何個買ったら揃うのかな？？
1 ：名無しさん：
「のほほん茶」ってありますよね。あれのペットボトルに
さくらももこのイラストつき日記がついてくる事があったんですが
これが24種類みたいでした。さてここで友達と話題になったのですが
普通24通りを集めるのに大体何個買うと揃うんでしょうか？
そういう値を求める方法は存在しますか？
期待値というか、平均値というか、そういうものです。
最小値は24、最大値は∞ですよね。平均のとりようがないから
不可能かな？？
どなたか理系数学に詳しい方、お暇でしたらご教授お願いします。
もちろん、あくまで仮定の話です。実行するわけではありません。
さくらももこのイラストつき日記がついてくる事があったんですが
これが24種類みたいでした。さてここで友達と話題になったのですが
普通24通りを集めるのに大体何個買うと揃うんでしょうか？
そういう値を求める方法は存在しますか？
期待値というか、平均値というか、そういうものです。
最小値は24、最大値は∞ですよね。平均のとりようがないから
不可能かな？？
どなたか理系数学に詳しい方、お暇でしたらご教授お願いします。
もちろん、あくまで仮定の話です。実行するわけではありません。
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2 ：＞１：1999/12/21(火) 22:03
みんな考えるんですねぇ、これ。
前に別の景品で同じ事を計算しました（実行もしました ^_^）
メーカーや小売店が策略を練ってないとして、
N 種類の景品が一様にあり毎回独立に選ぶとします。
すでに i 種持っているとき、i+1 種目を持つまでに
買わなければならない回数を確率変数 ki を考えると、
このとき、毎回確率 (N-i)/N で新しい種類のものを
得ますので、ki-1 が平均 i/(N-i) の幾何分布というものに
なります。(ki の期待値は E[ki] = N/(N-i))
何も持ってない状態から N 種全部得るための購入回数 K の
期待値は単に、各 i での期待値 E[ki] の和になります。
（確かめるためには、母関数かなにかを使いますが、省略）
N = 24 のときには、
E[K] = 24/24+24/23+24/22+...+24/1 (計算して。)
です。
まちがってたらごめん。
この時の分布はなんか名前あるのかな？
なんか指数分布に対するアーラン分布のようなやつです。
問題：では、r 回しか買わなかったとき何種類
手に入れられるかを問うたら？
（つまりポアソン分布に対応する(？)のは？）
前に別の景品で同じ事を計算しました（実行もしました ^_^）
メーカーや小売店が策略を練ってないとして、
N 種類の景品が一様にあり毎回独立に選ぶとします。
すでに i 種持っているとき、i+1 種目を持つまでに
買わなければならない回数を確率変数 ki を考えると、
このとき、毎回確率 (N-i)/N で新しい種類のものを
得ますので、ki-1 が平均 i/(N-i) の幾何分布というものに
なります。(ki の期待値は E[ki] = N/(N-i))
何も持ってない状態から N 種全部得るための購入回数 K の
期待値は単に、各 i での期待値 E[ki] の和になります。
（確かめるためには、母関数かなにかを使いますが、省略）
N = 24 のときには、
E[K] = 24/24+24/23+24/22+...+24/1 (計算して。)
です。
まちがってたらごめん。
この時の分布はなんか名前あるのかな？
なんか指数分布に対するアーラン分布のようなやつです。
問題：では、r 回しか買わなかったとき何種類
手に入れられるかを問うたら？
（つまりポアソン分布に対応する(？)のは？）
3 ：名無しさん：1999/12/21(火) 23:08
Coupon collector's problemです。
4 ：>2：1999/12/21(火) 23:23
あってるよ。正解！！
5 ：4：1999/12/21(火) 23:29
ちなみに計算結果は90.623回。まあこんなもんでしょう。
6 ：１：1999/12/25(土) 00:58
みなさんご教授ありがとうございました。
お礼が遅れてどうも申し訳ないです。
なるほど、そういう方法があったのですね。
ちなみに僕は24個買って揃う確率、25個で揃う確率…の
法則性を見つけ、帰納法を使ってΣを求める方法しか
考えていなかったので解けませんでした。
うーん。今度そういう本を読んでみます。
どうもありがとうございました。
お礼が遅れてどうも申し訳ないです。
なるほど、そういう方法があったのですね。
ちなみに僕は24個買って揃う確率、25個で揃う確率…の
法則性を見つけ、帰納法を使ってΣを求める方法しか
考えていなかったので解けませんでした。
うーん。今度そういう本を読んでみます。
どうもありがとうございました。
7 ：名無しさん：2000/07/18(火) 17:39
>3
学問の名称ほど無用なものはない。
学問の名称ほど無用なものはない。
8 ：名無しさん：2000/07/18(火) 17:40
クーポンコレクターズプロブレム
9 ：名無しさん：2000/07/18(火) 18:47
>メーカーや小売店が策略を練ってないとして、
練ってないわけがないっしょ(^^;
レアなのがあるに決まってる・・・
独りで揃える気があるのなら大人買い＝箱買いし続けるしかないんじゃ
練ってないわけがないっしょ(^^;
レアなのがあるに決まってる・・・
独りで揃える気があるのなら大人買い＝箱買いし続けるしかないんじゃ
10 ：名無しさん：2000/07/18(火) 22:19
ふむふむ。
っておーい、結局は買いつづけるんかいっ。
っておーい、結局は買いつづけるんかいっ。
11 ：名無しさん：2000/07/18(火) 22:36
期待値はあくまで期待値でしかないからね(^^;
Ｘ個買えば全部そろう確率が９５％、とか。
Ｘ個買えば全部そろう確率が９５％、とか。
12 ：名無しさん：2000/07/30(日) 22:20
／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| あそこの家の人ってさー ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
∨￣￣￣￣￣ ∧＿∧ | 目がイヤらしいわよねー
∧_∧ （´∀｀ ） ＜ 行きたくないわー
（ ´∀｀) （ ∧__∧ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿
( つ／￣￣￣￣（´∀｀ ) ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
( ∧ ∧ ／(⊂ )o ＜ 今度から行ってください
／_( ；)＿＿／ ／ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
||￣/ |￣￣||／ ┌──────────────
||, （＿__/ || ＜ハァ(俺も行きたく無いんだけど・・・）
└──────────────
| あそこの家の人ってさー ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
∨￣￣￣￣￣ ∧＿∧ | 目がイヤらしいわよねー
∧_∧ （´∀｀ ） ＜ 行きたくないわー
（ ´∀｀) （ ∧__∧ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿
( つ／￣￣￣￣（´∀｀ ) ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
( ∧ ∧ ／(⊂ )o ＜ 今度から行ってください
／_( ；)＿＿／ ／ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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||, （＿__/ || ＜ハァ(俺も行きたく無いんだけど・・・）
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／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| あそこの家の人ってさー ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
∨￣￣￣￣￣ ∧＿∧ | 目がイヤらしいわよねー
∧_∧ （´∀｀ ） ＜ 行きたくないわー
（ ´∀｀) （ ∧__∧ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿
( つ／￣￣￣￣（´∀｀ ) ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
( ∧ ∧ ／(⊂ )o ＜ 今度から行ってください
／_( ；)＿＿／ ／ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
||￣/ |￣￣||／ ┌──────────────
||, （＿__/ || ＜ハァ…(俺も行きたく無いんだけど・・・）
└──────────────
| あそこの家の人ってさー ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
∨￣￣￣￣￣ ∧＿∧ | 目がイヤらしいわよねー
∧_∧ （´∀｀ ） ＜ 行きたくないわー
（ ´∀｀) （ ∧__∧ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿
( つ／￣￣￣￣（´∀｀ ) ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
( ∧ ∧ ／(⊂ )o ＜ 今度から行ってください
／_( ；)＿＿／ ／ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
||￣/ |￣￣||／ ┌──────────────
||, （＿__/ || ＜ハァ…(俺も行きたく無いんだけど・・・）
└──────────────
15 ：１３２人目の素数さん：2000/12/04(月) 09:18
｜◎＼
｜ ＼
｜ ＼
｜ ＼
｜ ＼
｜ ＼
｜ ＼
｜ ＼
∧ ＼ あ
／ ＼ ＼ げ
Λ＿Λ ＼● ♪
（ ´∀｀） ▲
（ ） く＼
｜ ｜ | |￣￣￣￣￣
（_＿）＿） |
・ ・ ｜
・ ・ ｜
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
てすてすと
17 ：１３２人目の素数さん：2001/03/23(金) 18:33
糞スレさらしあげ
18 ：１３２人目の素数さん：2001/06/14(木) 14:56
ストッパーのかかってるスレとかかってないスレの違いって何だろう？
19 ：１３２人目の素数さん：2001/06/15(金) 18:02
>2
モンデリング間違ってないか？
だから、>1 みたいに最大で無限とか言い出す。
おのおののおまけの生産個数は有限だからその個数も
考慮に入れるべきだろう？おれは面倒なので計算せんが...
モンデリング間違ってないか？
だから、>1 みたいに最大で無限とか言い出す。
おのおののおまけの生産個数は有限だからその個数も
考慮に入れるべきだろう？おれは面倒なので計算せんが...
20 ：asdf：2001/06/15(金) 18:39
さっき計算したら、期待値は９０と９１の間、と出た。
正確には、90+(9265735/14872858)個。
元の式は、24*(1+1/2+1/3+‥‥+1/23+1/24)
もちろん、２４種類どれも等量あると仮定している。
正確には、90+(9265735/14872858)個。
元の式は、24*(1+1/2+1/3+‥‥+1/23+1/24)
もちろん、２４種類どれも等量あると仮定している。
21 ：応援演説．：2001/06/16(土) 17:01
>>7
昔はそうだったがインターネットとデータベースの時代，
そうとも言い切れない．
文献がないか調べるときキーワードで探すので，
coupon collector というキーワードを知らないと，
膨大な論文の洪水の中，探しようがなくなる．
よって，>3 は学問的貢献をしたのだ！
昔はそうだったがインターネットとデータベースの時代，
そうとも言い切れない．
文献がないか調べるときキーワードで探すので，
coupon collector というキーワードを知らないと，
膨大な論文の洪水の中，探しようがなくなる．
よって，>3 は学問的貢献をしたのだ！
22 ：１３２人目の素数さん：2001/06/19(火) 14:42
ごめん、よくわかってない
>>2,>>5,>>20
91個買えばいいらしいってことはわかった。
が、それはどういうこと？
N=24でそれが全部等確率ってことでいいよ。
91個買ったときに全部そろう確率が？？％を超える、
とかって答えかと思うんだが、なん％なの？その数字が見えない。
まさか１００％ではないだろう？
２の説明ではそういう数字が出てこないけど．．．
>>2,>>5,>>20
91個買えばいいらしいってことはわかった。
が、それはどういうこと？
N=24でそれが全部等確率ってことでいいよ。
91個買ったときに全部そろう確率が？？％を超える、
とかって答えかと思うんだが、なん％なの？その数字が見えない。
まさか１００％ではないだろう？
２の説明ではそういう数字が出てこないけど．．．
23 ：2,5,20 じゃないが．：2001/06/19(火) 16:17
>>22
期待値！
いろんな人がそれぞれそろうまでやってやめたとき，
たくさん買った人も少なくてすんだ人もいるだろうけど，
そういう例をたくさん集めて平均取ると９１個，ということ．
みんなが「何％」と議論しているのは，
次に君がやったとき９１個には（たいがい）ならない，
というところから始まっている．
期待値！
いろんな人がそれぞれそろうまでやってやめたとき，
たくさん買った人も少なくてすんだ人もいるだろうけど，
そういう例をたくさん集めて平均取ると９１個，ということ．
みんなが「何％」と議論しているのは，
次に君がやったとき９１個には（たいがい）ならない，
というところから始まっている．
>>23
さんきゅーです！
つーか、１の質問がそうだったのか＞期待値
質問の意図を勘違いしてました。
俺的にはそろった他人がいくら使ったかはあまり問題じゃなく、
自分がそろえるためにはいくら使わなくちゃ逝けないかを知りたかったなぁ。
それが
>>11の行ってる事か。
そっちのほうに話を発展させることきぼ～ん。
ｎ個大人買いすれば、ｐ割の確率で全部そろうよ～、みたいな。
さんきゅーです！
つーか、１の質問がそうだったのか＞期待値
質問の意図を勘違いしてました。
俺的にはそろった他人がいくら使ったかはあまり問題じゃなく、
自分がそろえるためにはいくら使わなくちゃ逝けないかを知りたかったなぁ。
それが
>>11の行ってる事か。
そっちのほうに話を発展させることきぼ～ん。
ｎ個大人買いすれば、ｐ割の確率で全部そろうよ～、みたいな。
25 ：LEGO：2001/07/17(火) 19:50
26 ：１３２人目の素数さん：2001/07/17(火) 20:18
27 ：22：2001/07/17(火) 21:00
以下、知り合いの数学マニアに質問したときの答えのコピペです。
合ってるかな？
<問題＞24個全部揃う確率が1/2を越えるためには、一体一度にいくつ買えば良いか？
一度に買う数をｎ個とすれば、まず24種類が揃わない取り出し方を考えます。
と言う事は、最大でも２３種類のものしか揃わない場合の数を計算する、と
いうことです。
すなわち，(23^n)を考えると、これはある1種類を除いた、23種類しか揃わない
全ての場合の数です。しかし、その23種類の選び方は、24通りある（どれか
選ばない1種類の選び方と同じなので）ので、全ての場合は
（24×23^n) 通り
これを全ての場合の数で割れば、24種類が揃わない確率が出るので、これを
１から引いたものが求める確率です。よって式は
１－（24×23^n)/24^n≧1/2
となります。整理すると
23^n/24^(n-1)≦1/2
です。あとは両辺の対数を取って計算すれば良く、途中の計算は省略して
（答）９１個
ということは、最後の式の右辺を変えれば、ｎ％の確率で
そろえるための個数が求まるってことでよい？
合ってるかな？
<問題＞24個全部揃う確率が1/2を越えるためには、一体一度にいくつ買えば良いか？
一度に買う数をｎ個とすれば、まず24種類が揃わない取り出し方を考えます。
と言う事は、最大でも２３種類のものしか揃わない場合の数を計算する、と
いうことです。
すなわち，(23^n)を考えると、これはある1種類を除いた、23種類しか揃わない
全ての場合の数です。しかし、その23種類の選び方は、24通りある（どれか
選ばない1種類の選び方と同じなので）ので、全ての場合は
（24×23^n) 通り
これを全ての場合の数で割れば、24種類が揃わない確率が出るので、これを
１から引いたものが求める確率です。よって式は
１－（24×23^n)/24^n≧1/2
となります。整理すると
23^n/24^(n-1)≦1/2
です。あとは両辺の対数を取って計算すれば良く、途中の計算は省略して
（答）９１個
ということは、最後の式の右辺を変えれば、ｎ％の確率で
そろえるための個数が求まるってことでよい？
28 ：TKB：2001/07/17(火) 22:24
２４種の場合のＥｘｃｅｌで表計算結果です。
（若干の誤差があると思われるのでとても幸運な例は省略。）
％での主な節目と２４種ｘｎ倍について表記。
４６個：約 １．１１％ ４８個（２．０倍）：約 １．７５％
５４個：約 ５．１７％ ６０個（２．５倍）：約１１．１０％
５９個：約 ９．９４％ ７２個（３．０倍）：約２８．８５％
７３個：約３０．５２％ ８４個（３．５倍）：約４８．７５％
８５個：約５０．３１％ ９１個（期待値） ：約５９．１３％
１００個：約７０．２５％ ９６個（４．０倍）：約６５．６４％
１１１個：約８０．３８％ １０８個（４．５倍）：約７７．９７％
１２８個：約９０．０６％ １２０個（５．０倍）：約８６．２６％
１４５個：約９５．０７８％ １４４個（６倍） ：約９４．８７％
１６７個：約９８．０４８％ １９２個（８倍） ：約９９．３２３％
１８３個：約９９．００９％ ２４０個（１０倍） ：約９９．９０４％
（若干の誤差があると思われるのでとても幸運な例は省略。）
％での主な節目と２４種ｘｎ倍について表記。
４６個：約 １．１１％ ４８個（２．０倍）：約 １．７５％
５４個：約 ５．１７％ ６０個（２．５倍）：約１１．１０％
５９個：約 ９．９４％ ７２個（３．０倍）：約２８．８５％
７３個：約３０．５２％ ８４個（３．５倍）：約４８．７５％
８５個：約５０．３１％ ９１個（期待値） ：約５９．１３％
１００個：約７０．２５％ ９６個（４．０倍）：約６５．６４％
１１１個：約８０．３８％ １０８個（４．５倍）：約７７．９７％
１２８個：約９０．０６％ １２０個（５．０倍）：約８６．２６％
１４５個：約９５．０７８％ １４４個（６倍） ：約９４．８７％
１６７個：約９８．０４８％ １９２個（８倍） ：約９９．３２３％
１８３個：約９９．００９％ ２４０個（１０倍） ：約９９．９０４％
29 ：22：2001/07/18(水) 10:53
>>27
改めて見なおしてみるとなーんか間違ってるくさい。
もう少し考えてきます。
最後の「ｎ％の確率で」は同じ文字を使ってしまってますが
もちろん「ｎ個買ったときの」ｎとは異なるものです。
>>28
どういう式で計算されてますか？
良かったら教えてください。
91個買ったときが約５０％になると思ってたらちがうんですね。
改めて見なおしてみるとなーんか間違ってるくさい。
もう少し考えてきます。
最後の「ｎ％の確率で」は同じ文字を使ってしまってますが
もちろん「ｎ個買ったときの」ｎとは異なるものです。
>>28
どういう式で計算されてますか？
良かったら教えてください。
91個買ったときが約５０％になると思ってたらちがうんですね。
30 ：１３２人目の素数さん：2001/07/18(水) 11:03
te
31 ：１３２人目の素数さん：2001/07/18(水) 11:03
tete
33 ：28：2001/07/18(水) 19:44
>>29
全部表計算ソフトを利用して１手ずつ計算していっただけです。
①インデックス部色付け：
Ａ列、１行に薄く色をつける。Ｂ１セルだけは別の色に。
②初期値代入 ＊注意：Ｂ１には種類数を代入する。
Ａ１：空白 Ｂ１：２４ Ｃ１：＝Ｂ１－１
Ａ２：０ Ｂ２：１ Ｃ２：０
Ａ３：＝Ａ２＋１ Ｂ３：０ Ｃ３：後述
③Ｃ３に以下の数式を記入（コピペが便利）
=(B2*B$1+C2*($B$1-C$1))/$B$1
説明：左上のセルの確率変数＊次のがダブらない確率と
上のセルの確率変数＊ダブってしまう確率の合計。
④Ｃ列を選択し右にＣｔｒｌドラッグ（最低Ｚ列まで、行き過ぎるくらいでよい。）
⑤必要のない列（？１のセルが０以外のところ）は見やすいように非表示。
⑥３行を選択し下にＣｔｒｌドラッグすると…
あっという間に確率変数がでてくる、という原始的なつくり。
非表示部分には「α個買ったときに残りβ種類」の確率変数がぎっしり。
後は必要に応じてＢ１の数値と非表示範囲を変更すれば…
全部表計算ソフトを利用して１手ずつ計算していっただけです。
①インデックス部色付け：
Ａ列、１行に薄く色をつける。Ｂ１セルだけは別の色に。
②初期値代入 ＊注意：Ｂ１には種類数を代入する。
Ａ１：空白 Ｂ１：２４ Ｃ１：＝Ｂ１－１
Ａ２：０ Ｂ２：１ Ｃ２：０
Ａ３：＝Ａ２＋１ Ｂ３：０ Ｃ３：後述
③Ｃ３に以下の数式を記入（コピペが便利）
=(B2*B$1+C2*($B$1-C$1))/$B$1
説明：左上のセルの確率変数＊次のがダブらない確率と
上のセルの確率変数＊ダブってしまう確率の合計。
④Ｃ列を選択し右にＣｔｒｌドラッグ（最低Ｚ列まで、行き過ぎるくらいでよい。）
⑤必要のない列（？１のセルが０以外のところ）は見やすいように非表示。
⑥３行を選択し下にＣｔｒｌドラッグすると…
あっという間に確率変数がでてくる、という原始的なつくり。
非表示部分には「α個買ったときに残りβ種類」の確率変数がぎっしり。
後は必要に応じてＢ１の数値と非表示範囲を変更すれば…
34 ：28=33：2001/07/18(水) 20:03
補足。
⑤非表示にする列：Ａ列と「１行に０のある列」
（２４種ならＺ列のはず）が隣り合うように
その間の列を非表示にしましょう。
＊すでにある程度そろっている、という方へ：
Ｂ２の１を０にして、残り種類インデックス
（１行目のセル数値）の当てはまるところのすぐ下の
０を１に書き換える。
（２４種中残り８種ならＲ２のセルになる。）
参考：２４種中残り８種での５０％ラインは６０個、
という残酷な結果が判明。
⑤非表示にする列：Ａ列と「１行に０のある列」
（２４種ならＺ列のはず）が隣り合うように
その間の列を非表示にしましょう。
＊すでにある程度そろっている、という方へ：
Ｂ２の１を０にして、残り種類インデックス
（１行目のセル数値）の当てはまるところのすぐ下の
０を１に書き換える。
（２４種中残り８種ならＲ２のセルになる。）
参考：２４種中残り８種での５０％ラインは６０個、
という残酷な結果が判明。
35 ：１３２人目の素数さん：
えっと、全部でk種類のオマケがあったとき、
k log k個買って揃う確率は約1/2です。
詳しい証明は知らん。ｽﾏｿ
k log k個買って揃う確率は約1/2です。
詳しい証明は知らん。ｽﾏｿ