高校数学の質問スレPART353

数学的帰納法を勉強しなおすことを勧める

P(n)を自然数nを含む命題として
(P(1)∧(P(n)→P(n+1)))→∀nP(n)
が数学的帰納法の言明
これを意識してればいい

>902
数学以前に小学校からやりなおすことを勧める

>>903
P(n)を自然数nを含む命題として
(P(1)∧∀n(P(n)→P(n+1))）→∀nP(n)

ポアンカレは数学的帰納法を否定してたな
あれは推測に過ぎないと

ポアンカレってボンカレーに似てるよな

帰納といいながら本質は演繹だし、
本質的を証明するものじゃないんだよあれは
>>892のいう気持ちわるさは理解できる

ポアンカレって誰だっけ？
宇宙びろーんの人？

宇宙を温めたり冷やしたりした人

(問題)「2つの三次方程式
x^3-ax-2b=0…�@、x^3-bx-2a=0…�A
がただ1つの共通解をもち、どちらもそれ以外に実数解をもたないための実数a、bの必要十分条件をab平面上に図示せよ。」
(解)�@-�Aを�Bとすると「�@かつ�A」⇔「�@かつ�B」より
x^3-ax-2b=0 と (a-b)(x-2)=0
の2つの方程式がただ1つの共通解をもち、それ以外に実数解をもたないためのa、bの条件を求めればよい。
( )a=bのとき
�Bの解は任意の実数。
�@の左辺をf(x)とおくと、f(x)は十分小さいxに対しては負、十分大きいxに対しては正となるので、y=f(x)のグラフはある点でx軸と交わる、すなわちf(x)=0は実数解をもつ。
よって�@と�Bの共通解は無数に存在するのでa=bは不適。
( )a≠b…�Cのとき
�Bの解はx=2であるから、�@にx=2を代入して整理すると、a+b=4…�D
ここで�@の左辺は�Dと合わせて考えると
(x-2)(x^2+2x+b)=0
と因数分解できるので、x^2+2x+b=0が実数解をもたない条件、すなわち判別式が負より
b>1…�E
以上の( )、( )より、求めるa、bの条件を図示すると
�Cかつ�Dかつ�E、すなわち直線a+b=4のa<3の部分から点(2,2)を除いたものとなる。

僕の解答は上の通りですが、答えは�C�D�Eに加えてa>1もあります…。
手元に解答はありますが(聖文新社の東大数学50年)、共通解をαとおく解法のみで、同値変形していく解法が載っていませんでした。
僕の解答のおかしい所の指摘をお願いします。

すみません上の解答で()の中身が消えてますが
(ア)a=bのとき
(イ)a≠bのとき
ということでお願いします

>>911
a=bのときは、最初に戻って、2つの方程式は一致するので不適、でよい。
後半は2つの方程式がともに2以外の実数解を持たない条件が求められている。
>>911では�@だけしか調べられていない。

帰納法じゃないと証明できない定理、公式の具体例を教えろ下さい

>>914
線形空間の次元のwell-definednessの証明

�Aに戻って調べるのだと「�@かつ�A」⇔「�@かつ�B」と同値変形して議論を進めていった意味がなくなると思うんですが…

研文書院の黒大数�Tに
「2つの二次方程式
x^2+kx+2=0…(1)、x^2+2x+k=0…(2)
が共通の実数解をもつように定数kの値を定めよ」
という問題があって、そこに書いてある解答が下のような流れになるのですが、
ここでは「(1)と(2)の共通解」という議論を「(1)かつ(3)の共通解」というふうに同値変形していくから、(2)にx=1やk=2を戻したりしないんですよね？
これと同じ流れで進めていけると思ったのに求まる答えが足りなくて、何がダメなんだろう…といった感じです…

(解答)(1)-(2)を(3)とおくと((k-2)(x-1)=0…(3))、(1)-(3)から(2)が得られるので
「(1)かつ(2)」⇔「(1)かつ(3)」である。
(ア)k=2のとき、(3)を満たすxは任意であり、(1)は
x^2+2x+2=0
となるが、判別式が負であることから、これは実数解をもたないのでk=2は不適
(イ)k≠2のとき、(3)はx=1と同値である。
よってこれが(1)の解となる条件は、(1)にx=1を代入して
k=-3
これはk≠2を満たしている
以上(ア)(イ)より求めるkの値は、k=-3

意味ないかは知ったことじゃないが、(2)の実数解のuniquenessまで言い換えてないじゃん
意地でも固執するならこれも言い変えないと

>>916
問題の要求が2つあるのだから仕方が無い。
君の解答は2つのうちの一つに答え、更にもう一つの要求には半分だけ答えている、ということだ。
�Dのあとの「ここで」以下は共通解とは関係の無い議論。最初の2つの方程式のうち�@が2以外の実解を持たない条件を求めている。
それなら、次に�Aが2以外の実解を持たない条件を求めるのは自然な考えだと思うが。

>>911
�Bの式の解は�@�Aの共通解でないことに注意しないといけない
�Bの式は
y=x^3-ax-2b…�@’、y=x^3-bx-2a…�A’
の連立で導かれる
つまり�@’と�A’の交点でしかない
なので
>�@と�Bの共通解は無数に存在するので
これはおかしい
�Bの解がすべての実数⇒�@’と�A’の交点は無数に存在する（�@’と�A’は一致する）、
�@と�Aの共通解は虚数解含め3個　になる

�Bで求まったx=2を�@の解として扱うのは
交点が解であればそれが共通解であるということ
>>916がその解法で解けるのは、共通解を持つことしか言及していないため
なので>>916の（ア）が判別式＞0であればk=2もOKになる

�Bを解いただけでは
�@、�Aが共に実数解をひとつしか持たない条件が考えられない

>>917-919
なるほど…ちょっとまだ混乱してはいるのですがとりあえず

『2つの問題の違いは、共通解について満たさなければならない条件があるかないかということ』
『共通解をもつか否かの議論と、それが解の制限を満たしているか否かの議論は別問題だから「�@かつ�A」⇔「�@かつ�B」で得られた�Cの成り立つもとで、�@と�Aがx=2以外に実数解をもたないためのa、bの条件を改めて求めていく必要がある』

ということでいいんでしょうか？
なんべんもすみませんでした
みなさんの解説を元にもう一回考えてみて、それでも分からなかったらまた質問します
本当にありがとうございました

「�C、�Dのもとで…」に訂正します

独立した複数の方程式がたまたま同じ解をもつ条件を考える問題なのに
連立方程式だと思って処理するからまずいのでは

x,a,bという3個の未知数をもつ連立方程式だよ。前半は。

a=0,b=0.

うむ

>>923
それは違う。
変数はxだけ。a,bは定数。
それが分かってないから
解が無数というような事を言ってしまうんだよ。

>>922
連立方程式で問題無い。
連立方程式というのは
独立した複数の方程式の解の集合の共通部分を解とするというだけの事で
共通部分が空集合なら解無しになるだけ。

こんにちは

ありがとう

さよなら

>>926-027
来ていきなり上げんな

何言ってんだこいつ

さようなら

>>926
君パラメータとか知ってる？

>>931
上げてはいけない理由でもあるのか？

ageは嫌われてるってだけだが空気読めよ

はぁ？

数学の解答ってどこまで省略できますか？
連立方程式を解くときに
1を2に代入して…とか省略して
これを解いて、の一言だと減点されますか？
毎回模試のときに回答欄が足りなくて困ってます
右半分は改行するので空くのですが…

基本的に連立方程式はバーっと並べてその下に「これらを解いて」と書いとけば十分
計算は問題用紙で
こんなところでわざわざ減点はされないよ

>>934
a,bをパラメータと見るとしても、a,bは特定の値で止めておかないと話にならない

>>936
空気読めって、読んでも従わない自由もあるからな
なんの力もない普通のカス利用者の個人的要望なんざ、いちいち気にする必要ないさ
そもそも何故sageるのか知らないのにsageろ言う馬鹿が大杉だな

生徒の身分だと数学の学習において事実上
「その時点で学んでいるとされてることと学んでいないとされていることは何か」も
セットで暗記する必要があるから困る

>>942
それが気になるようなレベルの人は先取り学習するべきでない。

△ABCにおいて
(1) bsinB＝csinC
(2) (sinA+sinB+sinC)(b+c-a)＝2csinB
(3)acosA+bcosB＝ccosC
の時、△ABCはどんな三角形か
∠A∠B∠Cの対辺がそれぞれa,b,cになります
よろしくお願いします

>>943
どんだけ腐ってるんだよお前

>>942
そんなこと覚える必要は無い。
ただ、その問題がどこの分野の問題なのか把握でき
その分野の範囲内で解けるようになっていればいいだけ。
つか、高校入試の問題を中学までの範囲で解けるようにするとか
そういうのは、発想力的な面でとても大事

>>944
(1)、(2)は正弦定理、(3)は余弦定理をそれぞれ適用してA、B、Cを消せば辺の関係が現れてくる。

>>947
ありがとうございます！

>>946
ロピタルの定理とかは頻繁に話題になっているんじゃないかと
素朴な極限論を使っていいかどうかとかも定番かと

使用出来る公理・定理を制限して考えることも重要なのは同意

原論のように
算数・数学で学習する公理や定理に一意な順序付けがされてて
何番までの公理・定理を用いて論ぜよ、というようになってないしなあ

>>949
大学入試でロピタルの定理は使ってもいいけれど
ロピタルの定理がどういう定理かよく分からずに使う受験生が多すぎるから
嫌がられるんだぞ
定理を使いたいなら最低限でも定理を正確に書くくらいの事ができるようにならないといけない
それさえもできない受験生だらけなんだよ

いやロピタルはだめだって
実際に大学の教授が認めないって言ってるところも多い
認めるところもあるにはあるだろうけど使わないほうがいい

知り合いの予備校教師から、学習院大で開かれた大学入試懇談会？なるもの(主に難関大の大学教授による入試講評を聞くらしい)に行ってきた時の話を聞いたんだけどさ、そこで東大の教授が
「高校数学範囲外のこと(ロピタルやガウスグリーン)でも正しく分かって使えているなら全く問題ない。
でもそれができてる受験生はまずいない。あと予備校の採点糞過ぎ。模試が機能してない。」
って言ってたんだとさ。
まあ知り合いの話だから信じる信じないは別にして面白い話だとは思うよね。

>>952
東工大とかも言ってる

きちんと使えない受験生だらけ
ぶっちゃけ馬鹿が無理して使うと碌なことが無いから使わない方がいいというだけで
使い所までよく分かってる受験生ならなんだって自由に使って良いんだよ

数学科でまともに勉強した人なら
>あと予備校の採点糞過ぎ。
これは思うだろうなあ

解答だけでロピタルの理解度が分かる状況ってなにさ？

用いられている教育のテンプレートに糞なアソビがあるせいで
解っている人々がお互いを指して解ってないと罵ってしまう始末

各大学もっと詳細に採点基準を発表すればいいのに
数論の問題なんて合同式を使っていいかだめかだけでも書く量が全然違う

一応教科書(実教)にはロピタルの定理が発展事項として載ってるんだけどね。
そこでは平均値の定理からコーシーの平均値の定理を証明して、そこからロピタルの定理を証明してる。
ってことはその流れをたどれば「おっ、君はよく分かってるねえ」ってなるのかなｗ
そんなことゴチャゴチャ考えるぐらいなら普通に解けばいいだけの話だよなあ。
まあそれができなくて苦し紛れにロピタルで解いた、ってのが大半だから問題になっているんだろうけど。

>>955
とりあえず、ロピタルの定理ってどんな定理か書いてみて

>>957
丸暗記数学しかできない馬鹿を育成するため？

△OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をL、辺OBを2:3に内分する点をM、辺ABの中点をNとする。線分LMと線分ONの交点をPとするとき、→(OP)を→(OA)と→(OB)を用いて表し、LP:PM、OP:PNを求めよ。

上の問題で、交点の位置ベクトルを求めるためにはそれを２通りに表して係数比較をするのが定番だと思ったのですが、どうにも△OLMについてのみでないと立式できません。どうすれば求まりますか？

>>961
>どうにも△OLMについてのみでないと立式できません。

意味不明

>>962
→(LM) = -2(→OA) / 3 + 2(→OB) / 5
より、LP:PM = t:(1-t)とすると、
→OP = 2(OA) / 3 + t(→LM)

としか立式できないのです。

>>963
OL↑=(2/3)OA↑
OM↑=(2/5)OB↑
ON↑=(1/2)OA↑+(1/2)OB↑

OP↑=sON↑
OP↑=(1-t)OL↑+tOM↑
を解く

ageるな馬鹿

>>965
ゴミ人間のおまえの掲示板じゃないし
おまえが何を言っても無駄さ
馬鹿だなぁ

どちらかと言えばむしろ時々は上がるべきなんじゃなかろうか

>>967
単発質問スレの抑止のためにできたわけだから
本来は、ageるのが普通だったな

http://www.imgur.com/J93BNTv.jpeg
問題と答えの最初の部分なのですが
なぜ円の半径を1としてよいのか
なぜ傾きが-tなのか
折り返した円の中心が（t,1）となるのか教えて下さい

>>969
>>1
>・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。

>>969
自分が答案を作りやすいように座標を適当に設定した
直径AB（x軸）に半径1の円が接するので中心のy座標は1
折り返した円の中心をCとするとPQはOC垂直

>>971
ありがとうございます、しかしPQとOCが垂直になる理由がいまひとつわかりません…

>>972
CはPQを対称の軸としたOの線対称な点だから

>>973
分かりました、ありがとうございました

>>972
2円の交点を結ぶ弦が2つの中心を結んだ直線と垂直になるのは常識の範疇

>>975
ありがとうございます覚えておきます

理由を説明出来ない人がただ覚えてもしょうがないと思うよ。
実務ならそれでいい場合もあるだろうけど。

公式を使うのは確かに理屈を理解したほうがより使いこなせるのは事実だけど
円周や円の面積の計算、分数の割り算が何故逆数の掛け算になるのかとか、
小学生で理屈があいまいなまま習って、そのまま使ってる人もいるからな
二次方程式の解の公式なんかも作り方知らずに使ってる人多いし
身の回りの家電製品なんかでも厳密な仕組みをわかって使ってる人は少数でしょ

公式は先人が作った便利な道具のようなものだから
理系に進んで数学をさらに極めるなら道具の仕組みを知らないといけないと思うが
文型みたいにとりあえず道具が使えればいいって人に仕組みまで理解しろというのは難しいとは思う

二等辺三角形の垂線に関する性質でそこまで言うか？

>>978
じゃ、これから証明問題の答案は

そうなるって先人が示したからそうなるわな。 qed

で終わりだな

>>938
>1を2に代入して…とか省略して
>これを解いて、の一言だと減点されますか？

ax+by=s
cx+dy=t
において
x=
|s b|
|t d|
------
|a b|
|c d|

y=
|a s|
|c t|
-----
|a b|
|c d|
と書いとけば計算プロセスと解も同時に示してるので。
減点のしようがない,ここから先は計算間違いする可能性はあるけどね。
上の形で一応答えを書いてるわけだから。

記述式の解答用紙で幅がある場合、真ん中に線引っ張って段組にしろ
数学のノートとかも真ん中に線引っ張って段組形式で日頃から書いてなれること

>公式は先人が作った便利な道具のようなものだから

公式、定理、法則は作るものじゃなく発見するもの

>>980
公式等の証明は、先人がどのように導いたのか説明しなさいってことだろ
図形や等式の証明なんかは、与えられた条件が先人の導いた公式に当てはまることを示す問題だろ
三角形の合同証明なんかは、合同条件が成り立つとなぜ合同になるのかとか説明されてないしな

高校までの数学は解法パターン暗記の糞科目

数学好きで頭のいい生徒なら、問題集にある模範解答くらいは自力で編み出すけどね

高校数学に登場する概念は直接的というか、日常的なものばかりだからな（行列はやや解りにくいかな？）
定義を見ただけで使い方まで自動的にわかる子は確かにいる

そういう意味では、大学以降のより高度な数学の方がパターン暗記が重要となる
元来、人間にとって馴染みにくい概念が多いから、一から体に覚え込ませなきゃいけない

xy平面上のy軸に平行な直線x=1をlとする。l上の点Pに対して次の3つの条件を満たす点Qを対応させる。
(i)原点をOとするときQは直線OP上にある。
(ii)Qのx座標は負である。
(iii)|AB|で線分の長さを表すとき|OP|&bull;|OQ|=1を満たす。
Pがl上を動くときQの軌跡を求めよ。
という問題です。

自分はQ(X,Y)ただしX<0とおき、さらにPを(1,a)とおいてQは直線OP上にあることからQ(X,aX)とおいて
|OP||OQ|=1から、OP^2OQ^2=1を解いた結果点Qの軌跡は{x+(1/4)}^2+y^2=1/4のx<0の部分というのが出てきました。
解答だと軌跡の式は同じなんですが(x,y)は(0,0)だけ取れないと書いてありました。なぜですか？

ほい
高校数学の質問スレPART354
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1375778660/

http://i.imgur.com/7uWlswp.jpg
この図形において、AC=4、BC=√13であるとき、|↑BD|を求めよ。

という問題をベクトルを用いて解け、と言われたのですが、幾何的なベクトルを一切用いない見方でないと私は解けませんでした。(某模試の問題だそうです。解答もベクトルを一切用いない物でした。)
これをベクトルを用いて解くにはどのように座標設定をすれば良いのでしょうか？

四面体ABCD

AB＝１３、BC＝１４、CA＝１５の三角形ABCがある。この周上に２点P、Qを
線分PQが三角形ABCの面積を二等分するようにとる。

線分PQの長さの最小値を求めよ。

という問題が学校のテストで出て、座標平面を使って考えたんですけど、
全然分かりませんでした。教えて下さい。（＞＜）

教えてもいいですがその不穏な名前は一体何事でしょうか
理由を説明してください

>>989
出てくる式は
{x+(1/2)}^2+y^2=1/4
じゃね？
この式のx<0で合ってるけど、
x≧0になってる部分は(x,y)=(0,0)しかないのでそれを除くってだけ

>>995
本当ですね！
なんか勘違いしてました。ありがとうございます！

>>993
重心ってのは質量がその一点に集中してると考えられるので
重心を点で支えると平面図形などは平衡するはず
重心を通る線分を持ってくればその線分の両側でも重さがバランスするはず
つまり面積も等しくなるので、PQは重心を含む線分に違いない

PとQは特に区別がなく Pと重心を結んでその先の辺と交わる部分がQ
PがACにあるとき、ABにあるときでそれぞれPQの最小値を求めてその小さい方が答え
座標にするにはこの場合だとBCをx軸にとれば楽かな

>>993
類題が多くの大学で出題されていて取り上げている参考書も多い
『伝説の良問100』『極選』などに出ている

>>997
嘘だな。
例えば重心は中線を2:1に内分するが
△ABCにおいてBCに平行で重心を通る線を引くと
△ABCを2/3倍に縮小した三角形ができるが面積は4/9倍。

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