高校数学の質問スレPART357

教科書に誤りを見つけました。

「f(x)の2つの原始関数をF(x)、G(x)とすると、
F’(x) = G’(x) = f(x)だから、
｛G(x)-F(x)｝’ = G’(x) - F’(x) = 0
導関数が0になる関数は定数しかない。その定数をCとすると、
G(x) - F(x) = C
よって、G(x) = F(x) + C
このように、f(x)の原始関数は定数だけしかちがわない。」

とありますが、たとえば、定義域が(-∞, 0)　∪ (0, ∞) である関数
f(x) = x^2 を考えます。

x ∈ (-∞, 0)に対して、F(x) = 1/3 * x^3 + 1
x ∈ (0, ∞)に対して、F(x) = 1/3 * x^3 - 1
と定義される関数F(x)および、

(-∞, 0)　∪ (0, ∞)に対して、G(x) = 1/3 * x^3
と定義される関数G(x)を考えると、

F’(x) = G’(x) = f(x)であるが、ある定数Cによって、
G(x) = F(x) + C
とは書けない。

ですので、教科書は間違っているのではないでしょうか？