数学的思考って

どのようなことを指すのでしょうか？
あまり頭は良くないので深く説明されると理解できなくなりそうですが、ちょっとさわり位を教えて頂けると助かります。　ぺこり。

高校で習う背理法など、数学的思考の代表格じゃ
ないかなあ。
”もし　A が正しければその結果　B　も成立するはず、
しかし　現実には　B　は成立してないから
Aは正しくない”こういう議論を意識的に進めるのは
背理法の考えをしらないと難しいようだ。

集合Ｓの要素ｘ，ｙに対して、実数ｄ（ｘ，ｙ）が
次の３つの性質を満たすとき、ｄ（ｘ，ｙ）は、ｘ，ｙの
距離であるであるという。

１）ｄ（ｘ，ｙ）≧０，　ｄ（ｘ，ｙ）＝０　⇔　ｘ＝ｙ
２）ｄ（ｘ，ｙ）＝ｄ（ｙ，ｘ）
３）ｄ（ｘ，ｙ）≦ｄ（ｘ，ｚ）＋ｄ（ｚ，ｙ）

実数ｘ，ｙにたいして、√（ｘ＾２＋ｙ＾２）は、
以上の３性質を満たすので、ｘ，ｙの距離と言うことが
できます。

無限集合を理解することですね。
要素のみたす性質でもってそれを取り扱う。

これこれの条件をみたす集合を考えると、
かくかくしかじかのゆえに、
なんとかかんとかの性質が成り立つ。

てなかんじ。

商集合を理解するのも大事だと思います。
商集合って集合の元で性質が同じものを同一視してできる集合
のことなんだけど、代数ではよくでてきます

すっきりした、プログラムを書く思考に近いんじゃないかな？
ある目的のために、
一つ一つ、順をおって、オブジェクトを繋ぎあわせる
（アルゴリズム的に）ような考え方をいうのだと思います。

なるほど。
証明を書くのとプログラム書くのは似てるかも。
すべての場合を漏れ無くわけるところが。

それにオブジェクト指向は商集合の考えにも通ずるものあるね

> 8
数学は、純粋なシンボル操作だけど、OOPは、いかにうまく抽象化を行うか
という、「現実世界の翻訳」と言うプロセスがとっても重要だから、
少し違う能力だとおもう。

それから、今丁度アルゴリズムやってるけど、結局はソーティングにしろ
グラフの経路検索にしろ現実をシンボル化してうまく扱う、ってのが
コンピュータやさんの仕事でしょ？数学はそのさらに一つ上
のレベルでの議論まであつかう（論理学にいたっては、ある意味
メタ・数学でしょ？形式言語とか）と言う決定的な違いがある気がしてます。

>一つ上のレベルでの議論
つまりどういうことですか？

９さんのおっしゃる通り、
「数学的思考」⇒「エレガントなプログラミングの思考」
が出てきても、
「エレガントなプログラミングの思考」⇒「数学的思考」
が出てこないのは、私も同感です。
という訳で、当たらずとも、遠からずって感じの意見に過ぎなかった
と思っています。
ただ、１さんの質問のされ方からすると、
どうも数学をかじった（少なくとも数学系の学部生程度）方
ではないようだったので、アナロジーで説明しました。
さわりだけでも、とはいってもやっぱり、
的を得た回答は難しいですね。(^_^;;
単に、私の力不足かもしれませんが、、、、、

> 11

言い訳すきねぇ

プログラム言語が原始的で数学の水準に達していないということが
あるのでは？集合の内包的定義ができる言語なんてないでしょう？

Mathematica とか MATLABは？

全然できません。Mathematicaなんて積分ができるだけです。
むしろPrologとかあっち系でしょうね。Lispもダメ。

ええ！Mathematicaは積分なんかよりはるかに高度な事できるよ。
特に視覚化の面では、かなり便利なはず。
数学者のための最高のツールだと思うんだけど？（という私は数学屋ではないが）

FOLで書き下したりするのにPrologはいいけど、それ以外のメリット
無いと思うよ。言語の実用性としてはCommonLispの方が遥かに上でしょ？

それから、最終的に言語は概念として存在するものを実装可能
なんで、言語が原始的という事はそれほど問題ではないかも。

あ、でも一つだけコンピュータが絶対扱えないものがあった。
それは「無限」。コンピュータ上のreal numberだって、結局
擬似的なもので、基本的に離散したものしか扱えないものね。

現在の数学にとって視覚化はそれほど重要ではないです。
Mathematicaが論理を全く操れないというのは致命傷です。

ためしに群の公理と部分群の定義から、
Hが群Gの部分群⇔∀x,y∈H,ｘｙ^-1∈H
の証明までを実装してみてください。

これは最も証明が簡単でかつ有意な数学的結果の一つです。
私はこれに取り組んでできず、15を実感しました。

#FOLとはなんですか？

そうなんですか。
技術系だから、ああいったツールはすごく使い出があるんだけど。

よく分からないのが、群論を使った例。
そもそもこの「証明」を「実装」するって事はどういった意味があるんでしょう？
古典的AIが扱ってた、数学の証明（つまり、propositionからの推論）をさせるプログラムを実装する場合に、って事？
もしそうならば、Prologでの実装が簡単そうだ、って事は分かるけど・・・？
それのメリットがいまいち掴めません。

それから、FOL = first order logicです。

解析の一番基本的なところでは
{有理数の切断が実数}
⇔{単調増大有界数列が上限を持つのが実数}
⇔{Cauchy列が収束するのが実数}
なんてところでしょうか。
この命題を実装するのってやっぱりそうとう大変な
気がします。

>「証明」を「実装」するって事はどういった意味があるんでしょう？
>それのメリットがいまいち掴めません。
意味を議論しても仕方ないと思いますが、とりあえずはある種の
「数学のデータベース化」ができるのではないでしょうか。
古典ＡＩでは定理の自動証明がメジャーでしたが、似て非なる分野
として、人間が作った証明の正しさを計算機に判定させる、という
分野があったはずです。そのためのプログラミング言語の状況は、
あまりにもお粗末で、Prologの単一化ぐらいしかないようです。

オブジェクト指向やエージェント指向もダメ？

エージェント指向っていうのは、人工生命系でないかい？

どうなるのですか？

>実数ｘ，ｙにたいして、√（ｘ＾２＋ｙ＾２）は、
>以上の３性質を満たすので、ｘ，ｙの距離と言うことが
>できます。
満たさないと思う。

これが数学的思考かなぁと感じたのは
高校では微分と積分がつながったとき，
大学の最初では同値関係と類別が同じことだって話
続いて中間体とガロア群

＞２４

たしかに・・・パチモンか・・(笑)
良く見ると、ぜんぜん違うな

論理をしっかりやらう！

「数学的思考って何?」と考えるのは数学的思考か?

>>28
哲学的思考じゃないの？

排中律では？

ε-δをやったとき
条件式でスッキリ書くけどあれが数学的思考なのかな？
日本語ではだらだらしてわかりにくいけど
式で書くとスッキリしてる

本来の数学的思考というのは右脳的思考だと思う。
しかし、左脳的思考、すなわち論理や言葉を数学的思考だと思っているひとが多い。
論理を追っているだけじゃ数学的思考していることにならないよ。

数学や理科の問題を頭ん中で図を描いてパズルを解くようにして解いてる自分は数学的な思考と言えるのかな？
ただ人にどうやって解いたのって聞かれても、そのイメージを口で説明しても納得してくれん時が多いが。

age

＞３３
計算機君＝左脳的という意味でね
高等数学になるにしたがって右脳的になるんでは

もしくはこうもいえないか
どんな右脳的思考（感覚？）も左脳的思考をするというのが数学的思考であると。

左脳だけ使うと法律的というか叙述的になるから、
数学的思考＝右脳的と言いきってしまっていいのではないかい？

＞３４
例えば図形で黄金分割をイメージすることは出来ても（右脳的？）
数字（左脳的？）でフィボナッチ数列みたいに無理数を考えても捉えがたい。
というようなものか

できるだけ、文章のあいまいさをなくし、短くし、物事を相手に伝える思考かな？
　数式は言語を問わない（英語、独語、フランス語、日本語、その他諸々）
　箇条書きを黙認する（文学、法学、では禁忌とされていると思う）
　物事の数式化（すべて、関数、定数、少々の無理数、演算子であらわす）
これらのミックスと思う。

「ＡはＢである」と聞いたとき、
「すべてのＡはＢである」のか
「あるＡがＢである」のかに
不安を集中させるのは、
数学的思考なのか、ただの神経症なのか。。

>>40
あ・・・。僕もその傾向ある。
そのせいなのかどうかは知らないけど、
数学科の人たちって日常生活において、
質問されてから返答するまでの時間比較的長くない？
一瞬頭の回転鈍いのかと一般の方々は思うかもしれないけど、
実は後でたずねてみるとものすごく膨大な思考をその時間の中で
している事が分かったりする事が多々ある。

>40
僕もそういったことを考えることがあるなあ
「言語のドメイン」ってふうに考えるんだけど。
「BでないA」もあるんじゃないかって

言葉巧みな詐欺被害を受けないためにはよいかも。

数�Vテストの日、電車の中で友人と置換、置換って言ってて、後々恥ずかしい思いをした。
他の人には数学的思考ってわかってくれないんだろうな。

大学への数学の「読者の接点」に投稿すると受けるかも。

むかし、とある援団が、女装したやつの
乳を触って「上方置換」
ケツを触って「下方置換」
なんて寒いギャグやってたのを思い出した。

＞＞46
死ねやヴォケ

好き嫌いなどの人間の感情をなるべく無視する思考かなあ

>>48
ﾊｧ?

>>48

しなやかに同意。

好きなモデルも、嫌いなモデルも、数学的に同じなら同じモデルだ。

数学的思考かなぁ。ちょっと応用が入ってるな。

柔らかに同意＞４８

48=50=52

４８です。
４８≠５０、５２です。柔らかにという言い方が、私の頭からは出てこないよ．

柔らか−
ファジーって感じですかね

>>48
数学は人間的だと思うが？

＞５６同意
集合＞４８と集合＞５６から抽象されるのは
人間の理知的本性
知恵を人間の本性としたとき５６
無明を人間の本性としたとき４８
ウソ

異なるものを同じものと同一視する能力

群論ですな

数学的思考とは、ひとつの複雑な問題を、たくさんの簡単な
問題の組み合わせに分解する考え方。

複雑なものを数字で抽象化していくって思考ことかな。

1999/07/21　に立てたスレがまだ残ってるのに驚いた
レスが60ちょっとしか無いのに驚いた

>>62
これぞまさに数学的思考の賜です。

＞どのようなことを指すのでしょうか？

東大理系数学で毎年必ず満点に近く(五完以上)得点できること！

１の質問に対していきなり「東大理系数学で…」と来たか>>64

キーワード：関連性

age

>>1

例えば

プログラム(言語)の世界との類推で語っている二つの意見
>>7 と>> 16 を比べると，7 のほうが，>>9 で反論されている
けれども，「数学的思考」に近いように思う．

キーワード：単一性と相違それから類似性

抽象芸術は数学的か？