高校数学の質問スレPART355

前スレ
高校数学の質問スレPART352
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1370224199/

【【【【【質問者必読！】】】】】
まず>>1-4をよく読んでね

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。

※前スレ
高校数学の質問スレPART354
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1375778660/

主な公式と記載例

(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)

√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b　[a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]

ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a　　[２次方程式の解の公式]

a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R　[正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A)　　　　　 [余弦定理]

sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)　　[加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)

log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a))　　[底の変換定理]

f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h　　[微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2)　[和差積商の微分]

基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
　a+b　→　a 足す b　　　（足し算)　　　　　a-b　→　a 引く b 　　　（引き算)
　a*b　→　a 掛ける b　　（掛け算) 　　　　a/b　→　a 割る b　　 　（割り算)
■ 累乗　^
　a^b 　　　　a の b乗
　a^(b+1)　　a の b+1乗
　a^b + 1　　（a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
　a/(b + c)　と a/b + c
　a/(b*c)　　と a/b*c
　はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
　a[n] or a_(n) 　　　　→ 数列aの第n項目
　a[n+1] = a[n] + 3 　→ 等差数列の一例
　Σ[k=1,n]a_(k)　　 　 → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）．�唐ﾍ高校では使わない）
　∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
■ 三角関数
　(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1　　　　　cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
　AB↑　a↑
　ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
　（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
　（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
　（行（または列ごと）に表示する．　例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
　P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
■共役複素数
　z=x+iy ( x , y は実数 ) に対し　z~=x-iy

単純計算は質問の前に　　ttp://www.wolframalpha.com/　　などで確認
入力例
因数分解
factor x^2+3x+2
定積分
integral[2/(3-sin(2x)),{x,0,2pi}]
極限
limit(t*ln(1+(1/t^2))+2*arctan(t))) as t->infinity
無限級数
sum (n^2)/(n!) , n=1 to infinity
極方程式
PolarPlot[2/sqrt(3-sin(2t)), {t, 0, 2Pi}]


グラフ描画ソフトなど
ＦunctionView　　ttp://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
GRAPES　　ttp://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
GeoGebra　　ttps://sites.google.com/site/geogebrajp/

>>1乙です。
前スレ未回答は…>>932と>>987をどう扱うか

>>5
>>932は質問者の解答が出た時点で正解かどうかを判定すればいい。
>>987はルールに則って再質問すればよい。

xを0以上の実数として、
f(x)=1+x+(2!/x^2)+(3!/x^3)+(4!/x^4)+....の最小値を求めよ。

ポエムスレへ行け

>>8
行ってないからここで質問してる？

何言ってんだこいつ

>>7
まじで応答するとして、aを実定数として　n!/a^n　の振る舞いはわかるか？

>>7
x は 0 以上 の実数としているが、
f(0) は定義されていないようなので x>0 としてかまわないだろう
この級数の部分和は正の無限大に各点収束する関数列なので

最小値は +∞

違うだろ
f(0)は未定義なのでf(0)=0と定義すればいい
f(x)>0 (x≠0) なのでf(x)≧f(0)=0, 最小値は0

>>7
f(x)=0!/x^0+1!/x^1+2!/x^2+3!/x^3+4!/x^4+.... じゃないの
だったら、f(x)は単調減少なので、最小値は存在しない。

>>13
ｽﾏｿ
f(0)は未定義でどのような値に定義するのかはわからないが、
x>0 で常に f(x)=+∞ なのだから f(0) がどのような値に定められても最小値は f(0)
ということか

求めよと言われているのに存在しないは甘え

>>11-16ありがとうございます。
不備を意識して、頑張っていきたいです。

>>13
x>0としてf(x)はこの式で定義されているとするの？
すると関数の値域は何になるの？

f(x)=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+...
じゃね？？？？？

はぁ？

はぁ？じゃなくてさ

式の一般項定義に間違いがあるから混乱するんだし解けなくなるんだろう…
1+xから始めたのに次から負次式だよねこれ正しい問題はどこへ消えた

いろいろ突っ込みたいのは分かるが
まずは新質問を待つんだ今日は8月の最終1つ前の金曜日だ
重いクリエイション系宿題の前に数学問題集片付けるのに質問するリミットだ

画像掲示板やチャットで平行処理しないと間に合わない来週末とは違うんだ

サルでもできるような糞つまんねえ問題なんかよりポエムの方が面白いし

いやここ難問スレと違う

ある問題を解く過程で、
cos(x) - sin(y) = 1 (0≦x≦2π 0≦y≦2π)
cos(x) = sin(y) + 1
{cos(x)}^2 = { sin(y) + 1 }^2

のように処理をしているのですが、
上の式において二乗の同値性は保証されてるのでしょうか？
両辺の符号が一致することは自明でないような気がするのですが。

sin(y)の値域分かる？
sin(y)+1の値域分かる？

イコールあるのだから符号はそりゃ一致為るだろう。

【問題】a、b を、四次方程式 x^4 + x^3 - 1 = 0 の相異なる解とすると、
ab は六次方程式 x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1=0 の解であることを示せ。

この四次方程式の解が全て異なることを示し、その解を a、b、c、d とおいて、解と係数の関係から解こうとしましたが、
a^2bc + a^2bd + … + bcd^2 + 3abcd が求めれません。

この先どう進めれば良いですか。あるいは、もっと良い方法はありますか。

解答を教えて下さい。

>>25
同値性は崩して必要条件で済ませてる書き方だね

>>28
f = a^2bc + a^2bd + … + bcd^2 + 3abcd

ただし
-( a + b + c + d ) = 1
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0
-( bcd + cda + dab + abc ) = 0
abcd = -1

f = bcd( b + c + d ) + cda( c + d + a ) + dab( d + a + b ) + abc( a + b + c ) + 3abcd
= bcd( 1 - a ) + cda( 1 - b ) + dab( 1 - c ) + abc( 1 - d ) + 3abcd
= (bcd + cda + dab + abc) -abcd
= (0) - (-1)
= 1

たぶん

>30
ありがとうございます！

>>28-30

　f = bcd(s-a) + cda(s-b) + dab(s-c) + abc(s-d) + 3abcd
　　= (bcd+cda+dab+abc)s - abcd
　　= us - v,

ここに、基本対称式を
　a+b+c+d = s,
　ab+ac+ad+bc+bd+cd = t,
　bcd + acd + abd + abc = u,
　abcd = v,
とおいた。

>>28-30

　(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^4 -s･x^3 +t･x^2 -u･x + v,

　　　　　　　　　↓　↑

　(x-ab)(x-ac)(x-ad)(x-bc)(x-bd)(x-cd)
　= x^6 - t･x^5 + (us-v)x^4 -｛(ss-2t)v+uu}x^3 + (us-v)v･x^2 - tvv･x + v^3,

本問では、s=-1, t=0, u=0, v=-1



〔蛇足〕
実根は2つあって
　a = -1.38027756909761
　b =　0.81917251339616

　x^4 + x^3 -1 = (x-a)(x-b){xx +(1+a+b)x +1/|ab|}

前スレですが...


>>974
そもそも教科書の模範解答がわからなくて...

>>975
なるほど...理解力なくてすみません！


>>976
丁寧にありがとうございます！！

>>1の頭にある前スレいらんな
前スレでも誰も指摘してなかった罠

言われてみれば確かに

相異なる3つの実数a,b,cとあるのに
解答が(a,b,c)=(2,2,2),(2,-4,8)となっています
(2,2,2)は違いますよね？

勝手に問題作ってみた

数列 b,a,c がこの順に等差数列、数列 a,b,c がこの順に等比数列で a+b+c=6 を満たす
相異なる3つの実数 a,b,c を求めよ。

>>37
問題がわからないけど、「相異なる」は問題上の要請で、
方程式の解は (2,2,2) と (2,-4,8) の二つがあるけど条件より後者だけが残るってことじゃないの。
面積から辺の長さを求めるとき、二次方程式の負の解を捨てるのと同じで。

>>38
a = b = c = 2

あ、「相異なる」……。

>>39
ジジイの時代にはそれを無縁解と呼んだ。
必要条件としては得られるが、問題の要請を満たさない解という意味で無縁。
今は何と呼ぶんだ？

>>39
(2,2,2)のほうも答えのように書かれているんですがやっぱり間違いですよね
ありがとうございました

>>38
上手い！
座布団10枚だ

「2/5の直線が少なくとも一つ格子点を中心に書いた円と交わるかどうか」
っていう例の問題についてまだ分からない事があります。

y=2x/5+bと直線を設定して
y≦b≦y+1最小のrを選べば2点で接するんですか？

2/5の直線て何よ
略さずに全部かけよアホ
そんなんだから分からないんだろ

>>45
えっと設定する直線は
y=2x/5+b
ただしb={(y+1)+y}/2です。
整数の中間地点の切片を持つ直線はなぜ異なる円に2点で
お互い違う位置で接するのか？ということが疑問です。

つまり最小半径を持つとき、切片がy+0.5の直線が2点で接するのは
何故？というのが僕の疑問で、解説はこれを前提にしていて僕の疑問は
解決されませんでした。

te

∫1/{y*(1+y^2)}dyの積分のやり方を教えてください。

部分分数分解する

n=1,2,••••に対し、2乗してちょうどn桁の数となる正の整数全体の個数をf(n)とする。
このときのf(n+1)>f(n)であること を証明せよ。
この問題わからないんで教えてください><

>>49
できません...
A/y + B/(1+y^2) = 1/{y*(1+y^2)}となるA,Bが見つかりません。

#8226;

ミスです


n=1,2,・・・に対し、2乗してちょうどn桁の数となる正の整数全体の個数をf(n)とする。
このときのf(n+1)>f(n)であること を証明せよ。

>>44
東大理系数学'91年前期[5]
xy平面上、x座標、y座標がともに整数であるような点を格子点と呼ぶ。
各格子点を中心として半径rの円が描かれており、傾き2/5の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという。
このような性質をもつ実数rの最小値を求めよ.
が元の問題。
座標軸を回転して傾き2/5の直線がｘ軸と平行になるようにすると考えやすいと思うよ。

>>51
x=y^2とチカンしてからブブンブン(ry

>>46
>えっと設定する直線は
>y=2x/5+b
>ただしb={(y+1)+y}/2です。
つまり 0=2x/5+1/2 なんだな？

>>51
分子は分母より１次低いところまで考えないとだめ
A/y + (By+C)/(1+y^2) でやれ。

>>56
切片がy+1/2となるような傾き2/5の直線ですよ。
円を大きくとって、小さくしていったら2点で同時に接するよになり
それ以上小さくしていったらこの直線はどこにも交われなくなるような
半径rを求めるらしいです。なぜ同時に接するのかなと疑問に思います。

>>55
なるほど、ありがとうございます。
>>57
あぁ...やってみます。

教えてくださったかたありがとうございます。

規制にはまって遅延質問ですみません･･･
依頼者ではありませんが、>>7の
>xを0以上の実数として、
>f(x)=1+x+(2!/x^2)+(3!/x^3)+(4!/x^4)+....
に関する質問です。

確かにf(x)は部分和が発散して、定義できませんが、
もし定義される無限級数･･･と機械的に仮定すると、
f(x)+x d((f(x)-1)/x)/dx=1+x+2!/x^2
を満たします(部分和の差が発散するのを黙殺･･･)。

これは指数積分関数を含みますが解けます。また積分
定数は、解の漸近展開とf(x)の比較から決定できます。
※解は特殊関数を含み、質問に影響しないと思い省略

漸近展開が一致する関数はひとつではないことは判っ
ています。また関数が決まるのは機械的操作だとも
判っています。

質問はこうして得られた関数の漸近展開がf(x)とあう
場合に、f(x)との関係をどう解釈したら良いのかです。

>>58
>>54の続き
この回転により,格子点(m,n)の座標は、((5/√29)m+(2/√29)n,(-2/√29)m+(5/√29)n)に移ります。

台形の4辺の長さが与えられているときの対角線の長さを求める問題ってどうやって解くのですか？

角度が分からないと無理。

まず、ね。

角度とかは分かります
ちなみに高校3年です

ちなみに線形微分方程式も解けます

ちょっとワロた

パンダグラフってあるじゃん？

>>66
ワロタ

なんかワロタ

>>68
調べてみたのですが電車の上の電気を供給する奴ですか？
あの電線って電車側が一点だけ磨れて故障しないように斜めになっているんですよね

>>66
でも５階の線形微分方程式は解けないんだろ？

>>62ふむ…
これに平行四辺形ではない、平行な辺の組は指定されている、という
２条件が加われば……

>>72-73
はい

数学、物理、工学等で、具体的に考察される微分方程式の階数ってどの程度までなんだろうか

>>62
平行四辺形でないとする
台形の上底から時計回りにa,b,c,dとすると、

右上がりの対角線は
ac+(ab^2-cd^2)/(a-c)

右下がりの対角線は
ac+(ad^2-cb^2)/(a-c)

どうしてそうなるのですか？
途中式書かないといけないのでそうなる解説もお願いします
僕は寝るので明日の朝9:00までにお願いします

キチガイが湧くのをみると、ID表示になればいいのにって思うわ

>>75
物理学は二階微分ばっかり

>>62
台形をABCD(時計回り)としてDを原点にして座標に乗っければ良くね
AB=a､BC=b､CD=c､DA=d
A(x.y)とすればB(x+a.y)
C(c.0)
あとは計算するだけ

期限は8/27AM09:00か

回答がないんですが

期限までまだ16時間あるだろ

整式f(x)は、すべてのxに対して、(x+1)f(x+1)−(x−1)f(x−1)=x^2+x+1を満たすとする。このとき、整式f(x)を求めよ。

f(x)は2次式だと思うんですけどそれをどうやって示すのかがわからないです。お願いします。

誰も分からないから安心していいよ

f(x)=ax^n+…

家庭教師をしていて小5の子を担当しています。
今現在図形の面積について教えてるんですが、台形の面積の求め方
の教え方に悩んでいます。
台形の面積は三角形の2倍か、平行四辺形の1/2か
どっちで覚えさせるのが良いですか？

平行四辺形の1/2
図を使って理解させるかな僕なら

平行四辺形の面積のやつのところで、三角形の2倍使う

> 台形の面積は三角形の2倍か、
三角形の2倍ではなく、2つの三角形だろ

>>90
補助線を引くと........

なんで二者択一なんだよ
両方教えて好きに覚えさせればいいだろ

それ大人や賢い人の錯覚
二つもあると分からないのが倍率ドンになるから余計混乱
教科書にある方を押し付けておけばおｋ

そもそも三角形の面積の求め方の教え方が分からん。
底辺を固定して、対頂角から垂線を引いて底辺と交わる点の距離×
底辺/2ということなんだが、対頂角も垂線も底辺も中２で習う用語だからなー
どうやって教えればいいの？

>>93
その生徒さんがアホとは限るまい

こんな簡単なことくらい両方教えなくてどうするよ

高さの説明は確かに難しい
イメージでいいんとちゃう？
こっからここまでやでってなかんじで

>>77
二本の対角線のそれぞれについて
それを共通辺とする三角形の組に対して余弦定理を用いる。

小学校の算数は図無しに教えるのは無理だな
高さはここからここまでっていって線分を引く説明以外不可能

>>87
台形を与えて面積を計算させればいい。これで計算できるなら教えなくていいはず。

>>94
三角形２つで平行四辺形にする。平行四辺形を長方形にする。

平行四辺形＝長方形の証明はかなり難しいんだが
それはどうすんの？

>>91
何本補助線を引くんだ？1本なら異なる面積の2つの三角形だぞ

>>102
平行四辺形と長方形を重ねてはみ出る三角形の部分を移動します。

その三角形を移動するには相似を説明しないとならんが？

>>53
f(1)＜f(2)は具体的に調べてＯＫ
n≧２についてf(n)＜f(n+1)を示す

正整数mについて
平方して2m桁以下となる正整数の数は　10^m-1
平方して2m+1桁以下となる正整数の数は　(3.1)10^m以上(3.2)10^m未満
よって
(10^m-1)-(3.2)10^(m-1) ＜f(2m)≦(10^m-1)-(3.1)10^(m-1)
(3.1)10^m-(10^m-1) ≦f(2m+1)＜(3.2)10^m-(10^m-1)
これからf(2m)＜f(2m+1)＜f(2m+2)　を示せると思います。

>>105
小学生に説明するので、「180度回転して同じでしょう。」くらいが適当か。
同じ形（合同）であることは直角と高さと底辺で説明はできるが。

>>107
合同条件は中2で習う内容ですからね。

なんか小学生に算数教えるのって実は凄い簡単なのかもね。

>>106
正整数mについて
平方して2m-1桁以下となる正整数の個数は　3・10^(m-1)以上4・10^(m-1)未満
平方して2m桁以下となる正整数の個数は　10^m-1
の方が少しシンプルかもしれません。

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小学生に教えるときは簡単でも
高校生に厳密に教えようとすると大変な問題なんてたくさんありますよ

お

Σ_{i=0}^{4}a(i) 10^i - Σ_{i=0}^{3}b(i) 10^i = 11111
a(i), b(i) には1から9の整数が重複することなく全て割り当てられているものとする。
このとき、与式を満足するa,bの組み合わせは何通りあるか？

この問題できない馬鹿は浪人決定

はい

4!通り

てか何その�狽ﾌ書き方

f(x)は恒等的に0でなく∫[a,b]f(x)dx=0,[a,b]でg'(x)>0を満たすg(x)について
∫[a,b]{f(x)*g(x)}dx>0を示せ
これどうすればいいですかね？

部分積分

>>116
a=-1
b=1
f(x)=-x
g(x)=x

３角形の二等分線が一点で交わるのは高校数学では証明できんわけ？

出来るんじゃね？

ってか、三角形の二等分線ってなんぞ？

証明できるよ
かくのにとうぶんせんなら

>>119
中学でやるもんだと思う。

ベクトル習ってないと無理だよ

幾何でできるよ

面積の二等分線なら一点で交わらないぜ

>>126
ヒント正三角形

三角形の面積の二等分線の交点が作る図形はどんな形なんだろ

＞面積の二等分線
それ、ただの中線じゃないのか

>>129
中線じゃなくても二等分可能だろ。中線以外は重心を通らないんじゃね？
中線以外の面積の二等分線が重心を通る場合ってある？

>>128
おそらく、元の三角形と重心の等しい、相似比2-√2の三角形かな

>>131
相似比違った、3-2√2かな

>>124
内心の存在なんて初等幾何の問題だし
ベクトルが出てくる遙か前からあるだろ

xの高次方程式、x^3-x^2-x+1=kxの解をkで場合分けして求めよ
難問ですか？答えが出ないんです。

問題文を正確に
三次方程式の解の公式が必要な問題なんて出ない

解の個数をkを場合分けすることで求めよでした。
失礼しました。

左辺と右辺をグラフにして、右辺はy=kxつまり比例のグラフで傾きが変化

にょろにょろと左辺のグラフといくつまじわるのかなとkを動かしてかんがえる

グラフどうしのの交点のこすうは、方程式のかいのこすうと一致

>>137
両辺をxで割ってkに変数分離するというやり方はダメでしょうか？

>>138
それでもいいね！そっちのほうが見やすいかも
ただグラフかくの大変そう

>>139
何故でしょうか？

俺もわからん

>>140
y=x^2-x-1+(1/x)のグラフ書いて？

そんなに計算大変じゃないよ
直線分離の場合「遠くの方」のイメージで混乱するかもしれないから、
むしろk分離のほうがいいかもしれない
ただしx=0の扱いには注意

そっかごめん

x=0
除くってことは
x<0 x>0で場合分けですか
ややこしいことになりますね変数分離の方法は...........

後出しでもしなけりゃ実数解の個数の話じゃないからグラフは役に立たなくね？

なんで場合わけなの？
x=0はその方程式のかいじゃないから割れるよ？
そのためだけの確認だよ？
普通に書けるよ？
y=1/xとかのグラフもx>0とx<0で分けて書いちゃう人？

むしろ場合分けする方が正常

グラフ書いて極地極大値書いたほうがいいですかね？

どう考えてもkxとの交点を考える方がいい
xで割るのは数学的センスが無い奴

この二つの解法に　「どう考えても」　とか　「数学的センスが」　とか言うほどの差異はない

ｋｘですかー
接点を求めないとだめですよね
大変そうだ.......

微分はまだ勉強してないの？

ぐだぐだ言う前に計算しろ

どう考えてもxで割ったほうがいい
kxとの交点を考えるのは数学的センスのないやつ

>>153
してないですね
接線の求め方くらいは分かります

どう考えてもどっちでもいい
こんなのでいちいち比べるのは数学的センスのないやつ

>>156
微分勉強してなかったら解けない気が…
なにか特殊な方法を使うなら話は違うけど

あのね問題でkxって与えられてる時点でkは傾きを表すってことに注目しろっていうサインだよ
ただの文字としかみなせないようでは数学的センスが欠如している
そのようでは将来は工学屋決定打

>>134
これは微分したらできるＹＯ

俺も昔三次方程式の一般解を解こうとしてノイローゼになった事あるなー。（無理だった）
まあ、高度な恒等式が必要だけど、三次方程式も高校の範囲で解けるよ。

微分必要ですか..
1Aの問題なんですけどね

>>160
カルダーノの方法は新課程では教科書に載ってるらしいな

因数分解の式の工程で

=-(a^2-b^2)c+b(a^2-b^2)のとき
=(a^2-b^2)(-c+b)っっつ！！！事故解決しました

x^2+y^2って無理やり因数分解したらどうなるんですか？

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

x^2+y^2+z^2は因数分解無理ですか？

うん

x^2+y^2+z^2-xy+z^3も無理？

義務教育では教えない合理主義哲学 感情自己責任論 m9(｀･ω･)ﾋﾞｼ

・「日本語・風紀・世相の乱れ」はそう感じる人の心の乱れの自己投影
・問題解決力の低い者ほど自己防衛の為に礼儀作法やマナーを必要とする
・真実事実現実史実は人の数だけある。「一つしかない」は視野狭窄
・「真実は一つ」に執着する者だけがその矛盾（煩悩、争い）を体験する
・憤怒激昂は無知無能の自己証明。中途半端な知識主ほど辛辣に批判する
・あらゆる社会問題の根本原因と解決策は「教育」に集約する
・十分なリテラシー教育を受けてない者ほど宗教や偏向思想に洗脳される
・地球上で最も売れているトンデモ本は新約聖書
・体罰肯定論は指導力向上心問題解決力に乏しい教育素人の自己正当化
・死刑は国家による集団リンチ殺人。廃止した方が凶悪殺人は減る
・虐めの原因は唯一「虐める者の精神疾患」。真に救済すべきは加害者
・犯罪加害者に必要なのは懲罰ではなく救済。被害者のみ救済は偽善
・投票率・政党支持率・出生率・消費マインドの低下は社会成熟の証

y=x^2+axと
y=x-aの交点を
aで場合分けして求めよ

むずすぎる
助けて

>>161
微分したほうが機械的に解けることが多いけど、この問題の場合、それほど簡単にはならない気がする(個人差があります)。
k = 0 の場合の解は簡単に求まる(>>163?=>>161?)からあとは絵を描いて〜(>>137)、っていう方法が正規ルートっぽい。

>>168
wolframalpha先生にでも訊いてきたら
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Factor%5Bx%5E2%2B2xy%2By%5E2-z%5E2%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Factor%5Bx%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2-xy%2Bz%5E3%5D

三次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0が重婚を持つ時
それは3ax^2+bx+c=0の根でもあるらしいのですが証明方法分かりますか？

3ax^2+2bx+c=0です

>>170
どこまで試した？2式の差式取ってy=0で解いたらどうなった？
解の公式突っ込んでみた？

下に凸で常に原点を通る合同な放物線と傾き一定な直線の関係だから
接するときの図形を書いて接点でのaの条件考えても良いと思うけど。
接するときは放物線の頂点からx方向に0.5y方向に0.25動いた点だけだよね？
場合分けの仕方は接する条件を満たすaでぶったぎるだけだよね？

>>173
重婚とか裏山死す…
まず二次方程式bx^2+cx+d=0が重根を持つ時
それが2bx+c=0の根でもあるのは理解してる？で、どうやって証明する？
ぶっちゃけ同じ方法なんだが。

二次方程式の重根条件って式f(x)がα(x-a)^2になるんだよね。
その時f'(x)は2α(x-a)だからf'(a)=0っしょ？
三次方程式の時はα(x-a)^2(x-b)=0と考えると？

>>173
微分して、その式が0になるｘを求める
そのｘ座標を三次方程式に代入してやると
nx^3+mx^2+k=0となって１次の項が消える。
重解を持つときｋ＝０となる。
(nx+m)x^2=0
k=0となるための係数の条件を加えてやると
x=-m/nは3ax^2+2bx+c=0の解と等しくなるはずだ。
でなければ>>173は間違ってる。

その変数がセットされた状態で微分するんだから
微分した後と前で式は成り立つよね

画像の貼り方が分からなくて分かりにくいのですが、どうか宜しくお願いします。

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとし、直線AEと対角線BDの交点をPとする。
このとき以下の2つの図形の面積比を求めよ
(1)△ABP:△EDP
(2)△APD:□PBCE

過程も分かると助かります。

>>176>>177
なるほど分かりました
ありがとうございます！

>>179
こういう問題の一番簡単な方法は
平行四辺形を正方形に変えて問題を解く。
平行四辺形∋正方形

すいません。
独学で数学を復習してます。
で独学のためか、数学記号の読み方があいまいです。

以下どう読むべきか教えてください。

log2_8 = 3
心の中で ログ「に」の「はち」と読んでます。

4_C_3
4_P_3

それぞれ
シーの「よん」「さん」
ピーの「よん」「さん」

4!
「よん」ビックリ

とりあえず、おかしいければ正しい読み方を教えてください。

読みなんかどうでもいい
ちなみに俺と同じだ

>>181
ごめんなさい、わからないんです；；

>>182
4! は「〜の階乗(かいじょう)」って読んでるな。
log はそのままログと読んでる人がほとんどだけど、ロガリズムと略さずに言う人もいる。
C,P はそれぞれ「組み合わせ」、「順列」だけど具体的な計算のときは階乗に直すしほとんど読まない気がする。
階乗、組み合わせは英語で factorial, combination なのでそれに倣ってファクトリアル、コンビネーションという人もそれなりにいるかも知れない。
順列に対応する英語は面倒くさいのかあんまり浸透していないっぽい。

こんびねーしょんと比べてぱーみゅてーしょんがそんなに複雑か？
Pがかわいそくね？

log2_8 = 3
ログ２底の８

4_C_3
4_P_3

４シーの３
４ピーの３

4!
４階乗

読み方は人それぞれだろうけど
教師によって読み方が違うのはどうなんだと思った

>>184
平行四辺形の性質を思い出す。
>>181 が言わんとしているところは、問題の図形を正方形に「変形する」のではなく、
正方形もまた平行四辺形なのだから、問題に合わせて正方形を作図してみよということ。
とにかく絵を描く。描いたら次に問題の三角形だけを抜き出して描く。
等しい辺と等しい角にはマークを入れる。

>>187
二項係数に至ってはノーテーションすらバラバラなんだから問題ない。

>>179
錯角 同位角 相似

>>184です
(1)は…4:1ですか？

（；；）

わかりません

ぼくちんもわかりまぺん...＞＜
たすけて...？

>>179です
(1) 4:1
(2) 2:5
あってますかね…

>>194
はい

２チャンで質問するのと知恵袋とどっちがいいと思う？

知恵袋ですかね

ぶっちゃけ知恵袋

こんなところで聞くのは考えられんから知恵袋だな

質問と回答が固まりでみられるやつの方がお互い分かりやすい。

知恵遅よか、教えて！のが。

一回聞いただけで理解できないときはこっちのほうが気兼ねなく何度も質問できるから便利かな

見易さでいえば知恵袋だろうけど、掘り下げて聞きたいときとかはこっちで質問って感じですね。　皆さんありがとうございます

ここ結構偉い人が答えてくれんですよ

誰だよ結構偉い人ってｗ

>>205
(態度が)結構偉い人

６１．８％をやると、９７、３７９になるって、元の数字はいくつなの？
授業で先生黒板に書いてたが、いくつか分からん。

>>207
こうか？
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*61.8%25=97,379

wolframでやる必要ないだろ

>>209
で？

不足算が分かりません。

本を3まいずつ配ると10刷足りなくなり
本を10まいずつ配ると222刷足りなくなるとき

本の数はいくらか？という問題ですが情報が足りなくて解けるんですか？

焼酎スレでやれ
つか本を3まいって何だよ、日本語からやりなおし

>>211
単位が怪しいのはスルーとして
本の数と配る相手の数の2つ伏せられた情報に対して
独立な関係が2つ与えられてるから足りてる

配る枚数1枚変えるごとに不足数何刷変わるのか?
そしてその数と配る相手の数との関係は?
とりあえずこの2点試して解らなかったらまた来てね

冊数x
人数y

3*y = x+10
10*y = x+220

-7y=-210

y=30
x=80


なら溶ける
２２２と２２２０な

>>213
独立じゃない関数だと無理なんですか？

例えばこういう文章題はアウトですか？


りんご3個とみかん4個買ったら100円でした
りんご6個とみかん8個かったら200円でした
りんご何円？

これはダメ？

>>214
you tubeに浜学園の授業の動画でその問題取り扱っていたのですが
その方法じゃ無かったです。連立二次方程式を解けない子供にはその
方法は無理かと。小学生の問題ですので。

鶴亀算やろ

ここ高校数学のスレですので

座標平面上で不等式x^2+y^2<k^2を満たす点(x,y)全体の集合をA、不等式y≧x^2/2-2kを を満たす点(x,y)全体の集合をBとする
但しkは0でない実数である
(1)A∩Bが空集合となるようなkの範囲を求めよ
A.-2k>|k|>0よりk<0
(2)A⊂Bとなるようなkの範囲を求めよ
【解法1】(1)よりk>0
y=x^2/2-2kを変形してx^2=2y+4k
x^2+y^2=k^2に代入してy^2+2y+4k-k^2=0
この判別式をDとするとD≦0であれば題意を満たす
D/4=k^2-4k+1≦0
k^2-4k+1=0を解くとk=2±√3
k>0を満たすので2-√3≦k≦2+√3

【解法2】(1)よりk>0
y=x^2/2-2k上に点P(t,t^2/2-2k)をとる
min(OP^2)≧k^2であれば題意を満たす
OP^2=1/4｛t^2+2(1-2k)｝^2+4k-1
�T)k>1/2のときmin(OP^2)=4k-1≧k^2
k>1/2より1/2<k≦2+√3
�U)0<k≦1/2のときmin (OP^2)=4k^2≧k^2
よって0<k≦1/2
�T)�U)より0<k≦2+√3

解法2が正解とされているのですが、解法1のどこに矛盾が生じて違う答えになったのかが分かりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

小学生向けの問題なら話は早くて、
その文章が何算を使って解けばいいかをサッと見つけ出して解く

小学生向け問題は必ずとけるようにできてる
だから溶ける解けないの心配はしなくていい

あとは二つ
分からない　っていうののレベルと
情報が足りない　とした直観

きっと分からないのは　情報が足りないのに何で解けるのか　あたりだと思うけど
足りてない情報が何なのかてのは>>211しか知らんから
何が足りないように見えんの

もしかして文中に「人数」の一語が無い……とかか？

>>220
そうです、人数、配り方とか他にも条件とかあるでしょう。

いい加減死ねやクズ

台形の4辺の長さが与えられているときの対角線の長さを求める問題の答えの解説がないのですが
宿題が終わらないので早くしてください

>>219
解法2のほうを精読すれば解法1の不備も見えてくるのでは
y の範囲に制限があるので判別式だけでは不十分ということ

断面が1辺1の正三角形になる円錐がある
この正三角形の底辺側の一頂点から対辺(母線)に垂線をおろし、
この垂線を軸に回転させた回転体の体積を求めよ。
尚、円錐の定義として、
・側面だけで構成される場合、
・中身が詰まっている場合、
それぞれについて考察せよ

随分とポエミーな問題文だな

訂正
×断面が
○頂点と底面の直径を含む平面による断面が

・側面だけで構成される場合
断面の正三角形は存在しない、考察終了

ちょっと疑問に思ったんですが
例えば3,6,9,12,15,18...の数列の一般項を求めよ、なんて問題があったらan=3nと普通は答えると思うのですが、別にan=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)+3nとかでも間違えとは言えないと思うんですが、どうなんでしょう？

>>229
2+5=(108+52-60-100)+7
って書くようなもの

数列クイズに答えなしという名句があってだな……。

>>229
一応一番簡単な自然に予想できるものということにしてあるが、そういう答えも間違いではない
この手の問題は、不定性がいくらでもあるから数学の問題ではないという人までいる

数学書にも「・・・」が出てくるけど暗黙の了解よ

>>230-233
やはり答えは色々あっていいですよね
ありがとうございました

>>229
たいていはその問題を回避するために「次の等差数列の一般項を求めよ」のような問い方をするもんだがな。

教科書や問題集ならば、学習の段階に応じて「一般項を推測せよ」のような表現でぼかす場合はある。
学校のテストなら教師の望む解答を書けるかどうかをテストするのだから、むしろ「推測せよ」が妥当なのかもしれない。

x+y+z=k
x-k=k-y=z-k=k^3
を満たすkを求めよ

k=0

>>236
明らかに x=z で、2x=k^3 と x=k^3+k から x を消去してがんばれ。

ふっふっふ、俺は解けたぜ。

これはピタゴラスの定理を使わないといけない。
中身が詰まってる場合。
重要なのは低面と断面が直角であることだ。
√（x^2{x=1/2→0}+√(1-x^2{x=0→1})）={√（x^2+√(1-(1-2x)^2)｝}{x=1/2→0}

Σ(m=1 m→n){√（(1/2)m/n^2+√(1-(1-xm/n)^2)｝+{√（1/2+(1/2)m/n^2+√(1-(1-xm/n)^2)｝
n=∞の時、題意の体積に等しい

Σ(m=1 m→n)π{√（(1/2)m/n^2+√(1-(1-xm/n)^2)｝^2+π{√（1/2+(1/2)m/n^2+√(1-(1-xm/n)^2)｝^2

f(x)は任意の関数である。
∫{f-1(x)-f(x)}dx>xを証明せよ。

>>238
別解でもないけど x+y+z-3k = (x-k)-(k-y)+(z-k) を計算したほうがこの場合はよさげ。

>>241
∫{f-1(x)-f(x)}dx>x って？

e^x-x^e=kの正の実数解の個数を求めよ

についての質問なんですが、
x≧0という条件は勝手に持ち出して良いものか、
左辺のxを∞に飛ばしたときの発散をどう説明すればよいのか（速度が違うのは何となく分かりますが…）
が分かりません
どなたか教えてください

>>244
＞e^x-x^e=kの「正の実数解」の個数を求めよ

>>245
うわ、忘れてましたすみません
後半お願いします

誘導がなかったら既知としていいよ

e^x>1+x+(x^2)/2+(x^3)/6 (x>0) から示せば良いけど、ノーヒントじゃ無理＞＜というなら
なんとなくでいいよ、多分ｗ

e^x-x^e=e^x(1-x^e/e^x)
として
e^x→∞　　x^e/e^x→0
でいいんじゃない？

なるほど分かりました
ありがとうございました

(1) a,b,cが正の実数のとき　a^3+b^3+c^3 ≧ 3abc　を示せ。
(2) 60^(1/3) > 2 +7^(1/3) を示せ。

(1)は定番の不等式なのでいいのｄすが
これを(2)にどう適用すればいいのでしょうか

8^(1/3)
-a^3=(-a)^3

3^7と5^9の大小を求めよ

>>253
ひっかけ？
3^7<3^9<5^9
3^7<5^7<5^9

>>251
両辺共に正なので、両辺を３乗したものの大小を考える
｛2+7^(1/3)｝^3=8+3*2*2*7^(1/3)+3*2*7^(1/3)*7^(1/3)+7
ここで（１）より
3*2*2*7^(1/3)＜8+8+7=23
3*2*7^(1/3)*7^(1/3)＜8+7+7=22
(a=b=cでないので等号不成立)
であるので
｛2+7^(1/3)｝^3=8+3*2*2*7^(1/3)+3*2*7^(1/3)*7^(1/3)+7＜8+23+22+7=60

｛60^(1/3)｝^3 > ｛2 +7^(1/3)｝^3が成立
よって
60^(1/3) > 2 +7^(1/3)

すばらしい

>>240
全部暗算なんで間違ってたらごめん

　　A∪B∩C = A∪(B∩C)
のように集合の演算でも積は和に優先するのですか。教科書には載ってないのですが。

集合の演算には決まりはないから優先順が分かるようなカッコが絶対つく

>>228
無能宣言乙
3点により決定される三角形という表現は普通に使われる。

>>260
そらまた別の話だな

ｘ軸とｙ軸を使った関数のグラフを作った人って誰？デカルト？

>>255
いったん3乗展開してから使うのですね。ありがとうございます。

>>262
直交座標系のことを今でもカルテジアンというくらいだしな

聞き方が微妙。
デカルトは、曲線を直交座標の成分の関係式で表したが、
各成分に「x座標」「y座標」と名前は付けなかったし、
図に座標軸は書き込まなかった。

>>258
計算機は論理積を優先するように処理する (ことが多い)。

1円玉以外の硬貨を自由に選んで1000円になるようにしたい。
1000円になる組み合わせの数はいくらか？

ちょっと難しすぎませんか？分りません。

>>267
枚数が少ない組み合わせから分解していけば、それほど苦労せず組み合わせは数えられる (一般化した場合は知らない)。

x^2=k+x
k-y^2=3
を満たすxを求めよ

S(n)=��12k/5^k　k=1→n
を求めたいのですが等比数列なんでしょうかこれ？

tanθ=-√2のとき、sinθ、cosθの値を教えて下さい。θは0°〜180°です。

>270
とりあえず計算機つかっていいのなら
http://www.wolframalpha.com/input/?i=S%28n%29%3D%E2%88%9112k%2F5%5Ek+from+k%3D1+to+n
なんだと

>>271
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
tanθ=-√2=(sinθ)/(cosθ)を
連立させて解く

sinθ=cosθ=tanθとなるようなθは存在するか？
教えて下さい。

>>274
あるわけねえだろ

なるほど…
とりあえず、cosθ=-1/√3になりました…

sin(θ+k)-cosθが定数となるためのkの条件を求めよ。
分りません。kはnπの形でしょうか？予想ですが。

277ですが
f(θ)=277が定数ですね。

ちょっと何言ってるかわからん

めんどくせえからkじゃなくてωつかえω
あとは整数だけのnじゃないわな

f(θ)=sin(θ+k)-cosθが定数となるためのkの条件です。

k=π/2+2nπ

>>271です

>>273さん、
sinθは √2/√3 になりました。
あってますかね…
あと、sin cos共に分母の√は有理化ほうがいいのですか？

>>282
定数になりますか？

sin(k+θ)-cosθ
=sinkcosθ+cosksinθ-cosθ
=cosksinθ+(sink-1)cosθ
a=cosk,b=sink-1とおくと
a^2+b^2=0のとき…
a^2+b^2≠0のとき…

>>284
0

>>283
検算してみては？

>>285
> =cosksinθ+(sink-1)cosθ
この時点で、θの値にかかわらず定数になるのはcosk=sink-1）=0って言っちゃいかんかな？

>>270
S(n,a,b) = bΣ_{k=1,...,n} ka^(-k) とすると、
aS(n,a,b) - S(n,a,b) = b(Σ_{k=0,...,n-1} a^(-k) - na^(-n))
Σ_{k=0,...,n-1} a^(-k) = (1 - a^(-n))/(1 - a^(-1)) = (a - a^(-n+1))/(a - 1) だから、
S(n,a,b) = b(a - (n+1)a^(-n+1) + na^(-n))/(a - 1)^2 = (b/a^n)((a^(n+1) - (n + 1)a + n )/(a - 1)^2,
a = 5, b = 12 を代入すれば、
S(n,5,12) = S(n) = (3/5^n)(5^(n+1) - 4n - 5)/4
を得る。

>>288
そうでないとき定数でないことを示すステップは必要だと思う
θ=0,πを代入すればいける
わざわざ合成する必要は無いな

>>286
0以外になるようなkってありますか？

>>287
確認してみたけど多分合ってます…(T_T)
sin cosの問題も分母は有理化した方がいいですか？

>>291
ない
グラフでイメージしたら一発
sin(θ+k)はsinを平行移動させたもので、それに-cosθを足すんだから、定数となるなら0しかない
厳密な証明は>>285とか和積使うとか

>>281
f'(θ) = 0, f'(θ) = cos(θ+k) + sin(θ) = -sin(θ + k - π/2) + sin(θ) より、
k - π/2 = 2nπ → k = π/2 + 2nπ (n ∈ Z)

>>292
有理化はオマケ。問題で要求されていない限り、計算しやすいほうを使えばいい。
ただし、近似計算するなら有理化したほうがよい。

>>295さん、
みなさん
ありがとうございました。また宜しくお願いします。

>>293
いや何故0しかない、つまりcosθと重なるときだけなんですか？
ずれながらも差が一定になるような絶妙なバランスを保つkもあるのでは？

>>297
>>290

>>297
差が0になるところが必ずあるだろ？

>>299
差が0以外になることもありますよね？ｗ
屁理屈じゃないですよ
0以外無い証明が欲しいです
数学偏差値54の中堅です

>>300
は？
必ず差が0になるところがあるってことは、候補は0しかないってことだろ。
あとは0になるのはどんなときかってだけだ。

>>301だから必ず差が「定数」ですよ。
0以外の定数ですよ。
キリッ

昼間からの釣りご苦労様です

>>302
その定数の候補が0以外あり得ないだろ。
kがどんな値でもsin(θ+k)-cosθが0になるθが存在するんだから。
sin(θ+k)-cosθが恒等的に定数なら、その定数とは0以外にない。

>>304
だからその理由が知りたい.......です
>>303
全く釣りじゃないです

同じ人か？
もう質問者は酉必須にしようぜ

>>306
はい277ですよ。
何故定数は0以外あり得ないのですか？

>>305
その理由を書いてるだろ。
> kがどんな値でもsin(θ+k)-cosθが0になるθが存在する
これでどうやったら、どんなθでもsin(θ+k)-cosθが0以外の定数になるなんてことが起きるんだよ。

>>308
kがどんな値でもsin(θ+k)-cosθが0になるθが存在する ？？？？
θとk逆でしょ　θが任意ですよ　ｋは条件です

で何故定数が0以外じゃだめなの？
0.5とかじゃそういうkはないのですかと？

>>307
・f(θ)は定数関数
・f(θ)=0となるθが存在する。
この条件で、f(θ)は0以外の値をとることが可能か？

>>309
逆じゃないだろ。
「sin(θ+k)-cosθが定数となる」ってのは「θの値にかかわらず定数」って意味だろ。

>>310
そうです。

>>311
そうですよ。
だからθは-∞〜∞です

>>312
えっ？ >>310を可能だと思うのか？

>>313
可否かどうかその証明が欲しい

いやいやｗ
・f(θ)は定数関数
・f(θ)=0となるθが存在する。←これｗｗ

何故0と決めつけるの？＿ってことです。

>>315
じゃあ、最初からそう聞けよ。
>>293さんが答えてくれてるだろ。
y=cosθとy=sin(θ+k)はkの値にかかわらず必ず交点を持つだろ？
ってことは必ず差が0になる点があるってことじゃんか。

>>315
お前、回答してもらってるのになんでwとか書くの？

>>316
なるほど着眼点の違いね。
まずkを考慮せずってことね。

あｗｗ
0以外だと矛盾ってことか
なるほどｗそういってくれればよかったのに.....



俺が馬鹿でしたｗｗｗ

こういうときにidがないと質問者なのか荒らしなのか判断できない

>>318
そう言ってるだろ。

f(θ)のθを動かすためのkの条件なのに
まずkを可変して考えるってのがトリッキーだよな
やっぱこのスレの人賢いわー

>>320
いやf(k)と勘違いしてるのかなーって思った
単なる着眼点の違いだったんだね
いやｗ勉強になりましたｗ
解説にそんなこと書いてなかったからｗ

どこがトリッキーなのかわからん。

「sin(θ+k)-cosθ=α　αは0以外の定数」だとすると
「sin(θ+k)=cosθ+α　αは0以外の定数」ってことだぞ。
上下に平行移動なんてあるわけねえだろ。

>>323
だって定数を固定してから考えるってことでしょ？
定数=rとおいてとりあえず式変形ってのが普通じゃん？

ベクトルの問題でxy平面において〜という但し書きがなく、いきなり定点O、Aがあり〜と始まったときは3次元で考えるのですか

>>325
まあ、そうなるんだろうけど、受験問題では平面なのか空間なのか明記されてるはずだから心配いらんよ。

>>324
そだよ。でも、「どう固定しても」とも考える。
固定するときに一般性を失うような固定条件を付加しない。
付加する場合は、付加していることを意識してその先を考える。

基礎的な問題ですみませんが、
「男5人、女4人の計9人から、少なくとも女1人を入れて3人を選ぶ」とき、

全体−余事象 ＝ 9Ｃ3−5Ｃ3 ＝ 84−10 ＝ 74（とおり）

で良いと思いますが、

最初に女を1人選んでおく（4とおり）→ 続いて残り男女8人から2人を選ぶ（8Ｃ2 ＝ 28）で
4×8Ｃ2 ＝ 112（とおり）とやるのは、どこが間違っていますか？

全部書きだしてから聞け

……高校生にはこういう人物がいる、ということを知れただけでも勉強になった

ついでに
こういう考え方をしてる人がいる、
こういう考えがある、
というのが分かっただけでも収穫だ

普通に考えていたら及びもつかないような経路、
逆向きというか裏返しに考えている人物がいる、
そういうあたりが

>>328
女が2人以上選ばれる場合、だぶってるだろ。

>>328

>>331で解決だけど、先に女子を選んでおく場合の計算は、
最初に選ばれる1人目のときは残り8C2で良いとして
2人目の女子からは1人目と重複するから人数を減らしていき、
8C2+7C2+6C2+5C2=28+21+15+10=74
とやるならOKだ！

>>331、>>332 様

よく分かりました!!
ご親切にどうもありがとうございます!!

a3=24　a7=46の数列を求めよ。

>>334
p(x), q(x) を x=3および x=7で非零の任意の関数とする。
a(x) = (47/4)(x-3)p(x)/p(7)-(24/4)(x-7)q(x)/q(3)

y=sin(x)　[0≦x≦2π]上の
3点を選ぶ。その3点を結び三角形を作るとき
最大値はいくらか？最小値はいくらか？

最大値は分りますが
最小値が分らないです。

>>336
私は最大値はわかりません。3点を一直線上にとれば、最小値ゼロになるのは
計算しなくてもわかります。

三角形を作るときと言う条件だから、最小値なしじゃね？

>>336
yの最大値？
3点のうち2点を1と-1に選べば三角形なんか無数に作れそうな気が‥

>>339
あれ？
(0,0)
(0,2π)
(π/2,1)の3点が作る三角形が最大値じゃないんですか？

違うわ。
(0,0)
(2π,0)
(π/2,1)
ですわ。
S=π

面積の最大値なら、π
最小値はなし

面積の最大値がπの証明ってできますか？
最小値は0ですが。

>>336
これは解析的に解けるのだろうか、試しにWolframAlphaで
NMaximize[{1/2((z-x)(Sin[y]-Sin[x])-(y-x)(Sin[z]-Sin[x])),0<x<y<z<2Pi},{x,y,z}]
で次の答えが返ってきた。πより大きいな。
{3.33656, {x -> 0., y -> 1.7254, z -> 5.32219}}

計算または図でわかることは真ん中の点での接線が両端の点を結ぶ直線に平行なことくらい。

>>343
原点をO、正弦曲線の頂点をP、終点（x=2π）をQ、曲線上の任意の点をRとして、
常にOQ>RQなので、OQを底辺とみなす場合、高さはPで最大となる。
同様に0<x<π/2の範囲で常にOP>ORより、OPを底辺と底辺とみなす場合、高さはOQで最大となる。
図形の対称性より残りの部分も同様なので、△POQで最大となり、面積は2π×1×1/2=π

最小値は、ない。（0というのは三角形ができていない）

最大がπであることの証明が、いまここに現れました。

>>345
> 常にOQ>RQ
これって証明無しで言っていいのかな？

待て待て
>>345はボロが多すぎる
x=0,π/2,11π/6の3点を結んだ面積は？

>>347
(x^2+(sinx)^2)’=2x+sin2x≧0からすぐに言える

原点O、P（π/2,1）、Q（3π/4,-1）で作られる三角形OPQの面積を考えると
線分PQがx=πでx軸と交わるので、底辺π、高さ1の三角形を二つ合わせた形となり面積はπとなる

E（2π,0）とすると
OP//QEとなるので、三角形OPQのOPを底辺としてみたとき、直線OPとQEの距離が高さとなる
ここで、平均値の定理よりQE間にQEと平行になる接線が引ける
その接線とOPとの距離はOPとQEの距離より大きくなるのはあきらかである

よって面積πである三角形OPQよりも面積の大きくなる三角形が存在する

以上より、面積の最大値はπではない

ムズイ…
どこかの過去問？

ポエム扱いされてなくて草生えた

最小値はともかく、最大値は問題として成立してるから
これをポエムという頭の方がポエムだわ

つまり、ポエム扱いされてたのはされるだけの理由があったってことだな。

O(0,0),A(2pi-x,sin(2pi-x)),B(pi/2+y,sin(pi/2+y))
x=0.961、y=0.155位で、面積3.336

端から見れば「は？」って感じの問題が真のポエム
>>336は数学好きが喜んで飛びつく難問

過去に円を曲げてくっつけたとき上から見た面積を求めよっていう
自作質問したものですがポエム扱いされてなくて吹いた

「面積の」が抜けてると一気にポエム臭くなる

>>355
どうやって求めたの？数値計算？

一つの頂点は原点だと限定すると、面積は二変数関数になる

100個の区別のつかないミカンをABCDEの五種類の箱に必ず一個は入るように分けるとき何通りの分け方があるか

途中経過もお願いします

>>361
100個のミカンを並べて5つの区間に区切ればよいので、99C5

>>361
100個のみかんを並べて仕切れ。

99C4だった…………

重複組合せ

>>360
1つの頂点が原点ってどうやったら示せる？
初等幾何的にいけるのか

>>364
ありがとうございます

>>336　エスパーして面積求める
A(a,sina),B(b,sinb),C(c,sinc)
x=a,b,c　0≦a<b<c≦2πとする。
対称性より、a≦π<bとしてよい。
S(a,b,c)=(a-b)(sina-sinc)-(a-c)(sina-sinb)　とする。

b,cを定数と見てaで微分すると
dS/da
=(sina-sinc)+(a-b)cosa-(sina-sinb)-(a-c)cosa
=(sinb-sinc)-(b-c)cosa
=(c-b)(cosa-(sinc-sinb)/(c-b))
平均値の定理より
(sinc-sinb)/(c-b)=cosθ　π<b<θ<c≦2πを満たすθが唯一存在し(この範囲でcosxは単調増加)、
cosa=cosθとなるaにおいてdS/da=0
0≦a≦πとしたからこのようなaは存在して、
a=2π-θ(=αとする。2π-c<α<2π-b)
増減表は下のようになる。
| 　 a . |　　 　 0　　.|…| 　 α　|…|　　　 　　　　　 π　　　　　　|
|dS/da|　　　×　　 | +.| 　 0　 .| -.|　　　　　　　 　 ×　　　　　　|
|　S 　 |bsinc-csinb|／| 極大　|＼|π(sinb-sinc)+(bsinc-csinb)|

S(α,b,c)
=(α-b)(sinα-sinc)-(α-c)(sinα-sinb)
=α(sinb-sinc)-(b-c)sinα+(bsinc-csinb)

dS(α,b,c)/dc
=dα/dc・(sinb-sinc)-αcosc+sinα-(b-c)cosα・dα/dc+bcosc-sinb
=(dα/dc)((sinb-sinc)-(b-c)cosα)-αcosc+sinα+bcosc-sinb
=sinα-sinb+(b-α)cosc
=(b-α)(cosc-(sinb-sinα)/(b-α))
（つづく）

ここで平均値の定理より
cosφ=(sinb-sinα)/(b-α)　α<φ<bを満たすφが存在する。
2π-c<α, b<cより、　2π-c<φ<c
したがって cosc>cosφ
さらに b-α>0より
dS(α,b,c)/dc>0
すなわちcに対してS(α,b,c)は単調増加であるからc=2πのときS(α,b,c)は最大

上の式に代入して
-sinb/(2π-b)=cosα　(0<α<2π-b<π)
sinα=√(1-(sinb/(2π-b))^2)
α=arccos(-sinb/(2π-b))

S(α,b,2π)
=αsinb-(b-2π)sinα-2πsinb
=(2π-b)sinα-(2π-α)sinb

dS(α,b,2π)/db
=-sinα+(2π-b)cosα・dα/db+dα/db・sinb-(2π-α)cosb
=(sinb+(2π-b)cosα)dα/db-sinα-(2π-α)cosb
=-sinα-(2π-α)cosb
=-√(1-(sinb/(2π-b))^2)-（2π-arccos(-sinb/(2π-b)))cosb

（ここからコンピュータ任せ）
-√(1-(sinb/(2π-b))^2)-（2π-arccos(-sinb/(2π-b)))cosb
はπ<b<2πで単調増加
正から負に変わる零点は唯一存在してb=4.557735…
すなわちb=4.557735…でSは最大
またα=0.961071…
面積の最大値は△ABC=|S|/2=3.336563…
（おわり）

Sは符号が変わるから負の場合についても考えなくてはならないが
x=0.961071…, 4.557735…, 2πにおける曲線上の3点を結んだ三角形の面積が実際最大になる。
厳密にやろうと思ったが力尽きた。

おつ

>>368
解析的にできるのかな？　あきらめて >>344 としたのだけれど。

高校数学の範囲じゃあ、ないな

1つの頂点が端っこだと示すのはもっと簡単にいけないかな
あらかじめそうとわかっていれば>>360の方法が使えていくらか楽な気がする

y=x^2+|x-k|+k^2+k+1のとき

k≧1/2
k≦-1/2
-1/2<k<1/2
この3つの範囲での最小値をそれぞれ求めよ

どんな感じで解けばいいか教えてください

えええええ
そんな解析的に解かないといけない問題なんですか？
もっとシンプルな答えかと思ったのに、点の位置とかも
分かりやすいπ/2とかπ/6とか切りの良い場所じゃないんですか？

ポエム確定

解なしだからポエム確定なんですか？
>>368
>>369
の解説を全力で追ってる最中なんですが......

センスの悪い奴の作った自作問題なんて
考えてもいいことないしな。

原点、(2π,0)から引いた接線の接点、前２点を結ぶ線分に平行な接線の接点
でできる三角形が最大になると思うが、接点が出せない

高校の範囲じゃ無理だから大学まで我慢しなさい

>>375
マルチポスト死ね

数学の問題なんだが
http://hayabusa.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1377787945/

逆三角関数以外はほとんど高校範囲
どの道最後の計算はコンピューターでやるしかない

正三角形の2辺の中点をA,Bとし、ABのBの方向への延長がこの正三角形の外接円と交わる点をＣとするとき、線分AB,BCの長さの比AB/BCをもとめよ

答え　(√5+1)/2

方針が立ちません。よろしくお願いします

>>384
座標設定とか方べきの定理とか

>>385
方べきの定理を使おうとしてみましたがどの線分を公式に当てはめるのかわかりません

ずをくれ

どうしてもって言うなら別なら、座標設定で解いてみれば？

>>386
A側にも延長

内接円とかかんけいありますか？

頭悪いんだから座標でゴリゴリ計算しろ

分かりました

座標でやってみます

>>384
外接円の中心をOとすれば△OABは頂角120ﾟの二等分三角形、円の半径=2とすればOA=OB=1､ABの中点をMとすればOM=1/2より…

>>348
> x=0,π/2,11π/6の3点を結んだ面積は？
>>345の仮定通りその3点を順にO、P、Rとして
「常にOQ>RQ」なら、OPを底辺とみなしたときに該当し
やはり△OQP＞△ORPになるんじゃね？

>>394
(0,0),(π/2,1),(11π/6,-1/2)を結んだ三角形の面積は
|1*11π/6-(-1/2)*π/2|/2=25π/24>π
で、「最大値がπ」の反例を示しているだけかと

なるほどー
もっともらしく見えるけど違うのか‥
どこが違うのかが分からないけど‥

x^2<y^2<z^2
のとき
(x-y)^2<(y-z)^2は真か

偽なら反例を示せ。

分りません＞＜

>>397
テストとして適当に簡単な数字を入れてみることはしたのか？

>>396
言っちゃ悪いがはっきり言って>>345はデタラメ

例えばここ
＞OPを底辺と底辺とみなす場合、高さはOQで最大となる。
Qを通って傾きが2/π(OPと平行)な直線を考える。
これは(3π/2,-1)を通る。
OPを底辺と見なすとRが3π/2<x<2πのときその高さは？

根本的におかしいのは、3点は自由に動けるのに常に2つの点を特定の点に固定して考えていること。

>>397
偽（反例 χ＝１、ｙ＝２、ｚ＝３）

>>399
で、結局最大値は謎のまま？

>>400
>>344>>355>>368-370で解決
最大値は3.365で、πよりちょっと大きい

結局はコンピュータか...

>>368-370は最低限しか使ってないな
何かコンピューターの使用を否定的にとらえているようだが、この問題はコンピューター無しじゃ無理
もちろん手計算でやることもできるけど

結果的には面白い問題だったな。
入試問題などとは違って、きれいに解けない泥臭さが気に入った。
このあたりに最大があるだろうという予想ができるのが数学かな？

今高2で数学の点数が下降気味だから、毎日問題集やろうと思ったんですが、進研模試の応用問題レベルのやつが3割ぐらい入ってるのってありませんか？
今は黄チャートを持ってるんですが、もう少し薄いやつありませんか？

>>405
標準問題精講

>>405
大学への数学の12〜２月号
融合問題総合問題が特集されている
他は受験板で聞け

友人からもらった問題なんだけど
√a+√ｂ＋√c=√3/2のもと
√(y-a)+√(z-a)=1
√(z-b)+√(x-b)=1
√(x-c)+√(y-c)=1
の連立方程式が唯一の実数解を持つことを示せというものです。
分からなかったので友人から答えを聞きましたが
正三角形で3辺に平行な直線を引いて考えるもので、それら交点と
三角形の頂点を考えるというものでした。
どうしてこの方程式から正三角形という発想に至るのでしょうか？
友人に聞いても答えてもらえませんでした

a b c=√

これはつまりだな。
√（Y-X）+√（Y2-X）=1
√（Y2-X2）＋√（Y3-X2）=1
√（Y3-X3）＋√（Y-X3）=1

YとXがそれぞれ同値を持つ場合この連立方程式は成り立つ。
ＹとＸが同値でない場合
xの決定によってY,Y2の関係付けられる。
f(Y,X)=Y２
f(f(Y.X),X2)=Y3
f(f(f(Y.X).X2),X3)=Y
f(x)[3m]=Y f(x)[3m-2]=Y2 f(x)[3m-1]=Y3
f(x)=f(f(f(x)))を満たすf(x)が存在した場合同値でない場合の組み合わせabcも存在する
円に内接する三角形の三点a,b,cは半径Ｓの円周上に存在し、aの座標xyより√3mの円との接点を求めるf(x)を元xyより巡回させていく事によって得られない。
。
って事だと思うよ

誤植
√３ｍじゃなくて√３Ｓね

>>408
１辺の長さが１である正三角形ABCにおいて、正三角形の内部に点Pをとります。
Pより辺BC,CA,ABに垂線AD,AE,AFを引きます。
PD=√a, PE=√b, PF=√cとすると△ABC=△PBC+△PCA+△PABより
√a+√b+√c=√3/2 が成り立ちます。

次に、AP=√x, BP=√y, CP=√zとします。
△PBDで三平方の定理よりBD=√(PB^2-PD^2=√(y-a)
同様にしてDC=√(z-a)
BC=BD+DCなので
√(y-a)+√(z-a)=1
という具合です。他の式も同様にでてきます。

しかし、この式だけから正三角形なんて思いつかない。
長さに√を使うのは惑わすためだと思う。

平成25年度の灘中数学の1日目の9問目って答え70ですよね？
これ三平方の定理使わなくて解けるんですか？
小学生で習う範囲で解けますか？

問題見て見ないとわからない

>>413
yotsuyaotsuka.com/kaitou-sokuhou/pdf/2013_nada_math_q.pdf

>>412
正方形から三角形を引けばいい。重なり部分は補助線が必要。

>>412
図を方眼紙に書いてみればすぐわかる。

>>409
>>411
とりあえず自分なりにまとめてみました。
友人に出典を聞いたら大学への数学から出したとのこと。
まず与えられた前提の条件は√a+√ｂ＋√c=√3/2だけと少なく、
解くべき連立方程式も√＋√の形で処理しづらいので
方針としては数に着目してその特徴から求めるべき(x.y.z)につなげるものとする。
目的は(x,y,z)を知ることで問題文に出てきた式からいかに導くかを考える。
すると、x=(√(x-c))^2-(√ｃ)^2=(√(x-b)^2)-(√b)^2
などとx,y,zの式がすべて問題文中にある6つの項を使ってうまく表せる。
つまり直角三角形６つ分でそれを組み合わせた３つの三角形ができることに気づく。
最後に与えられた連立方程式の条件からこいつらを組み合わせて正三角形
という感じで発想は出来ました。

しかしこれが入試問題で出るとしたらその場で解ける自信はないですね。

>>412
70なの？

200/3になったぞ

こんなのが13問もあって50分で満点取る小学生がいるとかｗ

灘でも解けない問題考えてみた。

1辺10の正方形Tに内接する円に内接する正方形の対角線を一辺とする正方形と
Tの共通部分の面積をSとする。
とある円錐の表面積をS'としてこれがSに等しいとする。
とある円錐の半径を求めよ。

定まらない

>>422
いや√とかは使っていいとしましょう

質問です。
x=a(b-a+1)/a+b-1
y=b(a-b+1)/a+b-1
a^2+b^2=1のとき、x,yの軌跡を求めよ。
という問題を教えてください。

>>423
そういう問題じゃねえだろ。だからポエマーはダメなんだよ。

>>424
三角関数でいじり倒すんじゃないか？

そもそも前半と後半を無理矢理関連付けて一つの問題にする意味がわからない
問題のための問題とすらいえない
完全に蛇足

>>424
括弧を正確に

424です。
質問です。
x=a(b-a+1)/(a+b-1)
y=b(a-b+1)/(a+b-1)
a^2+b^2=1のとき、x,yの軌跡を求めよ。
これでいいですか？

>>429
マルチしたのでアウトです。

>>429
式変形すると
x=b+1
y=a+1
ただし定義できない点に注意

(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc　は対称式でしょうか。

よろしくお願いします。

>>432
対称式の意味を知らんということ？

そうですね

>>433
対称式の意味は知っているのですが、>>432をaについて整理せよという問題を解くときに、
対称式の性質を用いて溶けません。ですからもしかして「対称式ではないのでは？」と思いました。
ちなみに原式は普通にばらしてaについてまとめました

わけわからん

>>435
意味を知っているなら、それに合致するかどうか自分で確かめりゃいいだけだろ。

原題の日本語が悪いんだな

>>432
対称式だね。
俺も方程式いじくり倒した事あるから対称式には敏感なんだよね

…

ビクンビクン

面積で
1km^2って
縦、横ともに1kmですよね？

何故1(km)^2じゃないねすか？

多分めんどくさいから

>>442
kmはkilometerの略でありk×mでないので( )は不要

n人でじゃんけんをする。このn人の中で3人がグルで必ず同じ手しか出さないと決めてある。
残りの(n-3)人は普通にじゃんけんを行う。この3人を含む5人が勝者になる確率をpとするとき、このpは3人の意思に依らない定数であることを示せ。

解き方を教えてください。

>>445
> 3人の意思に依らない定数
意味がよくわからない。

>>445
３人を１人と考えるだけでは？

螺旋って自己相似図形なんでしょうか？

らせんにもいろいろ定義があります。

aは負の数とする。関数ｆ（ｘ）＝2ｘ^3−（a＋1）ｘ^2＋6aｘの区間−2≦ｘ≦2
における最大値をM（a）、最小値をm（a）とする。M（a）とm（a）のグラフをかけ。
最大値の範囲の求め方がわかりません。 お願いいたします。

>>446
pを求めよってことです！
>>447
はぁ...

>>451
自分で求めたら！

>>447
「3人の意思によらない」だから、裏切り者がいる場合も考えないとダメでね？

0≦a,b,c,d,e≦10の整数である。

f(a,b,c,d,e)=(a-b/c)/(d-e/a)とするとき
f(a,b,c,d,e)が分母0を回避できるようなa,b,c,d,eの組み合わせの総数は
いくらか？

D☆☆☆☆+問題

追加というか、正し0/0も回避できるとする。

a,b,c,d,eは
0≦a,b,c,d,e≦10の整数である。

f(a,b,c,d,e)=(a-b/c)/(d-e/a)とするとき
f(a,b,c,d,e)が存在できるようなa,b,c,d,eの組み合わせの総数は
いくらか？ 0/0は不定形なので存在できるとする。

D☆☆☆☆+問題

>>453
それだと普通の確率計算？
>>445
「５人が勝者になる」とは？　
「ちょうど５人が勝者になるのか」か「６人以上勝者になる場合」を含むのか？
素直に読むと前者だが、後者でないともいえない。
「3人の意思」とは？　どんな意思？

>>457
少し日本語がへん！

出題者の意図をくみ取ると
「みんなで結託したところで勝率はそんなに変わらない」
ってことを示して欲しいのだろ？
「n≧5人の条件下でn人の中から5人の勝者を決めるとき、
うち3人が結託して出す手を統一してもしなくても
3人の勝利確率は変わらないことを示せ」でしょ？
これを意思に依らないとか複雑なこと言うからカオスになる。

>>459
「5人の勝者を決めるとき」　とはいってないのでは？

>>445
結託すると、３人の勝敗は同じになるので、結託しないときとでは
この3人を含む5人が勝者になる確率ｐは異なると思う。
ｎ＝6のとき
結託すると　p=(3*3C2)/(3^4)=1/3^2
結託しないとp=(3*3C2)/(3^6)=1/3^4

n-2人でじゃんけんをする試行と同じ。終わり

sinA+cosB (A≠B,A≠0,B≠0)

これをsinのみ、もしくはcosのみ、あるいはsinとcosの積で表すのは不可能ですか。

463ですがすみません。
(A≠B,sinA≠0,cosB≠0)の間違いです。

>>464
cosB=sin(Ｂ+π/2)

>>465
どうもありがとうございました。
sinA+sin(Ｂ+π/2)=2sin{(2A+2B+π)/4}×cos{(2A-2B-π)/4}となるのですね。

>>460
これでいう「じゃんけん」って、全員で手を出して
連続したあいこの後に勝ち負けが生じたときに
結果勝った人間が5人でしたって言う確率の更に狭い話なのか。
例えば6人が勝ったようなケースから更に絞り込む必要は無いのね。

じゃぁ
「n≧5人の条件下でn人のじゃんけんから5人の勝者が決まるとき、
うち3人が結託して出す手を統一してもしなくても
3人が勝利していた確率は変わらないことを示せ」
かな？結局同じなんだけど。

同じ手を出してちゃ、だめだ。
三人の中で二人が勝って一人負ける
ように結託しなきゃ。

sinθがxの多次項級数で表せる事を示せ。
これテーラー展開だと思うんですがこんな問題が過去に出ました。
どうやって証明したらいいですか？

高校でそんなん出るの？

θとxの関係が分からないから問題不成立

sinのテーラー展開を使わないと解けない入試問題は稀に出る

1次近似はともかく、ノーヒントでそんなの見たことないぞ

お茶の水女子大のsin1の問題か

>>469
どこで出たの？

x+y+z=2,1/x+1/y+1/z=1/2のとき，1/x^3+1/y^3+1/z^3を求めよ
という問題なんですが、
1/x^3+1/y^3+1/z^3-1/xyz=(1/x+1/y+1/z)(1/x^2+1/y^2+1/z^2-1/xy-1/yz-1/zx)
を使ってある程度きれいにできたけど、行き詰まり…
どう解きますか？

>>475
通分くらいしたら

>>476
通分して
1/x^3+1/y^3+1/z^3-1/xyz=(1/2)(1/x^2+1/y^2+1/z^2-2/xyz)
1/x^3+1/y^3+1/z^3=(1/2)(1/x^2+1/y^2+1/z^2)
1/x^3+1/y^3+1/z^3=(1/2)(1/4-2/xyz)
ここまでいけてるんですが…
間違っているような気もする

a=1/x
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc

>>478
2abc=ab+bc+ca使ってもぐるぐる同じところしかまわれない・・・

絶対値の定義に
a≧0 なら　|a|=a
a<0 なら　|a|=-a

となっているのに

問題
P=|x+2|+|x-5|とするとき、

x≦-2　のとき、 |x+2|を答えの計算で-x-2としています。

また

-2<x≦5　のとき、|x-5|を-x+5としています。

定義と違うんじゃないでしょうか？
何故なんでしょうか？
お願いします。

どこがおかしいと思ったの？

>>475
穴埋め式なら
x=2,y=-zはx+y+z=2,1/x+1/y+1/z=1/2を満たすので
1/x^3+1/y^3+1/z^3=1/8 だが他にないかは？

だって、
x≦-2　なら　x=-2も含んでますよね？
ってことは
|x+2|=|-2+2|=|0|
になりますよね。　　　　　　壱

定義の
a≧0 なら　|a|=a
a<0 なら　|a|=-a
から、a=0の場合は、|a|=a
だから、

壱の通り
|x+2|はx+2とするべきで、教科書のように、-x-2とするのは、おかしいんじゃないですか？

と思うのですが、どうしてなのか、私はどこで間違えてるのか、もうなんで違うのか、いやなんでなんでしょうか？

a=0のときは、|a|=a=-a=0だから、あんまり細かいことは気にするな

>>475
zを消去し、分母を払って整理すると(x+y)(x-2)(y-2)=0
(x,y,z)=(a,-a,2),(2,a,-a),(a,-2,a)の３通り
いずれの場合でも 1/x^3+1/y^3+1/z^3=1/8

うまい恒等式で一発でできるかもしれない

ありがとうございます。

ただ、それだと、
問題の
x≦-2　のとき　と　-2<x≦5　のとき　の答えが違ってきちゃわないでしょうか？
教科書の答えに合わせるにはやはり、|a|をaとするか-aとするかの明確な基準が必要じゃないでしょうか？

でも、どうしたらいいの？

>>485 訂正 (a,-2,a)→(a,2,-a)

>>486
場合わけのときとかも大体そうなんだけど、範囲の境界の不等号にイコールつけるかどうかとかはどっちでもいい場合が多いんだよな

x≦-2と-2＜x≦5でわけてもいいし、x＜-2と-2≦x≦5としてもいい
どちらに場合わけしたとしても境界のx=-2での値はちゃんと表されてるから何も問題ない

で、明確な基準とかはないんだけど、慣習的に解答みたいに、小さい方から順にイコールつけて行くことが多い

>>482
なるほど、答えは出ますね
ありがとうございます

導出の過程がいまだに導けない・・・

俺の時は複素数平面無かったけど、
習った代の人はリーマン球面まで習ったの？

>>489
>>485 と同じだが
>>475

y+z=s,yz=tとおく
x+y+z=2 より　x=2-s

1/(2-s)+1/y+1/z=1/2
1/(2-s)+s/t=1/2

2t+2s(2-s)=(2-s)t
2s(2-s)+st=0
s(4-2s+t)=0
s=0または4-2s+t=0
4-2y-2z+yz=0
(y-2)(z-2)=0
y+z=0またはy=2(このときx=-z)またはz=2(このときx=-y)

>>490
寺脇のゆとり教育になる直前の課程だったけど
複素平面といってもリーマン球面は無かったと思う。
ド・モアブルの定理とか、一次変換的なものというか
複素数の幾何学的扱いみたいな所。

>>491
y+z=s,yz=t とおかずにそのままの方が見通しがいいですね。

>>486
a ≧ 0 の時 |a| = a
a < 0 の時 |a| = -a
と定義したとする。

この定義は、次の命題

a > 0 の時 |a| = a
a ≦ 0 の時 |a| = -a

と同値、したがって、定義としてこの命題を取ってきても同じということだから
答えが違ってくることはない。

>>485
>>491

なるほど・・・
そういうことだったんですね
わかりました。ありがとうございます。

>>475
有名問題でした
1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z)を通分して整理
(yz+zx+xy)(x+y+z)=xyz 整理して因数分解
(x+y)(y+z)(z+x)=0
x+y=0のときy=-x なので
任意の1以上の奇数ｎについて
1/x^n + 1/y^n + 1/z^n =1/z^n =1/(x+y+z)^n=1/2^n

>>496
ああ、何かとてもスッキリする解答だね

リーマン面とかレベル高いな

リーマン球面とリーマン面は、違うだろ。
リゥビルの定理があるから、球面は
定数関数のリーマン面にしかならない。

>>496
任意の奇数ｎについて
x^n + y^n + z^n =z^n =(x+y+z)^n　のn=-3の場合でいいね。

寝不足の時に書いた文が意味不明な暗号みたいになってる・・・
死にたい

>>499

「α＋β＝-1、αβ＝1を満たす複素数α、βがある。
　正の整数m、nに対して、α^m＋β^m＝α^n＋β^nが成り立つための必要十分条件は、
　m^2-m^2が3で割り切れることであることを示せ。」

解と係数の関係から、αとβは1の3乗根である2数ということと、
指数の3乗部分は1として無視できそう、というところまでは考えたのですが、
その後をどうやって示したら良いのか分かりません。
（そもそももっと良い証明方法があるのかも‥）
お知恵をお菓子ください‥いや、お貸しください(＞＜;)ﾉ

m^2-m^2になってるぞ

ttp://jcgiraldo.files.wordpress.com/2012/03/mmsguys.jpg
ホントだ
m^2-m^2　になってる

m^2-n^2が3で割り切れること　ですね
m,nを３で割った余りをs,tとして地道にすべての場合を考えれば出来ると思います。

>>494
a=0のときに、|a|の値が、aか-aになっちゃいませんか？
a=0のときの値が動いてるように思えてしまいます。

問題に当てはめると、どうしても
>>483のときの疑問が解消されません。

>>480の

問題
P=|x+2|+|x-5|とするとき、

x≦-2　のとき、 |x+2|を答えの計算で-x-2としています。

また

-2<x≦5　のとき、|x-5|を-x+5としています。

の問題はどのように解くのでしょうか？

a=0がaや-aに動くのでは、答えが変わってしまうんではないでしょうか？

>>504-506
そうです、m^2-n^2です！
すみません！
全部の場合を調べ上げですか‥

>>507
a=0のとき|a|=a=-a=0 どれでも同じ！

>>507
a=0 のとき |a| の値は a や -a になってしまいますが、
a=0 のときは a と -a は同じ値ですので値が動いていません。

値が動いていると思いこむのは勝手ですが、その勝手な思い込みによって答えが変わるなどということはありません。

>>507
試しに代入してみればいいよ
x=-2のとき
|x+2|=x+2としたときと、-x-2としたときで値が変わるかどうか

質問です。大変混乱しています。
2次の正方行列Ａを考える。このとき、全ての自然数ｎに対して
Ｔｒ（Ａ＾ｎ）=(Tr(A))^nが成立することとdet(A)=0が同値であることを証明せよという問題です。
全ての自然数ｎに対してＴｒ（Ａ＾ｎ）=(Tr(A))^nが成立するならば、特にｎ=2の時も成立するから、として
式変形すれば確かにdet(A)=0は出ます。
しかしこれで→方向の証明が完了してるとのことですが、それが分かりません。
だってn=1,2,3･･･でＴｒ（Ａ＾ｎ）=(Tr(A))^nが成立のもと考えていて
確かにn=2の時はdet(A)=0が成立しました。しかしそれがn=3,n=4…も調べなくていいのでしょうか？

>>508
s≧t(s＜ｔの場合も同じ）だけ調べればいいので3+2+1=６通り調べればいい。

>>508
この程度なら、スマートな解答を考える前に、地道に場合分けして調べていく。
そのうち規則性が見えてくる。

>>512
調べる必要はないんじゃないかな
十分条件を示すのに与えられた条件すべてを使う必要はないからね

>>507
マルチ　こんがらがってるのはだれ？
http://www2.ezbbs.net/34/eijitkn/

>>512
例えばxを実数として
「全ての自然数ｎに対してx^n>0」ならば「x>0」
はどうやって示す？

>>479
a+b+c=1/2
(1/a)+(1/b)+(1/c)=2　すなわち　ab+bc+ca=2abc、これを　t　とおけば、
a,b,c　は 3次方程式　u^3-(1/2)u^2+tu-(1/2)t = 0 の3解。
従って
a^3+b^3+c^3=(1/2)(a^2+b^2+c^2)-t(a+b+c)+(3/2)t
=(1/2)((a+b+c)^2-2(ab+bc+ca))-t(a+b+c)+(3/2)t
=(1/2)(1/2)^2-t-(1/2)t+(3/2)t
=1/8

>503
nは3k-1,3k,3k+1のいずれか
(3k±1)^2=9k^2±6k+1=3(3k^2±2k)+1=3s+1

>>517
なるほどすっきりしました！
どうやら数学Ａの勉強不足だったようです。
つまりn=1,2,3,4…で計算すると各々で条件が出てきてそれを条件A1,A2,A3…とおくと
全てのｎで成立→○
は、A1かつA2かつA3かつ・・・の条件に縛られた（これは見えないもの）→条件A1に縛られている状態である
ということを示せばいいのでn=2のときに確かに成立したからＯＫということですね
例えば人間は
「動物界・脊椎動物門・哺乳綱・霊長目 類人猿科・HomoSapiensの動物である」
というandで結ばれた多くの条件を持っているが今回はそれが隠れている
「そいつが動物界にいること」を示せであるからこの長いandで結ばれた条件の元で「これが動物界に存在している」
というものを引っ張り出せばＥＮＤってことですね。

数Cやる前に数Aやり直した方がいいと思うよ。

A、B、Cを正の有理数とする。
√A＋√B＋√Cが有理数ならば、√A、√B、√Cはすべて有理数であることを示せ

という問題です。どう攻めたらいいんでしょうか？

我那覇タルスキーの定理というのがあるそうですが
そこで有界な空間図形で体積ができないのがあるというそうですが
簡単な例ではどんな例がありますか

A = α/a
B = β/b
C = γ/c
と置く

沖縄人っぽいねω

>>523
バナッハ=タルスキ
ググれ

ベシコビッチ集合じゃね

うんこ

>>522
（１）√A、√B、√C　すべて無理数とする。
√A＋√B＋√C＝D有理数＞0
√A＋√B＝D-√C
A+B+2√(AB)＝D^2+C-2D√C
2√(AB)＝D^2+C-A-B-2D√C
4AB=(D^2+C-A-B)^2+4(D^2)C-4D(D^2+C-A-B)√C
D^2+C-A-B=0 よって、A+B=D^2+C
AB=(D^2)C
よってA=D^2またはB=D^2　これは仮定に反する。
よって√A、√B、√Cの少なくともひとつは有理数。

nを2以上の整数とし、a,bを0以上の整数とする
nが2より大きい素数のとき、a^2-b^2=nを満たすa,bをnで表せ

(a+b)(a-b)=n

a,bが0以上の整数のとき、a+b,a-bも整数で....A

a+b≧a-b、a+b≧0である
a+b=n、a-b=1となるから
a=(n+1)/2、b=(n-1)/2のときだけである...B

ここで、nは2より大きい素数だから奇数である
ゆえにn+1、n-1は正の偶数である
このときa,bは0以上の整数となる


Aでa,bは整数であることを確認しているのにも関わらず、最後にもう一度a,bがちゃんと整数かどうかを確認しているのは、Bの時点でわかったa=(n+1)/2,b=(n-1)/2というのは、「nを2以上の整数とし、a,bを0以上の整数とする
nが2より大きい素数のとき、a^2-b^2=nを満たす」に対する必要条件であることがわかっただけであるので、十分条件であるかどうかを確認している、という認識であってますか？

はい

>>530
いや、Bの時点でわかったa=(n+1)/2,b=(n-1)/2というのは、
「nを2以上の整数とし、a,bを0以上の整数とする。n が素数のとき、a^2-b^2=nを満たす」
に対する必要条件であって、n が 2 より大きいことはまだ使っていない

実際に「n が 2 より大きい」という条件がなければ
『n=2 のとき条件を満たす a,b は存在しない、n>2 のとき a=(n+1)/2,b=(n-1)/2』
という解答になるだろう。


しかし、最初の「nを2以上の整数とし」の条件の存在意義がよくわからない問題だな。

>>530
a=(n+1)/2、b=(n-1)/2は
「a^2-b^2=nを満たす」の十分条件もＯＫですが
「a=(n+1)/2、b=(n-1)/2が0以上の整数である」ことを確認しているわけです。

>>522
√A＋√B＋√Cが有理数の時

そもそも有理数と無理数を足して有理数になるような事ってあるのか？
どう考えても全部有理数だろ。
たとえば解りやすく言うと
a+√b=c
aとcは有理数で√bは無理数
c-a=√b
有理数同士で足し引きしただけで無理数が出てくるなんてありえん。

>>532
なるほど
確かにn≧2の条件がなかったとしたら、すんなり理解できました
>>531>>533
やはり十分条件だということであっていたのですね
でも⇒で形式的に表すことができない気がするのですが、例えばa,bが0以上であることを確認するということは

「a=(n+1)/2,b=(n-1)/2」⇒「nを2以上の整数とし、a,bを0以上の整数とする。n が素数のとき、a^2-b^2=nを満たす」

を示した、という風に言えるのでしょうか？

「nが奇数」⇒「a=(n+1)/2,b=(n-1)/2が0以上の整数」しか言えてないような気がします

>>534
無理数+無理数なら有理数かも知れんじゃないか。

y＝|x|√x＋1
の定義域ってなんで
x≧−1なの？

>>534
だから、それを証明せよ。という問題です。

>>536
それはない。せいぜい x≧0 だろう。

>>537ルートの中は正とかじゃね？

>>539
（２−√２）＋√２＝２
正の無理数＋正の無理数＝有理数

>>537ルートの中は正とかじゃね？

>>539の>>536は>>537の間違いです。

>>541
いい例だな
でも題を見て見ろ
A、B、Cを正の有理数とする。
√A＋√B＋√Cが有理数ならば、√A、√B、√Cはすべて有理数であることを示せ

ABCが正の有理数であるから
√A、√B、√Cがそれぞれ有理数＋無理数と表される無理数になる事は決してない。

>>541
は　>>534 あてでした。

>>544
証明は？

>>544
そんなこと証明無しに言えるのかよ。
実際、>>534はトンチンカンなことしか言えてないし。

2+√2+√3,2-√2,2-√3

>>544
>√A、√B、√Cがそれぞれ有理数＋無理数と表される無理数になる事は決してない
√3=1+(√3-1) 正の有理数＋正の無理数と表される無理数

>>541こっからはちょっぴり入り組んだ難しい話になるかもしれんが

√a+√b=cだとすると
(√a+√b)^2=c^2
a^2+b^2+2√ab=c^2

よって√abも有理数である必要がある。
√a+√b=有理数
√ab＝有理数。
これは二次方程式の係数と解の関係に対応してしまう。
つまり、有理数の係数だけで形成されている2次方程式が
有理数と無理数で表されない無理数（同値でない）の解を二つ持つ事になる。
そんな事は決してない。
解の公式より、(-b±√D)/2a
まず２解のＤは統一されてる事がわかる。
更にb=0の時は２解の和が0の時に限る。
といった風な証明になるな。

だから問題をよめってばよ

A、B、Cを正の有理数とする。

なんか叩かれまくっててワロタ

「直径の和が20センチメートルになるような3つの円を重ならないように描く」

1、3つの円の和がは全部で□通りあり、最小のものは□平方センチメートルで最大のものは□平方センチメートルである

しらみつぶしにやればできるが、基礎解析的に数式でやるにはどうすればいいのかな？
それと、円の半径が小数の時は考えなくてもいいのかね？

ポエムでもなけりゃ考えないとダメに決まってる

>>553
問題文くらいちゃんと書けよ。
円の和っていったいなんなんだよ。

有理数A, 平方数でない正の有理数Bについて
A+√Bは無理数である。

A+√B=C/D となる互いに素な整数C, Dがあると仮定すると
√B=C/D - A
両辺を2乗すると、B=(C/D-A)^2
これはBが平方数でない事に矛盾。
∴A+√Bは無理数

であっていますでしょうか？

>>553

訂正：「直径の和が20センチメートルになる3つの円を重ならないように描く」

　　　１、３つの円の面積の和は全部で□通りあり、最小のものは□平方センチメートルで
　　　　　最大のものは□平方センチメートルである

　　　２、３つの円の周の長さの和は□センチメートルである

やっぱり小中学校での用語に難があるんじゃないのかね
有理数とか無理数とか
語義通りに理じゃなくて比にした方がいいよ
有比数・無比数
こんんあ簡単な問題が解けないのは用語に難があるからだよ

名前のせいにするなよ

>>556
素晴らしい。

a,b,cが三角形の三辺の長さをなすとき、
a&sup2;(b+c-a)+b&sup2;(c+a-b)+c&sup2;(a+b-c)≦3abc
を示せ。

どうやって示せば良いでしょうか?

>>561
普通に記述してくれ

&sup2;

a,b,cが三角形の三辺の長さをなすとき、
a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)≦3abc
を示せ。

どうやって示せば良いでしょうか?

>>529
>AB=(D^2)C
>よってA=D^2またはB=D^2　これは仮定に反する。

ここが意味不明だが、有理数というだけの仮定でA=D^2云々は出てこない。
むしろA+B=D^2+Cを上の式に入れると
√(AB)＝-D√C<0で矛盾

閉鎖は9/6
ラストスレになりそうですね

>>565
A+B=D^2+C
AB=(D^2)C
よってA=D^2またはB=D^2　
（２次方程式の「解と係数の関係」を使って良いし連立方程式として解いてもいい）
A=D^2　のとき√A＝D有理数となり仮定に反する。B=D^2のときも同様。

>>565
>むしろA+B=D^2+Cを上の式に入れると
上の式とはどの式でしょうか？途中計算もお願いします。

>>564
三角不等式みたいなのがあるので、x=b+c-a>0, y=c+a-b>0, z=a+b-c>0 としたら
どうでしょう。

764 名前：Apparently admin ★[] 投稿日：2013/08/26(月) 19:10:45.58 ID:???
It was decided that 2ch server will get shut down temporarily by September 1.
We don't know when 2ch will be restored to its original state.


翻訳



これは、2chのサーバは9月1日で一時的にシャットダウンしてしまいますことを決定しました。
2chの元の状態に復元されたときに我々は知りません。

日付越えたら書き込めなくなる可能性有り

2ch閉鎖まであと1時間です

764 名前：Apparently admin ★[] 投稿日：2013/08/26(月) 19:10:45.58 ID:???
It was decided that 2ch server will get shut down temporarily by September 1.
We don't know when 2ch will be restored to its original state.

シンガポール時間だよ

>>567
なんのためにそんなことするのかよくわからんが
A+B+2√(AB)＝D^2+C-2D√C
√(AB)＝-D√C
ここでもう終わってるだろう

>>570
そんなトリが漏れた後の悪戯を真に受けるカスがいるとは思えないが
それ使って書き込んだだけだろう。

>>573
そうですね！

test

>>564
x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-cとおくとx>0,y>0,z>0
左辺*4={(y+z)^2}x+{(z+x)^2}y+{(x+y)^2}z
=(y^2+z^2+2yz)x+(z^2+x^2+2zx)y+(x^2+y^2+2xy)z
=(y^2+z^2)x+(z^2+x^2)y+(x^2+y^2)z+6xyz
右辺*8=3(y+z)(z+x)(x+y)
=3{(x^2)y+(x^2)z+(y^2)x+(y^2)z+(z^2)x+(z^2)y+2xyz}
=3(y^2+z^2)x+3(z^2+x^2)y+3(x^2+y^2)z+6xyz

右辺*8-左辺*8=(y^2+z^2)x+(z^2+x^2)y+(x^2+y^2)z-6xyz
=(y^2+z^2)x-2xyz+(z^2+x^2)y-2xyz+(x^2+y^2)z-2xyz
={(y-z)^2}x+{(z-x)^2}y+{(x-y)^2}z≧0

πが無理数であることを用いてπ^n(nは自然数)が無理数であることを示せ

n=1のときπは無理数となる

>>577
等号はx=y=zすなわちa=b=c（正三角形）のとき

半径1高さ10の円錐を2つ用意し、一つの円錐に対して、もう片方の円錐を
頂点が片方の円錐の円の中心に一致、またお互いの円が平行、共通体積を
持つように配置する。2つの円錐の共通部分の体積を求めよ。

3年前に旧帝で出た問題ですが分かりません。教えて下さい。

>>581
最近の宮廷の問題なら探せば解答が見つかるだろ
たとえば
http://www.densu.jp/
とかは調べたのか？

n=kのとき、π^kが無理数であると仮定する。
n=k+1のとき、
π^(k+1)=π^k × π・・・�@
いま、π^kは無理数であり、πも仮定から無理数である。
πは超越数である事実を用いれば、�@も無理数である。

>>582
旧帝じゃなかったと思います。私大ですね。
分かりますか？問題文覚えてないんですよ。

>>583
帰納法いらねｗ

>>583
素晴らしい。

>>583
>>578 の解答だとすると「πは超越数である事実」使えるの？　使うなら帰納法は不要では？

>>587
うん

>>573
そんなつっかかるな

n=1のときπは無理数。
今、任意にとった自然数n≧1に対してπ^nが無理数と仮定して、このとき、π^{n+1}が有理数とする。
すると、π^{n+1}に対して或る自然数p、qが存在してπ^{n+1}=p/qであり、
両辺は正だから、1/π^{n+1}=q/pから、1/π^{n+2}×π=(q/p)×π
即ちa=1/π^{n+2}とおけば、aπ=(q/p)×πを得る。
ここで、π^{n+1}が有理数、πは無理数だったから、1/a=π^{n+2}は無理数、
よってaは無理数であり、pは有理数だから、paは無理数。
また、aπ=(q/p)×πから(pa)×π=qπであって、sin((pa)×π)=sin(qπ)
ところで、paは無理数であり自然数ではないから、sin((pa)×π)≠0。
一方、qは自然数だから、sin(qπ)=0。
従って、sin((pa)×π)≠sin(qπ)であり、これはsin((pa)×π)=sin(qπ)に反し矛盾。
この矛盾はπ^{n+1}が有理数としたことから生じだから、
背理法により、π^{n+1}が有理数ではない。つまり、π^{n+1}は無理数。
任意にとった自然数n≧1に対してπ^nが無理数と仮定していたから、
帰納法により、任意の自然数n≧1に対してπ^nは無理数。

>>578
何か、お兄さん、>>590で変なこと書いちゃったから、
>>590の内容は無視して自分で解答作って書いてね。
あと、>>590の
>この矛盾はπ^{n+1}が有理数としたことから生じだから、
の「生じだから」は「生じたから」の間違いね。

>>578
√2が無理数であることを用いて(√2)^nが無理数であることも証明できる

>>581
算盤の珠の形なので、円錐1つの体積の1/4

すみません
高校数学を質問するために今さっきこのアプリをインストールしたばかりなので
不慣れな者ですが、どなたか
関数y=x&sup2;-2x+2(a≦x≦a+2)についての最大値がa<1のとき-a&sup2;+2a+5になるらしいんですけどなんでか教えてください。

私はなぜか-a&sup2;-6a-3になります

ヴァカか？
&sup2; くらい直せよアホ
テンプレも読め
^2 すらも書けない無能に何ができんのよ

すみません文字化けみたいです
テンプレ読んだんですけど...
無能ですみませんでした
ありがとうございました。

AとBが互いに素であることを記述する論理記号って存在しないのですか？
ググってもどうにも出てこないので…。

>>597
a,bの最大公約数の記号なら(a,b)なので(a,b)=1と書けばいい

>>578
無理のようですね。少なくとも高校数学のレベル外と思う。

>>590
何で「1/π^{n+1}=q/pから、1/π^{n+2}×π=(q/p)×π」なのか

>>600
>>591 で590 は無視してくれと言っているので、追究してもムダだと思う。
そもそも「πが無理数」を使って「π^2が無理数」を示すことさえ難しそう。

>>590
>「1/π^{n+1}=q/pから、1/π^{n+2}×π=(q/p)×π」
は、間違いで正しくは
「1/π^{n+1}=q/pから、1/π^{n+1}×π=(q/p)×π」
これだと、この後の議論は成り立たない。
このあとの議論はsinなど持ち出すまでもないが、そもそもその前に間違っているので
それ以後は、まったくナンセンス。

>>602
[1/π^{n+1}]×πですね。失礼

　M 高校の男女比は男 25%、女 75% である。男子生徒の 12%、女子生徒の 8% は性体験済みである。
　任意に生徒を 1 人選び、「君は性体験済みか？」と聞いたところ、はいと答えた。この生徒が女子である確率を求めよ。

>>601 >>578は追究したいが、590は追及しないことにする。

>>604
全員が正直に答えるという前提なら、条件付き確率を求めればよい。
条件付き確率の公式を使わなくても
　Ｍ高校の生徒総数を１００人とすると
　男子で性体験済：１００人×25%×12％＝3人
　女子で性体験済：１００人×75%×8％＝6人
　性体験済の人数９人、うち女子６人　よって求める確率は6/9=2/3

>>606
　サンクス。うまい解答ですね。自分は条件付き確率の公式を使ってシコシコ解いていました。

2a-4<0のとき
x(2a-4)<=1
xを求めよ


この問題ってxの場合分けいるの？

いいえ

なぜそんな疑問を持ったのかを知りたい

ケフィアです

x^2 +y^2 =1234567890なる自然数x,yの組

2.
3.
3.
5.
3607.
3803.

右辺は1234567890^2じゃないのか？

どうやらここで使うためにお邪魔したようです
お騒がせしました


入試『x^2 +y^2 =1234567890なる自然数x,yの組』←俺は数学を諦めた
http://hayabusa.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1378024323/

(a+b+c)^5-(b+c-a)^5-(c+a-b)^5-(a+b-c)^5

答え　80abc(a^2+b^2+c^2)

解説　a=0ならば原式＝0だからaを因数に持つことがわかり、同様にしてb,cも因数に持つから、abcを因数に持つ。
この因数はa,b,cの３次の交代式だから、残る因数は二次の対称式
L（a＾２+ｂ＾２+ｃ＾２）+M(ab+ac+bc)

a=b=c=1を代入すると　240＝3L+3Mだから、　L+M=80
また　a=b=1 c=-1を代入すると３L-M＝0

よってL＝80　M＝0

[疑問点] a=b=c=1 ,a=b=1 c=-1を代入できる理由がわかりません。試験で同じ問題を出されたら都合よく代入できないと思います

>>616
因数分解で作った等式は恒等式だから
その恒等式にもとの式の値が計算しやすい値を代入しただけ
こういうテクニックは一部の参考書には書いてあるので
1冊だけでなく複数の参考書を参照することを勧めたい

>>612
x^2 +y^2 =1234567890^2なる自然数x,yの組なら

987654312^2+740740734^2=1234567890^2

なんだけどね

>>617
ありがとうございます。
おすすめの参考書あったらお教え下さいませ

お勧めの参考書は僕です。

僕ならテクなんて使わずごり押しで解決しちゃうな

>>619
ちょっと古いけど
『数式の基盤』（東京出版）
『計算で勝つ！』（学研）
などに出ていた気がする　尼で探せばまだ見つかるかな
新しいやつは受験板で聞いたほうがいいかも

>>618
sugeeと思ったら3:4:5だった

>>618
なるほど、

>>622
ありがとうございます。

>>623
数字の並びのほうも、123, 456, 789と333ずつ増えてることを考えると不思議ではないな

a、bをそれぞれ整数定数として、

x^2 - 3ax + 2a - 3 = 0 が整数解を持つようなaの値を求める場合と、

bx^2 +8x +b +2 = 0 が整数解を持つようなbの値を求める場合

において処理法が大きく異なるのはなぜですか？
前者は解と係数の関係を利用、後者は(判別式)が平方数になることを利用しないと解けないと言われたのですが…。

どちらも判別式見ればわかるような気がする

　まことに初歩的な質問で申しわけありませんが、確率の '事象' の表現の仕方がよくわからないので教えてくさい。
　具体的には
【サイコロを 2 回振る試行において 1 回目に 4、2 回目に 3 が出る確率を求める。】
というような問題で、1 回目に 4 の目の出る事象を A、2 回目に 3 の目の出る事象を B とするとき A、B はどう表現すればいいのでしょうか？
　A = {4}、 B = {3} では A∩B = φ となってしまし、P(A∩B) = P(A)･P(B) が使えません。
　事象の元を
(1回目の目, 2回目の目)
のように表し
A = { (4 , 1 2 3 5 6) }
B = { (1 2 4 5 6, 3 ) }
(A∩B) = { (4, 3) }
とでもすればいいのでしょうか？

っは・・・！！なるほど！整数か！

>>627
どちらも似たような方法で解ける。
それを言った奴が頭が悪いだけでな。
大抵、〜〜を利用しないと解けないなんて断言するカスは
暗記数学でやってきた落ちこぼれで
自分が覚えた中に無いというくらいの意味でしかない。

その2つの方程式について言えば片方の解が整数の場合
前者の方程式は、もう一方も整数であるのに対し
後者はもう一方の解が整数ではない有理数の可能性があるということを
言いたいんだろうが。

つまり
x^2 -(α+β)x +αβ=0
(x-α)(x-β)=0
という方程式だとα+βが整数でαも整数なら(α+β)-α=βも整数

けれどx^2の係数の絶対値が1でない場合は例えば
2x^2-7x+3=0
(2x-1)(x-3)=0
のように整数係数方程式で、片方の解が整数3なのにもう一方が整数でない場合があり得るということ。

>>631
ちなみに答えはなんですか？

>>627
いや、正直言ってその問題難しくてわからんのだが、
俺的に言うと、それは正攻法で解けないと思うぞ。
たぶん、数字代入して総当りしないと無理だ。

っていうかこれの解法気になるから誰か教えてください。


>>629
それであってると思います。

>>629
それと半角の空白は、連続で入力すると、消えちゃいます。
次から空白は全角で入力しましょう。

>>627
処理方法が異なる理由は、整数x,yに関する方程式
x^2-y^2=n
の解を求める方法と
x^2+y^2=n
の解を求める方法が異なるということだろう。
x^2 - 3ax + 2a - 3 = 0 は
(6x-9a)^2-(9a-4)^2=92　と変形でき、
bx^2 +8x +b +2 = 0は(b≠0として)
(bx+4)^2+(b+1)^2=17 と変形できる。

解き方がいろいろあるのは 628 や 631 の言う通り。

>>629
　まあ、だいたい合ってるが
　A = { (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) }
　B = { (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3) }
　A∩B={ (4,3) }
とでもすればより明解になる。

>>633
いろいろな解法ができるのはいいことです。
bx^2 +8x +b +2 = 0 が整数解を持つようなbの値を求める場合　で総当たり法の一種
bについて解くとb=-(8x+2)/(x^2+1)
x^2+1≦|8x+2|よって　|x|＜9
（xが偶数のときx^2+1≦|4x+1| なので|x|≦4を使うと少し候補が減る）
後は、x,x^2+1,8x+2,-8x+2の表を作って,x=0,1,2,3,4,5,(6),7,(8)について調べる

>>637
x^2 - 3ax + 2a - 3 = 0 の場合は、使えないね。

ちょっと変わった質問なんですけど、
数研出版の旧課程の教科書、数B・Cの確率統計の章だけ一色刷りなのは何か理由があるのでしょうか？
BCの他の章と123Aは全て青と黒の二色刷りです。

知るかバカ

インクが尽きたらしい

>>633
ｘについての二次方程式なので、判別式が平方数であることは必要条件。

bx^2 +8x +b +2 = 0
16-b(b+2)=n^2
(b+1)^2+n^2=17
17=1^2+4^2しかないので、b+1=±1,±4
x=(-4±n)/bより、xが整数になるのは{b=-2, x=0}, {b=-2, x=4}, {b=3, x=-1}

x^2-3ax+2a-3=0
9a^2-4(2a-3)=n^2
(3a-4/3)^2-16/9-n^2+12=0
9n^2-(9a-4)^2=92
(3n+9a-4)(3n-9a+4)=92=2・2・23
3n+9a-4=p, 3n-9a+4=qとおくと、n=(p+q)/6。ただしpq=2・2・23
したがって、n=±8
(9a-4)^2=484=24^2
aは整数なのでa=-2
このとき方程式はx^2+6x-7=0で整数解x=-7,1をもつ
※もっと簡単にならないだろうか？

>>627
>前者は解と係数の関係を利用
は、具体的にはどんなふうに解くの？

α+β=3a, αβ=2a-3, aを消去して (3α-2)(3β-2)=-27, 以下ｒｙ　みたいなのでね？

>>644
Ｔｈａｎｋｓ
(3α-2)(3β-2)=-23　ですね、

ありゃ、その通りです＞＜

９ａ（３ｘ−２）−（３ｘ＋２）（３ｘ−２）＋２３＝０。
ｂ（４ｘ−１）（ｘ＾２＋１）＋３２（ｘ＾２＋１）−３４＝０。

>>642
少し簡単かも
(3n+9a-4)(3n-9a+4)=92=2・2・23
n>0,9a-4≧0のときを考える
3n+9a-4=p, 3n-9a+4=qとおくと
p>q>0
p-q=2(9a-4),p,qの奇偶は一致するので
p=46,q=2
9a-4=22、よってa=26/9 不適

9n^2-(9a-4)^2=92だったので
9a-4＜0　のとき 上記より　9a-4=-22、よってa=-2

>>648
なるほど。やはり2通りに分けるのですね。n=(p+q)/6で、p,qの偶奇が一致することを利用しました。
nは当然正の数でよかった。

解と係数の関係を利用するほうが、簡潔でわかりやすいですね。

>>633
a整数定数として、
x^2 - 3ax + 2a - 3 = 0 が整数解を持つようなaの値を求めるのは
これに限って言えば
y=x^2-3=(x+√3)(x-√3) とy=-a(3x-2)のグラフの交点の配置で考えるのが簡単そう

>>627
最初の方
すでに良い解答が出ていますが、せっかくやったので別解を
x^2-3ax+2a-3=0…(1)
(1)の2つの実数解をα、β（|α|≦|β|)とする
α+β=3a,αβ=2a-3
α=3a-βより、α、βの一方が整数のときもう一方も整数。
|α+β|=3|a|,|αβ|=|2a-3|≦2|a|+3…(2)
2|β|≧3|a|…(3)
|α|≧3のとき
　|αβ|≧3|β|≧2|β|+3
(2)より2|a|≧2|β|＞0、これは(3)と矛盾
よって|α|＜3

(1)より　a=(x^2-3)/(3x-2)
あとはα=0,±1,±2を代入してaが整数になるものが答え

半径が√kで原点を中心とする円とf(x)が交わるためのkの条件を求めよ。
正しg(x)=|f(x)-k|とするとき、g(x)の逆関数をG(x)とするとg(x)=G(x)である。

よくわからないので教えて下さい。

>>652
f(x)とは？

>>654
f(x)の条件が
「g(x)=|f(x)-k|とするとき、g(x)の逆関数をG(x)とするとg(x)=G(x)である。」・・・�@
です。

�@を満たすようなf(x)です。

一日とか一週間とか巡回するもののうちの時刻をとる確率変数の期待値と分散の定義はありますか？

自作か？

>>655
式が何らかの図形を表したものになるなら
その式は方程式の形になると思うが
ほんとに　f (x)　だけなのか？
y = f (x) じゃないのか？
問題文を変に端折ったりしてない？

>>658
端折っていません

あ、間違えました。こうです。
g(x)=-|f(x)-k|
-抜けてました、申し訳ない。

36分経過しましたが答え待ってますよ

問題がおかしい

自作だろ

そもそも、その条件を満たすfは存在しない
もしも存在するなら g(g(1))＝1
一方、g(g(1))＝-|f(g(1))-k|≦0　なので矛盾

いかなるkについてもfが存在せず、したがって曲線y＝f(x)が円と交わることはない
条件を満たすk全体の集合は空

>>661
偉そうに振る舞うなら、せめてポエムなど投稿するな

ポエマーなら尊大な振る舞いは当然

>>647は正しいのも、リーチ掛かったのも、後の手が統一できてることも分かるのだが、
どういう意図で変形したんだろ？特に下

>>666
なめんなよ

>>668
a,bで括ってその係数の因子で割っただけとも言えるし
f(x)g(x) = 定数
の形の式を作って定数を素因数分解することを目指したとも言える。
ごく普通の方法だろう。

ちなみに下の変換は2乗を作って(x^2+1)で割りやすいように次数上げを入れている
bx^2 +8x +b +2 = 0
b(x^2 +1) = -2(4x +1)
b(4x-1)(x^2+1) = -2(4x+1)(4x -1)

不連続関数は逆関数が存在しないのは数学的に証明できますか？
例えばy=1/(x-1)(x-2)、x=1,2で不連続ですよね。

>>672
さっきのポエマー？

まず不連続の定義を正確に理解すること
そして、考えるまでもなく「不連続関数は逆関数が存在しない」という予想は間違ってる

y=x上で不連続な点がある関数は逆関数ありますか？

>>675
おまえみたいな馬鹿が背伸びしてもいいことないからさ
質問したければ前後の文脈をきちんと書け

>>676
もしかしたら>>675は天才すぎてお前が理解できないだけかもしれない。

>>677
天才すぎるならこんな質問するわけねえべ

するわけない、とはどうだろう？

>>675
逆関数のある例
x<0でy＝x, x≧1でy＝x−1

>>652
問題は解けても答える気にならん典型だな

いたるところ不連続で逆関数のある例
10進数で小数表示したときの数字が9のときは0にして、それ以外は1を加えたものにする。

実数x,yがx^2+y^2=1を満たしながら動く。
これを満たすx,yのうち、有理数x,yの組(x,y)は無数に存在することを示せ。



何をすればいいか分かりません
ご教授お願いします。

x=2mn/(m^2+n^2) , y=(m^2-n^2)/(m^2+n^2)
ただしm,n∈N , n≦m

n≦mの制限はなんで？

よくわかっていない馬鹿だから
原始ピタゴラス数の式をそのまま写しただけなんだろう
生まれながらの馬鹿なんてそんなもん。

>>684
お、おう ＾＾

そういや非負にする必要なかったな

円の幾何的な性質から？

いや、代数的な？図形的な？

336の人ではないのですが

y=sin(x)　[0≦x≦π]上の
3点を選ぶ。その3点を結び三角形を作るとき
その面積の最大値はいくらか？

定義域を変えましたが、この場合答えはあるんでしょうか？

いい加減に死ねよ

>>691
>>336より遥かに簡単(この範囲で上に凸だから)
とりあえず三点とれ

>>693
個の場合π/2ってことは無いですよね？

>>694
それを聞かないと分からないくらいの落ちこぼれなら
こういう問題に手を出すべきじゃないと思う

整数問題について分らない問題があり手古摺っています。

a+b+c+d=eのとき

a^2+b^2+c^2+d^2とe^2/4はどっちが大きいか？

どう解いていけばいいでしょうか？

パッポスの中線定理って覚える必要ありますか？
どんな問題で使われるのでしょうか？

>>696
問題は省略せずに正確に書け。

整数問題？

>>698
省略してません。
愛知学院大学歯学部の問題です。変数名を変えていて実際は
a+b+c+d=e→x+y+z+u=a、x^2+y^2+z^2+u^2とa^2/4の大小です。

朝日新聞講読者いる？
喧嘩しようぜ

東大スレで変な問題とか過去問とか出していている奴と同じなのか
文の書き方一緒だし

e^2-2ab-2ac-2ad-2bc-2bd-2cd=a^2+b^2+c^2+d^2なわけですが
こっから先分かりません。

>>697
そんな質問してる間に覚えられる
時々出るから覚えといたほうがいい

>>703
コーシー・シュワルツの不等式

＞＞７０４
コーシー・シュワルツの不等式 以外では？

二乗の和に分けて直接示すって方法もあるけど文字数が多くなるから意味がない

コーシー・シュワルツ証明しないとダメじゃないですか？
暗黙の了解じゃないと思うし、この特殊な公式は。

教科書に載ってるもん使って文句は言われん

特殊でもなんでもない
だいたい3文字以上のコーシーシュワルツ示すのかなり手間だぞ

手間か？

ベクトルの内積でやるなら3つまでだけど
2次式の判別式利用するなら何文字でも変わらない

コーシーシュワルツの不等式より〜で済むところをわざわざ2倍以上書かないといけなくなる

コーシーシュワルツって誰ですか

中線定理って昔は中学で習った気が。

コーシーシュワルツで解けるかもしれんが
それで解かせる問題じゃないだろ

どうでもいい

>>715
例えば？

>>717
コーシーシュワルツで一瞬で解けるなら
受験の整数問題全部解決しませんか？

相加相乗は教科書に載ってるからいいけど
これは乗ってないでしょ。発展知識として知ってるけどさ。
参考書にも書いてるし。

参考書や問題集に書いてるのは確かだけど
教科書に載ってないからアウトだと思うが。

>>642
(最初の問題の簡単な解法)汎用性は？ですが
f(x)=x^2-3ax+2a-3とおく
f(x)=0の２つの解をα、βとする。α+β=3aなのでα、βの一方が整数なら他方も整数
f(-√3)f(√3)=(2+3√3)(2-3√3)a^2≦0
よって、f(x)=0は-√3≦x≦√3に少なくとも一つ解をもつ
f(x)=0が整数解を持つとき、そのうち少なくとも一つは-1,0,1のいずれか
a=(x^3-3)/(3x-2)は整数なので、x=1,このときa=-2

>>718
整数問題？

検定教科書持ってないから知らんが、
コーシー・シュワルツ使ってアウトなんて聞いたことない

>>700
4(x^2+y^2+z^2+u^2)-(x+y+z+u)^2
=(x-y)^2+(x-z)^2+(x-u)^2+(y-z)^2+(y-u)^2+(z-u)^2≧0
この程度の変形ですむ以上、シュワルツの不等式を
証明なしで使ったら多少の減点は覚悟すべきだと俺も思う。

本人乙

教科書に載ってないってのは本当なのかい
コーシーシュワルツと最大最小を絡めた問題は結構よく出るけど

>>718
解決しねえよ。
大体コーシーシュワルツの不等式は整数じゃなくて実数に関しての不等式だ。

変数が3つ以上なら、問題作成者はコーシーシュワルツの不等式を意識している可能性大なので無問題。
って言うか、使わなければ「こんなことも知らねえのかよ」と思われる恐れあり。

え？4変数の載ってなかったっけ？もしそうならわりぃｗｗｗｗｗ
くらいの感じで出したんだろ

条件なしの不等式は （実数）＾２≧0 で必ず証明できる
パターンに入れるよりも、変形に慣れたほうがいいと思う。

証明するかはさておき、コーシー・シュワルツの不等式は三角不等式ほどじゃなくとも、
「当たり前に成り立つような気がする」類いの定理なのが話を難しくしている気がする。
これがフェルマの最終定理だのABC予想だのだったら文句も出まい。

>>683
2倍角の公式より、sinθとcosθが有理数ならば、cos2θ=2cos^2θ-1, sin2θ=2sinθcosθともに有理数となる。
sinθ=3/5, cosθ=4/5で次々に角を２倍にすると、有理数で無限に作れる。
ただ、2^nθ（nは整数）がπ/2 の整数倍にならないことも示さなければならない。

>>729
倍角公式を使うなら、tanθが有理数 ⇔ cos2θ、sin2θがともに有理数
を示すのがいいかと

>>730
なるほど、それが分かりやすいですね。
任意の有理数tに対してx=(1-t^2)/(1+t^2),y=2t/(1+t^2)ともに有理数ってことですね

>>719
最後の式を使って強引に割り算をしてしまう、というやり方もあるな。
9a=((3x)^2-27)/(3x-2)=3x+2-23/(3x-2) は整数なので、
3x-2=±23、または±1、すなわち　3x=±23+2、または±1+2
これから整数xとしては-7か1が得られて、そのときa=-2

>>732
論証は、これが最もシンプルかも。

>>731
>684 の分母分子を mで割っただけで同じですね。

4つの点の座標をA(3,6)B(2,4)C(4,0)D(7,0)とし直線ACと直線BDの交点をEとする。
線分AE.BE.CE.DEをa.b.c.dとしたとき21bc/adを求めよ。

交点を求めて出そうとしたら座標がきたなくて…
上手い方法はないですか？

ぱっと見、直線AC、直線DB、x軸に平行な直線で相似三角形見つけて云々を
まず考えるかなあ

>>735
メネラウスの定理が使える

事象の独立・従属のところで、
条件付き確率　PA(B)=P(B)　が成り立つ時AとBは独立となりますが、
PA(B)=PA_(B)【AﾊﾞｰB】 が成り立つ時AとBは独立と書いても間違いではないですか？

>>736
>>737
お早い解答ありがとうございます!!
せっかくなので相似とメネラウス両方やってみます!!

>>735
座標計算で
E=s(3,6)+(1-s)(4,0)=(4-s,6s)
=t(2,4)+(1-t)(7,0)=(7-5t,4t)
4-s=7-5t…(1)
6s=4t…(2) s/t=2/3
(1)×2-(2) 8-8s=14-14t よって(1-t)/(1-s)=4/7
bc/ad=(1-t)s/(1-s)t=(2/3)(4/7)=8/21

自分で問題出して自分でレスして楽しいの？

単調増加(減少)関数に定数関数は含まれますか？

ます

ありがとうございます

y=ax^2+b│x│+cのグラフをかくときは
x ≧0とx≦0の場合わけでいいですか

まぁ、a>0かa=0かa<0にも注意ですね

ありがとう

>>741
どういう意味、根拠は？

>>602
>>603
簡単に分かるようなさんすうドリルレベルの間違いの指摘や訂正は一々マジメにしなくてよい。
ピカーッとくる特別な閃きに頼らずに>>590を一気に簡単に示す方法はあるが、残念ながら多分大学レベルになっちゃうんだよね。
そして、議論や式を2ちゃんで書くと煩雑になるんだよね。紙かTeXでないと書くのが難しい。
高校レベルで解ける問題なのかな。

あ〜、>>749での>>590は>>578の間違いだったな。
任意の自然数n≧1に対してπ^nが無理数だとπは無理数な訳で、
本来は>>578を示すにあたり、πが無理数であることも不要。
高校レベルだとどうか知らない。

ニーベンの証明ならば高校数学の範囲だ
Wikipediaの「円周率の無理性の証明」や"Proof that π is irrational"

ハーディ・ライトの数論本にも載っているし、杉浦光夫「解析入門�T」の演習問題にも載っているな

お教え下さい
ルートについてですが

√5+√5=5じゃないんですか？
Googleの検索で打ったら4.〜
となったので

今の僕の頭では
2×2=4
2＋2=4

√5√5=5
√5＋√5=5
じゃないのか？
と思います
2かける2も、2たす2も、2を二つ合わせたものやし、て事はルートもそうじゃないの？みたいな

教科書にはのってなかったです
わかるかたお願いします

昼間からの釣りご苦労様です

うーん、20点

>>754
僕の事ですか？
釣りじゃありません

真面目な馬鹿です
わかるかたお願いします

まあリアルにこういうトンチンカンな考え方する子はおるから…

√5=2.236…
たったそれだけ

>>757
ありがとうございます
では単純に
2√5で正解ですか？

なら今度は2√5と√5の二乗の違いがわかりません…
違うって事やと思うのですが、どう違うかがはっきりわかりません

>>756
中学数学なのでそちらでどうぞ

すまぬ
寝ぼけてやした
二乗と×２は全然違うやんか…
情けない

和んで頂けたら幸いです
スレ汚し、失礼しました

和んではないけど、

tanθ=sinθ/cosθと言う事は、
1/tanθ=cosθ/sinθと言う事でしょうか。

tanθ≠0のときはそうだな。

高校数学を離れればtanθ＝0でも良くなるがな

つまり、高校数学を離れれば1/0を受け入れられる数学がそこに作られているということですか？

どの世界の数学ならtanθ＝0でも良くなるんだ？

tanθのゼロとなる、たとえば θ=π/2は、tanθの定義域ではない。
よって tanθ=sinθ/cosθがそこで成立するかどうかを問うのはナンセンスである。
同様に 1/tanθを tanθの関数とした場合、θ=π/2は定義域ではない。
一方、cotθ=1/tanθという新関数を考えれば、これはθ=π/2においても、
cotθ=cosθ/sinθ。
tanθ と sinθ/cosθは、その極(θ=π/2など) もこめてあらゆる挙動が一致する。
その意味で関係式は tanθ=0 においても成立していると考えて、特に問題はないはず。

リーマン球面上に定義された(拡張)複素関数 tan(z)、sin(z)、cos(z)は、
cos(z)=0も含めて tan(z) = sin(z)/cos(z)、でいいんじゃネ?

いや？

大学で数学科に進むと
危険な曲がり角に何度も遭遇するよと先生に言われたのですが
ほんとうでしょうか。

修士に進む、これが第一の危険な曲がり角
これはそんなに危険というほどでもない

博士に進む、これが第二の危険な曲がり角
こっちは危険が危なくてデンジャラスなので注意が必要だ

いまどきの学生はブルバキ読まないのか

ブルバキは読者に分かりやすいようにと
いろいろな言葉を作ったけれど
広まらなかったものの一つが危険な曲がり角マークだな。

お願いします

実数x,yがx-y=1を満たすとき、x^2+y^2の最小値は＿＿＿。

>>774
３通り思いついた
・y=x-1でｘの二次関数とする。
・座標で、直線x-y=1と原点との距離√(x^2+y^2)の最小値。
・x^2+y^2=1/2((x-y)^2+(x+y)^2)≧1/2+(x+y)^2≧1/2

nを2以上の整数とする。今、0からn-1までの番号が書かれたn枚のカードがあり、1度だけカードを引く。
引いたカードに書かれている数字がkであるとき、k沢直樹くんは1/(1 + (k/n)^2)倍返しをする。
各k = 0,1,・・・,n-1に対して、番号kのカードを引く確率は同様に確からしく、1/nであるとする。

(1) 1度だけカードを引くとき、何倍返しできるか？　期待値E(n)を求めよ。
(2) lim E(n) (n→∞) を求めよ。


いま、適当に考えた。だれか計算して下さい

ポエムスレでやれ

>>775
>>741

赤チャ旧過程数�UP102例題65
2直線 2x-y+1=0……�@, x+y-4=0……�A
の交点Ａと点Ｂ(-2,1)を通る直線の方程式を求めよ。
答案 2直線�@,�Aは傾きが異なるから１点で交わり,kを定数とした方程式
k(2x-y+1)+(x+y-4)=0……�B←これがわからん
は�@,�Aの交点を通る直線を表す。

わかる俺もそこ同じ時期に迷って、納得した

って、問題あってる？

(2x-y+1)と(x+y-4)の零点のなす集合はイデアルになるだろうか

またお前か

>>780
合ってますよ。

>>778
>>748

>>783
kを出す意味なくね
2点を通る直線の式じゃん

>>785
その解法も乗ってますが、kを使う方も身につけたいのです。

>>786
おk

kについての恒等式だとすれば、(2x-y+1)=0かつ(x+y-4)=0が成り立ちますよね？そして、この(x,y)は交点Aにあたります。
【kは定数で動くので、イメージとしては、交点Aのみを通る直線全て(沢山ある)を表しています。】
先に述べた、kについての恒等式だとすればというのは、言い換えれば→どんなkに対してもですよね？まぁ、つまり→どんなkに対しても交点Aを通るので、�Bの左辺が1次関数であることに留意すると【】が理解できるかと思います。
直線というより、交点を通る(直線群)というイメージでしょうか？

すまない、
(2x-y+1)+(x+y-4)=0

の式の意味すら理解できていなかった

2変数関数f(x,y)=(x+y)^3を考える。
-1≦x≦y≦1のとき、f(x,y)の最小値、最大値を求めよ。

もういいよ

どーも、ありがとうございましたぁぁ↓

>>785
２直線ならまだいいが、２円の交点を通る直線ならkを使ったほうが楽。
円 x^2+y^2=4と(x-3)^2+(y-1)^2=9の交点を通る直線などは交点に√が出てくる。

>>774
-yをyに置き換えるとx＋y＝1でx^2+y^2の最小値
x^2+y^2＝(x＋y)^2−2xy＝1−2xyだからxyの最大
相加平均と相乗平均の関係よりxyの最大は((x＋y)/2)^2＝1/4
x^2+y^2＝1−2xyの最小値は1−2xy＝1/2

答えなくていいよ

>>793
それだとx,yは正って条件満たせなくない？

>>793
ごめん眠くて文章わけわかんなかったわ。訂正する。
x,yが正っつー確証も無いのに相加相乗って使えるの？

3直線　2x-y-1=0 x-y-1=0 y=a　で囲まれた部分の面積が2となるように、定数aの値を定めよ

計算式を詳しく教えてほしいです＞＜

y=aと y=x-1,y=2x-1の交点はそれぞれ
(a+1,a) (a/2+1/2,a)で
ずばり三角形の面積は

1/2{|(a+1)-(a/2+1/2)|}{a-(-1)}
=1/4(a+1)^2

こいつが2だから (a+1)^2=8
a=-1±2√2

>>787
解りました。
�Bを満たす直線は無数にあって、
その中で点Ｂを満たすものを求めるわけですね

>>787
全ては表さないだろ
嘘つくな

>>800
すみません。
教えてください。

>>801
点Aで交わる２直線 f(x,y)=0,g(x,y)=0に対して、
f(x,y)+k(g(x,y))=0
はAを通るすべての直線のうち、g(x,y)=0以外のものだけを表す

一次変換の一次って一次元（点）って意味？

>>803
一次変換は線型変換とも言う。
ある種の直線的な性質を持つということ。

>>801
原点を通る直線の方程式をy=axと表すと、原点を通る直線のうちでx=0だけは表すことが出来ないのと同じ。
全て表したければ、ax+by=0などとする必要がある。

数列 1,2,3,…,n (n>=2) において、互いに異なる2数の積の総和Snを求めよ

という問題なんですが
互いに異なる2数の積の総和ってなんですか？

1〜nから異なる2つを選んで掛けたもの全体をたしあわせたもの、まんまだが
ただ、例えば 1x2 と 2x1 を区別するのかしないのかは不明瞭だな
俺なら区別すると宣言して区別する

>>807
区別するのかどうかは問題文には書かれてないのですが
この場合は区別して考えたほうが良いのでしょうか？

>>806
n=3のときなら、互いに異なる2数には(1,2)、(1,3)、(2,3)があり、
その積を全て足すと2+3+6=11ってこと。
たぶん、(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)の積の和から、
(1,1)、(2,2)、(3,3)の積の和を引いて2で割るって考えればいいのかと。

立場が明確ならどっちでもいいんでね？
まあ、しない方がちょっとだけ簡単ｗ

>>809はabとbaを区別しない派だな
一方>>807は区別する派
わりと問題が悪いんじゃないかと

便乗で質問させてください

異なる2曲線f(x,y)=0、g(x,y)=0がいくつかの交点を持つとき、方程式k f(x,y)+g(x,y)=0 (kは定数) は、それらの交点を全て通る曲線を表す(ただし、曲線f(x,y)=0を除く)

とあるのですが、このとき表すことのできる曲線というのは、交点を通る無限に考えられる様々な曲線のうち一部だけですよね？...質問i

例えば、2点で交わる円f(x,y)=x^2+y^2-4=0、g(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+3=0を考えるとき、k f(x,y)+g(x,y)=0で表せるのは、交点を通るf(x,y)=0以外の「全ての」円と、一つの直線だけですよね？
つまり、放物線などは表せないわけです(様々な曲線のうち一部だけ)

しかし、参考書では

円と直線の交点を通る曲線の方程式は
k f(x,y)+g(x,y)=0
で表される

といきなり書いてしまっています
今回の場合で表すことができるのは円と直線だけだというのは明示しなくてもいいのでしょうか？...質問ii

あと、この場合に表すことのできる円は交点を通る円のうちf(x,y)=0
以外の「全て」だと思うのですが、この式で「全て」の円を表していることはどうやったら示せるのでしょうか...質問iii

また、kf(x,y)+g(x,y)=0で表すことのできる、二曲線の交点を通る曲線というのは結局どういう意味があるのでしょうか？
fとgが円や直線ならば、円、又は直線になるし、fとgが直線ならば直線にしかならない
単なる受験のテクニックなのでしょうか？...質問iv

うん、こんなことで誤解が生じかねない問題というか問題文が悪い

http://imgur.com/mQzHtPj.jpg

ちなみに解答が↑なんですけど
解答では区別されてるんですか？されてないんですか？

あとTkがなんでこんな式なのかもよくわからないのですが…

>>814
誤爆してるぞ

>>812
そりゃ、2次式同士を足しても3次式、4次式……が作れるわけないからな。
2次式で表すことが出来る曲線だけだ。

本当に
> 円と直線の交点を通る曲線の方程式は
なんて書かれてるの？
問題文はどうなってんの？
その問題ではそういう表現が出来るだけかも知れんから、勝手に省略すんな。

>>816
あ、そこは間違いでした

×円と直線の交点を通る曲線の方程式は

◯2つの円の交点を通る図形を表す方程式は

が正しいです

>>815
いや、してないですけど…

>>814
区別されてないだろ。解答見てわからんのか？
その解答の1行目は(a,b)でa<bの場合だけを考えてるってことだろ。
別解が>>809の言っているやり方。

>>818
すまんかった。俺が混同していた。

>>817
その文章だけだとおかしいように思えるが、全体を見てみないと断言出来ない。
あなたが勝手な省略をしているだけかも知れないので。
問題文と解説・解答を全て一字一句変えずに書いて。

>>794
そうなんだが、馬鹿げた解法を思い付いたんでね
>>795
それくらい自分で処理しろ

>>821
http://i.imgur.com/SmNZwfX.jpg
画像ですがよろしくお願いします

>>823
これは本が悪い。チャートもたまに嘘あるからな。

赤チャ旧過程数�UP129例題85
２定点Ａ,Ｂからの距離の平方の差が一定値kである点Ｐの軌跡を求め
よ。ただし,k>0とする。
答案 a>0 とし,Ａ(-a,0),Ｂ(a,0)となるように,座標軸を定める。
点Ｐの座標を(x,y)とすると,与えられた条件は
|(AP)^2-BP^2|=k
すなわち AP^2-BP^2=±k
よって {(x+a)^2+y^2}-{(x-a)^2+y^2}=±k
ゆえに x=±(k/4a)
逆に,この２直線上の任意の点は,上の計算を
逆にたどることで,条件を満たすことがわかる。

質問 何故逆証明が必要なのでしょうか？

>>824
そうですか
やはりどのような図形になるのかは書いとかないとダメですか？
そして、こういうのってどこまで掘り下げて書けばいいんでしょう？

てすと

↑で書き込めるかテストしてすみませんでした。
問題集をやっているのですが、
解答を見ても納得がいかないので質問させてください。

z会数学基礎問題集 数学1・A チェック＆リピート　改訂第２版 p90の問題
問. 不等式x^2-2x-8<0をみたすxの値の範囲は( )である。
したがって、-1<x<2であるすべてのxに対して
(x^2-2x-8)(x^2-2x-k)>0
が成り立つような定数kの値を定めると( )である。

解答
-2<x<4
k=<-3

２つ目の解答に＝がつく理由がわかりません。
よろしければどなたかご解説お願いいたします。

>>825
(AP)^2-BP^2|=k から x=±(k/4a) を必要条件として出した（つもり）だからでね？
実際は同値変形だから、そのことを明示していれば要らない
どう見ても同値変形だからお前が読みとれカス、というつもりなら文句をつけられかねない

>>828
828ですが、問題書き間違えていました。すみません。
誤(x^2-2x-8)(x^2-2x-k)>0
→正(x^2-2x-8)(x^2-2x+k)>0


z会数学基礎問題集 数学1・A チェック＆リピート　改訂第２版 p90の問題
問. 不等式x^2-2x-8<0をみたすxの値の範囲は( )である。
したがって、-1<x<2であるすべてのxに対して
(x^2-2x-8)(x^2-2x+k)>0
が成り立つような定数kの値を定めると( )である。

解答
-2<x<4
k=<-3

２つ目の解答に＝がつく理由がわかりません。
よろしければどなたかご解説お願いいたします。

-1<x<2の端の値をとらない

>>829
｢明らかに逆が成り立つ｣の基準がわかりません。
どういうことでしょうか？

>>831
迅速な返信ありがとうございます。
xのほうで端をとらない条件だと、kは端をとってもいいんですね。
解答を見ながらその意味を考えたら納得できました。
ありがとうございました。m(_ _)m

>>812
質問i
そうだよ。kが定数なら表せるのは高々、
fとgのうち全次数が大きい方の次数までの多項式で表される曲線だけ

質問ii
明示しなければならない。その参考書がダメ

質問iii&iv
f=0かつg=0となる点において、
kf+g=0であることはすぐわかる。問題はその逆ってことだ
fとgが二次曲線なら、変数の二次の多項式の一般形を持ってきて、
力押しで示すことは多分出来るだろうな

が、一般的には、話を多項式で表される曲線に限った上で、
A,Bをx,yの多項式、h=Af+Bgとして、h=0となる点の集合が、
f=0かつg=0となる点を常に通ることを示さなければならない
これは普通は多項式環のイデアルの理論てやつを使う話で、
高校レベルを超えてる

高校でやる話は、そのイデアルの理論の序章としてって感じだと思う

整数列{α[n]},{β[n]}を次のように定める
(5+2√6)^n=α[n]+β[n] (n=1,2,3...)

数列γ[n]=α[n]-√6 β[n]が等比数列であることを示し一般項をもとめなければならないのですが、

解答をみると
α[n+1]+√6β[n+1]=(5+2√6)^(n+1)=(5+2√6)(α[n]+√6β[n])より
α[n+1]=5α[n]+12β[n]
β[n+1]=2α[n]+5β[n]
が導かれるとあります

なぜこの二つの式が導かれるのかが分かりません教えてください！

a,b,c,dが整数
a+b√2=c+d√2
a=c

もう別スレでやれよ

え？

>>829
高校数学的にはそうかもしらんが、
「逆に」の前までは
条件を満たす点(x,y)があったとすればx=±k/(4a)
としか言ってないから、論理的には
x=±k/(4a)上の点はすべて条件を満たす
といわないとまずいだろう。

>>832
ここでは答として出てきた x=±k/(4a) 上の
任意の点を(x,y)とすれば、逆にたどっていって
最初の条件を満たすことがわかる、ということ。
一般の場合も同様。途中で逆にたどれなかったり
例外がある場合は「明らかに」というおまじない
だけではダメ。

>>839
今回は、kの値が一定であることを示す
証明が必要であったということですか？

>>840
＞kの値が一定であることを示す
＞証明が必要であったということですか？

違う。kは最初から一定値だ。
平方の差が一定値kであることを示す必要があるということ。
もっとも、あらためて証明を述べるまでもなく逆をたどるだけで示せるわけだが。

>>840
おそらく赤茶をこなせるレベルに到達していないから
もっと簡単な参考書にした方がいいぜ

>>841
ありがとうございます。
>>842
赤チャが教科書みたいなものですから……

数学では全国1だったときあったけど、その○○チャシリーズなんてみたことないし知らなかったんだが

赤チャはソフトカバーになって内容もソフトになっている

「チャート式」は使わないところは使わないね。それでも標準的な参考書(問題集)だし、たいていの本屋で平積みされてる気がする。
副教材で赤チャート (チャート式の中でも難しい問題が含まれる) っていうのは流石にあまり聞かない。
他の有名どころの教材だと、「シグマ」とか「マセマ」あたりはよく耳にするね。

質問です。
x^2 = 2^x を満たす正の実数解を与式を変形することで求めるにはどうすれば良いですか？

2と4は出せないんじゃないかな...

2logx=xlog2
logx/x=log2/2

>>847
単純な変形では無理だな。

(与式)⇔log(x)/x=log(2)/2
f(x)=log(x)/xとすると
f(x)=f(2)
y=f(x)のグラフを描くと、直線y=f(2)との交点のx座標が解。
グラフの形からx=2,4のみが解と分かる。

>>850
ありがとうございます。
f(x)=f(2) を満たすxが求める解なのは分かりました。
f'(x)=0 ⇔ x=e , f(e)=1/e , lim[x→∞]f(x)=0
で x=2 以外にもう一つ正の実数解あるのは分かりますが、
それが x=4 であるということはどうすれば分かりますか？

n(n+1)(n+2)(n+3)はnが偶数奇数でも24で割れる模様
ちなみに24では括れないのは何故？

>>847
そもそも代数は操作が有限。（回数が決定されてる）
指数が未知数なのは扱えない。
代数の範囲外

>>834
後半は難しくてよくわかりませんでしたが、結局>>823の問題ではkf+g=0のグラフは、2交点を通る、f以外の円、又は直線を通るというのを証明なしにつけ加えておけばOKですか？

>>851
2^2=2^2 からx=2を見つけたのと同じで
4^2=16=2^4 から見つけるしかないのでは？

>>851
「実際計算するとそうなる」からだな。
>>850はx=2,4だけが解(他に解がない)であることを示しただけ。
もちろん範囲を絞りこむことならできるけど。

>>852

3x+1も必ず偶数。でも2で括れない
そんなもんじゃない？

>>852
コンビネーション(もちろん整数)を使って
24C[n+3,4]
と表すことならできる

>>857
なんだってー？

>>852
nが整数のときn(n+1)も必ず偶数。でも2で括れない。
場合分けすれば別だが

ハチャメチャやってる負けブログより、こんなところがおもしろいよ。
http://kabutosuugaku.blog.fc2.com/
http://naturalbornmaster913.blog.fc2.com/
http://gokuraku.blog.eonet.jp/

>>855-856
了解しました。
ありがとうございましたm(_ _)m

　あっ!　すまん、すまん
　誤爆です。受験生の方、特に無視してください。
　まことにすまぬ。

>>847
x=2^(x/2) とするとグラフは直線と指数関数で見やすい。

ｘが整数であると仮定すると、x=2^nなので2^n=2^(2^(n-1))でn=2^(n-1)。
n=1, n=2 しかないことがわかる。つまりx=2^1, 2^2。

123 234 ...........................979899

97個の3つの積で36で割りきれるのが22個の理由教えて。
25じゃねーの？洛南の問題だったと思う。

うざい

あー…そっちのほうが分かりやすいね。
わざわざ>>850みたいにする必要はないか。

質問:放物線と接点の問題

問.放物線y^2=4x上の異なる2点P(x1,y1),Q(x2,y2)における接線の交点をRとし,線分PQの中点をMとする。この時直線RMはx軸に平行である事を示せ。
尚、放物線y^2=4x上にある点(x1,y1)を通る、放物線y^2=4xとの接線はy1y=2(x+x1)である。

解法.
M,つまりPQの中点は
(x,y)={(x1+x2)/2,(y1+y2)/2}

点Rについて
点Pにおける接線はy1y=2(x+x1)[�@],点Qにおける接線はy2y=2(x+x2)[�A]である。�@より
x=(y1y-2x1)/2
これを�Aに代入して
y2y=2((y1y-2x1)/2+x2)
y2y=y1y-2x1+2x2[�B]
ここで、P,Qは放物線y^2=4x上にあるので
(y1)^2=4x1,(y2)^2=4x2,よって�Bは
y2y=y1y-((y1)^2)/2+((y2)^2)/2
y=(y1+y2)/2
と変形される。よってRのy座標は
y=(y1+y2)/2

>>868の続き

【この後、Rのx座標がMのx座標と異なる事を示せば、RとMはy座標は同じでx座標は異なる、つまりX軸に平行である事が証明されると思うのですが、どうもそうはなりません。続きをご覧ください】

�@+�Aより
(y1+y2)y=2(2x+x1+x2)
y=(y1+y2)/2より
2y^2=2(2x+x1+x2)
y^2=4xより
8x=2(2x+x1+x2)
x=(x1+x2)/2
よって接線同士の交点は
(x,y)={(x1+x2)/2,(y1+y2)/2}

これでは、R=Mとなってしまい、RとMを通る直線がx軸に平行である事が示ません。なにか計算途中でミスがあるのでしょうか。それとも根本的な部分で間違えているのでしょうか。教えてください。

うざい

>>869
これが間違い
>y^2=4xより
yは放物線上じゃない

正直ワロタ。

>>871間違った
3行目 y→R

>>868
問題が見にくい。
ｘ１、ｙ１、ｘ２、ｙ２を
a、ｂ、ｃ、ｄとしたほうがいい
途中式とかわけわからんことになってるぞ

>>873
んっほ〜！で、でりゅ〜！！おまんこから愛液いっぱいでちゃうのほ〜!!!!ﾍﾟﾛﾍﾟﾛﾌﾟｼｬｰ!!


ありがとうございます(意訳)

>>874
すいません

手書きならサイズ小さくしたりできるんですがスマホだと無理でして

そんなもん言い訳にならん

添字そんなに見にくくないじゃん
括弧もちゃんと使ってるし

C（コンビネーション）は必ず正の整数になりますか？
またそれは証明に使ってもいいんでしょうか？

>>868
面倒なので x と y を入れ替えて、y = x^2 の放物線を考える。
x = p で放物線と交わる接線は、y = 2px - p^2 と表される (x^2 - (2px - p^2) = (x - p)^2 より)。
同様に x = q で放物線と接する直線は y = 2qx - q^2. 二つの接線が交わる点 R は、
　　2px - p^2 = 2qx - q^2 (p ≠ q)、
より、
　　x = (p + q)/2, y = pq,
であると分かる。一方で P, Q の中点 M は (x,y) = ((p + q)/2, (p^2 + q^2)/2) であって、
R と M の x 座標の値は同じであることが分かる。したがって、RM は y 軸に平行。
あとは y と x の役割を逆にすればよし。

y = ax^2 の場合 (a≠0)、x を √(a)x に読み替えればよく(変数 p,q は勝手に取れる)、
y = x^2 の場合の計算のみで事足りる。

>>879
組み合わせだからね
正整数じゃないとおかしい
ただ、証明問題では、使うなとは言わないけど積極的には使わないほうがいいかと
多分他の手がある

二つの図形があり、この図形の周りの長さの合計は10であるとする。
二つの図形の面積の和の最大値はいくらか？
分かりません、教えて下さい。

ポエムかスレチのどっちか

x
10-x

でどうすればいいか？

高校じゃ無理

お互い円だと仮定したんだが？

後出しタイプのポエムか？

一番大きい図形は円だという証明はできるんだけど。
二つとも円なのかね？面積を求めなくていいからどんな図形かに限って言えば？
まさかの片方三角形とか？

周Lが一定なら面積S最大は円なので
L=2πr, S=πr^2

以下二つの図形を半径xの円と半径yの円として考察する
ただし半径0の場合も考察に含める

2πx+2πy=10よりy=5/π-x, 0≦x≦5/π
S=πx^2+πy^2=πx^2+π(5/π-x)^2
Sの最大値はx=0またはx=5/πのときで25/π
二つの図形は半径5/πの円と点となる

>>889
正解っぽいぞ

二次関数y=-2x^2+2x+kについて、
x≦-1の範囲でyの値が常に負となるような定数kの値を求めよ。

解答解説には、平方完成して頂点の座標を求めています。
しかし結局は、-2x^2+2x+k<0にx=-1を代入して値を求めているので、
座標を求めなくても良いのでは？とふと思ったのですが、
何か理由はあるのでしょうか？

もういいよ

>>891
y = - 2x^2 - 2x + k なら？

>>879
C(n,k) = n(n-1)(n-2)…(n-k+1)/(k(k-1)…1)
分子は n から n - (k-1) までの k 個の連続する自然数の積だから、必ず 1,2,...,k の倍数を含む。

そこから、n(n-1)(n-2)…(n-k+1) が k(k-1)…1 の倍数であることって明らかか？

C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) が成り立つことから
C(n,k) が整数であることが n に関する帰納法でわかる

二項係数はある素数に着目して分子と分母がそれぞれ何回割れるかを見ればいい

質問っていうより確認のお願いなのだが
http://i.imgur.com/cDvhnFw.jpg
これは俺が間違っているのか模範解答が間違っているのか判別して欲しい
俺が間違っているならどこが間違っているか指摘していただきたい
◎のところまでは解答通りだったので合ってるはず

>>898
それ、自分で判断出来ないの？

>>898
Cは積分定数のような符号を内部に吸収していい変数だよな？
なら模範解答が^2を付け忘れたポカ

しかしそうはいってもこの俺の書き込みを信じる信じないとか正気か

私がそこにいる、とは？


誰が私を「居る」という状態にするのだろうか。
はたまた、私がそこに存在するということは自身の中の「存在」であり、他者の「存在」に依存しないのだろうか。
私がそこに居ることを感じるのは、あくまでそこに居る私であり、他者ではないことは確かである。
私を感じとる人間の存在がまた、私をそこに居させるのであり、私がそこに居ない状態は常に私の中にある。
他者もまた同様に、そのことを感じるのである。

では、「誰がそこに居るのだろうか。」

一つの疑問にぶち当たった。
しかし、それは分からない。
分からないのである。
誰かがそこに居るとすると、それは本当に居る、つまり「存在」するのであろうか？
自分自身を常に保つことで他者との関係を把握しようとする。
自身の存在を否定したとき、それはまた自身の存在を肯定している。
「存在」について議論するときに必ず生じるものはその「存在」について考えている「自身」である。
これは確かに存在している。
現代のグローバル社会において、ネット社会の一員として生きる私たちに自らの「存在」を分からせてくれるのは他の誰でもない自分なのではないだろうか？
しかしながらそれは自然には発生しない。
他者との中で生きることで「私」を確かに感じとる。
人と人との繫がりが、常に私を勇気づける。

気づいたらそんな私がそこに存在していた。

俺は死にそうなので存在がそろそろ消滅しそうです。

>>902
どうしたんだい？

xとχの違いはまじで厄介ｗ

χは / 部を垂直気味に書くと区別しやすいぞ

ぶっちゃけ区別してない

ψになるよなたまに

xの書き方を変えれば

y と r と γ とか、K と κ とか、ζ と ξ とか、Λ と s とか、O と Ο とか、φと空集合とか、
i と j とか、l と t と b とか区別しがたい文字は沢山ある。

lと1が一番困る

tとτもやばい
τは積分中に急に出てくるから怖さが半端無い

　5 個のサイコロを同時に投げたときのすべてのパターンの場合の数を求める。
　全パターンは 6*6*6*6*6 = 7776.

　　1　2　3　4　5
------------------------------------------------------------------
　　a　a　a　a　a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6
　　a　a　a　a　b　　　 6C1*5C1*5 = 6*5*5　　　　 =　150
　　a　a　a　b　b　　　 6C1*5C3*5 = 6*10*5　　　　=　300
　　a　a　a　b　c　　　 6C1*5C3*5*4 = 6*10*20　　 = 1200
　　a　a　b　b　b　　　 重複
　　a　a　b　b　c　　　 6C2*5C2*3C2*4 = 15*10*3*4 = 1800
　　a　a　b　c　d　　　 6C1*5C2*3! = 6*10*6　　　 =　360
　　a　b　c　d　e　　　 5! = 5*4*3*2*1　　　　　　=　120

　上記パターンを足しても 3,936 しかありません。計算が間違ってるのか、パターンを見逃してるのかわかりません。

>>911
tをまさにt←この形で書くとそりゃ似てるわな

τの説明の無さは以上
積分の区間のtは普通にtだから余計に怖い
何というか得体の知れない気味悪さがτにはある
分かるよな？

タウタウ！！
バウバウ！

τtτ

>>912
aabcdは、5C2*6*5*4*3=3600、
abcdeは、6*5*4*3*2=720じゃないの？
上の方も、どういう計算なのかよくわからんけど。

>>917　だね

　　1　2　3　4　5
------------------------------------------------------------------
　　a　a　a　a　a　　　6　　　　　　　　　　　　　　　　6
　　a　a　a　a　b　　　6*5C4*5 = 6*5*5　　　　 =　150
　　a　a　a　b　b　　　6*5C3*5 = 6*10*5　　　　=　300
　　a　a　a　b　c　　　6*5C3*5P2 = 6*10*20　 = 1200
　　a　a　b　b　c　　　6C2*5C4*4C2*4 = 15*5*6*4 = 1800
　　a　a　b　c　d　　　6*5C2*5P3 = 6*10*60　　　 =　3600
　　a　b　c　d　e　　　6P5 = 6!/1! 　　　　　　=　720
　　6+150+300+1200+1800+3600+720=7776

また自分でレスか

aabbc
最初ab区別P[6,3]*C[5,2]*C[3,2]
あとでわる2

Σ(k=0~m)(-1)^k×nC(2k)(但し、mはn/2の整数部分とする)をa(m)とする場合、a(m+2)=2{a(m+1)-a(m)}という漸化式が成り立ちます。

この漸化式を証明してください。またこの結果を用いて難しめの問題を作りたいのですが、何かアイデアなどがあれば、何でもいいのでご教授おねがいします！式中のCはコンビネーションのことです。見にくくてすいません。

出来れば、この漸化式を用いなくても直接元のシグマの式から簡単に解けるような問題以外でお願いしたいです。まあ、この漸化式もΣの式から比較的容易に導かれるのですが・・・

（1）n!がm^n(m,nは自然数であり、m≧2)で割り切れないことを示せ

（2）(n+1)!がm^n(m,nは自然数であり、m≧2)で割り切れる組を全て求めよ

先ほどの数列の問題とこの問題の難易度（大学受験でいうなら）も教えていただけると嬉しいです

τ＝２π

>>921-922
鬱陶しい

ここ質問スレでしょ？それとも解けないから僻みかなんか？

はいはい、ここにはセンスゼロのカスしかいないから帰った帰った

気に入らないなら放置しとけばいいだろ…
質問しにくくなる

>>926

お前と一緒にすんな
俺はセンス１あるよ。

どなたか教えてくださいm(_ _)m
確率漸化式の問題です。
3つの箱A,B,Cがあり、Aには赤球1個、B
には赤球1個、Cには白球1個が入ってい
る。表裏の出る確率がそれぞれ1/2の硬貨
を投げ、表が出れば箱Aに入っている箱と
箱Bに入っている球を交換し、裏が出れば
箱Bに入っている球と箱Cに入っている球
を交換する、という操作を考える。この操
作をn回(nは自然数)繰り返した後に箱
A,B,Cに赤球が入っている確率をそれぞれ
a[n],b[n],c[n]とする。
⑴a[1],b[1],c[1]を求めよ。
⑵b[n]を求めよ。
⑶a[n]を求めよ。

質問しにくくなったって別に誰も困らん

９３０

じゃ、お前なにしにここに来てんの？

ポエムの観賞

(n+1)回B白1-b[n+1]=(1/2)(1-a[n])+(1/2)(1-c[n])

>>922
他で回答が付いてる。
http://6504.teacup.com/aozoram/bbs

赤チャ旧過程数�TP100例題64
t≦x≦t+2における関数f(x)=x^2-2x+2の最大値M(t)および最小値
m(t)を求めよ。
答案 f(x)=(x-1)^2+1
関数y=f(x)のグラフは,下に凸の放物線で
軸はx=1, t≦x≦t+2の中央の値はt+1
また f(t)=t^2+2t+2
f(t+2)=(t+2)^2-2(t+2)+2=t^2+2t+2
最大値は
t+1<1 すなわち t<0のとき
M(t)=f(t)
1≦t+1 すなわち 0≦tのとき
M(t)=f(t+2)

質問 最大値を求めるときに、
t+1=1 すなわち t=0のとき
M(t)=f(t),f(t+2)とならないのは何故？

t=0のときf(t)=f(t+2)だからどっちかを書けてればいい

最大値M(t)になる条件は、あくまでおまけなわけですね。
ありがとうございます。

>>929
赤球を 1, 白球を 0 に置き換えて、ABC の状態を考えると、
(A,B,C) = (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) = x, y, z
の三つが実現しうる。それぞれを x,y,z と呼ぶことにすると、コインを投げるたび、
状態 x からそれぞれ 1/2 の確率で x, y に、
状態 y からそれぞれ 1/2 の確率で z, x に、
状態 z からそれぞれ 1/2 の確率で y, z に遷移する。
x, y, z の実現する確率を p, q, r で表せば、
　　p(n) = (1/2)*p(n-1) + (1/2)*q(n-1) + 0*r(n-1)
　　q(n) = (1/2)*p(n-1) + 0*q(n-1) + (1/2)*r(n-1)
　　r(n) = 0*p(n-1) + (1/2)*q(n-1) + (1/2)*r(n-1)
が成り立つ (p(0) = 1, q(0) = 0, r(0) = 0)。これを、p + q + r = 1 を用いて、
　　p(n) = (1/2)*(1 - r(n-1))
　　q(n) = (1/2)*(1 - q(n-1))
　　r(n) = (1/2)*(1 - p(n-1))
と変形すれば、
　　r(n) - p(n) = (1/2)*(r(n-1) - p(n-1)) = (1/2)^n,
　　q(n) - q(n-1) = -(1/2)(q(n-1) - q(n-2)) = -(-1/2)^n
を得る。ここで、等比級数の公式から、
　　q(n) = (q(n) - q(n-1)) + (q(n-1) - q(n-2)) + ... + (q(1) - q(0))
　　q(n) = -Σ_{k=1,...,n} (-1/2)^k = (1 - (-1/2)^n)/3,
p(n) + q(n) + r(n) = 1 に r - p - q を足せば、
　　r(n) = (1 - q(n) + (r(n) - p(n)))/2 = {(2 + (-1/2)^n) + (1/2)^n}/6,
　　p(n) = {(2 + (-1/2)^n) - 5(1/2)^n}/6,
を得る。p,q,r がそれぞれ得られたから、あとは x,y,z に掛ければ a,b,c が求まる。

大学生にもなって文の書き方知らない奴ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

うるせえパッションフルーツもぎとるぞ

算数ができない子は、
国語に問題があるんだよ。

(x + 3) (x - 2) < 0 が 何故、-3 < x < 2 になるのか教えてください

>>942
y = (x + 3) (x - 2)　のグラフを見ながら考える
y座標が負となるような x の範囲を求めるってこと

>>942
1. (x + 3) が負 (x < -3) かつ (x - 2) が正 (x > 2) なら (x + 3)(x - 2) は負。
2. (x + 3) が正 (x > -3) かつ (x - 2) が負 (x < 2) なら (x + 3)(x - 2) は負。

1 を満たす x は存在しないが ( -3 未満でかつ 2 より大きい数はない)、
2 を満たす x は存在できる ( -3 より大きくかつ 2 未満である数は、たとえば 0 など)。

２次関数 y={a(x^2)}+(-2ax)+2a+4 のグラフがx軸と異なる２点Ａ.Ｂで交わっている

定数aのとり得る範囲は -4<x<0である。このとき線分ＡＢの長さはいくつになるか。


これがよくわかりません

>>945
とりあえずA,Bのx座標を求めたら。

>>945
定数aのとり得る範囲は -4<x<0　は変？
解と係数の関係を使って(α-β)^2をaで表す。

>>938
19行目は
r[n]-p[n]=(1/2)*(r[n-1]]-p[n-1])=(1/2)^n(r[1]-
p[1])=-(1/2)^n
22,23行目は
r(n) = (1 - q(n) + (r(n) - p(n)))/2 = {(2 +(-1/2)^n) + 3(1/2)^n}/6,
p(n) = {(2 + (-1/2)^n) - 3(1/2)^n}/6,
ではないでしょうか？
あと、x,y,zに掛けるというのがよくわか
らないのですが、a[n]=p[n]+q[n],
b[n]=p[n]+r[n], c[n]=q[n]+r[n]ではだめでし
ょうか？

どうでもいい

東京農業大学2013年の数学�TAの入試問題です。




大学入試の問題についての質問です。
以下の問題が解けずに困っています。




x, yを実数とする。

(1)x+y=1のとき,
　�@x^2+y^2のとり得る値の最小は[1]
　�Ax^3+y^3のとり得る値の最小は[2]
　�Bx^4+y^4のとり得る値の最小は[3]

(2)x^2+y^2=1のとき,
　�@x+yのとり得る値の範囲は[4]≦x+y≦[5]
　�Axyのとり得る値の範囲は[6]≦xy≦[7]



以上二つの問題です。



東京農業大学の2013年の数学�TAの入試問題なのですが、
赤本では無いので詳しい解説がのっていません。


続きます。

続きです。

(1)の�@、�Aに関してはx+y=1をy=1-x変形し、それぞれの式に代入して得られる
二次方程式を平方完成することで

[1]=1/2, [2]=1/4

という所までは解くことができました。

しかし、�Bのx^4+y^4に関しては4次の方程式になってしまい、上手く求めることができません。

また、(2)に関しても�@は"半径1の円とx+y=kとおいた時のkの範囲"と解く事が出来そうですが、
xyについては上手い解法が思いつきません...。

ここで大きな問題なのが、『この問題の入試の範囲が数学�TA』だと言う事です。


数学�TA,�UB,�VC全て履修済みですので理解は出来るのですが、
数学�TAの範囲での解法をご教授いただけたらありがたいです。



詳しい解法や問題を解くヒントなど、分かる方がいらっしゃいましたら
回答よろしくおねがいします。

よろしくおねがいしますm(_ _)m

x^4+y^4=(x+y)^4-4xy(x+y)^2+2(xy)^2, 以下略

x+y=u xy=vで解と係数の関係と判別式
x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2*y^2
旺文社で正解を売ってる

x=y,2x=1 2x^2 x=.5
2x^3 2x^4

x=cost,y=sint
x+y=c+s
d(c+s)=0=-s+c=0
c=s->x=y
2x^2=1->x=+/-.25
x+y=-.5->.5

xy=cs
dcs=-ss+cc=0
cc=ss->x^2=y^2
x=y=+/-.25
xy=-1/16->1/16

x+y=k
y=-x+k
x^2+y^2=1
x^2+(-x+k)^2-1=0
(k-x)^2=1-x^2
k=x+/-(1-x^2)^.5 x=-1->1
x=0->k=+/-1

>>929
「確率の重ね合わせ」を使えば、漸化式は
　a[n] = (1/2){a[n-1] + b[n-1]},
　b[n] = (1/2){a[n-1] + c[n-1]},
　c[n] = (1/2){b[n-1] + c[n-1]},
これを「対角化」すれば、
　a[n] + b[n] + c[n] = a[n-1] + b[n-1] + c[n-1]
　　　　= ･････
　　　　= a[0] + b[0] + c[0]
　　　　= 2,
　a[n] -2b[n] + c[n] = (-1/2){a[n-1] -2b[n-1] + c[n-1]}
　　　　= ･････
　　　　= {a[0] -2b[0] + c[0]} (-1/2)^n
　　　　= -(-1/2)^n,
　a[n] - c[n] = (1/2){a[n-1] - c[n-1]}
　　　　= ･････
　　　　= {a[0] - c[0]} (1/2)^n
　　　　= (1/2)^n,

xy=k
y=k/x (x<>0)
x^2+(k/x)^2=1
k/x=+/-(1-x^2)^.5
k=+/-x(1-x^2)^.5
x=+/-1->k=0
x^2=1-x^2->x=.25->k=+/-.25*(3/4)^.5

>>929 (続き)

したがって
　a[n] = (2/3) -(1/6)(-1/2)^n +(1/2)(1/2)^n,
　b[n] = (2/3) +(1/3)(-1/2)^n,
　c[n] = (2/3) -(1/6)(-1/2)^n -(1/2)(1/2)^n,


>>948
　a[n] = p(n) + q(n),
　b[n] = p(n) + r(n),
　c[n] = q(n) + r(n),
だから、
　p(0) = 1,　q(0) = 0,　r(0) = 0,
なので
　p(n) = {2 + (-1/2)^n + 3(1/2)^n}/6,
　q(n) = {1 - (-1/2)^n}/3,
　r(n) = {2 + (-1/2)^n - 3(1/2)^n}/6,

x^2+y^2=1より、x=sinθ、y=cosθ, 0≦θ≦2π
x + y = sinθ+cosθ=√2(sinθ・(1/√2) + cosθ・(1/√2)=√2・sin(θ＋π/4)
∴-√2 ≦ sinθ+cosθ≦√2

xy = sinθ・cosθ=(1/2)sin(2θ)
∴ -1/2 ≦sinθcosθ≦1/2

>>960
ありがとうございましたm(_ _)m

>>960

　p(n) + q(n) + r(n) = (a[n]+b[n]+c[n])/2,

　q(n) = (1/3){p(n)+q(n)+r(n)} - (1/3){p(n)-2q(n)+r(n)}
　　　 = (1/6)(a[n]+b[n]+c[n]) + (1/3)(a[n]-2b[n]+c[n]),

　r(n) - p(n) = -(a[n]-c[n]),

に >>958 を使う。

>>948
あ、ほんとだ。計算間違いしてる。ありがとう。
x, y, z に掛けるっていうのは、赤球の分布が px + qy + rz になることを言いたかった。
まあ要するに a = p + q, etc. のことなんだけど。というか今更だね……。
他の人がもっとスマートな解説をしてくれているので有り難み。

>>964
いえいえ、ありがとうございました。テストで出たんですがどうしても分からなくてもやもやしてたので助かりました。答えが来るのは再来週くらいなので。みなさんありがとうございましたm(_ _)m

難問です。

「1×1998，2×1997，3×1996，・・・999×1000までに12の倍数はいくつあるか？」

これって12の周期でやる方法は可能ですか？
右側が12で割った余りが　5 4 3 2 1 0 11 10 9 8 7 6 5とこれは周期になる
んですが、左側は[1,2,3....12] [13,.......24]で規則性無いからかけた時に
同じポジションにある項が今までと違う倍数で割れたりしませんか？

k*(1999-k)
k=12g+hなどとおく

>>966
>左側は[1,2,3....12] [13,.......24]
[1,2,3....12][1,2,3....12]では？

左側を12でわると周期12

>>968
いや
左側は1〜999だから
1〜　　　　12
13〜　　　24
24〜　　　36

ですよ？
同じポジションでも4の倍数になったりならなかったりしたら
、周期性とかあるのかなと。

>>969
あ、左側も12x+余りという形にするんですね。
なるほどすっきりしました。
でもこの方法って確実に高校以上ですよね。
中学生はどうやって解くんでしょうか........

>>970
12で割った余りはそれぞれ
1,2,3, …, 11, 0
1,2,3, …, 11, 0
1,2,3, …, 11, 0
…
の繰り返しだから周期 12で問題無い。

>>971
中学生もそう置くだろ。
余りのある割り算は小学生でやるし
文字式は中学でやるから
中学生レベルで問題無い。
中学生だってnを整数として奇数を2n+1, 偶数を2nの形で書く。

(12a+b)(12x+q)でbqだけ見ればいいんですね。
他に場合分けでやる方法ってありますか？
これ気付かなかったら大変なことになると思いますが。

>>974
ちょっと考えたけど思いつかない
これぐらいしかないと思う