ん？あれ？？

なにこれ？

全部すっ飛んだ?

あれ

1+1＝2

あああ

1と0.9999...は等しいのですか?

1+1=2を証明してください

なんで(-1)×(-1)=1なのですか?

なんで2の0乗は1なのですか?

旧鯖の中身は
http://www.2ch.net/math/body.htm
でよめるよー

召喚しようとしたい奴
呼びっぱなしで、後はだんまり決め込まないで
呼び出したのの責任をちゃんと取れよ!

ここで質問してもいいのかな？

旧鯖、カキコできないよ〜
早く復旧してくれ〜

あげ

＠ｳｶﾞｯ

＞１３
９月１日まで、待ってください。

1+1が2というのはペアノの公理を勉強してください。
(-1)×(-1)＝1というのは、-1を掛けるという行為が
複素平面上で原点を中心に180度回転する行為だと思えば
すぐにわかります。
2の0乗が1だというのは、たとえば2の1乗割る2の1乗は
指数法則から行くと2の(1-1)乗＝2の0乗でしょ。
で、「2の1乗割る2の1乗」は1だから2の0乗は1。

>>17
(-1)*(-1)がわからないのに複素数の話できるの？
どのようにして複素数に積を定義したの？

>1+1が2というのはペアノの公理を勉強してください。
答えてないのと同じっすよ。

>(-1)×(-1)＝1というのは、-1を掛けるという行為が
>複素平面上で原点を中心に180度回転する行為だと思えば
>すぐにわかります。
(-1)×(-1)＝1だから-1を掛けるという行為が複素平面上で
原点を中心に180度回転する行為になるんじゃないっすか？

>2の0乗が1だというのは、たとえば2の1乗割る2の1乗は
>指数法則から行くと2の(1-1)乗＝2の0乗でしょ。
>で、「2の1乗割る2の1乗」は1だから2の0乗は1。
では(−2)^0はどうなるっすか？

などと絡まれたりします。気を付けましょう＞エリツィンさん

あっ、すでに絡まれてた。

「レスを全部読む」が機能してないから、長い論議は無理だね。

高校数学までしか知らないのに「教え役」に回ろうとする人が多いよね。
この手の問題って。その結果、循環論法や不明瞭な定義のオンパレード
になる。たとえ高校生でもちゃんと理論展開の流れを分かってる子なら
そういうヘマはしないものだけど。
例えば高校の教科書でも「2の0乗を1と定義すると指数法則が拡張される」
といった感じで巾乗を拡張している。「指数法則が成り立っているから
0乗は1となる」といった本末転倒な導入はしていない。

>22
>「指数法則が成り立っているから
>0乗は1となる」といった本末転倒な導入はしていない。
底が２の場合はそれでもいいよ。別に高校の教科書通りに
教えてくれという問題でもない。

いや、底が何であれ、巾乗という演算をきちんと定義しないうちから
「巾乗の持つ性質」を仮定しているのがそもそも無意味なの。
これが「指数法則が成り立つためには2の0乗をどう定義すべきか?」という
問題であれば指数法則を使って2^0=1を導出しても良いのだけど、
この問題はそうではない。「指数法則からの要請」を「指数法則からの
結論」と混同してはいけないでしょう。

「（指数関数を指数法則で定義した場合、）
どうして2^0＝1になるのですか？」

という問題なのかもしれないでしょ。

要は
＞「指数法則が成り立つためには2の0乗をどう定義すべきか?」という
＞問題であれば
とは限らないということ。

あのー・・・

>（指数関数を指数法則で定義した場合、）

ってのが意味不明なんだけど、具体的にはどう定義するの?

これもよくわからんコメントだな。元の問題は

＞「指数法則が成り立つためには2の0乗をどう定義すべきか?」という

問題では「ない」のだから、指数法則から2^0=1を導出する方向で行っては
いけない、というのが24の趣旨なんだけど。

>27
指数関数が指数法則で特徴付けられるということは
いろんな本に書いてあること。
特徴付けられるということはそれを定義とすること
ができる、ということも書いてあったりする。

で、それを読んだ人が、実際に指数法則で指数関数を
定義してみて、2^0＝1を示そうとしたけど、できなか
った。しかたないので２ちゃんで質問してみた、とい
うこと。logの逆関数としてみても同じこと。

連続写像f；Ｒ=>Ｒが以下の条件を満たす時、指数関数という。
f(x+y)=f(x)+f(y)、f(1)>0

f(1)=aならf(x)=a^xと書く。

(志賀浩二、森毅、吉田武等の本に書いてあるよ）

>28
ごめん、早とちり。よく読んでなかった。

>29
f(x+y)=f(x)+f(y)・・・Ｘ
f(x+y)=f(x)f(y)・・・Ｏ

25の趣旨については了解。

>連続写像f；Ｒ=>Ｒが以下の条件を満たす時、指数関数という。
>f(x+y)=f(x)f(y)、f(1)>0
>f(1)=aならf(x)=a^xと書く。

これを指数関数の定義とするためには関数方程式

(*)「f(x+y)=f(x)f(y)、f(1)=a(>0)、f:Ｒ=>Ｒ連続」

の解が一意的に存在することを言わなきゃいけないんだけど、
通常はその「解の存在」を示す部分で

(#) 高校教科書流に「自然数乗→整数乗→有理数乗→実数乗」と
定義していく関数

を本質的に援用するでしょう?
つまり(*)でやる定義というのは(#)でやる定義に思いっきり
拠りかかっていると言えるので、後者の定義で避けられない問題が
前者の定義では避けられる、というような単純な関係ではないです。
勿論(#)を持ち出さずに(*)の一意解の存在が言えるのなら
話は全く異なってきますけど。

>(#) 高校教科書流に「自然数乗→整数乗→有理数乗→実数乗」と
>定義していく関数

その代わりに、冪級数でexpを定義して、積分でlogを定義して議論できないかな？

f(x+y)=f(x)f(y) より
f(0) = f(0)^2
有理数は体をなすので f(0) が 0 でなければ
f(0) = 1

上では
関数の存在や一意性は問題にしていない.

高校数学流の構成法をもう少し難しくすると

整数乗はかけ算から定義できる.
整数の逆数乗は指数法則を使うと
a = f(n*1/n)=f(1/n)^n
となる. 羃乗根の存在を示すのは簡単ではないと思う.
ここで定義された関数が有理数からの関数として連続である事を示す.
そうすれば実数乗に延長できる事は出来る.
ここで出来た関数が一意である事は
f(x)/g(x) を考えれば良いと思うのだが.

こんなことを回避するために解析入門では 32 でいっているように
exp を羃級数で log を dx/x の積分で定義している. しかし＠｀ これには
羃級数や実数論について知らなくてはいけないので高校生では無理だと.

早く数学板、直してよ〜

整数が環であるのと、(-1)*(-1)=1は、結局どっちが先なんだ？

>>35
-1 = 0 ならば 1 = 0 なので明らか。
整数環はそうではないので、 (1-1)(1-1)=0 を展開すれば良い。
まじめな話、こういう事は自分で考えた方が良い。
考えたくないのなら逝ってヨシ。

３６は馬鹿ですか？

36を晒しましょう。
晒しアゲ。

環でしょ

環でしょ

「どっちが先か」というのがやや意味不明。
３６の説明は一般の環に対して成り立つけど、
０＊０＝０を環の公理から導いておく必要があるのでは？

>>41
整数環がまずありきか、
加法群整数に(-1)*(-1)を定義して環にしてるかってことでしょ。
整数が環だったら(-1)*(-1)=1なんてあたりまえのこと。

整数を環として見るということは、乗法も定義されたものとして見るということだから、
乗法(-1)*(-1)が定義されてないままで環とは見なし得ない。後者は前者の一部である。
だから、条件の包含関係に対して「どっちが先か」とつい聞いてしまう気持ちもわからなくはないので、“やや”意味不明と書いた。
それから“あたりまえ”というのは、ちょっといかがなものか？
すこし一般化させて「Ｒが単位的環ならば(-1)*(-1)=1」というのは確かに極めて簡単にしめせるが、
（もちろんここで乗法的単位元を１、加法的逆元をマイナスで表わすとして）
それを「あたりまえ」と言うのはその証明に納得がいった人同士の間でしかいえないのでは？
質問者（３５）が納得いった人かどうかわからないでしょ？
３６の２行目の説明や、０＊０＝０を示す必要性の指摘は、納得してもらうためのものでしょう？
ちなみに、カッコ内の仮定をはずすと、反例（整数が環だったら(-1)*(-1)=1なんてあたりまえ）もできるし。
群としての自己同型a→-aで、環構造もそっくり遺伝させれば乗法的単位元が(-1)で、
(-1)*(-1)=(-1)（１ではなくて）なる環もつくれる。
カッコ内の仮定にそぐうように環構造を入れることを暗黙の了解として「あたりまえ」と言ったのでしょうが、
３５の質問から察するに、この質問者には暗黙の了解とせずに明記するのが親切ではないかなぁ？

>>整数環がまずありきか
∀a＠｀b∈Ｚに対して、(どんな値かわからないけど)とにかく積ab∈Ｚが定まっている。
もちろん(-1)*(-1)も定義されているが値はわからない。とにかく整数は環がある

>>加法群整数に(-1)*(-1)を定義して環にしてるかってことでしょ。
自然数から整数を作り、自然数に入ってる積と(-1)*(-1):=1を用いて環にする。
ってこと。簡単に言えば、
前者は『整数が環⇒(-1)*(-1)=1』
後者は『(-1)*(-1)=1⇒整数は環』
(-1)*(-1)を環の構造から導くのなら、
整数が環であるってことは証明できるのですか？＜素人なもので良くわからない。

>乗法的単位元が(-1)で、(-1)*(-1)=(-1)（１ではなくて）なる環もつくれる。
これって、ただ文字変えただけじゃないんですか？
1*1=？なんですか？

レスありがとう、って自分が言うのも変だけど、なんか嬉しい。
まず、a＠｀bを具体的に定めたとき、abも具体的に与えられなければ
積が定義された、とはいえないでしょ？
(-1)*(-1)の値がわからない状態では、まだ環として定義されていない状態です。
集合Ｚには複数とおりの方法で環構造が入れられるし、加法群Ｚにたいしてもそう。
環構造をどう入れるかを決める前は、まだそれは環ではない。
（もちろんここで加法群Ｚとか環Ｚは、よく知られた構造をいれたものを意味します。）
だから「とにかく整数は環がある」というのは違う、と主張します。
環Ｚを始めから考えるなら、(-1)*(-1)=1も、始めから成り立っているし。

次に、(-1)*(-1)=1を用いて、と書かれているようにこの式は整数に環構造を入れる作業の一部です。
４３で前者は後者の一部、と言ったのはこの意味。あなたが書いたような作業をしないと、
この式だけでは環になるとは限りません。その意味でＺが環というのはこの式よりも条件が強いといえます。
４４で「前者は『・・・』」とかいてある部分は、この条件の強さを表わしたもので、これは真でしょ。
４４で「後者は『・・・』」とかいてある部分は、あなたが書いた作業がなければ、必ずしもいえるとは限らない。
「環にする」というのを無視した(-1)*(-1)=1をみたす乗法（分配律がなりたたないのとか）を加法群Ｚにいれて、
環ではない、加法と乗法の入った、ナンか変なものも作れるんじゃないかなぁ？
たとえば任意のa＠｀bに対しab=1なんて乗法入れたらどう？乗法的単位元ないけど、結合律みたすよ。
整数が環である事の証明？通常の加法と乗法入れたものについてだよね？
環の公理を満たすことをチェックするだけだよね。
加法についてアーベル群で、乗法について閉じていて、分配律みたす。これはいいよね？

さて、三つ目。
そうそう。ただ文字変えただけ。環として同型だけど同一じゃないよ。
もともと、(-1)とか１だって、たかが文字なんだから、(-1)*(-1)=1
が何を言ってるのか意味付けするには、１や(-1)の意味も付けられてる必要があるよね。
普通は１は乗法的単位元、(-1)はその加法的逆元というのが暗黙の了解だけど、
この暗黙の了解の前提として、すでに乗法、加法が定義されている！
先の例では、この暗黙の了解を無視したら？ってことで挙げた例だよね。
この例では不自然な事に(-1)が乗法的単位元、１がその加法的逆元なので、
１＊１＝(-1)が、やっぱり容易に導けるよぉ。

>まず、a＠｀bを具体的に定めたとき、abも具体的に与えられなければ
>積が定義された、とはいえないでしょ？
>環の公理を満たすことをチェックするだけだよね。
>加法についてアーベル群で、乗法について閉じていて、分配律みたす。これはいいよね？

だから、(-1)*(-1)=1を用いずにどうやってＺに積を入れたの？
実際、値を定めなければ積を定義したことにならないんでしょ。
まずは積の定義をお願いします。＜って問題はここだけでこれがクリアできればわかります。

>(-1)*(-1)=1が何を言ってるのか意味付けするには、１や(-1)の意味も付けられてる必要があるよね。
だったら、*や+は暗黙の了解？
それとも『*が加法で+は乗法をあらわします。だから、(-1)*(-1)=-2です。』とかもOKなんですか？

>この例では不自然な事に(-1)が乗法的単位元、１がその加法的逆元なので、
>１＊１＝(-1)が、やっぱり容易に導けるよぉ。
当然わかってますよ。

>42=44=46=47

> 自然数から整数を作り、自然数に入ってる積と(-1)*(-1):=1を用いて環にする。

> だから、(-1)*(-1)=1を用いずにどうやってＺに積を入れたの？

だ〜か〜ら〜
これだけじゃまだZ全体について積が定義できてないだろうがバカ

分配法則が成り立つようにZ全体に定義してくんじゃないの

>49
そうそう。加法群Zの生成元1が
乗法の単位元になるようにね。

ごめんなさい。言葉が足りませんでした。
a＠｀b>0とする時、
50のことから(-a)*1＠｀1*(-a)が定義でき、これと49のことから(-a)*b＠｀b*(-a)＠｀(-a)*(-b)が定義できるでしょ。
これでＺ全体に積が入ったと思うんだけど。
どっちがバカなんでしょうね。さらしときましょう。

>46=51
(-1)*(-1)=1用いて、じゃないだろ？
積を定義した結果そうなったんだろ？

さらしあげ

(-2)*(-1) = ((-1)+(-1))*(-1) = (-1)*(-1)+(-1)*(-1) = 2
みたいに定義してけばよさそうだけど違うみたいですね。
どうして違うんですか？

>53
じゃあさ、
(-1)*1
はいつ定義したの？

>1が乗法の単位元になるようにね。
っていうのじゃ、だめですか？

>46=55
それならOK。

41=43=45(?)が
一生懸命何言おうとしてたかったのか、もうわかってますよね？

「バカ」発言を撤回し、お詫びします。ゴメン…

>46=55
それならOK。Zのできあがり。

41=43=45(?)が
何言おうとしてたかったのか、もうわかってますよね？
見ててもどかしかったのよ。
「バカ」発言を撤回し、お詫びします。ゴメン…

41＠｀43＠｀45は私(48)ではないので。念のため。

あ、多重投稿
鬱だ氏のう…

>41=43=45(?)が
>一生懸命何言おうとしてたかったのか、もうわかってますよね？
48さんが仰ってくれたことですよね。わかります。
言葉足らずの自分が悪かったです。

>「バカ」発言を撤回し、お詫びします。ゴメン…
書き捨てだったら腹が立つでしょうけど、
いろいろ教えてくださったんで、気にはならないです。
僕もごめんなさい。

くどいようだけれどもつけたし。

加法群Zに環の構造をいれる際、
（分配法則が成り立つようにZで閉じた乗法を定義する際）
乗法モノイドの単位元を1と定めた時点で、
環の構造が一意に定まってしまいます。
したがって、(-1)*(-1)=1は定義ではありません。
「乗法の単位元が1」でかつ「(-1)*(-1)=1でない」
ような環は構成できません。
「(-1)*(-1)=1」
は零元(加法の単位元0)と乗法の単位元1に分配法則を適用して
導かれるものであって、定義ではありません。

乗法モノイドの単位元を-1∈Zと定めると、40番台のレスで出ているように、
われわれがよく知るZと(環として)同型なものができます。

乗法モノイドの単位元を0∈Zで定めると、Zの任意の元xに対し、x = 0*x = 0。
つまり、Z={0}となって、あれれれれ？

乗法モノイドの単位元を2と定めたとき。
さあ、環を作ってみよう。

＞「乗法の単位元が1」でかつ「(-1)*(-1)=1でない」
＞ような環は構成できません。
逆に「(-1)*(-1)=1」かつ「乗法の単位元が1でない」
ような環は構成できるのかな？

>>61
>＞「乗法の単位元が1」でかつ「(-1)*(-1)=1でない」
>＞ような環は構成できません。
>逆に「(-1)*(-1)=1」かつ「乗法の単位元が1でない」
>ような環は構成できるのかな？

できない。
結局、46と48の違いは整数環にする為に乗法の定義を
(-1)*(-1)=1を採用するか(-1)*1=-1を採用するかの点だけ。(46の書き方は雑だが)
どうして(-1)*(-1)=1＠｀(-1)*1=-1なの？と聞かれたら、46と48では答え方が違うだろう。
例えば、e = lim (1+1/n)^n？　lim sinx/x = 1？と聞かれても、
e や sinx の定義の方法により答え方が異なってくるな。

まあ、こんな話をしていても今井を呼ぶだけなので、
----------------------終了--------------------


>乗法モノイドの単位元を2と定めたとき。
>さあ、環を作ってみよう。

それより、こちらの方に興味がある。どうなるんだ？

良く読んでみたら46はNの乗法も仮定してたな。
確かに48の言う様に(-1)*(-1)=1は定義じゃないな。

ここにきてちょっとボロが出てきた感のある私…

>62

>>逆に「(-1)*(-1)=1」かつ「乗法の単位元が1でない」
>>ような環は構成できるのかな？
>
>できない。

そうだね。確かにできません。でもそうあっさりは言えないです。

整数Zに環の構造が入っている、という仮定のもとで、
次の三つの命題は同値です。

(1) 乗法の単位元は1
(2) (-1)*1=(-1)
(3) (-1)*(-1)=1

ですから、どれを定義にしても別にいいっちゃあいいんですが、
(1)⇒(2)は自明、(1)⇒(3)、(2)⇔(3)を言うのは容易なのに対して、
(2)⇒(1)とか(3)⇒(1)を言ったり、(3)をもとにして
Z全体の積を定義するのは困難なので、
(3)を「定義」としてしまうことに抵抗があったのです。

>結局、46と48の違いは整数環にする為に乗法の定義を
>(-1)*(-1)=1を採用するか(-1)*1=-1を採用するかの点だけ。

これは、ちょっと誤解されてしまったみたいで。
55＠｀56のやりとりからだと、そう解釈されても仕方ないです。
私の採用した定義は「(-1)*1=-1」ではなく、あくまで「乗法の単位元は1」です。

>>乗法モノイドの単位元を2と定めたとき。
>>さあ、環を作ってみよう。
>
>それより、こちらの方に興味がある。どうなるんだ？

多分作るのは不可能。まだちゃんと証明してないけど。
証明なり反例なり誰かよろしく。

>>45の
>集合Ｚには複数とおりの方法で環構造が入れられるし、加法群Ｚにたいしてもそう。
というのが気になる。どんなのがある？

気になってるのは加法群Zに対しての方でしょ?
可算無限の環は他にもいくらでもあるし。（Zの局所化とか）
単なる集合として見たらZはただの加算無限集合だもんねぇ。
加法群Zと言ったので、
「Zで特別な元は０だけであり、１はぜんぜん特別じゃない」
と言う前提でこのような発言をしてしまいました。
だから、普通のヤツのほかに少なくとも
(-1)を乗法的単位元としたものがあるから、複数と言っちゃっていいや、
と思ったのです。
でもここまでの多くのレスを見ると、どうもそれ以外なさそうな雰囲気ですねぇ。
だから、１を暗黙の了解における特別な元として扱うならば
「複数」は、偽、っぽい。（自分もまだ証明してないけど、たぶんそうでしょ。）
あ、単位的環じゃなくていいなら、いくらでも・・・（爆）
↑自分、“暗黙の了解的なことを無視すると”みたいなの、多すぎ？（笑）

てゆーか、偽、っぽいって、
１単位元なら環構造uniqueやん。
なんて馬鹿なんだ！＞自分

乗法的単位元が２のヤツの非存在、意外と易しかったよ。
「1＠｀(-1)以外を乗法的単位元として加法群Zに環構造を入れることはできない。」
1) ０を単位元とするのが不可能なことは、４８さんが６０で背理法で示している通り。
2) ｎを２以上の整数とし、これを単位元として環構造がはいったとする。
するとｎは単位元だからn*1=1
一方分配してn*1=(1+…+1)*1=1*1+…+1*1 （…はｎ個の和をあらわす）
よって１＝1*1+…+1*1 だが、同じ物をｎ個たして１になるような元は
加法群Zには存在しない。（矛盾）
3) ｎを(-2)以下の整数とし、これを単位元として環構造が入ったとすると、
Zの加法群としての自己同型 x→(-x) により、(-n) （これは２以上）を
単位元とする環構造も存在し、2) に反する。

どう？これでいいよねぇ？

なるほど。ならば、その乗法(nxn=n)でZを含むような最小な環を考えれば
Z[1/n](に同型なもの)になるのか。

>65

>気になってるのは加法群Zに対しての方でしょ?
そうでした。
でも結局、加法群Zから構成できる環の構造がuniqueであることが、
乗法の単位元eを1と取らざるを得ないことが67できちんとわかって
解決です。
>「Zで特別な元は０だけであり、１はぜんぜん特別じゃない」
しかし、単位元を1と取らざるをえない。
これはやはり、加法群Zにおいて1(-1)は生成元である
という点で特別だということにはならない？

>68
積はZ[1/n]で閉じてる？
つまり、1*(1/n)はZ[1/n]に入ってる？

書き方が悪かった。
Z[1/n]ってZ+(1/n)Zではなく、
Zと1/nを含む最小の環{ a/n^b | a∈Z b∈N}の意味で書いた。
申し訳ない。

あ、そういう意味でしたか…。
これは失礼。

>69
そうね。「生成元」と言う意味では確かに特別やね。
でも、１と(-1)の区別はないよね？加法群として見てるうちは。
>68=70
別に書き方悪くないでしょ。
普通の多項式環の表記なんだから。
そういうことだよね。＜Z[1/n](に同型なもの)になる

test

>別に書き方悪くないでしょ。
>普通の多項式環の表記なんだから。
そうそう。単なる私の勉強不足による怠慢なんで。

>１と(-1)の区別はないよね？
もちろん。
違いがでてくるのは乗法的単位元をどちらか一方に定めた後ですね。

sage

age