サイコロの「１」が出る確率はなんで1/6なのか？

出るか出ないかの1/2じゃダメなの？

過去スレあったら教えとくり。

n面体のさいころのある目がでる確率は1/nと決めたからだよ＞厨房

厨房に聞きたいんだけど、
田村亮子が金メダル取れる確率は、取れるか取れないかの1/2だと
思うか？

正n面体と書け

>2
なんで1/ｎと決めたんだろ？
全部1/2と決めることはできなかったのだろうか？

>3
いやー、それがわからないから聞いてるんだよね。
個人的に言えば、そんなことはないような気がするけど。

それなら宇宙人がいる確率はいるかいないかの1/2、巨人が優勝する
確率はするかしないかの1/2、宝くじがあたる確率は当たるか当たら
ないかの1/2になるのか．．．．

1の主張があってる確率は1/2

　　 Λ＿Λ　　／￣￣￣￣￣
　　（　´∀｀）＜　オマエモナーの確率1/2
　　（　　　　） 　＼＿＿＿＿＿
　　｜ ｜　|
　　（_＿）＿）

------------------------- 終了の確率1/2 -------------------------

とても「正しい」疑問です。　１／２　と決めても何の数学的矛盾も起きません。ただ、「実験」にはあわないでしょう。確率は、公理として定めるのです。その公理が現実に合うか合わないかは、別の問題です。全く正しい疑問です。こんな事が判らないのは、ちゃんと考えて居る証拠です。自信をもってください。ただ中・高の先生には理解してもらえないでしょう。

あほスレもたまにはいいもんだな(にこにこ)^(1/2)

だめだよぼくちゃん＞10
しょうがないなあもう。便乗マジれすしちゃ〜う。

確率というのは１００％＝１が上限なんだよ。
シンクロ率４００％なんてのはマンガの世界のお話し。
（ある意味、功罪の高いアニメだったかも。アレ）

仮に「６面あるサイコロで各面が出る確率」＝1/2だとしたら
「１〜６のどれかの面が出る確率」＝(1/2)×６＝３＝３００％
ってことになっちまうんだな。

しょせん数学なんてのは
ある決まりごと（ルール）を作ってその上で議論や証明をするものだから
きみの世界の中では「出るか出ないかの1/2」で全く問題無いよ。

数学できなくても生きていけるから安心して！
金銭面で騙されるて一文無しになることはあるかもしれん。
そしたら破産宣告！いい国アルよニポンは。

>12
>数学できなくても生きていけるから安心して！

生きていけるか、いけないかの1/2だよ

間違えてageちゃったか、あげてないか1/2

>しょせん数学なんてのは
>ある決まりごと（ルール）を作ってその上で議論や証明をするものだから

誰が作ったんだ？
１＋１＝２なのも誰かが作った決め事なんか？
三平方の定理はピタゴラスが作ったんか？

>13
1/2ネタコンボを繋げたあなたのナイスセンスに乾杯！（チュース！

>14
誰が作ったかわかったとして何か有益なことはあるの？
誰かが作った決め事。それでおしまい・・・では納得いかない？

定理は作るのではなく見つけるものかと
公理や定義を勝手に作れるのだから
作ると言ってもあながち間違いとは言いきれないかな

＞仮に「６面あるサイコロで各面が出る確率」＝1/2だとしたら

これは１０のひとが言ってることと違うんじゃないの？

10を相手にしたのはマジレス行為に対してだけ。Uｱﾝﾀﾞｽﾀﾝ?
12は1に言ってみたのよん。どうせ1もネタだと思うけどねん。

よくわかんないけど、まあいいや。
このスレッドではどうも気合いが入らん。

確率変数が P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4, P(X=3)=1/8,
P(X=4)=1/16, P(X=5)=1/32, P(X=6)=1/32 のような
場合はどうよ？ネタじゃねーよバロー！

それは５で言ってることと違う。けっきょく何が問題なんだ？

大戦略で使われるヘックスを2N-1 x 2N-1のひし形に並べ
<20>のさいころを用いてひとます移動するとする。
マップの中央から開始したとし、マップの縁にファースト
ヒットするまでの回数を確率であらわせ。

何が問題なのかわかっていれば、こんなくそレスは立てないわい。

ちなみに22の問題は、厨房の俺でも20分で解けた。

>20,22
は騙るな。
おれが1だ。

頭いいヤツは1を名乗るな！

そもそも確率って何だ？

哲学スレへ逝け>26

9までだったな。10と12のおかげで萎え

１が出る確率が、１／６より、ちょっと多いと思います。
なぜなら、１の赤丸のくぼみが大きくて、重心が１よりも
６の方にあると思うから。

「ダメだよみんなこんなスレにレスつけちゃー」
と言ってる僕は、自己矛盾してるかしてないか、
の確率１／２。

元旦の翌日＝座布団全部没収される確率

＞確率というのは１００％＝１が上限なんだよ。
＞シンクロ率４００％なんてのはマンガの世界のお話し。
＞（ある意味、功罪の高いアニメだったかも。アレ）
馬鹿なマジレスは、潰しましょう

漫画の世界のお話とは限りません

成功確率0．00000001％で成功しまくったり
シンクロ率が100％を超えるのは
何ら不思議なことでは無いのです

さて、どういうことなのでしょうか？
＜って、これじゃ潰したことになってないちゅうねん

ネタを２つ
（ねた１）
昔、岡山でカレーに毒をまぜて近所の人を数人（4人？）殺した女がいました。
事件が発覚する前に管轄保健所所長が「99％食中毒」と言いました。
結果、ハズレ。
その点を新聞記者に追求されるとかの所長は「だから１％は違うといったでしょ」と発言。
この弁明が更に問題になった。
ここまでは事実。
では、天気予報で「降雨確率10％」と言って雨が降ったら予報は外れか？
「サイコロを振って１が出ない確率は約85％」と言ってサイコロを振ったら１の目がでたら言明は間違いか？

（ねた２）
「２つのサイコロ振って合計の目が７になる確率が一番大きい」らしい。
では、１つのサイコロを箱の中で振る、サイコロの目を確認しないで箱の蓋をする。
ついで、もう１つのサイコロを机の上で振る、出た目は３。
すると、箱の中の目は「４」である可能性が高いか？

このスレをsageようとしている真性チューボーがいるみたいなので
age
このスレ立てた奴は，なかなか数学センスがあるよ．

確率≠期待値がみそ？
ちゃう？

直方体のさいころ

http://2ch.server.ne.jp/2ch/test/read.cgi?bbs=rikei&key=963534522&ls=50

これはどうですか？

降水率とは、どのようなものなんだろうか？
ある地域にファーストヒットする確率のことなのか？
連続な場の上をランダムウォークする低気圧のパスを
計算するというのかい？＜３６＞も絡んでくるのか？

天気予報士のひと教えてー

降雨確率とは、どのようなものなんだろうか？
ある地域にファーストヒットする確率のことなのか？
連続な場の上をランダムウォークする低気圧のパスを
計算するというのかい？＜３６＞も絡んでくるのか？

天気予報士のひと教えてー

>37
天文・気象 板いけ。

ここの7を見ましょう
http://www.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=961501459

シミュレート板，理系全般板の方がマジレス展開率高いんだね。ここはもう見限ろう。

＞33のねた2
そりゃ、やっぱり箱の中は「4」の確率が高いんだろ。
両方合わせて7の確率だから。
んなわけないか。

１が出る確率・・・・と考えてる間に「１が」を忘れ
さいころに６つの目があることを忘れ、
振ったら「出る、でない」の問題に集約してしまった。
なら「出ない」こともあるのか、
角で立つとか、落ちるまでの間に消えてなくなるとか
心配してたのかな。

>42
さいころの目が出る確率、おたがいに独立なんだから
もう一方の目がなんであろうと
箱の中はどの目が出る確率も1/6でしょうが

>33
ナイスなネタ振り
民衆の踊る様が楽しめる
見習えよ＞10と12

とても気まぐれなお父さんが僕に小遣いをくれるそうです。
お父さんは僕の前に封筒をふたつ出して言いました。
「片方の封筒にはもう片方の封筒のニ倍のお金が入っている。
おまえはまず好きな方の封筒ひとつの中身を調べてよい。その後、
どちらでも好きな方の封筒ひとつを選んで中身を手に入れるがよい」
僕はとりあえず右の封筒の中身を調べることにしました。
右の封筒には200円入っていました。今度は左右どちらの封筒を取るか
決めなければなりません。よく考えた末、僕は左の封筒を取ることに
決めました。理由はこうです。
左の封筒に入っているお金は右の封筒の倍か半分なので400円か100円
ですが、それぞれの可能性は半々です。よって左の封筒に入っている
お金の期待値は250円となり右の封筒のお金(200円)より多くなります。

そりゃ、そうなんだけど…。
「２つのサイコロ振って合計の目が７になる確率が一番大きい」
との整合性の説明がない。
あと、「ねた２」をお忘れなく。

はいはい。ねたね。それじゃ
>そりゃ、やっぱり箱の中は「4」の確率が高いんだろ。

そうそう。確率は1/2ね。

おもしろーい。
答え？は今から考えます。
いいスレッドだなぁ。
１さん偉い。

全事象Ｕに対して、ある事象Ａが起こる確率は、
根元事象（それ以上もう分けることができない事象）の起こり方が
”同様に確からしい”という前提条件を満たしている場合に限り、
（ある事象Ａに含まれる根元事象の個数）／（全事象Ｕに含まれる根元事象の個数）
と定義されます。

数学の問題で”サイコロ”と言った時、
それはどの目の出方も”同様に確からしい”と
勝手に仮定された上で話を薦めているのです。
そのような架空の”サイコロ”に関しては
１の目が”出る”か”出ない”かという２つの根元事象の起こり方は
「”同様に確からしい”は成り立たない（同様に確からしくない）」と、
仮定されているのです。

もしも１の目が”出る”か”出ない”かという根元事象の起こり方が
”同様に確からしい”のであれば（そういう架空の”サイコロ”を考えれば）
定義の前提条件を満たしているので、
確率の定義に沿って
｛（１の目が出る）｝／｛（１の目が出る）、（１の目が出ない）｝＝１／２
で良いのです。

おおっ
ヤフーねたですね？

突っ込んでくれないから
問題出します

というか、質問です

ある漫画で
「Ａという事象が起こる確率が一億分の１％の確率」
と言った後に
そのＡという事象が簡単に起こることが繰り返されることがありました

さて、これは漫画だからこそありえた話なのでしょうか？
それとも、現実に十分ありえる話なのでしょうか？

ただ、一応言っておきますが
１％の確率のものなんて
そうそうありえない事柄です

うちの賭場では、頻繁にピンゾロの丁が出るぞ。
世間じゃ１の目の出る確率は、必ず1/6だと言って
いるやつがいるが、まったくいいカモだ。

試しに、賭場にあるサイコロを２５０回振ってみたら、
「１」が１３２回、「２」が１９回、「３」が２３回、
「４」が２８回、「５」が１５回、「６」が３３回
だった。

結論：1/6っていうのは、所詮机上の空論だ。

質問の意図がまったくわからんが。
起こりやすさを考えると、

(現実に十分ありえる話の起こる確率)＞(そうそうありえない事柄の起こる確率)
(そうそうありえない事柄)∋(１％の確率で起こる事象）
(１％の確率)＞(一億分の１％の確率)＝(Ａの起こる確率)
(Ａが1回起こる確率)＞(Ａが２回以上起こる確率)

∴「Ａという事象が簡単に起こることが繰り返されること」は
現実に十分ありえる話では無い。

ふ〜・・さて、どんな面白い解答を聞かせてくれるんだ？

＞５４
厨房は逝ってよし。

＞５４
一応、結論が出たようなので、

------------------------- 終了 -------------------------

みなさん、おつかれさまでした。

＞５７
５４はぜんぜん１の答えにナットランぞ。
５２の出題者がまだきとらんし。
終了させたいのには同意だが。

＞５８
まだ、未練がある人がいるようなので、

------------------------- 再開 -------------------------

もう少し、辛抱して下さい。

52の面白い説明が終わるまでは「終了 」はいや。

良くある話しなんですが
私は

「Ａという事象が起こる確率が一億分の１％の確率」
と言った後に
そのＡという事象が簡単に起こることが繰り返されることがありました

と言いました

さて
「Ａという事象が起こる確率が一億分の１％の確率」
これは、本当なのでしょうか？

まあ、持っている情報から正しく計算した結果として
それが出てきたとしましょう

しかし、その情報に対する意味付けが間違っていたり
本当の確率を調べるに十分な情報が
無かったとすればどうでしょうか？

実際のデータが推定外であれば
推定内のデータから出した確率などアテにはなりません

成功確率を考えるときも、実行者に推定外の能力があれば
アテになりません

まず、これが一面

先ほどのは、計算を求める為の情報が間違いであった為に
出てくる現実にも十分に有り得る

という意味での理由です

これは、降雨確率０％時の雨や
１００％に雨が降らないという場合の説明にもなります

次の面は一般で確率を考えた場合です

人間は大体１０程度の力を持っている
だから、人間にとって Ｂの成功確率は
１％であるという正しい結果が出てきたとしましょう

この場合、これは人間力の平均が１０なのであり
よって、この結果は色々な人がＢをやった場合
成功割合は１％に近づくということです

これを、一人の人間がやった場合で
その一人が１００の力を持っていたとしたら
その人が何回繰り返しても、成功割合は
１％に近づきません

これも、結局同じなんですが
しかし、確率が間違ってたと言うものではありません

確率の適用が間違っていたのです

一人の人間がやる場合の平均の力は
人によって違うのですから
その一人に対する確率は
一人を固定しないときの確率とは異なるということです

ですから
「Ａという事象が起こる確率が一億分の１％の確率」
と言えたとしても
Ｃさんがやれば、１００％成功である可能性もあるわけです

まあ、Ｃさんがやった場合というのが
条件付き確率になっていると言うわけです

さて、不十分な情報による結果だから
その確率はアテにならなかったというものは
４面体のサイコロがあったときに１が出る確率として
１／４と答えるのは、当たり前ですが
実は、そのサイコロの面は、２，３、４、５だった

とすると、これは、そんなの当たるわけが無い
となるのです

が、さて…
これは、明らかな情報の欠落です

欠落していない情報であれば
間違うことはなかった

と思うかもしれません

ですが…
欠落していない情報などあるのでしょうか？
逆に、情報が欠落していないのであれば
未来は、予測できるのではないでしょうか？
そうだとすると、そこでは「５０％の確率」
と言えるものなど存在しないことになります

つまり、確率とは
情報の欠落部分の可能性の中に
有り得る割合の分布状況と考えることが
出来るわけです

情報の欠落部分の可能性の中に
有り得る割合の分布状況

これが、確率だとすると
実際には、２，３、４、５
の面をもつサイコロなのに
「４面体のサイコロ」という情報しか
持っていなかった為に
そこから推測する可能性として
目が１、２、３、４であるとした

しかし、現実にはこれが違っていた
目は２，３、４、５だったのです
つまり、これは欠落部分を埋める可能性の推測が
現実にあっていなかった結果ということになります

また１の面が、でやすくなっていたとしても
同じ事です

つまり、持っている情報の中から
欠落部分の可能性を確率の計算者が推定し
その推定範囲内における分布状況

これが、人間が計算する確率の意味
ということになります

推定範囲が現実にあっていなければ
その結果は役に立たないものとなります
（例：１、２、３、４の面しかない）

＞「Ａという事象が起こる確率が一億分の１％の確率」
＞と言った後に
＞そのＡという事象が簡単に起こることが繰り返されることがありました

この「」の中が嘘だった訳ね。
誰かが言っただけで真実ではなかったと。

「宝くじを一枚買って、それが1等で“無い”確率は１億分の１％だ」
とか言って何回も簡単に外したら、そりゃその言い分を疑うよな。
了解。

このスレが1000まで行く確率1/3

＞この「」の中が嘘だった訳ね。
＞誰かが言っただけで真実ではなかったと。
真実の確率とは何ですか？

確率とは、欠落した情報による可能性の中での割合
であるのだから
基本的に、もとの情報は欠落したものである

だから１００％、または０％以外の
真実の確率というものは存在しないのです

数学と違う気がする。
「前提」はやみくもに「真」とした上で成り立つのが「数学」のような気がする。

＞でも、そっれて
＞数学と違う気がする。
＞「前提」はやみくもに「真」とした上で
＞成り立つのが「数学」のような気がする。
数学は、形式的なものですが
その意味は、やはり重要です

61〜64につっこめよ。

そこをぐっとがまんしてこそおとなってもんでちゅ（ぴかあ

なんで我慢する必要があるんだ？
つっこめるなら、はやくつっこめよ。

めんどうだから(w

だれあんた？

＞４面体のサイコロがあったときに１が出る確率として
＞１／４と答えるのは、当たり前ですが
＞実は、そのサイコロの面は、２，３、４、５だった

この辺？

> ４面体のサイコロがあったときに１が出る確率として
> １／４と答えるのは、当たり前ですが

だからさぁ、いくら正４面体であろうと、たとえば材質が
均一じゃなきゃ、１／４じゃないだろ、それにたとえ均一
でも意図的に１のみ出るように振れば、それだけでも１／４
にはならないだろ。少しは時代劇でも見て、なんであんなに
頻繁にピンゾロの丁が出るのか、勉強しなさい。

>> ４面体のサイコロがあったときに１が出る確率として
>> １／４と答えるのは、当たり前ですが
>だからさぁ、いくら正４面体であろうと、たとえば材質が
>均一じゃなきゃ、１／４じゃないだろ、それにたとえ均一
>でも意図的に１のみ出るように振れば、それだけでも１／４
>にはならないだろ。

私の発言の中では
「４面体のサイコロ」としか述べていない
つまり、材質が均一かどうかという情報は
そこにおいて欠落した情報といえる

確率とは、このように欠落した情報に対して
可能性を推測して求めるものなのであるが

その情報から推測する可能性の世界が
「ある面が重い」などというような内容の世界であるのは
不自然である

逆に、全ての面が等しい割合で起るという世界は
最も理に適っている

この情報の欠落部分を埋める為に推測する可能性の
世界の中における割合が確率であるわけだから
１が出る確率は、１／４で良いのである

しかし、これは理想的な４面体のサイコロであるわけで
具体的なここのサイコロが、これに当てはまるわけではない

これは、人間の平均の力が１０として計算した結果は
平均でない人間に、そのまま適用することは出来ない
と言うことに等しいことである

「いくら正４面体であろうと…」
これを例えるなら

まったくの平均通りの人間なんて殆どいない
つまり、人間の平均として計算した結果が
そのまま、各自に適用できるわけではないのである

となる

> 私の発言の中では
>「４面体のサイコロ」としか述べていない

単に書き忘れただけじゃん．正直に言えよ．
しかし，「当たり前」といいながら，言い訳が長すぎるぞ．

「ある面が出やすい」のならその重みを確率にかけて、そうした上で
規格化すれば問題なし。

> 77

結局、1の疑問に対するあなたの主張は何ですか？
簡潔にお願いします。

サイコロの目は１００％、俺の意思どおり出るの。下らんレスはやめんさい.

　　　　　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝終了＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

おれも、１００％出せる。
ん？
すると、おれが１をキミが２を出そうとするとどうなるんだ？
やっぱ、殴り合いですか？

＞単に書き忘れただけじゃん．正直に言えよ．
書き忘れではありません
もし、それを、書き忘れだとあなたが言い張るならば
書き忘れは、それだけではありません

書き忘れなんて、いくらでもありますよ

そうでないと、意味のある確率なんて
出ないですからねぇ（笑）

＞しかし，「当たり前」といいながら，言い訳が長すぎるぞ
当たり前と言った説明ですよ

「当たり前」ということばで理解できない人に
その当たり前さを説明する為には
多くの言葉が必要なのです

あなたは、変な茶々しか入れれないようですね

＞結局、1の疑問に対するあなたの主張は何ですか？
＞簡潔にお願いします
は？
私は、そんなものに対して意見を言った記憶はない

それに、その疑問に対する回答は既に出ているので
言うつもりも無い

全部のレス見てないので同じ話が出てるかもしれないが、
一応。
１の出る確率が１/2なら、１以外どの目が出る確率も1/2
だから、全確率は１/2×６＝３　で１を超えるでしょ。
全確率は必ず１にしなきゃならない。これは約束事。
確率には幾つかの約束事があって、
それらさえ守っていればどう言う確率を考えても構わない。
これが公理論的な立場。
もう一つ別の立場があって、どの結果が「同じ程度に起きる」
かを、勝手に人間の側で決めてしまうやり方。
何が「同じ程度に起きる」のか？を最初にはっきり
させないとダメ。
そうしないから１のような勘違いが起きるのだ。

MilkTea＝いまい？

＞８２

８１が見ると２に見えて
８２が見ると１に見える

>1

マジレスです。難しい言葉は使わない説明です。

>出るか出ないかの1/2じゃダメなの？

ダメです。これはサイコロを振った時に１が出る場合と
１が出ない場合の２つの場合がある、と述べているだけで、
確率とは違います。サイコロを振って１がでる確率は、
「サイコロを振って１が出た回数÷サイコロを振った全回数」
で実際にサイコロを振って求めます。理想的にはサイコロを
無限回振った時に、上記確率の計測値(？)はある値に収束する
(これが厳密な意味での確率）、とされています。実際には
正6面体のサイコロなら１０００回くらい振って調べれ
ば１が出る確率が大体推定できます。ジャスト1/6と言う事は
無いでしょうが、ほとんど1/6になると思いますよ。プロ用(?)
のサイコロなら1000回振って976回くらい1が出るかもしれ
ないですが。
数学とかの試験問題にある1/6の確率で1がでるサイコロは
そう決められているので、従うほかない、と言う事だと思います。
だから、本当はサイコロで１が出る確率は何回か振ってみないと
分らないんですよね。まあ、でも普通は60回ふれば大体10回前後
１が出るような感じですよね。まあ、我がゴッドハンド(神の手)
のパワーで自由自在に1を出してもらっても全然オッケー(死語?)
なんですけど。

こんな説明で如何でしょうか。>1

ペリカを無駄に消費させない知識でとてもためになったぜ。

サイコロは４角形６面体だからよって１及びnが出る確立は１/６

＞プロ用(?)
＞のサイコロなら1000回振って976回くらい1が出るかもしれ
＞ないですが。

なんのプロだ？ （うふ

＞９０　鉛がしこんであって、重心をずらしてあれば？
＞８８　極限が存在する事の証明？
＞８５　鉛入りなら、１／２　の確率で１を出すことも可能。
＞１　まじめに答えるなら、「公平な」サイコロを投げて、とか、「正しい」サイコロを投げて、
と問題に書いてあれば、すべての目が確率　１／６　で出るサイコロを投げてという意味です。これはただの約束事です。
１が　１／２の確率で出、他が　１／１０の確率で出るサイコロを考えてもべつに数学として矛盾は起きません。
これが定説。

面白かったsage

＞１　まじめに答えるなら、「公平な」サイコロを投げて、とか
＞「正しい」サイコロを投げて、と問題に書いてあれば、すべての目が確率　１／６
＞で出るサイコロを投げてという意味です。これはただの約束事です。
＞１が　１／２の確率で出、他が　１／１０の確率で出るサイコロを考えても
＞べつに数学として矛盾は起きません。
＞これが定説。
欠落した情報を埋めた結果が確率
つまり、確率とは常に情報が欠落してるものなのだよ

君の例でも、まだまだ欠落している

１の面を上にして、同じ投げ方で
投げつづければ、出る面に偏りは出るものである

サイコロが、正当な（？）ものであっても
それだけでは、等確率に出るとは限らない

別にサイコロの中に錘が仕込む仕込まないはその問題に
計算に入れるかで答えが違ってくるはずです。
９０が言うのであれば１回だけ投げた回数＝1/6で正しいのですが
ここでサイコロの振り方によって全然違うことがあります。
これは人間によって運がいい人悪い人と同じような原理で
完全に計算してでる確率ではないです。
サイコロの投げ方、８角の物体（サイコロ）、重力、着地によるサイコロを支える地、etc
などを計算すれば確実な答えが出ると思います。
勿論ランダムｘは計算に入れないとして

＞サイコロの投げ方、８角の物体（サイコロ）、重力、着地によるサイコロを支える地
＞etc
＞などを計算すれば確実な答えが出ると思います。
＞勿論ランダムｘは計算に入れないとして
さて、何度も言っているのだが
情報は、欠落したものである
これが、基本なのだが分かってもらえてないようだな

正確に計算というが、実際にはどうやるのだ？

本当の大きさなど、どうやって認識するのだ？
大きさは、分子レベルまでいくと不明確だろうし
微妙な温度の違いによって変わりもするし
磁力による空間の歪みもあるでしょう
本当の大きさなんて、計れるのでしょうか？

いや、計れないんですよ
本当の大きさなんて

人間のセンサーには、精度があります
これが、人間側の都合

そして、温度やゆがみによる影響の結果として
大きさは時間によって異なるのです
分子レベルまで行けば、サイコロの大きさが
定まっているなどという戯言が
戯言であるとわかるでしょう
これが、現実の大きさと
人間の感覚的な大きさとのズレ

結局、確率なんて上の上でするものなんですよ
欠落した部分の中の可能性を推測し
その可能性の中での割合が
確率なんです

確率を現実に適用する場合
それ以上に、どういえると言うのでしょうか？

ま、有効桁数と情報に付け加えるなら
話は少し変わってきますけどね

（現実の側の説明の付け加えとして…）
現実の大きさなんて測りきれないのです

そして、それ以前に本当の大きさなんて無いのです

まあ要するに正確な答えなんかないってことですよね

ちょっと違う

＞98
正確ってのは人間にとっての正確ってことだから
正確な答えというのはあるよ。

観念的に「精確」ってもんを考えると現実と遊離して
1みたいな質問がでてくる。数学的思考の訓練を目的とした
質問に意味がないとは言わないけど、そこに現実との接点を
求めるのはまた別の話。

正確な答えって何ですか？

全部を正確に測り、その上で正確に計算する事が
可能であるとしましょう

とすると、その結果は、一つのハズです

つまり、Aとなるか、ならないか

確率で言うと、１００％か０％のどちらかに
決まってしまうということです

じゃあ、確率ってなんなんだ？
ってことに、なるんです

つまり、欠落した情報から可能性を推測し
その推測した可能性の中での割合こそが
普段われわれが使っている確率というものであることが
わかるのです

つまり、１〜６の面があるサイコロを振って１が出る確率は
１／６です

確かに、実際の特定のサイコロは重さに
偏重があったりするでしょう

ですが、問題には、そこまで書かれていません
それは、問題において欠落した情報なのです

問題の中では、１〜６の各面に
それぞれ偏重の無い情報があるわけですから
その問題の中において、１〜６は同等なものと
みなす必要があるわけです

問題に対する回答としての確率とは
それが正確な答えなのです

すいません、誰か46の答えを教えてください。

＞102
僕も不思議に思っていたんだが、結論として46の子供の選択も、選択した理由も全部正しい。
一見、パラドックスのようにみえるが、実はパラドックスでも何でもなく単なる正論でした。
要は丁半ばくちで「はずれても掛け金の半額はお戻し、当たれば倍付け」
なら誰でも賭けるでしょ。それと同じ。
十分な回数を行えば、最初の封筒だけをとるより、もう一つの封筒を更に取ったほうがお徳。
（ダメでも最初の封筒の半額は保証されているから。当たれば倍）

納得いきません。

最初右の封筒を開けて200円入ってるのを確認して
左の封筒のほうが期待値が高いという結論なのですが
別に右の封筒を開けてみなくても
右の封筒にｘ円入っているとすると左の封筒の期待値は(5/4)ｘ円となり
左の封筒のほうが期待値が高いのです

どっちの封筒も対称のはずなのにどうして左の封筒の方が期待値が
高いという結論になるのですか？

右でも左でも最初に開けた封筒にＸ円、次の封筒はＸ/2円か２Ｘ円。
したがって期待値は（５/４）Ｘ円。
右でも左でも関係ない。
関係あるのは最初に開けた封筒の中身。その金額がＸ円。
左からみれば、右が（５/４）Ｘ円。右からみれば、左が（５/４）Ｘ円。
対称。
Ｘが200円なら、次の封筒の期待値は250円。Ｘが400円なら、次の封筒の期待値は600円。
こんなんで、よろしいですか？

「次の封筒の期待値は600円。」⇒Ｘ
「次の封筒の期待値は500円。」⇒Ｏ
すいません。

>106他
この問題は前に散々議論してた奴です。
確率空間と確率変数を区別してないのが混乱の原因。
金額を確率変数に取ることはそもそも出来ません。
封筒に入っている金額の確率分布についての情報が
全く与えられていないからです。
もし、袋に入っている金がいくらなのか全くわからない
＝いくらでも大きい金額の可能性がある。
と解釈すれば、期待値は無限大となり、この場合、
連続分布では同時確率分布は存在しません。

最初に開けたほうが２００円で、
もう一方が１００円と４００円の２通りだとしても
１００円である確率と４００円である確率が等しく無い、
という事なんですか？

１の試行に対する標本空間Ωは、
ω１,ω２,ω３,ω４,ω５,ω６です。
ここで各
ωi＝iの目がでる事象
です。すると、１が出るという事象はω１、１がでないという事象は
{ω２、ω３、ω４、ω５、ω６}
です。各ωに対しては同様に確からしいという仮定をするのが普通なので、
よって、
１がでる確率＝P{ω１｝＝１/６
１が出ない確率＝P｛ω２、３、４、５、６｝＝５・1/６(確率の公理より）
となります。

なお、理論上はω７などを定義してもかまいませんただし、これらの事象は
確率０(測度論なんか知ってると分かりやすいです）で起こるものです。

「最初の封筒を開ける。中身を知る。次の封筒を開けた方が得か？」
って問題でしょ。
この時点では[封筒に入っている金額の確率分布についての情報]はアルのでは。
勿論「最初の封筒の中身が無限大」なら別の問題ですが。。。。
最初の封筒の中身はとりあえず、この時点では自分（子供）のもの。
次にこの金額を元に「丁半バクチ」をする。
当たれば倍額、はずれても半額という、とってもお徳なゲームをするか、しないかという話ではないでしょうか。
もっと、極端な設定、２つの封筒の中身が100倍の時を考えてみる。
最初の封筒の中身は千円だった、ということは次の封筒の中身は100円か10万円。
900円を賭けて丁半当たれば１０万円、ハズレは掛け金（900円）没収のゲームします？

100円⇒10円
900円⇒990円

初めの封筒の金額が、Ｘ円であった場合
もう一方に期待される金額は
（５／４）＊Ｘ円です

これが間違っているわけではありません

しかし、それは考える参考にならないと言うだけのことです

なぜなら、実際に封筒を選択するときには
二つの封筒の中身は、既に固定されているからです
中身が流動的な場合の期待値を求めても意味がありません

>右でも左でも最初に開けた封筒にＸ円、次の封筒はＸ/2円か２Ｘ円。
>したがって期待値は（５/４）Ｘ円。
>右でも左でも関係ない。
>関係あるのは最初に開けた封筒の中身。その金額がＸ円。
>左からみれば、右が（５/４）Ｘ円。右からみれば、左が（５/４）Ｘ円。
>対称。

実際に右の封筒を開けなくても
右を開けたつもりにして金額をｘ円とすると左の方が高くなるんです。
左を開けたつもりで計算すると右が高くなる。
よって矛盾する。といいたいのです。

>しかし、それは考える参考にならないと言うだけのことです
期待値を参考にしないで何を参考にすればいいのでしょうか？

男

　　 Λ＿Λ　　／￣￣￣￣￣
　　（　´∀｀）＜　オマエモナーの確率100%
　　（　　　　） 　＼＿＿＿＿＿
　　｜ ｜　|
　　（_＿）＿）

>102

あまり難しい言葉を使わない説明です。というより、自分は
あまり賢くないので、難しい言葉は理解できません。

まず、期待値(平均値)について。期待値を求めるには、封筒に入って
いる金額とその金額の封筒が選ばれる確率が必要です。最も単純な場合
として、2つの封筒にそれぞれ100円と200円を入れてどちらか一つの
封筒を子供に取らせる場合を考えて、子供がエスパーである場合を
除けば、100円の封筒を取る確率は1/2、200円の封筒を取る確率は
1/2であるとさせてもらいます（実際もそうであると推測されます）。
この場合、子供がもらえる金額の期待値は100円*1/2(確率)+200*1/2
で150円であると求められます。

さて、46の場合です。
>左の封筒に入っているお金は右の封筒の倍か半分なので400円か100円
>ですが、それぞれの可能性は半々です。よって左の封筒に入っている
>お金の期待値は250円となり右の封筒のお金(200円)より多くなります。

上述のように、期待値を求めるには、封筒に入っている金額とその封筒
が選ばれる確率が必要なのですが、46の文章では、単に左の封筒には
400円か100円が入っている(可能性がある)、と述べているだけで、
本当に入っている金額が不明なので、期待値は求められません(確率も
不明)。では250円は何なのか？これは単に左の封筒に入っていると思わ
れる400円と100円に1/2をかけて足し合わせた数で期待値とは全く関係な
い無意味な数字です。

いろいろ見てきましたが、消防レベルの僕には88さんの説明が一番わかりやすかったかな。
結局これ以上進んで考えていくと、「確率」そのものの意味を問わざるを得なくなるでしょう。
まぁ、それは哲学ってことで数学の守備範囲からでちゃうのかな？

＞46の文章では、単に左の封筒には
＞400円か100円が入っている(可能性がある)、と述べているだけで、
＞本当に入っている金額が不明なので、期待値は求められません(確率も
　不明)
確率1/2で400円か100円が入っているのでは？
サイコロを振って出る目は「本当に出る目は不明」ですが期待値は求められ3.5ではないですか？

わかったようなわからんような。。。

お父さんがある金額とその２倍の金額の
封筒をランダムに置きました。
右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
↓
右の封筒の金額をｘ円としたとき、
左の封筒の金額は
ｘ/2円の確率1/2
2ｘ円の確率1/2

の↓が誤り？

>おおっ
>ヤフーねたですね？ >>51

>この問題は前に散々議論してた奴です。>>107
どこで散々議論したのですか？
元の議論を読みたい。知ってる人いませんか？

1さんへ
わかってもらえたようで、嬉しいです。自分も勉強に
なりました。
自分の説明は確率や期待値の定義をきちんと自分でも
分かる形で把握して、では、何が問題なのか？という
事を考えて行いました。

>119
>確率1/2で400円か100円が入っているのでは？
これは父親のきまぐれで400円か100円を入れることができるので、
確率は不明です。サイコロで言うと、このサイコロは1,2,3,4,5,6のどれか
の値をとることが出来る、と述べただけで、どの目がどれだけの確率で
出るかが不明な状態です。
>サイコロを振って出る目は「本当に出る目は不明」ですが期待値は求められ3.5ではないですか？
出目の確率について条件がなければ、サイコロについてはその通りです。
期待値については、出目の確率が分からないと計算できません。確率があれば
普通の: 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3.5
鉛入り: 1*5/10+2*1/10+3*1/10+4*1/10+5*1/10+6*1/10=2.5
と、1が出やすい分(1/2)期待値は小さくなるとか言う事が推測できます。

>120
>↓
>右の封筒の金額をｘ円としたとき、
>左の封筒の金額は
>ｘ/2円の確率1/2
>2ｘ円の確率1/2
ここで問題だと思うのは、この時点で左の封筒にいくらの
お金が入っているのか不明だという事です。現実問題で
考えると、子供が封筒のお金を選ぶ時点ですでに右と左の
封筒にはお金が入っている訳ですから、この時点でx/2円
なのか2x円なのか決定しないと、期待値は求められません。
そして、ここでx/2円を入れるか2x円を入れるかは、単に
x/2円を入れる場合と2x円を入れる場合があってどちらを
入れてもかまわない、と述べているだけで確率とは全く関係
ありません。
>お父さんがある金額とその２倍の金額の封筒
x/2円を入れても2x円を入れてもこの前提には従う訳ですから、
とにかく封筒にきちんとお金を入れない事には期待値は
求められない、という事です。

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=yahoo.d6.0b.835554&topicid=398m100&msgid=8g2bt6$ikr$1@m100.yahoo.co.jp&type=date&first=1

88さん解答ありがとうございます。
でも、その説明では納得いきません。

もう一度質問させてください。

お父さんがある金額とその２倍の金額の
封筒をランダムに置きました。
↓<1>
右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
↓<2>
右の封筒の金額をｘ円としたとき、
左の封筒の金額は
ｘ/2円の確率1/2
2ｘ円の確率1/2
↓<3>
よって左の封筒の期待値は5/4ｘ
↓<4>
左の封筒のほうを選んだ方が得

↓の<1>〜<4>のどこが間違っているのですか？

ありがとうございます。
今から読みます。

>120さんへ

今度はちょっと視点を変えて、自分が子供である場合を
考えましょう。きまぐれオレン・・・じゃないや、きまぐれな
父親が、「片方の封筒にはもう片方の封筒のニ倍のお金が入っている。
おまえはまず好きな方の封筒ひとつの中身を調べてよい。その後、
どちらでも好きな方の封筒ひとつを選んで中身を手に入れるがよい」
と言って来たので、右の封筒を見ると200円が入ってました。
おや？何故か僕の右手にはサイコロが・・・。この時に、「僕は左の
封筒を選ぶ。ただし、左の封筒の中の金額を、今ここでサイコロの
勝負で決めさせてもらう。ルールは1,2,3がでたら200円を倍にする。
4,5,6なら半分の100円にする。」という条件をのませれば、期待値は250円
になります。このサイコロがプロ用ならば期待値は400円に近づきます。
この博打をしない場合、左の封筒の金額が100円あるいは400円である事は
確かですが、その確率は分からない（父親のきまぐれで既にお金が入れら
れているから）、という事です。

><2>
>右の封筒の金額をｘ円としたとき、
>左の封筒の金額は
>ｘ/2円の確率1/2
>2ｘ円の確率1/2
この時、左の封筒の金額に確率(偶然)が入り込む余地はないので、単に、
右の封筒の金額をｘ円としたとき、
左の封筒の金額はｘ/2円ないしは2ｘ円であるが、父親がきまぐれで
入れたので、どっちがどれだけの確率で入っているかは我々には知り得ない、
となります。従って期待値は不明、という事です。

これで如何ですか？

120でないけど
子供が200円を左の封筒の中に見つけた時、この200円は
（1）100円、200円の組み合わせの200円
（2）200円、400円の組み合わせの200円
なのか、父親が恣意的に決めるので、（1),(2)の出現確率は1/2でない。
と言うことでいいのかなぁ？

>128
くーっ、こんなに簡単に説明できたとは・・・
その通りだと思います。4行で済むのか・・・
120さん、こちらを参考にして下さい。

ぜんぜん納得いきませーん

お父さんがある金額とその２倍の金額の
封筒をランダムに置きました。
↓<1>
右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。

これが誤りなのですか？

自分の説明力不足が残念です。
>お父さんがある金額とその２倍の金額の
>封筒をランダムに置きました。
>↓<1>
>右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
父親がランダムに置いた両方の封筒をあけて中をみるという
作業を何度も行なえば、右の封筒の方が高い確率は1/2で、
左の封筒が高い確率は1/2に大体なります。これは合ってると
思います。問題は<2>にあると思われます。

右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
↓
右の封筒をｘ円としたとき左の封筒の金額が２ｘ円の確率は1/2

これが正しくないとおっしゃるのでしょうか？

＞１３２さん
正しいよ。

左右にｘ円と２ｘ円を入れたという情報があり、
しかしｘがいくらかは不明。
右を空けてｙ円が入っているのを確認したなら、
このｙ円がｘ円である確率は1/2、２ｘ円である確率も1/2。
ｙ＝ｘの時、100%、左には２ｘ（＝２ｙ）あり。
ｙ＝２ｘの時、100%、左にはｘ（＝ｙ／２）あり。
普通は左の封筒に半々の確率でｘ、２ｘがあると考え、期待値は１．５ｘ。
１３２さんの言う「ｘ」は私のｙなんだけど、
このｙは状況によって値が異なるんだから、
それをあたかも同じものを指すようにして
（２ｙ＋ｙ／２）／２＝４ｙ／５とするのはナンセンス。
読み間違いでなければ、＜３＞ステップが誤り。

ってことでどうですか。

＞１０７さん
この問題の説明としては、ちょっと違う気が。

「財布の中を見せ合って、少なかった人が多い人の
　財布の中のお金をもらえる」という事例なら、
各自の持っている金額ｘにつき、半々の確率で
「ｘ以上をもらえる」「ｘを失う」の事態が発生するため、
あたかも期待値が正という、とんでもないパラドックスが一見、
発生しますが、そのような事例への説明ではないでしょうか。
勿論、分布状況を無視して議論するから
こんな勘違いが生ずるに過ぎないのですが。

所詮は雑学なんで、間違ってるかも知れません。

＞１３４に修正
「財布の中を見せ合って、少なかった人が多い人の
　財布の中のお金を＊全て＊もらえる」という事例なら、

それも合っている気がするなあ。

120さんへ

>右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
>↓
>右の封筒をｘ円としたとき左の封筒の金額が２ｘ円の確率は1/2

これは正しい場合があります。確率が1/2ということなので、
もうひとつのほう、のこりの確率1/2が問題です。

２つの可能性が
右の封筒をx円としたとき左の封筒の金額が2x円の確率が1/2
右の封筒に2x円が入っていて左の封筒にx円である確率が1/2
という事であれば、イコール
右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
で、お父さんがある金額とその２倍の金額の(お金を入れた)
封筒をランダムに置きました。の前提を満たします。
(お金を入れた)というのは付け加えさせてもらいました
(問題ないですよね？）。

２つの可能性が
右の封筒をx円としたとき左の封筒の金額が2x円の確率は1/2
右の封筒にx円が入っていて左の封筒にx/2円である確率は1/2
であればイコール
右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
ですが、お金がきちんと入っていないので、前提に反します。
(これがステップ<2>の定義ですよね？）
・・・つづく

・・・つづき
x=200としたとき、
右の封筒に200円で左の封筒に400円の確率1/2ないしは
右の封筒に400円で左の封筒に200円の確率1/2という場合
であれば、封筒にきちんとお金を入れて、ランダムに置いた
状況を表しています。

右の封筒に200円で左の封筒に400円の確率1/2ないしは
右の封筒に200円で左の封筒に100円の確率1/2という場合は、
お父さんがある金額とその２倍の金額の(お金を入れた)
封筒をランダムに置きました。の前提に合わないような
気がするのです。左の封筒に本当はいくらのお金が入っているのか
誰も知り得ない状況です。とにかく、お金を封筒に入れて
ランダムに並べたという前提条件を満たしていないような気が
するのです。

繰り返すようですが、自分の考えは、
封筒を置く位置（大きい金額の封筒を右におくか左に置くか）
とどちらを子供が選択するのか、という事については偶然の
入り込む余地（確率）が存在するが、封筒に入れる金額その
ものは封筒を置く前に既に決められている必要があって置い
た後に偶然の入りこむ余地（確率）は存在しない、という考えです。
まだ・・・駄目ですか・・・？

こう考えたらいかが？
１）
「２つの封筒のうちのどちらかには２００円が入っている。
もう片方には１００円もしくは４００円が等確率で入っている｡
どちらか好きなほうを選べ｡」
選んだら２００円入っていました｡
あなたはうれしいですか？
２）
今２００円持っています｡
半々の確率で倍、もしくは半分になります｡
あなたはチャレンジしますか？

Ans.
１）No. だって期待値は２２５円だから損｡
２）Yes.だって期待値は２５０円だから得｡

対称性云々を議論するなら１）の状態で議論しなければいけません｡
封筒は二つではなく三つあるのです｡
一個を調べた時点で、
｢本来の期待される金額が２２５円であったこと｣
｢自分が手にした金額が２００円であり損(期待値以下の金額)をしたこと｣
の２つの情報が同時にわかってしまうのです｡
ここが混乱の原因でしょう｡
ここでもう一方の封筒を選ぶか、というのは２)の場合と同等なわけです｡
だからもう一方の封筒を選んだほうがいいのは当然で何の矛盾もありません｡

封筒のネタって、スマリヤンの本に載ってるやつでしょ？

みなさんありがとうございます。
133の説明で納得しました。

>右の封筒の金額をｘ円としたとき、
>左の封筒の金額は
>ｘ/2円の確率1/2
>2ｘ円の確率1/2
>↓<3>
>よって左の封筒の期待値は5/4ｘ

ここが誤りで
左がｘ/2円のときと2ｘ円のときでは
ｘの確率分布が異なるため足して期待値はだせない
ってことでいいですね

いや、違うんじゃない？
問題は
「右の封筒をXとすると左の封筒の期待値は5X/4。
だから左右の封筒の対称性に矛盾する｡」
の”だから”の部分｡矛盾はない｡
なぜなら片方をXとした時点でもう対称性は崩れている｡
Xと仮定してまだ対称性が残っていると思うのが間違い｡
こんな例を考えてみてくれ｡
1〜10の数字が書かれたカードから２枚選んで並べる｡
当然この時点では２枚は対称｡
でも片方をXとした時点でもう片方は(55-X)/11であることが期待される｡
もうそこには対称性はないでしょ？

ちなみに一方を選んだ時必ずもう一方の期待値が高くなるのが気持ち悪い、
というのなら、その原因は、期待値を下回る＝損　とするなら、
この場合｢必ず損をする｣ことに起因します｡
調べた時X円だった→期待値は9X/8　となってしまうからです｡

134は確かに確率分布が与えられてないことが原因ですが、
今の場合とは明らかに状況が違うでしょ？
少なくとも今は出得る金額が何かはわかっているんだから｡

またよくわからなくなってきました。
とりあえずここだけ反論します。

>でも片方をXとした時点でもう片方は(55-X)/11であることが期待される｡
>もうそこには対称性はないでしょ？

Xは1〜10のカードが等確率であるとすると
Xと(55-X)/9は同じ確率分布になるので対称です。

Xと(5/4)Xは確率分布が異なります。

142=143さんは
最初の問題の場合
右の封筒の中身を確認した場合
左の封筒をもらったほうが得だと言ってるのでしょうか？
そんなことはありえないですよね
期待値は高くても得ではないって言いたいのでしょうか？

一方を選んだ瞬間にもう一方の期待値が5/4になるというのが
不思議ではありますが、根本的にこの段階で期待値を求める
ということ自体がおかしいのではないでしょうか。

一方がもう一方の２倍ということを意識しすぎて、一方を取った時を
基準にもう一方の中身を考えるという考え方自体が期待値を求める上
では間違いかと思います。

A円とB円が２つの封筒のそれぞれに入っている時、期待値は（A+B）/2 円。
この時、AもBも未知数だから正しい期待値が求められないだけです。

一方を取った時、片方の金額が初めてリアルに確認できるため、それを
基準に期待値を求めるという作業を始めていることに間違いがあると思います。
一方を取った時点で、もう一方の金額は既に確定した金額として存在して
いるもので、流動的なものではありません。

＞右の封筒の中身を確認した場合
＞左の封筒をもらったほうが得だと言ってるのでしょうか？
その通りです｡
ありえない、と思うのは何でですか？

このような条件下では、
自分が損をしているのか得をしているのかわからない
状況ではチャレンジした方が得だ、ということです｡

こういう例はいかが？
さいころのある目が出たら他の目が出た時より１０倍の金額をもらえるとします｡
今一回さいころを振りました｡
この時点では自分が損をしたのか得をしたのかわかりません｡
次にさいころを振ったとき損をするのは
今の目があたりで、かつ次の目が外れであった時、
つまり1/6x5/6=5/36
一方、最終的に得をするのは一回目の目にかかわらず
２回目が当たりであればいいのですから
1/6
です。
２回ともあたりであったときは得をしたことに気付きませんが｡
あとはドロー｡
結局２回目を振ったほうがいいのです｡

＞Xと(5/4)Xは確率分布が異なります。
ごめんなさい。よくわからないんですが｡
もしかしたら私は確率分布が何かってことがわかってないかもしれません｡
どういうことでしたっけ？

ちなみに
X,(55-X)/9 のXは確率変数だけど
X,5/4XのXは確率変数じゃないよ｡
後者のXは親父が勝手に決めている値｡

期待値が求められないという人もいるけどそんなことはないでしょ｡
とりあえず133さんに反論すると、

＞このｙは状況によって値が異なるんだから、
＞それをあたかも同じものを指すようにして
＞（２ｙ＋ｙ／２）／２＝４ｙ／５とするのはナンセンス。

足しているのは固定されているYに対して考えうる
もう一方の封筒の金額｡
Yが状況によって異なるのではなく、
状況によって異なるのはもう一方の封筒の中身の金額｡
だからYは同じ｡足せる｡

数と英数が区別できるように色分けできるようにすればいいのに

ここらで確率変数、確率分布、期待値などの定義をはっきりさせたいんだが。
誰か頼む｡

＞一方、最終的に得をするのは一回目の目にかかわらず
　２回目が当たりであればいいのですから
　1/6
　です。
　２回ともあたりであったときは得をしたことに気付きませんが｡

それはへんでしょう。
一回目と二回目が共にあたりだった場合を
二回目を振って得をしたことに含めるのはへん。
純粋に２回目を振って得をしたと呼べるのは
１/６−１/６＊１／６＝５／３６で
振っても得にはならない。

眠くて書いてるから、表現の稚拙は許してね。

今、ある会社の株価が1日おきに、前日の半分か2倍の価格となって
変動している、としますね。
そこでこの会社の株を買ったとしましょう。
結局購入してから偶数日後には、損得なしとなりますね。

比をベースに期待値・予測値を計算する時には、
通常指数・対数を用います。これは物価上昇率の計算だろうが、
株価上昇率だろうが同じです。

ですから長らく議論となっているこの件も、
相加平均ではなく、相乗平均を用いれば問題ないわけです。

元の問題が「右と左で200円違う」のであれば、
相加平均で結構ですよ。勿論。

120さんは、観察される結果と自分の理解のギャップを
埋めたいとお考えのようですね。健全だと思います。
しかし、誰もが得するようなトリックを信じてしまうような
書き込みをされている人もいて、老婆心ながら心配です。
もちろんネタなんでしょうが、実社会で騙されないことを祈るばかりです。
この間読んでた本では、単純なデリバティブで簡単にだまされる
大企業の財務担当者のことが、それとなく書いてありましたから。

わかるところだけレスします

>147
>＞右の封筒の中身を確認した場合
>＞左の封筒をもらったほうが得だと言ってるのでしょうか？
>その通りです｡
>ありえない、と思うのは何でですか？

右を確認した場合と書きましたが
そのように考えますと、
別に右にいくら入っていても左が得ですから
右を実際に空けてみる必要はありません。
右をｘ円と仮定するだけで左が得になります。
ところが左をｘ円と仮定すると右が得になります
これが矛盾してると思います。

>さいころのある目が出たら他の目が出た時より１０倍の金額をもらえるとします｡
この例の意味がさっぱりわかりません。
例えば１がでたら100円もらえて２〜６がでたら10円もらえるって意味？
損得ってなに？
期待値25円との比較？

>次にさいころを振ったとき損をするのは
>今の目があたりで、かつ次の目が外れであった時、
>つまり1/6x5/6=5/36
損をするのは両方はずれだったとき。5/6*5/6でないの？

>152

>今、ある会社の株価が1日おきに、前日の半分か2倍の価格となって
>変動している、としますね。
>そこでこの会社の株を買ったとしましょう。
>結局購入してから偶数日後には、損得なしとなりますね。

理解できません。奇数日は得なんですか？
この株は期待値が１日で５／４に増えますので
買えば当然毎日儲けが期待できると考えます。

株の比の話は関係ないでしょう？持ち金の何％かけてゲームしている
わけでないのに。
親父の封筒の問題は左の封筒を選ぼうが選ぶまいが期待値は両方の封筒
に入っている金の半分でしょ？左もそのまま右でも一緒だよ。
さいころの問題（丁半のやつ）はやったほうが得でしょうけど、
封筒の問題とは又違います。

>152
何がおかしいかわかりませんか？
例えば1000日後の株価は購入時と同額
1001日目の株価はよくて2倍。
＞この株は期待値が１日で５／４に増えますので
とは明らかに矛盾してるでしょ？

確かに相加平均を機械的に行なえば、
他方の封筒は今開けた封筒の5/4倍の金額が
入っているけど、その計算には意味がないんだよ。
左右の比を足し算する処理に、問題が内在してるんだって。
（左右の差を足し算して2で割るならいいけどね。）

＞152でなく、>153でしたね。
自分にレスしてどうすんだ…

例えば、距離と時間の比である速度の例だと
わかりやすいかな。
往路で100km/h、復路で50km/hとしても、
平均速度は75km/hとはなりませんね。
つまり分子の距離が同じでも平均は出せず、
分母の時間が同じ場合、初めて２つの比を足して２で割れるのですね。
120さんが気にしているこの件は、
要するに「分母を気にせず、２つの比を足して２で
割ったら駄目」ということです。

↑ああ、またやっちゃった。
下3行は訳わかんないですね。削除。

＞ですから長らく議論となっているこの件も、
＞相加平均ではなく、相乗平均を用いれば問題ないわけです。
相乗平均を用いて問題ないよう説明して欲しい｡

＞左右の比を足し算する処理に、問題が内在してるんだって。
＞（左右の差を足し算して2で割るならいいけどね。）
じゃあ、139の1)の計算も間違い？
そうじゃないでしょ。
今の場合の問題が139の1)と本質的に違うことに問題があると思うんだが｡

>自由=155さん

そもそもこの例の意味がよくわからないです
>今、ある会社の株価が1日おきに、前日の半分か2倍の価格となって
>変動している、としますね。
>そこでこの会社の株を買ったとしましょう。
>結局購入してから偶数日後には、損得なしとなりますね。
「1日おき」ってどういうこと？
奇数日には前日の半分か２倍になって偶数日にはまた元に戻るってこと？
なんで偶数日後に損得なしなの？

私は毎日株価が前日の半分か２倍になると解釈したのですが。
どっちにしてもこの株は買えば買うほど得すると考えます。

>154
だいたい私の考えてるとおりです。

>親父の封筒の問題は左の封筒を選ぼうが選ぶまいが期待値は両方の封筒
>に入っている金の半分でしょ？左もそのまま右でも一緒だよ。

この結論が正しいと思うのですが
考え方によってこの結論に達しないので悩んでます。

少ない方のお金が0~nを等確率でとるとき、
多いほうのお金は、大雑把に言って0~2nを等確率で
とるといっていい。
このとき、開けた封筒の中身が0~nの範囲だったとき、
それが少ないほうである確率は、多いほうである確率の
２倍であり、この比率はn→∞でも保たれると考えるべきである。
すると、他方の中身の期待値は、2n×(1/3)+n/2×(2/3)=n
となって、めでたしめでたし。

訂正。開けた封筒の中身をxとして、
最後の式のnをxに変えてください。

>自由さん
たしかに相乗平均を用いれば、
あけた封筒に入っていた金額をｘとして
もう一つの封筒の期待値は√（２Ｘ＊Ｘ／２）＝Ｘ
となりますね。実は僕も最初にこう考えたんですが、
なぜ、相乗平均なのか、いまいち納得できません。

たとえば、少し問題を換えてみて、
「どちらかの封筒の金額の２乗がもう一方の封筒に入っている。」
とします。
このとき、封筒を開けてみて１００円が入ってれば、
他方には１０円か１００００円が入っているはずです。
この時の期待値はどう計算されますか？

1と2の数字が書かれたカードがあり、それぞれ封筒に入れます｡ ……A
片方の封筒の数字はもう片方の2倍、または2分の1です｡ ……B
今右側の封筒を調べたら数字は2でした｡ ……C
ですから左側の数字は100％1です｡ ……D

上に書いてあることには何の疑いもありませんね？
ちなみにBの条件は必要ありません｡無意味です｡
でも、ここでAがわからなかったらどうですか？
見えてくるでしょ？Cの時点で幻の4のカードが｡
これが問題になっている話の状況です｡
Aは知らされていないけどもう確定しているのです。
だから結局結論Dは変わりようがないのです｡
左の封筒は右の封筒に対して確率的に値を決めるわけではないのです｡
でもなまじBなんて条件があるから確率の問題だと錯覚してしまう｡

2と4のカードから1枚とろうという時、引きうるカードが偶数だ、
という条件が与えられると6や8のカードも引く確率が生じますか？

もうおわかりですね？
封筒を調べる時すでに両方の金額が確定している以上、
起こりうるのはXをひくか、Yをひくかのどちらかでしかありません。
かりにXとYの関係が与えられていてXを調べることでYの候補が絞られたとしても、
引きうるYの候補が増えるわけではありません｡
それを確率的にとらえようとすること自体がナンセンスなのです｡
もう一方の封筒には100％Yが入っているのです｡
「片方の封筒にはもう片方の封筒のニ倍のお金が入っている。」
という情報は確率的には無意味なのです｡

＞右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
＞↓
＞右の封筒をｘ円としたとき左の封筒の金額が２ｘ円の確率は1/2

このステップが誤りです｡
右の封筒をｘ円としたとき左の封筒の金額は2xまたは1/2･xですがその確率は議論できません｡

取りあえずこれ、ケリつけようよ。（ついてるのかなぁ？）
「お金の期待値は250円となり右の封筒のお金(200円)より多くなります。」>>46
これに対し
（１）その通り
（２）違う。期待値は不明（理由：父親が恣意的に金をいれるから等）
（３）違う。期待値はXXX円（例：225円）
どれですか？
（２）が正しいのは決定ですか？
あとは、その理由に対し色々意見がある、でイイですか？
すいません、いまいちスッキリしないもので。

納得いかないよ｡
じゃあ、この問題を確率の問題として考えても無駄ってこと？
何とかして確率的にとらえられないのかな？
自由さんは相乗平均を使えばうまくいくって言ってるし、
160とかはどうなの？
もっと考えようよ｡

怪しげな男にこんなことを言われました｡
「今2つの封筒があります｡
片方にはもう一方の100倍、または100分の1の金額が入っています｡
どちらかお好きなほうを差し上げます｡」
喜んで封筒を開けてみたら1万円入っていました｡
すると男は言いました｡
｢もう一方の封筒には百万円入っているかもしれないよ｡
十万円はらったらもう一方の封筒と取り替えてあげるよ｡｣
期待値を計算してみるともう一方の封筒に入っている金額は
なんと50万50円です｡10万円払ってもおつりが来ます｡
「や、やります。」
もう一方の封筒に入っていたのは百円玉でした｡
今日は損をしちゃいましたが確率的に見れば得するはずなんです｡
明日もチャレンジします｡

うーん。
納得できるような気もするが、頭の隅で誰かが「でもね……」と言っている気がする。
もう少し考えて見ます。

164の問いに対しては私は
>（２）違う。期待値は不明（理由：父親が恣意的に金をいれるから等）
です。
２５０円になるは絶対に信じられません。
ただ２００円になると言われると正しい気もします。


163さんの
>＞右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
>＞↓
>＞右の封筒をｘ円としたとき左の封筒の金額が２ｘ円の確率は1/2
>このステップが誤りです｡
には納得がいきません。
２つの文章は同じことを言っていると思われます。

1.右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
2.右の封筒をｘ円としたとき左の封筒の金額が２ｘ円の確率は1/2
3.右の封筒が左の封筒の2倍である確率は1/2
4.右の封筒をｘ円左の封筒をｙ円としたときｘ<ｙ確率は1/2
5.右の封筒をｘ円左の封筒をｙ円としたときｘ=2ｙ確率は1/2
6.左右の封筒の金額の多い方をａ円としたとき右の封筒がａ円の確率は1/2

この文章は全部同じことを言ってるように見えますけど
1.は正しくて2.が誤りな理由がわかりません。
3.〜6.はいかがでしょう？

「期待値は不明」と「期待値は200円」は両立しないですが、なんとかケリつかないでしょうか？
もう、気持ち悪くてしょうがないんです。
勿論、163さんのせいではないんですが…。
よーし、俺がけりつけてやる、と思うんですがなかなか…。

＞１６６
今日もまたチャレンジしました。
封筒を開けてみたら１００円でした。
そうするともう一方の封筒には１万円が入っているに違いない。
今日は取替え料１０００円でしたがもちろん取り替えました。
中身は１円でした。

たしかに、
投げたサイコロが車道に転がって、
トラックに押しつぶされる可能性だってあるのに、
それは捨象してあるよね＞１

163は長すぎて逆にわかりづらかったかな｡
省略されちゃってるし｡
私が一番強調したいのはね、
｢片方の金額がもう一方の2倍｣……#
という情報は、
「あたかも確率が存在するかのように思わせる心理トリック」
だ、ってことです｡
つまりこの情報を使ったすべての確率的考察はナンセンスです｡
今この情報がなかったら、どうですか？
左の封筒にはあらゆる金額が等確率で入っていると思いますか？
そんなわけないでしょ？
それがこの情報が与えられて候補が2つになったとたん、
なんで1/2･Xと2Xが等確率で存在するはず、と思うのですか？
＞右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
＞↓
＞右の封筒をｘ円としたとき左の封筒の金額が２ｘ円の確率は1/2
このステップが誤りであるのは条件#を使って確率を議論しているからです｡
168に答えるなら、1,4,6は正しいのですが、ほかは誤りです｡

期待値を議論したいのなら2つの金額をA,Bとした時、
左右の封筒の金額の期待値は(A+B)/2です。
片方がAとわかったらもう片方はBってことになるのかな？
それを期待値、というかはわかりませんが｡
＞「期待値は不明」と「期待値は200円」は両立しないですが…
これは当然です｡
逆に期待値が200円になるのは変でしょ？
期待値を考える上で必要な条件は
#ではなく金額A,Bだ、といえば納得してもらえますか？

＞170
いつもだまされてばっかだけど必ず一発で高いほうを引き当てる俺って
ギャンブルの才能あるのかな？

172の
＞左の封筒にはあらゆる金額が等確率で入っていると思いますか？
＞そんなわけないでしょ？
＞それがこの情報が与えられて候補が2つになったとたん、
＞なんで1/2･Xと2Xが等確率で存在するはず、と思うのですか？
この説明おかしいね｡
現実的にはありえないかもしれないけど確率を問題にするならありうるとした方が自然だね｡
不適切な上に間違ってる｡
ごめん、無かったことにして｡
#が意味のない情報だということは163を参考にしてください｡

さらに訂正｡
＞つまりこの情報を使ったすべての確率的考察はナンセンスです｡
これはちょっと言い過ぎ｡
例えば右の封筒の金額をあてずっぽうで2Xまたは1/2･Xと予想した時それがあたる確率は1/2。
でも、だからといって「2Xまたは1/2･Xが確率1/2であらわれる」とはいえません。
どういう状況で何が本質的な条件なのかを139あたりを例にして考えていただければよいかと思います｡

> 例えば右の封筒の金額をあてずっぽうで2Xまたは1/2･Xと予想した時それがあたる確率は1/2。
というのと、
>「2Xまたは1/2･Xが確率1/2であらわれる」
というのは、どこが違うんだ？

誰かも言ってたけど、封筒の中身を X, 2X としたとき、X が
どういう値をどういう確率でとるかが決まっていない
ことが問題。それが決まれば、一方を開けたときの
他方の期待値は、普通の確率計算で求まる。

>> 例えば右の封筒の金額をあてずっぽうで2Xまたは1/2･Xと予想した時それがあたる確率は1/2。
>というのと、
>>「2Xまたは1/2･Xが確率1/2であらわれる」
>というのは、どこが違うんだ？

不確定性がカードのほうにあるのか、予想のほうにあるかってことじゃない？
> 例えば右の封筒の金額をあてずっぽうで2Xまたは1/2･Xと予想した時それがあたる確率は1/2。
が正しいかは疑問だけど、いいたいことはなんとなくわかる｡

>誰かも言ってたけど、封筒の中身を X, 2X としたとき、X が
>どういう値をどういう確率でとるかが決まっていない
>ことが問題。それが決まれば、一方を開けたときの
>他方の期待値は、普通の確率計算で求まる。
じゃあ、Xがすべての値を等確率で、
それが無理なら1から1000を等確率でとる、と仮定して計算してよ｡

P(X=n)=1/1000 (nは1≦n≦1000なる自然数) という意味？
だったら、開けた封筒の中身をY、他方の中身の期待値をZとして、
(1) Yが1000以下の偶数のとき、Z=5Y/4
(2) Yが1000以下の奇数のとき、Z=2Y
(3) Yが1002以上のとき、Z=Y/2
でしょ？

＞162さん
LOGとってその値に相乗平均、いやその前にもう片方の
封筒を開けるかな。

「確かに確率分布が不明として算出不可」、というのが魅力的では
ありますが、最も単純な「左右で100円の差がある場合」に
ごく普通に期待値計算ができるので、
「与えられた分布の形によって、適用すべき期待値計算の
　式が異なる」という説明のほうがいいなあ、と思うんですよ。
まあ、あんまりうまくいってませんが（１５６、１５７の説明）。

＞160
大変魅力的ですね。
ただ、一方の封筒を選んだら、他方の封筒の方が高額である
確率が1/3というのは、ちょっと受け入れにくいものがあります。

>> 例えば右の封筒の金額をあてずっぽうで2Xまたは1/2･Xと予想した時それがあたる確率は1/2。
>というのと、
>>「2Xまたは1/2･Xが確率1/2であらわれる」
>というのは、どこが違うんだ？

説明が足りなかったかもしれません｡
封筒の中身についてある条件の元に予測するとします｡
想定される数値を書いた紙(予想札と名付けます｡)を箱に入れ、
そこから一枚を取り出すことをあてずっぽうな推量と定義します｡
封筒の中身が予想札と一致した時その推量が的中したと定義します｡
封筒の中身には1のカードが入っているとします｡
条件｢封筒の中身は2の2倍(つまり4)または2の1/2(つまり1)｣
という条件からは2枚の予想札｢1｣｢4｣が作られます｡
ここであてずっぽうな推量を行うと、それが的中する確率は1/2ですが
封筒の中から｢1｣｢4｣のカードが1/2の確率で出てくるわけではありません｡
少し考えればわかると思いますが

あてずっぽうで2Xまたは1/2･Xと予想した時それがあたる確率は1/2
→2Xまたは1/2･Xが確率1/2であらわれる

の推量を行うためには封筒の中身と予想札が1対1対応に
なるような条件が与えられなければなりません｡
この問題ではそれが満たされていないので上の推量を行うことは間違いです｡

>168に答えるなら、1,4,6は正しいのですが、ほかは誤りです｡

>4.右の封筒をｘ円左の封筒をｙ円としたときｘ<ｙ確率は1/2
>5.右の封筒をｘ円左の封筒をｙ円としたときｘ=2ｙ確率は1/2
4.と5.の論理を逆に書いてしまいましたが
ｘ>ｙのときは必ずｘ=2ｙなのに
4.が正しくて5.が誤りというのは納得できるわけがありません。

みなさん考えますねえ。俺の考えはこうです。

人が不確定なものに対して意志決定しようとするとき、期待値を計算します。
ただ、相手が不確定なもので、妥当そうな確率モデルを考えて、それに基づいての計算となります。
だからモデルが不正確なら期待値も不正確になる。

この親父の噺では、
２００円じゃないほうの封筒に半分か倍の金額が入ってるってことしかわかってないんで
封筒の中身の確率を、１００円−５０％、４００円−５０％と仮定するのが妥当だろう。(１は納得しないかな)
でもって期待値は２５０円となる。

だけど、この親父が煙草代にも事欠く金欠なら、封筒の中身は１００％−１００円だろう。
でも、封筒を選ぶとき、子供はそんなこと知らないんだから期待値の計算はこれでいいのだ。

子供がそのことをしってれば、期待値を１００円と計算できて無駄なギャンブルを回避できる。

つまり、推量の期待値は持ってる情報によって変わっちゃうわけですが、持っている情報から得られる最良の判断材料にはなると思います。
厳密にいえば間違いだけど、しゃーないね。

その話、子供が100円の方を最初に開けたら全ての話「煙草代にも事欠く金欠」「１００％−１００円だろう」等が崩れる。
次の封筒には倍の200円が入っているから。

充分現実的な結果だな…｡
(2)(3)は疑いはないが、(1)ではどういう計算をしてるの？
片方がYの時もう一方が1/2Yであるのと2Yであるのが同様に確からしいとしてるんだよね？
それはXの確率分布から結論付けられるのか、
それともそうに決まってると決め付けてるのかがはっきりしないんだが｡
確率分布がどのように期待値に影響してるかがよくわかんないんだよね｡
等確率って条件にしたからだと思うけど｡
できれば級数が1に収束するような数列{a_n}を考えて
X=nの確率がa_nだとして計算して欲しいのだが。
自分で考えてみたらよくわかんなくなってしまったので｡
よろしく頼みます｡

１００円のほうをあけたら、

�@子供が何も知らなかったとき　期待値　＝　１００円　×　１／２　＋　５０円　×　１／２　＝　７５円
�A親父の金欠(４００円ははらえまい)を知ってたときも　期待値　＝　７５円

親父が金欠という情報はこの場合は意味ないのだ。
親父が缶コーヒーも買えないほどの超金欠という情報をもってれば意味あるけど。

逆にお尋ねしたいのですが120さんは1から6でX,Yを設定する意味、
またそれぞれの確率の意味についてどうお考えなのでしょうか？
それらの定義をまず明確にしていただきたいと思います｡
そしてその上で1から6が同じと思われなら理由を教えてください｡
私は2,3,5などはおそらく期待値計算に持ち込む前提として考えておられるのだろう、
と勝手に推察したのですが、120さんがどういうつもりで1から6を定義されたのかが
わからなければ話がかみ合わないと思います｡

えー、スレッドの命題と外れているようなのでここらへんで終了します。--------------------------------------------------終了------------------------------------

>181
何を言っているのか分からん。すまないが数学の言葉でしゃべってくれ。

>185
この計算が理解できないようだとまずいと自覚してくれ。

187にお答えします。
＠確率の意味
それほど深く考えているわけではないですが、
ある事象が起こる確率が1/2といった場合は何度もそれを繰り返したときは
その事象の起こる回数が全体の1/2に近づくという風に考えます。
ですから右の封筒が左の２倍である確率は親父の意思にかかわらず1/2です。
封筒に入っている金額は親父が確率にもとづかずに入れているので
確率は求められません。

＠1から6でX,Yを設定する意味
＠どういうつもりで1から6を定義されたのか
「右の封筒をX円とします」に
どうしてXを設定するんだと聞かれても困るんですけど、
1から6を定義した意図についても
数学は定義した意図によらず答えは一意に定まるものですから
別に説明する必要なないと思いますが一応まとめて説明します。

右の封筒を開いたときの左の期待値をもとめようと
>右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
>↓
>右の封筒をｘ円としたとき左の封筒の金額が２ｘ円の確率は1/2
このように考えを進めていったところ
163さんにここが誤りと指摘して頂きました。
この２文は明らかに同じ事を言っているように見えるのに
どこが違うのか？それが私には理解できないのです。
上で確率の意味で説明したとおりにこの試行を何度も回数を繰り返すと
どちらも現象が起こる回数が1/2に近づくと考えられます。
それをはっきりするために
似たような文章をいっぱい作ってお伺いしたわけです。

特に4.5.についでの明快な反論(=182)がある以上
163さんの意見を全面的に信じることはできません。

＠期待値とは

期待値が２５０円というのは
このゲームに２５０円より少ない参加費を払って参加したとき、
親父さんが意図的に妨害しようとしても
何回もこの試行を行うことにより必ず得をするということです。

この場合、親父さんがぼくに悪意をもって100円-200円ばかり
いれることも可能ですので
期待値は求められないと考えます。

親父さんの意図がわからないから1/2として２５０円というのは誤りだと思います。>183

大ヒットだな

右側の封筒を見た時に２００円入っているときに左側の期待値は
２５０円で左が特。これはそうなると個人的に思います。

（金額に上限が無く、連続的な値を取る場合を考えて）
この試行を無限回繰り返して右側が２００円の事象を取り出す。
（この時左側は確率１／２で選んでおく。）
左側の平均金額を計算したらそれは２５０円でしょう。
右側がｘ円なら左側は５／４ｘ円でしょう。
もちろん親父が偏った入れ方をしない事は前提です。
ただし、どうしてもこの考えでいくと左右のとりうる金額に
差異がある特殊な状況しか見ていません。
上限金額を無限にするにしてもこの状況からｘを無限まで考えるのでは
なく、上限金額を設定しておいてそれを最後に無限にしたりしては
だめですか？的外れ、既出だったらごめんなさい。

>数学は定義した意図によらず答えは一意に定まるものですから
>別に説明する必要なないと思いますが一応まとめて説明します。
well-definedかどうかというのは重大な数学的問題のひとつです｡
＞右の封筒をｘ円左の封筒をｙ円としたときｘ=2ｙ確率は1/2
においてxとyは自在に動くのでしょうか｡
だとしたらx=3yという状況なども起こりうるわけですか？
こういう事を明確にして欲しいということです｡

>194
>＞右の封筒をｘ円左の封筒をｙ円としたときｘ=2ｙ確率は1/2
>においてxとyは自在に動くのでしょうか｡
>だとしたらx=3yという状況なども起こりうるわけですか？
>こういう事を明確にして欲しいということです｡

自在に動くの意味がわかりません。
右の封筒がｘ左の封筒がｙと言っているのですから
左右の封筒の金額が「自在に動く」のであれば
ｘとｙは自在に動きます
x=3yという状況など起こるわけありません。
あまりに明確だと思います。
当然私がこう答えることは163さんには予測できたと思います。

>193
>もちろん親父が偏った入れ方をしない事は前提です。

この話は親父さんが偏った入れ方をすることもあるという前提です。

＞この話は親父さんが偏った入れ方をすることもあるという前提です。

なるほど。そうなんですか。
それなら期待値云々で考える事は出来ないと思います・・。
よく読むべきでした。

とても気まぐれなお父さんが僕に小遣いをくれるそうです。
お父さんは僕の前に封筒をふたつ出して言いました。
「片方の封筒にはもう片方の封筒のニ倍のお金が入っている。
おまえはまず好きな方の封筒ひとつの中身を調べてよい。その後、
どちらでも好きな方の封筒ひとつを選んで中身を手に入れるがよい」
僕はとりあえず右の封筒の中身を調べることにしました。
右の封筒には200円入っていました。今度は左右どちらの封筒を取るか
決めなければなりません。よく考えた末、僕は左の封筒を取ることに
決めました。理由はこうです。
左の封筒に入っているお金は右の封筒の倍か半分なので400円か100円
ですが、それぞれの可能性は半々です。よって左の封筒に入っている
お金の期待値は250円となり右の封筒のお金(200円)より多くなります。

気まぐれって・・・

＞それぞれの可能性は半々です。よって

こんな緻密な気まぐれパパ？
つーか最初から200円と100円しか用意しないようなケチケチパパ
だったらどうするの？なんか俺設定がわからなくなってきた。

偏った入れ方は、１００円−２００円だけじゃないよ。
親ばかのため、２００円−４００円に偏るかもしれないよ。

トータルでは、どっちも五分五分なんじゃないかいな。
だから期待値は２５０円。

とてもけちなお父さんが僕に小遣いをくれるそうです。
お父さんは僕の前に封筒をふたつ出して言いました。
「片方の封筒にはもう片方の封筒のニ倍のお金が入っている。
おまえはまず好きな方の封筒ひとつの中身を調べてよい。その後、
どちらでも好きな方の封筒ひとつを選んで中身を手に入れるがよい」
僕はとりあえず右の封筒の中身を調べることにしました。
右の封筒には200円入っていました。今度は左右どちらの封筒を取るか
決めなければなりません。よく考えた末、僕は右の封筒を取ることに
決めました。理由はこうです。
左の封筒に入っているお金は右の封筒の倍か半分なので400円か100円
ですが、お父さんはとてもけちなので400円はいってるわけがありません。
よって左の封筒に入っているお金の期待値は100円となり、
右の封筒のお金(200円)より少なくなります。

＞こんな緻密な気まぐれパパ？
100円か400円か1/2ずつというのが気まぐれパパの気まぐれといわれる所以では？

訂正。107さんの説明でだいたい良いようです。
そしてこの封筒の話は１３４で挙げた事例と似たものでしたね。

それを踏まえて強引な説明。
（いつもか。よくここまで電波呼ばわりされずに来たもんだ）
封筒に入れる人の心の中には、やはり封筒にいれる金額について
それなりの認識と言うか、範囲というか、分布あり。
十分な回数、同一の試行を繰り返せば、
その内心の認識はほぼ確認できると前提しましょう。
つまり、何十回か試行した後には、事後的ながら金額の分布が確認できる
とします（強引なのは重々承知です）。以下この分布を単に分布とします。

さて、すると右側の封筒に入っているお金の額（ｘ）によって、
左側/右側の比（ｒ）が変動します。
ｘが丁度分布の真中の時、ｒ＝5/4となります。
しかし、ｘが分布の下のほうである場合、5/4<=ｒ<=２、
上の方の場合、1<=ｒ<=5/4の値をとります。
一見、ｒは１を超えそうな感じです。
しかし、ｒの平均値は�煤iｒｘ）／�狽�であり、（めんどくさいから番号抜き）
ｘの値が大きい（つまり分布の上の方）である時の方が
効いてきます。１５６の例はこのような事態を
説明したかったわけです。
結論を言えば、ｒの平均値は１。

今、封筒を右側の開けた人は、自分の目の前にある
ｘが分布の中のどの位置にあるか知りようもないのですが、その上で
ｙの分布の中央値を答えるのであれば、ｘの5/4倍です。
しかし、ｙの期待値（期待する値の平均値）は、ｘそのものです。

数学的な厳密性は、もっと賢い人に任せた！
雑学趣味でやってる自分としては、自己満足が得られたので、
ここらで最後とします。

ネタなのかもしれないが、勘違いしてるようなカキコが多いのでヒント

>僕はとりあえず右の封筒の中身を調べることにしました。
>右の封筒には200円入っていました。よく考えた末、
>僕は左の封筒を取ることに決めました。理由はこうです。
>左の封筒に入っているお金は右の封筒の倍か半分なので400円か100円
>ですが、それぞれの可能性は半々です。よって左の封筒に入っている
>お金の期待値は250円となり右の封筒のお金(200円)より多くなります。

この期待値の計算は正しいです。左の封筒を選んだ方が得します。
ならば何故↓のような疑問にぶち当たるのでしょうか？

>実際に右の封筒を開けなくても
>右を開けたつもりにして金額をｘ円とすると左の方が高くなるんです。
>左を開けたつもりで計算すると右が高くなる。
>よって矛盾する。といいたいのです。

これは、比較する結果の計算の前提が矛盾しているからです。

(1)右をXとする、左は2Xか1/2X。左の期待値は5/4X……左＞右
(2)左をXとする、右は2Xか1/2X。右の期待値は5/4X……左＜右

(1),(2)を比較して「矛盾している！」となるのですが、よく見てください
>(1)右をXとする
>(2)左をXとする
はい、右も左もXになってます。両方ともXのわけがありません。
ここまで言えばわかりますよね？


お父さんが恣意的に云々、確率が云々はこの問題の趣旨とは、
全く関係ありません。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.........たぶん

恣意的云々は、1/2xと2xが同確率で現われるというコメントに対する
ものだったのではないのですか？
親父の意思しだいではこうはなりませんよね？

もちろん左右の同等性がこちらの’開けたつもり’で破れてしまう
気がする事に対してはパパの意思は関係ないでしょう。

ただ、204の(1),(2)に対する議論ですが、両方Xだろうがなんだろうが
この議論をする限り左＞右、左＜右はでるのでは？矛盾すると言ってる
わけじゃないですが。

>204=素人+毛が３本さん

>ネタなのかもしれないが、勘違いしてるようなカキコが多いのでヒント
あなたも勘違いしています。

>>お金の期待値は250円となり右の封筒のお金(200円)より多くなります。
>この期待値の計算は正しいです。左の封筒を選んだ方が得します。

どうしてですか？
親父さんが毎回100円-200円だけ入れていた場合左は常に100円ですよ。

>(1)右をXとする
>(2)左をXとする
>はい、右も左もXになってます。両方ともXのわけがありません。

あなたが204で引用した部分は私が記述したものですが、
私が右も左もXとしたわけではありません。
あなたがしたのです。
右をX、左をYとすれば解決するだけのことだと思います。

＞親父さんが毎回100円-200円だけ入れていた場合左は常に100円ですよ。
それがわかってれば期待値なんて意味ないっす。

＞右をX、左をYとすれば解決するだけのことだと思います。
右をＸとするとは、封筒をあけて中をみる(またはそのように考える)ってことっす。
右をＸ、左をＹにしたら、両方の封筒があいちゃって答えがでちゃうんじゃないっすか。

>＞親父さんが毎回100円-200円だけ入れていた場合左は常に100円ですよ。
>それがわかってれば期待値なんて意味ないっす。

だからわからないといっているんです。
わからないから1/2として２５０円とするっていうのでは
>1
>サイコロの「１」が出る確率はなんで1/6なのか？
>出るか出ないかの1/2じゃダメなの？
と同じです。

>右をＸとするとは、封筒をあけて中をみる(またはそのように考える)ってことっす。
>右をＸ、左をＹにしたら、両方の封筒があいちゃって答えがでちゃうんじゃないっすか。

私の元の文章をよく読んでください

>実際に右の封筒を開けなくても
>右を開けたつもりにして金額をｘ円とすると左の方が高くなるんです。
>左を開けたつもりで計算すると右が高くなる。
>よって矛盾する。といいたいのです。

開けたつもりになるだけで実際には開けません。
だから中の金額はわからないのでXとおいたのです。

〉>それがわかってれば期待値なんて意味ないっす。
〉
〉だからわからないといっているんです。

あー、逆に言い直すっす。
それがわかんないから、期待値の意味があるっす。

ここに、俺と２０６の期待値に対する見解の違いが出てるっす。
２０６は、
　一方の封筒の中身が２００円だったとき、もう一方に入ってるのが１００円か４００円かというのは、
　パパ次第であるから、それぞれの起こる確率はわからない。
　で、期待値の計算も出来ないってなことを言ってるっす。
俺は、
　そうであっても、その時点での最良の推量で
　(選択枝が二つあることしかわかってないんだから、それぞれ５０％)
　期待値の計算をしていいんじゃねえの。って言ってるっす。

真の期待値と仮定の期待値とでも言って区別すればいいんじゃないですかい。
俺も真の期待値がわからないってのには賛成しますぜ。

>実際に右の封筒を開けなくても
>右を開けたつもりにして金額をｘ円とすると左の方が高くなるんです。
>左を開けたつもりで計算すると右が高くなる。
>よって矛盾する。といいたいのです。

疑問点はわかったなり。
２０４のいってるのが答えなんだと思うなりが、
２０６は納得出来ないなりね。

そこで問題です。
二つの封筒があり、それぞれ白い玉と赤い玉が入っています。
(まったく、昔の数学の教科書みたいじゃねーか)
右の封筒を開いたら赤い玉が入っていました。
左の封筒には何色の玉が入っているでしょうか。

これと同じじゃない？

>120
>どうしてですか？
>親父さんが毎回100円-200円だけ入れていた場合左は常に100円ですよ。

確かに現実の親父さんには、そのような人もいるでしょう。
しかし、この問題の中にはそのような情報はないので、1/2とするのが妥当じゃないでしょうか？

>あなたが204で引用した部分は私が記述したものですが、
>私が右も左もXとしたわけではありません。

すいません。代表的な疑問だとおもい、書くのが面倒なのでコピペしただけです。

>右をX、左をYとすれば解決するだけのことだと思います。

なぜYなのですか？1/2Yか2Y、つまり5/4Yじゃだめなんですか？

繰り返しますが定義が正当か否か、というのは非常に大切な問題です｡
確率が定義できなくなる例として
2.右の封筒をｘ円としたとき左の封筒の金額が２ｘ円の確率は1/2
を使わせてもらいます｡
まずXが奇数の時、右の封筒が1/2X円である確率は0です。
ですからただ右の封筒をXとしただけでは右が2Xである確率が1/2とはいえません。
確率は不定であり、定義できないのです｡
ではXが偶数の時だけ考えればいいじゃないか、といわれそうですね｡
ではXを偶数と仮定しましょう｡
こう仮定すると右の封筒も左の封筒も対等だ、と考えるなら、
Xは右の封筒の金額も左の封筒の金額も反映している必要があります｡
よって両方の封筒の金額は偶数であると考えなければいけません｡
となると、Xが4で割り切れない値の時、やはり右が1/2Xとなる確率は0です｡
繰り返して考えれば結局確率は不定です｡
ですから闇雲に一方の封筒の金額をXとするというような設定では、
確率そのものすら定義できなくなるということを知ってください｡
120さんは確率という言葉をずいぶん直感的にとらえているようですが、
少なくとも数学の問題としてとらえるなら、それは厳密なものです｡

この問題で右の封筒の金額を予想する時、
片方が100円か400円のどちらかであることは誰でもわかります｡
ここで、
けちだから100円だ、と思うか、
金持ってるから400円だ、と思うか、
父親は気まぐれだからその確率は対等だ、と思うか、
"思う"のは勝手です｡
しかしいずれの結論も与えられた条件からの帰結としてはギャップがあります｡
妥当だと判断するのは各個人であって、それは数学からは保証されません｡
209でも触れられているように仮定の期待値を求めるのも構わないでしょう｡
そうなれば後はそれを信じるか否か、という話だけです｡
もう数学の話題ではありません｡

もう一度聞きますが、あなたはx,yという未知数を設定することをどう考えているのですか？
4,5の矛盾に関してですが、この問題だけとりだせば
4も5も誤り｡
一方は正しく一方は誤り｡
4も5も正しい｡
のすべての結論が導けます｡
ここでいう誤りとは、確率が定義できない、という意味だと思ってください｡

もうひとつ確認しておきますが、
わたしは1から6の設定でそれぞれ4は1,6との、5は2,3との対比であると判断しました｡
それは187で書いたように2,3,5は期待値を求める前提として設定されている、と判断したからです｡
私の指摘はこの判断に基づいています｡
この判断が誤り、もしくはあいまいだった、と感じられたのなら謝ります｡
いらぬ誤解を生んだかもしれません｡

これ以上の議論を進めるにはわたしが187で投じた疑問に
明確な答えを出していただくことが必要であるし、
またそのことは120さんの理解にも繋がることだと思います｡
その上でもう一度一貫して考えをまとめる努力をされれば、納得のいく結論が得られると信じます｡
失礼ですが最近のレスを見る限り、
120さんの指摘には一貫性がなく、場当たり的に思えます｡
正直長文のレスに疲れてしまったので、もうあまり書き込まないかもしれませんがご了承ください｡

120です。
貴重なご意見ありがとうございます。
209=210=おーい　２０６さん
211=素人+毛が３本さん
212=213=163さん
の方から似たような(あるいはまったく逆の)意見を頂きましたので
まとめて答えたいと思います。
なお長文になりましたのでいくつかに分割しました。

>209=おーい　２０６さん
>そうであっても、その時点での最良の推量で
>(選択枝が二つあることしかわかってないんだから、それぞれ５０％)
>期待値の計算をしていいんじゃねえの。って言ってるっす。

>211=素人+毛が３本さん
>確かに現実の親父さんには、そのような人もいるでしょう。
>しかし、この問題の中にはそのような情報はないので、1/2とするのが妥当じゃないでし>ょうか？

これでは
宝くじは当たるか当たらないかの２つの選択肢だから
５０％として期待値を計算するようなもので意味がありません。
親父さんの性格を分析して５０％と推測するならそれはいいですけど
ぜんぜん数学でありません。

>209=おーい　２０６さん
>真の期待値と仮定の期待値とでも言って区別すればいいんじゃないですかい。
>俺も真の期待値がわからないってのには賛成しますぜ。

それならこの親父問題の場合は
「親父さんが100円-200円と200円-400円を等確率で入れると仮定すれば仮定の期待値250円」
という主張は納得いきますが
>左の封筒に入っているお金は右の封筒の倍か半分なので400円か100円
>ですが、それぞれの可能性は半々です。よって左の封筒に入っている
>お金の期待値は250円となり右の封筒のお金(200円)より多くなります。
このような主張は誤りだと思います。
期待値が250円というからにはその試行を繰り返したときの
封筒の金額の平均が、
250円に近づかなくてはいけません。

続く

>210=おーい　２０６さん
>そこで問題です。
>二つの封筒があり、それぞれ白い玉と赤い玉が入っています。
>(まったく、昔の数学の教科書みたいじゃねーか)
>右の封筒を開いたら赤い玉が入っていました。
>左の封筒には何色の玉が入っているでしょうか。
>これと同じじゃない？
いちおう答えますけど必ず白い玉です。
これが前の問題とどこが同じなのか解りません。

>212=163さん
>2.右の封筒をｘ円としたとき左の封筒の金額が２ｘ円の確率は1/2
>を使わせてもらいます｡
>まずXが奇数の時、*左*の封筒が1/2X円である確率は0です。
>ですからただ右の封筒をXとしただけでは*左*が2Xである確率が1/2とはいえません。
＊多分誤記と思われましたので右と書かれていた部分を*左*に訂正しました。

これはおかしいです。
このような例を考えてください。210=おーい　２０６さんの例を拝借しますが。
＠二つの封筒があり、それぞれ白い玉と赤い玉が入っています。
＠ランダムに左右に配置します。
＠右の封筒をXとしたとき左の封筒が白い玉の確率は1/2
ここまでの事実に対して
Xが白い玉の時、左の封筒が白い玉がある確率は0だから
>＠右の封筒をXとしたとき左の封筒が白い玉の確率は1/2
↑が正しくなくて確率は不定と言ってるのと同じです。

また奇数偶数の問題も私は考えましたが
親父さんの封筒に入れる金額は正の有理数(小数も可)としたほうが
無用な議論が省けるとは思います。(奇数偶数の問題は別の議論と考えます)

続く

>212=163さん
>120さんは確率という言葉をずいぶん直感的にとらえているようですが、
>少なくとも数学の問題としてとらえるなら、それは厳密なものです｡

私も厳密に定まるものであると考えます。
おーい　２０６さんと素人+毛が３本さんの
情報がないから1/2というのは誤っていると考えます。

>212=163さん
>しかしいずれの結論も与えられた条件からの帰結としてはギャップがあります｡
>妥当だと判断するのは各個人であって、それは数学からは保証されません｡
>209でも触れられているように仮定の期待値を求めるのも構わないでしょう｡
>そうなれば後はそれを信じるか否か、という話だけです｡
>もう数学の話題ではありません｡

この辺は同意見です。

続く

>213=163さん
もう一度聞きますが、あなたはx,yという未知数を設定することをどう考えているのですか？

右の封筒をｘとするというのは
右の封筒って書くと文字が多くて面倒だから
ｘと簡略して表記しているだけです。

>211=素人+毛が３本さん
>なぜYなのですか？1/2Yか2Y、つまり5/4Yじゃだめなんですか？
それでもいいですが、なぜYじゃだめなんですか？

>213=163さん
>ですから闇雲に一方の封筒の金額をXとするというような設定では、
>確率そのものすら定義できなくなるということを知ってください｡

確率を議論するときは何かををXとしてはいけないというのでしょうか？

みなさんからXとおくことに関して何度か受けてます。
私が
「Ａという手順で計算すると答えがおかしいよ」
と言うと
みなさんから
「Ｂという手順で計算すると正しいですよ。なんでＡでやるんですか？」
と聞かれます。
私はＢが誤っていると主張しているのではなくて
あなたの理論でＡの手順で計算すると矛盾しますよ。
と言ってるのです。
ですからなぜＡでやってはいけないのかを指摘してほしいのです。
つまりなぜｘとおくのですか？
ではなくてｘとおくとどこが悪いのか説明してほしいのです。

163さんはその説明として
確率は出せない=期待値は出せない
と主張されています。
そのときに
>213=163さん
>4,5の矛盾に関してですが、この問題だけとりだせば
>4も5も誤り｡
>一方は正しく一方は誤り｡
>4も5も正しい｡
>のすべての結論が導けます｡

＠1.右の封筒が高い確率は1/2。左の封筒が高い確率は1/2です。
↑は問題の条件ですから正しいのです。このとき
＠4.右の封筒をｘ円左の封筒をｙ円としたときｘ<ｙ確率は1/2
↑は正しいという結論も誤りという結論も導けるという意見は理解できません。

続く

>213=163さん
>これ以上の議論を進めるにはわたしが187で投じた疑問に
>明確な答えを出していただくことが必要であるし、
>またそのことは120さんの理解にも繋がることだと思います｡
187については190で私なりにお答えしています。
なにか不満な点がありますでしょうか？

>213=163さん
>失礼ですが最近のレスを見る限り、
>120さんの指摘には一貫性がなく、場当たり的に思えます｡

失礼なことはありません。
そのようなところは、どんどん指摘して頂きたいと思います。
ただ、私が意見が180°逆の相手に同時に反論しているため
一貫性がなく見えるところがあるのかもしれません。

>213=163さん
>正直長文のレスに疲れてしまったので、もうあまり書き込まないかもしれませんがご了承ください｡

大変残念ですが、貴重なご意見ありがとうございました。

おしまい

父親の全財産をTとし、今封筒に入っている金額の合計をtとすると
0<t<T。
（大幅略）
今選んだ封筒に入っている金額が1/3T以上2/3T以下の確率は3/4
つまり3/4の確率でもう片方の封筒には半分のお金が入っている。

まるでだめでした。訂正。
今選んだ封筒に入っている金額が1/3T以上2/3T以下の確率は1/4
つまり1/4の確率でもう片方の封筒には確実に半分のお金が入っている。
残りの3/4の確率でもう片方の封筒は...

私もよくわかりません。

親父の財産は関係ないだろ。

でも親父の財産が500円だったら片方の封筒は必ず100円だよ。
親父の財産が600万だったら先に見た封筒が200万以上なら必ず
それをGET

>でも親父の財産が500円だったら片方の封筒は必ず100円だよ。
はぁ？どうして？

>親父の財産が600万だったら先に見た封筒が200万以上なら必ず
>それをGET
全財産の1/3を子供にやる親って・・・

>実際に右の封筒を開けなくても
>右を開けたつもりにして金額をｘ円とすると左の方が高くなるんです。
>左を開けたつもりで計算すると右が高くなる。
>よって矛盾する。といいたいのです。

実際に右の封筒を開けなくても
右を開けたつもりにして玉の色を赤と(仮定)すると左の方が白になるんです。
左を開けたつもりで玉の色が赤とすると右が白になる。
よって矛盾する。かな

「一方がＸ円なら、もう一方は5/4Ｘ円」
「一方が赤なら、もう一方は白」と
前提は違うが、なんちゅうかね論理としては同じじゃろう。


１２０的には、

っていうのは、当然に間違っている可能性有りっす。

日常では不確かな情報でも期待値計算やっちゃうけどね。
「数学」的には、それを期待値といっちゃまずいのかもしれないっすね。
よくわかんないけど。

>＠右の封筒をXとしたとき左の封筒が白い玉の確率は1/2

　　　　　　　　　　　　　　
右の封筒をXとしたとき左の封筒は、notX
なんだよぉ。

この問題を解決するには、120さんに(右=X)としたとき、(左=1/2X)である確率と(左=2X)である確率が
それぞれ1/2であると納得していただかないと、いけないようです。

「片方の封筒にはもう片方の封筒のニ倍のお金が入っている(X)」とは、
「片方の封筒にはもう片方の封筒の半分のお金が入っている(Y)」と同じ事ですよね？
一回の試行において二つの事が考えられるが答えは一つ。
XとYが同じと言う事は「X+X=1=Y+Y」が成り立つと言う事。これを満たすXとYは1/2のみ。

つづいて矛盾の問題。

>>なぜYなのですか？1/2Yか2Y、つまり5/4Yじゃだめなんですか？
>それでもいいですが、なぜYじゃだめなんですか？

Yでもいいんです。しかし100%Yではないですよね？5/4Yのときもあるから。
「右<左と右>左」だけ比較するから矛盾するんです。
「右>左と右<左」も考えて下さい。

例えるなら、「一回の勝負で二回勝つ」と考えるからいけないのです。
「二回の勝負で二回勝つ」と考えて下さい。

>実際に右の封筒を開けなくても
>右を開けたつもりにして玉の色を赤と(仮定)すると左の方が白になるんです。
>左を開けたつもりで玉の色が赤とすると右が白になる。
>よって矛盾する。かな

どこも矛盾してないですよ。どこが矛盾しているんですか？

>「一方がＸ円なら、もう一方は5/4Ｘ円」
>「一方が赤なら、もう一方は白」と
>前提は違うが、なんちゅうかね論理としては同じじゃろう。

論理は同じなのに
後者は当然のことをいってるのに
前者は矛盾してると言っているのです。

>>＠右の封筒をXとしたとき左の封筒が白い玉の確率は1/2
>右の封筒をXとしたとき左の封筒は、notX
>なんだよぉ。

あなたの言っていることも正しいですし
私の言っていることも正しいです。

>この問題を解決するには、120さんに(右=X)としたとき、(左=1/2X)である確率と(左=2X)である確率が
>それぞれ1/2であると納得していただかないと、いけないようです。

私はこれを否定していません。
納得しないのは163さんで、確率は不定とおっしゃいます。
なんとか163さんを説得してください。

>「片方の封筒にはもう片方の封筒のニ倍のお金が入っている(X)」とは、
日本語の表現の問題ですが、これは常に成り立つ、つまりX=1と考えるのが自然です。
「右の封筒には左の封筒のニ倍のお金が入っている(X)」
または
「片方の封筒を選択したときに反対側の封筒のニ倍のお金が入っている(X)」
これならX=1/2ですけど

>Yでもいいんです。しかし100%Yではないですよね？5/4Yのときもあるから。
「右の封筒をYとします。」
と言ったときは右の封筒は100%Yです。
5/4Yのことはありません。

>「右<左と右>左」だけ比較するから矛盾するんです。
>「右>左と右<左」も考えて下さい。
前後逆にしただけで同じ物を比較してますけど。

>>でも親父の財産が500円だったら片方の封筒は必ず100円だよ。
>はぁ？どうして？
だって今見た封筒が200円でもう片方が400円だったら
親父の全財産超えてるからありえないでしょ？

親父側にたって考えると、今このゲームに費やす金額の合計が
全財産の半分以上になる確立は1/2でそのとき子供が大きい封筒
を見る確率は1/2。つまり1/4の確率で、
「逆には小さい金額しかありえない。だってお父さんはそんなに
お金を持っていないのだよ。息子よ...」
となるのではないでしょうか？

情報がないから〜について。

>宝くじは当たるか当たらないかの２つの選択肢だから
>５０％として期待値を計算するようなもので意味がありません。

確かに現実では意味が無いかもしれません。しかし意味が無いと感じるのは
数百万の内から平等に選ばれると知っているから、つまり情報が有るからです。
最低限の情報から期待値を計算すれば50%になります。
自分が知っている情報から計算するのが「確率」または「期待値」だと思います。
そして情報が少ないほど信頼度が低く、多いほど高くなりますが、
情報の多い少ないとは単純な数ではなく重要度です。

そこでこのスレのタイトル
「サイコロの「１」が出る確率はなんで1/6なのか？ 」

これは「サイコロがどんな物か」という情報がないと確率がだせません。
そして1/6という確率は「6通りの可能性があり、すべてが平等」という
情報から導かれたものです。
「出るか出ない」の他どんな可能性があるのか、あるとすればその比率は？
それらがわからない状況から確率をだせば1/2になります。
最高の情報とは、「1が出る」です。それがわかれば「1/1=100%」という
確率が出せます。


おまけ

数学の問題にでてくるサイコロは、特別な情報が無い限り
「6通りの可能性があり、すべてが平等」=1/6
と言う前提があると思います。「そんな前提は無い」と言うならば、
それは「数学」では無く「なぞなぞ」だと思います。

>120さん

やっぱりネタでしょ。私がいかにうまく説明するか試しているんだな！
うん、そうに違いない！！
私が「素人+毛がフサフサ」だったらサラッと説明できたかもしれないが、、、、、

やっぱり、そうなりか。

　　　　　　痛たたたたた

)論理は同じなのに
)後者は当然のことをいってるのに
)前者は矛盾してると言っているのです。

前者がどうして矛盾しているかを
簡単に教えてください。

そうなりね。期待値って「普通」はそう考えるような気がするなりねー。

153の最初の部分を読んでください。

〉右をｘ円と仮定するだけで左が得になります。
〉ところが左をｘ円と仮定すると右が得になります
〉これが矛盾してると思います。

これのこと？？

矛盾してるか？

一方の封筒を開けたとき、もう一方の封筒の中身の期待値のほうが
必ず大きくなるということは、
ひとつ開けて、その中身をもらうより、
もう一つ開けてみたほうが得になるっていうことなりね。

ここまではいいっすか？

240には同意します。
240の質問を以下の方々にも答えて欲しいです。

142=143=147=148
183=文系の数学さん
193=205=んーさん
200
204=211=227=232=233=素人+毛が３本さん
207=209=210=おーい　２０６さん

以上は片方の封筒が２００円だったとき
もう片方の期待値は２５０円と主張されてる方です。

私の主張は
もし「期待値は２５０円」が正しいとすると
「一方の封筒を開けたとき、もう一方の封筒の中身の期待値のほうが
必ず大きくなる」
→「もう一つ開けてみたほうが得になるっていうことなりね」
→「最初封筒を開けていくら入っていても同じ結論だから開けてみなくても反対側が得」
→「矛盾する」
だから、私は141で書いているとおり
「期待値は２５０円」を否定しています。

400円の確率が100円の確率と同じであれば期待値は250円で良いのでは？
親父側から見ると200円を見られた段階で100-200 か　200-400が
子供にばれたという状態。
でわそのとき親父の出資金額の期待値は(300+600)/2で450円
その片方をとれるのだから子供の期待値は225円
もし子供がバカでなにも考えずにいたら200円をそのまま取る確率1/2
よって（そのままとる）* 1/2 + (逆を取る）* 1/2
200 * 1/2 + 250 * 1/2 = 225
で問題なしでは？

でも親父の主張としては一方の封筒を開けたときもう一方の封筒の
中身は必ず小さい確率は1/4であると思うわけです。
（だからどうしたと言われると困るのだが父としてはこれを手がかり
に考えています）

最初に見た封筒をx円とするともう片方の期待値は1.25円だと思い、
もう片方の封筒を手にしようとした瞬間...
ケース１
親父はぼそっと言った。「入っている金額は100-200の組合わせ」
そうなると話は違う。最初に見たのが100ならもう片方は200
最初に見たのが200ならもう片方は100。最初に見る金額の期待値は150
で、もう片方も150...どっちでも一緒か。
ケース２
親父はぼそっと言った。「入っている金額は100-200もしくは200-400」
そうなると話は違う。
最初に見たのが100ならもう片方は200
最初に見たのが200ならもう片方は100か400
最初に見たのが400ならもう片方は200
100-200 200-100 200-400 400-200 で
最初に見る期待値は225 逆の期待値も225
ケース３
親父はぼそっと言った。「入っている金額は100-200,150-300,200-400」
（略）
ケース４
親父はこの世の者とは思えない速度で「入っている金額は」のあとに
全有理数の全ての組合わせを口にした.

おおっ、つながった。

＞私の主張は
＞もし「期待値は２５０円」が正しいとすると
＞「一方の封筒を開けたとき、もう一方の封筒の中身の期待値のほうが
＞必ず大きくなる」
＞→「もう一つ開けてみたほうが得になるっていうことなりね」
＞→「最初封筒を開けていくら入っていても同じ結論だから開けてみなくても反対側が得」
＞→「矛盾する」

どの文とどの文が矛盾してるか、もー一回教えてほしいなりねー。

「一方の封筒を開けたとき、もう一方の封筒の中身の期待値のほうが必ず大きくなる」
っていうのは、二つの封筒間の関係をいっとるなりよ。
「一方がこうだったら、もう一方はこうだよ」ってことね。

「両方開けてみたほうが得だよ」ともいえるなりねぇ。

＞もし「期待値は２５０円」が正しいとすると
＞「一方の封筒を開けたとき、もう一方の封筒の中身の期待値のほうが
＞必ず大きくなる」
ここが間違っている。

一方の封筒を開けたとき親父は改めてもう一方の封筒に倍か半分の金額
を入れ直すとすれば....

「期待値は２５０円」

>120=241
勿論私も同意します。

で、やっぱり120さんの疑問を解決するには
私が227で書いた↓

>例えるなら、「一回の勝負で二回勝つ」と考えるからいけないのです。
>「二回の勝負で二回勝つ」と考えて下さい。

↑だと思うので、よ〜く考えて下さい。（ネタじゃないなら）

>220（親父）さん

親父さんも少ないお小遣いで大変なんですね。

a

一応私もネタじゃなかったんだけど、
親父としては無限の財産を持っていたとしても、
子供がその財産の1/3以上が入っている封筒を最初に開けてしまい
残りの封筒の中には2倍の金額が入っていることがありえない確率は
1/4だと思うよ。
まぁもしそうならこのゲームの期待値自体は無限大なのに最初に空けた
封筒が200円だったらこの子供はすげーついてないよね。
「最初に空けた封筒をa円とすると、もう片方の封筒には
a/2円か2a円が1/2の確率で入っている」
というのが間違っているのではないかというのが私の主張。

>244
>どの文とどの文が矛盾してるか、もー一回教えてほしいなりねー。

→「最初封筒を開けていくら入っていても同じ結論だから開けてみなくても反対側が得」
この文が矛盾しています。
左右の期待値をそれぞれＡ,Ｂとしたときに
Ａ＞Ｂという結論とＡ＜Ｂという結論が導かれるので矛盾します。

期待値について補足
たとえば
親父さんが封筒に０円から１０００円の金額を恣意的に封筒にいれます。
そのときの封筒の期待値を５００円と答える人は
期待値もしくは恣意的の意味を取り違えています。

＞252
左を最初にあけたとき、右の期待値はＡ。
右を最初にあけたとき、左の期待値はＢ。
ＡとＢでは前提が違うなりねー。
ここがどうも納得できないようですなあ。
毛の人も同じこと言ってるとおもうなりね。

あとさ、後からひいたほうが、常に期待値が大きいことが感覚的に納得
いかないってこともあるんじゃないの？

＜Msg253＞
＞ＡとＢでは前提が違うなりねー。
ですな

＞左右の期待値をそれぞれＡ,Ｂとしたときに
＞Ａ＞Ｂという結論とＡ＜Ｂという結論が導かれるので矛盾します。
これは、どちらも一回目に引く場合の期待値だから
二回目に引くという反対側の期待値とは、種類の違うものである
って、ことですよね

ま、全部読んだわけじゃないんだが、結局はどの時点で何が固定されているかをきちんと考えないとダメって事で砂

算数じゃなくて国語の問題だな。

ですから、何度も言うとおり
右を実際に開けなくても
右の封筒を開けたつもりになる＝右の封筒の期待値をＸとする
と左の封筒の期待値のほうが右より高くなるのが問題なのです。

「期待値が２５０円」と主張する人は
右の封筒をＸ円とする（開けない）
右の封筒の期待値はＸ円
左の封筒の期待値は(5/4)Ｘ円
となって左右の期待値が異なることをどう説明するのですか？
右の封筒をＸ円とおくだけで左右の期待値が異なる結果がでていいのですか？
左の封筒をＹ円とおいて計算を始めると逆の結果がでますがどっちが正しいのですか？

「右の封筒を開けて結果を見たから左の方が期待値が高い」
という説にしても
右の封筒を開けて何が変わるかと言えば息子が中の金額を確認できることだけです。
でも中の金額によって息子の行動や考えには何も変化はありません。
つまり息子は中の金額を確認してもなんの意味もありません。
そこで開けても開けなくても同じという結論になりますが、
これにはどう反論しますか？

まず、右の封筒の中身を 2x と想定します。
このとき、左の封筒の中身は x または 4x です。

ここで、左の封筒の中身が x, 4x である確率 a, b を考えると、
　　(a, b) = (1, 0) or (0, 1)
であって (どちらが正しいかは不明)、
　　(a, b) = (1/2, 1/2)
ではないから、先の期待値は矛盾するのだと思います。

自分の中でもすっきり説明できないので、
はやくすっきりしたいです。

具体的に親父の全財産を18円,お金の最小単位を1円とすると
考えられる組み合わせは
右 １ ２ ３ ４ ５ ６ ２ ４ ６ ８ 10 12
左 ２ ４ ６ ８ 10 12 １ ２ ３ ４ ５ ６
の12通り。ここで最初に右を見るとすると見た数字が
2,4,6の３通りである確率は1/2でこの場合は逆の封筒は
1,2,3か4,8,12であるから現在問題になっている状態にある。
しかし、1,3,5の奇数を選ぶ確率は1/4でこの場合は逆の封筒は
2,6,10の倍の金額が入っていることが確定している。
また、8,10,12を選ぶ確率も1/4でこの場合は逆の封筒には半分
の金額しか入っていない。
また8,10,12などという大きい数字の場合は半分が確定していて、
1,3,5という小さい数字は倍になることが確定している。

ここで最初に見た封筒の金額をxと置くと言いたいがいったいなにが
xなのか。xは均等に分布していないし。(自分でも良くわからない）

これは全財産を18円と限定したが全財産->無限大 最小単位->無限小
としても同じことが言えると思う。

>258=tr
問題の条件として
２つの封筒を左右ランダムに置くので
確率1/2は疑う余地がありません。

>259=220（親父）
220(親父)さんは重大な間違いをしています。
259で12通りの組み合わせをあげていますが
すべてが等確率ででるわけではありません。

>251=220（親父） さん

確かにそのとおりです。
しかしそれだと「お父さんの嘘吐き〜！」という事もあるわけで、、、、

はっ！もしかしてこれは、「どんな人も100%信じてはいけない」という
人生勉強の為の問題だったのか！？

>親父さんが封筒に０円から１０００円の金額を恣意的に封筒にいれます。
>そのときの封筒の期待値を５００円と答える人は
>期待値もしくは恣意的の意味を取り違えています。

私は５００円だとおもいます。
120さんの考える「期待値もしくは恣意的の意味」を教えて下さい。

>右の封筒をＸ円とおくだけで左右の期待値が異なる結果がでていいのですか？

いいのです。どちらも開けていない時は「(X+(2X+1/2X)/2)/2」で左右とも9/8Xですが、
片方をXとおいた時点でもう片方は「9/8X*2-X」で5/4Xになります。

>左の封筒をＹ円とおいて計算を始めると逆の結果がでますがどっちが正しいのですか？

どちらも正しいです。
1/2で「右<左」になり、1/2で「右>左」になります。
この1/2は、二つある封筒のどちらか一つを最初に選ぶという事です。


おまけ

「期待値」または「確率」とは、「予想できる結果の平均」だと思います。
どんな予想をしようが結果が変わらないのは当たり前ですが、
誤差の少ない予想をしようとすると「期待値」または「確率」になります。

>120
＞すべてが等確率ででるわけではありません。
げ、そうなの？
親父の思考
for(;;){
右=乱数(1-18)
左=乱数(1-18)
　　 if ((右*2=左 or 右=左*2) and (右+左)<=18) break;
}
ではダメ？家のパソコンではこれだと等確率で出ちゃうけど。

＞素人+毛が３本
素人+毛が３本 さんとしては、
例えば子供は必ず右を最初に空けなくてはいけないという条件
の場合、このゲームは左の方のが常に期待値が大きいということですか？

↑
そうそう、そうなりね。

さらに言うと、右左には関係なく、二回目にあけるほうが常に期待値は大きいなりよ。

だってさ、一方がもう一方の２倍か半分のどっちかっていうなら、もう一丁あけてみようと思うんじゃないかな。

そしてさそんなことはないとは思わないの？
「右=乱数
　左=右の1/2　か　右の二倍 を確率1/2でチョイス
　という様に入れています。と親父がいった。」
であれば確かに左の方が確率高い
では最初に左を見て良いよといわれたら右を選ぶ？
僕は迷わず左を選びます。

>220親父 さん

なんで左なんですか？

まず
右＝任意の数
で、
それから左＝右の1/2 or 右の２倍
だったら左の期待値は1.25*右。
これは最初に左を見ようが右を見ようが関係ないからです。
左のほうが最初から期待値が高い。と思う。
263の決め方と異なるところに注意してください。

ところで259に関してはどう思います？

金太郎っす。
今、会社を辞めようと思ってるっす。
実は、右田産業と左田物産の２社から誘われてるっす。

�@どっちの会社からも、まだ金額の呈示をもらってない
んすが
�A一方の会社はもう一方の会社の２倍の月給をくれる
ことだけは、わかってるっす。
とにかく
�B月給のいいほうに決めたいと思ってる
っす。

ここで金太郎は考えた。

いくら月給くれるかわからないが、右田産業にきめよう。
→そのとき左田物産はいくらくれるかと考えると、
　右田より左田が月給が高い確率は１／２だ。
　しかし、「期待値」を考えると、右田の５／４倍になる。

では、左田物産にきめよう。
→そのとき右田物産はいくらくれるかと考えると、
　左田より右田が月給が高い確率は１／２だ。
　しかし、「期待値」を考えると、左田の５／４倍になる。

金太郎っす。
俺はどうすればいいんすかね。

>220親父さん

左を選んでもそれが1/2なのか2倍なのかわからない、
逆に言うと左とって右が1/2なのか2倍なのかわからないので
どちらも同じだと思うのですが？

259に関してはよくわかりません。
「xは均等に分布していない」という意味がわかりません。(素人なもので)


おまけ

自分のカキコを見てちょっと(ちょっとじゃない？)訂正。

右をXとすると左は5/4Xになるので左を選ぶと得する×
↓
右をXとすると左は5/4Xになるので左を選ぶと得すると予想できる○

お久しぶりです｡163です。
どうやら220さんはこの問題を理解されたようですね｡
Xってなんなのさ？という疑問は当然のものなのですが、
そうおくことがあたりまえだと思われる方にその重要性を理解してもらうのは大変ですね｡
今の場合でいえば一番本質的なのは
(Z,2Z)という確定している金額の組み合わせから選ぶのか、
未知な集合(少なくとも2または1/2をかけるという演算について閉じた無限集合になりますね｡)
から勝手に持ってくるのか、
の違いでしょうか｡
このギャップを無闇にXとおくことで乗り越えてしまっているのが120さんの最大の誤りなのですが｡
わかっていただけるのかなぁ｡
確か素人+毛が三本さんがどこかで、
一方をXとした時もう一方が2Xもしくは1/2Xである確率はそれぞれ1/2と納得していただくしかない、
というような言い方をされていましたがこれはまさにその通りです｡
そう思わない人に対して数学的な説明を与えることはできませんから｡
これを納得するなら自然に、もう一方の期待値は5/4Xが結論されます｡
この結論が正当だと思うならそのまま納得していればいいし、
不当だと思うならやっぱり納得できないってことになりますね｡
納得している人には私の主張はネタのように思えるのかもしれませんがそうではありませんよ｡

> そう思わない人に対して数学的な説明を与えることはできませんから｡
そのようなとき、数学では「仮定が間違っていた」と結論します。
いわゆる背理法ですね。

xは均等に分布していないというのは
最初みた封筒の中に入っているのは 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12
のどれか。並べなおすと　1 2 2 3 4 4 5 6 6 8 10 12
と一様ではないということです。小さい部分のほうが濃い。

横道
「右と左に封筒がある。それぞれ金が入っているが金額はことなる」
という条件だけでも、
最初に右を見たことにしこれをxとおくと、左にはxより大きい金額
が入っている確率は1/2小さい金額の確率も1/2。
小さい場合その期待値は0-xまでのどれかだから、x/2
大きい場合その期待値はx-∞までのどれかだから　∞
1/2 * x/2 + 1/2 * ∞　= ∞
xは有限だから x<∞　よって左のほうが得 !?

あ、∞って機種依存文字？もしそうなら無限大の記号です。

親父の全財産が有限か無限かが本質的です。
有限なら右の金額が全財産の３分の１以下だった場合のみ左を取ったほうが有利です。
無限（つまり任意の金額を封筒に入れる確率が零でない）なら常に左が有利になります。
後者のときは左右の期待値はともに無限大になるので矛盾は起きません。

>220（親父）さん

268は、親父さんの言うとうりでした。

>270=素人+毛が３本

よく見てよく考えてから書け！

はい、ごめんなさい。

以上、一人ボケツッコミ終了。

1/2や矛盾の話ばかりでこの問題に対する私の答えを書いていませんでしたが、
私も左を選んだ方が得だとは思っていません。
右をXとした時、左は5/4Xで左が大きくなりますが、右が必ずXであるわけではなく
左にもXである可能性が同じ様に有るので、どちらでも同じだと思います。


>163さん

片方がXの時、もう片方が2Xまたは1/2Xである確率を予想(仮定？)するならば
1/2以外ないと思うのですが？(どちらかに偏らせる根拠がない)
もちろん実際に1/2であるとは限りませんが。
この仮定が間違っているとすると私が232で書いた確率、期待値の
考え方も間違っているのでしょうか？

久々に、数学番覗いたら・・・。
昔、半年ぐらいまえかなあ。同じ話題でもりあがりました。
今回のスレッド全部読んでないけど、ちょっとだけ。

2つの封筒があって、どちらかに倍のお金が入っている。
先攻が得か、後攻が得か。っていわれたら、
たとえ、先攻のお金がわかったあとでも、
誰でも、両方とも確率（勝か負けるか）は同じ。
って答えますよね。ギャンブラーなら。

でも、期待値って言葉が入るとややこしくなる。

迷案1
先攻が200円を引いたとき、後攻の期待値が250円になると
ゆうのは現在の定義上間違いではないという意見が多いようであるが。
ここで、問題になるのは1回性の事象に期待値は存在するのか
という疑問である。実はこのゲームは唯一1回しか存在しないのである。
何回もこのゲームが行われ、いつも先攻が200円を引くのなら何の問題もないのだが。
哲学的問答になってしまうかも知れないが、唯一の事象を掛けたり
割ったりする事は不可能なのである。ピンと飛んで行く1個のパチンコ玉のように。


迷案2
あえて言うなら、期待値はいつも1.5ｘ（少ない金額をｘとしたら）なのではないか。
両方の金額がわからない時でも、片方の金額がわかったときでも。
ということは、封筒の中に入っている金額が200円とわかっとき
X（少ない金額）は133.333・・・円、2x（多い金額）は266.66・・・円となる。
こう考えると、期待値的には矛盾はなくなる。
でも、これでは、現実とは異なる。ここが問題である。
期待値は、あくまで期待値で現実と異なると片づけるか。
現実と異なるのだから、これは期待値ではないとするか。である。

どちらにしろ、期待値という定義が完璧ではないということではないか。
あ〜長くなってしまった。

切れちゃったので続き・・・

現実と異なるのだから、これは期待値ではないとするか。である。

どちらにしろ、期待値という定義が完璧ではないということではないか。
あ〜長くなってしまった。

>275〜280
M を、自然数の集合 N の部分集合としよう。M は有限集合でも無限集合でも
構わない。親父は M から１つの要素 m を選んで、m 円、2m 円のお金を封筒に
入れる。親父が m を選ぶ確率を P(m) としよう。もちろん、ΣP(m) = 1 が
成り立つ。そして親父は２つの封筒を並べる。m 円の封筒を左に置く確率を
1/2 としよう。
このとき、左右の封筒の金額の期待値は、共に ΣmP(m)/2 で与えられる。
つまり、M, P(m) の決め方によらず、２つの封筒を左右に等確率で置くという
前提だけで左右の期待値は等しくなる。…(*) （当たり前だが）

さて、２つの封筒を左右に等確率で置くという前提で、「左の封筒に x 円
入っているとき、右の封筒に 2x 円入っている確率、x/2 円入っている確率が
共に 1/2」 ということがすべての x∈M に対して成立する …(#) ような
M, P(x) の決め方があったとしよう。
左の金額が x である確率を Q(x) とすると、左の期待値 L = ΣxQ(x) に対して、
右の期待値は R = Σ(2x + x/2)Q(x)/2 = (5/4)ΣxQ(x) > L となって、(*) に
矛盾する。よって、(#) を満たすような M, P(x) は存在しない。□

訂正（７行目）
誤：「ΣmP(m)/2」　→　正：「(3/2)ΣmP(m)」

>281
(#)のときはＭは無限集合で
Ｒ＝Ｌ＝∞です。

じゃあ、こうしよか？
L(n)=Σ[x=1,n] xQ(x), R(n)=(5/4)Σ[x=1,n] xQ(x)
とおけば、R(n)/L(n)=5/4 よって lim[n→∞]R(n)/L(n)=5/4
これは左右の期待値の比が１であることに矛盾する。

＜241・256君へ＞
＞「矛盾する」
＞だから、私は141で書いているとおり
＞「期待値は２５０円」を否定しています。
だから、矛盾するのは貴方の常識的感覚とでしょう？
現実に一方を決めた時点で、反対の期待値と
もともとの期待値とでは、違うのです
一方を、Ｘとした時点で対象性はなくなっています

＞「期待値が２５０円」と主張する人は
＞右の封筒をＸ円とする（開けない）
＞右の封筒の期待値はＸ円
＞左の封筒の期待値は(5/4)Ｘ円
＞となって左右の期待値が異なることをどう説明するのですか？
左の封筒の期待値は、右の封筒の期待値を定めてしまった結果により
(5/4)Ｘ円 となるのです
初めから(5/4)Ｘ円が期待値というわけではありません

ですから、左右の対象性を維持しないから矛盾だということにはならないのです

＞右の封筒をＸ円とおくだけで左右の期待値が異なる結果がでていいのですか？
それは、貴方の常識的な理性が導く批判でしょう？
それは、現実には封筒が出された時点で左右の封筒の中の金額は
Ｋ円と２＊Ｋ円というふうに
固定されていますので、一方を取ったときの金額をＸ円とすると
もう一方が、２＊Ｘ円となるときのＸと、Ｘ／２円となるときのＸは
違うＸなのです
ま、そんな現実的な話しはどうでもいいのです（笑）

＞左の封筒をＹ円とおいて計算を始めると逆の結果がでますがどっちが正しいのですか？
どちらも正しいんですよ
当然、現実的にはありえない状態ですので
現実の感覚からは、受け入れられないかもしれませんが
それを乗り越えて考えてください（笑）

＜257君へ＞
＞「右の封筒を開けて結果を見たから左の方が期待値が高い」
という説にしても
＞右の封筒を開けて何が変わるかと言えば息子が中の金額を確認できることだけです。
でも中の金額に
＞よって息子の行動や考えには何も変化はありません。
＞つまり息子は中の金額を確認してもなんの意味もありません。
＞そこで開けても開けなくても同じという結論になりますが、
＞これにはどう反論しますか？
ですから、現実的におかしいという仕方での反論は無意味です

また「現実的に矛盾している」といっても、ダメですよ
それが、どうかしたの？

というだけになります

その矛盾した所へ導くポイントはどこなのか…
もっと頭をやわらかくして考えましょう

＞素人＋毛が3本さん
簡単に説明すると、問題点は2つでしょうか。

１．確率を直感で定めている｡

ただしこれは、
「こう考えると自然じゃない？
　問題をこう定式化して考えてみようよ｡」
という主張なら、私はあまり罪はないと思います｡
ちなみにこの行為は父親の入れた金額に対する確率分布を与えることとほぼ同義です｡
そして、あなたは新しく確率を定義したのだ、ということを忘れてはいけません｡
そうなると決定的に問題なのは

２．その定義に対して数学的検証を行っていない｡

定義が正当かどうか｡
これは普段軽視しがちですが非常に重要です｡
(私も忘れがち｡)
272さんが試みてくださっていますね。
結論として、一方をXとして議論するような一般論に拡張するのは不可能です｡
よって確率は不定｡
問題の場合に限定しても、
例えば、父親の入れた金額は(z,2z) (z=1〜1000)でそれらは等確率、
とか、
あらかじめ(100,200)(200,400)という封筒の組み合わせが用意されており、
父親はそこから無作為にひとつを取り出し、息子に見せた｡
などといったあたりまえでは片付けられないもっと強い条件が必要になります。

とにかく２００円という金額が見える話なのだから、事象空間を
（左封筒、右封筒）= {(100,200),(400,200),(200,100),(200,400)}
と固定してはいけないだろうか？それぞれ1/4で取りうるとする。

この時ランダムに封筒を選んでそれを選択した場合の期待値は225円である。

右の封筒を開けたら200円だったとする条件の下では左の封筒の期待値は確かに
250円だ。左に変えるのが吉。
右の封筒に200円が入っていなければ（100円だったり400円だったりした条件の
元では）左に変えると確率１で200円になる、が子供にはそんなことはわからな
い。

結局左に変えるという戦略の期待値は225円となって、何もおかしくないよと。

つまり、最初に開いた封筒の金額によって子供から見える左右両方の封筒の全体
としての期待値は、常に最初の金額より高くなるから、変えるのがいつでも正し
い。ただ、最初にあけたのが100円だったら、場全体の期待値は112.5円にしかな
らないってだけ。

なんか、もっとややこしいことを話しているのか？

Ｒ＝Ｌは必ずしもＲ／Ｌ＝１を意味しませんよ。
だからR(n)/L(n)→5/4とＲ＝Ｌは矛盾しません。

(#)を仮定すると(右を先に開けたのなら）
左を取るほうが常に有利になります。
（さらに272さんの281における正しい推論によりＲ＝Ｌ＝∞が結論されるのです）
この結論が(数学的に正しいが)非現実的に思えるのは
(#)という仮定が(数学的には意味があるが)非現実的だからです。
((#)よりＭは必然的に無限集合になります。
　Ｍが無限集合であるというのは
　この問題の場合どういうことなのか考えてみてください。）

275>272
＞(#)よりＭは必然的に無限集合
はうそですね。
ごめんなさい。
しかしＭが有限集合のときは期待値の計算が変わってきます。
右を開けたときそれがＭより大きい金額だった場合
左の(条件付)期待値はＭ/２になるから。

今日は頭回っていないので一つだけ
無限でも有限でもいいけど集合Mの中の要素mがあったとき
2mは集合Mの要素なの？

> Ｒ＝Ｌは必ずしもＲ／Ｌ＝１を意味しませんよ。
何を言うとるんじゃ？　こりゃあかんわ

たびたびすいません。

290=275の最後の行
Ｍ/２→(右の金額)/２

289=275の３行目
(#)を仮定→「Ｍが無限集合｣を仮定
同８行目
(#)という仮定→｢Ｍが無限集合｣という仮定

失礼。281 の訂正（13 行目）
誤：「x∈M」　→　正：「x∈M∪{2m|m∈M}」

…と思ったが、x∈M でないとすると、x が 2m と確定してしまうので
(#) は成立しないか。
…よく考えたら、任意の要素 m に対して、2m, m/2 も要素に持つような
集合 M は存在しないから、それだけでだめじゃん。

275です。

Ｘで右の金額、Ｙで左の金額を表す。
Ｘ，Ｙは｛100,200，…，2000｝にのみ値をとることにする。
（親父の持っている金は3000円以下）。
Ｘ，Ｙは次を満たすとする。

Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｎ/2)
　　　＝Ｐ(Ｘ=ｎ)/２　(ｎ=200，400，…，1000のとき)
　　　＝Ｐ(Ｘ=ｎ)　　 (ｎ=1200，1400，…，2000のとき）
　　　＝０　　　　　　(その他のとき）
Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=2ｎ)
　　　＝Ｐ(Ｘ=ｎ)/２　(ｎ=200，400，…，1000のとき)
　　　＝Ｐ(Ｘ=ｎ)　　 (ｎ=100，300，…，900のとき）
　　　＝０　　　　　　(その他のとき）
Ｐ(Ｘ＝ｎ）＝０ 　　　(ｎ=1100，1300，…，1900のとき）
　　　　　　　　　
このとき
(Ｘ=ｎのもとでのＹの条件付期待値）
　＝�狽高o(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｍ)/Ｐ(Ｘ=ｎ)　(ｍに関する和）
　＝�@(ｎ/2＋2ｎ）/2　＝ (5/4)n 　(ｎ=200，400，…，1000のとき)
　　�A　n/2 　 　(ｎ=1200，1400，…，2000のとき）
　　�B　2ｎ　　　　　　　　　　　　(ｎ=100，300，…，900のとき）

�@と�Bの時だけ左を取ったほうが有利です。

この例で解決していると思うので私はもう書きません。
それではがんばってください。

思考実験しました。概ね、296さんが書かれたようなことです。
いろいろと集合を変えてみても、以下のような状況になりました。
A左の封筒を開けた場合、右の封筒の金額の期待値は左の1.25倍。
B但し同様の試行を繰り返し（左の封筒の金額も変動）た場合、
　左側の封筒に入っている金額の合計は、右側の金額との合計と
　同額となります。（私がかつて拘っていた点です。
　しかし、本件テーマそのものではないですね）
なお、296さんの�Aと�Bは同確率なので、結局ｘ＝ｎと固定するなら、
ｙの期待値は5ｎ/4となります。

しかし、どうしても納得いかないんですよね。

>296
私の発言（259）と全く同じ内容だと思うのですが、
275と合わせるとX,Yが取る集合（今100〜2000）が無限集合
になったとたん�Aがおこり得ないということですか？
つまり結局左を取ったほうが有利と考えられているということ？

なんかこの問題は「ちゃんと説明できた」時点で解決であって、
私としては例をあげた程度では解決にならないんですよね。

結局「無限」の時に「だけ」成立するので、この世のものは全て
有限だから、成立しない。ということなのかなぁ。

左右封筒の取りうる値を
{1,2,4,8,...,2^n}
という数列から、隣り合った２数を選択することと定義する。
ある組み合わせ　(2^(k-1),2^k)　が選択される確率は1/nである。

何の情報もない時点で、任意に封筒を選んだときに得られる金額の期待値は
Ｓ　＝　Σ(2^(k-1)+2^k)/2 = ... = (2^n - 1) / 2n
であるから、n→∞の時、Ｓ→∞である。

この封筒ゲームのそもそもの期待値は∞であったのだった。

ところで、もし最初に(2^(n-1),2^n)が選ばれて、かつ開けた右の封筒に2^n円
入っていたならば、左の封筒の期待値は2^(n-1)である。

つまり、1/2nの確率で、左の封筒の期待値が5/4Xではなく、X/2になることが起
きる。しかも、その時のＸは2^nというでかい数なのである。

大抵の場合は左の封筒の期待値は5/4Xであるが、1/2nというきわめて珍しい確率
で左の封筒がX/2になることがある、それによってバランスが取られているという事。

言葉を換えれば「仮に左を見ていないのに見たことにして、右の期待値は5/4Xの
はずであるから左を選んだ方が得という予想」は、ほとんど正しいが1/2nの確率
で間違うことがある、ということ。

nを有限の大きい数に拡張してもこれは成り立つし
{1,2,4,8,...,2^n}
の各数字を例えば２でどんどん割っていって、有理数全体に拡張しても成り立つ
話だと思われる。

275です。

また書いてしまいました。すいません。

＞298
確かに本質的な考え方は親父さんの(259)と同じですね。
このままではあまりにも不親切なので、
無限の場合を検討しましょう。

Ｘ，Ｙで左右の金額を表し、Ｘ，Ｙは自然数を値としてとる。
Ｘ＝ｎのとき
�@)ｎが偶数ならＹ=2ｎである(条件付)確率とＹ=ｎ/2である(条件付)確率は等しいと考えられる。
　　すなわち
　　　Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=2ｎ)/Ｐ(Ｘ=ｎ)＝Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｎ/2)/Ｐ(Ｘ=ｎ)＝1/2
�A)ｎが奇数ならＹは必ず2ｎである。
　　すなわち
　　　Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=2ｎ)/Ｐ(Ｘ=ｎ)＝1
まとめると
　Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｎ/2)
　　　＝Ｐ(Ｘ=ｎ)/２　(ｎ=偶数のとき)
　　　＝Ｐ(Ｘ=ｎ)　　 (ｎ=奇数のとき）
　Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=2ｎ)
　　　＝Ｐ(Ｘ=ｎ)/２　(ｎ=偶数のとき)
　　　＝Ｐ(Ｘ=ｎ)　　 (ｎ=奇数のとき）ここまでは「自然な」要請だと思います。

そこでＸ=ｎのもとでのＹの条件付確率をＥ(Ｙ｜Ｘ=ｎ）と書けば

Ｅ(Ｙ｜Ｘ=ｎ）＝�狽高o(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｍ)/Ｐ(Ｘ=ｎ)　(ｍに関する和)
　　　　　　　＝�@（5/4)ｎ　(ｎ=偶数のとき)
　　　　　　　　�A　2ｎ　　 (ｎ=奇数のとき）

となりいずれも(右を先に開けたなら)左が有利になります。

（長いので続く）

ところでＸ，Ｙの期待値をそれぞれＥＸ，ＥＹと書けば、

　ＥＹ＝�狽d(Ｙ｜Ｘ=ｎ)Ｐ(Ｘ=ｎ)　（ｎに関する和）
　　　＝Ａ＋Ｂ
ただし
　Ａ＝�狽d(Ｙ｜Ｘ=ｎ)Ｐ(Ｘ=ｎ)　（ｎ=偶数に関する和）
　　＝��(5/4)ｎＰ(Ｘ=ｎ)　　　　（ｎ=偶数に関する和）
　Ｂ＝�狽d(Ｙ｜Ｘ=ｎ)Ｐ(Ｘ=ｎ)　（ｎ=奇数に関する和）
　　＝��2ｎＰ(Ｘ=ｎ)　　　　　　（ｎ=奇数に関する和）

したがって

　ＥＹ≧��(5/4)ｎＰ(Ｘ=ｎ)　　　　（ｎに関する和）
　　　＞ＥＸ

となります。
ところがＥＸ＝ＥＹ(これも証明するべきですが対称性よりほぼ明らかでしょう）
でなければならないから、これから

　ＥＸ＝ＥＹ＝∞

が結論されます。

275です。もうちょっと書かせて。

300,301より�@)，�A)の設定のもとでは、
右を先に開けた場合常に左が有利となり、
このとき左右の期待値はともに無限大になります。

このような(数学的には正しいが)非現実的な結果が得られるのは
そもそも�@)が「すべてのｎで」成り立つという仮定が非現実的だからです。
(つまり親父は無限に多くのお金を持っていなければならない！)

ギャンブルの｢倍賭け」ゲームに似ているかも。

このような問題では
親父が息子に小遣いとして与えうる金額の
常識的な上限を設定するべきでしょう。
その場合には296の通り常識的な結果が得られます。
(もちろん｢2000円を封筒に入れる確率は1000円入れる確率より低い」
などの情報があればそれに応じて設定は変えるべきですが）。

＞結局「無限」の時に「だけ」成立するので、この世のものは全て
＞有限だから、成立しない。ということなのかなぁ。
結局そういうことだと思います。

長々書いてごめんなさい。
また書いちゃうかも？

(誤)
＞まとめると
＞　Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｎ/2)
＞　　　＝Ｐ(Ｘ=ｎ)/２　(ｎ=偶数のとき)
＞　　　＝Ｐ(Ｘ=ｎ)　　 (ｎ=奇数のとき）

最後の行はもちろん

　　　＝０　　 (ｎ=奇数のとき）

です。すまん。

＜292君へ＞
＞＞Ｒ＝Ｌは必ずしもＲ／Ｌ＝１を意味しませんよ。
＞何を言うとるんじゃ？　こりゃあかんわ
Ｒ／Ｌは、条件付確率のことを言っているんじゃないですか？

この問題の問題の問題点は、何度もいいますが
固定させる時点の違いにあります

親父さんが、封筒を用意した時点で
Ｋ円と２＊Ｋ円という風にきまってしまっているのですから
一方を選択した金額をＸと固定してしまった場合

Ｘは、Ｋ円か、２＊Ｋ円のどちらかの一方なのです

ここで、もう一方の封筒に入っている金額が
２＊Ｘ円という場合と、Ｘ／２円の場合の二通りある
ということは、ありえません

もう既に、もう一方の金額は定まってしまっているのですから

では、ここでもう一方の金額が
２＊Ｘ円という場合と、Ｘ／２円の場合の二通りある
ということを成立させる為には、どうする必要があるのでしょうか？

それは、一方を選択した時点でのもう一方の入れ替えです

もう一つの解釈としては
Ｘ円と２＊Ｘ円の組み合わせの時にＸ円を選択した場合と
Ｘ円とＸ／２円の組み合わせの時にＸ円を選択した場合とを
並列に扱い、もう一方を選択する期待値を求めているのです

当然
Ｘ円と２＊Ｘ円の組み合わせの時と
Ｘ円とＸ／２円の組み合わせの時が
同時に存在することなどありえません

まあ、Ｘ円とＸ／２円の場合と
その二倍の金額が入っている場合の期待値を
あわせて考えれば、そりゃ、大きい金額が
入っているときの影響度が高いというのは当たり前のことです

封筒が出されているにも関わらず
Ｘ円とした時点で、残りが
Ｘ円とＸ／２円の場合があるといってしまうことは
このように、共存しえない二つの場合を同時に扱うことにあります

ですから、現実的な感覚に一致しないのは当たり前のことなのです

>302=275
>このような(数学的には正しいが)非現実的な結果が得られるのは
数学的にも矛盾してるよ。
ｉ）を仮定すると確率の総和が無限大になる。
これは確率の総和が１であることに矛盾する。

＜見出し＞
数学的に矛盾していると言うよりも
＜本文＞
＞ｉ）を仮定すると確率の総和が無限大になる。
＞これは確率の総和が１であることに矛盾する。
うーん
まあ、普通自然数全体に対して、一つ一つの元に等確率を与える確率空間を定義することなど、出来ない
ということですよね

つまり、求めているような確率空間を構築できないような世界を確率空間の母体として求める姿勢自体に問題があるのです

そもそも、封筒は二種類であり
片方が、もう一方よりも大きいのです

ですから
片方をＸ円とすれば
もう一方が、２＊Ｘ円である確率は５０％です
もう一方が、Ｘ／２円である確率も５０％です

それが、違うということは
二つの連続した自然数を考え
一方をＸとしたときに、もう一方が奇数である確率を
５０％ではないと言うことに等しいのです

等しい内容ではないというなら、その根拠を提示してください

内容は、等しい無いようだが、その事例においても
５０％ではないというなら、これもその根拠を提示してください
まあ、なければ、こちらが正当性の説明を付け加えます
ただし、母体となる確率空間を定義できないからじゃ、話しになりません
それは、踏まえてお考え下さい

ま、このやり方が納得できないというなら、その理由の提示をお願いします

つまり、母体となる確率空間の必要性です

確かにそうだというならば、賛同の声もお願いします（ーー；）

ちょっと質問。
>片方をＸ円とすれば
>もう一方が、２＊Ｘ円である確率は５０％です
>もう一方が、Ｘ／２円である確率も５０％です
これは何回も繰り返したときにもう一方に２＊Ｘ円とＸ／２円
が等確率で入ってるって事？
つまりＸは特定の数じゃないの？
それともＸを一つ固定したときに２＊Ｘ円とＸ／２円
が等確率で入ってるって事？（この場合Ｘは任意の偶数）

前者なら何の矛盾もない。特に文句もない。
275は後者を前提にしているようだけど、
何でそれを正しいと仮定できるのか僕はわからない。
わからないから意見の言い様もないので一抜けます。
306の発言も気にしなくて良いです。

>つまり、求めているような確率空間を構築できないような世界を
>確率空間の母体として求める姿勢自体に問題があるのです
そう言われても、どんな世界を母体にすればいいのかわからない。
やっぱり一抜けた方がいいようです。でしゃばってすいません。

＞これは何回も繰り返したときにもう一方に２＊Ｘ円とＸ／２円
＞が等確率で入ってるって事？
＞つまりＸは特定の数じゃないの？
＞それともＸを一つ固定したときに２＊Ｘ円とＸ／２円
＞が等確率で入ってるって事？（この場合Ｘは任意の偶数）

＞前者なら何の矛盾もない。特に文句もない。
前者じゃないですよ
後者でも無いですね
ちょっと意味合いが違いますから。

＞何でそれを正しいと仮定できるのか僕はわからない。
＞わからないから意見の言い様もないので一抜けます。
＞306の発言も気にしなくて良いです。
その母集合に対して確率を定義できないからといって
その部分集合に対して、確率を定義できない
と考える必要などあるのでしょうか？

＞何でそれを正しいと仮定できるのか僕はわからない。

＞そう言われても、どんな世界を母体にすればいいのかわからない。
＞やっぱり一抜けた方がいいようです。でしゃばってすいません

二つの連続した自然数があるときに
その小さい方が奇数である確率は幾つでしょうか？

これを、母集合である自然数の全体に確率空間を構築できないから
という理由で、考えることなんてできないといったり
小さいほうが、奇数である確率を５０％と仮定できる正当性が
わからないというのと同じですよね

こっちの方は、納得できないでしょうか？

Milk Teaさんが何を言いたいのかよくわからないんだが、
「一方をXとした時もう一方が2Xまたは1/2Xである確率がそれぞれ1/2」(#)
は誤りでない、という主張なのかな｡
確かに金額を(z,2z)と固定した状態で左右の封筒の金額を(x,y)とすると、
(x,y)=(z,2z),(2z,z)のいずれかでそれは同様に確からしい｡
よって、x=2y=2z x=1/2y=zである確率はそれぞれ1/2。
このとき、
”一方をXとした時もう一方が2Xである確率”="X=x=1/2y=zである確率"="(x,y)=(z,2z)である確率"
”一方をXとした時もう一方が1/2Xである確率”="X=x=2y=2zである確率"="(x,y)=(2z,z)である確率"
と考えるなら(#)は正しい｡
しかしこうしてえられた確率は一方の封筒からもう一方を推測する
(例えば期待値を求める)情報にはならない｡
なにより普通(#)といったときこうは思わないはず｡

一方の封筒からもう一方を推測しようと思うなら、
例えば封筒の金額に関する確率分布といった情報が必要になる｡
私が287で与えたような確率分布の下計算するなら
右の封筒の期待値は２５０円、という結果は正しい｡
これを多くの人が納得できないのはなぜか？
それは次の例から推測すればわかるはず｡

父親の入れうる金額の組み合わせが(100,200)(200,400)(400,800)のいずれかで
しかもそれらは同様に確からしいとする｡
今、父親は(200,400)の組み合わせを選んだ場合を考えよう｡
このとき息子がはじめに見た金額が200だった時、
息子はもう一方の金額を100または400で、それらは等確率だ、と推測するだろう｡
それはなぜか？
このとき息子は封筒の中から現れうる金額を考えているように思えるがそうではなく
200という情報から父親の入れうる金額(100,200)(200,400)を割り出し、
200でないほうがもう一方の金額、と考えているのです｡
ここまでいえばもうわかるでしょうがはじめに見た金額が400だったときは
父親の入れた金額を(200,400)(400,800)を割り出すことになるので、
左右の封筒のどちらを先に見るかよって状況が変わってしまうのは当然なのです｡
別に左右の対称性に違反するわけでもありません｡

309を読んで大体言いたいことはわかりました｡

＞これを、母集合である自然数の全体に確率空間を構築できないから
＞という理由で、考えることなんてできないといったり
したわけではないと思うんですが｡

＞二つの連続した自然数があるときに
＞その小さい方が奇数である確率は幾つでしょうか
この確率ってどうやって定義するの？
有限区間で確率を取っておいて無限大に飛ばすのかな？
まあ、1/2に収束するでしょうね｡
無限集合上の確率とか対象性とかは私にはよくわからないので
(最近そういう話題が多いみたいですが)
私はあまり深入りしないでおきます｡

＞そもそも、封筒は二種類であり
＞片方が、もう一方よりも大きいのです

＞ですから
＞片方をＸ円とすれば
＞もう一方が、２＊Ｘ円である確率は５０％です
＞もう一方が、Ｘ／２円である確率も５０％です

＞それが、違うということは
＞二つの連続した自然数を考え
＞一方をＸとしたときに、もう一方が奇数である確率を
＞５０％ではないと言うことに等しいのです

＞等しい内容ではないというなら、その根拠を提示してください

この50%っていう確率は私が310でいってるものでいいのかな｡
だとしたら等しくないと思います｡
根拠は今まで散々言ってきましたがXってなんなのさ、
ってことです。

＞＞二つの連続した自然数があるときに
＞＞その小さい方が奇数である確率は幾つでしょうか
＞この確率ってどうやって定義するの？
二つの自然数は、ＫとＫ＋１っておけるでしょう？

だから、ＫとＫ＋１の集合を考えて
それぞれが、等確率と定義すりゃいいんですよ
どうして、それでダメなのでしょうか？

＞対象性とかは私にはよくわからないので
うーん
私は、対称性って言葉はきちんと聞いたこと無いですよ
まあ、私はいつからか自分勝手に使い出していますが（爆）

＞この50%っていう確率は私が310でいってるものでいいのかな｡
＞だとしたら等しくないと思います｡
＞根拠は今まで散々言ってきましたがXってなんなのさ、
＞ってことです。
ま、問題点は同じですね

Ｘを考えるにおいて、何故に、その他のものを
考えないといけないのでしょうか？

Ｘが定まれば、それに対して二つの場合
Ｘ円と２＊Ｘ円の組み合わせと
Ｘ円とＸ／２円の組み合わせがあります

まあ、それ以外のものを、何ゆえに
考慮に入れる必要があるのでしょうか？

ま、結局貴方は関係ない母集合に囚われて
異なる自然数ＸとＹから、一つ自然数Ｋを選んだときに
もう一方が、Ｋよりも大きい確率を貴方は
考えられないと言うだけのことです

まあ、そのような態度でもいいんですけど…

いいんですか？

307において
＞まあ、普通自然数全体に対して、一つ一つの元に等確率を与える確率空間を
＞定義することなど、出来ない

と自分でいってるのに

＞二つの自然数は、ＫとＫ＋１っておけるでしょう？

＞だから、ＫとＫ＋１の集合を考えて
＞それぞれが、等確率と定義すりゃいいんですよ
＞どうして、それでダメなのでしょうか？

といわれてもなんとお答えしていいのやら｡

＞まあ、それ以外のものを、何ゆえに
＞考慮に入れる必要があるのでしょうか？

それ以外のものを考えたわけではないんですが｡
むしろ、例えばXが奇数だったらX/2は考えられなくなるといった状況を
問題にしてるのですが｡

結局やっぱりMilkTeaさんが何を言いたいのかまるでわからないので
もったいぶらないでちゃんと説明してください｡

ふうむ。
よく考えてください。

＞＞まあ、普通自然数全体に対して、一つ一つの元に等確率を与える確率空間を
＞＞定義することなど、出来ない
＞と自分でいってるのに
＞＞二つの自然数は、ＫとＫ＋１っておけるでしょう？
＞＞だから、ＫとＫ＋１の集合を考えて
＞＞それぞれが、等確率と定義すりゃいいんですよ
＞＞どうして、それでダメなのでしょうか？
＞といわれてもなんとお答えしていいのやら｡
いや、両方は両立できるものなのです

全体として、確率空間を作れないが
その部分集合の中でなら、確率空間は作りえる
と言っているのです

母集合で作れないからというのは
その部分集合で作れないという根拠にならない
ということを言っているのです

が、まあ
「出来る・出来ない」という両方がありますので
理解が難しいかもしれませんが、頑張って考えてください

＞＞まあ、それ以外のものを、何ゆえに
＞＞考慮に入れる必要があるのでしょうか？
＞それ以外のものを考えたわけではないんですが｡
＞むしろ、例えばXが奇数だったらX/2は考えられなくなるといった状況を
＞問題にしてるのですが｡
ふううむ
貴方は、それで考える範囲を制限しているつもりだから
私の発言が見当違いに感じてしまうのですね？？

うーん
まあ、奇数ならもう一方は絶対に２＊Ｘ円とやってもいいけど
銭までいくと、そうとは限らないけど、結局は同じ

だから、それなら実数円とかを定義してやりゃいいんじゃないの？

まあ、そもそも私の言っている内容とは
あまり関係が無いことですので、どうでもいい所なのですが…

＞結局やっぱりMilkTeaさんが何を言いたいのかまるでわからないので
＞もったいぶらないでちゃんと説明してください｡
いや、明確に言っているんですけど
貴方が、きちんと理解できてないだけですよ

うーん、もういいです。
ますますわけがわかりません。
考えてみてくれ、といわれても
どこをどのように考えればいいのかもわからないし｡
1つ聞くとしたら母集合、部分集合って一体何?
ってことかな｡
とりあえず今日はもう寝ます｡また今度｡

今しがたまで愛車とさよならドライブをしてました。
その最中に考えたことです。
（ところで１２０さんどうしたのかなあ。最近見ないな）

左の封筒を開けてそこにｘ円が入っているのを見た、
としても、そのｘ円について「高い、低い」の評価が
出来ないのであれば、実際には開けてないのと同じじゃないか、
ということに気づきました。
つまり、封筒の中にあるお金について、分布確率の予想がないのであれば、
実際にはｘ円が２００円であろうが、2万円であろうが、
右封筒に入っているｙ円はｘ円の半分か2倍という既存の情報が
与えられているだけであり、情報量は全く増えていないのです。

この問題の問題点はここにあると思います。
つまり封筒の金額の分布について判断がないのであれば、
左封筒の開封は、全く評価できないのです。
そしてそうである以上、左封筒を開けてもなお、
左右の封筒の期待値は同じと考えざるを得ないということです。
１０７さんが言っていたのは、こういうことだったのでしょうか？

↑修正
＞左右の封筒の期待値＊は同じ＊と考えざるを得ないということです。
　→＊比較できない＊

金額の分布が分かっている場合とは
例えば、今封筒の中に入りうる金額は、
100,200,…,900,1000,1200,…,1800,2000円であり、
多い方と少ない方の比は２であり、可能な左右の金額の組合せは
当確率で生じるとの情報があったとします。
開封前　左右ともに900円

開封後　左に100円入っていた時、右の期待値は200円
これをx,yとして100,900とすると、以下
　　　　200,250　300,600　400,500　500,1000　600,750
　　　　700,1400　800,1000　900,1800　1000,1250
　　　　1200,600　1400,700　1600,800　1800,900
　　　　2000,1000
xが1000円以下の10例では右封筒にした方が良く、
左封筒のままでいいのはxが1200円以下のわずか5例しかないが、
左右の差が大きいので、結局左右の平均値は同じです（当たり前ですが）。

このような状況は、比が２である状況を変えても、
あまりかわりませんので、封筒に入る金額について
おおまかな予想が出来るような場合でも、
ｘが平均的金額近くか以下ならｙの方が多いと期待でき、
ｘが平均的な金額を相当上回るのであれば、ｘが多いと期待できるわけです。

本に解説載ってるんじゃないの？
っていうか出題者はどこ逝ったの？

↑どうして間違えちゃうかな。
＞このような状況は、比が２である＊状況＊を変えても、
→＊前提を守った上で、いろいろ金額の分布＊

金額分布にそれなりの予想というか判断が出来る場合、
（私たちの日常はほぼそういう場合ですが）
317のようにｘについて「思ってたより多い、少ない」と判断ができ、
それがｙの期待値計算に影響します。
ところが、本問題ではそのような予想はしない前提にたっており、
200円が多いか少ないか判断を放棄しています。
この時、確率p(200,100)は全く予想がつかない数値ですが、
大抵の人が、ここで代表値として1/2を用いて、y=250とします。
しかし上記pはそのおおまかな分布すら全く予想できないはずの数値ですから、
そもそもそのような計算をしては、いけないはずです。
そして、317で示したように、ありうる事象が等間隔的に
配置されていないこのような事例では、もっともらしい代表値1/2は
計算根拠としては妥当ではありません。

それでもなお、納得いかない点が残るんですけどね。
左開封前にはx=yだったのに、
開封後はｘとｙとの比較が不明になってしまう点が。
xが分かったところで、新たな情報は得られていないのですから、
開封後もx=yとしたいところですが、それは無理なんでしょうね。

下手の横好きは流石にここでやめます。
なお、いろいろ考えが揺れて、書き散らかしてしまいましたが、
現時点の考えは316〜318のみです。
私の考えで正しいところがあれば、それは既に専門の人が簡潔に書いた
部分に相当するのでしょうが、大目に見てやってください。では。

数学じゃない話はsageながらやってくれ

>318さん
確かにそうですね。誰かに「これ読め」と提示してもらいたいです。

319第2パラグラフ、何言ってんだか分かりませんね。
xについて大小の判断ができると、xが大(小)→yは小(大)との傾向から
yについて一応の予測ができるが、
本問題ではそのことはない前提で検討されている。
p(200,100)とp(200,400)は全く予想できない数値だが、
ここでは各々1/2とされている。　等といいたかったんです。
＊317で示したように、ありうる事象が等間隔的に
　配置されていないこのような事例では、＊
→317ではxの比較的少数の事例で、相当yより多いという風に、
　x-yグラフが非対称的であり、このような事例では

＊現時点の考えは316〜318のみです。＊
→現時点のｋ考えは316,317,319とこれのみです。

どうやら私は4つほど他のスレッドを下げてたようですね。
321は320の存在を知らず書き込んだものです。

＞163君へ

＞1つ聞くとしたら母集合、部分集合って一体何?
＞ってことかな｡
…わからなかったのなら、ちゃんと聞いてくれよ…
わからないくせに、どこがわからないのを言わないで
愚痴愚痴言われても、どうにもならないだろうが…

母集合というのは
１，２に対する自然数みたいなもの

ま、実際にこんかいは
自然数の全体とか、実数の全体と考えてくれればいい

部分集合というのは、この場合
自然数Ｘが定められたときに、Ｘと２＊Ｘの二つ元からなる集合を指して
部分集合と言っている

自然数の部分的集合というわけだ

で？他に不明な所は？

なんにせよ
わからないなら、わからないところを言ってから
ものをいうようにしなさい

補足ね
＞封筒の金額の分布について判断がないのであれば、
＞左封筒の開封は、全く評価できないのです。
とは、こんなイメージ。
自分のテストの点が６０点だと分かっても、
クラスの他の人の得点分布について一切情報がないのなら、
自分のクラス内順位に関しては、「全く情報が増えていない」。
本問題で金額の分布状況の情報が一切なければ、左封筒の開封で、
その分布のどのあたりの数値が「実現」したか分からず、
左より右の金額が高い確率も（おおまかにも）推計できない。
従って右金額の予測は（精度の問題ではなく本質的に）不可能。

＞母集合というのは１，２に対する自然数みたいなもの
1,2に対するって2,4っていう意味？
まあわからないけど
＞自然数の全体とか、実数の全体と考えてくれればいい
ってことなので母集合＝自然数全体ってことにすると
＞自然数Ｘが定められたときに、Ｘと２＊Ｘの二つ元からなる集合を指して
＞部分集合と言っている
集合Xが定められたときに、Xの要素mとそれを2倍した2mの二つの元
からなる集合Yを定める。とXがYの部分集合なのでは？
で、ここでXは自然数だったらYはなに？

＞自然数の部分的集合というわけだ
なにが自然数の部分集合なのですか？主語はなに？

私もMilkTeaさんの言ってることわからんです。
なにがわからないか言えといわれているけど、
あえて言うなら日本語がわからんというか、いえ、それは
私の数学力が低いからだと思うのですけどね。
封筒を選ぶのは子供です。子供にもわかるように書いてください。

まだやっていましたか・・・。

>304
＞＞＞Ｒ＝Ｌは必ずしもＲ／Ｌ＝１を意味しませんよ。
＞＞何を言うとるんじゃ？　こりゃあかんわ
＞Ｒ／Ｌは、条件付確率のことを言っているんじゃないですか？

Ｒ，Ｌは期待値を表しているのでしょう？
だからＲ＝Ｌ＝∞のこともあるということです。
それとも∞/∞＝１なんですか？

>306
＞ｉ）を仮定すると確率の総和が無限大になる。　�狽o(Ｘ=ｎ)　(ｎに関する和)
　�狽o(Ｙ=ｎ)　(ｎに関する和)
　�這狽o(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｍ)　(ｎ，ｍに関する和)
のどれかが無限大になるということですか？
すべて１ですよ。

304以降の発言者の方は
問題(→46)と296，300-303をよく読んでください。
理解できないようなら
初等確率論の教科書を読むことをお勧めします。

それではさようなら。

ひさびさの120です。
お盆休みの間に驚くほどのレスが！
さらに話が難しくなっていますね。
今読んでるところです。しばしお待ちを

夏休みの間ずっと考えていました。
私なりの結論を書きます。

右の封筒が200円のとき
左の封筒は400円か100円ですが、
400円である確率は不明、よって期待値は不明

右の封筒をＸとしたとき
左の封筒が２Ｘである確率は1/2、(1/2)Ｘである確率は1/2
そのとき左の期待値は不明、何故なら前者と後者ではＸの分布が異なるから。

右の封筒の期待値をＸとすると
左の封筒の期待値はＸ。何故なら対称だから。

＞＞母集合というのは１，２に対する自然数みたいなもの
＞1,2に対するって2,4っていう意味？
＞まあわからないけど
うーん
Ａ⊃Ｂ、もしくはＡ∋Ｂという関係が成り立っているとき
ＡはＢの母集合といいます
（まあ、普通はＡ∋Ｂの時が多いかな）
で
ＢはＡの部分集合といいます

＞集合Xが定められたときに、Xの要素mとそれを2倍した2mの二つの元
＞からなる集合Yを定める。とXがYの部分集合なのでは？
ｍを固定したときのｍと２＊ｍという集合はＸの部分集合です
そういうことを言っているんですが？

＞で、ここでXは自然数だったらYはなに？
上述の意味ですので、あしからず

＞＞自然数の部分的集合というわけだ
＞なにが自然数の部分集合なのですか？主語はなに？
Ｘと２＊Ｘの二つの自然数から成る集合ですよ

＞封筒を選ぶのは子供です。子供にもわかるように書いてください。
ま、とりあえず
わからないところを順に聞いていって下さい
順に説明していきます

＞>304
＞＞＞＞Ｒ＝Ｌは必ずしもＲ／Ｌ＝１を意味しませんよ。
＞＞＞何を言うとるんじゃ？　こりゃあかんわ
＞＞Ｒ／Ｌは、条件付確率のことを言っているんじゃないですか？
＞Ｒ，Ｌは期待値を表しているのでしょう？
＞だからＲ＝Ｌ＝∞のこともあるということです。
＞それとも∞/∞＝１なんですか？
なんと…、それなら確かに論外です
こりゃ、だめだわです

＞右の封筒の期待値をＸとすると
＞左の封筒の期待値はＸ。何故なら対称だから。
ゼノンのパラドックスと同様に実際には追い越すという説明では
そのパラドックスを解決したことにはならない

この点に注意されたし

パラドックスの殆どが人間の勘違いによるものです

この問題の勘違いは、Ｘ円を決めた時点で
もう一方として、Ｘ／２円とＸ＊２円の中から選択可能である
というところにあります

もう一方は、Ｘ／２円かＸ＊２円の中のどちらかであり
その可能性は、５０％ずつかもしれませんが
選択可能なのは、そのうちの一方のみなのです

MilkTeaさん(285,286,331,332)の文章を読んでもさっぱり意味がわかりません。
なぜもうすこしわかりやすく書いて頂けないのでしょうか？

なんで左右で考えるのかな？
１回目、２回目で考えたらいいのでは？

最初の問題を見直すと、最初（１回目）に２００円を見た後
他方（２回目）を選んだ方が１回目の２００円よりも
期待値が２５０円と大きくなるということ。

これは最初に左右のどちらを選ぶかは関係ない。
要は左右どちらを選ぼうが、１回目より
２回目の期待値が大きくなる。

で、期待値は２５０円也。

＞332
えっ、そんな結論なの。

右に200円あります。
左に100円の入った封筒と400円の入った封筒があります。
あなたは、どれを、選びますか。

こんな、問題だとどうなるの。

>120君へ
だから、わからないところを
きちんと聞きなさい

どこがわからないのかを言ってもらわないと
ただ、もう一度繰り返すだけになりますのでね

＞335君へ
＞右に200円あります。
＞左に100円の入った封筒と400円の入った封筒があります。
＞あなたは、どれを、選びますか。
＞こんな、問題だとどうなるの。

は？
それは、３択でしょ？
大体推測できますが
もう少し明確に問題を言ってくれませんか？

335は
右に200円あります。
左に100円の入った封筒と400円の入った封筒があり、
　どちらかの封筒を選べます。
どちらかの金額をもらえるなら、あなたは右と左のどちらを選びますか。
と質問したいのかな。

期待値を考えれば左。
しかし、確実な200円と不確実な250円では判断に迷いますね。


「どちらかの金額をもらえるなら」ではなく、
「金額の大きい方を引き当てたら1000円もらえるなら」なら
左右どちらでもよくなる。

期待値は難しいです。

MilkTea様
たいへん恐縮です。
とりあえず一つだけ書かせて頂きます。

>331
>＞右の封筒の期待値をＸとすると
>＞左の封筒の期待値はＸ。何故なら対称だから。
>ゼノンのパラドックスと同様に実際には追い越すという説明では
>そのパラドックスを解決したことにはならない
>この点に注意されたし

MilkTeaさんの書いたこの文は引用された私の文章とどういう関係にあるのですか？
私の文章が間違ってると言ってるのですか？
間違っているのなら正しい答えを教えてください。

＞MilkTeaさんの書いたこの文は引用された私の文章とどういう関係にあるのですか？
＞私の文章が間違ってると言ってるのですか？
＞間違っているのなら正しい答えを教えてください。
なるほど

批判は、その内容が間違っているからとは限らない

つまり、別にないよう自体が間違っているわけじゃないですよ
ただ、それじゃ何にも解決していないってことを言っているんです

これが、正しい答えなんだっていって
正しい答えを出すだけじゃ、パラドックスを
打ち崩したことにはならないといっているんだけど…

うーん
言葉の意味がわからなかったら調べてください…

＞337
質問の意味は、その通り。
答えも大正解。（人間にとって得か損かと言う意味で）
※倍率を100億倍なんかにしてもおもしろい。

で、問題となるのは
＞期待値は難しいです。
という最後のコメント。

この場合、期待値って、いっていいの？ほんとに
このゲームを何回もやってもいいのなら別だけど・・・。


＞336様
私が言いたかったのは、
332のカキコのなかで、
＞この問題の勘違いは、Ｘ円を決めた時点で
＞もう一方として、Ｘ／２円とＸ＊２円の中から選択可能である
＞というところにあります
と論証してますが、

ほら、選択可能じゃん。といいたかった訳です。

＞MilkTeaさん
私はあなたの意見をこう推測しています｡
------------------------------------------------------------------
無限集合の各元が等確率であるような（仮想的）確率空間を定めておく｡
その中からいくつかの元を抜き出した有限部分集合は
その各元が等確率である(厳密な)確率空間である｡

つまり、この問題の場合でいえば
”気まぐれな”という条件から{(z､2z)}(zは適当な集合)は
各元が等確率の(仮想的)確率空間だと考えられる｡
今封筒の中身がXだったとき、
考えうる父親の入れた金額の組み合わせの集合
{(X,1/2X),(X,2X)}
は各元が等確率な部分集合で、ゆえに一般に
「一方をXとした時もう一方が2Xまたは1/2Xである確率がそれぞれ1/2」(#)
は正しい｡
-------------------------------------------------------------------
こういうことでいいですか？
もし違うのならどこがどのように違うのかを明確にして指摘していただきたい｡
全然違う、というのであれば、もう一度主張を明瞭かつ簡潔に
述べていただきたい｡
あともうひとつ。
MilkTeaさんのいうパラドックスとは具体的になんなのですか？

＞＞336様
＞私が言いたかったのは、
＞332のカキコのなかで、
＞＞この問題の勘違いは、Ｘ円を決めた時点で
＞＞もう一方として、Ｘ／２円とＸ＊２円の中から選択可能である
＞＞というところにあります
＞と論証してますが、
＞ほら、選択可能じゃん。といいたかった訳です
…それは、封筒が３っつの場合でしょうが…

＞こういうことでいいですか？
＞もし違うのならどこがどのように違うのかを明確にして指摘していただきたい｡
はい、根本的に違ってますので指摘していきます

------------------------------------------------------------------
＞無限集合の各元が等確率であるような（仮想的）確率空間を定めておく｡
いいえ、違います
そのような確率空間を構築することは、基本的に不可能です
そして、実際にそこまで広い部分で確率空間を定義する必要なんてない
といっているんです

＞その中からいくつかの元を抜き出した有限部分集合は
＞その各元が等確率である(厳密な)確率空間である｡
つまり、この有限部分集合の確率空間は
無限集合の確率空間を求めないでも、構築できるでしょう？
といっているのです

＞つまり、この問題の場合でいえば
＞”気まぐれな”という条件から{(z､2z)}(zは適当な集合)は
＞各元が等確率の(仮想的)確率空間だと考えられる｡
ですから、それを確率空間と考える必要なんてないと
言っているんです

＞考えうる父親の入れた金額の組み合わせの集合
＞{(X,1/2X),(X,2X)}
＞は各元が等確率な部分集合で、ゆえに一般に
＞「一方をXとした時もう一方が2Xまたは1/2Xである確率がそれぞれ1/2」(#)
＞は正しい｡
で、ここで
{(X,1/2X),(X,2X)}
に対して、各元が等確率な確率空間を考えればいいんだ
といっているんです

＞全然違う、というのであれば、もう一度主張を明瞭かつ簡潔に
＞述べていただきたい｡
今までの繰り返しですが不明確ですか？
同じ事を、何度も言ってきたと思いますので
一応、見てみてください

＞あともうひとつ。
＞MilkTeaさんのいうパラドックスとは具体的になんなのですか？
今回の場合なら、左右対称なのに、左右で金額の期待値が異なってしまうという
矛盾した論理のことです

＞で、ここで
＞{(X,1/2X),(X,2X)}
＞に対して、各元が等確率な確率空間を考えればいいんだ
＞といっているんです

新しく確率分布を与えるってこと？
それとも各元が等確率な確率空間である、と結論できる、ということ？
後者ならその根拠は？

＞＞で、ここで
＞＞{(X,1/2X),(X,2X)}
＞＞に対して、各元が等確率な確率空間を考えればいいんだ
＞＞といっているんです
＞新しく確率分布を与えるってこと？
＞それとも各元が等確率な確率空間である、と結論できる
＞ということ？
＞後者ならその根拠は？
いや、新しくも何も
Ｘ円と止めた時点で、ありえるのはその二つでしょ？
それ以外の確率空間なんて考える必要はないでしょう？

といっているんです
ま、つまり前者ですよ
ただ、何度も言っているんですけどね…
それに、

（１，２）
（２，４）
（３，６）
（４，８）
（５，１０）
　　・
　　・
うーむ

＞それに、

のあとが気になるが…

＞Ｘ円と止めた時点で、ありえるのはその二つでしょ？
＞それ以外の確率空間なんて考える必要はないでしょう？

当然わかっているとは思うが
{(X,1/2X),(X,2X)}という集合が決まることと
その元が等確立だという確率分布が与えられた
確立空間が定まるということはぜんぜん違います。

あと345の話からだと、
2つの連続する自然数の小さいほうが奇数の確率云々の話との
整合性がまるでわからないんですが｡
このときに考える必要のある確率空間は何になるわけ？

わかりやすくするため、親父が用意する金額が正の実数とする。
子供の最初の封筒の金額がxだったとき、もう片方がx/2または2xである確率が
それぞれ1/2が成り立つときというのは....、
親父は以下のようにして、封筒を用意しておく必要があります。
1. 親父はあらかじめ無限大の金額を用意しておかなければならない。
2. その上で、親父は0より大きい任意の正数xをひとつ選んで、その金額を
片方にいれておき、もう片方にはx/2,または2xを1/2の確率で選んで
いれておけばよい。

このときだけ、いわゆる
最初の封筒の金額の期待値をXとすると、
2回目は1/2 * 2/x + 1/2 * 2X = 5/4X が成り立ちます。

しかし、もともと親父は任意の正数xをひとつ選ぶので
子供が最初に選ぶ封筒に入っている金額の期待値は X=無限大です。
よって、2回目の期待値も 5/4X = 無限大 です。

よって、対象性は失われていません。

じゃあ、現実問題として、1回目が200円だったら、2回目を選ぶべきかどうかというのは、
結論をいうならば、2回目の期待値は250円であり、期待値が大きい方を選ぶ戦略を
とるのならば、2回目を選ぶべきです。
しかし、これは、理想の世界であり、このことが成り立つには、
親父が無限大の金額をもっているという条件が必要です。
現実には、親父がもっている金額は有限なので、単純に期待値が250円とは
計算できないわけです。

＞＞それに、
＞のあとが気になるが…
ちょっと用事が入ったんで、それで投稿しちゃいました
ま、その部分は無かったことにしてください

＞当然わかっているとは思うが
＞{(X,1/2X),(X,2X)}という集合が決まることと
＞その元が等確立だという確率分布が与えられた
＞確立空間が定まるということはぜんぜん違います。
いや、そのように定めて問題ないと言っているんです

＞あと345の話からだと、
＞2つの連続する自然数の小さいほうが奇数の確率云々の話との
＞整合性がまるでわからないんですが｡
＞このときに考える必要のある確率空間は何になるわけ？
だから、連続する二つの自然数を考えたとき
必ず、奇数と偶数になっているから
奇数をＡ、偶数をＢとおいて
Ａを取る確率を５０％
Ｂを取る確率を５０％
と考えても、全然問題ないといっているんです
だって選ぶのは、ＡとＢの中からですからね

で、今回の場合だと
{(X,1/2X),(X,2X)}
の二つになるわけですが

どちらも、それの属する全体の確率空間を考えずに
５０％ずつというふうに確率空間を作っても全く問題ないんじゃない？
と言っているんです

>349
そういうことなら特に文句はありません｡
ただ、私の立場は偶奇の問題などがある以上
「一方をXとした時もう一方が2Xまたは1/2Xである確率がそれぞれ1/2」(#)
に一般性を持たせる必要はないんじゃない？
です。

>349
やっぱり下から2行目の「全く」にだけは
？をつけておきます。

で、MilkTeaさんは
どうやったらパラドックスが解消できる、
とお考えなんですか？

＞ただ、私の立場は偶奇の問題などがある以上
＞「一方をXとした時もう一方が2Xまたは1/2Xである確率がそれぞれ1/2」(#)
＞に一般性を持たせる必要はないんじゃない？
＞です。
それに対しては、自然数円と考えて偶奇でわけて考えようとするなら
二つの封筒の金額Ｋと２＊Ｋに対して
ＸがＫである場合と、２＊Ｋの場合でわけて考えるべきだと思います

それには、拘らず、中途半端に偶奇に拘る理由はなんですか？

＞で、MilkTeaさんは
＞どうやったらパラドックスが解消できる
＞とお考えなんですか？
だから、何度も言っていますが
一方を選択して、その金額をＸが確定されるなら
もう一方の金額は、初めから決まっているということです

ただ、その金額は
５０％の可能性で、２＊Ｘ円ですし
５０％の可能性で、Ｘ／２円ということです

だって、二つの封筒から選ぶんだから
二倍の金額の方を選ぶ確率は５０％であり
もう一方の金額の方を選ぶ確率も５０％ですから…

ただ、みなさんは、ここで
もう一方の金額が二通りから選択可能だといってしまっているのです
ここが、パラドックスの原因です

＞352
偶奇にこだわってるわけではなくてね、
結局(#)かつ左右の封筒は対称という条件を満たすような
問題設定をするとXの存在範囲に関して
無限集合を考えざるをえなくなる｡

ただし352を読む限りMilkTeaさんと私は同意見｡
私の163と310の書き込みを読んでください｡
352で言っている確率は私が310で言っている意味での確率ですね？
別にXから父親の入れた金額の組み合わせ{(X,2X)(X,1/2X)}を
考えて、その確率を議論しているわけではないでしょう？

＞ただし352を読む限りMilkTeaさんと私は同意見｡
なるほど、確かに163を読むとそうかんじます

ただ、私の発言はそれだけではなかったから
貴方が？？となったわけですね

ま、パラドックスが出てきた原因はそれでよし
となるわけですが

しかし
もう一方の金額が二通りから選択可能だという人達が
議論をいろいろとしていらっしゃるし
その方達は、そのおかしさを理解していないようでもありますので

そこで、それならばということで
もう一方の金額が二通りから選択可能だとすればどうなるか？
ということを、私は言っていたのです

私の305での発言は、そのことを言っているつもりだったわけです

で、貴方は、この非現実的な考察を、非現実的だからおかしいんじゃないか？
ということで、引っかかったということではないのでしょうか？

もう一言付け加えておくと

＞で、今回の場合だと
＞{(X,1/2X),(X,2X)}
＞の二つになるわけですが

＞どちらも、それの属する全体の確率空間を考えずに
＞５０％ずつというふうに確率空間を作っても全く問題ないんじゃない？
＞と言っているんです

こう考えることは
＞もう一方の金額が二通りから選択可能だといってしまっている
事と同じですよ｡
310の後半の書き込みを見てくれれば
(っていうか多分見なくても)
すぐわかると思います｡
とりあえず今日はこの辺で｡

あ、すいません。同時カキコですね｡
えーと、パラドックスの解消以外の話題に関しては
355で指摘したようにちょっとおかしい点があると思います｡
わたしがしつこく(#)に一般性を持たせるのはおかしい。
といってるのは355の様なわけなんです。

もう1回同じ話題

Milktea さんは332の発言で

＞パラドックスの殆どが人間の勘違いによるものです
＞この問題の勘違いは、Ｘ円を決めた時点で
＞もう一方として、Ｘ／２円とＸ＊２円の中から選択可能である
＞というところにあります
＞もう一方は、Ｘ／２円かＸ＊２円の中のどちらかであり
＞その可能性は、５０％ずつかもしれませんが
＞選択可能なのは、そのうちの一方のみなのです

とカキコしていますが、
私（337さんの修正版）は

＞右に200円あります。
＞左に100円の入った封筒と400円の入った封筒があり、
＞どちらかの封筒を選べます。
＞どちらかの金額をもらえるなら、あなたは右と左のどちらを選びますか。

とゆう質問をしました。
ここでは、
＞選択可能なのは、そのうちの一方なのです。
とゆう説を
左に封筒が2種類あると考えても条件的には一緒でしょ。
とゆう例を出して
否定したかったのですが、342のカキコで、
＞…それは、封筒が３っつの場合でしょうが…
と、なぜか、一蹴されてしまいました。
続く

そんな訳でイメージトレーニングのための新しい問題を創りました。
＜条件＞
1.右側の封筒（とてもでかい）には、スイッチを押すと無限の数字から乱数を選んで表示する機械が入っています。
2・左側の封筒（こちらもでかい）には、スイッチを押すと1／2あるいは2倍とゆう表示（それぞれ50％の確率）をする機械が入っています。
3.右側の封筒を選べば、表示の金額がもらえます。左側の封筒を選べば右側の封筒に表示した数字の1/2か2倍（もちろん表示に合わせて）がもらえます。大きい数字の金額を得られた方が勝ちです。
＜問題＞
1.このゲームを1回します。あなたが先に選んで良いなら、どちらの封筒を選びますか。
2.このゲームを2回します。あなたが先に選んで良いなら、どちらの封筒を選びますか。
3.先攻を選んで、右側の封筒を選んで、封筒の中の機械のスイッチを押したら200が出ました。後攻の期待値は、いくつですか。

＜私の解答＞
問題1への解答＝どっちでもいいやん。そんなもん。どっちもおなじや。
問題2への解答＝どうなるんやいったい。でも、どっちも勝率50％。
問題3への解答＝この世に1回しか起きないことに期待値もないやろ。
　　　　　　　　えつ、250？それは、平均値ってゆうんじゃないか。

>＞…それは、封筒が３っつの場合でしょうが…
> と、なぜか、一蹴されてしまいました。
封筒には 「既に」 a, 2a なる金額が入っているのです。だから
一方を x と置いた時点で、もう一方の x による表現は確定します。
(2x か (1/2)x のどちらかに確定する)

議論されている問題と、あなたが提示した問題では「状況が違う」のです。

問題1への解答 : 左右ともに勝率50% なので気分のままに
問題2への解答 : 同上
問題3への解答 : 250
-------------------------------------------
封筒には 「既に」 a, 2a なる金額が入っていて
不明なのはその配置のみなので、予想される入手額を
　　(左) = a*(1/2) + 2a*(1/2) = (3/2)a
　　(右) = 2a*(1/2) + a*(1/2) = (3/2)a
と計算すれば万事解決？

＞tr（359）さん
＞封筒には 「既に」 a, 2a なる金額が入っているのです。だから
＞一方を x と置いた時点で、もう一方の x による表現は確定します。
＞(2x か (1/2)x のどちらかに確定する)
わたしには
(2x か (1/2)x のどちらかに確定する) ＝どちらにも確定しない
としか理解できないのですが・・・
そんな訳で、前記のような機械を発明したんですが。

最後の式はよーくわかります。

# 2つ封筒に a, 2a なる金額が入っている。
# そのうち、左の封筒の金額を x で表す。

この前提での議論なワケですが、
　　右が 2x である確率 1/2
　　右が (1/2)x である確率 1/2
と考えて、
　　(左) = x
　　(右) = 2x*(1/2) + (1/2)x*(1/2) = (5/4)x … (*)
の計算をした際、(*) の中辺に出てくる2つの x が
実は 「異なる値」 で、それが矛盾を引き起こしています。

実際は、
　　左 x = a である確率 1/2、このとき、右は 2x すなわち 2a
　　左 x = 2a である確率 1/2、このとき、右は (1/2)x すなわち a
から、
　　(左) = x*(1/2) + x*(1/2) = a*(1/2) + 2a*(1/2) = (3/2)a
　　(右) = 2x*(1/2) + (1/2)x*(1/2) = 2a*(1/2) + a*(1/2) = (3/2)a
です。理解して戴けましたでしょうか。

www2.odn.ne.jp/~aai55890/douwa/kitai2.htm

ここを参照されたし。結論だけ引用。

＞封筒を用意した人がどんな意識で金額をきめたか。「無作為」としても無限
＞の半直線上でその人が感じている一様性とはどんな測度の下なのか、という
＞判断材料が（期待値を計算可能な形で）得られない限り判定できない。

>358
勝つとその大きい金額ってやつをもらえるのですよね？
でしたら、
問題1への解答=左
問題2への解答=左
問題3への解答=
左の封筒の金額の期待値は250,それは100*1/2+400*1/2,
でも100の時は負けでもらえないから0円と同じ。よって
期待値は0*1/2+400*1/2=200
逆に右は今は200円だけど左が400円だったら負け。
負けたらもらえない（のだよね？）ため期待値は100円。

それとも「勝ち/負け」の回数を競うの？だったら
1/2か2倍という表示が左の勝ち負けをそのまま示しているから
期待値など関係ない。かな。

＞262
www2.odn.ne.jp/~aai55890/douwa/kitai2.htm
すごくうまく説明できてる。高校生？
説明のしかたも（数学的にも日本語的にも）すばらしいと思う。
私としてはこれでOKだとおもう。
明日（って今日か）細かく読むのを楽しみにぐっすりねむれそう。

２日ぶりに来てみると、カウントが70も進んでる...
何にしても解決したみたいで良かった。
尚、期待値の定義は、
「値 {x_n} をとる確率変数 X とその確率関数 P(x_n) に対して、
Σx_k*P(x_k) が有限または絶対収束するとき、これを X の期待値という」
ということらしいです。発散するときは、何か別の取り扱いが必要なんですね。
# どんな「取り扱い」かは分からんが。(汗)

275です。
(問題は→46)
親父の財産が有限の場合は明確な答えが出ているので
(348素人Ａさんの結論が正しい。296も見てください）。
無限の場合の修正です(有限の場合にも部分的に関係あり）。

348素人Ａさんの次の文章ではっとしました。
＞わかりやすくするため、親父が用意する金額が正の実数とする。
＞子供の最初の封筒の金額がxだったとき、もう片方がx/2または2xである確率が
＞それぞれ1/2が成り立つときというのは....、
＞親父は以下のようにして、封筒を用意しておく必要があります。
＞1. 親父はあらかじめ無限大の金額を用意しておかなければならない。
＞2. その上で、親父は0より大きい任意の正数xをひとつ選んで、その金額を
＞片方にいれておき、もう片方にはx/2,または2xを1/2の確率で選んで
＞いれておけばよい。

正しいと思います。私も同じことを想定していました。
ところが2.の方法で、先に決めた金額を右に、後のほうを左に入れた場合、
じつは左右の対称性は保たれず、ほんとうに

　「右を開けてみなくても左を取ったほうが有利」

ということが分かりました。

だから301の
＞ところがＥＸ＝ＥＹ(これも証明するべきですが対称性よりほぼ明らかでしょう）
＞でなければならないから、
は誤りです。すまん。

つまり、左右の期待値が無限大であるということは結論できず、
右の期待値が有限ならば、左の期待値のほうが真に右より大きいのです。

しかし、これはあくまでも｢右の金額を先に決めた場合｣の話で、
どちらを先に決めたのか息子ににまったく分からなければ、
結局、

　｢どちらも等確率で有利｣

というあたりまえの結論が得られます。
もちろんどちらかを開けたからといって、
もう一方が有利になったりはしません。

親父が次のようにして金額を決める場合を考えます。

｢自然数ｎを任意に選び、
金額ｎと2ｎを無作為に左右の封筒にそれぞれ入れる」

つまり、Ｘ、Ｙをそれぞれ右、左の金額を表す確率変数とし、

　Ｐ（Ｘ＝ｎ，Ｙ＝２ｎ）＝Ｐ（Ｘ＝２ｎ，Ｙ＝ｎ）

がすべての自然数ｎについて成り立っているとします。
この場合はＸとＹが同分布になることが容易に導かれ、したがって、

　｢右の期待値｣=｢左の期待値｣

となります。そしてこのときは、

　｢右がｎのとき、左が2ｎである確率と、ｎ/2である確率は等しい」(#)

が「すべてのｎで」成り立つことはありません。
(もしそうだとすると、�這狽o（Ｘ＝ｎ，Ｙ=ｍ）が無限大になります）。

つまり(#)と左右の対称性は両立しないのです。

このときＸ＝ｎのもとでのＹの条件付期待値Ｅ(Ｙ｜Ｘ=ｎ)を計算すると、
(ｎが奇数なら自明な場合なのでｎは偶数とする）

　Ｅ(Ｙ｜Ｘ=ｎ)=2ｎＰ(Ｘ=ｎ，Ｙ=2ｎ)/Ｐ(Ｘ=ｎ)
　　　　　　　　　　　　+(ｎ/2)Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｎ/2)/Ｐ(Ｘ=ｎ)
　　　　　　　　=・・・
　　　　　　　　=(ｎ/2)+(3ｎ/2)Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=2ｎ)/Ｐ(Ｘ=ｎ)

となります。これがｎより大きいというのは、

　　Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=2ｎ)　>　(1/2)Ｐ(Ｘ=ｎ/2，Ｙ=ｎ)　(##)

が成り立つことと同値であることが、簡単な計算から分かります。
以上より、

　　｢右の金額がｎ(偶数)だった場合、(##)が成立するくらい
　　　親父が十分に気前がいいと確信できるならば左を取るべき」

という、ある意味で常識的な結論になります。
（もちろん、現実には親父がｎを選ぶ確率を直接知ることはできません。
　さまざまな情報からその確率を合理的に評価できれば、
　そのぶん合理的な判断ができるということです）。

ちなみに、左右の期待値ＥＸ，ＥＹは有限の場合も無限の場合もあり、
｢親父が十分に気前がよければ期待値は無限大になる」
というこれも当たり前の結果が得られます。

163さんへ
＞＞で、今回の場合だと
＞＞{(X,1/2X),(X,2X)}
＞＞の二つになるわけですが

＞＞どちらも、それの属する全体の確率空間を考えずに
＞＞５０％ずつというふうに確率空間を作っても全く問題ないんじゃない？
＞＞と言っているんです
＞こう考えることは
＞もう一方の金額が二通りから選択可能だといってしまっている
＞事と同じですよ｡
いいえ、違います
Ａを選択する可能性が５０％
Ｂを選択する可能性も５０％
ですが、この場合ではこれを
Ａを選択できる可能性が５０％
Ｂを選択できる可能性も５０％
といいかえることが出来ます
もっとこれをわかりやすく説明しますと
Ａだけを選択できる可能性が５０％
Ｂだけを選択できる可能性も５０％
ということです

つまり、両方を選択可能と言っているわけではありません

＞www2.odn.ne.jp/~aai55890/douwa/kitai2.htm
＞＞封筒を用意した人がどんな意識で金額をきめたか。「無作為」としても無限
＞＞の半直線上でその人が感じている一様性とはどんな測度の下なのか、という
＞＞判断材料が（期待値を計算可能な形で）得られない限り判定できない。
それは、母体となる二つの封筒の金額の組み合せの全体集合に確率空間を入れて考えようとしても
答えを導くことは出来ないということを言っているだけのことであり
故に期待値の計算は出来ないと判断するのは安直である

まず、何故に、その全体の集合の確率空間をわざわざ考える必要があるのか？
Ｘが固定されているのだから｛｛Ｘ，Ｘ／２｝、｛Ｘ，Ｘ＊２｝｝
だけでいいではないか

全体集合の確率空間を考えないと考慮できないと語る幾人者方々に尋ねる
全体集合の確率空間を考える必要など、無いのではないのか？
そして
全体集合の確率空間が考慮できないからと言って、考えれないと決断するのは
あまりに早計ではないのか？
今ある場合だけで、確率空間を構築することの何が問題なのだ？

それを延長した全体集合での確率空間があれば、それでも計算は出来るが
今回は、それが作れないというだけのことだろう？

ついでに
自然数に全ての元に対し均等な確率を持つ確率空間は
定義できません。

まあ、普通の確率空間というだけですけどね

で、それは何故なら

均等ならば、Ｐ（ｎ）＝０でないといけないというのは
わかるでしょうか？

そして、そうだとすると
ΣＰ（ｎ）＝０ってのも分りますよね？
でも
ΣＰ（ｎ）＝１でないと確率空間じゃないでしょう？

言葉の上で、当確率といってＰ（ｎ）を使って計算すれば
いかにも最もらしく見えますが、上述のように
そのＰ（ｎ）が存在しないものだとすれば
その計算には、一体どのような意味があるのでしょうか？

全然新発見じゃないぞ｡
366がこの問題の的確な定式化でないことは
すでにあちこちで指摘されている｡
367も163が指摘している｡
368は封筒の金額の確率分布が与えられれば
期待値が計算できるという話｡
どれも既出｡

片方をXと定義したときにもう片方が
1/2X,2xが50%の確率であるという確立空間（？）を定義
するとのことですが、この定義は最初の問題の親父の定義
と同義なのでしょうか？358や246の問題の定義になってしまう
と思うのですが。
＞５０％の可能性で、２＊Ｘ円ですし
＞５０％の可能性で、Ｘ／２円ということです
の５０％を最初に証明しないといけないのではないしょうか。

＞今ある場合だけで、確率空間を構築することの何が問題なのだ？

＞今回は、それが作れないというだけのことだろう？

自分で問題点を挙げていますね。労せず終了。

＞この定義は最初の問題の親父の定義と同義なのでしょうか？
同義とまでは言いませんが
封筒が二つというのだから、これでいいのではないですか？

＞358や246の問題の定義になってしまうと思うのですが。
意味合いが違いますが、確率の定義としては同じですよ

＞＞５０％の可能性で、２＊Ｘ円ですし
＞＞５０％の可能性で、Ｘ／２円ということです
＞の５０％を最初に証明しないといけないのではないしょうか。
封筒が二つなんだから、それでいいんじゃないでしょうか？
それとも、Xによって場合分けします？

もし、Xによって場合分けするなら
０と１００％ってなりますよ

374君へ
＞＞今ある場合だけで、確率空間を構築することの何が問題なのだ？
＞＞今回は、それが作れないというだけのことだろう？
＞自分で問題点を挙げていますね。労せず終了。
…
前者の内容
Ａの確率空間を作ることの何が、問題なのだ？
後者の内容
Ｂ⊃ＡなるＢの確率空間を作ることは出来ない

こういうことですので、わからないなら
もう一度読み直しなさい。

>370
「左を X としたときに、右が 2X, X/2 である確率が共に 1/2」が、
すべての X に対して成り立つ (*) と言ってるんでしょ？
だったら確率空間全体を考えないと。
特定の X についてだけ成り立てばいいんだったら、そういう
確率空間の決め方はありますよ。けどその場合は、左の方が得になる X も
あって、全体で考えると左右は平等ですよ、という話ですよね？
で、(*) な確率空間がないのなら、ないものを前提に話をしても
仕方ないですよね？

310は読んでいただけましたか？
きっとMilkTeaさんはあくまで
「一方をXとした時もう一方が2Xまたは1/2Xである確率がそれぞれ1/2」(#)
という確率を私が310の前半で定義したものだ、という立場にたって
議論しているんだと思うんです｡
MilkTeaさんのいう確率空間{(X,1/2X),(X,2X)}において
第一元のXは第２元の2Xではないですか？
つまり、MilkTeaさんは左右の金額を(x,y)として
(x,y)=(z,2z)or(2z,z)という状況を考えているのではないですか？
こう考えているなら、確かにこの確率空間の母集合を考えることに意味はありません｡
{(z,2z),(2z,z)}が全体空間だからです｡
これは金額の組み合わせが(z,2z)と固定している状況下ではまっとうな定義なのですが、
今はそうではなく父親の金額を固定せずに
開けた金額Xからもう一方の金額を推測したらどうなるか、
という議論をしているんですね｡
そのとき左右の封筒の対称性を保つなら
Xの存在範囲に2もしくは1/2をかけるという演算について閉じた無限集合が現れます｡
そしてこの集合はMilkTeaさんの言う確率空間を部分集合として含みません。
集合として別物です｡
多分ここに行き違いがあると思います｡
いかがでしょうか。

＞という確率を私が310の前半で定義したものだ、という立場にたって
＞議論しているんだと思うんです｡
いや、違いますよ
そこの部分のものは、Ｘが固定されていないでしょう？
私のは、固定してあります

＞MilkTeaさんのいう確率空間{(X,1/2X),(X,2X)}において
＞第一元のXは第２元の2Xではないですか？
つまり、違います

＞いかがでしょうか。
もう一度、Msg305を読んでみて下さい

378の終盤は意味が伝わらなさそうなので
とりあえず一旦却下させてください｡
(前半を否定されたのではあまり意味のない
説明になってしまいますし｡)

379でXを固定する、とありますが、
一体どういうことですか？
そもそもXはなんですか？
どこからもってくるんでしょうか｡

＞379でXを固定する、とありますが、
＞一体どういうことですか？
＞そもそもXはなんですか？
＞どこからもってくるんでしょうか｡
Ｘは、初めに選択した封筒の中身の金額ですよ

ただ、その後の進め方は、Msg305を読んでくださいね

＞381
だからXを固定するってどういうことなのか聞いてるんですよ｡
305からだと固定の意味がわからない｡
固定されるのはむしろ父親が封筒に入れた金額ではないのですか？

一方の封筒を開けてXだったとき、
父親が(X,1/2X)をいれていた＝もう一方を開けると1/2Xがでてくる
父親が(X,2X)をいれていた＝もう一方を開けると2Xがでてくる

上が正しいのはさすがにわかりますよね？
だから355でいった事をコピペしますが

＞で、今回の場合だと
＞{(X,1/2X),(X,2X)}
＞の二つになるわけですが

＞どちらも、それの属する全体の確率空間を考えずに
＞５０％ずつというふうに確率空間を作っても全く問題ないんじゃない？
＞と言っているんです

こう考えることは
＞もう一方の金額が二通りから選択可能だといってしまっている
事と同じですよ｡

369で
＞Ａを選択する可能性が５０％
＞Ｂを選択する可能性も５０％
＞ですが、この場合ではこれを
＞Ａを選択できる可能性が５０％
＞Ｂを選択できる可能性も５０％
＞といいかえることが出来ます

とありますが
言葉の問題ではなく数学の問題としてどういうことですか？
この場合とはどういう場合で、
言い換えられない場合があるならどういう場合なのか
数学的に示してください｡

基本的に

＞＞という確率を私が310の前半で定義したものだ、という立場にたって
＞＞議論しているんだと思うんです｡
＞いや、違いますよ

ということなら私の返答は
373=220(親父)さんや377=272さん
と同意見です｡
こちらのかたがたには返答していないのはなぜでしょう｡

＞373=220(親父)さんや377=272さん
＞と同意見です｡
＞こちらのかたがたには返答していないのはなぜでしょう｡
返答したつもりでした
３７３は、してありますよね

＜370に対して＞
＞特定の X についてだけ成り立てばいいんだったら、そういう
＞確率空間の決め方はありますよ。けどその場合は、左の方が得に
＞なる X もあって、全体で考えると左右は平等ですよ
＞という話ですよね？
任意のＸを固定する毎に同様のことが言えると言っているんですよ
で、固定というのは一回目を選択した時点でＸ円が固定される
ということです

当然、それを取るまでＸは固定されません

で、Ｘが固定されるごとに
｛｛Ｘ，Ｘ／２｝，｛Ｘ，Ｘ＊２｝｝という集合が定まり
それは、等確率を持つ確率空間としてよいでしょう？
と言っているんです

だって、一回目に選択した金額が、もう一方より高い確率は
５０％ですし、もう一方より低い確率は５０％ですからね。

ま、たいした根拠じゃないですが（笑）

＞で、(*) な確率空間がないのなら、ないものを前提に話をしても
＞仕方ないですよね？
だから、どうしてＸ全体の確率空間を考えないとダメなんですか？
と言っているんですよ

＞＞Ａを選択できる可能性が５０％
＞＞Ｂを選択できる可能性も５０％
＞言葉の問題ではなく数学の問題としてどういうことですか？
＞この場合とはどういう場合で、
＞言い換えられない場合があるならどういう場合なのか
＞数学的に示してください｡
もう一方が、二倍の金額である確率は５０％
もう一方が、二分の一の金額である確率は５０％
言い換えると
Ｘ円とＸ＊２円が封筒に入っている確率が５０％
Ｘ円とＸ／２円が封筒に入っている確率が５０％
ということです

つまり、現実的にもう一方の封筒の選択肢は
一通りしかないですが
その一通りの選択肢には、二通りの場合があるというわけです

例えば
Ｘ＝｛１，２｝として
Ａをその元の一つとすれば、もう一方の選択肢は一つです
つまりＸ＼Ａの中から選択可能なわけです

しかし、このＸ＼Ａという集合は、二通りの場合があります
つまり、それは｛１｝の場合と｛２｝の場合です

もう一度、説明しますと
選択可能な元は、一つ
しかし、それは二通りの可能性がある
というわけです

意味は、理解できましたか？

そして
＞言い換えられない場合があるならどういう場合なのか
＞数学的に示してください｡
前述の場合で
Ｘ＝｛１，２｝の中から一つの元を選択するときは
二通りです。選択可能なものが一つなどとはいえません
しかし、一つＡを選んだ場合
もう一つは一つしかなく、つまり選択可能なものは一つです
しかし、その一つはＡは固定されていますが不明なので
２通りあるわけです

Ｘが固定されたとき、つまり一つ目の封筒の金額をＸとおいた時
二つの封筒の金額の組み合わせは
｛｛Ｘ、Ｘ／２｝、｛Ｘ、Ｘ＊２｝｝
この二通りです

ただ、実際に二つの封筒の金額は固定ですので
そのうちの一方が、現実であるわけです
つまり、もう一つの封筒を選択する場合
選択肢は、一つしかありません
しかし、それは二通りの場合があるのです

この二通りというものは
｛Ｘ、Ｘ／２｝の場合と
｛Ｘ、Ｘ＊２｝の場合のものです

で、選択可能ではないが
この二つの場合を考えて期待値を求めると
金額の大きいほうのほうが影響度合いが大きいのは
当然のことである

ということです

＞この二通りというものは
＞｛Ｘ、Ｘ／２｝の場合と
＞｛Ｘ、Ｘ＊２｝の場合のものです
＞で、選択可能ではないが
＞この二つの場合を考えて期待値を求めると
＞金額の大きいほうのほうが影響度合いが大きいのは
＞当然のことである

「この二つの場合を考えて期待値を求めると」とありますが
別に片方に偏重あるわけではありませんので
二つを等確率として期待値を求めると
というべきですかね

ふむ。反論をしたいのですが、書けない。
自分の考えをまとめることもできないのか私は。情けない。

ところで先のURLは読まれました？
引用
＞出てきたのは１万円です。封筒の選び方は１／２ずつですが、用意すると
＞きに出題者（？）がｘとして５０００円を考えたのか１００００円を考
＞えたのか、その確率の比は　２：１　だったことになります。
もし読まれていれば、MilkTeaさんの感想はいかがでしょうか？

275の最終結論です。296，300-303，366-368もみてね。

概ねすでに書いたことですが、
確率空間について(数学について？)誤解されている方がいるようなので、
なるべく基本的なことから。

(Ω，Ｆ，Ｐ)をある確率空間とします。
たとえばΩを区間[0，1]、Ｆをその上のボレル集合体、
Ｐを[0，1]上のルベーグ測度などと考えればよい。
もちろんこれ以外のものを考えても問題ありません。

Ｘ，Ｙを、(Ω，Ｆ，Ｐ)上で定義され、自然数に値をとる確率変数
（すなわち可測関数。{自然数全体}上のσ集合体としては部分集合全体をとればよい）とします。
一般的な記法なので今まで断りませんでしたが、
Ωの部分集合{Ｘ=ｎ}，{Ｙ=ｍ}（Ｆの要素、すなわち｢事象｣）に対し、
Ｐ（{Ｘ=ｎ}∩{Ｙ=ｍ}）のことをＰ(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｍ)と書きます。
これをｎ，ｍの関数と見たとき、ＸとＹの「(結合)分布」といいます。
もちろんΣΣＰ(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｍ)＝Ｐ(Ω)＝１です。（ΣΣはｎ，ｍに関する和）

（{Ｘ=ｎ}とは「Ｘ(ω)=ｎをみたすΩの要素ω全体」を表します。念のため。）

問題を定式化するときに重要なのは、
確率空間そのものではなく次のことです。

「Ｘ，Ｙがこの問題(46)の左右の金額をうまく表すには、
ＸとＹは｛自然数全体｝上にどのような分布を持つべきか？」

そこで、親父の金額の決め方によって、次の�@，�Aを検討しました。
設定�@：
　任意の自然数ｎに対して、Ｘ=ｎのもとでの{Ｙ=2ｎ}の条件付確率と
　{Ｙ=ｎ/2}の条件付確率が等しくなるようにＸとＹの結合分布を定める。
　すなわち、
　　Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=2ｎ)＝Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｎ/2)＝(1/2)Ｐ(Ｘ=ｎ)　（ｎが偶数のとき）
　　Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=ｎ/2)＝０　（ｎが奇数のとき)
　がすべての自然数ｎに対して成り立つものとする。　　　　　　
結果�@：
　この場合はＸの分布とＹの分布が同じではなく、
　したがってＸとＹの期待値(平均)も一般には異なる。
問題(46)への解答�@：
　親父が右の金額を先に決めた(348素人Ａさんの2.参照)
　のが分かっていたなら正しい選択であった。
　分からなかったならそれを（なんらかの方法で)確認するべきであった。

設定�A：
　Ｘ，Ｙが同じ分布をもつようにＸとＹの結合分布を定める。すなわち
　　Ｐ(Ｘ=ｎ，Ｙ=2ｎ)＝Ｐ(Ｘ=2ｎ，Ｙ=ｎ)
　がすべての自然数ｎで成り立つものとする。
結果�A：
　このときはＸ=ｎのもとでの{Ｙ=2ｎ}の条件付確率と{Ｙ=ｎ/2}の条件付確率が
　「すべてのｎで」等しくなることはない（Ｐ(Ω)＝１と矛盾する）。
　したがってＸ=ｎのもとでのＹの条件付期待値が
　「常に」ｎを上回るわけでははない。
問題(46)への解答�A：
　判断は正しくない。親父の経済力、性格等を考慮して
　　Ｐ（Ｘ=ｎ，Ｙ=2ｎ)/Ｐ(Ｘ=ｎ/2，Ｙ=ｎ)
　の値を評価すべきであった（368参照)。
　でもｎ=２００円ぐらいだったらふつう正しいか。

以上、確率論の初歩が理解できるなら理解可能なはずです。

MilkTea先生にもわかったかな？(心配)

＞つまり、現実的にもう一方の封筒の選択肢は
＞一通りしかないですが
＞その一通りの選択肢には、二通りの場合があるというわけです

MilkTeaさん風の反論をさせていただくと

現実的には1通りの封筒しかないのに
どうして2通りの選択肢を考えなければいけないのか？

ということになりましょうか。

現実的には1通りしかないのならはじめから
それを(z,2z)とおいておいて何が悪いのか？
X=zのときもう一方は2zでいいではないか。
なにゆえ{(X,2X),(X,1/2X)}などという２通りを
考えなければならないのか？
X=2zの時も同様｡

もちろん(z,2z)がなんだかわからないではないか？
というのは反論になりません｡
たしかにzがなんだか不明ですが1通りという情報はあるわけだし
(z,2z)は唯一に定まるはずです｡

2通りの場合を想定してその確率を議論することは
その2通りがともにありうることを想定しているのと
同じ事ですね｡

>388へ
ちょっと，もう一度ＵＲＬを読まないといけないんで後です

＞以上、確率論の初歩が理解できるなら理解可能なはずです。
＞MilkTea先生にもわかったかな？(心配)
はいはい
私が言っているのは
一旦、問題に書かれても居ない確率空間を構築してから
それを踏み台にしてやるのは、いいんだけど
その上手い構築方法なんてないでしょ？
ってのが一点
次に、それを踏み台にしなくてもこの問題は考えられるでしょ？
ってのが、もう一点です

どうしてマニュアルどおりのやり方しか受け入れられないのかな？？？

＞現実的には1通りの封筒しかないのに
＞どうして2通りの選択肢を考えなければいけないのか？
そうですね
現実的には、一通りしないので
この期待値は現実にもう一方を選択する時の期待値とは
少し意味合いが異なります
305にそのことが、書いてあります

＞2通りの場合を想定してその確率を議論することは
＞その2通りがともにありうることを想定しているのと
＞同じ事ですね｡
数学的には同じです
ですが、そこからの結論の持つ意味が
異なります

＞その上手い構築方法なんてないでしょ？
＞ってのが一点
についてですが
恣意的な確率空間を前提にして考えても意味が無いでしょう？
ということです

求める性質を満たす確率空間は
確率を偏重的に設定しないと構築不可能でしょう？

＞＞現実的には1通りの封筒しかないのに
＞＞どうして2通りの選択肢を考えなければいけないのか？
＞そうですね
＞現実的には、一通りしないので
＞この期待値は現実にもう一方を選択する時の期待値とは
＞少し意味合いが異なります
＞305にそのことが、書いてあります

それで今考えているのはまさに
現実にもう一方を選択する時の期待値
なんです。
すなわち、「封筒の金額が1通りしかない」という仮定をはずして
Xから父親の入れうる金額{(X,2X)(X,1/2X)}をわりだし
その確率関係を考えることから
現実にもう一方を選択する時の期待値
を求めよう｡
という趣旨です｡

封筒の金額が一通り(z,2z)しかない状況ではXの定義域に関して
X=z,2zというように明確にその定義域が定まります｡
そしてその定義域から外れるXなんて議論することすら出来ないでしょう？
しかし封筒の金額を固定しなかった場合、Xの定義域はどうなるんですか？
Xはどこから選ぶんですか？
Xの定義域を与えるのは封筒の金額の確率分布です｡
つまりXをとる、という時点ですでに父親が封筒に入れた金額の情報が必要です｡
これが全体の確率空間を考えねばいけない理由です｡

もちろん自然数全体とか実数全体にまたがる確率空間を考えるのなら
Xの定義域を考慮することもないかもしれません｡
しかしその場合
Xに対して2Xまたは1/2Xとなる確率がそれぞれ1/2
を常に満たすことは出来ない｡
これについては十分語られていると思います｡

＞393
＞一旦、問題に書かれても居ない確率空間を構築してから
＞それを踏み台にしてやるのは、いいんだけど
＞その上手い構築方法なんてないでしょ？

これはおっしゃる通り｡
本来、この問題において
現実にもう一方を選択する時の期待値
を求めるのは不可能です｡

＞次に、それを踏み台にしなくてもこの問題は考えられるでしょ？

このレスでいったようにあくまで封筒の金額が1通りだ、
という立場を貫くなら考えることもできるでしょう。
しかしそこから発展して先ほど述べたような立場にたつなら
どうしてもXの定義域をあらかじめ定めねばならず、
＞問題に書かれても居ない確率空間を構築してから
議論する必要があります｡

＞Xはどこから選ぶんですか？
＞Xの定義域を与えるのは封筒の金額の確率分布です｡
＞つまりXをとる、という時点ですでに父親が封筒に入れた金額の情報が必要です｡
＞これが全体の確率空間を考えねばいけない理由です｡
Xの定義域全体に対して、問題にあうような確率空間を定義出来れば
確かに、その上で各Xの期待値を考えることは出来るでしょう
ですが、何故にXの属する確率空間を考えねばならないのでしょうか？
問題の内容だけでは、各金額には偏重が無いのに
そして、偏重のある確率空間を与えねばならないのです

特に、２＊Ｘ円とＸ／２円が等確率になるように作るなら
初めから{(X,2X)(X,1/2X)}が当確率としているわけなので
そんなものを作らずとも
{(X,2X)(X,1/2X)}が当確率としてしまえばいい
と言っているのです

要は、Ｘの属する確率空間など考える必要などなく
各金額には偏重が無いという情報だけでいいのではないのか？
と言っているんです

つまり、確率空間を構築するから問題が発生するわけなので
それを構築しないで、ただ金額には偏重が無いという情報だけに
するのです

そうして、その部分集合で確率空間を自然に構築できるものには
確率空間を作ればいいと言っているのです

＞これが全体の確率空間を考えねばいけない理由です｡
大きな確率空間を作ってからでないと考えられない
という根拠は何処にあるのですか？

つまりですね
全体の集合は、確率空間を構築することは出来ないが
しかし、偏重ない集合であり
実際に考える必要がある集合がその部分集合である場合

その全体の集合に対する考察は、確率空間を持ってするのではなく
一つ一つの元に偏重の無いただの集合として扱えばよいのではないか？
と言っているのです

そうして部分集合を考える際には、偏重が無いという情報から
確率空間を作ればいいのでは？と言っているのです

つまり、確率空間を定義できない時の
ある特定の場合のやり方として
これはこれで、よいのではないでしょうか？

というか特定の場合というより
これは、十分妥当な手法と言えるのではないでしょうか？

というより、こんなの当たり前のことじゃないのですか？

＞つまり、確率空間を定義できない時の
＞ある特定の場合のやり方として
＞これはこれで、よいのではないでしょうか？

数学の話ではないんだったら文句はありません｡
現実的に妥当だ、というのであれば否定はしません｡
どうぞご自由に｡
でも数学的には駄目だし、妥当でもありません｡
(問題の条件から帰結できない、
Xに対して確率空間{(X,2X),(X,1/2X)}の存在が保証されない、
などなど｡)
主に396,397でいった通り｡
他にもあちこちで語られていると思います｡

数学の話じゃなかったのか…。
頑張って説明して損したよ｡

しばらく出かけるんでこれません｡
でも結論も出ちゃったし、このスレも終了になるのかな｡

えーと、一応一言付け加えておくと
あなたは否定しましたが399の主張は、
私が初期に推測した
------------------------------------------------------------------
無限集合の各元が等確率であるような（仮想的）確率空間を定めておく｡
その中からいくつかの元を抜き出した有限部分集合は
その各元が等確率である(厳密な)確率空間である｡

つまり、この問題の場合でいえば
”気まぐれな”という条件から{(z､2z)}(zは適当な集合)は
各元が等確率の(仮想的)確率空間だと考えられる｡
今封筒の中身がXだったとき、
考えうる父親の入れた金額の組み合わせの集合
{(X,1/2X),(X,2X)}
は各元が等確率な部分集合で、ゆえに一般に
「一方をXとした時もう一方が2Xまたは1/2Xである確率がそれぞれ1/2」(#)
は正しい｡
-------------------------------------------------------------------
という主張とほとんど同じのように聞こえます｡
私はレスを返せないと思うんで別に返答しなくていいですけれど。

とても気まぐれなお父さんが僕に小遣いをくれるそうです。
お父さんは僕の前に封筒をふたつ出して言いました。
「片方の封筒にはもう片方の封筒のニ倍のお金が入っている。
おまえはまず好きな方の封筒ひとつの中身を調べてよい。その後、
どちらでも好きな方の封筒ひとつを選んで中身を手に入れるがよい」
僕はとりあえず右の封筒の中身を調べることにしました。
右の封筒には200円入っていました。今度は左右どちらの封筒を取るか
決めなければなりません。よく考えた末、僕は左の封筒を取ることに
決めました。理由はこうです。
左の封筒に入っているお金は右の封筒の倍か半分なので400円か100円
ですが、それぞれの可能性は半々です。よって左の封筒に入っている
お金の期待値は250円となり右の封筒のお金(200円)より多くなります。

＞あなたは否定しましたが399の主張は、
＞私が初期に推測した
＞＜略＞
＞という主張とほとんど同じのように聞こえます｡
いや、殆ど一緒ですよ
ただ、貴方のは不可能で
私のは可能というだけです

私は、それを確率空間として考える必要など無いといっているだけですからね

>数学の話じゃなかったのか…。
>頑張って説明して損したよ｡
いや、数学の話しですよ（笑）

まあ、数学の話しと認めなくても別にいいです

ただ、貴方は次の例も数学の話しと認めない
と言っているんですけど、それでいいんですか？
*************************************
連続する二つの自然数を考えます
その一方を選択しました
それをＸと置きます

二つのうちのもう一方が奇数である確率を求めよ
*************************************
貴方は、この問題に対して
自然数＊自然数が確率空間として定義できないから
そのままでは考えられない
情報が欠落している

と言っているのです

で、私は、そりゃ５０％でしょ？
理由は、今まで説明してきたとおりです

ってことになるわけです

この問題の問題点はね
おかしいという感覚を間違った部分に根拠を求めだした点にあるんですよ

もう一方の金額の期待値が大きいのは、別におかしいことじゃないんです
なのに、それがおかしいと思ったから
その根拠を探し出したんだけど
それが、お門違いだったということです

ま、後は、それに影響されて右往左往
ってのが、現実なんですよ

確率空間を定義する時に
人はどのようにして定義するのか？

固定されていない二つの自然数
ＡとＢによる集合を考えます

そこから、一つＸをとりだしたとき
それが、Ａである確率はいくらでしょうか？

そりゃ
二つの自然数っていうんだから
Ａである確率が５０％で
Ｂである確率も５０％って定義しますよね

でも、実際にはＡ、Ｂは提示されていないわけです

だから
Ａである確率が５０％で
Ｂである確率も５０％って定義するのはおかしい

Ａ，Ｂの属する集合
つまり自然数の全体の確率空間を考えないといけない

というのが、ここの多くの方々の言い分です

ですが、そうでしょうか？
別に、いいじゃないですか
ＡとＢが二つなんだから
Ａが５０％、Ｂが５０％って言って何が問題なのでしょうか？

結論はでていると思います。

1. 親父は無限大の選択肢からある値nを選ぶとき、
その確率がk(定数、nに無関係)となるような、選び方ができるかどうか。

もし、1が可能ならば、期待値が5/4Xとなる。
だが、理論上1は不可能である。よって、期待値5/4Xはそもそも、
ありえない前提にもとづいて計算されている。

＞だが、理論上1は不可能である。よって、期待値5/4Xはそもそも、
ありえない前提にもとづいて計算されている。
いや、だから有り得ない前提と言える根拠は何ですか？
確かに、全体の確率空間は、有り得ないですが
それをあるとして考えているなどということは
どこに記述してあるのでしょうか？

結局、その期待値が、感覚に合わない根拠はなんですか？

理論上不可能な計算を行なっているから？

じゃあ、私の言ったMsg408の例は感覚にあっているのは
たまたまのまぐれとでもいうのですか？

理論上不可能な過程に従って出来ないからもう駄目だはいいのですが
本当に、その過程を追ってしないといけない理由などあるのでしょうか？

何度もいいますが
二つの情報に偏重のない元からなる集合を
５０％ずつの確率空間と定義して何が悪いのですか？

全体を偏重の無い確率空間に、もし出来るとすれば
それをそのように定義してよい理由はなんですか？

その理由と同じ理由で
二つの情報に偏重のない元からなる集合を
５０％ずつの確率空間と定義して何が悪いのですか？

一方では、出現する情報に偏重が無いから
偏重の無い確率空間を考えようとしておきながら
この私の定時の場合に、同じように確率空間を考えるのは
いけないといえるのは何故なのでしょうか？

私の例で、５０％ずつとしては、いけないというなら
全体を偏重の無い確率空間を考えようとすること自体を
否定することになります

どうして、一方はよくて一方は駄目なのでしょうか？

何にせよ
感覚に合わない根拠は、そんな過程を踏めない
ということじゃありません

＞Msg408の例は

yahooに戻れば？

MilkTeaさんへ

(X,1/2X),(X,2X)の条件付き確率が５０％：５０％だという
モデルと、
左右の封筒の確率分布が等しいというモデルは両立しない
ことが３９１に示されてますよね？
元の問題では「気まぐれ」という表現なので、どっちでも
いいという主張も許すとして、「気まぐれ」の変わりに、
「気まぐれに、ただし封筒の左右に関しては偏重なく」という
表現に置き換えた別の問題に対しては、どういう答えを
出しますか？

www2.odn.ne.jp/~aai55890/douwa/kitai2.htm
感想希望

409の補足

高校レベルでの確率の考え方が正しいという前提で話します。
確率とは、(xが起きる事象)の和/(全事象)。
この場合の全事象をすべてあげると、
親父が用意した封筒に入っている金額の組み合わせです。
簡単化のため n を任意の整数とすると、全事象は
[小さい方, 大きいほう] = [2^n, 2^(n+1) ]
であらわせます。

この問題の場合は条件付確率で、

1. 最初の封筒の値が2^m だったとき、もう片方が2^(m+1)で有る確率

最初の封筒の値が 2^m であるときの事象は
[ 2^(m-1), 2^m], [2^m, 2^(m+1)] の2ケース

最初の封筒の値が2^m かつ片方が2^(m+1)で事象は
[2^m, 2^(m+1)] の1ケース

よって、この場合の条件付確率は
[2^m, 2^(m+1)] / ( [ 2^(m-1), 2^m] + [2^m, 2^(m+1)] )


2. 最初の封筒の値が2^m だったとき、もう片方が2^(m-1)で有る確率

最初の封筒の値が 2^m であるときの事象は
[ 2^(m-1), 2^m], [2^m, 2^(m+1)] の2ケース

最初の封筒の値が2^m かつ片方が2^(m-1)である事象は
[2^(m-1), 2^m] の1ケース

よって、この場合の条件付確率は
[2^(m-1), 2^m] / ( [ 2^(m-1), 2^m] + [2^m, 2^(m+1)] )

1, 2 の確率が1/2になるには、[ 2^(m-1), 2^m] と [2^m, 2^(m+1)]
が同じ確率であらわらなければならない。
（いいかえると、そうなるように親父は封筒を用意しなければならない）
さらに、これは任意のmについて、成り立たなければいけない。

よって、409の結論を出しました。

確かにMilkTea君の説を仮定すると無限集合上に
等確率の確率空間を定めることになってしまう｡
しかしそんな確率空間など考える必要がどこにあるのでしょうか｡

多くの人は”背理法”などといって
ある仮定の下矛盾を引き出しその仮定は誤りだ、などといっています｡
そんなことを誰が信じられましょうか｡
そのような矛盾をなぜ考える必要があるのか？
そんなことは考えずにその仮定は成り立つ、と認めて何が悪いのか？

現代数学が背理法に頼っているのは数学が不完全だからです｡
背理法を数学の世界から完全に消し去った時数学は完成する、
そんな数学を夢見ています｡

さあ、同志MilkTea君よ、
私とともに完全な数学を目指し頑張ろうではないか｡

＞今丼弘一
ナイスなハンドル名（わら

＞(X,1/2X),(X,2X)の条件付き確率が５０％：５０％だという
＞モデルと、
＞左右の封筒の確率分布が等しいというモデルは両立しない
＞ことが３９１に示されてますよね？
…それは、（Ｐ(Ω)＝１と矛盾する）に依っていますよね。
私は、Ｐ(Ω)なんて考える必要なんて無いという態度だということを
言っておきます

＞どういう答えを出しますか？
まず、その問題自体に対する回答は何度もいっていますが
Msg369に記述してあるものです

現実には、もう一方の金額は初めから定まっている
というスタンスです

Ｘを固定して二通りの金額が封筒に入っている時を並列に扱い
その期待値を求めた場合。
封筒に入って居る金額が大きい方が影響度が大きいというのは
当たり前のことです

とまあ、今まで言ってきたわけですが
で、これでわかります？

220の親父君へ

全体の測度空間が考慮不可能だからというだけで
判断不可能というのは、間違っている

確率空間を作らねば一様性の意味が理解できないと
考えているようだが、果たしてそうなのであろうか？

そして、また今回の場合には全体を考慮する必要などなく
その部分でよいのである

全体を考慮しないといけないというからこそ
例えば、連続する二つの自然数の中から一方を選択した場合
５０％と言ったとしても、そんなのは出鱈目だ！となるのである

ただ、これは
小さい側の数字が奇数である確率はいくらであるか？となると
これはまた意味合いが変わってくる

前者は、奇数と偶数の二つの数字から一つを選ぶ
という操作になっている為、５０％といえるのだが
後者は、そうではない

後者が、５０％と言えないのは皆さんのいう通りです
これは、まあ測度論をちょっと知っていれば
わかることでしょう

＞確かにMilkTea君の説を仮定すると無限集合上に
＞等確率の確率空間を定めることになってしまう｡
否。
しかし、そうなると君がいうなら
もしかしたらそうなるのかもしれない

ということで、そういうのであれば
その根拠を提示して下さい

＞そんなことは考えずにその仮定は成り立つ、と認めて何が悪いのか？
矛盾が出てくるような仮定を認めろと言っているわけではありません
その仮定が必要ないと言っているのです

＞現代数学が背理法に頼っているのは数学が不完全だからです｡
完全であればこそ、背理法は信じられるものとなるのです
が、まあ、私の話しとはあまり関係のないことですね

＞さあ、同志MilkTea君よ、
＞私とともに完全な数学を目指し頑張ろうではないか｡
そういうなら、質問にはきちんと答えて下さいね。

(3,6)とかもあるけどね。

ネタにマジレスとはよっぽど腹にすえたのでしょうなあ。

Xをどこから取るのかわかりかねますがまあ適当にしておきましょう｡
どうでもいいことです。
MilkTea君の説を仮定すると
{(2^n,2^(n+1))|　nは整数}は各元等確率な確率空間｡

なぜなら(1,2)(1/2,1)は条件より等確率で
繰り返し条件を使えば残りの元もすべて等確率｡

この確率空間の元は数え切れません｡私は無限という数学用語を認めて
いませんのでこんな言い方になります｡

どうやらあなたは理想に燃える同志ではなくただ分かっていないだけの
ようですなあ｡私のパートナーとしては役不足のようです｡遠慮願いたい｡

>私のパートナーとしては役不足のようです｡

日本語大丈夫ですか？＞偽者さん

> (3,6)とかもあるけどね。

すいません。書き方がまずかったので、誤解を与えてしまいました。
言いたかったのは、
「親父が用意する金額は2^n(nは任意の整数)の形式を満たすもののみとする。」
という条件をつけても、問題の本質には影響しない、
よって、[2^n, 2^(n+1)] で全事象をあらわすことにする。
ということです。

＞今丼弘一
＞ネタにマジレスとはよっぽど腹にすえたのでしょうなあ。
ボケに真面目に返すのが、私の芸風なのです
あしからズ。

＞なぜなら(1,2)(1/2,1)は条件より等確率で
＞繰り返し条件を使えば残りの元もすべて等確率｡
等確率と定義するのは、その｛(1,2)(1/2,1)｝の部分だけです

私は、その全体集合を確率空間として考えているわけでは
ありませんので、全体集合の中で
(1,2)と(1/2,1)が等確率であるなどとは認めていません

＞私は無限という数学用語を認めて
＞いませんのでこんな言い方になります｡
貴方の世界が有限だけで構成されるなら
貴方には、考えられない内容なのでしょう

＞どうやらあなたは理想に燃える同志では
＞なくただ分かっていないだけのようですなあ｡
そりゃそうです
私は、矛盾を引き連れ歩むつもりはありません

相手はきちんと納得できる相手を選んで歩みます
ですから、我こそは、と思う美しい女性は 連絡を
よろしくお願いします。

＞私のパートナーとしては役不足のようです｡遠慮願いたい｡
はい。私もそんな趣味はありません
しかし、貴方もパートナーをお探しのようですから
志は同じと言えるのでは？

ま、認めたくなくてもいいですよ

うーむ...
その差が2倍である封筒があって、
常に最初に片方を選びそれを取るAさんがいる
そして常にAさんの逆を選ぶBさんがいる。
Bさんの方が有利であるということでいいですか？＞MilkTea
そしてそれは明かに変だと思いませんか？
僕はそれに疑問を感じます。Aさんは常に不利なほうを選択する。
おかしいです。２つの封筒にはなんの情報もないのに。
僕を説得してください。

それともBさんは別に有利ではない。だって期待値は有利だけど、
結果はすでに決定していてそれは運命だから。みたいなことですか？
だったら、常に期待値が高いほうを選択しているにも関わらず
結果は高くないのは変だという私を説得してください。
説得希望

２２０の親父君へ
＞その差が2倍である封筒があって
＞常に最初に片方を選びそれを取るAさんがいる
＞そして常にAさんの逆を選ぶBさんがいる。
＞Bさんの方が有利であるということでいいですか？＞MilkTea
初めの方の日本語が間違ってますが
それを修正したとしても全然違います

そんなことは、全く言っておりません
有利さは同じです。

＞だって期待値は有利だけど、
＞結果はすでに決定していてそれは運命だから。
＞みたいなことですか？
うーん。
期待値の求め方が、ずれてるんですよ

＞だったら、常に期待値が高いほうを選択しているにも関わらず
＞結果は高くないのは変だという私を説得してください。
＞説得希望
いや、その説明は散々してきたのですが
ちょっと説得の為に考えてから発言します

今、時間が無いので後になりますが
とりあえずは、お返事ということで。。。

X の期待値が、ΣX P(X) （Σは X のとり得る値すべてにわたる和）で
与えられる以上、確率空間全体を考える必要があるのは明らかだと思うんだが...

もし、X の値に応じて、もう一つの封筒が 2X, X/2 となる確率が共に 1/2 に
なるような確率空間を与えれば良い、と考えているのなら、それは違いますよ。
だって、ΣX P(X) は、確率空間が与えられた「後」で定義されるものですから。

> 期待値の求め方が、ずれてるんですよ
というのは、数学的にはどういう意味ですか？

＞MilkTeaさん

論点がようやく見えてきた気がします。「気紛れ」、
「偏重なく」の意味をはっきりさせるため、次の
変型問題を考えてみて下さい。

親父が子供に封筒を直接渡さずに、母親（第３者）
を介して渡す。母親は、確率１／２で左右を入れ替える。
この場合、子供の立場から見てMilkTeaさんの言うような
５分５分の確率分布になるような、親父の金額の選び方の
戦略は存在するか？

ただし、このゲームを繰り返す時には、親父は過去のゲームの
結果（子供の選択）を知らないとします。

この答えはどれだと思います？
１　存在するし例も挙げられる。
２　存在するけど例はわかんない。
３　存在しないことは証明不可
４　存在しないことが証明可

事象A:｢お父さん｣が封筒に100円と200円を入れる
事象B:｢お父さん｣が封筒に200円と400円を入れる
事象C:｢僕｣が先に開ける封筒に200円が入っている
事象D:｢僕｣が先に開けない封筒に100円が入っている
事象E:｢僕｣が先に開けない封筒に400円が入っている

P(C|A) = P(A∩C)/P(A) = 1/2 …(1)
P(D|A) = P(A∩D)/P(A) = 1/2 …(2)
P(C|B) = P(B∩C)/P(B) = 1/2 …(3)
P(E|B) = P(B∩E)/P(B) = 1/2 …(4)
は既知。
事象Cが起きたときに
もう片方の封筒の金額の期待値を求めるには
次の2つの条件付き確率を求める必要がある。
P(D|C), P(E|C)

P(D|C) = P(C∩D)/P(C)
P(C∩D) = P(A∩C) (∵ C∩D <=> A∩C)
P(C) = P((A∩C)∪(B∩C))
= P(A∩C)+P(B∩C)
∴ P(D|C) = P(A∩C)/(P(A∩C)+P(B∩C))
(1)(3)より
P(A∩C) = (1/2)*P(A)
P(B∩C) = (1/2)*P(B)
であるから
P(D|C) = P(A)/(P(A)+P(B))
= P(A|A∪B)
同様に
P(E|C) = P(B)/(P(A)+P(B))
= P(B|A∪B)

よってP(D|C)およびP(E|C)は
P(A)とP(B)の比に依存する。

P(A)とP(B)の比は
｢お父さん｣の性格や経済的状況などの様々な要因が絡むので、
一概にP(A)=P(B)とはいえない。
ゆえに期待値の正確な計算はできない。

＞X の期待値が、ΣX P(X) （Σは X のとり得る値すべてにわたる和）で
＞与えられる以上、確率空間全体を考える必要があるのは明らかだと思うんだが...
初めの封筒がＸ円としたときの、このＸによる期待値を求めるのが
そもそもの問題です

＞＞期待値の求め方が、ずれてるんですよ
＞というのは、数学的にはどういう意味ですか？
そこでの意味とは違いますが、まず今回のずれはわかります？

で、そこでのズレてるの意味は
封筒を選択する時点で二つの封筒の金額は定まっているのですから
その二つの金額と異なる金額の場合で期待値を計算しても
その時の状況判断の材料には、ならないということです

つまり、数学的にというよりも、その計算が実際に何を意味しているかという
数学での論の解釈の部分でのズレということです

＞428君へ

＞この答えはどれだと思います？
＞１　存在するし例も挙げられる。
＞２　存在するけど例はわかんない。
＞３　存在しないことは証明不可
＞４　存在しないことが証明可
存在の意味によります

ただ、私は存在すると言っておきます

ただし、それを表現する確率空間は存在しない
とも言っておきましょう

まあ、確率空間を定義できることを
戦略が存在するということの定義とするなら
存在しないと言ってもいいですよ

MilkTeaさんのおっしゃっている考え方もわかります。

ただし、その場合は、全事象が
[子供が最初に高い封筒を選ぶ]
[子供が最初に低い封筒を選ぶ]
の２つでその確率はともに1/2です。

ここまでは、そのとおりです。
しかし、上の２つが全事象であるということは、
親父の用意する封筒が固定されている(nと2n)という立場にたって、
初めて成立するものです。

この場合のもう片方の期待値を計算するときは、
133で自由さんがおっしゃっているように、
こどもが最初に選ぶ封筒はnか2nなので、
1/2 * n + 1/2 * 2n = 1.5n です。
こどもが最初に選んだ金額200円がnか2nかはわかりません。
よって、この考えでは、期待値がはっきりとはいえません。
[あえていうなら、期待値はすでにきまっています(nか2nです)]

期待値をちゃんと、子供が選んだ金額がnか2nかによらないで、
200円という値からもとめるには、
414 のように考える必要があるということが私の結論です。

＞期待値をちゃんと、子供が選んだ金額がnか2nかによらないで、
＞200円という値からもとめるには、
＞414 のように考える必要があるということが私の結論です。
で、200円と定まった後には
二つの封筒の金額は
100円と200円の場合
200円と400円の場合ってなるでしょ？

で、この二つの中から一つを選択する確率は
５０％でよいということを、今まで言ってきたんですが？

> で、この二つの中から一つを選択する確率は
> ５０％でよいということを、今まで言ってきたんですが？

すいません、違っていると思います。

429で名無しさんもおっしゃっているように、
P(A) = ｢お父さん｣が封筒に100円と200円を入れる確率
P(B) = ｢お父さん｣が封筒に200円と400円を入れる確率
として、

片方が200円と定まった後に、(100円,200円)である確率は
P(A)/( P(A) + P(B) ) です。

片方が200円と定まった後に、(200円,400円)である確率は
P(B)/( P(A) + P(B) ) です。

結局、もう片方の封筒の期待値は
100 * P(A)/( P(A) + P(B) ) + 400 * P(B)/( P(A) + P(B) )
です。

もともと 46のパラドックスはただ単に条件付確率を理解しているかどうか
を問う問題だと思います。

>素人Ａ君へ
今まで言ってきたものを読み直してください
ただ、一応、もう一度言っておきます

例えば、連続する二つの自然数の中から一方を選択した場合
それが奇数である確率が５０％と言ったとしても問題ありません

なぜなら、この選択は奇数の元一つと偶数の元一つからの選択
だからです

ただ、これは
小さい側の数字が奇数である確率はいくらであるか？となると
これはまた意味合いが変わってきます

なぜなら、ここでの選択は、連続する二つの自然数の組の全体からの
選択だからです

この場合には、確かに全体の確率空間を考えねば成りません

前者は、奇数と偶数の二つの数字から一つを選ぶ
という操作になっている為、５０％といえるのですが
後者は、そうではありません

つまり、今回の場合も前者のような選択と見れば
全く問題ないのではないでしょうか？

もともとの問題に対する整合性も
十分にあると思います

下手な全体の確率空間を自分勝手につくるよりは
遥かにね

46の答えは
「まず親父のふところ具合を探れ、答えはそれからだ」
ということになりますか。

もう1回だけ、挑戦です。

＜条件＞※この2つのみ
1.A.B.二つの封筒がある。どちらかに一方の倍のお金が入っている。
2.Aの封筒を開けたら200円入っていた。

＜分析1＞
Aの封筒に200円入いっていた。という情報から、Aの封筒とBの封筒の期待値？を算出する。

「Aの封筒に200円入っていた」という情報は、
封筒を選ぶ前に「片方には必ず200円が入っている」という情報に置き換えても良い。
（必要充分条件）
とゆうわけで、Aの封筒の期待値（開ける前）を算出すると
事象?@（100、200）事象?A（200、400）となり、この4つを足して4で割って、
期待値は225円である。この時点ではBの封筒も期待値は225円。
開ける前の期待値は225円、開けたら実際は200円だったという事になる。

そして、200円を選んだということは2つの事象を選んだに等しいから
残ったBの封筒の期待値は250円となる。

てなわけで、いつも後攻が有利で何も問題がないように見えてしまう。

つづく

＜分析2＞
分析1の欠陥は何か。

ここで、問題になるのはいつも後攻が有利（Bの期待値が250になる）であること。
すなわち、いつも先攻Aの封筒が同じ額200円が現れた時という条件が必要な期待値なのである。

＜最初の問題に戻って考えてみよう＞
封筒に入っている金額は、ｎと2n。Aの封筒に入っている金額はx。xは未知数である。
この条件の中で、xの金額が2回同じ事はないという前提に立っているのはあきらかであろう。
試しにこのゲームを3回ほどやってみよう。1回目Aの封筒200円。2回目Aの封筒2000円、3回目Aの封筒20000円。後攻の有利さはどこか（どこだろう？）に吹き飛んでしまう。

結論＝この場合250円は期待値ではない。
　　　もし、定義上これも期待値なら、定義を変えたほうがいいかも。

先のURLの感想は「間違っている」でよいのですね？
何度も同じ説明をしているとおっしゃいますが、
その同じ説明では誰も理解できていない現実があります。
同じではない説明を希望します。

＞その同じ説明では誰も理解できていない現実があります。
＞同じではない説明を希望します
では、その例が間違っている理由を言ってください
=============================
例えば、連続する二つの自然数の中から一方を選択した場合
それが奇数である確率が５０％と言ったとしても問題ありません
=============================

他の説明を求めるのはいいのですが
この例に出したものに対して意見を
言ってからにしてください

これも、元の問題と同じく間違っていると思いますか？

＞441
その例は間違っていない｡
なぜならそれは封筒の金額が固定されている場合の類推と同じだから｡

大体おまえのはじめの主張は
＞二つの連続した自然数があるときに
＞その小さい方が奇数である確率は幾つでしょうか？
(309より)
じゃなかったのか？
163さんとか素人Aさんとかの指摘をちゃんと読んでるのか？

＞その同じ説明では誰も理解できていない現実があります。
その通り｡しかも最もわかってないのはMilkTea自身｡
何をいってるのかがわからない人のほうが正しい｡
もちろんその意図を汲んで間違いを指摘してる方もいるけれど、
おまえがわかってなきゃ意味ないだろうが｡
もう一度このスレをはじめから読んでみたらいかがでしょうか？

その例の意見としては
元の問題と関係なくあっているです。

自然数１〜nまでの数字の中からx,yをランダムに選択する。
「xが決まったときx,yが連続している確率は（ほぼ）xによらない。」
「xが決まったときyがxの1/2の確率はxによる。
2xである確率もxによる。そしてそれが同じであるか異なるかも
xによる。」

ほらまた全体の集合を考えているといわれそうですが、
全体の集合を考えると間違えているものが、なぜあっていると
言えるのでしょうか？正しいことであれば全体の集合を考えても、
考えなくても合っていなくてはいけないのではないでしょうか？

親父はAの封筒の金額を最初に決める。次ぎにBの封筒の金額を
Aの1/2か2倍を50%の確率で選択し、決める。
さてA,Bどちらのほうが期待値が高いか言われればBでしょ。
Aを選択しつづけるよりBを選択しつづけるほうが賢い。
この場合の話をMilkTeaさんはしているのではないでしょうか？
で、問題はどちらがAでどちらがBかわからないわけです。
（正確にはそれでも問題とは違うが）

つづき。
たとえばA,Bがわかっている場合で、
あなたは最初にBを見ていいですよといわれれば、
MilkTeaさんは必ずAを選択するのですか？

＞大体おまえのはじめの主張は
＞＞二つの連続した自然数があるときに
＞＞その小さい方が奇数である確率は幾つでしょうか？
(309より)
＞じゃなかったのか？
つまり、そこは間違いです（自爆）

＞正しいことであれば全体の集合を考えても
＞考えなくても合っていなくてはいけないのではないでしょうか？
でも
＞その例の意見としては
＞元の問題と関係なくあっているです。
なんでしょ？

こっちも全体を考えると、ダメですよ？

まあ、いいや
＞Aを選択しつづけるよりBを選択しつづけるほうが賢い。
＞この場合の話をMilkTeaさんはしているのではないでしょうか？
＞（正確にはそれでも問題とは違うが）
でも、元の問題から意味が変わってはいけませんよね？

まず、もう一方がＸ＊２かＸ／２であるわけで
でも、実際には
「事象・（Ｘ、２＊Ｘ）」
「事象・（Ｘ、Ｘ／２）」
が定まっているのだから
つまり、実際にもう一つの封筒の金額として選択できる金額が
二つあると考えるのは、間違っているんです

でも、つまり「Ｘ＊２」がある場合と「Ｘ／２」がある場合
この事象の選択を行っていると考えるほか無いのです

で、Ｘを選択した時点で事象が二つに絞られ
そこから、一方の事象を選択する確率は
５０％ずつでよいと言っているんです

ん？
とすると、やっぱり、連続する…って奴の例は
ちょっとおかしいですね…

ちょっと修正します

結局は、確率空間を母体とした部分確率空間で考えるのは
無理だから、集合論でやって、で後で部分の確率空間をつくるって
やり方で無いと、ダメなのかな…

ま、結局、問題の原因は
金額の多いほうの影響度が高いと言うだけのことだとは思いますが…

しかし、結局。どの事象を選択している割合が高いのか…
というところか…

現実の場合、事象は初めから固定されているので
複数の事象に跨って期待値を求めても参考にならないのだが
しかし、結局、事象の割合を考えねばならないということか

ま、結局、私が知っている既存の数学では語れない領域に
入ってくるわけですな…

ということで、少し体系づけて論じられる形にしないと
話しにならないか…

ということで、まとめるべきものはわかりました
ちょっとまとめてからまたきます

まとめる前に
自然数からＫをとる
これが自然数であるＡかＢであることが分った

ＫがＡである確率を求めよ

お分かりのように、皆さんはこれは考えることが出来ない
というスタンスですよね？

で、ちょっと右往左往しましたが
私は、５０％ずつだと言えると言っているわけですな

>448
ちょっと質問
「皆さん」とMilkTeaさんとでは
何かどちらが得か判断をしなければいけないときに
違う判断をすることがあるのですか？
判断とは例えば、
息子が右の封筒を選ぶか左の封筒を選ぶかだったり
宝くじを買うか買わないかだったりします。
もし違うものがあるならばそれを実際にやってみてどっちが
得か調べれば決着はつきますし、
もし常に同じ判断をするのであれば、
ただ日本語の定義の仕方が違うだけで
同じことを主張してることになります。

このスレ、9で終わればすばらしいスレだった。

P(K=1) = P(K=2) = P(K=3) = …
P(K=1) + P(K=2) + P(K=3) + … = 1
なんてこと、ありえるの？

＞P(K=1) = P(K=2) = P(K=3) = …
＞P(K=1) + P(K=2) + P(K=3) + … = 1
＞なんてこと、ありえるの？
だから、全体を確率空間とする必要なんて無いでしょ？
って言ってるの。

まあ、既存の中では聞いたことが無いから
体系づけてつくりゃいいんでしょ？

まあ、それが受け入れられるか否かは
わかんないけど、そんなに特別なやり方じゃない

とても気まぐれなお父さんが僕に小遣いをくれるそうです。
お父さんは僕の前に封筒をふたつ出して言いました。
「片方の封筒にはもう片方の封筒の1万倍のお金が入っている。
おまえはまず好きな方の封筒ひとつの中身を調べてよい。その後、
どちらでも好きな方の封筒ひとつを選んで中身を手に入れるがよい」
僕はとりあえず右の封筒の中身を調べることにしました。
右の封筒には1万円入っていました。今度は左右どちらの封筒を取るか
決めなければなりません。よく考えた末、僕は左の封筒を取ることに
決めました。理由はこうです。
左の封筒に入っているお金は右の封筒の1万倍か1万分の1なので1億円か1円
ですが、それぞれの可能性は半々です。よって左の封筒に入っている
お金の期待値は5千万円50銭となり右の封筒のお金(1万円)より多くなります。

面倒なんでまだまとめてないが
先に批判だけしておく

自然数の中から、一つ数字を選ぶ
それを。Ｘとしたとき
その一つの数字がＸである確率はいくらか！

君達は、この問に答えることが出来ないという現実を
よく理解しておきなさい

↓この話ですか？
http://www.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=941818536

えつ。100％じゃないの。

そう思いたけりゃ思えよ

思いたきゃ思えってのは、どうでもいいんだけど
実際にそうじゃない？

実際にやってみなよ
P（X）／P（X）となって
P（X)の存在が認められないから
求められないことになるじゃん

別に、そんなやり方をしなければいい？
一個だから１００％で当然ジャン？

でも、君たちの否定は
これを肯定する根拠でやってたはずだよ

違うなら、違うことを言ってみな

でーなんで、こんなに熱くなってるの？
なんの議論？読むのがめんどーだから端的に教えて。

は？
別に普通のペースなんですけど？

＞なんの議論？読むのがめんどーだから端的に教えて
偏重無く自然数の元を一つ選択する時
自然数ＡとＢの選ばれる比率についての問題です

ＡとＢは同じ割合で選択されるのか否かが問題です

P(X)がいつも定義できないのではないんです。

最初の問題では条件付き確率がMilkteaさんのいうように
50-50になるような、左右対称な確率分布が存在しない。

４５４の問題だと、どんなP(X)をとろうが答えは１００％。

だから、４５４の問題はちゃんと扱えますよ。

P（X)が定義できなくても、454 の答えはちゃんと出ますよ。

0/0 が 1 でなくても、 0*1=0 であるのとよくにてるな。

週末左の封筒を開けに遠方までいってました。

＞自然数からＫをとる。これが自然数であるＡかＢであることが分った
＞ＫがＡである確率を求めよ
50%です。

お父さんはこう言ったらどうなるの？（問題とは違うけど）
「私は右の封筒にある金額のお金をいれた。その後、
左の封筒に50%の確率で右の1/2か2倍の金額を入れた。
息子よ、まず左の封筒を見よ。そして一つを選べ。」

MilkTeaさんは当然右の封筒ですよね？
私は左です。
みなさんはどちらを選びます？

＞現実の場合、事象は初めから固定されているので
＞複数の事象に跨って期待値を求めても参考にならないのだが
ほのかにサイコロの確率の話に繋がっているところがおもしろいですね

＞463
＞みなさんはどちらを選びます？

どっちでもいいです。もう許して。

＞（問題とは違うけど）
＞＜略＞
＞MilkTeaさんは当然右の封筒ですよね？
＞私は左です。
＞みなさんはどちらを選びます？

…問題とは違うんでしょうが…

そして、実際に違うでしょうが…

「無限のパラドックス」（スマリヤン著、白揚社）に
この問題が取り上げられており、「左がxのときに右が2x,x/2となる確率が
常に1/2となる確率分布はあり得ず、実現可能な確率分布に対しては
左右の期待値は等しくなる」という趣旨の解説がなされています。

いや、だから
その解説がおかしいって言ってるんだよ

一応454に答えておくと、
lim(x->0）x/x=1ですので１００％です。

で、MilkTeaさんも答えてくれない？
1.先のURLの文章はよみましたか？
2.その感想をお願いします。
3.463の問題の答えは左ですか？
4.私は463の問題は今議論している問題と異なると思いますが、
MilkTeaさんはどう思いますか？

ご意見をまとめているとのことでしたので、
それもよろしくお願いします。

そうですか。それでしたら、本でも読んで
確率の勉強をされるのが、理解の早道と思います。

age

＞そうですか。それでしたら、本でも読んで
＞確率の勉強をされるのが、理解の早道と思います。

＞age
うわ…これをちゃんとまとめろってか…

面倒がりの私としては、まだ全然まとめてないんです。
当然、確率の本をよんで勉強して、それを理解しても
この問題の解答には、なりません。

そのような書物にある確率の定めかたでは
本問題に対する適切な解答と思えるものは、出てこない

これが、答えです。

ただ、そうではなくで、確率の一部の概念自体を
汎化することにより本題に対する一応の回答が
でるのではないか。というのが、私の主張です。

ですが、その汎化が、面倒なんで
まだ、やってないということです。

このアゲは、それをしろということか…

あれだけいちいち返事を書いているあなたが面倒がり？

＞あれだけいちいち返事を書いているあなたが面倒がり？
面倒だと思うことと、面倒だと思わずにできることがあるんです。

ここでの返事は、別に面倒じゃないんでしているんです。

っていうことで>>470はミルティーさんということで良いですね。
>all

＞っていうことで>>470はミルティーさんということで良いですね。
＞>all
うわお。
なわけないでしょ。
まとめるのは、面倒だからもうほっておこうかな
って思ってたんだから…

ほら、また逃げてるとかいう中傷がくる前に、
さっさとまとめたほうがいいんじゃない？
まとめられれば、の話だけどさ。

>>460
>偏重無く自然数の元を一つ選択する
意味不明。解説してくれ。

＞ほら、また逃げてるとかいう中傷がくる前に、
＞さっさとまとめたほうがいいんじゃない？
＞まとめられれば、の話だけどさ。
ま、そうなんだけど、面倒なんだもん…

＞>>460
＞>偏重無く自然数の元を一つ選択する
＞意味不明。解説してくれ。
だから、それに似たその言葉を実現できるような形で
確率の一部の概念を汎化をしようとしているだけです。

まあ、…全然、やってませんが
そんなたいしたもんじゃないです。

MilkTeaは夏頃も来てたのか。ふむふむ。

子供が間違った考えで計算していたのは何となく分かる。
で、左の封筒を選んだ。その結果、実際に損したことになるのですか？

根本的に期待値が求められない問題を解こうとしただけなので
どういう答えを出そうが、結果的には損はしていないと思うのですが。

私の考えは間違ってるでしょうか？
ただ、それだけが気になったので･･･。

息子は間違っているが必ずしも損したわけではない。
期待値はモデルを立てさえすれば計算できる。
（というよりモデルを立てないと計算できない）。
大事なのは、そのモデルが問題の状況をうまく表しているかどうかだ。

この問題の解答は
左右の封筒の金額が同じ分布に従うとすると、片方の封筒Ａを開けたとき、
　「もう片方の金額がＡの金額の2倍である(条件付)確率」
と
　「もう片方の金額がＡの金額の1/2である(条件付)確率」
がいつでも同じということはありえない（そのようなモデルは存在しない）ということだ。
だから、息子がもう片方の金額の(条件付)期待値を知りたいと思えば、現実の諸条件（父親の懐具合等）から適当なモデルを立てることが必要だったのだ。

＞そのようなモデルは存在しない
だから、確率空間の母集合を汎化した空間をつくればよい
というのが、私の言っていることです。

概要をいいます

集合Ｓに対して、その部分集合で確率空間となるものを考えます。
（これを、仮に仮部分確率空間と呼ぶ）
そして、この仮部分確率空間の集合を考える

で、この集合の条件として次の制限をつける。

任意の集合Ｎ⊂Ｓに対して
Ｎを可測とする（確率が定義されている集合）
仮部分確率空間全てに対して
その仮部分確率空間の部分集合であるＮは
確率空間と見れるが
このときできる確率空間が常に同一であること

これが、成立するときに、集合Ｓはこの仮部分確率空間の集合に対する
仮確率母集合と呼ぶことにする。

このとき、仮確率母集合の部分集合Ｎは、それを構成する
仮部分確率空間の中に、それを可測とするものがあれば
それ自体、一つの仮部分確率空間となる。

このようにして、仮確率母集合を定義することにより
自然数の全体からＮを等確率に取り出す。というような概念を
定義できる

一番、簡単なものとして
自然数Ｎに対して、その有限な部分集合Ｋに対して
確率Ｐを、次のように定義する。（Ｋの個数をｎとおく）

Ｐ（ｋ）＝１／ｎ（∀ｋ∈Ｋ）

これらの全体を、仮確率空間の全体とすれば
この仮確率空間の集合に対する仮確率母集合が
明らかに定まる。（証明は、略）

この仮確率母集合は
自然数の元を等確率に任意に選ぶという概念を実現している

具体的には
任意のＮの元、ａ、ｂに対して
ａ、ｂを含む仮確率空間全てにおいて
その確率をＰとしたときに
Ｐ（ａ）＝Ｐ（ｂ）が成立する。
ということである。

この概念を使えば、自然数から等確率に一つの元を選出する
という概念を定義できる。

と思うのだが、みなさん、どう思いますか？

1がでる確立が2分の1としたら、残りの2分の1はなにがでるの？
1以外の数？
だとしたら2がでる確立はいくつなんだろう？

と、ふと思った数学嫌いの厨房でした。

まだ、議論してたとは・・・
片方をｘとした場合、もう一方を２ｘとか、Ｘ/２って置けないだろうが
期待値は定義でＥ(X)=Σxi*P(xi)でもとめられるが、これは、xの事象がすべて独立であるときだけだろう。
確かに一方がｘの場合は、もう片方は２ｘかもしれない。確立も1/2かもしれない。
Ai＝（ｘi,Ｐ（Xi））とすると、
A1（２ｘ，１／２）かつA2（ｘ/２，1/2）
じゃないだろう。

>484
＞片方をｘとした場合、もう一方を２ｘとか、Ｘ/２って置けないだろうが
↑間違い
２ｘかつｘ／２と同時に置けない

>>484
>xの事象がすべて独立
意味不明。解説してくれ。

エルゴー度理論で説明できます。

なるほどでおじゃる

確率は難しい。

いまだに統計力学におけるエルゴード理論の問題
には決着がついてない。

うーん。>>1-14までのながれは面白かったんだけどな。

苦しくて切なくて見せたくてパンクしちゃう
そっぽ見て待ってるからポッケの迷ってる手でほっぺに触れて

ゼリー新曲「６／８」

通分しよう。

>>492
書いてて思ったが活字にするとすごい歌詞だな

なんとか盛り上がらないか。

さげ

半年以上も決定的な答えが導き出せないこの問い。
2ch数学論最長記録を更新中。

とても気まぐれなお父さんが僕に小遣いをくれるそうです。
お父さんは僕の前に封筒をふたつ出して言いました。
「片方の封筒にはもう片方の封筒のニ倍のお金が入っている。
おまえはまず好きな方の封筒ひとつの中身を調べてよい。その後、
どちらでも好きな方の封筒ひとつを選んで中身を手に入れるがよい」
僕はとりあえず右の封筒の中身を調べることにしました。
右の封筒には200円入っていました。今度は左右どちらの封筒を取るか
決めなければなりません。よく考えた末、僕は左の封筒を取ることに
決めました。理由はこうです。
左の封筒に入っているお金は右の封筒の倍か半分なので400円か100円
ですが、それぞれの可能性は半々です。よって左の封筒に入っている
お金の期待値は250円となり右の封筒のお金(200円)より多くなります。

ここはモノホンの数学者さんの手を借りてこよう。
メールで数学者さんの意見を聞いてくる。

答出てるんだってば・・・

出てるの？

↑おまえがあげなきゃ沈んだままのスレだったんだよ。
ヴァカが。はやく死ね。

そういえば、このスレはもともと旧鯖のスレだったんだが、
誰かがMilkTeaを煽るため(?)に持ち出してきたんだよなあ。
それ以来、マジレスしちゃうヴァカが後を絶たない…

>>492

　　変ね涙がこぼれてる。

>>497
「それぞれの可能性は半々です。」が間違ってる。

↑正解。いいかげんにこれで納得しなさい＞ヴァカども

>>1
だめってゆって終わるスレじゃん、これ。。。。。。。
どこまで記録伸ばすのかな。(藁)

サイコロの「１」の目が出る確率（測度）は１／６でなくれも良い。
なぜならば、確率空間の定義より明らかである。
一般に確率空間は測度空間（X,B,P)においてset function Pが取りうる値を閉区間[0,1]に制限したものである。
ここでは、有限確率空間の場合なので、
確率空間として(X,B,P),但し、X={1,2,3,4,5,6,},B=Xのべき集合族とする。
このときPが確率測度になるためには任意のBの元aに対して,
そのすべてのP(a)の和＝1になればよい。

シンクロ率は確率じゃないだろ

荒らしは死ね＞xxx

>>2 で終了してるだろ

>>499
#299あたりで答が出てるかと・・・

totoで当たる確率が百六十万分の一とかいうのはどう？
ジャンケンで何回戦かする訳じゃないんやから
同様に確からしいとは言えないんじゃない？

>>510
MilkTeaがトンデモ全開になったのもその辺りからだな（ｗ

299=Stormdorf

でも299は答じゃないよな…

（問）阪神タイガースが今年、セリーグで優勝する確率は？

陽気なタイガースファンの答：　100%
プロ野球に詳しくない人の答：　1/2
セリーグが6チームであることを知っている人の答：　1/6
タイガースが過去30年で1回しか優勝していないことを知っている人の答:　1/30
今年のセリーグ各チームの戦力を分析した人の答:　1/100

近代確率の概念じゃ、かけふ、バース、岡田の３連続ホームラン、しかも
いずれも、ほぼバックスクリーン、しかも巨人槙原から。
というのは説明できない。でも現実に起こって優勝したのは経験的に確かだ。

近代確率の概念じゃ、巨人槙原の完全試合は説明できない。
でも現実に起こって優勝したのは経験的に確かだ。

近代確率の概念で、松坂の決勝でノーヒットノーランは説明できると思う。
彼ならやりかねないと思って、それほど、びっくりしなかった。

>>497
封筒を開けた時点で「気まぐれなお父さんゲーム」は終わって、
新しいゲームが始まるんじゃないの?

>>1へ
サイコロの確率が1/6というのは、
経験確率でもなく、先験確率でもなく、人間の豊かな想像力なんだ。

４６（＝４９７）の考察

父ちゃんが二枚の封筒に２：１の比でお金を入れ、左右に並べる。
右の方が金額が大きい確率と左の方が金額が大きい確率は等しく１/２である。

父ちゃんが二枚の封筒に入れる金額の合計がmである確率をP(m)とする。

４６の問題の場合、

右200円左400円になる確率＝P(600)*0.5
右200円左100円になる確率＝P(300)*0.5

なので、
左の封筒に入っている金額の期待値＝(400*P(600)+100*P(300))/(P(600)+P(300))

となる。これが200より大きい場合、左の封筒を選ぶのが有利となる。つまり、

2*P(600)>P(300)

のとき、左の封筒を選ぶのが有利となる。
不等号が逆のときは右の封筒を選ぶのが有利となる。
P(600)＝P(300)のときは、もちろん、左の封筒を選ぶのが有利となる。

さて、右がX円の場合、

右X円左2*X円になる確率＝P(X+2*X)*0.5
右X円左X/2円になる確率＝P(X+X/2)*0.5

なので、
左の封筒に入っている金額の期待値＝(2*X*P(X+2*X)+X/2*P(X+X/2))/(P(X+2*X)+P(X+X/2))

となる。これがXより大きければ左の封筒を選ぶのが有利となる。つまり、

2*P(X+2*X)>P(X+X/2)

のとき、左の封筒を選ぶのが有利となる。
不等号が逆のときは右の封筒を選ぶのが有利となる。

(問)すべてのXについて不等号が同じ向きになるようなPは存在するだろうか

(補足)
子供がP(m)を知らない場合、左右どちらの封筒を選ぶのが有利であるかを
正しく判断することはできない。

ああ、なつかしいなぁ
＞５２１
親父の全財産Ｓが　Ｘ＋Ｘ／２＜Ｓ＜Ｘ＋２Ｘの場合、
Ｐ（Ｘ＋２Ｘ）は０なのでそのようなＰは存在しないが答
だということにしました。
大体親父の財産を無限にするのが変。もし親父の財産が無限なら、
この宇宙は親父の財産に埋め尽くされ封筒を置くスペースが無いでしょう。

>>1
つうかこれ数学じゃなくて物理的な理由だよな。

現実に1/6になるとかならないとかの問題ではないのです。
「どの目も出る確率は等しい」＝「1から6まで確率は全て1/6」
と仮定して問題を解きなさい、ということなのです。
かつての入試問題には必ずこのような但し書きがあったはずです。
「1の目が出る確率は1/6であることを証明せよ」
という問題は「確率」の分野では意味がないと思います。
．．．やはり、答えになってないですかネ？、厨房サン。

このスレは
>>46 によって大きく脱線したあと、 >>375 によって
結局出るか出ないか1/2だということになったのです。(鷽

>>53-54で結論は出ているね。

>>523
よくわかるように説明してくれ。
なんで、数学じゃなくて物理的理由なんだ。教えてくれ。
おれは、ばくちうちだから、>>53-54が正しいことは知ってる。
そうじゃなくちゃ。俺はいまごろ破滅している。そういうサイコロを
振ってる場を見つけて、かけるだけでもうかるんだ。
でもさ、あんまり勝ちすぎると、サイコロちぇんじされたり、
ひどいのになると、帰る途中で消される奴いるよ。だから、勝ちすぎ
ないようにしてるんだ。ひどいね。決して、1/6のサイコロはださないの
あいつら。ひどいね。