた時間内に答えを計算しきれるのか？

＞１０８
>>97に>>98という指摘があったのですが、じょるだんの標準形に変換したらｎ乗が
わかるような気がしたので。。。>>98さんの指摘の詳細を知りたいと思いました。
線形代数初心者なので、よければ教えてください。

キーワードとして固有空間、最小多項式あたりを調べてみな。
Jordan標準形の作り方の詳細をたどれば解るはず。
97の具体的判例は100とか。

＞１１１
どうもありがとう。調べてみます。

＞104
うーん？
たんに、aとbは違わないと言う指摘なんじゃないの?

>>113
ネタですか？
[a c]
[0 b]
だったら間違いではない

ああ、対角化できる場合もあるってことか。
失敬失敬。

W,W_1,W_2は有限次元計量ベクトル空間Vの部分ベクトル空間とする。

（以下、式が書きづらいので、W_1,W_2をそれぞれT,S、
Xの直交補空間をX~と書きます。）

(T∩S)~=T~+S~・・・(*)
(*)が成立しないようなベクトル空間Vとその部分ベクトル空間T,Sの例を構成せよ。

わかんねっす。どなたかよろしくお願いします。

age

誰か・・・

V=3次元ユークリッド空間で、たとえばxy平面の上の、原点を通る
2本の直線をとってみな。

答えを教えてしまったので追加の課題:
116みたいなことがおこる適切な理由を考え、理由の否定を仮定して
(T∩S)~=T~+S~
を証明せよ。(レポート課題だったらそこまで書くべし。)

あげとく

ありがとござました。心にゆとりができたらやってみます。

お久しぶりです。
あの後、勉強を中断せざるを得ない状況になって、しばらく勉強できませんでした。
また再開して、進めています。
丁寧なレスをつけてくださった方、ほんとにありがとうございます。
書いていただいたことに関しては、理解できました。
間違っていた部分に関しても、分かりました。
で、>>42で書いたことなのですが、
斎藤「線型代数入門」の中で、
「この行列が正則であるためには、…であることが必要充分で、逆行列は〜である。」
という記述が多くあるんです。（p42-43あたり）
それで疑問に思ったのが、
「その行列がこの条件をみたしているとすれば、
そのことを用いて、このような逆行列を具体的に作ることができる。よって正則である。」
という理屈で、充分条件と言っているのでしょうか？
これは>>53で答えていただいていることなのですが、そういうことで合ってるのですか？
で、逆行列はその形しかないはずだから、その条件は必要でもある。ということでしょうか？
質問が意味不明だったら申し訳ないですが、教えてください。

こんばんは。
線形代数の問題なのですが良く分からない為、簡単でいいですので
解答と解答までの解法を教えて頂けますと助かります。

有限次元ベクトル空間Uとその部分空間Vがあり、
　　　dimU=n　　　　dimV=n-1　を満たすとする。
この時U≧W≧V　を満たす部分空間WはUとV以外に
存在しない事を示せ。

以上です。よろしくお願い致します。

V ≡ <a[1], a[2], …, a[n-1]> として

i) ∀a∈W, a∈V の場合
　W⊇V となるから、仮定とあわせて W = V
ii) ∃a∈W st a∈/V (「/∈」 は 「属さない」 の意) の場合
　W⊇<a[1], a[2], …, a[n-1], a> であるから
　仮定より dim(W) = n となって W = U

>124

123の問題のレヴェルを考えると，ii) ではさらに

　Ｗ⊆Ｖかつ dimＷ＝dimＶ＝n ⇒ Ｗ＝Ｖ

を「きちんと」示さないと減点かも。

>trさん、125さん

こんばんは。お返事が遅れてすいません。
この度は大変ありがとうございました。
参考にして自分でも納得できるまで頑張ってみたいと思います。
本当にお世話になりました。

がんばってね♪

あのですね…
「基礎数学　線形代数学入門　齋藤正彦著」の　P199　定理『3.8』
任意の複素正方行列Ａに対し、次の条件を充たす
複素正方行列Ｓ，Ｎがちょうど一組存在する
�@Ａ＝Ｓ＋Ｎ，ＳＮ＝ＮＳ
�AＳは対角行列に相似である
�BＮは冪（ベキ）零行列である。すなわち、ある自然数ｋに対して
Ｎ^k＝０となる。
�CＳ，Ｎはともに、Ａの多項式である。
これを証明してください。
教科書の説明ではまったくわからなかったんです

おねがいします。　　　m)_ _(m

ジョルダン標準形を使えば、あきらかだけど。

Ｆa・・・Ａにる線型写像
Ｗ_i・・・Ａの固有値α_i（i=１、２・・・ｓ）の広義固有空間
Ｆ_i・・・ＦaのＷ_iへの縮小
Ｇ_i・・・Ｆa−α_i・Ｅ（Ｅは恒等変換）
とするとＦ_i＝Ｇ_i＋α_i・ＥであってＧ_iはＷ_iのベキ零変換

分解定理により∀ｖ∈Ｖは　ｖ＝ｖ_1+ｖ_2+・・・+ｖ_s（ｖ_i∈Ｗ_i）
とあらわされる。
ここで
Ｒ(ｖ）＝α_1・ｖ_1+α_2・ｖ_2+・・・+α_s・ｖ_s
Ｇ(ｖ）＝Ｇ_1(ｖ_1）+Ｇ_2(ｖ_2）+・・・+Ｇ_s(ｖ_s）
とすればＦ＝Ｒ＋Ｇ、ＲＧ＝ＧＲ
あとはＦaを適当な基底εでジョルダン標準型で表現すれば
Ｒ、Ｇのεによる表現が求める行列になる。

誤＞　Ｇ_i・・・Ｆa−α_i・Ｅ（Ｅは恒等変換）
正＞　Ｇ_i・・・Ｆa−α_i・Ｅ（Ｅは恒等変換） のＷ_iへの縮小

行列のまま考えずに一旦線型写像に戻したほうが考えやすいんじゃないかな？（ぼくだけかな？）

あ！Ｖは次元がdimＡとなるベクトル空間です。

ぼく、宇都田篠夫です・・・

あああ〜〜dimＡって何なんだああ〜〜〜〜！
ぼ、ぼくは何をいっているんだああ〜〜〜〜

もう寝ます。

>>129
その方法で
「Ｓ，Ｎはともに、Ａの多項式である。」
も明らか？

すみません…ありがとうございます。
考え方はなんとなくわかったのですが…
どう証明していけばいいかわからないんです
すみませんもう少しおしえてください。
よろしくお願いします。

初歩的な質問で申し訳ないのですが、
行列式はどういうところから派生したのですか？
２次正方行列の行列式は２元一次方程式から来たのは分かったんですが。
３次やn次の行列式はどこから来たのですか？

>>134 明らかじゃないみたいね。すんません。

＞１３５
具体的にはどこの部分？

ジョルダン標準形やＮ＋Ｓ分解の説明（特にベキ零変換の説明）は斎藤線型代数より
松坂線型代数のほうがわかりやすいよ。参考に読んでみては？


＞１３６
きみの言い方で言えばｍｘｎ次の行列式はｍ個のｎ元一次方程式から「来た」。

詳しくは高木貞治「代数学講義」参照。
キーポイント線型代数や経済数学教室１巻にも少し書いてあったと思うです。

＞きみの言い方で言えばｍｘｎ次の行列式はｍ個のｎ元一次方程式から「来た」。
アホでした。恥ずかし過ぎる！

誤＞ｍｘｎ次の行列式はｍ個の
正＞ｎ次の行列式はｎ個の

私は石川県珠洲市から来ました

＞１３８
＞あとはＦaを適当な基底εでジョルダン標準型で表現すれば
Ｒ、Ｇのεによる表現が求める行列になる。
ってとこがよくわからなかったのです。
証明が苦手で…　自分で証明していけないんです
すみません　
松坂線型代数探してみます。

＞１３８　なんとかわかりました。
ありがとうございました。

age

277 名前：１３２人目の素数さん投稿日：2000/12/05(火) 22:06

16x16の行列を対角化しないといけません。
そこでパソコンのソフトを使って対角化行列を求めることは
出来ないでしょうか？
当方、数学音痴なのですが、どうしても必要になりました。
教えてください…

何したいかよくわからん。
もともと対角化可能なら手だろうがパソコンだろうが対角化できる。
それとも、行列計算の出来るソフトを教えて欲しいのか？

http://www.mupad.de
ドイツのPaderborn大学ですけど・・・。

＞16x16の行列を対角化しないといけません。
どういう状況なのか興味あり

Mathematicaは？

直交に関する問題です。

Ｖ＝｛（ｘ，ｙ，ｚ，）∈Ｒ＾3　｜　ｘ＋ｙ＋ｚ＝0　｝とする。Ｒ＾3の通常の内積を考える。

（1）Ｖの正規直交基定を1組求めよ。

とりあえずＶの基底を求めたら，｛ｖ＝（１，０，−１），ｗ＝（０，１，−１）｝
となりました。で，これをシュミットの直交化法で直交基底にしたら，
｛u_1=(1,0,-1),u_2=(-1,1,0)}
でもこれの内積は直交してないんです。計算ミスはないと思います。
ほんとに正規直交基底はあるんでしょうか？

>>149 計算ミス。計算過程を書いてみ。

ほんとだ。計算ミスしてた。
ところで，シュミットの方法よりもっと楽なのはないの？

図形的に考えたら？
x+y+z=0 ⇔ (1,1,1)・(x,y,z)=1
(1,1,1) に直交するベクトル (x,y,z) で、
なおかつ互いに直交すればいい。

(1,1,1) に直交する平面、たとえば x+y+z=1 を考える。
この平面内で、直交する２ベクトルを見つければいい。
x,y,z≧0 では、A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) を
頂点とする正三角形になるよね。

(1,0,-1) は C から A に向かうベクトルだから、
CA の中点を M(1/2,0,1/2) として、
M から B に向かうベクトルをとれば、(1,0,-1) と直交する。
つまり、(-1/2,1,-1/2) あるいは２倍して (-1,2,-1) だよ。

あるいは、(1,0,-1) に直交するベクトルを (a,b,c) として、
a+b+c=0 and (1,0,-1)・(a,b,c) = a-c = 0
を満たす a,b,c を見つける。

こっちのほうが簡単かな。
第2式から a=c だから、第1式に代入して 2a+b=0。
a=1=c, b=-2 が解。つまり (1,-2,1) が (1,0,-1) に直交する。

(1,1,1)と(1,0,-1)までわかっているんなら
もう１つは外積を使って求めろ＞あほども

おまえらホントにアホ。正規だぞ、正規。

Vが2X2の空間全体の時、Vの次元は？という問題で、次元は
V全体を表すために最小限必要な要素の数という考え方だと
４と思うんですが、次元＝階数（dim(V)＝rank(V)）という
考えだと、１になってしまいます。こちらで考えたらいいん
でしょう？

>>154
あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！
あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！
あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！
あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！
あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！
あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！
あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！
あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！
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あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！
あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！
あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！あほどもとはなんだ！

線形写像が今一どういうものか分かりません。
VからUへの線形写像Tがある場合にT(V)=UとなるようなT(x)という
関数だと今のところ考えているのですが、Tを行列表示するという
場合に、どう表示されるのかが分かりません。写像と言うのは関数
という考え方でいいのでしょうか？

>>158
必ずしもそうじゃない。だめ。

>>158

>VからUへの線形写像Tがある場合にT(V)=UとなるようなT(x)という
>関数だと今のところ考えているのですが

うーん、ちょっと妙な言い回しやな。
そもそも「関数」ってわかってる？

>>156
おそらく２ｘ２行列のことを言っているんだろうけど、それなら
・実数行列か複素行列か？
・スカラー体は実数か？複素数か？
それらによって次元は違ってくるよ。

>>158
＞Tを行列表示するという 場合に、どう表示されるのかが分かりません。
まずＵとＶの基底を決めねば！話はそれから。

＞関数
数字を代入すると対応した数字が出てくる、とかそんな感じなんで
すが、「関数」とはどういうものなのでしょうか？

>>158 写像は関数よりも意味が広い。
ま、158 で言いたいことは概ね良し。

線型写像の場合、T(x+y)=T(x)+T(y), T(a*x)=a*T(x) が成り立つ。

V の基底を {v[i]} (i=1,2,...,m),
U の基底を {u[i]} (i=1,2,...,n)

とする。V の基底ベクトルの像 T(v[i]) は U のベクトルだから
U の基底ベクトルの線型結合で表すと

T(v[i]) = Σ[k=1,n] T[ik]*u[k], i=1,2,...,m

右辺の T[ik] は、線型結合の係数だよ。
そしてこれが線型写像 T の行列表示に他ならない。

＞１６３
その場合、行列の成分の意味って何？
どういうふうに見ればいいかおせえてくらさい。

>T(v[i]) = Σ[k=1,n] T[ik]*u[k], i=1,2,...,m

普通は
T(v[i]) = Σ[k=1,n] T[ki]*u[k], i=1,2,...,m
と書くけど、まあどっちでもイイか…。

>>165 おっしゃる通り m(_ _)m

＞１６４
行列の成分をよく見てごらん。
何か見えてこないかい？

線型代数のテストのヤマ張ってください。
範囲は計量ベクトル空間と行列の標準化です。
難易度は基本問題しか出ないと思うんで重要な
所を教えてください。
ちなみに前期は具体的な連立方程式の問題や
逆行列を求める問題なんかが出ました。

ジョルダン標準形と岩澤分解が分かっていれば大丈夫なんじゃないかな〜

正規直交基底を求める問題なんかも出そう。

>>169
岩沢分解は難しいだろ、さすがに…。
G=NAKだっけ？

フェリス女学院高校の女の子のスカートが
スルッと脱げた瞬間。（学際の応援にて）
慌ててしゃがみこんで、スカートを
上げていますが、みんな注目しています。
かっこいい紺の制服に紺ハイソとピンクのパンティ
とのコントラストが最高の写真です。
恥ずかしさのあまり、泣いてました・・・。
　　http://u-tokyo.hoops.ne.jp/

<html>

<head>
<title>新しいページ 2</title>
<meta name="GENERATOR" content="Microsoft FrontPage 4.0">
<meta name="ProgId" content="FrontPage.Editor.Document">
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<frame name="main" src="cover.htm">
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<p>このページにはフレームが使用されていますが、お使いのブラウザではサポートされていません。</p>

</body>
</noframes>
</frameset>

</HTML>

>>172
死ね、屑野郎が。

一般逆行列の話なんですが，
「連立1次方程式
Ax=b
を考える．ただしm×n行列Aとn次元ベクトルbは既知であり，
n次元ベクトルxが未知であるとする．
Aが正方(m=n)で正則であれば，Ax=bの解は良く知られているように
x=A^-1b
で与えられる．Aが正則でない場合には
b∈R(A)
ならば解は存在するが必ずしも一意とは限らない．」
ここでいう，
b∈R(A)
ってのは，具体的にはどういう条件を満たしていれば良いのでしょうか??
また，R(A)は"Aのレンジ"(!?)だと聞いたのですが，線形代数の本を調べても
見当たりません．
どこら辺から調べれば良いのでしょうか?

他のスレッドを探してみたのですが、適当なものがないのでここに
書きこませてください。ほがらかな笑みを浮かべることができるジョーク
です。（自分で考えてこれは上出来だと思うのですが、他のところで
試したところ受けがあまり良くないようで・・やはりセンスがなくては
笑えないということなのでしょう）ではよく読んで楽しんでください

僕は新しい発見をしたので興奮しています。
ベクトルの割り算、ベクトルとスカラーの和に関する発見です。
皆様にこの発見を早く知ってもらおうと慌ててつないだ次第です。
最後の問題も解いてみてください。
ベクトルの割り算を報告します。
{1,3,6} / {3, 6, 4}
これを計算すると、
{1/3, 1/2, 3/2}

となります。嘘だと思うのなら、数式処理ソフトを使って
検算してみてください。

ベクトルとスカラーの足し算を報告します。
{1, 4, 6} +1
これを計算すると
{2, 5, 7}
となります。できるはずないだろうと憤る前に、数式処理ソフトを使って
検算すれば僕の言っていることを理解してもらえるでしょう。

応用として
{2,4,3} / ( {2,4,3} -1)
はいくらになるでしょうか？

ごめんなさい。私にはセンスが無いようです。

>>176
今井2号認定

逝ってよし

線形ってなんすか？

>>175
Ｒはレンジじゃなく列空間．
列ベクトルの張る空間．

だったら range でいいんじゃないの？

>>176
ワラタ

>>176

今は亡き(?)APLの文法にかなっています｡なつかしい。

>>183
恐れ入りました，僕の勉強したテクストではcolumn spaceとしか
書かれてなかったもので．
スマソ．

数学の本スレッドにも書きましたが、マルチポスト。

予備校の講師が書いた線形の本が確かにあった。
しかし、タイトルなど忘れたので教えて。

>>186
長岡さんの本でしょ？えーと、忘れた。３，４年くらい前に出たんだよねえ。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4892421421/qid=981242241/sr=1-16/249-7068077-4204347

ありました。
ありがとうございました。これで、春休みに勉強できます。

引用。
>>駿台やラ講でおなじみのあの長岡亮介先生が高校"代数・幾何"から
>>大学"線型代数"への橋渡しを実現した画期的な参考書の〈新版〉完成。

＞183,184さん

楽しんでいただけたようでありがとうございます。
（楽しめなかった人に解説。ベクトルの割り算なんてものは
ありません。しかしマセマティカでは {1,3,6} / {3, 6, 4}
が計算できます。{1, 4, 6} +1 も同様です。
　マセマティカという計算ソフトを使うと計算間違いがない。
機械のすることに間違いはない（けっこうバグがあるらしい）
と思い勝ちですが、マセマティカは独自の文法を持っていて、
数学で使わない表記でも使うものがあります。機械で
そうなったからといってベクトルの割り算を発見したのだ
と思ってはいけないということです。

age

age

>>189
mathematicaの計算であることは分かってたけど、
やってることは嵐山と同じレベル

俺は>>176に怒りすら覚えたね

線型の定義ってなんでしたっけ？
非線型はそれが非成立でＯＫ？

さがれ、さがれ。

sage

さげ

>>175
>R(A)は"Aのレンジ"(!?)だと聞いたのですが，線形代数の本を調べても
>見当たりません．

"Yosida" では range という言葉が使われてます。
関数解析のほうの言葉かもね。

>>201
rangeとは何だ？？？

ﾗﾝｹﾞ

>>201
え、値域でしょ。
Aをm次元ベクトル空間からn次元ベクトル空間への変換と考えたときの。
難しく考え過ぎでは？

「理系のための線形代数」だと
確か、Ｒ（Ａ）という表記だったはず。

１年時は、線型代数学の演習の授業があったが２年は演習がない・・・
講義のみだと、勉強がむずい・・・

>>206
某S大学か？

はい。信州でしゅ。

線形ってどういう意味ですか？
グラフで書くと直線になるってことでよいのですか？

>>210
違う。
教科書を読みましょう。

イメージとしてはあっているのでは？！

線形は linear の訳語だから、まっすぐってことでいいんじゃないの。

比例の式はy=axですね

エルミート行列
ユニタリ行列って何？
なんで物理で重要なの？

>>216
量子力学で出まくるから重要。

２１６＜
エルミート行列 ：観測量が実数だから。
ユニタリ行列：等長の回転変換をやりたいから。