数学板の皆様助けてください……【三つの扉】

３つの扉のうちのどれか一つを開けるとそこには、賞品の車があります。残りの２つは空です。
あなたは一つの扉を選択します。すると予め賞品の在処を知っている司会者は残りの扉のうちの
一つを開けてそこに賞品のないことを示した上で、そのまま、あなたの選択した扉を開けるか、
もう一つの扉に変更するかせまります。 さて、どちらの扉を選んだ方が有利でしょうか？

元はhttp://www2.kitanet.ne.jp/~mail/2ch/test/read.cgi?bbs=lobby&key=957224752です。
なんかだんだん自分でも読んでるうちに｢どっちでも一緒なの?（ﾊﾟﾆｸ気味)」と思えるようになってきました……。

変えたほうが有利です。

ちなみに確率はそのままだと1/３
扉を変えると2/3です。

問題を変えてみる。
「１０００の扉のうちのどれか一つを開けるとそこには、賞品の車があります。残りの９９９は空です。
あなたは一つの扉を選択します。すると予め賞品の在処を知っている司会者は残りの扉のうちの
９９８個を開けてそこに賞品のないことを示した上で、そのまま、あなたの選択した扉を開けるか、
もう一つの扉に変更するかせまります。 さて、どちらの扉を選んだ方が有利でしょうか？ 」

こう考えると確率を正確に計算しなくても箱を変えた方が良さそうなことはわかるよね。

懐かしいねえ。
これってかなり昔に「大学への数学」に同じようなネタが載ってましたね。

なんで？(笑）

ロビーだと苦労してるのに
ここだと瞬殺ですね

「常に最初選んだ方から乗り換える戦略をとった場合の正解率を求めよ」
という問題と１の問題を同じように考えてもいいのかなあ〜？

三つの扉をＡ，Ｂ，Ｃとします。
正解はＡです。司会者はＣの扉を開けました。
解答者が最初に正解を選んでいる確率は？

有名な問題なんですけどね
最初に選んだ方は1/3。これは自明。
司会者は回答を知っているので、はずれの扉を選んで開ける(ここがポイント)。
この時点で司会者の選んだ扉の確率は0。
残りの扉は2/3になる。

司会者は、｢回答者が正解を選んでいる場合ランダムな扉を選択する｣と仮定するなら、2/3

実際にこのようなゲームをするバラエティ番組がアメリカであったそうです。

「ＡかＢ」を最初に選ぶ確率は2/3
Ａを最初に選ぶ確率は1/3
よって(1/3)/(2/3)=1/2 （答）
これでいいはず。（条件付き確率）
（間違ってたらハズいなー）

いや、しかし、司会者はみのもんたな訳だ。
さて、奥さん、私は大サービスで確率を1/2にしました。
それでも、あなたはそこでいいんですよね。
もちろん、かわってもいいですけどね・・・。
と、いっても、変わらないの。

11は読んだか?
司会者はCを開けたんだぞ

扉を変えた場合の確立って1/2じゃないんですか？
全事象はＡ→Ｂ、Ａ→Ｃ、Ｂ→Ａ、Ｃ→Ａ
の四つがあるわけで、
この中であたりはＢ→Ａ、Ｃ→Ａの二つで
2/4＝1/2
んで、当たるのと外れるのは排反事象だから、
1-1/2＝1/2
こんなかんじで当たるのも外れるのも1/2じゃないでしょうか？

あぁ、字が間違ってる。
確立→確率と言う事で。

扉を変えない場合と言うのは結局、
最初の三つの中から一つを選ぶと言う事象で、
二つになってから選択を変えるという事象とは
まったく別物だから確率うんぬんは比べられないと思うんですが。

9に対するレスですか?
扉は変えていないけど…
9は早く答え教えてくれ

変えた方が有利。
自分がはじめに空のほうを選んでいた場合は変えると当たるが、
はじめから当たっていた場合は変えないと当たる。
空のほうを選んでいる確率のほうが高いので変えたほうが
当たる確率は高い。

＞１
どっちでも良い。
解答者がはじめに当りを選ぼうがハズレを選ぼうが、結局最後は、
司会者が選んだ以外の残り２つから、解答者は選ばなければならない。

＞９
とにかく解答者は司会者が扉を開ける前に選ぶわけだ。
だから解答者が「最初に」正解を選んでいる確率は１／３。

「３つの扉のうち当たりはどれか？」
最初の時点で、それぞれの扉毎に、確率が1/3であったが、
司会者が、ひとつの扉を開けてしまった時点で・・・・

「２つの扉のうち当たりはどちらか？」
に変わってしまった。つまり状況が全くリセットされたわけ。
ということは、確率もリセットされて、1/2になる。

21に付け加えて・・・・・

もし司会者が扉を限定した時点で、確率計算がリセットされない
というのであれば、当たりの確率には、当然司会者が扉を限定する
前に、解答者が一発で当ててしまったことも計算に入れなければならない。

ばかは出てくるなよ

この問題って、その人が確率をどれだけ理解しているか判断する
良いベンチマークになるね

ｎ個の中から一つの当たりを選択する確立は、1/n。
選択されなかった物の中に当たりがある確立は、(1-1/n)。

このケースではそれぞれ、1/3と2/3になる。

確立というよりは、日本語の問題ですね。

確率の問題の誤答って、どこがおかしいのかを指摘しようとすると
他の数学の分野よりも難しいような気がする。

>9
回答者がAを最初に選んでる確率は1/3
ただし、その後司会者は B C のうちどちらかを開くので、
ここで C を開いてみせる確率は1/2

1/3 * 1/2 = 1/6 かな？

明らかに変えたほうが有利。
１）変えて当たる場合
　　はじめにはずれの方を選んだとき（確率は2/3）、司会者はもう一つの
　はずれの扉を開ける。そのあと、自分ははずれの方を選んでいるので
　扉を変えると当たることになる。
２）変えないで当たる場合
　　はじめに当たりを選んだとき（確率は1/3）、司会者ははずれの扉の
　どちらかを開ける。そのあと、自分は扉を変えないと当たることになる。

　１）、２）から自分がはずれをはじめに選ぶ確率が2/3と高いので、変えた
　ほうが当たる確率は高いことになる。

　この説明でこの問題は解決ではないですか？

変えても変えなくても一緒！！！！

ちがうよ
ばかは書くなって

俺は9じゃないんだけど、9がなかなか回答を書いてくれないから俺が書く
まず、司会者は「回答者がAを選んだとき、Bを1/2の確率で開く」と仮定する

各ドアを開けるのが「回答者→司会者」と表記する
回答者がBを選んだとき、司会者はCを開ける
回答者がCを選んだとき、司会者はBを開ける
すると、各事象の起きる確率は

A→C 1/6
A→B 1/6
B→C 1/3
C→B 1/3

合計が1になることを確かめてもらいたい
そこで、司会者がCを開けたとき、回答者がAを選んでいる条件付確率は
(1/6) / (1/6+1/3) = 1/3
である。
あらら11間違いだなこりゃ

>29
大馬鹿登場。

>31
ああそうか．司会者のCは決まってたんだ．
なるほど 頭が下がります ^^;

1の問題に関しては権兵衛さん、9の問題にかんしては31の11さんの
解答でよろしいんじゃないですか？

９さん答え出して〜
要はＡを選ぶ確率なんだから
1/3じゃないの？
選択後の司会者の行動が、何の制約条件に
なるのか理解出来ないです
読解力の問題か。
逝っていいのかな？、俺

あ、俺ってば・・・・・
３１＝１さん、失礼しました。

あ、俺ってば・・・・・
３１＝１１さん、失礼しました。

＞３４
私もそう思います。
ところで、私は１さんの問題を読んだことがあるのですが、
なんかいやらしい前提での出題か説明があったような気がしました。
ａｈａだったかな？ Ｇｏｔｃｈａだったかな？
つまり、「司会者が賞品のある扉を知っているか否か」それ自体を
解答者が知らない、ということです。
勿論、知っているのであれば、扉を変えるのが良く、
後者であれば扉を変えるメリットはありません。
しかし、司会者の認識状況如何で、それと独立して存在するはずの
解答者の正解確率が変動することに、
当時の私はなんか、量子力学的な（ほら、ありますよね、なんちゃらの猫
っていうのが）興奮を感じたものでした。
ははは、勿論、全然違う話ですが。懐かしかったので、つい脱線です。

よく考えたら司会者は必ずはずれの扉を開けるのだから、それをCと仮定しても
結論は同じで、35の考え方が直感的にも理論的にも正しくなるんだろうな

>1
最初の扉が当たりかはずれか、
その後変えるか、変えないかを場合分けして考えるとわかりやすいんじゃない？

�@最初に当たりを選んでいる(確率1/3)→扉を変える(当たる確率０) 1/3*0=0
�A最初にはずれを選んでいる(確率2/3)→扉を変える(当たる確率１) 2/3*1=2/3

�B最初に当たりを選んでいる(確率1/3)→扉を変えない(当たる確率１) 1/3*1=1/3
�C最初にはずれを選んでいる(確率2/3)→扉を変えない(当たる確率０) 2/3*0=0

扉を変えた場合　�@＋�A = 0 + 2/3 = 2/3
扉を変えない場合　�B＋�C = 1/3 + 0 = 1/3

つまり変えた方が有利。
ってことじゃないでしょうか。

誰か実験してみたら？
扉じゃなくて、トランプでも出来るじゃん。
５００回くらいやれば、正確ではないが、６７％か５０％か
どちらかの答えにより近い値が出るとおもうよ。

数学だからといって、数式から考えちゃだめ。常識を考えろよ。

以下のプログラムでは、扉を変えない場合のhitは33326/100000
扉を変えた場合のhitは66674/100000と出ますね。
というわけで40番さんの回答でいいんぢゃないでしょうか。
直感的にまだピンときませんが。

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

float qran()
{
static unsigned long idum = 0＠｀ itmp = 0;
float ran;
idum = 1664525L * idum + 1013904223L;
itmp = 0x3f800000 | (idum & 0x007fffff);
ran = ((*(float *) & itmp) - 1.0);
return(ran);
}

main()
{
int a[3]＠｀ hit=0＠｀ i＠｀ j＠｀ k＠｀ n＠｀ monta＠｀ choosen;

for(n = 0; n < 100000; n++){
i = (int)(qran()*3.0); j = (i+1)%3; k = (i+2)%3;
a[i] = 1; a[j] = 0; a[k] = 0;
i = (int)(qran()*3.0); j = (i+1)%3; k = (i+2)%3;
choosen = a[i];
if(a[j]) monta = a[k]; else if(a[k]) monta = a[j];
else if(qran() > 0.5) monta = a[k]; else monta = a[j];
/*
扉を変える場合はここを有効にする。
if(monta == a[j]) choosen = a[k];
else choosen = a[j];
*/
hit += choosen;
}
printf("%d\n"＠｀ hit);
}

はい、数学的センスというのは天性のもので、
無い人には無いんだということがよく分かりましたね。
今日の講義はここまでです。

40ので正解だね。高校レベルの基本的な確率の問題。
（変えた時の確率）＋（変えない時の確率）＝１なので３と４の計算は不要だけど。

同様の問題を偶然中学生（not厨房）メインの掲示板で出した事があるけど、
ちゃんと正解を出している子はいた。

ただこの問題は基本的とはいえ侮り難い。
確かアメリカのクイズ番組が発端で、アメリカ全土で議論になった問題でね。
本職であるはずの数学者までもが間違った答えを出したぐらい引っかかりやすい。

正解を知っている司会者が選ばなかった扉は単に選ばなかった
時と「選べなかった」時（つまり賞品がある）があるのだから
確率が高いのはあたりまえ。

アメリカの当該問題のURLどなたかご存知？

直感的に分かりやすいように数式をなるたけ省いて書き直してみよう。


最初に選んだ扉が当たりの時は扉を変えると外れなのは当然の事。

最初に選んだ扉が外れのときは残り二つの扉のどっちかが当たりだけど、
外れの方の扉は司会者が開けてしまうので残されるのは当たりの扉だけ。
よって最初に選んだ扉が外れならば、残された扉は必ず当たり。

最初に選んだ扉が当たりの可能性は３つに１つなので１／３。
この場合は扉を変えなければ当たり、扉を変えれば外れ。

最初に選んだ扉が外れの可能性は３つに２つなので２／３。
この場合は扉を変えれば当たり、扉を変えなければ外れ。

つまり扉を変えなければ１／３の確率で当たり、
扉を変えれば２／３の確率で当たることになる。
よって、扉を変えた方が得。

　すみません。よくわかりません。変更すべきかどうかの問題なのですから、
最初のあたりを引いている確率などどうでもよく、２個の扉（初め選んだやつ
か、司会者が残したやつ）のどちらを選ぶかという問題なのでは？

プログラムの内容は勘違いいてないのですか？

自分も正直、はじめは１／２だと思った
しかし説明されれば変えたほうが有利だとわかる。
それでもわからない人は数学的センスの問題だろうか？

こういう説明はどうだろう。
最初に選んだ扉が正解なら、残った扉は必ずはずれである。
最初に選んだ扉がはずれなら、残った扉は必ず正解である。
最初にはずれを選ぶ確率は?

はじめて聞いたときに解らないのは知識がないから。
説明しても解らないのはセンスがないから。

あ、自分が選んだ扉と司会者が残した扉では確率の重さが違うこと
に気づきました。なるほど、変えるべきです。私が間違ってました。

gomennasai. daigakuno nawo yogosite simaimasita.
C wo hiraku kototo "AorB"wo erabu kotoha doutideha
nainodesune.
tinami bokuha buturi toki nanoni suugakuha nazeka
nigatedesu. nazedesyou?

teisei(by 13=53)
tinami>tinamini＠｀toki>tokui

えと、まずＡを開けて車が出る確率は１／３。
ＢとＣ「両方開けて」車が出る確率は２／３。
司会者は必ずＢとＣの「ハズレ」を開けてくれるので、
ＢとＣの残った１つの扉の向こうに車がある確率は２／３。
なので、変えた方が有利。　でいいのかな？

えと、まずＡを開けて車が出る確率は１／３。
ＢとＣ「両方開けて」車が出る確率は２／３。
司会者は必ずＢとＣの「ハズレ」を開けてくれるので、
ＢとＣの残った１つの扉の向こうに車がある確率は２／３。
なので、変えた方が有利。　でいいのかな？

1/3or2/3だからな〜。4さんが出した状況だと1/1000or999/1000
だから絶対的に扉を変えた方がいいけど。
1の問題の何処にも書いてないけど普通、車が当たるような勝負は
一生に一度あるかないかってなもんで。
ハズレた時の精神的ショックは
変えなきゃ良かった＞変えときゃ良かった、な気がするがどうか？

日付しか見てなかった…。

Ｘ・・・解答者が最初に選んだものが正解であるという事象
Ｙ・・・解答者が最初に選んだもの以外から司会者が不正解を選ぶ事象

とすると

Ｐ（Ｘ）＝１／３
Ｐ（Ｙ）＝１

ゆえに解答者が正解を選びかつ司会者が
不正解を選ぶ確率Ｐ（Ｘ∩Ｙ）は

Ｐ（Ｘ∩Ｙ）＝（１／３）＊１＝１／３ （＊は掛け算）

ゆえに司会者が不正解を選んだ場合に解答者が最初に選んだものが
正解となっている条件付き確率Ｐ（Ｘ｜Ｙ）は

Ｐ（Ｘ｜Ｙ）＝Ｐ（Ｘ∩Ｙ）／Ｐ（Ｙ）＝（１／３）／１＝１／３

3つの扉をＡ，Ｂ，Ｃとし、解答者がＣを選び、そして司会者が、
Ｂがハズレであることを提示したとする。

ここで、
　・Ｃが当たりである事象をＥ
　・司会者が、Ｂがハズレであることを提示する事象をＦ
とする。
（Ｆは、「Ｂがハズレである事象」とは異なることに注意。）

すると、当たりがＡかＢかＣかで場合分けすることにより、
　Ｐ（Ｆ）＝（1/3）*1＋（1/3）*0＋（1/3）*（1/2）
　　　　　＝ 1/2
（Ｃが当たりだった場合、司会者が「Ｂ＝ハズレ」を提示する確率は
　1/2であることがミソ。）

一方、
　Ｐ（ＦかつＥ）＝（1/3）*（1/2）
　　　　　　　　＝ 1/6
だから、ＦのもとでＥが起こる確率は
　　（1/6）/（1/2）＝ 1/3

よって、扉を変えても変えなくても同じなのでえす。　　

>すると、当たりがＡかＢかＣかで場合分けすることにより、
>　Ｐ（Ｆ）＝（1/3）*1＋（1/3）*0＋（1/3）*（1/2）
>　　　　　＝ 1/2
「当たりがＡかＢかＣかで場合分けする」だけじゃなくて
更に解答者がどれを選んだか、でも場合わけをしなくちゃ
だめです。
そうすればＥとＦが独立な事象でないことがわかるでしょう。
そうすれば

>　Ｐ（ＦかつＥ）＝（1/3）*（1/2）
　　　　　　　　＝ 1/6

も、おかしいことがわかるでしょう。

>だから、ＦのもとでＥが起こる確率は
>　　（1/6）/（1/2）＝ 1/3
>
>よって、扉を変えても変えなくても同じなのでえす。　

何で「・・・1/3」だと「・・・同じ」なの？

>「当たりがＡかＢかＣかで場合分けする」だけじゃなくて
>更に解答者がどれを選んだか、でも場合わけをしなくちゃ
>だめです。
解答者がＣを選んだ、として考えているのですよ。「場合分け」が
どうして必要なの？

>そうすればＥとＦが独立な事象でないことがわかるでしょう。
>そうすれば
>
>>　Ｐ（ＦかつＥ）＝（1/3）*（1/2）
>　　　　　　　　＝ 1/6
>
>も、おかしいことがわかるでしょう。
べつに、ＥとＦが独立な事象だなんていってませんよ。事象Ｆは、
　１．当たりがＡであり、そのもとで司会者がＢを提示する
　２．当たりがＢであり、そのもとで司会者がＢを提示する
　３．当たりがＣであり、そのもとで司会者がＢを提示する
の和事象で、（もちろんこれらは排反）
　１．の確率は (1/3)*1
　２．の確率は (1/3)*0
　３．の確率は (1/3)*(1/2)
です。このうち３．の場合が事象「ＦかつＥ（＝ＥかつＦ）」で、また
１．〜３．を全部足したものがＰ（Ｆ）だということです。

> >よって、扉を変えても変えなくても同じなのでえす。
>
>何で「・・・1/3」だと「・・・同じ」なの？
しもうた！ここは
　　Ｂがハズレだという情報が与えられる前でも後でも
　　確率は同じなのでえす。
　　（つまりＰ（Ｅ）＝Ｐ（Ｅ｜Ｆ））
と書きたかったんだっけ！
ごめんなさい、（ここは）訂正します。

じゃあ結局、Ｆの下で「Ａがあたり」である確率は2/3ってことだろ？
だから、扉をＡに変えるほうがいいわけだ。

>解答者がＣを選んだ、として考えているのですよ。「場合分け」が
>どうして必要なの？

だったら

>・司会者が、Ｂがハズレであることを提示する事象をＦ

じゃなくて

>・Ｅでありかつ司会者が、Ｂがハズレであることを提示する事象をＦ

でしょう。

他にも突っ込みたい所はあるけど面倒くさいのでやめ。

Ｘ・Ｅでありかつ司会者が、Ｂがハズレであることを提示する事象をＦ

Ｏ・解答者がＣを選びかつ司会者が、Ｂがハズレであることを提示する事象をＦ

司会者が提示する扉を「Ｂ」と特定するのもまずいんじゃないの？

解答者が選んだ扉を「Ｃ」、司会者が選んだ扉を「Ｂ」と
名前をつけてるだけでしょ？
60の計算の中身は正しいし、63の結論も正しいと思うが。

63の結論が正しいんなら60の結論は正しくないことになる。

どうして？　60の結論は「司会者がＢを開ける前も後も、
Ｃがあたりである確率は1/3」ということでしょ？
だったら、司会者がＢを開けた後、Ａがあたりである確率は
2/3じゃない？

60の結論
>よって、扉を変えても変えなくても同じなのでえす。　　

すまん、「60の結論」とは「60の計算から導かれる結論」という意味だ。

63の結論が正解。
60が何を誤解してるのか、検証するのもめんどい。(ごめんね）

3つの扉、どの扉も当たりの確率は、最初は1/3。
回答者が選んだ扉はいつまでたっても
当たりの確率は1/3。だから、変えよう。

では、100個の扉で考えてみましょう。
回答者は1個の扉を選びます。
司会者は98個の扉を開けてくれました。
それでも、回答者の霊感を信じますか。

これは囚人のジレンマと一緒。

変えても変えなくても同じ。
厨房多いんだね。

数理統計学の教科書に解説がよく載ってから
図書館行って熟読しなよ。

載ってるからに訂正

>数理統計学の教科書に解説がよく載ってから
>図書館行って熟読しなよ。
具体的な書名は？

たとえば

野田一雄・宮岡悦良 著「入門・演習 数理統計」共立出版

厨房のために...

ちなみに囚人のジレンマっていうのは
３人の囚人がいて、そのうち一人だけ釈放される。

囚人Ａが、（釈放される囚人を知っている）看守に
「ＢとＣのどちらが釈放されないのか？」
をきいて、看守が
「Ｂが釈放されない」
という。そうするとＡが釈放される確率は１/２になるか？

という問題。
しかし、釈放される確率は１/３になる。

理由はこの本に書いてある。
（具体的に計算してある）

まぁ直感的にいえば誰が釈放されるにしても
看守は「Ｂが釈放されない」または「Ｃが釈放されない」
のどちらかを必ず言う訳だ。
Ａが釈放されてもされなくても、看守は必ず
「Ｂが釈放されない」または「Ｃが釈放されない」
という。だから看守が言った言葉によって
Ａが釈放される確率が上がることはない。

看守の発言がどうであれ、Ａが釈放される確率は１/３。

だーかーらー、C が釈放される確率は 2/3 になる、
という話をしてるんだよ。

最初に選んだ扉の中に商品がある確率が高いのか、
それとも最初に選ばなかった残りの扉にいずれかに商品がある確率が
高いのかという問題です。

残りの扉のいずれかに商品がある確率のほうが高いに決まってる。

話の見えてないやつ。
確率やる前に国語の勉強しろ、ド厨房！

これは「囚人のジレンマ」とは違うんじゃねえの？
「囚人のジレンマ」ってのはゲーム理論のやつだろ。

これは「サーベロニのパラドクス」と呼ばれてたような気がする。

こういう学生がいると先生は大変だよね。
うちの大学にも一人困ったちゃんがいた。
しかも自分は絶対正しいと信じてんだから…。

77は今井予備軍です。

「来週処刑する。ただし、今日処刑されるとわかる日には処刑しない。」
とかいうやつだっけ？

元の話は、ただ間違えやすい確率の問題、というだけで、
ジレンマとかパラドックスとは違うと思うんだが...

それも違う

see「解法の探求・確率」P110

囚人が二人いて、
二人とも黙秘すれば釈放。
二人とも自白すれば懲役5年。
一人が自白､一人が黙秘すれば、自白したほうが懲役3年、
黙秘したほうが懲役7年。
っていうやつですよね？>86

ストーリーはあってますけど
懲役の内容が違います。
自分自白-相手黙秘は双方黙秘より得でなくてはなりません。
よってこんな感じ
二人とも黙秘すれば懲役3年。
二人とも自白すれば懲役5年。
一人が自白､一人が黙秘すれば、自白したほうが釈放、
黙秘したほうが懲役7年。