多項式の例を作ってください

昨日、友人から以下のような多項式の問題を教えてもらったのですが
中々面白かったので投稿しておきます。

実変数x＠｀yに対しF(x＠｀y)はx＠｀yについての実数係数多項式でF(x＠｀y)≧0とする。
さらにF(x＠｀y)は極小値を持たないとする。F(x＠｀y)の例をあげよ。
ただしここでいう極小とは狭義の極小である。
※例えばF(x＠｀y)≡定数のようにF(x＠｀y)を取った場合は極小値をもつとはいわない

答えは沢山あるのですけど、最初そんなものないのではと思いました。
一変数の場合は非負で極小値を持たない多項式はないのでね

　　　　　　　　　　　　ｏ
　　　　　　　　　　　 /　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ /
　　　　　　　　　　　/　　　このスレは無事に　　/
　　　　　　　　　　 /　　終了いたしました　　　 /
　　　　　　　　　　/　ありがとうございました　 /
　　　　　　　　　 /　　　　　　　　　　　　　　　　/
　　　　　　　　　/　　　モララーより　　　　　 /
　　　　　　　　 /￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣/
　 ∧＿∧　　/　　　　　　　　　　　　　　　　/∧＿∧
　（　･∀･）　/　　　　　　　　　　　　　　　　/（･∀･　）
　（　　　　）つ　　　　　　　　　　　　　　　⊂（　　　　）
　｜ ｜ ｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜ ｜ ｜
　（_＿）＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＿（＿_）

F(x＠｀y)≡定数。
極小値を持たないんでしょ?

＞２

１は新スレ立てたいだけなんだから、いちいち相手にするなよ

あぁ出題間違いでした。すみませんm(_ _)m
極小は狭義の極小ではなくて広義の極小のほうでした。まことすみませんm(_ _)m
F(x＠｀y)≡定数のようなものは極小値をもつということに改めます。

実変数x＠｀yに対しF(x＠｀y)はx＠｀yについての実数係数多項式でF(x＠｀y)≧0とする。
さらにF(x＠｀y)は極小値を持たないとする。F(x＠｀y)の例をあげよ。
ただしここでいう極小とは広義の極小とする。
※例えばF(x＠｀y)≡定数のようにF(x＠｀y)を取った場合は極小値をもつとし
※省くとする。

でどんなもんでしょ？

「昨日、」＞とりあえず自作自演のおはこ。昨日聞いたら昨日書くはず。
「友人から」＞これも自演のおはこ、本当はそんなものは存在しない。
「以下のような多項式の問題を教えてもらったのですが」＞自作問題のネタ
「中々面白かったので」＞くだらんことは本人は知っている
「投稿しておきます。」＞結局これがやりたかった
（問題文）
「答えは沢山あるのですけど、」＞答えはすでに知っている
「最初そんなものないのではと思いました。」＞わざと興味を引こうとする
「一変数の場合は非負で極小値を持たない多項式はないのでね」＞真面目に考えた振りをするいいわけ

************************* 強制終了 *****************************

そんなにいじめるなよ
まあ全部当たっているけど

−−−−−−−−−−−−終了−−−−−−−−−−−−

************************* 強制再開 *****************************

************************* 強制終了 *****************************

日が悪かったね。ｷﾆｽﾝﾅﾖｰﾝ

終了くん、ここしばらく現れなかったんだけど。
今晩はずっとこんな感じでしょ。たぶん。

>>6
いや、これが存在するんだ。
答えを知っていてマジメな話だからこうしてスレッドを立てたんだけどな・・・
でも６のように信じられない気持ちもかなりわかります。
俺だって、この問題をだされたとき無いと即答したので（＾＾；
だからこそ、この問題はスレッドを立てるくらいの面白さを感じたので
スレッドを立てました。

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO しゅうりょうだよ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

問題文を把握できてませんが。

ax+by≧0

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO さいかいだね OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

「いや、これが存在するんだ。」＞バレバレうそモードに突入
「答えを知っていてマジメな話だからこうしてスレッド
を立てたんだけどな・・・」＞スレッド立てたいからとりあえず問題を探した
「でも６のように信じられない気持ちもかなりわかります。」＞とうとう開き直りか？
「俺だって、この問題をだされたとき無いと即答したので（＾＾； 」＞よく言うよ
「だからこそ、この問題はスレッドを立てるくらいの面白さを感じたので
スレッドを立てました。」＞本当はスレッドを立てたいから問題を選んだ

だいたい本当に問題を出したいなら、こんな安直なタイトルやＨＮはつけない。
スレ立てたんだから、もう満足しただろ＞１

強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了
強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了
強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了
強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了
強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了
強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了強制終了

荒らしを沢山呼び込んだようですみませんでした。
数学板の最近の変な雰囲気も知っていたのですが…
少なくともこれは教えてスレッドではありません。
問題の紹介のためのスレッドとして立てさせて頂きました。
問題に興味を持たれた方がおりましたら、解いて見てください。
実際に大学の演習の時間の問題としてだされたものだそうです。

あまりにも不思議な問題でしたし周囲の人に聞いてもそのような
モノはないと即答されるので、数学板にはいいかなとも思ったのですが
どうやら数学板では有名な問題とすぐわかる問題以外は
受け付けてないのですね。そういうことは非常に残念ですが自ら閉めます。
＃答えを知っているので、自分的にはしがみつく理由がありません。
＃また私の別の知り合いの方へ口伝てで流れていくことでしょう（＾＾；

でも、こういう珍しい問題を見られた方はとても幸運だと自分では思います。（＾＾
>>5に書いてある問題読んでくれた人thank youでした。では
----------------------------終了--------------------------------

mentai鯖が重いので軽いcheeseにロックオンした荒らしｸﾝ

>>18

いえいえ
ここまで開き直れればたいしたものです。

################### よくできました #####################

いやちょっとだけ返事（＾＾；
>>14さんへ

ax+byは(a＠｀b)=(0＠｀0)だと定数になってしまい×です。
それ以外の場合を考えると
(x＠｀y)=(-a＠｀-b)ととればax+by<0になってしまいますので×です。

うぜぇな！
失せろ！！
ヴァカ！！！

やっと問題の意味がわかった、、、ような気がします。

デカルトの正葉線x^3+y^3-3axy=0って漸近線がありますよね。
x=(X-Y)，y=(X＋Y)と回転拡大して
適当な数字を足したものでは駄目でしょうか？

F(X＠｀Y)=(X-Y)^3+(X+Y)^3-3a(X-Y)(X+Y)+b^2

「荒らしを沢山呼び込んだようですみませんでした。」
＞１自身が荒らしだとは認めたくない
「数学板の最近の変な雰囲気も知っていたのですが…」
＞１もその一員であるが、あえて被害者のふりをして隠す
「少なくともこれは教えてスレッドではありません。
問題の紹介のためのスレッドとして立てさせて頂きました。」
＞と言いつつ、マヌケなタイトルをつけてしまったことに後悔している
「問題に興味を持たれた方がおりましたら、解いて見てください。
実際に大学の演習の時間の問題としてだされたものだそうです。」
＞出典は演習問題。スレを立てるためだけにいちいち御苦労様でした。つめが甘かったですね。
「あまりにも不思議な問題でしたし周囲の人に聞いてもそのような
モノはないと即答されるので、数学板にはいいかなとも思ったのですが 」
＞演習なのに、周りも含めてずいぶんお馬鹿な学生ばかりですね。
「どうやら数学板では有名な問題とすぐわかる問題以外は受け付けてないのですね。」
＞とりあえずこの問題なら自演とバレないと思ってたのですね。浅はかです。
「そういうことは非常に残念ですが自ら閉めます。」
＞まぁ、スレ立ての目的は達成された、というところですか？
「----------------------------終了--------------------------------」
＞終了くんもやりたかったのですね（藁

＞２４
君が一番荒らしてると思う。

----------------------------終了--------------------------------

どうしてこう、最近の数学板は6=16=24みたいな陰険極まりない輩が
多いんだろうね（−−メ

精神病かなんですかね。ヤレヤレ

----------------------------終了--------------------------------

>>23
回転拡大はあまり意味がないと思う。
それと３次式だと多分だめじゃないか？

＞F(X＠｀Y)=(X-Y)^3+(X+Y)^3-3a(X-Y)(X+Y)+b^2

で、F(X＠｀X)=8X^3+b^2は、Ｘをマイナス方向へ飛ばしたとき
必ずF(X＠｀X)<0になるところが出てくるから

俺も半信半疑ながらいろいろやってみてるんだがなんか難しいな
存在否定証明もうまくいきそうにないし

やはり問題を把握できていませんでした。

＞F(X＠｀Y)=(X-Y)^3+(X+Y)^3-3a(X-Y)(X+Y)+b^2

F(X＠｀Y)=0を満たす実数Yが正になるだけの無意味な考察でした。
自分の間違いを自力で気付いたことだけが救いでしょうか。

さらに間違いが。

＞F(X＠｀Y)=(X-Y)^3+(X+Y)^3-3a(X-Y)(X+Y)+b^2
＞F(X＠｀Y)=0を満たす実数Yが正になるだけの無意味な考察でした。

Y軸方向に平行移動したかったのに
b^2を足すという意味不明の行動を…
さらに45度回転と-45度回転を逆に考えていて…

厨房が背伸びをするには難しすぎました。

良く考えてみたら結構面白いな

発見したけど、まだ書かない方がいいんでしょうか ?
とりあえず、 y 一定に対しては極小にする x が当然あるんだけど、
その軌跡はどうなるか、というのがヒント。

それって広義の極小にならない？

>28
ほんと数学板は陰険極まりない奴のすくつ。

バリバリ書いちゃっていいのでは？
例は沢山あるようだしね

まだわからん
答を聞けば「あーっ」ってなるんだろうけど．

まだ考えている人がおられるかもしれないのでヒントだけ。
つってもほとんど答だけど。
たとえば (xy-1)^2 は x 方向では xy=1＠｀ y=0 で極小。
そこでこれに y の関数を足してみると一例が作れます。

xy＝1みたいなのを第１象元と第２象元に作ろうとして失敗してた。
惜しかったのかな。

＞第１象元

漢字が・・・（Ｔ＿Ｔ）

鞍点は、一方向を定値でとると極小値ができるけど
全体としては極小値が存在しないよね。
そんな感じなのかな？

ええと、当然定義域は R^2 で考えるんですよね。

>>43
その通り定義域はＲ＾２です。

まだわからん

＞４５
そこに立っとれ！

F(x＠｀y)=exp(x+y)
のテイラー展開は実係数多公式となり、極小値は持たない。

第何項で切るんですか？

>>47
君、オカリ〜？

「オカリー」。ここに承認されました。

＞「オカリー」。ここに承認されました。
やったあー、これで新２ｃｈ語二つ目だあー！

早く答えが知りたいので、あげっ！

52 名前： なんか 投稿日： 2000/10/13(金) 20:24

いいスレッドに育ってきたな


53 名前： 終わらせようと 投稿日： 2000/10/13(金) 22:02

してたやつの顔がみたいね。


54 名前： 49>51 投稿日： 2000/10/13(金) 23:29

ありがとう。やっとわかったよ。
>>39の言っているのは、たとえば、
任意のx＠｀yでF(x＠｀y)>0が成り立っているけど、
x=t＠｀y=1/tとすると、t->∞のときF(x＠｀y)->0になるような関数とかだね。
確かに、極小値は持たないや。

47 名前： 35 投稿日： 2000/10/13(金) 11:08

>>5で
>F(x＠｀y)≡定数のようにF(x＠｀y)を取った場合は極小値をもつ
といっているから>>39の答えや>>42の言っていることも
広義の極小値に入ると思うのだが･･･


48 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2000/10/13(金) 15:26

>>47
>>39と>>42の言ってるのは、F(x＠｀y)が取れたときにa＠｀bを定数として
F(x＠｀a)とかF(b＠｀y)とかのようなものは1変数多項式なので
（もとのF(x＠｀y)が極少値をとらなくても）その１変数に関しては
極小値が存在するということです。

鞍点のグラフを考えるとたてにスライスしたときその切り口では
極小や極大になっているのをみることができるのに、もとの２変数関数
の鞍点としては極大、極小はないってことだと思います。


49 名前： 47 投稿日： 2000/10/13(金) 17:23

F(x＠｀y)が点(x0＠｀y0)で狭義の極小値をとる
<=> あるε>0が存在して、||(x＠｀y)-(x0＠｀y0)||<ε＠｀(x＠｀y)≠(x0＠｀y0) => F(x＠｀y)>F(x0＠｀y0)

F(x＠｀y)が点(x0＠｀y0)で広義の極小値をとる
<=> あるε>0が存在して、||(x＠｀y)-(x0＠｀y0)||<ε => F(x＠｀y)≧F(x0＠｀y0)

という定義だったら関数 F(x＠｀y)=(xy-1)^2 は広義の極小値をとるけど、
そういう定義じゃないの？
>>5の言ってる広義の極小ってどういう意味？


50 名前： >49 投稿日： 2000/10/13(金) 18:26

5の言ってる広義の極小とは貴方が書いてる通りの意味でしょう。


51 名前： >>49 投稿日： 2000/10/13(金) 19:09

極小の意味はそれでいいと思うけど>>39の言ってるのは
F(x＠｀y)=(xy-1)^2に適当な関数を加えると一例になるといってるだけで
それ自体が答えとはいってないよ

>>47-48
第何項で切っても駄目

47は多項式とべき級数の区別がついてないのだろう。

47はネタでしょう。

深い意味はないけど sage で失礼。
そういうわけで、私の考えた例は (xy-1)^2+y^2 でした。
これは x=y=0 に停留点をもってるんだけど、
そうでないものもあるのかなあ ?

age

これってねた？？？

age