不等式への招待　第７章

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ！
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

過去スレ
・不等式スレッド　（第１章）http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1

・不等式の和書
[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　 　http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
　　 http://amazon.jp/dp/4844372661
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/978432001...
[5]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8]　不等式 〜 21世紀の代数的不等式論 〜，安藤哲哉，数学書房，2012年
　　http://amazon.jp/dp/4903342700

・不等式の項目を含む和書
[1]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　 　http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[2]　獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
　 　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113...
[3]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
　 　http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[4]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
　 　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180...
[5]　最大値と最小値の数学，P.J.ナーイン，シュプリンガー，2010年
　 　http://amazon.jp/dp/4621062131
[6]　最大・最小（数学one Point双書24），服部泰，共立出版，1979年
　 　http://amazon.jp/dp/4320012445

・不等式の洋書
[1]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[2]　Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
　　 http://amazon.jp/dp/3034600496
[3]　Inequalities: Theorems (Techniques and Selected Problems)，Zdravko Cvetkovski，Springer，2012年
　　 http://amazon.jp/gp/product/3642237916
[4]　Analytic Inequalities，Xingzhi Zhan，Dragoslav S., Dr. Mitrinovic，Springer，1970年
　　 http://www.amazon.co.jp/dp/3642999727
[5]　Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics, No.1790)，Xingzhi Zhan，Springer，2002年
　　 http://amazon.jp/dp/3540437983
[6]　Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics)，Rajendra Bhatia，Springer，1996年
　　 http://amazon.jp/dp/0387948465

・不等式の記事
[1]　特集 「現代の不等式」 （数理科学 No.386） ，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2]　特集 「不等式の世界」 （数学セミナー No.2-569） ，日本評論社，2009年2月号
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[3]　連載 「不等式の骨組み」 （大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号
　　 http://www.tokyo-s.jp/index.shtml

・不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　http://rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　http://www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　http://www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KöMaL　http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　http://imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　http://mathworld.wolfram.com/
[14]　GRA20 Problem Solving Group　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15]　American Mathematical Monthly Problems　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16]　Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/
[17]　すうじあむ http://suseum.jp/gd/all_berry_list/3504

・海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html

〔問題〕
a,b,c>0, (r=2/3 または r=1 または r≦0) のとき
　{2a/(b+c)}^r + {2b/(c+a)}^r + {2c/(a+b)}^r ≧ 3.
を示せ。

　casphy - 高校数学 - 不等式２ - 032-035, 042-043
　USAMO ?

円周率をπと書く. 223/71 < π < 22/7. Archimedes の時代から知られていたらしい.

不等式大好きでつ！

>>2
追加でつ！

不等式への招待 第６章
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/901

901 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/12/06(木) 23:47:56.44
美しい不等式の世界 ─数学オリンピックの問題を題材として─

A5／272ページ／2013年01月25日
ISBN978-4-254-11137-8　C3041
定価3,990円（税込）
佐藤淳郎 訳

"Inequalities A Mathematical Olympicd Approach"の翻訳。
数学全般で広く使われる有名な不等式や実用的テクニックを系統立てて説明し，
数学オリンピックの問題をふんだんに使って詳しく解説。
多数の演習問題およびその解答も付す。

http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11137-8/



きたか…！！

　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　 ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/

>>5
そういえば、東大の入試で円周率の不等式が出て話題になったな。
簡単と思いきや、出来が悪かったそうだ。


問題．円周率 π は、３．０５ より大きいことを証明せよ。

>>2 の修正
すまなんだ
まとめWikiからコピペしたら、長いURLは ...... と略されるのを忘れていました

>>2
・不等式の和書
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898

・不等式の項目を含む和書
[2]　獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
　　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
[4]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
　　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11808-7/

>>4
・不等式の埋蔵地
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE
　　http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/ (要自動登録)

　　　　　　 　　∧＿∧
　　　　　　 　 （´Д｀　）　　　死んでお詫びを…
　　　　　 　　 / 　y/　 ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　 　 （ノノノ | | | l ）
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

最近不等式の証明の世界を知りました高一です
学校ではn=2の場合においてのAM-GM不等式しか習いませんでした

ですが、最近とある人から数オリクラスの不等式の証明もある事を聞き興味を持ってます
まずこのスレに出てくるような問題を解くために勉強すべき事はなんでしょうか
現時点で三角関数までしかやってないです

>>11
あらゆる問題に触れる

何をおいてもまずは微分積分を身に着けてから
数�Vの教科書を取り寄せて勉強するべし

>>9

原点(0,0)を中心とする単位円上に2点
　A (1, 0)
　B (1/√2, 1/√2)
をとる。弧AB は円周の 1/8 である。
　|AB|^2 = (1 - 1/√2)^2 + (1/√2)^2
　　　　= 2 - √2 > 2 - 1.414775 = 0.585225 = 0.765^2,
　AB = √(2-√2) > 0.765
　π > 4･AB > 3.06

>>9
2003年の東大理系の問題だったんだよね。

当時は小学校で円周率がおよそ３で済ます、ということになり、それでは数学教育として余りにも酷い、
というメッセージを世間に送る意味で出題させれたという時代背景があった。

一応日本の最高学府のしかも理系の問題でそれを提示することで、当時の数学教育に反論するのが狙い。
東大ともなると、単に難しい問題を出すだけでなく、高校数学界への影響も考慮してと意外と大変ですね。

今年の入試問題
http://nyushi.yomiuri.co.jp/13/sokuho/hokkaido/koki/sugaku/images/mon1_1.gif

>>14
C (cosθ, sinθ)
とおくと、
　|AC|^2 = (1-cosθ)^2 + (sinθ)^2
　　　　 = 2(1-cosθ),

(例)　θ=π/6 のとき
　　C((√3)/2, 1/2)

　|AC|^2 = 2 - √3 = 0.268
　π > 6|AC| > 3.10

　|BC|^2 = 2 - √(3/2) - √(1/2) = 0.068
　π > 12|BC| > 3.13

>>17
円周率の評価の証明で、弧度法を使ったらダメだろうが！

証明すべきこと（１周=2π）を使っているんだから、全然証明になってない。

１周=2πはsinの周期（あるいはexpの周期）からわかることです
問題ありません

証明すべきことは
＞問題．円周率 π は、３．０５ より大きいことを証明せよ。
なんだが

>>20
円周率の定義を知らないのか？

>>21
教えて

>>16
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…してもよろしいでしょうか？

>>15
円周率が3となっていたのは日能研の電車の吊り広告での話
実際の教科書見たらそうじゃないってのはすぐにわかるのに
メディアが円周率3って大きく取り上げた
それだけのこと

>>16
(1) x=1 で最小
（２）　x＝y　で最小、
　　　　　　　　　最小値が　x＝y＝１　のとき　０になる
おしまい

>>16 (1)

t≠1 のとき、f(x) = t^x は下に凸。
　{f(c)-f(0)}/(c-0) ≧ f '(0) ≧ {f(0)-f(-b)}/{0-(-b)},

>>16 (2)
重み付き相加相乗平均より、
　(a/(a+b+c))s + (b/(a+b+c))t + (c/(a+b+c))u ≧ s^(a/(a+b+c)) t^(b/(a+b+c)) u^(c/(a+b+c)).
上式に、 s = x^(a+b+c), t = y^(a+b+c), u = 1 を代入して整理。

>>16 (1)
上式に、 a=0, s>0, t=T^(b+c), u=1 を代入して整理。

今年の入試問題
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/13/kb2-21p/5.gif

x_i(1≦i≦n+1)は正の実数でx_1+x_2+……+x_n=1, x_(n+1)=0を満たす時
Σ[k=1_n]{√(Σ[p=1_k]x_k)×√(1+Σ[q=k+1_n+1]x_q)×x_k}＞π/4

>>30
半径1の四分円を幅がx_iになるようにスライスして面積を考える

>>30
【審議凍結】
　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 ／|／／　　　　　　　 　 　 　 ／　／ ／|
　／／|／　／　　　　　　 　 ／／　／ ／ 　|
　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|.///.|
　|／　|　 　.∧,,∧. 　∧,,∧.／／／　│ 　 .|
　|　 ∧∧(´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀)∧∧.　　.| 　　.|
　|　(´‐ω‐).∧∧) (∧∧　(‐ω‐｀)　.│///|
　|　｜　Ｕ (´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀) と ﾉ .／| . 　 |
　|　　ｕ-ｕ　（l 　　 ) ( 　　　ﾉ u-ｕ ／ .|/// |
　|　　 　　　 `ｕ.／ '／ｕ-u'　　　　　　 |　 ／
　|／／　　　　／／　　　　／／　　　 .|／
　 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

>>30

　y_0 = 1, 　
　y_k = Σ[q=k+1,n] x_q　
　y_n = 0,
とおくと、y_k は単調減少で
　(左辺) = Σ[k=1_n] √(1 - y_k) × √(1 + y_k) × {y_(k-1) - y_k}
　　　　 = Σ[k=1_n] √{1 - (y_k)^2} × {y_(k-1) - y_k}
　　　　 > Σ[k=1_n] ∫[y_k, y_(k-1)] √(1-yy) dy
　　　　 = ∫[0,1] √(1-yy) dy　　　（半径1の四分円 >>31)
　　　　 = π/4.

>>29
どこの入試問題ですか？

問題の表記や文字から神戸大

〔問題〕
　√(1+xx) − |x| = F(x) とおくとき、次を示せ。

(1)　|xy|≦1/2　⇒　F(x) + F(y) ≧ 1,

(2)　|xyz| ≦ (4/3)^3　⇒　F(x) + F(y) + F(z) ≧ 1,

(3)　|xy| ≧ (3/4)^2　⇒　F(x) + F(y) ≦ 1,

　[元スレ.414, 459, 482]
　casphy - 高校数学 - 不等式スレ [1-919]

>>36

(1) 分子を有利化する。
　F(x) + F(y) -1 = √(1+xx) + √(1+yy) - (1+x+y)
　　= {2√(1+xx)･√(1+yy) - (-1+2x+2y+2xy)}/D1
　　= {1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)}/(D1･D2)
　　≧ 0,　　　　(← |xy|≦1/2)

ここに、D1 = √(1+xx) + √(1+yy) + (1+x+y) >0,
　　　　D2 = 2√(1+xx)･√(1+yy) + (-1+2x+2y+xy) >0,

(3) 上と同様に
　1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)
　　=　1 + 2(1-2GG)(1+2x+2y)
　　≦ 1 + 2(1-2GG)(1+4G)　(← AM≧GM)
　　=　(3-4G)(1+2G)^2
　　≦ 0,　　　　　　　　　(← G≧3/4)

実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=1 を満たすとき
xy^2 + yz^2 + zx^2 のとり得る値の範囲はどうもとめればいいでしょｙか

x≦y≦zとしてあげたらいいんじゃない？

>>38
ｷｬｽﾌｨｰの解答....

コーシーにより
　(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ {(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2}(y^2 + z^2 + x^2),
　等号成立は x=y=z のとき,
とし、右辺に
　XY+YZ+ZX = {2(X+Y+Z)^2 -(X-Y)^2 -(Y-Z)^2 -(Z-X)^2}/6
　　　　　 ≦ (1/3)(X+Y+Z)^2,
を使えばいいんじゃない？

　(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ (1/3)(x^2 + y^2 + z^2)^3 = 1/3,

∴取り得る値の範囲は −1/√3 〜 1/√3.
　　(x=y=z=±1/√3 のとき)

a,b,c∈R
(a^2+b^2+c^2)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3)

>>41
その問題は [第５章.288] のように、
　p = a^2 -ca +bc,
　q = b^2 -ab +ca,
　r = c^2 -bc +ab,
とおくといいらしいよ。

　p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
　pq + qr + rp = ab^3 + bc^3 + ca^3,
より
　(a^2 +b^2 +c^2)^2 - 3(ab^3 +bc^3 +ca^3)
　　= (p+q+r)^2 - 3(pq+qr+rp)
　　= (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}
　　≧ 0,

　[第５章.268-269, 284-290]
　[ｷｬｽﾌｨｰ 不等式１-517, 563]

〔類題〕
a,b,c ≧ 0 のとき
　(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^(4/3)･b^(8/3) + b^(4/3)･c^(8/3) + c^(4/3)･a^(8/3)},

(略解)
相加･相乗平均により
　(ab)^2 + (ab)^2 + b^4 = (a^2 +a^2 +b^2)b^2 ≧ 3a^(4/3)･b^(8/3),
　循環的にたす。

第５章とはどの書物のことでしょうか

スレタイをよく読め

ああああああそうか
すみません

〔問題〕
n∈N のとき、
　1/{2n + 4/(n+3)} < ∫[0,π/4] {tan(x)}^n dx < 1/(2n),
を示せ。（ﾌﾞﾘｼﾞｯﾀ）

　casphy - 高校数学 - ∫積分∫ - 046

>>47
　ｷｬｽﾌｨｰの解答....

(右)
　tan(x) = t とおくと、dx = dt/(1+tt),
　1+tt > 2t,　（← 相加・相乗平均）
　Ｉ_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt)　dt
　　　 < ∫[0,1] t^(n-1) /2　dt
　　　 = [ (t^n) /(2n) ](x=0,1)
　　　 = 1/(2n),
(左)
　Ｉ_n = 1/(n+1) - Ｉ_(n+2)
　　　> 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
　　　= (n+3)/{2(n+1)(n+2)}
　　　= (n+3)/{2n(n+3) + 4}
　　　= 1/{2n + 4/(n+3)},

>>48

　Ｉ_n > 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
　　　 = ∫[0,1] (t^n)(1 - t/2) dt,
は t=1 で接線を引いて
　　1/(1+tt) ≧ 1 - t/2,
としたことに相当する。
さらに
　1/(1+tt) ≦ (5-4t+tt)/4,
から、
　Ｉ_n < {5/(n+1) -4/(n+2) +1/(n+3)}/4
　　　 = (nn+6n+10)／{2(n+1)(n+2)(n+3)}
　　　 = (nn+6n+10)／{2n(nn+6n+10) +2(n+6)}
　　　 = 1／{2n + 2(n+6)/[n(n+6)+10]}
　　　 = 1／{2n + 2/[n + 10/(n+6)]}.

ｷｬｽﾌｨｰから....

〔問題731〕
0 < |x| < π/2 のとき、
　sin(x)/x > cos(x/√3) > cos(x)^(1/3),
　　　　　　　　　　　　　　（でえ）

↑のハイパボリック版...

〔問題738〕
　sinh(x)/x > cosh(x/√3) > cosh(x)^(1/3),
　　　　　　　　　　　　　　　(prime_132)


cos(√t)　(0<t<π^2)、cosh(√t) は下に凸らしい....

>>50 右
　g(t) = cos(√t)　は下に凸。3倍角公式から、
　cos(x/√3)^3 = {3cos(x/√3) + cos((√3)x)}/4
　　　　　 = {3g(xx/3) + g(3xx)}/4
　　　　　 > g(xx)　　　(← Jensen)
　　　　　 = cos(x),
　
>51 右
　g(-t) = cosh(√t)　は下に凸。3倍角公式から、
　cosh(x/√3)^3 = {3cosh(x/√3) + cosh((√3)x)}/4
　　　　　 = {3g(-xx/3) + g(-3xx)}/4
　　　　　 > g(-xx)　　　(← Jensen)
　　　　　 = cosh(x),

>>52

　g(t) は t≦20 で下に凸。

(略証)
・t>0 のとき
　g(t) = cos(√t),
　g '(t) = -sin(√t)/(2√t),
　g "(t) = {sin(√t) - (√t)cos(√t)}/(4t√t),
　そこで sinθ - θ･cosθ = 0, θ>0 となる最小のθを求める。
　1/θ = 1/tanθ = tan((3/2)π - θ) > (3/2)π - θ,
　1/θ + θ > (3/2)π > (20 + 1)/(√20),
　θ > √20 ≧ √t,

・t≦0 のとき
　マクローリン展開
　g(-t) = 1 + (1/2!)t + (1/4!)tt + ････ + {1/(2k)!}t^k + ････
　の係数がすべて正。

>>53

θ 〜 4.493409457909
　　= (3/2)π - 0.21897952247563

√20 〜 4.472135955

左側はマクローリン展開。

>>50 左
　sin(x)/x > 1 - xx/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7!
　　　 = 1 - xx/3! + (x^4)/216 + (x^4)(1/270 - xx/7!)
　　　 > 1 - xx/3! + (x^4)/216　　　(← xx<14)
　　　 > cos(x/√3),

>>51 左
　2k+1 ≦ 3^k,
　sinh(x)/x = �納k=0,∞) (xx)^k／(2k+1)!
　　　　　　> �納k=0,∞) (xx/3)^k／(2k)!
　　　　　　=　cosh(x/√3),

成程

〔類題〕
|xyz| ≦1 のとき、次を示せ。
　√(1+xx) + √(1+yy) + √(1+zz) -|x| -|y| -|z| ≧ 1,

[前スレ.414、459、482]

>>57
ｷｬｽﾌｨｰの解答....

　√(1+xx) - |x|
　　 =　1/{√(1+xx) + |x|}
　　 ≧ 1/(1+2|x|)
　　 =　X／{X + 2|x|^(1/3)}
　　 ≧ X／{X + 2/|yz|^(1/3)}　　　(x≦1/yz)
　　 ≧ X／{X + 1/|y|^(2/3) + 1/|z|^(2/3)}
　　 =　X／(X + Y + Z),
ここに、X = 1/|x|^(2/3)、Y = 1/|y|^(2/3)、Z = 1/|z|^(2/3),

a, b, c>0, (1/ab)+(1/bc)+(1/ca)=1 のとき.

(a-1)(b-1)(c-1)>=2(3√3-5)を示せ。

>>59
例によって基本対称式を
　a+b+c = s,　ab+bc+ca = t,　abc = u,
とおく。題意より
　s = u,
　9/t = 9/(ab+bc+ca) ≦ 1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca) = 1,
　t ≧ 9,
したがって
　(4t-9)[t + 3(2√3 -3)]^2 - 4t^3 = (t-9){3(16√3 -27)t + 27(2-√3)^2} ≧0,

Schur不等式（n=-2）より
　0 ≦ F_(-2)(a,b,c)
　　= abc･F_1(1/a,1/b,1/c)
　　= (t^3 -4stu +9uu)/uu
　　= {4t^3 - (4t-9)(s+u)^2}/(4uu)　(← s=u)
　　≦ (4t-9){[t + 3(2√3 -3)]^2 - (s+u)^2}/(4uu),

∴　[t + 3(2√3 -3)] ≧ s+u,
∴　(a-1)(b-1)(c-1) = u -t +s -1 ≦ 2(3√3 -5),

昨日行ったファミレス。席に着くなり「ただいま○○フェアで
○○○○がお勧めです」と言うので「じゃあそれを」と頼んだら
「申し訳ありません、本日は完売となっております」って。
じゃあ勧めるなよおい。完売でもとにかく言わないといけないという
決まりでもあるのかね。

mixi招待してください

>>59
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....


a>1, b>1, c>1, で示せばいい。
附帯条件は
　0 = (a-1)(b-1)(c-1) + (a-1)(b-1) + (b-1)(c-1) + (c-1)(a-1) -2
　　≧ (a-1)(b-1)(c-1) + 3{(a-1)(b-1)(c-1)}^(2/3) -2
　　= GGG +3GG -2
　　= (G+1)^3 -3(G+1)
　　= (G+1){(G+1)^2 -3},
ここに、 G = {(a-1)(b-1)(c-1)}^(1/3),
∴　G ≦ √3 -1,
∴　(a-1)(b-1)(c-1) = GGG ≦ (√3 -1)^3 = 2(3√3 -5),
　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

log(x+√1+x^2)>sinx (x>0)

ピーター・フランクルの本より出題

任意の実数xについて、
sinx+sin√2x≦2-1/(100*(1+x^2))
が成立することを示せ

あんまし美しいと思えないなあその不等式

>>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

|x| < π/2 のとき、｜tan(x)| > |x|

　(d/dx)log(x+√(1+x^2)) = 1/√(1+x^2),
　(d/dx)sin(x) = cos(x) = 1/√{1+tan(x)^2},
から出る。

|x| > sinh(1) = 1.1752 のとき
　(左辺) = arcsinh(x) > 1 ≧ (右辺).

〔問題17〕
非負値の多項式、たとえば
　f(x,y,z) = (x^4)(y^2) + (x^2)(y^4) + (z^6) - 3(xyz)^2,
は
　{xy(x-y)}^2 + (2|xy| + z^2)(|xy| - z^2)^2,

のように、|xy| と z^2 の多項式によって表わせますが、

x, y, z の多項式の平方の和では表わせないでしょうか？


　(参) ヒルベルト「数学の問題」 No.17

自然数 n≧2 に対して次を示せ。

(1) 　Σ_[k=1]^n (-1)^{k+1} n_C_k (1/n^2 )^k < 1/n

(2) 　Σ_[k=1]^n n_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 1/n

(3) 　Σ_[k=1]^{2n} {2n}_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 2/(n-1)


ただし、n_C_k　= n ! /( k! (n-k)! )　は二項係数とする。

>>69
それ数セミ10月号の問題じゃん

最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた
いまこそ、学問の)いち分い地一分野になれるかどうか
ともきいやた。

がんばれ不等式
俺は創業以あなた方ファンです。

狢

○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○

>>71
> 最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた

　 ﾉ　　　　　∧　　　　　／)　∧
　 彡　　ノW　＼从／V　　W　＼　　　ミ
　 (　　ノ　　　　　　　 |　　　　　　ノ　＼)
　　∩V　　　　　 、、　|　　　　　　 >V7
　 （ｅLＬ／￣￣＼/　 L／￣￣＼┘/3）
　　(┗（　　　　　　)⌒（　　　　　　）┛/
　　　~|　＼＿＿／ |　　＼＿＿／　|~　　　　 ／￣￣￣￣￣￣
　　　 爻　　　　　< |　　；　　　　　爻　　 　 ＜ 続けたまえ
　　　　~爻　　　　 ＼_／　　＿,　爻~.　　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿
　　　 　~爻__／⌒￣￣￣~~ヽ_ 爻~
　　　　　／　　　　ー￣￣＼_￣＼
　 ＿一‘　　　　　＜￣￣＼＼＼Ｊ
＜＼　　　　　　　ー￣￣ヽ_ヽＪ　　￣＼_
　　＼　　　　　＿ニニニヽ　）　　　　　　 ~＼
　　　＼　　_／⌒|＼ ヽ_~~ ~⌒＼_
　　＿＿／~　　　 V ＼_|　　　　　~＼＿

１．不等式　２１世紀の代数的不等式論　　安藤　哲哉　著　　数学書房
ソン何知ってるよたいしたことない。場合は笑って許して。でもここだけは
レベル上げといてね。他はたよりにならんから。


これは大田図書館（大田区）でみつけた。

もう一冊は楽しめそう。

美しい不等式の世界
ーーーー数学オリンピックの問題を題材としてーーーーー

砂糖　淳郎　訳　　朝倉書店

残念ながらともに大田図書館所蔵です

私は真摯な数学ファンのあなた方のファンです。がんばってください、

安藤さんは数オリの問題を何問も解いた天才だな

>>77 ご用ですか？
ところで，3変数4次巡回不等式
f(x,y,z) = Σx^4 + A Σx^3 y + B Σ x y^3 + C Σ x^2 y^2 + D Σ x^2 y z
が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
A, B, C, D についての必要十分条件を求めました．
複雑でここに書けないので，以下のプレプリの
Theorem 3.5, Theorem 3.6をご覧下さい．
(2ch制限でLinkが貼れないので，
[安藤哲哉] → 論文・プレプリコーナー → 論文[9] で探して下さい)

(直前の続き ---- 長すぎで2chで拒否されるので)
日本語で読みたい方は以下の正誤表の補遺(系2.3.9b, 系2.3.9c)をご覧ください．
(Linkを貼ろうとすると2chから怒られるので，
[安藤哲哉] → 「不等式」正誤表 で探して下さい)
ここで，S_4=Σx^4, S_{3,1}=Σx^3 y, S_{1,3}=Σ x y^3, S_{2,2}=Σ x^2 y^2, US_1 = Σ x^2 y z です．

すいません。>78 でタイプミスしました。
> が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
が任意の非負実数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための

証明の肝が不等式であることは実際多いんだよ。
君が何を証明したいにしてもね。

〔問題〕
0 < A,B,C ≦ π/2（△ABCは鈍角△でない）とき、
　cos(A)cos(A)cos(B) + cos(B)cos(B)cos(C) + cos(C)cos(C)cos(A) ≦ 2/(3√3),
　等号成立は (cosA, cosB, cosC) = (0, √（2/3), √(1/3)）またはその rotation.
を示せ。

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 095

>>69-70
　便宜上　C[n,n+1] = 0　としておく。

(1)　Σ_[k=1,n] (-1)^{k+1} C[n,k] (1/nn)^k
　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] {C[n,2k](1/nn)^(2k) - C[n,2k+1] (1/nn)^(2k+1)}
　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] C[n,2k](1/nn)^(2k) {1 - [(n-2k)/(2k+1)](1/nn)}
　　< C[n,1] (1/nn) = 1/n,

(2)　Σ_[k=1,n] C[n,k]{1/(nn-1)}^k > C[n,1]{1/(nn-1)} = n/(nn-1),

>>69-70

(3)　Σ_[k=1,2n] C[2n,k]{1/(nn-1)}^k > C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + C[2n,3]{1/(nn-1)}^3
　　> C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + {6(nn-1)(n-2)/3!}{1/(nn-1)}^3
　　= C[2n,1]{1/(nn-1)} + n(2n-1){1/(nn-1)}^2 + (n-2){1/(nn-1)}^2
　　= C[2n,1]{1/(nn-1)} + 2(nn-1){1/(nn-1)}^2
　　= 2n{1/(nn-1)} + 2{1/(nn-1)}
　　= 2(n+1)/(nn-1)
　　= 2/(n-1),

　S_{m,n} = a^m･b^n + b^m･c^n + c^m･a^n,　　>>79

[Corollary 2.6]
　f(a,b,c) = S_3 + p･S_{2,1} + q･S_{1,2} + r･U.
とおく。任意の a,b,c∈Ｒ_+ に対して f(a,b,c)≧0 が成り立つための条件は、
以下の２つの条件が成り立つことである。
(1)　f(1,1,1) = 3+3p+3q+r ≧ 0.
(2)　4p^3 + 4q^3 +27 ≧ (pq)^2 +18pq　or　"p≧0 and q≧0"

　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq17.pdf

>>78

〔定理2.3.9d.〕
　f(x,y,z) = S_4 + A･S_{3,1} + B･S_{1,3} + C･S_{2,2} + D･U･S_1,
は
　f(1,1,1) = 3(1+A+B+C+D) = 0,
を満たすとする。任意の非負実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための条件は、
以下の(1)〜(6)のいずれかが成立することである。

>>78 （続き)

(1)　C+2≧0, A+B≧0, A≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(2)　C+2≧0, A+B≧0, B≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(3)　C+2≧0, -√(C+4) ≦ A+B ≦ 0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2), φ(A,B,C)≧0.
(4)　C+2≧0, A+B≧0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2).
(5)　C≧0, AA+AB+BB ≦ 3C+3.
(6)　C+2≦0, A+B≧0, φ(A,B,C)≦0.
ここに、φ(A,B,C) = (ABC)^2 -4(AB)^3 +18(AA+BB)ABC -4(AA+BB)C^3 -(27A^4 +6AABB +27B^4) +16C^4 -80ABCC +144(AA+BB)C -192AB -128CC +256

　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf

>> 87
その話で，f(1,1,1)=0という条件をはずした場合はどうなるのかというと，
実はかなり難しいのです。
「不等式」正誤表の末尾に，その話を追加しておきました。
長くて難しい話ですので，そちらをご覧下さい。
Linkは>>87の通りです。

>>86-87

　(A,B,C,D) = (0,-3,2,0）　の場合が >>41-42

>>41
　和書[8], p.74-75 例題2.3.10 (3)


〔類題〕
a,b,c∈R のとき
　(a^2+b^2+c^2)^2 + (8/√7)(aaab+bbbc+ccca) ≧ 0,

　和書[8], p.77-78 例題2.3.13 (2)

〔問題〕　次式を代数的に示せ。

(1) x≧y≧1 のとき、
　1/(1+x^n) + (n-1)/(1+y^n) ≧ n/(1+x･y^(n-1)),

(2) a_1, a_2, ････, a_n ≧ 1 のとき、
　1/(1+a_1) + 1/(1+a_2) + ･･･････ + 1/(1+a_n) ≧ n/(1+G),
　ここに、G = (a_1･a_2･･････a_n)^(1/n),
　和書[8]、p.170 例題3.3.9 (10)

>>91

(1) n=1のときは明らかなので n≧2とする。
移項して分母を払うと
　{n + (n-1)x^n + y^n}{1+x･y^(n-1)} - n(1+x^n)(1+y^n)
　= {x･y^(n-1)}�兩1 - �兩2
　≧ �兩1 - �兩2　　　(← x･y^(n-1) ≧1)
　= (x-y)^2 Σ[k=0,n-2] (k+1){x^k･y^(n-2-k) - x^(n-2-k)･y^k}
　= (x-y)^3 Σ[k=0,n-3] (k+1)(n-2-k) x^k y^(n-3-k)
　≧ 0,　　　　　　(← x-y≧0)
ここに
　�兩1 = (n-1)x^n - n･x^(n-1)･y + y^n
　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)x^(n-1-k) ≧ 0,
　�兩2 = x^n - n･x･y^(n-1) + (n-1)y^n
　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)y^(n-1-k) ≧ 0,

(2) nについての帰納法で。

和書[8] のような解析的な方法もあるが....

確率関連の不等式（Markovの不等式とか，Hoeffdingの不等式とか）が充実してる本やサイトってない？

どの本にも載ってなさげなんだが．．．

stochastic inequalities とか probability inequalities でAmazon検索すればいっぱい出てくる

>>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

　|t| > ｜tanh(t)|

　(d/dt)arcsin(t) = 1/√(1-tt),
　(d/dt)sinh(t) = cosh(t) = 1/√{1-tanh(t)^2},
から |t|≦1 のとき
　arcsin(t) > sinh(t) > 0,
が出る。
　t > sin(sinh(t)) > 0,

|t| ≧ 1 でもこの式が成立つことは明らか。

　sinh(t) = x とおくと
　arcsinh(x) > sin(x) > 0,

ｷｬｽﾌｨｰから....

〔問題〕
A,B,C>0, ABC ≧1 のとき
　(A+1)/(A+B+1) + (B+1)/(B+C+1) + (C+1)/(C+A+1) ≦ 2,
　B/(A+B+1) + C/(B+C+1) + A/(C+A+1) ≧ 1,
　等号成立は A=B=C=1.

casphy - 高校数学 - 不等式２ - 028(5), 112

幾何的な不等式でもよければ
幾何学大辞典にもけっこう載ってるよね
著者本人が見つけたやつもいっぱい出てるからチェックしてみるといいよ

ｷｬｽﾌｨｰ! 不等式２ の じゅー さんへ。
　まづはWEBで....

「一般化固有値問題」（明治大）
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/generalized-eigenvalue-problem/generalized-eigenvalue-problem.html

「極値としての固有値」（東京大）
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/eigenmax070918.pdf

「§１固有値問題」（早稲田大）
http://www.waseda.jp/ocw/ComputerScience/17-1004345-01NumericalComputationsSpring2003/StudyMaterials/lec6.pdf

「Rayleigh商と2次形式の最大値,最小値」 - Quod Erat Demonstrandum
http://deepwave.web.fc2.com/rayleigh.pdf

同スレから....

(2) a,b,c >0 のとき
　(ab+bc+ca){1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2} ≧ 9/4,
　等号成立は a=b=c


(6) x,y,z >0 のとき
　xxx(yy+zz)^2 + yyy(zz+xx)^2 + zzz(xx+yy)^2
　- xyz{xy(x+y)^2 + yz(y+z)^2 + zx(z+x)^2} ≧ 0,

ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126〜133

ここで聞くのはスレチだとは思うがわかる人がいたら教えてほしい
以前は Live2ch で ｷｬｽﾌｨ! を見れていたのだが
いつからか読み込めなくなった
同じ症状の人いない？

>>99

〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が△の三辺をなすとき
　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131〜132

>>99

〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が a,b,c と同順または逆順のとき
　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131〜132

>>99 (6)
　yはxとzの中間にあるとしてよい。

　(左辺) - (右辺) = A(x-y)^2 + (A-B+C)(x-y)(y-z) + C(y-z)^2,
ここに
　A = yz(y^3 +z^3) + x(y-z)(y^3 -z^3) > 0,
　A-B+C = 2{(z+x)y - xz}y^3 ≧ 2{Max(x,z)min(x,z) - xz}y^3 = 0,
　C = xy(x^3 +y^3) + z(x-y)(x^3 -y^3) > 0,
より成立。

註)　z+x > Max(x,z) > 0,　y ≧ min(x,z) > 0,　を辺々掛けた。

>>99

(1)　
a,b,cは相異なる正の実数とする。
　ab･log(a/b)/(a-b) + cyc. ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,
を示せ。log は自然対数です。


(8)
任意の正の実数a,b,cに対し
　a/√(a+b) + b/√(b+c) + c/√(c+a) ≦ (5/4)√(a+b+c),
　等号成立は (a,b,c) = (3,1,0) またはその rotation.

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126

|Aut(L/K)|≦[L:K]

>>104 (1)

x>0 のとき
　2Log(x)/{x -(1/x)} = (2t)/{exp(t) - exp(-t)}
　= t/sinh(t)
　≦ 1,
より
　√(ab)･Log(a/b)/(a-b) = Log(a/b)/{√(a/b) - √(b/a)} ≦ 1,
よって
　(左辺) ≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
　　　　 ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,

↓の不等式うまい方法あるかな ？

a[i],b[i],c[i]＞0および
a[i],{b[i]/c[i]}は減少列のとき
（Σa[i]b[i]）／（Σa[i]c[i]）≧（Σb[i]）／（Σc[i]）

別にうまくないけど。
分数が嫌だから、b[i]/c[i]をあらためてb[i]として、式を整理すると、
(Σa[i]b[i]c[i]）(Σc[i]）≧(Σa[i]c[i])(Σb[i]c[i]）.
これは (左辺)-(右辺)＝Σ[i<j](a[i]-a[j])(b[i]-b[j])c[i]c[j]≧0 からいえる。

〔問題158〕
　a,b,c >0,
　aa+bb+cc + abc = 2(ab+bc+ca),
のとき
　(ab+bc+ca) ≦ 3(a+b+c),
を示せ。

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 158,161

〔問題163〕
0≦a,b,c≦1 のとき,
　2(a^3+b^3+c^3) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
等号成立は (a,b,c) = (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 163,164

>>109
　
条件式と aa+bb ≧ 2ab から
　(c+ab)c ≦ (2a+2b)c,
c>0 で割って
　ab ≦ 2a+2b -c,
循環的にたす。


>>110

　1 +aab -(aa +b) = (1-aa)(1-b) ≧ 0,
から
　(aa+bb+cc) + (a+b+c) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
が出る。

x+y=2のとき、1/(1+x^2) + 1/(1+y^2) のとりうる範囲は？

普通にやったら泥臭くて吐いた。
(通分してq=xyのみの式に直したもの=kとおき、分母を払って整理した
qの2次方程式がqのとりうる範囲内に少なくとも1つの解を持つ云々)

きれいな解法求む。

>>112

　xx+yy = (x+y)^2 -2xy = 4-2q,

　1/(1+xx) + 1/(1+yy) = (2+xx+yy)/(1+xx+yy+xxyy)
　= (6-2q)/(5-2q+qq) = k,
よって
　-(√2 - 1)/2 < k ≦ (√2 + 1)/2,

　最大は q = (√2 - 1)^2　のとき
　最小は q = (√2 + 1)^2　のとき

入試問題や模試や大学への数学などから持ってきますた。（じゅー）

[1]
　|z+1/2| < 1/2 のとき
　|1+z+…+z^n| < 1 を示せ。 (東工大前期)

[2]
xx+yy+zz=1 のとき
　(1) (x-y)(y-z)(z-x)
　(2) (2x-y)(2y-z)(2z-x)
の取りうる最大の値を求めよ。 (大数宿題)

[3]
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき
　a+b+c ≧ ab+bc+ca を示せ。(大学宿題)

[4]
(xx+yy)^2 = xx-yy のとき
x+y の取りうる最大の値を求めよ。(早大プレ)

ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 170

>>114 [3]

　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　s<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ s < 4,

　4s(s-t) = -s^3 +4ss -9u + F_1(a,b,c)
　　　　　= -s^3 +4ss -9(4-s) + F_1(a,b,c)
　　　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　　　≧ 0,
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0,　(Schur)

>>114

[1]　zは中心-1/2, 半径1/2 の円内にある。
　　|z| ≦ |z +1/2| + 1/2 < 1,
また、|z|^2 = zz~ = (z +1/2)(z~ +1/2) -1/4 -(z+z~)/2 < -(z+z~)/2,
∴　|1 - z^(n+1)| ≦ 1 + |z|^(n+1)
　　< 1 + |z|^2
　　< √(1+3|z|^2)
　　< √{1 -(z+z~) +zz~}
　　= √{(1-z)(1-z~)}
　　= |1-z|,

[2]　(1)　x≦y≦z とする。
　(x-y)(y-x) ≦ (1/4)(z-x)^2,
　　　等号は y=(x+z)/2 のとき。
　∴ (x-z)^2 =　2{xx + [(x+z)/2]^2 + zz - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 ≦ 2{(xx+yy+zz) - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 =　2{1 - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 ≦ 2,
　　　等号成立は (x,y,z) = (-1/√2, 0, 1/√2)
　(左辺) ≦ (1/4)(z-x)^3 ≦ 1/√2,
下限も同様に

[4]　軸を45ﾟ回す。
　u = (x+y)/√2,　v = (x-y)/√2,
与式は
　(uu+vv)^2 - 2uv = 0,
ここで、du/dv=0, とおくと、
　2v(uu+vv) -u = 0,
　u = 8v^3 = (√3)v,
　(u, v) = (±√{(3√3)/8}, ±√{(√3)/8})
　2(uu+vv) = u/v = √3,

>>114 [4]

連珠形とか、Jakob Bernoulli のレムニスケート（Lemniscate）
というらしい....

>>115

出題者によれば
”今のところ、対称性を崩さない綺麗な証明は見つかっていない。”

　Schur不等式にもそのまま言えそう...

>>118

F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(c-a) + c(c-a)(c-b)
　　= (ab+ca)(a-b)(a-c)/(b+c) + ･････
　　= ab{(a-b)(a-c)/(b+c) + (b-c)(b-a)/(c+a)} + ･･････
　　= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
　　≧ 0　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

x^3+y^3+z^3=1 (x,y,z>0)の時
xxy+zzxの取りうる最大値を求めよ
(東進数学コンクール)

結局スマートな解法が思いつかないまま〆切を迎えてしまいました

過去問でつが……

〔問題908〕
　正の実数 a,b,c に対して、次を示してくださいです。
　{(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 ≧ 27abc(a^3 +b^3 +c^3),

　2ch - 数学板 - 不等式スレ６ - 908
　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式１ - 964

120 Chebyshev kills it
We could see a Golden Section

>>121

　(a+b+c)(aa+bb+cc) = S+p+q,
ここに
　S = aaa + bbb + ccc,
　p = aab + bbc + cca,
　q = abb + bcc + caa,

　(左辺) = (S+p+q)^2
　　　≧ 9(Spq)^(2/3)
　　　≧ 9(SS･27SU)^(1/3)　　　　(← 補題)
　　　= 27Su,
ここに
　　S = aaa + bbb + ccc,
　　T = (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3,
　　U = u^3 = (abc)^3,


〔補題〕
　pq ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ 3(3STU)^(1/3)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}

>>123

〔補題〕
　pq ≧ T + 2√(3SU) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ T + 2√(3SU)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}

>>112-113

　0 < k ≦ (√2 + 1),

　極大は q = (√2 - 1)^2 のとき
　下限は q → -∞ のとき

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

〔問題179〕
x,y,z>0、xyz=1 のとき、
[Easy]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(x-1)(y-1)(z-1),
[Hard]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(1-x)(1-y)(1-z),
を示してくださいです。
[Hard] は [Easy] と比較して難しいかなぁって感じでつ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 179

>>127

Easy の方は
　(左辺)−(右辺) = (x+y+z+1)(x+y+z-3) - 2(xyz-1) ≧ 0 だが...

>>127

　x+y+z = s,
　xy+yz+zx = t,
　xyz = u,
とおくと Hard の方は
　(左辺)−(右辺) = (ss-2t) -3 +2(u-t+s-1)
　　 = (ss-4t) +2(u-1) +2s -3
　　 = {F_1(x,y,z) -9u}/s + 2(u-1) +2s -3
　　 = {F_1(x,y,z) +(2s-9)(u-1) +(s-3)(2s+3)}/s
　　 ≧ 0,　　　　　　　　　　　（天ぷら）
ここに
　F_1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
　　 = sss -4st +9u ≧ 0,　（Schur）

今年の不等式関連の入試問題
http://nyushi.yomiuri.co.jp/14/sokuho/tohoku/zenki/sugaku_ri/images/mon6_1.gif
http://nyushi.yomiuri.co.jp/14/sokuho/yokohamashiritsu/zenki/sugaku/images/mon2_1.gif
http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/14/gi1-22p.pdf

数オリ
http://www.imojp.org/challenge/old/images/jjmo12mq.jpg
http://www.imojp.org/challenge/old/images/jmo24mq.jpg

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀)　＜興奮してきた…
　 人　Y　/
　(　ヽ し
　（＿）＿）

>>131 (2014年JMO本選)

〔問題5.〕
不等式
　a/{1+9bc+4(b-c)^2}　+ b/{1+9ca+4(c-a)^2} + c/{1+9ab+4(a-b)^2} ≧ 1/2,
が a+b+c=1 をみたす任意の非負実数a,b,cに対して成り立つことを示せ。

>>130
イェンゼンをそのまま出すってつまらないな

>>133

a+b+c=s のとき、コーシーにより、
　{a[ss+9bc+4(b-c)^2] + b[ss+9ca+4(c-a)^2] + c[ss+9ab+4(a-b)^2)]}(左辺)
　　≧ (a+b+c)^2 = ss,
よって
　(左辺) ≧ ss/{sss+27abc+4[s(ab+bc+ca)-9abc]}
　　= ss/{sss +4s(ab+bc+ca) -9abc}
　　≧ ss/(2sss)　　(← Schur)
　　= 1/(2s),　　　　(じゅー)

この『じゅー』って今年阪大挑戦枠受かった子？

知らんがなｗ

自己紹介乙！

阪大の合格発表見たけど
数学挑戦枠の合格者一人だけだった
去年に引き続きなかなかエグい試験だったってことだな

この人
https://twitter.com/yjjswm

いちょう祭が楽しみ...♪

ちなみに小生は学科違いの S53入、S59院卒 だが何か？

>>136-141

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331245369/
へ　ﾄﾞｿﾞｰ

a,b,cは負でない実数でかつab+bc+ca+abc=4を満たす時
a+b+c≧ab+bc+ca

>>114 [3] の類題？

>>115

>>143

s,t,u を >>115 のようにおく。
　t<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ t < 4,

s≧4 のときは明らか。
s<4 のとき
　(4s+9)(s-t) = -s^3 +4ss +9(s-t-u) + F_1(a,b,c)
　　　= -s^3 +4ss +9(s-4) + F_1(a,b,c)
　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　≧ 0,　　　　(← s≧√(3t)≧3)
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur)

>>120

相加-相乗平均
　axxx + axxx + yyy ≧ (1/k)xxy,
　(1-2a)xxx + zzz/2 + zzz/2 ≧ (1/k)xzz,
を辺々たすと
　xxx+yyy+zzz ≧ (1/k)(xxy+xzz),

係数を比べて、
　aa = (1-2a)/4 = 1/(3k)^3,
aを消すと、
　k = (1/3)(1+√5)^(2/3) = 0.729273617

casphy - highmath - 不等式２ - 173-174
//twitter.com/Inequaltybot/　[181]

正数x,y,zが xyz = 1 のとき
　x^3 + y^3 + z^3 + 1/x^3 +1/y^3 + 1/z^3 - 6*( x/z + y/x + z/y ) +12 ≧0


って成り立ちますか？

ｘ＾２−ｘ−１＝０。
ｙ＝１。
ｚ＝ｘ−１。

正変数a_1, a_2, ・・・, a_n について A_n = (a_1+a_2+・・・+a_n)/n , G_n = (a_1*a_2*・・・*a_n)^(1/n) とするとき

　n(A_n-G_n) ≧ (n-1)(A_(n-1) - G_(n-1))

が成り立つそうなのですがどう示されるのでしょう

(a^4+b^4+c^4)^3≧(a^3+b^3+c^3)^4ってどうやって示せばいいんだっけ

頭わるそうなやり方だけどlog取って12で割って増減調べりゃいいんじゃない

a=b=cの時成り立たなさそうなんだがどうなの

>>121-124
　//twitter.com/Inequalitybot/ [186]

〔問題〕
a,b,c>0 に対して、次を示してくださいです。
　(a+b+c)^2･(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 24abc(aa+bb+cc),

　//twitter.com/Inequalitybot/ [196]

http://sothear.files.wordpress.com/2010/03/topics-in-inequalities-hojooleetin0508251.pdf#search='x%5E2y%5E2z%5E22xyz%3D1'
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

√2 + √3 > π を証明せよ、ゆとり向けに。

　2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。

この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
　sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
　tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
　4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,

√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ

>>149
a_n = a と略記する。
n･A_n = (n-1)A_(n-1) + a,
n･G_n = n･{G_(n-1) ^(n-1)･a}^(1/n)
　≦ (n-1)G_(n-1) + a,　(←相乗･相加平均)
辺々引く。
　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ

>>114-116

[1] ･･･ [183]
[2] ･･･ [182]
[3] ･･･ [184]
[4] ･･･ [178]

https://twitter.com/Inequalitybot/

>>143-145

(別解)
a,b,c の2つが1以上、または2つが1以下。
a,b をその2つとすると
　4 = (a+b+c) + abc = (a+b)(1+c) + (1-a)(1-b)c ≧ (a+b)(1+c),
　(a+b+c) - (ab+bc+ca) = (a+b){4-(a+b)(1+c)}/4 +(a-b)^2･(1+c)/4 +(1-a)(1-b)c ≧0,

//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 170[3] 〜172
//twitter.com/Inequalitybot/ [184]

> 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.

ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。

定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0

> 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.

ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。

定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0

ついでに、S_5 と T_{4,1} の係数が 0 の場合は以下の通りです。

定理2.4.1c
f(a,b,c) = T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
q ≧ -2

ここで(上の投稿を含めて)
T_{i,j} = Σ a^i b^j (6項対称和)
S_{i,j} = Σ a^i b^j (3項巡回和)
U = abc

B4638、B4640、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201405&t=mat&l=en

A616、B4626、B4628、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201404&t=mat&l=en

B4620、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201403&t=mat&l=en

A609、B4606、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201402&t=mat&l=en

A605、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201401&t=mat&l=en

B4585、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201312&t=mat&l=en

A593、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201309&t=mat&l=en

C1168、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201304&t=mat&l=en


＿|　::|＿
￣|　::|／|　　　　　　　　　　 ┌──┐
　 |　::|　 |　　　　　.┌──┐| ∧＿∧　　いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿|　 |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
　 |文|　 | |　∧＿∧（　　　　）⊂　　　）
　 |￣|　 | | （　　　　）⊂　　　） （＿Ο Ο　:::
　 |　::|　 | | ⊂　　　） （＿Ο Ο　わかってる、生き延びた奴が
　 |　::|／ .|_　（＿Ο Ο　::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
　 |　::|　:::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!

不等式の本が出たな。受験生向けだが… ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
http://www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/futoushiki/index.html

>>165
ジュンク堂にあったので買ってきた。

大学入試問題から題材を取っているので、
このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど、
考え方や知識の整理にはちょうどよいかな。
おすすめ。

>>2 に追加
[9] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2013

> このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど
目新しいものがほしい人には、
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf
の定理2.4.1c〜命題2.4.1f はいかがですか。
なお >162, 163の定理2.4.1a, bは命題2.4.1g, hに変更して証明も変えました。

質問なんだが立体の一つの頂点に集まる角度の総和が360ﾟ未満ってどう証明したらいい?
例えば立方体だと90+90+90=270

http://d.hatena.ne.jp/nurs/20130515/1368627894
指数定理馬鹿の俺的にはガウスボンネもストークスの定理も仲間だ！

>>168
http://d.hatena.ne.jp/nurs/20130515/1368627894
指数定理馬鹿の俺的にはガウスボンネもストークスの定理も仲間だ！

すまん、読んでみたけど…

ガウスボンネの定理の言い換え。

リーマンの不等式、またの名をリーマンの半分age

狸

>6 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:00:03.07
> [>>1]の親は強制的に[>>1]を集団から隔離するべし.
>
>660 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:02:50.12
> Re:>>658 (10+a)(10+b)=100+10(a+b)+ab.
>

分数の不等式とかを証明するときに、項ごとに評価してそれらを加えたらできた！ってのを見たことがあるけど、
そんなやりかたで証明するときって、どうやって気づくんだろうか？

>>175
isolated fudgingならここの説明がわかりやすいかと
http://mathtrain.jp/fudging

>>176
おおー、ありがとうございます。

同次と斉次の違い、使い分けとかあるんです蟹？

0<x<pi/4 で x+0.5x^3>tan(x) を言うにはどうすればいいでしょうか

関数f(x)は導関数f’(x)および第2次導関数f’’(x)をもち，
区間0 ≦ x ≦ 1において， f(x)>0, ｛f’(x)｝＾2 ≦ f(x)f’’(x) ≦ 2 ｛f’(x)｝＾2 を満たしている
f(0)=a，f(1)=bとするとき，次の不等式を示せ．
(1)f ( 1／2 ) ≦ （a+b）／2
(2)f ( 1／3 ) ≦ （a^2b）＾（1／3）
(3)f ( 1／4 ) ≧ （4ab）／（a+3b）
(4)∫［0^1］f(x) dx ≦ （a／4）+（√ab／2）+（b／4）

おもしろそう！

悪代官「わしは、何より不等式が好きでの」
越後屋「あはは、不等式はかの色に限りますなあ」
悪代官「はてさて、かの色とな？」
越後屋「今回はかように取り揃えました」
悪代官「ほー、今回はまた一段と」
越後屋「お目に叶ってなによりでｗｗｗｗｗ」

x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3yz+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。

( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

>>183
x=z=1/yを満たすとき
f=x/{(1+2)(2+3)(3+1)}=x/60
x>0で動かすとf>0の任意の値をとる

>>183,184
x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。
の書き間違えじゃないか？

(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)≧48xyz 等号はx=2/3, y=3, z=1/2の時成立
xyz→+0の時0に収束
ゆえに
0<xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)}≦1/48

>>185
( ﾟ∀ﾟ) ｽﾐﾏｾﾝ、ご指摘の通り、分母の３つ目はyzじゃなくてzxですた。

>>186
正解です。エレガントなやり方ありましたか？

http://suugaku.jp/thumb/465/1258/2014_4.png

>>188
出典は？

a1, a2, …, an > 0 のとき
　a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1 ≧ a1^2 + a2^2 + … + an^2

>>189
今年の滋賀医科大の入試問題らしい

>>190
(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(a2^2 + … + an^2+a1^2)≧(a1a2+a2a3+…ana1)^2
より
(a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1)(a1^2 + a2^2 + … + an^2)
≧(a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1)(a1a2+a2a3+…ana1)
≧(a1^2 + a2^2 + … + an^2)^2

(コーシー)

Maclaurin の不等式って何ザマスか？

>>188
f"≧0
(logf)"=(f'/f)'=(ff"-f'f')/ff≧0
(1/f)"=(-f'/ff)'=(2f'f'-ff")/fff≧0
より
(1)f(1/2)≦(1/2)(f(0)+f(1))
(2)logf(1/3)≦(2/3)logf(0)+(1/3)logf(1)
(3)4/f(4)≦3/f(0)+1/f(1)
(Jensen)
これらを整理する
(4)は凸性ゆえ
(左辺)≦(1/4)(f(0)+f(1/2))+(1/4)(f(1)+f(1/2))≦(右辺)
最後はJensenを用いた

なんでニコニコ大百科にウィキペディアより詳細なシュールの不等式の記事があるんだよ

>>195
詳しく聞こうか？

>>196
http://dic.nicovideo.jp/a/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F

こんなんja.wikipediaに書いたら
wikipediaは数学書じゃないから証明の必要性が云々とか
独自研究ガーとかいう奴が出て来て全削除とかされかねないもんな

>>179
いま気づいたがこれは大数の学コンの問題の一部だな
このカス野郎が
そんなにまでして良い点とりたいか？

この程度で苦労するなら良い点なんか取れないって

不等式ヲタになればフィールズ賞取れるの？

不等式がすべて。地位や名声など取るに足らないものになります。

nを定まった正の整数とし,1≦k≦nなる整数kのおのおのに,1≦r≦nなる整数rを対応させる関数r=f(k)があって
k[1]＜k[2]ならばつねにf(k[1])≦f(k[2])であるとする
このとき,f(m)=mとなる整数mが存在することを証明せよ

離散写像における不動点定理ですね

f(1)>1,f(n)<nの時のみ考えれば良い
f(i)>iなる最大のiをkとしてk<f(k)≦f(k+1)<k+1
これはkとk+1の間に整数があることになるため矛盾

>>197
詳し過ぎて吹いたw

>>197
>>197
詳し過ぎて、珈琲ふいたw

シューアの不等式の参考文献をキボンヌ！

実数 a、b、c、d に対して、(a-c)^2 + (b-d)^2 と (ac+bd+1)^2 の大小は定まりますか？

>>208
b=dとして
c=1/aとしてa→∞とすると前者＞後者
c=2としてa→∞とすると前者＜後者

だから定まらなさそう

ありがとうございます。
書き込んだ後、計算してみて、私も定まらないなと思いました。
何を考えていたかを説明すると…

(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1)≧(ac+bd+1)^2
(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1)≧(a-c)^2 + (b-d)^2

を眺めていて、右辺に大小関係が定まらないかなぁと考えていたら、実際に計算してみると、

(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1) = (a-c)^2 + (b-d)^2 + (ad-bc)^2 + (ac+bd+1)^2 　← 『不等式ヲタの等式』と命名

なので、ダメじゃんってな感じです。

有名な四平方の恒等式

なんだ名前があったのか、（・ω・）ショボンヌ

自力で見つけたんだからスゴイんじゃね
ちな本来の四平方和の公式はもっと一般的な

実数 a、b、c、d、e、f が、次式をみたしている。
　　a-b > b-c > c-d >d-e > e-f > f-a
a、b、c、d、e、f のうち最大の実数はどれか？


きたか…！！

　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　 ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/

>>214
bが最大とすると 2b>a+c>2b より矛盾
同様にc,d,e,fは最大ではない
よってa

a、bは実定数とする。-1≦x≦1に対して、max|x^2 + ax + b|≧1/2 を示せ。

月並みすぎ

新参者の自分には新鮮だよ

今月の東進の問題
〆切は過ぎてる

ttp://www.toshin.com/concours/img/mondai_18.jpg

高校生用としてはかなり難しいのでは？
ここの住人なら瞬殺？

ワクワクして、ボッキしたよ

>>219
a=cotA, b=cotB, c=cotCとするとA,B,Cは三角形の三辺をなす
f(x)=1/(1-cosx)は凸関数のため
log(左辺)=f(A)+f(B)+f(C)≧3f(π/3)=3log2 (Jensen)
両辺の真数をとる

(a+b)(√(cc+1)+c)=√((aa+1)(bb+1))+1-ab≧2 (コーシー)
巡回的にかける

(a+b)(√(cc+1)+c)=(a+b)/(√((c+a)(c+b))-c)≧(a+b)/((c+a+c+b)/2-c)=2 (AM-GM)
巡回的にかける

>>221
> a=cotA, b=cotB, c=cotCとするとA,B,Cは三角形の三辺をなす

この時点で、置いていかれています。

凄すぎてよう分からんｗｗｗ

>>221
A,B,Cは三角形の三角の間違いでした…

こんなの解ける東進生がどのくらい居るのか甚だ疑問
まあ高校生に、不等式は超絶テクニックの職人の世界だぜ、
と知らしめてやるような意味はあるが

若いうちに洗脳して不等式ヲタを増やすことも、我々の大事な仕事なのです。

>>221
√(a^2+1) があるので、a = tanA とか置き換えたくなるけど、 cotAとは思いつかんなぁ

いろいろな不等式を収集し証明するのは、今後も続けるとして、
そろそろ、不等式証明の定番手法や考え方を語る時期では？

あ、でも値を評価するとはどういうことか、
ということを教えるのは数学的に本質的に大事だね

等式の世界と不等式の世界は全然違うからね

その値を求めるのは大変だから、大体どのくらいかを評価することが必要になって…
そんな感じ？

不等式の美しさにばかり囚われていて、あまり考えたことなかったな。

x、y、z >0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)} の最大値を求めよ。

これだと、『x、y、z >0 のとき』 がヒントになって、相加相乗平均でも使うんだろうなと思ったり。
確かに相加相乗平均で肩がつく （最大値は1/48） 。

この手の分数の不等式は、分割して評価した不等式を辺々かけるとか、
斉次式なので、和一定とか積一定とかの条件をつけたりするテクもあったり。

不等式スレ１章〜３章の頃に、その手のテクニックをtexでまとめていたんだけど、
パソコンが壊れたときに失われてしまったのは悲しい思い出… ('A`)

>>231
ごめん、斉次式じゃなかった

a、b、c、x、y、z ∈R が、
　(a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = 1、 x^2+y^2+z^2=1
をみたすとき、ax+by+czのとりうる値の範囲

ＣＳ不等式を２回使ったけど、他の解法ありますか？

いきなりレベルが下がったな

【結構簡単だけど、受験生40名全員が解けなかったという曰く付きの某国立大学数学科の推薦入試問題】


実ｎ次元ベクトル X ＝ (x_1, x_2, ... , x_n) に対して
ｈ　を非負実数として
<X>_h ＝ √{h + (x_1)^2 + (x_2)^2 + ... + (x_n)^2}　と定義する。
Y ＝ (y_1, y_2, ... , y_n)　とするとき、 任意の実ｎ次元ベクトル　X、Y　に対して
<X + Y>_h ≦ <X>_h・<Y>_h
が成り立つような最小の h を求めよ。
ただし、X + Y＝ (x_1+y_1, x_2+y_2, ... , x_n+y_n) とする。

注）　伝聞によるので文言は全く同じではないと思われます

麻呂ちゃんを救う会
┏━━━━━━━━━━┓
┃　　　　　　　　　　　　　　 ┃　麻呂ちゃんは
┃...|;:;:_:;:__:;_:;_:;:l:;_;:_:_:;:_;:_:;|　┃　生まれつき不等式収集の病気にかかり
┃|＿＿＿＿_|_＿＿＿＿|...┃　一カ月以内に不等式が必要です。
┃|=| 　三ｼﾉ　ヾ三. ::::::.|=!　┃
┃|=|　（●）,　、（●）、::|=|　┃　しかし、それにはハァハァできる
┃ヾ|　　,,ノ(、_, )ヽ、,, 　ｼﾉ...┃　特殊な不等式が必要となります。
┃　|　　　,;‐＝‐ヽ 　 .:::::|　...┃
┃　＼　　｀ニニ´　 .:::／ .....┃　麻呂ちゃんを救うために
┃　／｀ー‐--‐‐―´´＼.　...┃　どうか協力をよろしくお願いします。
┗━━━━━━━━━━┛

|　寝ていて
|　夜　目を醒ますと 　　　　　 　 　＿＿＿＿
|　不等式がスレにない　　　　　　 ／;:;:;:;:;:;i;:;:;:;:;:丶
|＿＿＿＿＿＿＿＿_/　　　　 ／:;:;:;:;:;:;:;:;:i;:;:;:;:;:;:;:;:;＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　 |;:;:_:;:_:;:_:;:_;:l:;_;:_:;:_:;:_:;:_|
　　　　　　　　　　　　　　　　　 |＿＿＿＿|＿＿＿＿|
　　　　　　　　　　　　　　　／/ |彡　 ≡　　　 ≡　 ミ|
　　　　　　　　　　　　　　（　 (　（6　 <○)　　 (○>　9)
　　　　　　　　　　　　　　ﾉ ヽ ＼ |　　　　｡⌒｡　　　|　 　 　 　 　 ／／
　　　　　　　　　　　　 イ　人 ＼ ＼　　 ┌-┐　　ﾉ　　　　　　／／
　　　　　　　　　　 ／ λ　　 ヽ　　 ｀ 、/)_￣＿_ノ￣`,　 　 ／／
　　　　　　　　　 ζ　（　　　　　ヾ　 ＼￣￣￣￣￣Uι)／／
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ￣-　／／

　　　　１〜2歳の麻呂にとってそれはどんな恐怖と絶望
　　　　 なのだろう … … 麻呂は暗闇の中で泣いても
　　　　無駄なのでただひたすらふるえていただけだった

　　　　　　　　 |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ノ|
　　　　　　　　 |丶､ ;;; __;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;_,,: ィ";;_|
　　　　　　　　 ﾄ､;;;;;;;;;;;;;;;｀ ` '' ー -- ‐ '' ";;;;;;;;;,:ィ;:;!
　　　　　　　　,';:｀`' ‐ｮ ､ ,_ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; , - '"l;:;:;:;:l 　　不等式を貼るだけなら三流
　　　　　　　　l;:;:;:;:;:;:;ﾐ　　 ｀ ` '' ｰ -‐ '"　　　 ,ﾘ;:;:;:l
　　　　　　　　l;:;:;:;:;:;:;:ゝ　　 く三)　　　(三ｼ　　｀ヾ;:t、
　　　　　　　fﾐ{;:;:;:;:f'´　 , -−-_,, _,ｨ ､_,,ｨ,.-−､　 };f }　　言われてから不等式を貼れて二流
　　　　　　　l ﾄl;:;:;:;:l　　､,ィ或tｭ､ﾞ:ミ　{,'ィt或ｱﾁ　l:l,/
　　　　　　　ﾞi,tヾ:;:;:!　　｀ヽ 二ノ　　　ﾄ ` ‐''"´　 l:l:f
　　　　　　　 ヽ`ｰ};:l　　　　　　 ,r'､ 　 ヽ 　 　　　ﾘ_）　　言われる前に自分から不等式を貼れてようやく一流じゃ
　　　　　　　　 ｀"^l:l　　　　　 ,/ﾞｰ､　 ,r'ヽ　　　　l
　　　　　　　　　　　ﾞi　　　　,ノ　 　 `'"　 丶.　　 ,'
　　　　　　　 　 　 　ﾞl､　　 ′ ,, ｨrｪェzｭ､,_ 〉 } /
　　　　　　　　　　　　',ヽ　　ヘヾ'zｪｪｪッ',ｼ'　//ヽ 　　　　
　　　　　　　　　　　　 }　丶、　` ｰ--‐ '"'´,/ノ:.:.:ヽ 　　　　・・・・そなたらは一体、いつになったら
　　　　　　　　　　　　/l　　 丶、　　　 　 ,.ｲ:.:.:.:.:.:.:.:丶､、　 　　　　　　　
　　　　　　　　　 ,r'"^l　!　　　　` ー‐;オ´:.:.:.:.:.:.:.:.:.,ノ　 ,}、 　　　　　　　一流になるのでおじゃるか？
　　　　　,. -ｧ＝く（:.:.:.l　 l　　　　　 ／/:.:.:.:.:.:., - '"　 ,／　ヽ、
　 , - '"´ ／　,／｀＞'t､_」＿＿_,ｨ'ﾞ,ィ,.: -‐ '"　,. -‐ '"　　　　＼

　　　　　　　　　 　 　 　 l三｀ｰ ､_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:��-三三三三三l
　　　　　　　　　　　 　　 l三　 r＝ﾐ''‐--‐';二,_￣　 　 ,三三三彡彡l_　　　この感じ・・・・
　　　　　　　　　　　　　　lﾐ′　 ￣　　　　ー-'"　　　 '＝ミﾆ彡彡/‐､ヽ
　　　　　 　 　 　 　 　 　 l;l　 ,_-‐ 、　　　 __,,.. - ､ 　 　 　 彡彡彳､.//　　不等式か・・・・
＿＿＿＿＿＿＿∧,､＿‖　`之ヽ､, i　l´ _,ｨ辷ｧ-､、　　　彡彡'r ノ/＿ ＿_＿＿＿_
￣￣￣￣￣￣￣'`'`￣　1 　 　￣ﾌ/ｌ　l::. ヽこ~￣　　　　 彡彳~´/ ￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　 　 　 　 ヽ　　　´　:l　.l:::.　　　　　　　　　彡ｨ-‐'′
　　　　　　　　　　　　　　　 ゝ、　　/ :.　 :r-､　　　　　　　　彡′
　　　　　　　　　　　　　 ／ ｨ:ﾍ　　｀ヽ:__,ｨ='´　　　　　　　　彡;ヽ､
　　　　　　　　　 _,,..-‐'7　/:::::::ヽ　　　_: :_　　　 ヽ　　　 　 ｨ´.}::ヽ ヽ、
　　　　　　_,-‐'´　　　 {　 ヽ:::::::::ﾍ ｀'ｰ=＝=ｰ--　'　　　／ﾉ /::::::ﾍ, ヽｰ､

　　＼
:::::　　＼　　　　　　　　　　　　麻呂の両腕に冷たい鉄の輪がはめられた
＼:::::　　＼
　＼:::::　＿ヽ ＿_ 　 ＿　　　　　外界との連絡を断ち切る契約の印だ。
　　ヽ／,　 ／＿ ヽ/、　ヽ＿
　　 // ／<　 ＿＿） l -,|__) >　「刑事さん・・・、俺、どうして・・・
　　 || ｜ <　 ＿＿）_ゝJ_)＿>　　　　不等式なんて蒐集・・・しちゃったのかな？」
＼　||.｜　<　 ＿__）_(＿)_　>
　 ＼|　|　 <_＿__ノ_(＿)＿ )　　　とめどなく大粒の涙がこぼれ落ち
　　　ヾヽニニ/ー--'/　　　　　　　　震える彼の掌を濡らした。
　　　 |_|＿t＿|_♀__|
　　　 　　９　 　∂　　　　　　　　「その答えを見つけるのは、お前自身だ。」
　　　　 　 ６　　∂
　　　　　 　(9_∂　　　　　　　　　　麻呂は声をあげて泣いた。

0<x<y<π/2の時
(tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
を示せ

0 < x < y < π/2 において、f(x) = (tanx/x)^x - (sinx/x)^x が単調増加であることを示せばよい。
これは、y=sinx、y=tanxのグラフを描けば明らか。

でも計算で示そうとして挫折… ('A`)

>>235
ｈ＝１

　　　　　　　　 |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ノ|
　　　　　　　　 |丶､ ;;; __;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;_,,: ィ";;_|
　　　　　　　　 ﾄ､;;;;;;;;;;;;;;;｀ ` '' ー -- ‐ '' ";;;;;;;;;,:ィ;:;!
　　　　　　　　,';:｀`' ‐ｮ ､ ,_ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; , - '"l;:;:;:;:l 　　出された不等式を証明するだけなら三流
　　　　　　　　l;:;:;:;:;:;:;ﾐ　　 ｀ ` '' ｰ -‐ '"　　　 ,ﾘ;:;:;:l
　　　　　　　　l;:;:;:;:;:;:;:ゝ　　 く三)　　　(三ｼ　　｀ヾ;:t、
　　　　　　　fﾐ{;:;:;:;:f'´　 , -−-_,, _,ｨ ､_,,ｨ,.-−､　 };f }　　自分で不等式を作って証明して二流
　　　　　　　l ﾄl;:;:;:;:l　　､,ィ或tｭ､ﾞ:ミ　{,'ィt或ｱﾁ　l:l,/
　　　　　　　ﾞi,tヾ:;:;:!　　｀ヽ 二ノ　　　ﾄ ` ‐''"´　 l:l:f
　　　　　　　 ヽ`ｰ};:l　　　　　　 ,r'､ 　 ヽ 　 　　　ﾘ_）　　不等式を作る前に手の者に作らせて証明させてようやく一流じゃ
　　　　　　　　 ｀"^l:l　　　　　 ,/ﾞｰ､　 ,r'ヽ　　　　l
　　　　　　　　　　　ﾞi　　　　,ノ　 　 `'"　 丶.　　 ,'
　　　　　　　 　 　 　ﾞl､　　 ′ ,, ｨrｪェzｭ､,_ 〉 } /
　　　　　　　　　　　　',ヽ　　ヘヾ'zｪｪｪッ',ｼ'　//ヽ 　　　　
　　　　　　　　　　　　 }　丶、　` ｰ--‐ '"'´,/ノ:.:.:ヽ 　　　　・・・・そなたらは一体、いつになったら
　　　　　　　　　　　　/l　　 丶、　　　 　 ,.ｲ:.:.:.:.:.:.:.:丶､、　 　　　　　　　
　　　　　　　　　 ,r'"^l　!　　　　` ー‐;オ´:.:.:.:.:.:.:.:.:.,ノ　 ,}、 　　　　　　　一流になるのでおじゃるか？
　　　　　,. -ｧ＝く（:.:.:.l　 l　　　　　 ／/:.:.:.:.:.:., - '"　 ,／　ヽ、

>>243
違うと思う

ガンマ関数の問題なんだが、

Γ(1/a)　<　π

aを求めよ。

aって求められないよね？
つか、問題が間違ってるよね？ね？

aが実数または整数という条件は?
それでwikipediaのガンマ関数のグラフでも見たら。。。

aを四元数にしてみよう

nを自然数、xを正の実数とするとき、n(x-1) ≦ x^n-1 ≦ n(x-1)x^n ≦ n(x-1)x^n

( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ

死ねよ

今日、不思議な定理を発見しました。
斉次巡回(or 対称)不等式に関するものですが、
代数多様体の商特異点の理論を経由して、
不等式のクラスがなす凸錐の構造定理を証明することによって、
古典的な方法で直接不等式の成立を示さなくても、抽象的議論だけで
間接的にいろいろな不等式の成立が証明できてしまう、という、
ちょっと気味の悪いものです。
個々の不等式を見るのではなく、ある条件を満たす不等式のクラスを、
まとめて面倒みてやるのがポイントです。
モジュライの理論でもそういう考え方が登場します。
多変数の代数不等式は、やっぱり代数幾何だったんですね。
普遍性がある議論なので、いろいろ応用が利きそうです。
そのうち、どこかで、きちんとお話します。

難しくてよう分からんが、楽しみにしている

面白そうだけど難しそう
まじめに代数幾何を勉強するかな

予告編:
X を不等式 f(x_1,...,x_n)>=0 の変数が動く領域とし、
そこに有限群 G が推移的に作用していて、固定点は有限個であると仮定する。
D を G-不変な X 上の不等式全体がなす凸錐とする。
線形系 H^0(P^{n-1}, O(d))^G が定める有理写像 P^{n-1} -> P^N に
よる X の像を X_d とする。d がある程度大きいと、X_d = X/G となる。
X_d の生成する凸錐の相対凸錐が D である。
X_d の内部、境界、内部の各特異点、境界上の各特異点に対応して、
D の境界の成分が定まり、D はそれらで囲まれる。
代数的にD の境界の成分を求めると、不等式が自動的に得られる。
たぶん、学部4年程度の知識で理解できます。

安藤氏がやっていることに含まれるのでは？

> 255
改訂版をUPしました
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq17.pdf
第2章が新しい部分です。
その別の応用は、また後日。
局所錐の理論も、もう少し進歩させられそうです。

>>251
難しいな。これって、結構多くの不等式が一発で証明できるということなの？
ちょっと降りてきてアマチュア向けに補足を所望。できれば少し例も。
忙しいかな？

グラフの不等式領域の塗り分けで裏技があったな

　　　　　　　　∧∧
　　　　 　　ヽ(･ω･)/　 　ｽﾞｺｰ
　　　　 　＼(.＼ ノ
　　　　､ﾊ,,､　￣
　　　　￣

数学板ID表示制導入の住民投票 [転載禁止](c)2ch.net
http://kanae.2ch.net/test/read.cgi/vote/1416925674/

> 257
代数曲面の場合でも、例えば、x^4+y^4=z^4 で定まる代数曲面を研究しようと思ったとき、
それを代数曲面の分類理論なして研究しても、あるところで行き詰まるが、
K3曲面という範疇の中で、どういう位置づけの曲面かを考えると、いろんなことが分かる。
同様に、1つの不等式を単体として証明するのとは別のアプローチとして、
不等式のある範疇の族を考え、その族の中での位置づけを考察すると新たな視点が開けるということ。
すると、個々の不等式の研究に増して、不等式の族の構造の研究も大切になってくる。

>>261
説明ありがとう。でも不等式好きのアマチュアとして知りたかったのは、
このスレにも出てくるいろんな具体的な不等式たちを証明することが、
あなたの研究によってどう変わるかということだった。
分類理論もK3曲面も知らんのだ。そんな奴は相手にしてないということ
なんだろうが。

>>262
> 分類理論もK3曲面も知らんのだ。

おれも。
何から勉強し始めたらいい？
代数？

A+B+C=Πのとき、
6cosA+3cosB+2cosC≦7
を示せ

もし高校+α程度の知識しかないなら数年かかるぜ？

　 　　　*　　　　　　*
　　＊　　　　　＋　　うそです
　 　　 n ∧＿∧　n
　＋　(ﾖ（* ´∀｀）E)
　 　 　 Y 　　　 Y　　　　＊

不等式ヲタが一心不乱に不等式をいじっていたときに、ある貴婦人が訊ねた。
「そんな役にもたたないつまらないことをして何になるんですか？」
不等式ヲタはこう答えたという。
「生まれたばかりの赤ん坊が何の役にたつというのですか？」

　
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟﾘｯ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ

〆切過ぎたので投下

---------------------------------------------------
【大数１月号宿題】

n は3以上の自然数
x1，x2，...，xn　は正の実数
S=x1+x2+...+xn
T=x1^2+x2^2+...+xn^2

とするとき

Σ[i=1,n]{xi/(S-xi)} ≦ Σ[i=1,n]{xi^2/(T-xi^2)}

が成り立つことを示せ
---------------------------------------------------

>>114
[2](2)
2x-y, 2y-z, 2z-xがそれぞれ正正正か正負負の時のみ考えれば良い
(i)全部正の時
a=2x-y,b=2y-z,c=2z-xは全て正
7=3(aa+bb+cc)+4(ab+bc+ca)≧21GG
より
abc=G^3≦1/3√3

(ii)負が2つの時
a=2x-y,b=z-2y,c=x-2zは全て正
105=15(3(aa+bb+cc)-4a(b+c)+4bc)
=(6a-5b-5c)^2+9a^2+10(2bb+bc+2cc)
≧3(75abc)^(2/3)
これを整理して
abc≦7√35/15
等号は(a,b,c)=√35(1/3,1/5,1/5)の時成立

1/3√3<7√35/15より与式の最大値は7√35/15

>>269
(右辺)-(左辺)
=Σ[i<j]x_i*x_j*(T+x_i*x_j+(x_i+x_j)(S-x_i-x_j))(x_i-x_j)^2/((S-x_i)(S-x_j)(T-x_i^2)(T-x_j^2))
≧0

今年も不等式でﾊｧﾊｧする！

現実以上。夢見饅。ツキ夜

n文字の基本対称式がすべて正なら、n文字は全て正は正しいなりか、キテレツ？

f(x)=(x+a_1)…(x+a_n)=ΣS_{n-i}(a_1,…,a_n)x^i
x≧0 について f(x)>0 だから零点 -a_1,…,-a_n は全て負

http://jbbs.shitaraba.net/sports/42269/

>>274
ありがとうございます。こんなに簡単だったとは！

632 ：マロン名無しさん：2015/02/09(月) 23:47:58.84 ID:???
『2≧1なら普通に2=1も兼ねるだろｗ』

656 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:03:50.71 ID:???
『2≧1は2=1も兼ねる』

667 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:12:27.22 ID:???
『＞と＝の両方兼ねないと使えないのが≧ですｗ 』

679 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:21:24.07 ID:???
『「一方だけが」じゃなくて「一方もしくは両方が」だな』

正の整数nに対して、その正の約数の相加平均をf(n)とするとき
　√n ≦ f(n) ≦ (n+1)/2

>>279
a_i*b_i=nなるa_i≦b_iの組に分けられる
この時相加相乗より
2√n≦a_i+b_i
全ての正の約数について足し合わせると左側が示される

また約数は全てn以下の為
σ(n)≦Σ[1,n]k=n(n+1)/2
両辺をnで割ると右側が示される

ｎで割ったら駄目だろ。

ab=nなるa≦bに対して
2√n≦a+b=a+n/a≦n+1 (1≦a≦√n)

分かるように説明汁

過去スレで、極限が相加平均や総乗平均になる式があったと思うけど何だっけ？

３月から専ブラ使えなくなるんだっけ？移住先は？