巨大数探索スレッド10

大きな実数を探索するスレッドです。

前スレ
　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1284207329/
巨大数研究室
　http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
巨大数 (Wikipedia)
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0
ふぃっしゅっしゅ氏の巨大数論PDF
　http://gyafun.jp/ln/
たろう氏のまとめ
　http://gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt
Dmytro Taranovsky の順序数表記
　http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
mixi 巨大数コミュ (要 mixi アカウント)
　http://mixi.jp/view_community.pl?id=2771859

狸

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a : 順序数
A : 極限順序数 A_n がその収束列

G[0](x)=10^x
G[a+1](x)=(G[a])^x(x)
G[A](x)=G[A_x](x)
H(x)=G[ψ_0(Ψ)](x)
H^81$(5)

>>1乙

猫いわく、飯を喰らうことしか
考えない輩は博士課程なんかに行くなだが、
これはある意味、当たっていると企業の
人から言われた。

大学教員になる！って粋がってるやつほど
無能なのは教員皆が共感してる

いちおつ

>>3
a : 順序数
A : 極限順序数 A_n がその収束列

G[0](x)=10^x
G[a+1](x)=(G[a])^x(x)
G[A](x)=G[A_x](x)
H(x)=G[ψ_0(Ψ)*2](x)
H(5)

のほうがでかい

狸

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狸

狸

前スレ974はどれくらいの大きさでしょうか


974 １３２人目の素数さん sage 2013/11/14(木) 15:02:41.22
ご存知のように↑d(a,b,c)＝矢印をd回転させたa↑b↑c

第1段階、新たな「↑」をa↑b＝↑b（a,a,a）と定義し、
更に、新たな「↑」をa↑b＝a↑a↑…(b個)…↑aと定義する

第2段階、新たな「↑」をa↑b＝定義をb回したときのa↑a↑…(b個)…↑aと定義し、

更に、新たな「↑」をa↑b＝b段階のときのa↑a↑…(a個)…↑aと定義する

ここまでを「第1段階」と呼び直し、
f(n)＝n回呼び直したときのn↑n↑…(n個)…↑nとしf^64(4)

ダメだ…ふぃっしゅ数v3の劣化コピーですね　　

狸

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狸

狸

お寿司の漫画いいね

>>13
↑[1,1,1]1(a,b)=↑4b(a,a,a)
↑[1,1,n+1]1(a,b)=↑[1,1,n]4b(a,a,a,a…)=↑[1,1,n]4b+1(a,b,2)
↑[1,n+1,1]1(a,b)=↑[1,n,b]4b(a,a,a,a…)=↑[1,n,b]4b+1(a,b,2)
↑[n+1,1,1]1(a,b)=↑[n,b,1]4b(a,a,a,a…)=↑[n,b,1]4b+1(a,b,2)
f(n)=↑[n,1,1]1(n,n,n,n…)=↑[n,1,1]1(n,n+1,2)
ふぃっしゅ氏が書きなおした矢印回転表記の定義に合わせるとこんな感じになるみたいだから、
f(n)は7重帰納ってことだと思う
だとしたらA(1,1,1,1,1,1,1,1)より小さいくらいかな？
ごめんあとでゆっくりと考える

狸

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アッカーマン関数を自分で色々調べてみてA(ｍ，ｎ）の
左側のｍはhyperとほぼ同じだと確信した。
なるほど、よく出来てるな。

マンデルブロ集合のあの塊を宇宙の直径だと仮定して
人間サイズの細かい部分まで計算で視覚化できると聞く。

巨大数もそのようにどうにか視覚化出来ないだろうか？

ボクの考えた演算子

【名前】
アッカーマン演算子

【定義】
a,b,c,n,x,y = {0以上の整数}
# = {0個以上の0以上の整数}
a*b = {b個のa}

0[]c = c+1
0[ x+1 ]c = ( c+1 )+( 0[x]c )
a[ 0, # ]c = a[ # ]c
a[ #, y+1, 0*(n+1) ]c = a[ #, y, (c+1)*(n+1) ]c
a[ #, y+1, 0*n, x+1 ]c = a[ #, y, ( a[ #, y, 0*n, x ]c )*(n+1) ]c
(a+1)[]c = a[ (c+1)*(c+1) ]c
(a+1)[ x+1 ]c = a[ ( (a+1)[x]c )*( (a+1)[x]c ) ]c

【名前の由来】
アッカーマン関数をベースにして拡張したから

【使用例】
1 = 0[]0 = 0[0]0
2 = 0[]1 = 0[0]1
3 = 0[]2 = 0[0]2
c+1 = 0[]c = 0[0]c

2 = 0[1]0
4 = 0[1]1
6 = 0[1]2
8 = 0[1]3
2・(c+1) = 0[1]c

3 = 0[2]0
6 = 0[2]1
9 = 0[2]2
12 = 0[2]3
3・(c+1) = 0[2]c

4 = 0[3]0
8 = 0[3]1
12 = 0[3]2
16 = 0[3]3
4・(c+1) = 0[3]c

(x+1)・(c+1) = 0[x]c

【使用例】
2 = 0[1,0]0
6 = 0[1,0]1
12 = 0[1,0]2
20 = 0[1,0]3
(c+1)^2+(c+1) = 0[1,0]c

3 = 0[1,1]0
14 = 0[1,1]1
39 = 0[1,1]2
84 = 0[1,1]3
(c+1)^3+(c+1)^2+(c+1) = 0[1,1]c

4 = 0[1,2]0
30 = 0[1,2]1
120 = 0[1,2]2
340 = 0[1,2]3
(c+1)^4+(c+1)^3+(c+1)^2+(c+1) = 0[1,2]c

5 = 0[1,3]0
62 = 0[1,3]1
363 = 0[1,3]2
1364 = 0[1,3]3
(c+1)^5+(c+1)^4+(c+1)^3+(c+1)^2+(c+1) = 0[1,3]c

Σ_[k=1,x+2]{(c+1)^k} = 0[1,x]c

【使用例】
3 = 0[1,1]0 = 0[2,0]0
30 = 0[1,2]1 = 0[2,0]1
363 = 0[1,3]2 = 0[2,0]2
19530 = 0[1,4]3 = 0[2,0]3

5 = 0[1, 3]0 = 0[1, 0[2,0]0 ]0 = 0[2,1]0
0[1, 30]1 = 0[1, 0[2,0]1 ]1 = 0[2,1]1
0[1, 363]2 = 0[1, 0[2,0]2 ]2 = 0[2,1]2
0[1, 19530]3 = 0[1, 0[2,0]3 ]2 = 0[2,1]3

0[1, 5]0 = 0[1, 0[2,1]0 ]0 = 0[2,2]0
0[1, 0[1, 30]1 ]1 = 0[1, 0[2,1]1 ]1 = 0[2,2]1
0[1, 0[1, 363]2 ]2 = 0[1, 0[2,1]2 ]2 = 0[2,2]2
0[1, 0[1, 19530]3 ]3 = 0[1, 0[2,1]3 ]2 = 0[2,2]3

こんな感じ展開していけば以下の場合にアッカーマン関数と等しくなる

Ack( x, y ) = 0[ x, y ]0

【使用例】
アッカーマン関数の三変数以上も同様の手続きで定義されている

0[ 0, x ]0 = 0[x]0
0[ x+1, 0 ]0 = 0[ x+1, 0 ]0
0[ y+1, x+1 ]0 = 0[ y, 0[y+1,x]0 ]0
Ack( y, x ) = 0[ y, x ]0

0[ 0, y, x ]0 = 0[ y, x ]0
0[ z+1, 0, 0 ]0 = 0[ z, 1, 1 ]0
0[ z+1, 0, x+1 ]0 = 0[ z, 0[ z+1, 0, x ]0, 0[ z+1, 0, x ]0 ]0
0[ z, y+1, 0 ]0 = 0[ z, y, 1 ]0
0[ z, y+1, x+1 ]0 = 0[ z, y, 0[ z, y+1, x ]0 ]0
Ack( z, y, x ) = 0[ z, y, x ]0

0[ 0, z, y, x ]0 = 0[ z, y, x ]0
0[ w+1, 0, 0, 0 ]0 = 0[ w, 1, 1, 1 ]0
0[ w+1, 0, 0, x+1 ]0 = 0[ w, 0[ w+1, 0, 0, x ]0, 0[ w+1, 0, 0, x ]0, 0[ w+1, 0, 0, x ]0 ]0
0[ w, z+1, 0, 0 ]0 = 0[ w, z, 1, 1 ]0
0[ w, z+1, 0, x+1 ]0 = 0[ w, z, 0[ w, z+1, 0, x ]0, 0[ w, z+1, 0, x ]0 ]0
0[ w, z, y+1, 0 ]0 = 0[ w, z, y, 1 ]0
0[ w, z, y+1, x+1 ]0 = 0[ w, z, y, 0[ w, z, y+1, x ]0 ]0
Ack( w, z, y, x ) = 0[ w, z, y, x ]0

【使用例】
任意の多変数のアッカーマン関数も定義されている

0[x]0 = x+1
0[ 0, # ]0 = 0[ # ]0
0[ #, y+1, 0*(n+1) ]0 = 0[ #, y, (c+1)*(n+1) ]0
0[ #, y+1, 0*n, x+1 ]0 = 0[ #, y, ( 0[ #, y, 0*n, x ]0 )*(n+1) ]0
Ack( # ) = 0[ # ]0

更に演算子の左辺の変化によってこの多変数アッカーマンの定義自体を再帰的に適用している

0[1]0 = 1[]0 = 1[0]0
0[2,2]1 = 1[]1 = 1[0]1
0[3,3,3]2 = 1[]2 = 1[0]2
0[4,4,4,4]3 = 1[]3 = 1[0]3

0[(0[1]0)*(0[1]0)]0 = 1[1]0
0[(0[2,2]1)*(0[2,2]1)]1 = 1[1]1
0[(0[3,3,3]2)*(0[3,3,3]2)]2 = 1[1]2
0[(0[4,4,4,4]3)*(0[4,4,4,4]3)]3 = 1[1]3

この演算子自体をどんどん拡張出来るけどそれは別の話

ちらしの裏なのでレスは要らない

ん？なにがしたいの？

このスレにふさわしい定理を発見した
無限の猿定理
でもこのスレに登場する増大関数を使えば有限の数で簡単に
猿がシェイクスピアの戯曲をタイプしそうだ

1/0

無限とは数ではなく状態であると聞いた。

-1のマイナスの部分と似たようなもの？

ack(9,9)個のランダムな数値列を文字列エンコードして
巨大数を求めるのに数学的に意味ある文章になったらそれを解とする
ただし、数学的に意味ある文章かを判定することは現実時間で実行できない

「巨大数を生成するアルゴリズムコンテスト」に
決して停止しないけれど停止しないことの証明はできないプログラムでエントリーしたら優勝できますか？
チューリングマシン停止判定の不可能性からこのようなプログラムは存在するし、
証明できないから失格にもできない。
他のプログラムが着々？と答を出す中、このプログラムは延々とカウントアップし続ければ、
ぶっちぎりで優勝になりませんか？

いつまで停止しないかは分からないから、案外早く止まっちゃうかもな

作った本人が必ず停止することを証明出来なければ
無限大にカウントを増加させるプログラムとして失格なんじゃね？

http://s1.gazo.cc/up/71909.jpg
これこわい

寿司で巨大数を知って巨大数論を読んでるんだが
17ページ目の 3^(2 * 3^2x) = 3^3^(2x + 2) って間違ってね？　俺がアホなだけ？

その等式自体は明らかにおかしいと思う
実際のところはlog_3(10)=2.0959...だから、そこの端数を入れて考えるんじゃないか
10^10^x =3^(2 * 3^2.1x) = 3^3^(2.1x + 0.68)と見積もる方が正確かなと思った

巨大数研究 Wiki
http://ja.googology.wikia.com/
というのがいつの間にかできているので、どこに書くか迷ったけどここに。

ふぃっしゅ数ver.7とラヨ数の定義を見て思ったが、
巨大な順序数を定義するのにラヨ数と同じ方法を使えば
ふぃっしゅ数ver.7よりずっと大きい数が作れそうだ。

集合論での自然数の定義0={}, 1={0}, 2={0,1},...を拡張することで、
集合論での順序数はω={0,1,...}, ω+1={0,1,...,ω}のように表される。
なので、ラヨ数の定義で「正の整数」を「順序数」に置き換えるだけで、
巨大な順序数(ラヨ順序数)を定義することができる。
(「帰納的」順序数などでないとまずいかもしれない)

この方法だと収束列が定義できないが、R_αを定義するための神託式を
　"R_a(b)=c" a番目のオブジェクト(順序数)とb,c番目のオブジェクト(自然数)に対してR_a(b)=cが成り立つ。
　ただし、a＜α(a∈α)でないときは常に偽である。
とすればふぃっしゅ数ver.7と同等のラヨ階層が定義できると思われる。

ラヨ順序数を作る関数をRayo_ordinal(n)としたとき、
　R_{Rayo_ordinal(10^100)}(10^100)
はふぃっしゅ数ver.7よりずっと大きい数になると思う。

もしかしたら英語圏での議論で既出かもしれないし、
ラヨ関数自体の強さに比べると、
もしかしたらグラハム数に1を足すか2を掛けるか程度の差しかないかもしれないけど。

>>40
＞ラヨ数の定義で「正の整数」を「順序数」に置き換えるだけで
の意味が分かりにくかったみたいだ。

定義域を順序数にするのではなく、値域を順序数にする。
つまり、ラヨ数の定義
　「一階の集合論（一階述語論理）の言葉でグーゴル個以内の記号で表現できる
　いかなる有限の正の整数よりも大きな最小の正の整数」
を、
　「一階の集合論（一階述語論理）の言葉でグーゴル個以内の記号で表現できる
　いかなる順序数よりも大きな最小の順序数」
に変えるという意味。Rayo_ordinalは自然数から順序数への写像になる。

ここまで書いて思ったが、R_{Rayo_ordinal(m)}(n)において、
nを固定してmを増やしてもn文字で表現できる順序数は限られているので
mが十分大きければR_{Rayo_ordinal(m)}(n)は一定値になる。
つまり、神託式からa＜αの制限をなくしたラヨ関数をR2として、
R2(10^100)としてもR_{Rayo_ordinal(10^100)}(10^100)とほぼ同じ値となる。
なので、Rayo_ordinalという関数を定義する必要はない。

整理すると、神託式
　"R_a(b)=c" a番目のオブジェクト(順序数)とb,c番目のオブジェクト(自然数)に対してR_a(b)=cが成り立つ。
　ただし、a＜α(a∈α)でないときは常に偽である。
を加えたラヨ関数をR_αとし、神託式
　"R_a(b)=c" a番目のオブジェクト(順序数)とb,c番目のオブジェクト(自然数)に対してR_a(b)=cが成り立つ。
を加えたラヨ関数をR2とするということ。

ラヨ数の定義が自己矛盾しないのと同じ理由で、関数R2も自己矛盾せずに定義できると思われる。

ラヨ関数の定義に神託式を加えると本当にずっと増大度の大きい関数が得られるのかが気になってきた。

ビジービーバー関数のチューリングマシンに神託を加えるとずっと増大度の大きい関数が得られるのは、
有限の時間では計算できなかった関数が有限の時間で計算できるようになるからである。

もし、ラヨ関数の定義で扱っているのがFOSTで「証明」可能な式ならば、神託式を加えることで
有限の長さでは証明できなかった式が有限の長さで証明できるようになり、
ずっと増大度の大きい関数が得られることになる。

しかし、ラヨ関数の定義で扱っているのはFOSTで「表現」可能な式である。
もしラヨ関数の式をFOSTの式で表現することが可能ならば、神託式を加えても
有限の長さで表現できた式をより短く表現できるようになるだけで、関数の増大度はほとんど変わらない。
というのも、式φ_1とφ_2が同値ならばSat([φ_1],s)とSat([φ_2],s)も同値となる。
神託式を用いてRayo(10^100)を表した式φ_1と同値なFOSTの式φ_2が10^100文字以下で表されるならば、
φ_2が定義する数はRayo(10^100)よりも小さいか、一つの数を定義しないかのどちらかになる。
前者は矛盾しているので、φ_2は一つの数を定義しないことになる。
すると、神託式を用いてRayo(10^100)を表した式φ_1も一つの数を定義しないことになってしまう。

ここから考えられる可能性は、
1. 神託式を形式的に導入しても、神託式が実質的に効力を発揮することはない。
2. ラヨ関数を表す式はFOSTで表現できない。
(つまり、ふぃっしゅ数バージョン7のwikiのページの議論で、
＞ラヨ数のマイクロ言語(FOST)の中で、ラヨ関数を計算する式を立てることは可能であると思われる。
と書かれているのは誤りということになる。)
3. ラヨ関数(およびラヨ数)は定義できない。(値が一つに定まらない)
4. 上の議論自体が間違っている。
のいずれかになる。数理論理学に詳しい人の説明がほしいところだ。

>>42はどのマイクロ言語で式を考えているかがごちゃごちゃになっているので、
数式を用いてもう少し整理する。

ラヨ数の定義で用いられている、a∈b, a=b, (¬e), (e∧f), ∃a(e)で構成される言語をFOST、
FOSTに神託式f(a)=bを加えたものをFOST'とする。
以下では、fがラヨ関数の場合のみを考える。

言語Lを用いたラヨ関数Rayo(n,L)で式φが定義する数をNum(φ,L)と表すことにする。
>>42で単にφ_1, φ_2が表す数と書いていたのは、より厳密には
Num(φ_1,FOST'), Num(φ_2,FOST'), Num(φ_2,FOST)となる。
ラヨ関数の性質から、Num(φ_2,FOST)が定義されるならば
(1) Num(φ_2,FOST) < Rayo(10^100,FOST)
である。言語を拡張しても同じ式が定義する数は変わらないので、
(2) Num(φ_2,FOST) = Num(φ_2,FOST')
である。式φ_1とφ_2は同値なので、
(3) Num(φ_1,FOST') = Num(φ_2,FOST')
である。Num(φ_1,FOST')が定義されるならば、
(4) Num(φ_1,FOST') = Rayo(10^100,FOST)
である。(1)-(4)がすべて正しければ矛盾する。
また、(2),(3)の両辺の一方が定義されなければ他方も定義されないので、
Num(φ_1,FOST'), Num(φ_2,FOST'), Num(φ_2,FOST)はいずれも定義されないことになる。

「形式言語」と「形式体系」の区別がついていないことも混乱の元のように思われるので
付け焼刃の知識で説明すると、形式言語は表現可能な式(記号列)を定める。
ただし、形式言語だけでは式の真偽を判定(証明)することはできない。
形式体系は形式言語に加えて公理や推論規則を含んでおり、
形式体系が十分強力であれば式の真偽を証明できる。
ラヨ関数の定義では、形式言語としてのFOSTを用いており、
ラヨ関数を定義する(値を定める)ための形式体系は非常に強いものでなくてはならない。
もし形式言語FOSTの中でラヨ関数の定義式を表すことができるのならば、
FOST'の形式言語としての強さは、FOSTと変わらないことになる。
FOST'を用いればFOSTの式と同値な式をより短く表せることがあるので、
FOST'のラヨ関数はFOSTのラヨ関数より若干大きくなるが、劇的な変化にはならないはずである。

もう一つの疑問は、ラヨ関数を定義できる十分強力な形式体系として
「自然な」ものが本当に一意に定まるのかということである。
例えば、連続体仮説は現代数学の標準的な公理系で真偽を決定できず、
連続体仮説を真とする公理系も偽とする公理系も作れるそうだが、
ラヨ数についてもその値が異なるような複数の「自然な」公理系が作れてしまわないかと疑問に思う。
これは素人が考えてもどうしようもないので専門家に任せるしかなさそうだ。
"Big Number Duel"でgoogle検索しても23件しか出てこないので、
ラヨ数について複数の専門家による十分な検証はされていない気もする。

ラヨ関数を定義できる形式体系がどのようなものか考えてみた。

ラヨ関数の定義に出てくる式Sat([φ],s)の真偽が判定できなければラヨ関数は定義できない。
Sat([φ],s)の真偽を判定するには、FOSTの式すべての真偽を判定(証明)できなければならない。
FOSTは自然数論を含んでいるので、ゲーデルの不完全性定理の証明から考えると
「自然数論を含む帰納的に記述できる無矛盾な公理系」をどのように選んでも、
その公理系では証明も反証もできない命題がFOSTに含まれていると思われる。
矛盾した公理系でラヨ関数を定義するのは無意味であり、
自然数論を含まない公理系で自然数の関数であるラヨ関数は定義できないので、
帰納的に記述できない公理系でしかラヨ関数は定義できないことになる。

帰納的に記述できない「自然な」公理系が選べて、ラヨ関数は一意に定まるのだろうか。

ラヨ関数の定義で、都合の悪いものはすべて除外されると考えるのは正しいのだろうか。

Sat([φ],s)の定義では、
任意の[ψ],tについてR([ψ],t)が命題ψ(t)と同値になるようなRを考えている。
つまり、∀[ψ],t: ...の部分の式は、
∀[ψ],t: R([ψ],t)⇔ψ(t)　…(＊)
と同値と考えられる。
任意の[ψ],tについて考えるということは、FOSTの任意の命題の真偽を考えるということであり、
ここでは都合の悪い命題を除外して考えることはできない。
もし、FOSTで表現可能だが証明できない命題があれば、Sat([φ],s)の真偽も証明できないと思われる。

Sat([φ(x_1)],s)からRayo(n)を定義するときには、
異なるx_1を持つ変数設定s,tについてSat([φ(x_1)],s), Sat([φ(x_1)],t)が真となるような[φ(x_1)]や
Sat([φ(x_1)],s)が真となる変数設定sが存在しない[φ(x_1)]は一つの数を定義しないとして除外される。
ラヨ数の定義式[φ(x_1)]を10^100文字以内で書いても[φ(x_1)]は一つの数を定義せずに除外されるという根拠は、
[φ(x_1)]が一つの数を定義すれば矛盾するということと思われる。

このとき、FOSTを拡張して神託式を用いた異なるラヨ数の定義式[φ'(x_1)]を書いても、
φ(x_1)とφ'(x_1)が同値である限りSat([φ(x_1)],s)とSat([φ'(x_1)],s)は同値で、
[φ(x_1)]も[φ'(x_1)]も一つの数を定義しないのではないかと思う。(>>43)
神託式であるという理由で[φ'(x_1)]が一つの数(ラヨ数)を定義するというのならば、
φ(x_1)とφ'(x_1)は同値でなく、φ(x_1)はラヨ数の定義式でないことになる。

そもそも、ラヨ数の定義式[φ(x_1)]が一つの数を定義しないというのは、もし(＊)式を満たすRが存在すれば
「ラヨ数=nを満たす自然数nが存在しないか複数存在する」という命題が
ラヨ数を扱う形式体系で証明できるということになり、
ラヨ数は一意に定まらないということにならないのだろうか。
もしそうだとすれば、Rayo(n,L)の定義式が形式言語Lを用いてn文字以内で表せる限り
Rayo(n,L)は一意に定まらないことになってしまう。
ラヨ関数が定義できないのであれば、ラヨ関数の神託式を導入しても機能しないことにも納得がいく。
ただ、本当にラヨ関数が定義できないのかは厳密な議論をしないと分からないだろう。

よく考えると、ラヨ関数を定義するには必ずしも任意の[φ],sについてSat([φ],s)の真偽を知る必要はない。
1. Sat([φ(x_1)],s)を満たし、x_1が自然数であるsが存在する
2. Sat([φ(x_1)],t)を満たす任意のtについて、tのx_1は同じ自然数である
を考えるとき、1.かつ2.が偽と証明するには、
a. Sat([φ(x_1)],s)を満たし、x_1が自然数であるsは存在しない
b. Sat([φ(x_1)],s)を満たし、x_1が自然数でないsが存在する
c. Sat([φ(x_1)],s)を満たし、x_1が異なる自然数である複数のsが存在する
のいずれかが示せればよく、それには任意の[φ],sについてSat([φ],s)の真偽を知る必要はない。
さらに、[φ(x_1)]以下の文字数で自然数Nを定義する式が存在するとき、
d. Sat([φ(x_1)],s)を満たし、x_1>Nであるsは存在しない
を示せれば[φ(x_1)]が一つの数を定義するかを知る必要もない。

FOSTの任意の命題ψについて、(x_1=m)∧ψ (mはある自然数)を表す式φ(x_1)を考えると、
φ(x_1)が一つの数を定義するかを知るにはψの真偽を知る必要があるので、
FOSTの任意の命題の真偽を知る必要があるのではないかと思ったが、
φ(x_1)以下の文字数でmを定義する式が存在し得るので、
FOSTの任意の命題の真偽を知る必要はないと思われる。
なので、>>45の議論は間違いということになる。

>>46の議論も初めの部分は間違いということになるが、
神託式が機能しない可能性やラヨ関数が定義できない可能性は否定できない。

>>42について考えていたが、結局のところ
＞2. ラヨ関数を表す式はFOSTで表現できない。
が正しいのではないかと思った。
というのも、ラヨ関数の定義に出てくるSat([φ],s)はRについての量化を含んでいる。
Rの集合の濃度は自然数と変数設定の直積の冪集合と同じ濃度であるため、
変数設定のオブジェクトの集合の濃度よりも大きい。
そのため、オブジェクトについての量化しか含まないFOSTではRについての量化を表せず、
ラヨ関数を表す式を直接FOSTで表現することはできないと思われる。

ただ、ゲーデル数を用いて形式体系を自然数論の中で取り扱うことで間接的にラヨ関数を表すことは、
帰納的に記述できる形式体系については可能と思われる。
この場合、帰納的に記述できる形式体系でラヨ関数を定義しようとすると
矛盾が生じてラヨ関数が一意に定まらなくなってしまう。
つまり、>>45とは別の理由で、帰納的に記述できない公理系でしかラヨ関数は定義できないと思われる。

帰納的に記述できない公理系で定義されたラヨ関数は、
直接的にも間接的にもFOSTの式で表すことができないため、
神託式を導入することで形式言語が拡張でき、より強いラヨ関数が定義できると思われる。
また、ラヨ関数がFOSTの式で表せることを前提にした>>43,>>46の議論は成り立たなくなる。
しかし、>>44,>>45の最後で書いた、ラヨ関数の値が公理系に依存しないかという問題は残ると思われる。

数学なのに計算出来ないのは、なんかもやもやする

数理論理学について素人なので誤解があるかもしれないが、ラヨ数に関する考察の続き。
ラヨ関数を一意に定義する方法を考えようとしたが、結局は失敗に終わっている。

ラヨ関数をある形式体系で「定義する」という言葉を何度か使ったが、その意味が曖昧だった。
「定義する」という意味として、たとえば次のようなものが考えられる。
1. 考えている形式体系で任意の自然数nに対しある自然数mが存在して、「Rayo(n)=m」が証明できる。
2. 考えている形式体系で任意の自然数nに対し「∃!m.Rayo(n)=m」が証明できる。(∃!は「一意に存在する」の意味)
3. 考えている形式体系で任意の自然数nに対し、「Rayo(n)=m」となる自然数mが「一意に定まる」。

>>45や>>48では1.の意味で「定義する」という言葉を用いていた。
帰納的に記述できる形式体系の場合、正しい証明をアルゴリズムで探索することができるため、
1.の意味で定義できる関数はすべて計算可能となる。
そのため、計算不能な関数を定義するには帰納的に記述できない形式体系を考えなくてはならない。
2.の意味で考えると、非常識な形式体系を考えない限りラヨ関数は常に定義されることになる。
ただし、ラヨ関数が本当に「一意に定まる」とは限らない。
例えば、ψ(x)が「連続体仮説が真のときx=0∧連続体仮説が偽のときx=1」という式だとすると、
ZFC公理系では「∃!x.ψ(x)」が証明できるにもかかわらず、ψ(x)が真となるxは一意に定まらない。
なので、3.の意味で「定義する」ことを考えたいが、
それには「一意に定まる」というのがどういうことかを考える必要がある。

一階の論理体系ではモデルというものを考えることができる。
例えば、一階集合論(FOST)のあるモデルを定めるというのは、変数の取りうる範囲を(メタな視点での)ある集合として定め、
その集合の任意の要素x,yについて(FOSTにおける)「x∈y」という命題が真か偽かを公理を満たすように定めることである。
一つのモデルを定めれば、その論理体系で証明できない命題についても真か偽かを定めることができる。
一般に、ある公理系のモデルは複数存在し得るので、無矛盾な形式体系の命題は3つに分けることができるはずである。
a. 形式体系の中で証明か反証が可能な命題
b. 証明も反証もできないが、モデルによらず真偽が一意に定まる命題
c. モデルによって真偽の異なる命題
ZFC公理系で例を挙げれば、連続体仮説はc.であり、
十分大きな自然数m,nについて「BB(n)=m」はb.であると思われる。(BBはビジービーバー関数)
モデルの概念を用いれば、3.の意味でラヨ関数を定義するには「Rayo(n)=m」という命題がa.かb.であればよいことになる。

あらためて、ラヨ関数を一意に定める方法を考える。ZFC公理系でFOSTの任意の命題を扱うと問題が生じるので、
A. ZFCで証明可能な命題(a.)のみを扱う
B. ZFCでa.かb.となる命題のみを扱う
C. モデルを一つ定めてすべての命題を扱う
などが考えられる。A.では計算可能関数しか扱えないためラヨ関数がビジービーバー程度にしかならないと思われ、
C.ではZFCのモデルを具体的に一つ定めることが困難と思われるので、B.の方針で考える。
Sat([φ],s)の厳密な定義は忘れて、Sat([φ],s)はφ(s)を意味するものだと考えることにする。
すると、モデルを一つ定めればφ(x_1)が定義する数(あるいは定義されないか)が一意に定まる。
定義される数がモデルによらないときのみφ(x_1)がある数を定義すると考えれば、ラヨ関数が一意に定まるのではないか。

ここまで考えて、問題があることに気付いた。
FOSTのモデル自体はメタな体系としてのFOSTで扱えると思われるので、
上のように定義したラヨ関数もFOSTの式として表せると考えられる。
つまり、ラヨ関数の値がモデルに依存しなければ矛盾することになり、ラヨ関数の値は一意に定まらないことになる。
では、上で定義したラヨ関数の何がモデルに依存するのか。
おそらく、ある命題がb.であるかc.であるかというのが(メタな体系の)モデルに依存するのだと思う。
FOSTのモデルはメタな体系における集合として表せるため、
どの範囲のモデルを考えるのかがメタな体系のモデルに依存するのだろう。

明確な根拠があるわけではないがもしかしたら、
有限のアルゴリズムで計算することはできないが定義はできる計算不能関数があるように、
(FOSTに限らず)有限の長さの文で一意に定義することはできないが存在は示せる「定義不能関数」のようなものがあって、
ラヨ関数はそれに該当するのかもしれない。
だとすれば、FOSTより強い形式体系を用いたとしても、一意に定義する方法を探すこと自体が無意味になる。

完全性定理

保守

フィッシュ数の1の位の数は計算できるのでしょうか？
ほかの巨大数で計算できるものはあるのでしょうか？

いつの間にか「寿司」が更新されていた。

チェーンの紹介だった。

次の表記を考えたのですがどれ位の増加率になるのでしょうか?

拡張チェーン C_n

X:0個以上の2以上の整数
Y:0個以上の1以上の整数

C_1(a,b) = a↑↑…(b個コピー)…↑a
C_n(a) = a
C_n(a,b) = C_n-1(a,a,…(b個コピー)…,a)
C_n(a,X,y,z) = C_n(a,X,Pn(a,X,y-1,z),z-1)
C_n(a,b,X,1,Y) = C_n(a,b,X)

訂正

C_n(a,X,y,z) = C_n(a,X,Pn(a,X,y-1,z),z-1)
　　　　　　　↓
C_n(a,X,y,z) = C_n(a,X,C_n(a,X,y-1,z),z-1)

C_n(a) = a
の部分は
C_１(a) = a
じゃね？

と思ったが、むしろ不必要か。

誰か、以下のプログラムでどれくらい大きな数字が表示されるかわかる人居ませんか。
実際に動かしてみると止まる気配がありません。
mainのfの引数を0にしたときは2,1にしたときは4,2にしたときは14が表示されました。

#include<stdio.h>

unsigned long long x=1;

void f(unsigned long long a)
{
unsigned long long i;
x++;
if(a--==0)return;
for(i=x;i>0;i--)f(a);
}

void main()
{
f(3);
printf("%lld\n",x);
}

事故解決しました。
以下のように書き直したところすぐに実行が終わって、値は22539988369406でした。
たぶん>>62と同じ値になると思います。

#include<stdio.h>

unsigned long long x=1;

void f(unsigned long long a)
{
unsigned long long i;
x++;
if(a--==1){x+=x;return;}
for(i=x;i>0;i--)f(a);
}

void main()
{
f(3);
printf("%lld\n",x);
}

3*3^3^3ぐらいの大きさなのか

インクリメント演算をこういう表現にしてみる

a[] = 1+a
a[][] = 1+(a[])
a[][][] = 1+(a[][])
a[][][][] = 1+(a[][][])
a[]...{[]がn+1個}...[] = 1+(a[]...{[]がn個}...[])

a+100を表現する為にはaの後ろに[]を100個記述しなければならない
そこで次のような省略記法を導入する

a[]0 = a
a[]1 = a[] = 1+(a)
a[]2 = a[][] = 1+(a[])
a[]3 = a[][][] = 1+(a[][])
a[](n+1) = a[]n[] = 1+(a[]n)

これで a[]b という演算が産まれた

次に>>65で作った演算を新たな演算で表現にしてみる

a[[]] = a[]a
a[[]][] = a[](a[[]])
a[[]][][] = a[](a[[]][])
a[[]][][][] = a[](a[[]][][])
a[[]][][][][] = a[](a[[]][][][])
a[[]][]...{[]がn+1個}...[] = a[](a[[]][]...{[]がn個}...[])

これも次のような省略記法を導入する

a[[]][]0 = a[[]] = a[]a
a[[]][]1 = a[[]][] = a[](a[[]])
a[[]][]2 = a[[]][][] = a[](a[[]][])
a[[]][]3 = a[[]][][][] = a[](a[[]][][])
a[[]][](n+1) = a[[]][]n[] = a[](a[[]][]n)

これで a[[]][]b という演算が産まれた

次に>>66で作った演算を新たな演算で表現にしてみる

a[][[]] = a[[]][]a
a[][[]][] = a[[]](a[][[]])
a[][[]][][] = a[[]](a[][[]][])
a[][[]][][][] = a[[]](a[][[]][][])
a[][[]][][][][] = a[[]](a[][[]][][][])
a[][[]][]...{[]がn+1個}...[] = a[[]](a[][[]][]...{[]がn個}...[])

これも次のような省略記法を導入する

a[][[]][]0 = a[][[]] = a[[]][]a
a[][[]][]1 = a[][[]][] = a[[]][](a[][[]])
a[][[]][]2 = a[][[]][][] = a[[]][](a[][[]][])
a[][[]][]3 = a[][[]][][][] = a[[]][](a[][[]][][])
a[][[]][](n+1) = a[][[]][]n[] = a[[]][](a[][[]][]n)

これで a[][[]][]b という演算が産まれた

次に>>67で作った演算を新たな演算で表現にしてみる

a[][][[]] = a[][[]][]a
a[][][[]][] = a[][[]](a[][][[]])
a[][][[]][][] = a[][[]](a[][][[]][])
a[][][[]][][][] = a[][[]](a[][][[]][][])
a[][][[]][][][][] = a[][[]](a[][][[]][][][])
a[][][[]][]...{[]がn+1個}...[] = a[][[]](a[][][[]][]...{[]がn個}...[])

これも次のような省略記法を導入する

a[][][[]][]0 = a[][][[]] = a[][[]][]a
a[][][[]][]1 = a[][][[]][] = a[][[]][](a[][][[]])
a[][][[]][]2 = a[][][[]][][] = a[][[]][](a[][][[]][])
a[][][[]][]3 = a[][][[]][][][] = a[][[]][](a[][][[]][][])
a[][][[]][](n+1) = a[][][[]][]n[] = a[][[]][](a[][][[]][]n)

これで a[][][[]][]b という演算が産まれた

次に>>68で作った演算を新たな演算で表現にしてみる

a[][][][[]] = a[][][[]][]a
a[][][][[]][] = a[][][[]](a[][][][[]])
a[][][][[]][][] = a[][][[]](a[][][][[]][])
a[][][][[]][][][] = a[][][[]](a[][][][[]][][])
a[][][][[]][][][][] = a[][][[]](a[][][][[]][][][])
a[][][][[]][]...{[]がn+1個}...[] = a[][][[]](a[][][][[]][]...{[]がn個}...[])

これも次のような省略記法を導入する

a[][][][[]][]0 = a[][][][[]] = a[][][[]][]a
a[][][][[]][]1 = a[][][][[]][] = a[][][[]][](a[][][][[]])
a[][][][[]][]2 = a[][][][[]][][] = a[][][[]][](a[][][][[]][])
a[][][][[]][]3 = a[][][][[]][][][] = a[][][[]][](a[][][][[]][][])
a[][][][[]][](n+1) = a[][][[]][]n[] = a[][][[]][](a[][][][[]][]n)

これで a[][][][[]][]b という演算が産まれた

>>67,68,69の帰納的記法に注目する

a[][[]][]0 = a[][[]] = a[[]][]a
a[][[]][](n+1) = a[][[]][]n[] = a[[]][](a[][[]][]n)

a[][][[]][]0 = a[][][[]] = a[][[]][]a
a[][][[]][](n+1) = a[][][[]][]n[] = a[][[]][](a[][][[]][]n)

a[][][][[]][]0 = a[][][][[]] = a[][][[]][]a
a[][][][[]][](n+1) = a[][][[]][]n[] = a[][][[]][](a[][][][[]][]n)

上記のパターンのルールより、以下の省略記法を導入する

a[](m+1)[[]][]0 = a[]m[[]][]a
a[](m+1)[[]][](n+1) = a[]m[[]][](a[](m+1)[[]][]n)

これで a[]b[[]][]c という演算が産まれた

次に>>68で作った演算を新たな演算で表現にしてみる

a[[]][[]] = a[]a[[]][]a
a[[]][[]][] = a[](a[[]][[]])[[]][](a[[]][[]])
a[[]][[]][][] = a[](a[[]][[]][])[[]][](a[[]][[]][])
a[[]][[]][][][] = a[](a[[]][[]][][])[[]][](a[[]][[]][][])
a[[]][[]][][][][] = a[](a[[]][[]][][][])[[]][](a[[]][[]][][][])
a[[]][[]][]...{[]がn+1個}...[] = a[](a[[]][[]][]...{[]がn個}...[])[[]][](a[[]][[]][]...{[]がn個}...[])

これも次のような省略記法を導入する

a[[]][[]][]0 = a[[]][[]] = a[]a[[]][]a
a[[]][[]][]1 = a[[]][[]][] = a[](a[[]][[]])[[]][](a[[]][[]])
a[[]][[]][]2 = a[[]][[]][][] = a[](a[[]][[]][])[[]][](a[[]][[]][])
a[[]][[]][]3 = a[[]][[]][][][] = a[](a[[]][[]][][])[[]][](a[[]][[]][][])
a[[]][[]][](n+1) = a[[]][[]][]n[] = a[](a[[]][[]][]n)[[]][](a[[]][[]][]n)

これで a[[]][[]][]b という演算が産まれた

>>71は>>70で作った演算

こんな感じに地道に[]だけの組み合わせに再帰的に意味を付加して行くだけでどんどん大きな数が定義出来ちゃうよね

え？効率が悪い？
うんなこたあ知ったこっちゃない

3^3^3と、３を三つ重ねるだけでいきなり７兆にもなるのがすげぇと思ったあの頃
3^3^3^3なんてもう絶望的。なんせ電卓叩いても絶対エラーになる。
エラーにならない電卓を見た事無い。

その時点で絶望的なのに、3↑↑↑3なんて、計算途中で絶望的になる。
3↑↑3↑↑3だから3↑↑(3↑3↑3)。カッコの中が7兆なので･･･

3↑3↑3↑3↑3↑3↑････が7兆回並ぶwもう絶望www
4回の時点で電卓にエラーが出て絶望なのに、それが7兆回続くwww

そして、そんなんでも巨大数の中では極小さい部類に入る。
もう駄目だwwwww

無限にどんどん遠くに行ったつもりなのに気がつくともとの場所に戻ったりするんですよ
リーマン空間では

正直な話
c^c^c^c で表現出来る以上の数字は無意味

じゃあ矢印表記でも絶望してみよう。
３→３→３、これなら３＾３＾３と同じだから約7兆。まだ平気。
だったらこれが３→３→３→３ならどうだ？

これは変換すると３→３→（３→３→２→３）→２になり
さらに３→３→（３→３→（３→３→１→３）→２）→２になる。
一番内側は３→３→１→３がただの３→３になるので２７。
つまり３→３→（３→３→27→２）→２となるまでは普通に理解できる。

ここからカッコの中が絶望に向かう。カッコの中だけで解体していくと
（３→３→27→２）
（３→３→（３→３→26→２）→１）
（３→３→（３→３→（３→３→25→２）→１）→１）
となるが、最後の１は省いていいので、省いてどんどん続けると
（３→３→（３→３→･･･27回繰り返し（３→３→1→２))))))))))･･･

一番内側は計算して27になる。だが次の外側は３→３→27
つまり３↑↑･･･27回繰り返して３だ。
３↑↑↑３だけで絶望だったのにそれが27回。もう絶望www
もう絶望なのにまだ全然途中www

しょうがないんで、３↑↑･･･27回繰り返して３した数を便宜上zとする。zは絶望のz
でもその外側でも３→３→zとなる。ただの↑27回だけでも無理だったのにそれがz回www
仕方ないんでこれもまた便宜上z2にする。カッコの外に行くたびに絶望するwww
でも外へ行くたびに矢印27回じゃない。↑27回の↑27回の↑みたいに
絶望に絶望を重ね、また絶望を重ねていく感じで超増えていく。
で、便宜回数が27になり、z26になった時点でようやくカッコの中が終わる。

でもまだ途中www　３→３→３→３が３→３→z26→２になっただけ。
上と同じようにこれもまた分解
（３→３→z26→２）
（３→３→（３→３→z26-1→２））
（３→３→（３→３→･･･z26回繰り返し（３→３→1→２))))))))))･･･
すげぇwww　内側は26回繰り返しで絶望してたのに、今度はそれをz26回もwww
どんだけ絶望させる気だwww
しょうがないんで、また内側をzにして展開していく。

絶望の極地にたどり着いた頃、zz26という便宜上の表記数字ができる。
便宜しまくって、もう何がなにやらわからないwww

結論として、その中には絶望と３と↑がいっぱい詰まった何かがあるんだろう
ぐらいしか数学の素人には理解できなかったのでした。

数学や情報科学で自然発生した再帰的な関数で、原始再帰的でないものって何かあるのかな

記号の書式を追加していけばいくらでも大きな数は定義出来るからね
コンウェイのチェーン表記だってクヌースの矢印記号がありきの表現にしかすぎず
結局その実態は多変数アッカーマンと変わらんもんなあ

>>80
×結局その実態は多変数アッカーマンと変わらんもんなあ

○結局その実態は多変数アッカーマンで超えらるもんなあ

>>65-71を地道に定義して行けばこんな感じに増加していくね

n[] → n+1 → f_[0](n)
n[[]] = n[]n → f_[1](n)
n[][[]] = n[[]][]n → f_[2](n)
n[][][[]] = n[][[]][]n → f_[3](n)
n[][][][[]] = n[][][[]][]n → f_[4](n)
n[]m[][[]] = n[]m[[]][]n → f_[m](n)
n[[]][[]] = n[]n[[]][]n → f_[ω](n)

>>82の続き

n[[]][][[]] = n[[]][[]][]n → f_[ω+1](n)
n[[]][][][[]] = n[[]][][[]][]n → f_[ω+2](n)
n[[]][][][][[]] = n[[]][][][[]][]n → f_[ω+3](n)
n[[]][]m[][[]] = n[[]][]m[[]][]n → f_[ω+m](n)
n[][[]][[]] = n[[]][]n[[]][]n → f_[ω2](n)
n[][[]][][[]] = n[][[]][[]][]n → f_[ω2+1](n)
n[][[]][][][[]] = n[][[]][][[]][]n → f_[ω2+2](n)
n[][[]][][][][[]] = n[][[]][][][[]][]n → f_[ω2+3](n)
n[][[]][]m[][[]] = n[][[]][]m[[]][]n → f_[ω2+m](n)
n[][][[]][[]] = n[][[]][]n[[]][]n → f_[ω3](n)
n[][][[]][][[]] = n[][][[]][[]][]n → f_[ω3+1](n)
n[][][[]][][][[]] = n[][][[]][][[]][]n → f_[ω3+2](n)
n[][][[]][][][][[]] = n[][][[]][][][[]][]n → f_[ω3+3](n)
n[][][[]][]m[][[]] = n[][][[]][]m[[]][]n → f_[ω3+m](n)
n[][][][[]][[]] = n[][][[]][]n[[]][]n → f_[ω4](n)
n[]k[][[]][[]] = n[]k[[]][]n[[]][]n → f_[ω(k+2)](n)
n[]k[[]][]m[][[]] = n[]k[[]][]m[[]][]n → f_[ω(k+2)+m](n)

>>83の続き

n[[]][[]][[]] = n[]n[[]][]n[[]][]n → f_[ω^2](n)
n[[]][[]][[]][[]] = n[]n[[]][]n[[]][]n[[]][]n → f_[ω^3](n)
n[[]]m[[]] = n[]n([[]][]n)m → f_[ω^m](n)
n[[][]] = n[]n([[]][]n)n → f_[ω^ω](n)

n[[][][]] = n[[]]n([[][]][[]]n)n → f_[ω^ω^ω](n)
n[[][][][]] = n[[][]]n([[][][]][[][]]n)n → f_[ω^ω^ω](n)
n[[][][][][]] = n[[][][]]n([[][][][]][[][][]]n)n → f_[ω^ω^ω^ω](n)
n[[[]]] = n[[]n]n([[]n][]n)n → f_[ε_0](n)

n[[[[]]]] = n[[[]n]n]n([[[[]n]n]n][[[]n]n]n)n → f_[？](n)

n[[[[[]]]]] = n[[[[]n]n]n]n([[[[[]n]n]n]n][[[[]n]n]n]n)n → f_[？？](n)

？は記述方法がわからん

>>84
×　n[[[]]] = n[[]n]n([[]n][]n)n → f_[ε_0](n)

×　n[[[[]]]] = n[[[]n]n]n([[[[]n]n]n][[[]n]n]n)n → f_[？](n)

×　n[[[[[]]]]] = n[[[[]n]n]n]n([[[[[]n]n]n]n][[[[]n]n]n]n)n → f_[？？](n)

n[[[]]] = n[[]n]n([[]n[]][[]n]n)n → f_[ε_0](n)

n[[[[]]]] = n[[[]n]n]n([[[]n[]]n[[]n]][[[]n]n]n)n → f_[？](n)

n[[[[[]]]]] = n[[[[]n]n]n]n([[[[]n[]]n[]n]n[[[]n]n]][[[[]n]n]n]n)n → f_[？？](n)

アメリカのグーゴロジストたちは化け物ですね、BEAFを解読中なんですがその実態は次元に次元を入れ子した
超次元表記と言うことです、そこでBEAFを超える超次元表記を定義してみたいと思います
まず使うのは幾何学から４次元の空間充填、その中の正８胞体を使って定義します
いきます
定義１
全ての計算可能な数及び関数は点（０次元)に変換することができるものとする、
定義２
点と点は線で結ばれ（１次元）線は正方形を形成し（２次元）正方形は立方体を形成し（３次元）立方体は超立方体（４次元）（正８胞体）を形
成するものとする
なお点と点はつながった時点で重複するものとする
定義３
使う記号を定義します
a〜ｚ、A〜Z、α〜ω、A’〜Ω、・[]()
定義４
表記を定義します
・ｘ[a](X,Y,Z)[b]

では、説明します
ｘはアルファベットがはいります
・a、・aaなどです
aは・に変換された数および関数が入ります
Xは超立方体のかずです
Yは超立方体の奥に広がる超立方体の数です
Zは超立方体のなかに超立方体が入れ子されている数です
ｂはそれを何回繰り返すかを表す数です

計算不可能レベルにも変換やら配列表記やらができないものか、ビジービーバーとか使って

ｍ次元、一辺ｎマスの碁盤で囲碁を打つ
黒番と白番は互いに最善手を打ち続ける
このとき任意のｎについて黒番が勝った目の数の最大値を　f(m)とする。

・・・巨大にはならんわな

そろそろ巨乳数を探索しないか？

それはでかけりゃいいってもんじゃない

第一非可算順序数ω_1を用いて形だけ急増加関数f_ω_1をつくる
f_ω_1はあらゆる定義可能な関数よりも早く増大し、f_ω_2よりはゆっくりと増大する

どうだかなあ

f(a,0) = 1
f(a,n+1) = f(a,n)+a^(n+1)

lim_[a→∞]{lim_[n→∞]f(a,n)} = 0

あれ？

>>90
「定義可能」ということだと、第一定義不能順序数とかぶる。
「一階述語論理で」という限定がない分だけ広くなるけど、
何の限定もないと今度は何をもって定義可能とするかが分からなくなる。
定義の範囲を限定してしまうと、上限は加算順序数になってしまう。

カントールの対角線論法を応用して・・・

（常に増加し続ける）すべての数列の集合（自然数から自然数への写像の集合）内で
まず

a={a_1,a_2,a_3,...}

からa_1をとる。つぎにaよりも早く増加する、つまり十分大きい n について a_n<b_n が成り立つ
数列bからb_2をとる。

この操作を繰り返していくといかなる明らかな定義のある数列よりも早く増加する数列、ついでに関数ができあがる

と思ったけど数列や関数とは別の概念としてとらえないと矛盾ができてしまうな。

すべての数列の集合の濃度は連続体濃度に等しい。よって上の方法で定義される疑似的な関数は
f(ω_1)で初めていかなる関数よりも大きくなる。可算な順序数から実数への写像σをつかって

σ(f(σ^(-1)(n)))＝g(n)

あまり自信がないけど
イオタ関数とか、海外でも似たようなこと考えてる人はいるんだな

>>80
そういうことか。

「素数の逆数」の和が無限大に発散するという話を聞いて衝撃を受けました。
今わかっている全素数の逆数の和はせいぜい４〜６くらいだとか。

そこで例えば「素数の逆数の和が100を超えるときの最大の素数」や
「素数の逆数の和が10000を超えるときの最大の素数」って
かなり巨大な数になるのではないでしょうか？

発想は面白いけど多変数アッカーマンとかに勝てるかなぁ？

c++で大きな数を返すプログラムを組みました。
intがオーバーフローしないとしてどれくらいの大きさでしょうか。
int a=9e999;
int *dup(int *x){int i,*y;if(x==NULL)return x;for(i=0;x[i]!=-1;i++);y=new int[i+1];while(i>=0){y[i]=x[i];i--;}return y;}
bool next(int *x){int i;while(x[i]==0){x[i]=a;i++;}if(x[i]==-1)return false;x[i]--;return true;}
int* max(){int i,*x;x=new int[a+1];for(i=0;i<a;i++)x[i]=a;x[a]=-1;return x;}
struct A{int t;int *x;A *list;};
A S={-1,NULL,NULL};
bool operator==(A x,A y){return x.t==y.t &amp;&amp; x.x==y.x &amp;&amp; x.list == y.list;}
A dup(A x){A y;int i;y.t=x.t;y.x=dup(x.x);if(x.list==NULL){y.list=NULL;return y;}for(i=0;!(x.list[i]==S);i++);
y.list=new A[i+1];while(i>=0){y.list[i]=dup(x.list[i]);i--;}return y;}
A max(A x){A y;y.t=a;y.x=dup(x.x);if(!next(y.x)){y.list=NULL;y.x=NULL;return y;}y.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)y.list[i]=max(y);y.list[a]=S;}
A maxA(){int i;A x;x.t=a;x.x=max();x.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)x.list[i]=max(x);x.list[a]=S;return x;}
bool next(A &amp;x){int i;if(!x.list){return x.t--;}for(i=0;!next(x.list[i]);i++){x.list[i]=max(x.list[i]);}if(x.list[i]==S){return x.t--;}}
void f(A x){a<<=a<<a;if(!next(x))return;A y=maxA();while(next(y)){A z=dup(x);f(z);}}
int main(){A x=maxA();f(x);return a;}

今見たらoperator==の中身が文字化けしてるなぁ。
&amp;&amp;は論理和です。

論理積だった（汗）

よくみるとnext(A &a)もまちがってるなぁ。
どうしよう。再投稿したほうがいいかな。

素数の逆数の和はlog(log(n))の速度で大きくなるんだそうだ。
てことは素数の逆数の和が10000を超えた時の最大の素数はexp(exp(10000))くらいか。
巨大数の世界じゃあんまり大きくないね。

記号処理でプログラムの返す値をハーディ関数で近似できないかな？
もちろん任意のプログラムに対して近似を出すのは不可能だろうけど、
なにがしかの制限を設ければいけそうな気がする。

ハイパー演算子の○中の数字をハイパー演算子で求めるを繰り返せばかなり大きな数字にならない?
Ａ[Ｃ]Ｂ

=Ａ○Ｂ
,―＾―、
Ａ○Ｂ
,―＾―、
　　：
Ｃ回繰り返す
　　：
,―＾―、
Ａ○Ｂ
,―＾―、
Ａ（Ｃ）Ｂ

それチェーン表記にかなうのか？

FGHだと、１回繰り返すとω+1だからC回の繰り返しでω2だね。数字が4個のチェーンレベル。

>>51
> a. 形式体系の中で証明か反証が可能な命題
> b. 証明も反証もできないが、モデルによらず真偽が一意に定まる命題
> c. モデルによって真偽の異なる命題
Goedel の完全性定理により, 一階述語論理の範囲で b は起こらない

・自然数とは何か
・「φ(n) であるような n」 が一つの自然数を定めているかどうかをどのように判定するか

についてルールを定める必要があるように思う
例えば形式体系 (ZFC か何か?) とそのモデルを一つ固定して,
その体系で PA (ペアノ公理系) を満たす対象を自然数として,
論理式 ∃!n.φ(n) が証明可能なとき, 一つの自然数を定めている
とするのもそれなりに妥当だと思う

ただ, 「形式体系 X で証明可能」 の X は固定しないで動かせる様にした方が理論的には面白い
例えば 「関数 f(x) が本当に関数になっている (全ての x に対し f(x) の値が一意に定まる)」 ことが,
形式体系 X で証明不可能だがより強い Y で証明可能なとき, f は
「X で関数であることが証明可能などんな g よりも速く増加する」 ことが期待できる
(厳密には f が増えたり減ったりの挙動をすることもありうるので必ずではないけど, 巨大数探索の文脈ではほぼそう)
ので, 関数の増加の速さを 「関数であることを証明できる理論」 の強さと結び付けて比較できる
例えば Goodstein 関数は PA では 「Goodstein 列の計算が終わることと Con(PA)」 が同値で
PA では関数になることが証明できない
そうすると 「関数であることが理論 X では証明不能だが Y では証明可能」 な関数を
X, Y をどんどん強く (証明能力が強い) していくことでより強い増加をする関数が作れるように思えるけど
問題として理論が強くなればなるほどよりその理論の無矛盾性が不確かになっていくということがある
例えば 「関数であることが理論 X では証明不能だが Y では証明可能」 でも Y 自体が矛盾している (どんな文でも証明可能)
なら関数であることが確認されたとはいえない

>>98のプログラムを改造、バグ取しました。
大きさはどれくらいでしょうか。
よろしくお願いします。
int a=9<<9e9;
int *dup(int *x){if(!x)return x;int i;for(i=0;x[i]!=-1;)i++;int *y=new int[i+1];while(i>=0){y[i]=x[i];i--;}return y;}
bool next(int *x){if(!x)return false;int i;for(i=0;x[i]==0;i++)x[i]=a;if(x[i]==-1)return false;x[i]--;return true;}
int *maxIntA(){int i,*x;x=new int[a+1];for(i=0;i<a;i++)x[i]=a;x[a]=-1;return x;}
struct A{int *t;int *x;A *list;};
struct A S={0,0,0};
A dup(A x){A y;y.t=dup(x.t);y.x=dup(x.x);if(!x.list){y.list=0;return y;}int i;for(i=0;x.list[i].t!=0;)i++;y.list=new A[i+1];while(i>=0){y.list[i]=dup(x.list[i]);i--;}return y;}
A maxA(A x){A y;y.t=maxIntA();y.x=dup(x.x);if(!next(y.x)){y.x=0;y.list=0;return y;}y.list=new A[a+1];int i;for(i=0;i<a;i++)y.list[i]=maxA(y);y.list[a]=S;return y;}
A maxA(){A x;x.t=maxIntA();x.x=maxIntA();x.list=new A[a+1];int i;for(i=0;i<a;i++)x.list[i]=maxA(x);x.list[a]=S;return x;}
bool next(A &x){if(!x.t)return true;if(!x.list)return next(x.t);int i;for(i=0;!next(x.list[i]);i++)x.list[i]=maxA(x);if(!x.list[i].t)return next(x.t);return true;}
void f(A x){a<<=a<<a;if(!next(x))return;A y=maxA();while(next(y)){A z=dup(x);f(z);}}
int main(){A x=maxA();f(x);return a;}

basic言語で巨大数を作ってみたので上げてみる。
1行目で配列を無限に宣言してるとこが変だろうけど気にしないでくれ。

dim A(∞):B=9
for C=0 to 9
for D=0 to B
A(D)=D
next
for E=B to 0 step -1
B=B*B
for F=0 to E
if A(E-F)<A(E) or A(E)=0 then G=F:F=E
next
for H=1 to B*G
A(E)=A(E-G):E=E+1
next
next
next
print B

急増加関数ε_0ぐらいの増加を予想している。

それともう一つ、上の拡張版の数についても上げてみる。

dim A(∞):dim B(∞):C=9
for D=0 to 9
for E=0 to C
A(E)=E:B(E)=E
next
for F=C to 0 step -1
C=C*C
if B(F)=0 then G=C else G=0
for H=0 to G
if A(F-H)<A(F) or A(F)=0 then I=H:H=G
next
for J=1 to G*I
A(F)=A(F-I):B(F)=B(F-I):F=F+1
next
G=C-G
for K=1 to G
if A(F-K)<A(F) and B(F-K)<B(F) then L=A(F)-A(F-K):M=K:K=G
next
for N=1 to G*M
A(F-M)+L:B(F)=B(F-M):F=F+1
next
next
next
print C

致命的なエラーが無ければ多分、急増加関数ψ(Ω_ω)位の
増加をすると予想する。

訂正

dim A(∞):dim B(∞):C=9
for D=0 to 9
for E=0 to C
A(E)=E:B(E)=E
next
for F=C to 0 step -1
C=C*C
if B(F)=0 then G=C else G=0
for H=0 to G
if A(F-H)<A(F) or A(F)=0 then I=H:H=G
next
for J=1 to G*I
A(F)=A(F-I):B(F)=B(F-I):F=F+1
next
G=C-G
for K=1 to G
if A(F-K)<A(F) and B(F-K)<B(F) then L=A(F)-A(F-K):M=K:K=G
next
for N=1 to G*M
A(F)=A(F-M)+L:B(F)=B(F-M):F=F+1
next
next
next
print C

>>109
for E=B to 0 step -1 のループの中に、E=E+1 が入っているけど、計算はいつ終わるの？

>>112
A(E)=0 の時、E=E+1 は無視されます。ですのでA(0)〜A(E)の値が全て0の時、
Eの値が一つ減っていって、for E=B to 0 step -1のループを抜けることに
なります。その上でD=9だと計算終了、そうでなければ for E=0 to B から
やり直しとなります。

for〜nextのループは、stepが正の数の時、変数の値がtoの後の値より大きい
とループ内は無視され、逆に負の数の時は、変数の値よりtoの後の値が
大きいと無視されます。ついでにstepが0の時、変数の値よりtoの後の値が
大きいと無限ループになり、等しいまたは逆の時は無視されます。

E=E+1が無視されることについて詳しく言うと、
stepを省略したfor〜nextは、step 1の時のfor〜nextと同じ働きを
しますので、for F=0 to E のループで、もし A(E)=0 の時、Gに0
が代入され、その後の for H=1 to B*G でtoの後の値が0になり、
変数Hの値が１、stepの値が正の数なのでループ内が無視される
ということです。

>>113
訂正

三行目、for E=0 to B → for D=0 to B

>>113
もう一つ訂正

E=E+1が無視されることについて詳しく言うと、
stepを省略したfor〜nextは、step 1の時のfor〜nextと同じ働きを
します。for F=0 to E のループで、もし A(E)=0 の時、Gに0
が代入さるので、その後の for H=1 to B*G でtoの後の値が0になり、
変数Hの値が１、stepの値が正の数なのでループ内が無視される
ということになります。


というか所々日本語変だな...

おまけ

basic言語でグラハム数

dim Arrow(∞):X=4
for Nest=1 to 64
Arrow(1)=X:G=3:Last=1
*Main
if Last=0 then goto *Break
if Arrow(Last)=0 then G=3*G:Last=Last-1:goto *Main
Arrow(Last)=Arrow(Last)-1
for Copy=3 to G
Last=Last+1:Arrow(Last)=Arrow(Last-1)
next
G=3
goto *Main
*Break
X=G
next
print G

>>113
stepが0で変数の値とtoの後の値が等しいとき、basicだと無限ループに
なるんだった...訂正します。

>>113
> A(0)〜A(E)の値が全て0の時
いつ、そんな時が来るの？
最初に A(0)=0,A(1)=1,…,A(9)=9 と代入して、
次に for H=1 to B*G のループで
A(9)=A(10)=…A(89)=8
と代入して、代入が終わると E=89 になって、Eのループを
繰り返す時にはEの値が88になっている。
結局、A(E)=A(E-G) が実行される時の E の値は、どんどん
大きくなるだけだから、A(1)〜A(8) の値が更新されることは
ないように見えるんだけど。

今更だけど、チェーン表記を拡張してみた
a→a→a→a＝a→（４）
これによりグラハム数組チェーンが可能になりました
a→（G）
そして
a→（a→a→a→a)=a→（a→(4))=a→（２，４）
ここで例をあげると
３→３→３→３＝３→（４）
１番目の数字はベースとなり
２番目の数字はベースを含む組の数になります
これは同じ数字のチェーンでしか使えませんが
チェーンのレベルをはるかに超えています
これを爆発チェーン表記と名づけます

CG関数と比較すると、CG(n)=n→(n) だよね。
a→（m，n）の一般的な定義はどうなるの？
というか、拡張チェーン表記の方がずっと爆発していると思う。

>>120
では説明します、
()のなかは組数です
つまり（４）とすれば４つ組チェーンになります
よって（G)にするとグラハム数個のチェーンになります
そして（３→３→３→３）は３→３→３→３個まで伸びたチェーンです
これは表記不能ですよね？
でも省略できますよね（）の中も
（３→（４））とゆうふうに
そして
３→（３→（４））とするとベースを含め３が２つありますよね
よって３→（２，４)としたんですがこれは大きな間違いですね
３→（１，４）としたほうが正しいですねベースを含まないで
全く変わってしまいますから
では３→（２，４）を計算してみます
３→（３→３→（４））＝３→(３＾３→（４））＝３→（２７→（４））
＝３→（２７→２７→２７→２７）になります
これはどうゆう数か分かりますよね？
２７→２７→２７→２７個までのびたチェーンとゆうことになります
これでも爆発してないですか？

→→？

>>122
鋭いですね、これは拡張チェーン表記にも適用できます
例題
10（→5）10（→5)10（→5）10＝10(→5)（４）
10(→5)(7→7→7→7)=10(→5)(7→（４））＝10(→5)(1,4)
10(→5)(2,4)=10(→5)(7^7→（４））＝10(→5)(7^7→7^7→7^7→7^7)
ってなります

>>121
計算例の前に定義がほしいんだけど、
a→（m，n）= a→（ (a→(m)) → (n) ）
でオッケー？

論理ボムのアルゴリズム検証スレッド。

どこから7が出て来た

>>118
>> A(0)〜A(E)の値が全て0の時
Eの値が1、A(0)、A(1)の値がそれぞれ0、1で、 Eのループを
１回繰り返した時です。

>Eの値が88になっている。
代入が終わった後に E=E+1 の処理があるので、その地点でEの値は90、
Eのループを繰り返すときには、Eの値は89になります。

>結局、A(E)=A(E-G) が実行される時の E の値は〜
結果的に言えば、E=E+1が処理される回数を超えてEの値がループEによって
減らされて行くので、Eのループ内でEの値が0〜8に必ずなります。
その時々にA(0)〜A(8)の値が更新されるはずなので、それでも更新されない
ように見えるのであれば多分、コード自体が間違っているはずなので
修正してみます。
なお、>>109のコードを作る上で参考にしたものは、順序数ε_0、
ヒドラゲーム、ふぃっしゅ数バージョン5などです。
Eのループ内で、Eが増える値よりも減る値の方が大きくなるのは、
特にふぃっしゅ数バージョン5を参考にすればより理解できると
思います。

>>119
サラダ数と同様にサラダチェーン表記と名付けた方がしっくりくる。

>>127
> 代入が終わった後に E=E+1 の処理があるので、その地点でEの値は90、
> Eのループを繰り返すときには、Eの値は89になります。
そこは、その通りだね。

> 結果的に言えば、E=E+1が処理される回数を超えてEの値がループEによって
> 減らされて行くので、Eのループ内でEの値が0〜8に必ずなります。
> Eのループ内で、Eが増える値よりも減る値の方が大きくなるのは、

意味が分からない。「Eのループ内」ということであれば、Eが減るのは
最初の１回だけ。Eが増えるのはB*G回だから、「Eが増える値よりも減る値の
方が大きくなる」のは、G=0の時だけ。だから、いつループが終わるのかと
聞いたら、それはA(0)〜A(E)=0となったとき、と言われた。でも、そういう
時はA(1)〜A(8)が更新されない限り来ない。A(1)〜A(8)が更新されるためには
Eが減らないとならないが、G>0であればEの値はどんどん増えていってしまう。
A(1)〜A(8)が更新されるときと、G=0になるとき、どっちが先に来るの？
どちらの条件も他方に依存している以上、永遠にその時は来ないよ。

> 順序数ε_0、ヒドラゲーム、ふぃっしゅ数バージョン5などです。

それを言うのであれば、きちんと順序数と対応づけて説明してくfれ。

>>124
では定義行きます
１、１番目の数字はベースです
２、この表記はチェーンが同じ数字の時のみ適用できます
３、（）の中は１変数のときのみベースを含み、２変数以上はベースを含まないものとします
これにより（）の中は任意の数字を入れることができます
４()の後ろは任意の数字を入れることができるものとし、もし同じ数字が続くならそこにも適用できるものとします
５()の中の（）もおなじように適用できます
６、（）の中の１は最初の１のみ省略できないものとします

では数式いきます
1,a→（n)=a→a→a→・・・→a n個のa（拡張チェーン表記と(→２）と一致）
2,a→（ｂ→ｂ→・・・・→ｂ→ｂ）＝a→（ｂ→（ｎ））＝a→（１，ｎ）=a→（ｎ個のｂ）
3,a→（2,n)=a→（ｂ→ｂ→（n）)＝a→（ｂ＾ｂ→（ｎ））＝a→（ｎ個のｂ＾ｂ）
4,a→（3,n)=a→（ｂ→ｂ→ｂ→（ｎ））＝a→（ｂ（↑＾ｂ）ｂ→（ｎ））＝a→（ｎ個のｂ（↑＾ｂ）ｂ）
5,a→（m,n)=a→（（ｂ→（ｍ））→（ｎ））ただしｍ＞３

定義3から5で、bはどこから出てくるの？

プログラムと順序数の対応ってどうやってるの？

このループの計算でωレベルになるとか、ここまで計算が進むとω^2レベルになるとか。

いきなりε_0だと言っても分からないので、まずはここまででω^ωレベルとか、
ここまででω^ω^ωレベル、といった説明が必要。巨大数の説明は、たいてい
そのようにされている。

>>129
>意味が分からない。
説明が変でしたね。それと、少し間違えていました。
Eのループ処理全体でE=E+1が処理された回数よりもループEが
ループされた回数の方が9だけ大きくなったときにEの値が8に、
次に9＋8だけ大きくなったときはEの値は7に、というふうになります。

>A(1)〜A(8)が更新されるときと、G=0になるとき、どっちが先に来るの？
G=0になる方が先です。

>きちんと順序数と対応づけて説明してくれ。
>>109のコードで説明すると余りにも大規模になるので、代わりのコードで
説明します。

dim A(∞):B=2
for D=0 to B
A(D)=D
next
for E=B to 0 step -1
for F=0 to E
if A(E-F)<A(E) or A(E)=0 then G=F:F=E
next
for H=1 to B*G
A(E)=A(E-G):E=E+1
next
next
print B

まず、配列Aの値はA(0)から順に
0,1,2
となり順序数ω^ωに対応します。

次に、ループFの処理でGは1、ループHの処理でEは4、配列Aは
0,1,1,1
となり順序数ω^3に対応します。
その後ループEの繰り返しによりEは3になります。
これがループEが一回ループされた時の処理になります。
この地点でループEがループされた回数は1回、E=E+1が処理された回数は2回です。
次にまたループEをループすると、配列Aは
0,1,1,0,1,1,0,1,1
となり順序数ω^2*3に対応します。
E=E+1が処理された回数は8回、ループEがループされた回数は2回、Eは8です。

ここからは、ループEが一回ループされた時の結果を
次のように省略します。

配列Aの値
[対応する順序数][ループEがループされた回数、E=E+1が処理された回数、Eの値]

0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1
[ω^2*2+ω*3][3,12,11]

0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0
[ω^2*2+ω*2+3][4,14,12]

この地点でGが0になる時が来ます。

0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,0,0
[ω^2*2+ω*2+2][5,14,11]

0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,0
[ω^2*2+ω*2+1][6,14,10]

0,1,1,0,1,1,0,1,0,1
[ω^2*2+ω*2][7,14,9]

この先、ωが１つ減るごとに、ループされた回数が+4、E=E+1が処理された回数が+2、
Eの値が-2されるので、省略していきます。

0,1,1,0,1,1,0,1
[ω^2*2+ω][11,16,7]

0,1,1,0,1,1
[ω^2*2][15,18,5]

0,1,1,0,1,0,1,0,1
[ω^2+ω*3][16,22,8]

0,1,1,0,1,0,1
[ω^2+ω*2][20,24,6]

0,1,1,0,1
[ω^2+ω][24,26,4]

0,1,1
[ω^2][28,28,2]

0,1,0,1,0,1
[ω*3][28,32,5]

0,1,0,1
[ω*2][32,32,3]

0,1
[ω][36,34,1]

ここでEの値ががループEの処理が始まる前のBよりも
1小さくなります。

0,0,0
[3][37,36,2]

ここでA(0)〜A(E)=0となります。

0,0
[2][38,36,1]

0
[1][39,36,0]


なお、0,1,2の列の最後に0が付くと、ω^ω+1
1が付くと、ω^(ω+1)
2が付くと、ω^(ω*ω)
3が付くと、ω^(ω^ω)
3,4が付くと、ω^(ω^(ω^ω))
というふうになります。
とりあえず説明は以上です。

付け足しです。
>>109のコードでループCを1回ループして得られるBの値はだいたい
ω^^9くらいの大きさです。

なるほど、順序数の下降列になっているね。
for H=1 to B*G
A(E)=A(E-G):E=E+1
next
のループは、ヒドラの首をカットして、A(E)=A(E-G) でコピーしているわけか。
Gがヒドラの首の長さで、Bが増える首の数。
ω^ω以上の順序数は、ヒドラの首をカットすると
0,1,2,1 : ω^(ω+1) →　0,1,2,0,1,2,0,1,2 : (ω^ω)*3
0,1,2,2 : ω^(ω*ω) →　0,1,2,1,2,1,2, : ω^(ω*3)
0,1,2,3 : ω^(ω^ω) →　0,1,2,2,2 : ω^(ω^3)
0,1,2,3,4 : ω^(ω^(ω^ω))　→　0,1,2,3,3,3 : ω^(ω^(ω^3))
という感じで順序数が下降すると。
これ、面白いね。

ｍ(~ω^；)ｍ

こうかな
0,1,2,3,4,5 : ω^ω^ω^ω^ω
0,1,2,3,4,4 : ω^ω^ω^ω^2
0,1,2,3,4,3 : ω^ω^ω^(ω+1)
0,1,2,3,4,2 : ω^ω^(ω^ω+1)
0,1,2,3,4,1 : ω^(ω^ω^ω+1)
0,1,2,3,4,0 : ω^ω^ω^ω+1

どうしても顔がいっぱい並んでるように見える

>>131
ｂは任意の数字を入れる事ができると言うことです
なぜかと言うと括弧のなかはチェーンの長さレベルそのものを伸ばす操作なんです
つまり（ｎ）と言うのはチェーンの長さそのものなんです
ｎ＝１０、a＝３として
３→３→３→３→３→３→３→３→３→３
３→（１０)
どっちがすっきりしてますか？断然、下ですよね
さらに定義３により括弧のなかは１変数の時はベースつまり１番めの数字を含む
と言うのは、もしベースを含まないとすると長さレベルが１つ下がるからです
９組と１０組はえらい違いですよね、
それで次の２変数でベースを含まないと言うのは
自分は１１９で致命的なミスを犯してました
ベースを含むとこれが出来なくなってしまう
とくに上みたいにa=3のとき
３→（６→６→６→６→６）
あきらかに矛盾しますよね、aが３と６になって２つも存在することになる
それを避けるためにｂなんです

>>145
a→（2,n)=a→（ｂ→ｂ→（n）)
この b に任意の数字が入るというのであれば、
a→（2,n) は a→（2→2→（n）) でもあり a→（3→3→（n）) でもあり
a→（10→10→（n）) でもあり、一意に値が定まらないので、
a→（2,n) は一つの数として定義されない。
よって、サラダ数未満の未定義数。終了。

いや、任意の数を入れられるじゃおかしいだろ。
数学的に厳密に定義しろよってことじゃね。

ω(ω^(ω^(ω^(^ω^)^ω)^ω)^ω)ω

七人ミサキ

ベースを含むとか含まないとかbが任意とかいうのは、
a→（m,n)=a→（（a→（ｍ））→（ｎ））
と定義すると
3→（3→3→3→3→3）　は　3→(1,5)と書けるが
３→（６→６→６→６→６）　を　→( , )で書くことができなくなってしまうので、
どっちも3→(1,5)と書けるように定義を緩くする工夫をしましたよという話なのかな

そりゃ、3→（3→3→3→3→3）と３→（６→６→６→６→６）の値は違うんだから、
どっちも3→(1,5)だなんてのは3→(1,5)の値が一意に定まらない。
3→(1,5)は1つの数を指定していないんだから、そもそも定義になっていない。

>>109 >>135-140
これ、面白いから後で Googology Wiki に紹介してみようかな。
0はルートノードに直接つくノードで、ノードが1つ上に延びる時には数字が1つ増える。
ノードをn個下がってから上に延びる時には、nを引いてから1を足す。
そうすることで、常に数字は（ルートノードからの高さ-1）を表す。
これで、ヒドラを数列に対応させることができるわけか。

>>111 についても、解説お願いします。

関数作ったので大きさを評価してください
http://i.imgur.com/R6xd5q7.png

>>130
君、弱点教えてやるよ
まず定義が支離滅裂、
なってねえぞ
２番目の数字の役目はそもそも、１番目と同じベースだぞ
a→ｂ→ｃはタワーと一致するんだ
a（↑＾ｃ）ｂ
なのにだｂの役目を書き換えてしまっているではないか
チェーンを挟むからややこしくなるだよ
a(m)=a→a・・・→a
こうすればもっとすっきりしてるじゃないかね
それでｍは括弧の前のaが圧縮されたチェーンの長さですって定義すれば
１変数で可能じゃねえか
それでこうすればチェーンレベルまで伸びているって解かるよな
a(n(m))
ここでnにちゃんと役目をあたえないとだめだぞ
これで表記を
a(m)→b(m)→c(m)とすれば解かりやすくないか
こうゆうことだろうが
もっと勉強してからここに来い

>>151
>>109のコードについては紹介してくれて構いません。
では、>>111のコードについても解説していきます。

はじめに、ループDを一回ループした時に得られるCの大きさはψ(Ω_9)
くらいだと予想しています。

それと、配列Aと配列Bの値と対応する順序数などを次のように表すことにします。
(A(0),B(0))(A(1),B(0))(A(2),B(2))...
[対応する順序数][ループFがループされた回数]

ε_0未満は次のように表せます

(0,0)
[1]
(0,0)(1,0)
[ω]
(0,0)(1,0)(2,0)
[ω^ω]
(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)
[ω^(ω^ω)]
(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)
[ω^(ω^(ω^ω))]

そしてε_0は次のように表します。
(0,0)(1,1)
[ε_0]

解説を始める前に、ここからは順序数を次のように
表したりするので確認してください。
1→ψ(0)
ω→ψ(1)
ω^n→ψ(n)
ε_0→ψ(Ω)
ε_n→ψ(Ω*n)
ε_ω→ψ(Ω*ω)→ψ(ψ1(0)*ω)→ψ(ψ1(1))
φ_2(0)→ψ(ψ1(ψ1(0)))
φ_n(0)→ψ(ψ1(ψ1(0)*n))
φ_ω(0)→ψ(ψ1(ψ1(1)))
Γ_0→ψ(ψ1(ψ1(ψ1(0))))
ψ(ε_(Ω+1))→ψ(Ω_1)→ψ(ψ1(ψ2(0)))

それと>>111の代わりのコードも用意しておきます。

dim A(∞):dim B(∞):C=2
for E=0 to C
A(E)=E:B(E)=E
next
for F=C to 0 step -1
if B(F)=0 then G=1 else G=0
for H=0 to F*G
if A(F-H)<A(F) or A(F)=0 then I=H:H=F*G
next
for J=1 to C*G*I
A(F)=A(F-I):B(F)=B(F-I):F=F+1
next
G=1-G
for K=1 to F*G
if A(F-K)<A(F) and B(F-K)<B(F) then L=A(F)-A(F-K):M=K:K=F*G
next
for N=1 to C*G*M
A(F)=A(F-M)+L:B(F)=B(F-M):F=F+1
next
next
print C

ではまず、ループEの処理が終わった地点で配列A・Bの値と
対応する順序数は

(0,0)(1,1)(2,2)
[ψ(Ω_1)][0]

というふうになります。
次からはループFをループした結果のみをいくつか書いていきます。

(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)
[ψ(ψ1(ψ1(ψ1(0))))][1]

(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,0)(7,1)(8,1)
[ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ1(0))))))][2]

(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,0)(7,1)(8,0)(9,1)(10,0)(11,1)
[ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ(ψ1(ψ(ψ1(0)))))))))][3]

(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,0)(7,1)(8,0)(9,1)(10,0)(11,0)(12,0)
[ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ(ψ1(ω^ω))))))))][4]

(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,0)(7,1)(8,0)(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(11,0)
[ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ(ψ1(ω^3))))))))][5]

ここからは長くなるので配列Aの値が8以下のカッコは省略します。

...(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)
[ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ(ψ1(ω^2*3))))))))][6]

...(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)
[ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ(ψ1(ω^2*2+ω*3))))))))][7]

...(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(10,0)(10,0)
[ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ(ψ1(ω^2*2+ω*2+3))))))))][8]

とても長くなるので改行します

...(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(10,0)
(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(10,0)
(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(10,0)
[ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ1(ψ(ψ1(ψ(ψ1(ω^2*2+ω*2+2)*3)))))))][9]

これ以上続けるとカッコの数が何千何万と増えていってしまうので
ひとまずここまでとします。

なお、(0,0)(1,1)(2,2)の列に
(0,0)を付けると、ψ(Ω_1)+1
(1,0)を付けると、ψ(Ω_1+1)
(2,0)を付けると、ψ(ψ1(ψ2(0)+1))
(3,0)を付けると、ψ(ψ1(ψ2(1)))
(3,0)(4,0)を付けると、ψ(ψ1(ψ2(ω)))
(3,0)(4,1)を付けると、ψ(ψ1(ψ2(ε_0)))=ψ(ψ1(ψ2(ψ1(ψ2(0))))
(2,3)を付けると、ψ(ψ1(ψ2(ψ2(0))))
(3,3)を付けると、ψ(ψ1(ψ2(ψ3(0))))
(3,3)(4,4)を付けると、ψ(ψ1(ψ2(ψ3(0))))
というふうになると思います。

説明不足な気もしますが、とりあえず以上です。

>>159
>(3,3)(4,4)を付けると、ψ(ψ1(ψ2(ψ3(0))))

訂正
(3,3)(4,4)を付けると、ψ(ψ1(ψ2(ψ3(ψ4(0)))))

>>154->>160
>>111 のプログラムの解説、ありがとうございます。
少しずつ理解していきたいと思います。

>>109 のプログラムは、Googology Wiki にアップしました。
http://googology.wikia.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/A_program_of_Kirby-Paris_hydra
何かおかしなところがあれば、海外のグーゴロジスト達が指摘して来ると思います。
まずは、どんな反応があるか（あるいは反応がないか）様子を見ようと思います。

頃合いを見て、>>111 のプログラムと順序数との対応も Googology Wiki にアップ
しようと思います。彼らが見ておかしなところがなければ、大丈夫だろうと思います。

早速コメントが来た。



That are just 157 non-whitespace characters, so we have a lower bound C(157) >f_ε_0+1(10).
(Here is C(n) the largest number using C and n non-whitespace characters, like in Bignum Bakeoff.)

スペースを除いてたった157文字で、f_{ε_0+1}(10) が書けたとは。

I hadn't expect that such bound would be proven, so tell them that it is great!

こんな少ない文字数でできるとは思わなかった。これはすごいとこのスレッドの
人達に伝えてくれ！

And it can probably be compressed, like it has been done with loader's program.

文字数を少なくしようとすれば、もっと短くすることもできるだろうけど。

>>161
アップありがとうございます！嬉しいです！
後、>>111のコードの解説に付け加えたいことがあるので
もう少し待っててください。

では、始めます。

>>111の代わりのコードを少し変更します(上から1,2行目)

dim A(∞):dim B(∞):C=1
for E=0 to 2
A(E)=E:B(E)=E
next
for F=C to 0 step -1
if B(F)=0 then G=1 else G=0
for H=0 to F*G
if A(F-H)<A(F) or A(F)=0 then I=H:H=F*G
next
for J=1 to C*G*I
A(F)=A(F-I):B(F)=B(F-I):F=F+1
next
G=1-G
for K=1 to F*G
if A(F-K)<A(F) and B(F-K)<B(F) then L=A(F)-A(F-K):M=K:K=F*G
next
for N=1 to C*G*M
A(F)=A(F-M)+L:B(F)=B(F-M):F=F+1
next
next
print C

そして、ループEの処理が終わった地点での配列A・Bの値と
対応する順序数は

(0,0)(1,1)(2,2)
[ψ(Ω_1)][0]

と、なります。
その次のループFをループした結果が、さっきのと変わって
くるので確認してください。

右はじのカッコのBの値が0より大きい時、
それよりも左のカッコをコピーした際、
コピーして出来たカッコのAの値が変化を起こします。
なお、コピーする範囲は右はじカッコの
A・Bの値よりも小さいA・Bの値を持つカッコまでです。

(0,0)(1,1)(2,1)
[ψ(ψ1(ψ1(0)))][1]

(0,0)(1,1)(2,0)(3,1)
[ψ(ψ1(ψ(ψ1(0))))][2]

(0,0)(1,1)(2,0)(3,0)
[ψ(ψ1(ω))][3]

(0,0)(1,1)(2,0)(2,0)
[ψ(ψ1(2))][4]

右はじのカッコの値が0の時、
それよりも左のカッコをコピーする際、
右はじカッコのAの値よりも小さいAの値をもつカッコであれば、
たとえBの値がなんであろうと、コピーすることができます。

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(2,0)
[ψ(ψ1(1)*2)][4]

なお、A<Bとなるような二組の値をもつカッコは
存在しません。

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,1)
[ψ(ψ1(1)+ψ1(0)*2)][5]

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(3,0)(2,1)(2,1)
[ψ(ψ1(1)+ψ1(0)+ψ(ψ1(1)+ψ1(0)))][6]

これも続けていくと何千何万とカッコが増えていくと思うので
とりあえずここまでとします。

後、(0,0)(1,1)(2,2)の列にカッコを付けて対応する順序数を
示すところは、特に変えることはないのでこのままで。

最後に>>111のコードで、致命的なエラーが出るリスクを下げるため
少し修正して上げなおします。

dim A(∞):dim B(∞):C=9
for D=0 to 9
for E=0 to C
A(E)=E:B(E)=E
next
for F=C to 0 step -1
C=C*C
if B(F)=0 then G=1 else G=0
for H=0 to F*G
if A(F-H)<A(F) or A(F)=0 then I=H:H=F*G
next
for J=1 to C*G*I
A(F)=A(F-I):B(F)=B(F-I):F=F+1
next
G=1-G
for K=1 to F*G
if A(F-K)<A(F) and B(F-K)<B(F) then L=A(F)-A(F-K):M=K:K=F*G
next
for N=1 to C*G*M
A(F)=A(F-M)+L:B(F)=B(F-M):F=F+1
next
next
next
print C

説明は以上です。

>>166

>(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(3,0)(2,1)(2,1)
>[ψ(ψ1(1)+ψ1(0)+ψ(ψ1(1)+ψ1(0)))][6]

間違えてた...もっと事前に確認しておくべきだったな...

訂正

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,0)(2,1)(3,0)(2,1)
[ψ(ψ1(1)+ψ1(0)+ψ(ψ1(1)+ψ1(0)))][6]

>>164の代わりのコードも訂正

上から5行目の
>for F=C to 0 step -1
が
for F=2 to 0 step -1
になります。

>>155
使われている順序数崩壊関数がどのシステムなのかよく分からない。
http://googology.wikia.com/wiki/Ordinal_collapsing_function
ここには、多くの順序数崩壊関数があって、混乱しやすいと書かれている。

たとえばWikipediaだと
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_collapsing_function
ψ(0) = ε_0
となるシステムと、less powerful な
ψ(0) = ω^ω
となるシステムがあるけど、
ψ(0) = 1
となるシステムは、どこに書かれているシステムなのか、参照先を教えて下さい。

ヒドラのプログラム、ω^ω^ω（FGHのω^ω）を、b=3 で固定して計算しました。

http://gyafun.jp/ln/archive/SimpleHydra/ww.txt

最初の注釈を除いて、10244 行です。ダウンロードしてから開く方がいいかも。

>>171
計算がおかしかった。なぜか、途中で、b=0 になっていた。

配列の確保が足りなくて、計算が途中で終わってしまっていた。
配列を確保して計算したら、ω^ωの計算は終わらないので、ω^2+1 で計算しなおした。
http://gyafun.jp/ln/archive/SimpleHydra/w2+1.txt

>>170
ごめんなさい。ψ(0)=1となるシステムは、どこかで見たような気が
していましたが、参照先が見当たらないので、自分のオリジナルということ
になってしまいます。
ですので、wikipediaを参照にψ(0)=ε_0となるシステムで、
とりあえず>>159,>>165,>>166,>>168について、もう一度対応する
順序数を書いていきたいと思います。ご指摘して下さってありがとう
ございました。

では、始めます。

順序数の表し方の変更点です。確認をお願いします。
ε_0→ψ(0)
ε_n→ψ(n)
ζ_0=φ_2(0)→ψ(Ω)
φ_2(n)→ψ(Ω*n)
φ_3(0)→ψ(Ω^2)
φ_ω(0)→ψ(Ω^ω)
Γ_0→ψ(Ω^Ω)
ψ(ε_(Ω+1))→ψ(ψ1(0))
ψ(ζ_(Ω+1))→ψ(ψ1(Ω_2))=ψ(Ω_2)

>>167のコードで、ループFが一回目のループを終えたときに得られる
Cの値の大きさはψ(ψ1(ψ2(ψ3(ψ4(ψ5(ψ6(ψ7(ψ8(0)))))))))
に、なると思います。

>>164のコードでループFの処理が終わった地点で
次のようになると思います。

(0,0)(1,1)(2,2)
[ψ(ψ1(0))][0]

では、ループFをループした結果を書いていきます。

(0,0)(1,1)(2,1)
[ψ(Ω)][1]

(0,0)(1,1)(2,0)(3,1)
[ψ(ψ(0))][2]

(0,0)(1,1)(2,0)(3,0)
[ψ(ω^ω)][3]

(0,0)(1,1)(2,0)(2,0)
[ψ(ω^2)][4]

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(2,0)
[ψ(ω*2)][5]

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,1)
[ψ(ω+2)][6]

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,0)(2,1)(3,0)(2,1)
[ψ(ω+1)*ψ(ω+1)][7]

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)(4,0)
[ψ(ω+1)*ψ(ω)*ψ(ω)][8]

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)(3,1)
[ψ(ω+1)*ψ(ω)*ψ(1)][9]

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)
[ψ(ω+1)*ψ(ω)*ψ(0)*ψ(0)][10]

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)
[ψ(ω+1)*ψ(ω)*ψ(0)*ω^ω][11]

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)
[ψ(ω+1)*ψ(ω)*ψ(0)*ω^2][12]

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)
[ψ(ω+1)*ψ(ω)*ψ(0)*ω*2][13]

(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)
[ψ(ω+1)*ψ(ω)*(ψ(0)*ω+ψ(0)*2)][14]

ここまでです。

なお、(0,0)(1,1)(2,2)の列に
(0,0)を付けると、ψ(ψ1(0))+1
(1,0)を付けると、ψ(ψ1(0))*ω
(2,0)を付けると、ψ(ψ1(0)*ω)
(3,0)を付けると、ψ(ψ1(ω))
(3,0)(4,0)を付けると、ψ(ψ1(ω^ω))
(3,0)(4,1)を付けると、ψ(ψ1(0))=ψ(ψ1(ψ(0)))
(3,1)を付けると、ψ(ψ1(Ω))
(3,2)を付けると、ψ(ψ1(Ω_2))
(3,3)を付けると、ψ(ψ1(ψ2(0)))
(3,3)(4,4)を付けると、ψ(ψ1(ψ2(ψ3(0))))
と、なります。

最後に
(0,0)(1,1)
[ε_0]

(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)
[ε_0^2]

(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)
[ε_0^ε_0]

(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)
[ε_0^(ε_0^2)]

(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)(4,0)(5,1)
[ε_0^(ε_0^ε_0)]

…

(0,0)(1,1)(1,1)
[ε_1]
と、なります。

説明は以上です。

追加です。
>>156のコードを使って示した順序数も書き直します。

(0,0)(1,1)(2,2)
[ψ(ψ1(0))][0]

(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)
[ψ(Ω^Ω)][1]

(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,0)(7,1)(8,1)
[ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(Ω)))][2]

(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,0)(7,1)(8,0)(9,1)(10,0)(11,1)
[ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(ψ(ψ(0)))))][3]

(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,0)(7,1)(8,0)(9,1)(10,0)(11,0)(12,0)
[ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(ψ(ω^(ω^ω)))))][4]

(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,0)(7,1)(8,0)(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(11,0)
[ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(ψ(ω^(ω^3)))))][5]

ここからは長くなるので配列Aの値が8以下のカッコは省略します。

...(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)
[ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(ψ(ω^(ω^2*3)))))][6]

...(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)
[ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(ψ(ω^(ω^2*3+ω*3)))))][7]

...(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(10,0)(10,0)
[ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(ψ(ω^(ω^2*3+ω*2+3)))))][8]

とても長くなるので改行します

...(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(10,0)
(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(10,0)
(9,1)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(11,0)(10,0)(10,0)
[ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(ψ(ω^(ω^2*3+ω*2+2)*3))))][8]

以上です。

>>181
>[ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(ψ(ω^(ω^2*3+ω*2+2)*3))))][8]

訂正
[ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(ψ(ω^(ω^2*3+ω*2+2)*3))))][9]

>>178
>(3,0)(4,1)を付けると、ψ(ψ1(0))=ψ(ψ1(ψ(0)))

訂正
>(3,0)(4,1)を付けると、ψ(ψ1(0))=ψ(ε_0)

?!
>>183
>>(3,0)(4,1)を付けると、ψ(ψ1(0))=ψ(ε_0)

訂正
(3,0)(4,1)を付けると、ψ(ψ1(ψ(0)))=ψ(ψ1(ε_0))

ややこしくてすいません...

>>175
> >>167のコードで、ループFが一回目のループを終えたときに得られる
> Cの値の大きさはψ(ψ1(ψ2(ψ3(ψ4(ψ5(ψ6(ψ7(ψ8(0)))))))))
> に、なると思います。

これは、ループFでなくてループDということ？

そして、ループDは f_{ψ(Ω_ω)}(n) を計算して、これを10回繰り返して
f_{ψ(Ω_ω)+1}(10) を計算している、ということですか？

それから、名前がないのは不便なので、

このアルゴリズムを「ペア数列システム」(pair sequence system)
>>167 のプログラムで出力される数を「ペア数列数」(pair sequence number)

と名付けるというのはいかがでしょう。

>>186
ご指摘ありがとうございます。
そうです。ループFではなくループDでした。訂正します。
それと、f_{ψ(Ω_ω)+1}(10) を計算しているということで
合っています。
なお、アルゴリズムと>>167のプログラムで出力される数の
名前については、「ペア数列システム」と「ペア数列数」で構いません。

ペア数列システムについて、Googology Wiki のブログに書きました。
http://googology.wikia.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Pair_sequence_system

>>188
お疲れ様です。そして、ありがとうございます。
英語が苦手で、翻訳サイトを使いながら読ませていただきましたが、
より具体的な内容で綺麗にまとめられていて、大変驚きました。
自分が作ったコードをこうして取り上げてくれて本当に嬉しいです。

話はかわりまして、>>167のコードと>>109のコードなどについてでです。
これまで作ったこの二つのコードは、より文字数を少なく、尚且つ
より大きな数を得られるような発見があれば、自由に改変してくれて
構いません。それと「ペア数列システム」などに関しては、自由に
使ってくれて結構です。その上でより巨大な数が得られたなら本望です。

最後に、>>167の拡張版についてです。ψ_I(0)以上の順序数に関して、いまいち
理解できていないので、まだ全然できてない上に、かなり難航すると思います。
もし完成したとなると、ふぃっしゅっしゅ氏の論文でも取り上げられている、
たろう氏が作った多変数C1を理解する手掛かりになるのでは、と考えています。
ですのでもし出来上がったならば、またこの場に投稿するかもしれません。
その時はまたよろしくお願いします。

というか、もっと勉強してからここに来ます。
手助けしてもらえたり、間違えを指摘してもらえたのは良かったけれど
なんというか自分の無力さを痛感しました。

>>192
巨大数研究Wikiの垢取って自分のスペースにアイデア等まとめていけばその場でレビューが入って
便利ですよ。

>>193
分かりました。今後はそのようにしてみます。

寿司虚空編、新作来た。64ページ。

巨大数関連は12ページしかない・・

しかし、一般向けのマンガでやるにしては、かなり踏み込んでいる

更新来たが分量あるな
しかもちゃんとストーリーになっててワロタw

「試合、最後まで観なくて良かったんですか？」
「おめえは、巨大数を最後まで計算すんのか？」
そうきたか w

BEAFやばすぎ、その実態がわかってきたから解説してみる
まず皆さんは配列表記わかるよね
でっ、ルービックキューブを連想してごらん
そう、数字のルービックキューブをジョナサン氏は作ったんだ
その表記の仕方は
｛３，３，３｝＆３これがトリアクルスと言う巨大数名だけど
これが最小なんだ
その最小のルービックキューブを更にルービックキューブ状に並べる
そして更にそれを並べるといった操作を繰り返すんだ
でもそれは１つの領域にしかすぎない
その１つの領域をルービックキューブ状に並べるとやばいよね
これを１つの空間としてさらにルービックキューブ状に並べる
そういった拡大を繰り返しているのがBEAFなんだ

>>4
>4 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/21(木) 19:27:24.63
> とりあえず, vector analysis から修得しようか.
>

狸

痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢

ルービックキューブってゆうけど本質的にはツリーと変わらないよね

>>258
狸

>258 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 13:51:50.67
> ※増田哲也：徳島JRで痴漢をして懲戒免職になった元数学准教授。
> 増田哲也は性犯罪者である。
>

痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
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逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢

>>202
いや、ツリーよりも上だよ
＆は配列次元演算子なんだ
しかもa＆ｂではないんだよ、ｂ＆aなんだ
つまり３が３↑↑↑３個並んでることになる、立方体の中でね
これが３のルービックキューブの実態なのだよ
ふぃっしゅ数バージョン５より大きいとされてるよ
巨大数研究WiKiではね
それが最小なんだ

トリアクルスはペンテーション配列で最小だけど、BEAF最小じゃない。

失礼、ｍ（_ _)ｍ間違いでした、トリアクルスは最小ではありませんでした
以下の図面はデュラトリと言う巨大数です

壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁
壁３，３，３壁３，３，３壁３，３，３壁
壁３，３，３壁３，３，３壁３，３，３壁
壁３，３，３壁３，３，３壁３，３，３壁
壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁
壁３，３，３壁３，３，３壁３，３，３壁
壁３，３，３壁３，３，３壁３，３，３壁
壁３，３，３壁３，３，３壁３，３，３壁
壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁
壁３，３，３壁３，３，３壁３，３，３壁
壁３，３，３壁３，３，３壁３，３，３壁
壁３，３，３壁３，３，３壁３，３，３壁
壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁壁

どうだろう、これがルービックキューブをルービックキューブ状に並べた形なのだ
これは２次元平面になるがこれでもけっこうな巨大数になるよね
でっ三次元になるとこの奥にさらに８層同じ形が広がっているのだ
そう次元が違うのである、ちなみに最小の数はこちら

３，３，３
３．３．３
３，３，３
この奥に２層広がっているのです

>>339
何も事情が理解出来ないくせに、適当な事をカキコしてシッタカする馬鹿。

ケケケ狸

>339 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 15:58:34.15
> 50代から60代にかけては、自殺の多い日本人の中でも、自殺率の
> 高い時期。経済的な理由が多い（70代以上になると、病気が理由になる）。
> 結局は、笹井同様に、今までの良い職場を失ってしまい、
> 先の短い人生に希望が持てなくなる時期でもある。
>
> 猫は、痴漢で首になった時もピンピンしてたし、今更これ以上に
> 生活が落ちることもないだろうし、２ちゃんでがんばって荒らしてくれｗ
> 昔を知るものとして、猫が生きてることを確認できるだけで私は嬉しい。
>

痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢

数字を並べるだけならツリーでもできるんだが。
なにがルービックキューブをツリーより強力にしてるんだろうか？

よく判らんが、３次元も３だってことを考えると
次の段階以降でｎ次元のｎのところに
莫大な数字が突っ込まれるのだろうか？

配列次元演算子とかレギオン記号配列とかでざくざくと強めている
やってることは、けっこうややこしい

とてつもなく二行目が見難いですが、そこそこ大きいと思います

f_0(x) = x @ x (@ : ハイパーx演算子)
f_m+1(x) = {f_m}^{f_m(x) @@ f_m(x)}(x) (@@ : ハイパーf_m(x)演算子, m = 0,1, 2 , ……）
Λ(x) = f_64(x)　また　λ = Λ(4)

二行目は関数　f_m(x)　の　f_m(x) @@ f_m(x)　回合成という意味です
Λ関数の増加速度及びλの大きさはどのぐらいになるのでしょうか
以前にも存在しうる簡単な定義ですので、もし存在するならば指摘してくださると嬉しいです。

>>211のΛ関数についてですが増加速度も何もΛ(0)でも大分大きいから速度はあまり変わらなさそうですね

あ、これ3変数アッカーマン関数様に書き換えれますね

f(0 , 0 , x) = f(x) = x @ x
f(m+1 , 0 , x) = f(m , f(x) @@ f(x) , x)
f(m , b+1 , x) = f(m , b , f(x))

こうなるんですかね？なんか自分の中で理解が深まったような気がします……
自決しました

ﾔｯﾀｰ

>自決しました

早まるな！

では２０６の続きいきます
ルービックキューブができるメカニズムを解説していきます
最小の数
３，３，３
３，３，３
３，３，３は
こう書きます３＾３＆３
これはｂ＆aなので２７＆３となり
２７変数の３配列が呼び出されます
これを
{3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3(2)3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3(2)3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3}とかきます
括弧の中の数字は
(1)は改行(２)は次の平面（３）はつぎの領域（４）は４次元空間へ(n)でn次元へ行くことを意味します
ではつぎのデュラトリいきます
デュラトリはこうかきます
{3,3(0,2)2}=3^6&amp;3=729&amp;3
729変数の３配列です
でっ次はトリラトリと言いますが
{3,3(0,3)2}=3^9＆３＝１９６８３＆３
と書きます

>>216
あらら文字化けしてますね
訂正します
３＾６＆３＝７２９＆３

ωになる寸前の自然数は

寸前とかないから。

10^12

1/3＝0.333333・・・
という表記が可能なら

・・・99999
という表記でω-1の自然数を表記したことにならないだろうか？

9が無限に続くなら∞じゃない?
0.999・・・＝1みたいに

>>221
いいけどそれ何か面白いことがあるのか？

>>221
p進距離なら
…1111111111(2進法)＝-1
だね

ω-1 が存在しないから、極限順序数なんだよ。

ぐう正論だな。

超現実数でよければ

放置されっぱなしの>>108をだれか評価してくだしあ

>>228
自分で評価できないならサラダプログラムと名付けてあげるよ

>>152
自分で評価してみて下さい
サラダ痛関数と改名したほうがよろしいのでは？

BEAFのミーミーミーロッカプーワ・ウンパはサラダ数ですので相手にしない方が無難ですよ

ω＜ω+1＜ω+2
だけど
ω＝∞
ω+1＝∞
ω+2＝∞
で正しいか？

∞の定義とωの定義を先に述べてもらおうか。

玉金と玉袋

それω＝ω+1 になっちゃうんじゃないの

#X＝∞
などと書くことがあるけど、これは「集合Xの濃度は無限である」の略記であって、＝は正式な意味での等号ではない。
だからこの＝について対称律や推移律が成り立つと期待して ω＝ω+1 を導いてはいけない。
正式に表記するなら #X≧aleph-0 とか。

無限大は状態であり数ではない。
-1のマイナス部分とか
√２のルート部分みたいなもの

マイナスはなんとなくわかるがルートは違うもののような気がする。

＞無限大は状態であり数ではない。
affinely extended real number とか考えてもいいのよ

状態を意味するものを｛｝の中身で表すと定義すると
｛-｝=-1
｛-｝=-2
とはなるが、その理屈から-1=-2とはならない。
{∞}=ω
{∞}=ω+1
だが、ω=ω+1ではない。

また珍妙な理論が出てきたなこりゃ

大きさのカテゴリー分けとでも言いたいのか

「-1」は「負という状態を意味するもの」じゃないのでその等号はおかしい

｛-1}=-
{-2}=-

{ω}=無限大
｛ω+1

途中でおくっちゃった。
要するにかっこ付ける方が逆じゃねって思った。

-1　∈　{-}
-2 ∈ {-}

ω　∈　{∞}
ω+1 ∈　{∞}

こっちのほうが俺の理解に近い。

ω以上の全ての順序数αにおいて
α→∞
ただし,ω未満のつまるところの自然数においては
n→∞
は成り立たない.
というイメージがある.
(自然数n)×(負の数単位-1)の任意の数βは
β→(0未満の数)
が成り立つ.
得に複素数なんかは0未満とか言わないものだったっけ...。

負の数単位⇔-1とも捉えられるか...。

任意の自然数nについて
3↑↑(n+1)＞10↑↑n
が成り立つことの正確な証明ってありますか？
いろいろ調べてみたけど小さい数を完全に無視するのばかりで
あまり納得できません

3↑↑(n+1)>(3^3)↑↑(n)=27↑↑(n)>10↑↑(n)
じゃいかんのか？

3↑↑(n+1)>(3^3)↑↑(n)
これが成り立つ理由がわかりません

ところで,ラヨ関数を理解する筋道だったアプローチとはどんなものでしょうか?
何方かラヨ関数を理解した人がおりましたらアドバイスをくれると有り難いです.

>>249
例えば,成り立つことの解説を一纏めに証明として与えるのは結構高度な知識が
必要だと思います.
しかも知性をもった人が現れるかは不明です.
もしアレでしたら自分自身で証明してみてはいかがでしょうか.
そして適当な記事にでもまとめてみるのもありだと思います.

数学的帰納法により3↑↑(n+1)>(3^3)↑↑(n)が成り立つことを示す。
n=1のとき3^(3^3)>(3^3)^3より成り立つ。
nがk以下のとき3↑↑(n+1)>(3^3)↑↑(n)が成り立つと仮定すると
n=k+1のとき3↑↑(k+2)=3^(3↑↑(k+1))>3^((3^3)↑↑(k))>3^(3↑↑(k))=3↑↑(k+1)
より成り立つ。
以上より題意は満たされた。

で、いーんじゃね。
間違ってたらごめん。

あら、思いっきり間違ってたわ。すまん。
思ってたより難しい。

>>231
ミーミーミーロッカプーワウンパがサラダ数？
あなたは全てを否定するんですね
ならば、今まで定義されていた全ての巨大数は
全てサラダ数と言う事になりますよ
そしてあなたはアメリカのジョナサン=バウワー氏を超えるんですよね
ならば定義して下さい
BEAFを超える超巨大表記を

>>256
解析の困難さ及び簡略化がなされていないのがサラダ数と呼ばれる要因です.
ある一定の評価基準を定めて巨大数を生み出そうとしている人は,
難解な算術により生み出される数は相手にしたくないのかもしれません.
巨大数wikiのフォラームにBEAFの解析についてのスレッドを作成してみましたので,
ご意見があればそちらへどうぞ.

フォーラムか,相変わらず誤字が多いのはご勘弁.

f( x ) の定義によってとんでもなく巨大な関数 F( x ) が何回も定義できる工程

以下定義

a, b, n, x = { 0 以上の整数 }
z = { 0 個以上の 0 以上の整数 }

f( x ) = { ( x＝0 → f( x ) ＞ 0 ) ∧　( f( x ) ＜ f( x+1 ) ) }

( a:n+x ) = ( a:( n+x ) )
( a, b, x ) = ( ( a, b ), x ) = ( a, ( b, x ) )
( a:0 ) = ( )
( a:1 ) = ( a )
( a:n+1 ) = ( a:n, a ) = ( a, a:n )
( a, b ):0 = ( )
( a, b ):n+1 = ( a, b ):n, a, b = a,b,( a,b ):n

G( 0:n, 0, f ) = f( 0 )
G( 0:n, a+1, f ) = f( G( 0:n, a, f ) )
G( z, b+1, 0:n+1, f ) = G( z, b, f( 0 ):n+1, f )
G( z, b+1, 0:n, a+1, f ) = G( z, b, G( z, b+1, 0:n, a, f ):n+1, f )

g( f, x ) = G( f( x ):f( x ), f )

f[ 0:n ]( x ) = g( f, x )
f[ 0:n, a+1 ]( x ) = g( f[ 0:n, a ], x )
f[ z, b+1, 0:n+1 ]( x ) = g( f[ z, b, x:n+1 ], x )
f[ z, b+1, 0:n, a+1 ]( x ) = g( f[ z, b+1, 0:n, a ], x )

F( 0 ) = f( 0 )
F( x+1 ) = g( f[ F( x ):F( x ) ], x )

ψ関数がやっと理解できた。
そろそろ2進数で順序数および関数を定義してみるのも面白いかもしれない。

>>260
2進数で順序数を定義するというのはよく分かりませんね.
2進数で順序数を定義するのは,例えば極限順序数ωの後続順序数を考える際に
2進数を必要としてみる意外,有意に広大な順序数を考えられるとは私は思えません.
2進数で関数を定義してみようというのは,良いアプローチだと思います.

ローダー数は,ビット列の合計を2進数に変換して数を求めることを根拠に,
512文字以内のC言語コードによって数が算出されるので,より大きな数を算出するように
一から考えてみるのも面白いかも知れません.

コンパイル環境に左右されまくるのが詰まらん

FGHは関数同士の大きさを比較するのにとても有用です.
例えば,BEAFをなぞらえて新たな関数を生み出すのは,巨大数研究においてどのような
意義があるのでしょうか.私は精々,簡略化による関数同士の比較のやりやすさに
貢献できるぐらいにしか,意義は無いと思います.

到達不可能基数って、今までここで挙げられてきた
どんな巨大数よりも大きいの？

大きいけど自然数じゃないからルール外になる。
基数ってのは数の一般化、到達不能基数よりでかい基数もたくさんある

>>152
遅ればせながら,痛関数は既に評価されていたようですね.とんだご無礼を.

ω^CK　以降の順序数ってまだ当分でてこなさそうだな。定義したところであまり需要がないし。
ただラヨ関数の評価が気になるところ。自明でないにしても、なにかしら収束列があるはずだし。

バシク行列はなかなか有意義だと思う。シンプルに巨大数を表現できるし、やってることがなんか新しい。いやそうでもない？

>>269
バシク行列の研究は,新しいことを考えていかないとその凄さを捉えきれない程,険しいです.
現状は,バシク行列の初歩的な部分のトリオ数列の解析について,研究中でございます.
詳しい経緯は以下の通り.

トリオ数列の解析
→少なくともψ(ψ_I(0))を超えることが確認されている
→ψ(ψ_I(0))以上の順序数は,研究者によって捉え方がまちまち
→解釈が難しいので新しい順序数表記υの開発
→もともとあった順序数表記ψとの比較のため,ψ(ψ_I(0))以上を独自に解釈
→υの厳密な定義及び,トリオ数列の解析を進めている

そしてψ(ψ_I(0))以上,特にψ(ψ_I_(I_(I_(...)))(0))を超える順序数を
はっきりさせることは,BEAFをより正確に解析できることに繋がると思います.

BEAFはサラダ数のなかでもいろいろと応用が効きそうな技を使ってるのでおいしいほうだと思います。
BEAFなのにサラダって、なんか変な感じだけど。

ラヨ関数より強い関数が将来できるとして、どんな関数ができるんだろうか。
神託機械ですら計算できないという時点で浅学な自分にはもう想像が追いつかない。
神託言語?　そんなものあったっけ?

よく考えたらオラクルに頼って関数を強化する方法自体、
ビジービーバー関数からラヨ関数までの(関)数を表現するのに既に使われているんだった。
ラヨ階層よりもさらに深いところを目指すには、もっと哲学的に深く掘り下げていかないとダメか。

>>272
>おいしいほうだと思います。
同意
テトレーション配列あたりで別の巨大数を考え始めたから,
全貌は把握していないけれど...。

ラヨ関数自体,その順序数はハッキリとされていない.道のりは険しい...。

俺はまったく理解できない

私自身,巨大数wikiの開拓も見据えて活動しているつもりですので.
研究者各位,どうぞごゆるりと.私は未熟者ですがね...。

ここは探索スレッドだから何でも良かったか...

ふぃっしゅ数 version6 を応用して集合と写像を組み合わせていってみたけどせいぜいφ(2,0,0)くらいの強さにしかならなかった。
ポジティブにとらえればけっこう精度の高い近似が得られるということだけど。

ドラッグと一緒でどんどん耐性がついていって、それまでの巨大数じゃ全然満足できなくなるというか、そんな感じのあれだ

クッキークリッカーを巨大数領域まで拡張しようとしたら
増加のしかたはどうなるんだろうか

お婆ちゃんのかわりにアッカーマン関数とかが買えるのか。
いいなそれ。

他にもオラクルを買ったり

指カーソルの代わりに矢印が

ヘブンリーチップに相当するものとは

テトレーションレベルでもPCの処理が追いつかねぇw

1TBの取りうるパターン数で1.4垓桁程度か

巨大数でドラゴンボールコピペをつくってみるのも乙なもんだ

私の桁数は５３万です

まぁ…小さい…

巨大数の神と言われたグーゴルより強いモーザー数でも歯が立たないグラハム数を
瞬殺したふぃっしゅ数バージョン1が...

経験値の成長補正が10→10→10→10乗とかいう
設定活かし切れなさそうな小説があった…
ここの住民が書いたんじゃないだろうなw

原始数列数、ペア数列数、トリオ数列数ときたら
次はクアトロ数列数かな？

そしてクインッテット、セプテット、オクテット、...

wikiaのψ関数の記事ってなんかおかしくないか

>>292
そこはカルテットでしょう.

わざわざそんな小難しい名前付けなくとも
原始数列数を1次数列数と言い換えて
2次数列数、3次数列数、4次数列数、.....、n次数列数てやっていけばいいだけでしょ

n重奏で名前をつけていくならペアはデュオが正しいんじゃないか、という疑問もわく。
わりとどうでもいいことだけど

ペア　ダブル　デュアル　デュオ
ツイン　コンビ　ド-　ジ-

まずf(x)を用意します
f(x)をn回繰り返します
f(x)をn回繰り返すことをn回繰り返します
f(x)をn回繰り返すことをn回繰り返すことをn回繰り返します
・・・
f(x)をn回繰り返すことをn回繰り返すことを・・・(n回繰り返し)・・・n回繰り返すことをn回繰り返すことをn回繰り返します

ｆ（ｘ）をｆ（ｘ-1）回繰り返します

多変数ウェブレン階層に対応するようにS変換のたぐいを改造

デフォルト：[x+1,s(1),s(2),s(3),...]
s(i)∈S(i)
s(1)f(x)=f^x(x)
s(i)^s(i)^...^s(i)^(n+1):s(i)^s(i)^...^s(i)^n*x　n=1,2,3,...
s(i)^s(i)^...^s(i)*(n+1):s(i)^s(i)^...^s(i)*n+x
s(i)^s(i)^...^s(i)^s(i):s(i)^s(i)^...^x
s(i)^s(i)^...^s(i)*s(i):s(i)^s(i)^...*x

S(2)[f,s(1),s(2),s(3)...]=s(2)[f,s(1),s(2),s(3),...]=[g,s2(1),s(2),s(3),...]
g:=s2(1)f
s2(1):=s(1)^^x

S(2)[f,s2(1),s2(2),s(3),...]=s2(2)[f,s2(1),s2(2),s(3),...]
以下同様

となると目指すはω次数列数

n 回繰り返すとかじゃなくて実数回繰り返してくれないか

ωは無限大とみなして良いの？
よく分からないや

ω・2次数列数
ω^2次数列数
ω^ω次数列数
ω^(ω・2)次数列数
ω^ω^2次数列数
ω^ω^ω次数列数
ω^ω^(ω・2)次数列数
ω^ω^ω^2次数列数
ω^ω^ω^ω次数列数

∞は無限大発散だけどωは収束値というふざけた仕様です

なんだよ全ての自然数より大きな最も小さい数って

全ての実数の個数と全ての順序数の個数はどちらが大きいのですか？

国語辞典で言えば
「い」で始まる言葉は、「あ」で始まるどの言葉よりも後ろにある。
特に「胃（い）」は、「あ」で始まるどの言葉よりも後ろにある言葉の中で、最初のものである。

というのと大体同じ。別にωは不可思議な概念でも何でもない。

なるほど、どんなに後付けで大きな自然数を提示してもωを超えられないって分けか

ということは全ての実数の個数も全ての順序数の個数もωを超えられないってことなんですね

釣り乙っすわ

うぇ、釣りかよ

おまえだよ、おまえ

お、おれか？

そう、おまえ

>>309
いつから実数の個数が有限個になったんだ

でも自然数の個数だって無限ですよね？

>>316
自然数　と　自然数全体の個数　くらい区別せえよ
最初から混乱して何も分かってないじゃないか

釣りだろどう考えても

「0から1ずつ増やしていけばいつかは辿り着く」が成り立たなくて、
それ以外はだいたい自然数と同じもんだと思えばいいんじゃないか

たしかに自然数全体の個数と全ての自然数の違いがわかりません
あれ？どんどん分けわからなくなってきた

とりあえず>>320はチューリングさんやカントールさんに掘ってもらうところから初めて出直すべきだな

釣りっぽいね

ωとは逆の自然数最大の数とかないの？

自然数の枠内に入れると
どうしてもその数＋1が出来るな

もし次の自然数が存在しない自然数を見つけたら、それが最大の自然数だよ

というか自然数とはそもそもなんなのか?
あるものは神が創りたもうた神聖な数で、無条件でこれを信じなければならない、と言ったような
ちょっと記憶が曖昧

最大の自然数というものを定義すると自然数のルールに従がわなくなるから自然数じゃないだろ

最大の自然数はみんなの心のなかにあるんだよ派

ないから

でかい方への点々表記で疑問。
・・・9999だと∞拡散になるので、大きさは∞という事になるが
考えてみればこれは・・・1111でも・・・2222でも∞って事なんだよな。
同じ∞なのに中の数値がそれぞれ違うという変な話。

でだ、・・・1111に+1したら・・・1112になるだけだが
・・・9999に+1したらどうなるのだろう？

100000・・・・・・・

∞とは発散を意味するととらえればいいのではないでしょうか。
この辺は哲学や言語学にもわたっている問題です。
発散で納得いかなければ順序数や基数としてとらえるのもありです。

ちなみに、1*0=0、2*0=0、3*0=0、
感覚では、どんな(有限の)数でも0をかければ0になるというのと同じだと考えれば、
納得いたふぁけるでしょうか。

ω*0はいくつになるんよ？

やだ！そんな汚いもの見せないでよ！

A＝lim_[n→∞] 999・・・{9がn個}・・・999

B＝999・・・{9がω個}・・・999

AとBはどっちが大きいのだろう

9並べて喜んでる奴まだ居たんだ

nが自然数ならn<ωだからA<Bかな

なるほどnが自然数の時、自然数の最大値はn_maxはこうなるのか

nMax = lim_[n→∞]n

そしてωとnMaxの関係はこうなんだね

ω>nMax

ところで>>335のAとBはどちらも自然数じゃないよね

皮肉のつもりか知らんが、論理ギャップがあり過ぎて一々ツッコミきれねえわ

自然数に最大値なんてないし∞は発散を現しているだけで特定の値じゃないと何度言えばいいんだよ

ω!

('A` ;)
/(ﾍ ω.)ﾍ

nMax+1

孑孑

🚑

全ての自然数がωなら全ての実数は何になるの？

まず言葉遣いは正確に

わかってないな、ちみぃ〜
これが数学板のおふざけってやつだよ〜

もうやだあ

巨乳数と巨根数

可愛く言ってもダメだ

>>348
おふざけにしてはセンスないな
単に何も分かってない人だと思われたことだろう

また何らかの概念が

破壊されたのだわ

寿司スレになってんぞ！

ｳｯ

新しい概念

全ての数の個数＝Д

概念を生む概念

全ての概念

ｱｯ

niconicoのふぃっしゅ数紹介動画、SS変換でS変換そのものも強化されていく部分がぬけてるよな

全てのあらゆる数より大きい数を「ｱｯ-!」と定義すれば
「ｱｯ-!」を超える数は存在しない
ゆえに「ｱｯ-!」が最も大きい数
実数じゃないけどな

uh huh.

nuko hun jatta

ビジービーバー以上は無意味。

ψ０(Ωω)を超えたら慎重に

ψ(`・ω・)　忘れないようにメモっておくよ！

3
3
3
みたいにテトレーションの更に左上に
数字を重ねればペンテーションを意味するのだろうか

3　　3　　3
　 ´￣）
3　 -<　　3
　 ,＿_）
3　　3　　3

つ　よ　い

ℇ 　ℇ 　ℇ
　 (￣`
ℇ >-　 ℇ
　 (＿_，
ℇ 　ℇ 　ℇ

よ　わ　い

ハレー水性

ε_Ω+1 の +1 ってなんなんだ

ε_Ω=Ω
にならないように

なるほど。どうもありがとう。

素数とツリーとSKIコンビネータをあれしてあれすると計算不可能なあれがあれしそう

単位が年でも秒でも関係ないぐらいの長い時間ってこえー
５億年ボタンの比じゃないね

よく考えると5億年で悟れるって素質あったんだな
普通はもっと時間かかる設定だよな？

単位が年でも秒でも関係ないぐらいの長い時間と秒が関係ないぐらいの長い時間もあるんだよ

>>377
5億年あればガンブリアの生物がここまで発展するんだから
いろいろ悟ったとしてもおかしくない

知識を受け継ぐ必要がないのと元から知識があるのが大きいが

(1-1)合成数を因数分解し、ツリーをつくる。
　例）12=(2*2)*3=2*(2*3)=2*2*3　とか
(1-2)上でできたツリーをなにかしらの方法で自然数に変換する。ヒドラとかつかって
(1-3)それぞれのツリーから変換された自然数に合成数があれば、それらに(1-1)(1-2)の操作を適用する。
(1-4)以上の操作をすべてが素数にたどり着くまで繰り返す。

(2-1)上の操作でできたツリーの構造を自然数に変換する。
(2-2)素数にたどり着くまで(1)の操作を繰り返す。
(2-3)最初にたどり着く素数をp(1)とする。次はp(1)+1からはじめてp(2)。以下同様

だいぶテキトーだけど、厳密に定義したところで操作が終了することの証明がえらく難しいだらう

一部の本質だけをかいつまんでいえば、関数fによってけ返される、ある特徴をもったn番目の数をg(n)としているけれど、
そういう数が存在することが証明できないことにはな...

巨大数wikiではバシク行列の他に、R関数シリーズもかなり凄そうだ。
↓英語版の資料
http://googology.wikia.com/wiki/User:Hyp_cos

Hyper nested array notationの初歩あたりでBEAFの極限を超えるようだが、
それに比べてバシク行列もBEAF超えてR関数より大きくなるのかどうかも楽しみだ。

黎明期と違ってだいぶ閑散としてきたけれど、いまでもちまちまと新しいなんやかんやが
うまれてるんだなぁ。
計算不可能な方面はやはりというか、開拓がなかなかむずかしいけれど
よく考えたらラヨ関数って神託機会でも計算できない最初の関数ではないんだな。

閑散いうなや

関算？

うさぎは寂しいと死んでしまうんやでえ

聡明期と違ってだいぶ関算としてきたけれど…

手法が解析されつくした感はあるしな

手法が解析され尽くしたんなら、計算可能な順序数を入力として、
急増加関数相当のプログラムを返すコンバーター作ってくれ。
逆は多分無理だろうから。

その関数をあらわすのに必要なあるチューリング完全な言語の文字数、を順序数であらわす、という手もある
ややこしいけど

計算可能な関数の強さを、シンプルに有限の自然数で見渡せる、ってのはなかなかおいしいな

じゃぁそれも入れ子に！

ωとω+1の間ってどのくらいの開きがあるの？
1ぐらい、ωくらい？

ビジービーバーは神聖にて不可侵なものです。

計算できないものなんてお父さんは数として認めません

一般には計算できないけど、運が良ければ計算できるよ

メモリが足りないだろｗ

計算できたとしても宇宙に存在する原子の総数より桁数多いから出力できない

卑劣だけどω状態のチューリングマシンなら有限の自然数については値を返すことができる。
計算時間も無限になるけど

実数だったら
lim(n→∞）が最大数になるらしいよｗ
最大数じゃなくて巨大数だったのね　ごめん
http://textream.yahoo.co.jp/message/1835554/0f330fc6dfc2829bc96cb5a29d736717

ビンジンバービーという数を考えた
うん考えただけ

>>389<=>急増加関数を計算するプログラム

>>393　ωの「次の数」がω+1

>>389<=>急増加関数を計算するプログラム
は自明じゃないだろ。
証明できんのか？

状態を有限の範囲でいくらでも増やしていいのならどんな帰納関数も計算できるでしょう。

間違えた。>>399じゃなくて>>389だったのね。すまない。

F7を超える巨大数BIG FOOTについて

>>406
現時点で最大なのか？

FOSTのSet(集合)の部分をOodleに置き換えてFOOT
集合よりも広く抽象的なOodleを使っているためラヨ数のシステムよりも強力

あとは本格的に翻訳してくれる人に頼みます。

他力本願かっこいー！

それは他力本願の誤用

うるせえ弥勒菩薩呼び出すぞ

仏教の巨大数といえば不可説不可説転

>>408すげー

それを考えると56億7000万年なんてあっという間だな

【止まっている亀は、動いている。】　

アキレスが昼寝している亀を捕まえようとした。

アキレスは亀との間が１/２の位置までくると速度を
２倍にアップして亀に迫っていく。
アキレスは最初の区間を1ｋｍ/ｈで走るが次の区間を2ｋｍ/ｈ・・・
といった具合にどんどん加速していくが
昼寝している亀は、さらに遠くへ逃げていく。

フラクタル巨大数が最強

計算不可能な巨大数のまとめ

神託機会で計算可能　　Ξ関数　ふぃっしゅ数ｖ４
命題論理で表現可能
述語論理で表現可能　　ラヨ階層
標準論理で表現可能　　BIG FOOT

未知の領域

命題論理で表現可能 はなかったことにしてください。
正確にはオラクル付きの命題論理だけど、神託機械とかぶる

最大の数を作ってみました。
せっかく作ったんで書き込んでおきます
ＬＩＭ（ｘ→∞）に対応する感じの自然数。

ｘ/ｎ＝ｘ/（ｎ+1）を満たすｘをゼノン数という。
無限小の逆数なのね。

そのような自然数xは存在しないことが証明できそう

定期的に最大の数ってのが出てくるけど、そういうのは必然、ある論理で定義できるいかなる数よりも大きい、
その論理では定義できない最初の数、みたいな表現になる。最初からその論理の中で最大の数を考えることができるのなら別だけど

たとえば最大の自然数 N というものを考えれば、それをペアノ算術から +1 した自然数 N+1 を考えることができる。
すると N<N+1 となり、Nが最大の自然数でなくなってしまう。
この矛盾を解決するために、
　１　Nはそもそも自然数ではない
　２　ペアノ算術から構成される数を自然数と呼んではいけない
　３　その他
いずれかを選ばなければならなくなる。２を選ぶのはいくらなんでも自分勝手だと思います。

Oodle論もおおざっぱにいえば、集合論理からは定義できない、集合論理で定義可能ないかなる概念よりも大きい
最初の概念というものを作って、そこから生まれる法則をパラドックスを回避しながら利用してどんどん大きな概念を
作っていく論理なんです。おそらく

「なんです。おそらく」

ハッタリのレトリック。

>>421
2を選ぶのは無謀みたいだから

実数は、曲線定規。
自然数は、直線目盛。

ゼノン数は、
自然数よりも目盛が細かいんだけどピンボケ状態なんで
連続体をモデルにしたグラデーション数にしましょうよ。

*************************

モデルを定式化すること。元々の現象とは正確に一致しないかも知れないが、その現象を理解することに手助けする。
モデルは有限だ。それをコンピュータに置ける。
コンピュータは少なくともモデルに対して正確な答えを計算出来る。だから数学者達は無限に対して有限な形または有限的に計算可能で理解可能な形式を与える。　
点の専門家談

有限の計算で答えが出なければ無限に計算できても無理じゃないか？
原理的に円周長は、直線目盛では輪環無（わかんな）いよー

やっぱり無理だよねー

よし、じゃぁ３より大きい自然数を∞とする世界を定義しよう。

いろいろと既存

Cg(n)=n → n → n n個のn
a(b)=a→a→･･･→a b個のa
a(b(c))=a→a→a→･･･→a b→b→･･･→b個のa
a(b)c=a(b)→a(b)→･･･→a(b)
c個のa(b)
a(b(c))d =a(b(c))→a(b(c))→･･･→a(b(c)) d個のa(b(c))
a(b)c(d)=a(b)→a(b)→･･･→a(b)
c→c→･･･→c個のa(b)
a(b,c)=a(→c)a b個のa
a(b,c)d =a(b,c)→a(b,c)→･･･
d個のa(b,c)

>>421
> Oodle論もおおざっぱにいえば、集合論理からは定義できない、集合論理で定義可能ないかなる概念よりも大きい
最初の概念というものを作って

全然違います。「n文字以内で」ということがすっぱりと抜けています。

文字数制限を忘れていた。0に1をω個足す無限の式を書いてωを定義する感じのあれが可能になってしまう。
ご指摘どうもありがとうございます。

でもn文字以内っていくらでも誤魔化しが利くような
┌┤┌┐
├┴┴┘という一つの文字に文脈次第で1000個の意味を持たせたりすれば良いワケで

文脈次第ってどういうことよ？
結局限界あるんじゃねーの

解釈を一義に定めることが、前提条件でしょ。そのためにFOSTとかFOOTとかを作ってるわけだし。

それから、何種類の記号を使えるか、という問題もあって、FOSTはどうやら変数として使える記号の種類に
制限はないようで、n文字であればn種類の記号を使える。
だから、n文字以内で定義できる数の種類は高々n^n通りで、必ず最大値が存在する。
FOSTだろうがFOOTだろうが、言語に関係なく、言語の定義が明確であれば、計算はできなくても定義はできる。

じゃぁそれをωで！

宇宙のはじまり、広さ、多元宇宙、素粒子とか量子論のことを上辺だけ読んでいる中で巨大数研究のこと知ったんだけど
これ考えてる人って怖くならないの？

wikiの数の一覧を見ると

こっちは太陽から最も近い恒星まで光速で何年かかるかとか
銀河フィラメントや大クエーサー群みたいな宇宙最大の構造で、宇宙の広さに心底ビビってたのに
そこら全てに存在する原子の数さらに素粒子、んで超ひも（仮定）の数
さらに多元宇宙論からの宇宙論で使われた最大の数の項を読んで、また一覧に戻ると
もっと凄い数がズラっとあるわけでしょ････。この世の全ての理より、数の方がさらに大きい気がしてくるというか。

ふぃっしゅ数バージョン7やビッグフットってのも
1000000000000000000000000000････････････ってずっと続いて0の数が最も多いってことなの？

ゼロなんか並ばない。
そんなでかい数が１０進数ごときの制約を受けるはずが無い

０を並べようと思えば並べられるけどな。

>>435は十進法による表記が現実的には不可能だという話をしてるんだと思うぞ

多次元アッカーマン配列
定義
X:0個以上の整数と0個以上の区切り
Y:0個以上の0と0個以上の区切り
Z:1個以上の0と0個以上の区切り
カンマは(1)の区切りを表す

1.{Ya}=a+1
2.{Xb+1,0}={Xb,1}
3.{Xb+1,a+1}={Xb,{Xb+1,a}}
4.{Xb+1,0Ya}={Xb,aYa}
5.{Xb+1(n+1)a}={Xb(n+1)a(n)…aをa個…(n)a}
6.{Xb+1(n+1)ZYa}={Xb(n+1)a(n)…aをa個…(n)aYa} (Zは(n+1)を含まない)

計算例
{1,1}={0,{1,0}}
={0,{0,1}}
={0,2}
=3
{1,1,1}=61

{3,0,0(2)5}={2,5,0(2)5}
={2,4,5(2)5}
={2,4,4(2)5,5,5,5,5}
={2,4,4(2)5,5,5,4,{2,4,4(2)5,5,5,5,4}}

{2(3)0(2)3}={1(3)3(2)3(2)3(2)3}
={1(3)3(2)3(2)2(2)3,3,3}
{n(n)n}≒F[ω^ω^ω](n)だと思います

よくわからんが多次元配列ならε0を目指すべき

ヒドラゲームをできるだけ素直に実装してみた。

#include<iostream>
#include<list>
using namespace std;
int a = 0;
struct Node{ list<Node *> child; Node *parent;};
Node *leaf(Node *n){if (n->child.empty())return n;return leaf(n->child.back());}
Node *copy(Node *n){Node *x = new Node();
for (list<Node *>::iterator p = n->child.begin();p != n->child.end();++p){
Node *c = copy(*p);c->parent = x;x->child.push_back(c);}return x;}
bool next(Node *n){Node *l = leaf(n);if (l == n)return false;
Node *p = l->parent;p->child.pop_back();a++;if (p == n) return true;
Node *pp = p->parent;for (int i = 0; i<a; i++){
Node *c = copy(p);c->parent = pp;pp->child.push_back(c);}return true;}
void dump(Node *n){cout << "(";
for (list<Node *>::iterator p = n->child.begin();p != n->child.end();++p)dump(*p);
cout << ")";}
void init_node(Node *n, int i){if (i == 0)return;Node *c = new Node();
init_node(c, i - 1);c->parent = n;n->child.push_back(c);}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){Node root;init_node(&root, 3);dump(&root);cout << endl;
while (next(&root)){dump(&root);cout << endl;}
cout << a << endl;return 0;}

>>440のプログラムを以下のように２重ループにしたら元のプログラムよりどれくらい大きくなりますかね？

int a=9;
…
int main()
{
Node n1,n2;
init_node(&n1,a);
while(next(&n1))
{
init_node(&n2,a);
while(next(&n2));
}
return a;
}

>>438 そこから多次元を超えるさらなる配列に拡張してみませんか？

f(n)=x↑↑nとおく(nは整数)

lnf(n)=ln(x↑↑n)
lnf(n)=(x↑↑(n-1))*lnx
両辺をxで微分する
f'(n)/f(x)=(x↑↑(n-1))'*lnx+(x↑↑(n-1))*1/x

f'(n)=((x↑↑(n-1))'*lnx+(x↑↑(n-1))*1/x)*f(n)

f'(n)=(f'(n-1)*lnx+f(n-1)*1/x)*f(n)
f'(n)=(((f'(n-2)*lnx+(f(n-2)) *1/x)*f(n-1))*lnx+f(n-1)*1/x)*f(n)
f'(n)=( (f'(n-2)*lnx+(f(n-2))*1/x) *lnx+*1/x)*f(n-1)*f(n)
f'(n)=( ((f'(n-3)*lnx+f(n-3)*1/x)*f(n-2)*lnx+(f(n-2))*1/x) *lnx+*1/x)*f(n-1)*f(n)
f'(n)=( ((f'(n-3)*lnx+f(n-3)*1/x)*f(n-2)*lnx+(f(n-2))*1/x) *lnx+*1/x)*f(n-1)*f(n)
f'(n)=( ((f'(n-3)*lnx+f(n-3)*1/x)*lnx+*1/x)f(n-2) *lnx+*1/x)*f(n-1)*f(n)
:
f'(n)=(…(lnx/x+1/x)*f(1)*lnx+1/x)*f(2)*lnx+1/x)…)*f(n-2)*lnx+1/x)*f(n-1)*f(n)
f'(n)=(…(lnx/x+1/x)[*f(k)*lnx+1/x)]*f(n-1)*f(n)
([]内を1≦k≦n-2で繰り返す　kは整数)

とか考えた

n文字で表現可能なプログラムが停止するまでのステップ数の最大値(停止しないプログラムは含まない)
というnの関数を考える。
「n文字で表現可能な有限ステップで停止するプログラム」は有限個しか無いので明らかに最大値が存在するが、
チューリングマシンの停止判定不可能性により、その最大値は求められるとは限らない。
つまりもっとも理想的な巨大数生成プログラムは人知の届かないところにある。
それを踏まえた上でこのスレの存在意義は？

人知でどこまで届くかを知りたいんだろ。

ビジービーバーを超える巨大関数もあるし。

ビジービーバー関数をラヨ命名可能な形で定義すると、たぶん1000文字以内で定義できる。
途中でめんどくさくなってなげたけど。
一階の算術でも同じかと

計算可能な範囲内で巨大数を作る、という考え方と、計算不可能であっても定義可能であれば
良しとする、という考え方がある。このスレッドでは伝統的に計算可能の枠内で考えていたけど、
そもそも、グラハム数自体人知を超えているところにあるので、巨大数論では人知が届くかどうか
なんて関係ない話。

結局、グラハム数だって誰も本当に「計算」したわけじゃなくて「定義」しただけだからね。

人知が届くかどうかで言えば
計算可能と計算不能の差は大きいだろ常識的に考えて

巨大数論の計算可能関数も計算不可能関数も、定義して考えることはできるし、実際に計算はできない。
人知が届いたと思うのも届かないと思うのも、同じこと。

計算可能で命題の検証過程が存在する限りは普通の論理が通用しそうな気がするけれど、
計算不可能な数に関する命題は、不完全性定理とかが引っかかってきそうな悪い予感。

計算不可能な巨大数は、論理を複雑にするよりも、より抽象的な概念を数に対応させたほうが
本質的に強くなる気がする。集合よりも抽象的となると・・・論理式とか真理値とか、そんな感じかな？

必死こいて定義した巨大数があんまり巨大じゃなかった時の虚脱感

よくわかってないんだがツリー構造を本質的に超える構造ってあるの？