（難問）eが二次方程式の解ではない事を証明せよ

問.自然対数の底eが任意の整形式の二次方程式の解ではない事を証明せよ。
（ただしeが超越数であるという事実は用いない事）

e自身やe^2やe^3、、e^n（n∈Z）が無理数であるという事実は別の方法で初等的に証明可能なので使っても良いとする。

eが
e=lim(h→∞)(1+1/h)^h=Σ(k=0→∞)1/k!
を満たす数であること

d(e^x)/dx = e^x
であり
e^x=Σ(k=0→∞)x^k/k!
であるという事実だけから

a*e^2 + b*e +c = 0を満たす(a,b,c∈Z)は存在しないことを証明したいのですが可能なんでしょうか?

エレガントな解法がきっとあると思うんです。

e^ix=cosx + i*sinx
や
e^iπ＝-1
は使っても構いません。

　eは超越数と言われますが、eはなぜ二次方程式の解ではないのですか?二次方程式の解は一般的に無理数であり、その集合は数直線上に稠密にあってeに限りなく近い無理数も含まれます。その数がなぜeと同じではないと言い切れるのか。
　eが超越数であるという与えられた答えから矛盾を得るのではなく、ある整形式の二次方程式の解がeであってはなぜいけないのか簡潔に証明してください。

ｸｿｽﾚ立てんな
二次方程式の解が√p + q(p,q∈R)であらわされる事を用いたら瞬殺じゃね、

とｵﾓﾀがうまくいかんかった。

超易しい

おまんこ女学院

> 二次方程式の解は一般的に無理数であり、その集合は数直線上に稠密にあってeに限りなく近い無理数も含まれます。その数がなぜeと同じではないと言い切れるのか。
その理屈は有理数にもあてはまるだろ

有理数の集合は数直線上に稠密にあってeに限りなく近い有理数も含まれます。その数がなぜeと同じではないと言い切れるのか。

連分展開でオワ

もし大学入試の範疇で解けるんなら良問だと思う。

>>7
無理じゃないか。

ae^2+be+c=0を満たすa,b,cが存在すると仮定する(a,b,cは整数 a≠0)
D=b^2-4ac とすると、Dは整数である
また、解の公式より
e=(-b±√D)/(2a)
整理すると
2ae+b=±√D
両辺を二乗すると
(2ae+b)^2=D
左辺は明らかに整数ではないがこれは右辺が整数であることに矛盾する

これじゃ駄目なの？

ラストの左辺が整数でないことを示す問題だろｗ

eを二乗して有理数倍してe自身の有理数倍を合わしたときそれが無理数である事はeが超越数である前提が無いなら自明ではない。

>>5
いえいえ有理数でないことは解ってるんですよ。
ウィキペディアにも載ってると思いますが、

e=Σ(k=0→∞)1/k!=p/qとおいて

両辺にq!をかけてやれば示せます。


>>6
さすがですね。目から鱗でした。
しかしながら、
連分数展開形式の違いを示してeの正則連分数展開は循環しない事を示せば証明できそうだけど
この場合の前提では示せねばならない補題が多すぎませんか。

ぱっと思いつく限りで示せねばならない補題は

・二次無理数の正則連分数展開は常に循環する事
・eの連分数展開を求めてそれがe自身の性質を全て満たし循環しない事

これができた時点で証明終わりとできそうですが、「二つの実数の正則連分数表記が一致しない事とその二数が一致しない事が同値」と示すには、あと重要な証明が必要で

「全ての無理数の正則連分数展開が一種類しかない事を示して元の数と一対一で対応する事」を示さなければなりません。

可能でしょうけど、それが示せなければeが複数の正則連分数展開を持つ可能性を潰せないですよね。

方針としては大変ですよね。もう少しエレガントな証明はありませんか?

>>7
問題がシンプルなんで大学入試の範疇でも証明できそうな気がするんですが、なかなか難しいです。

↑のトリップはテストです。こっちがホンモノ

意外に難問だ。e^2が無理数である事すら証明できない。

eが超越数であることの証明
http://mathematics-pdf.com/pdf/e_transnum.pdf
これを少しいじれば・・・・・

＞＞１５

　２０代の、無職の、ごくつぶしがあああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>12
eの連分展開の証明で簡単なものは1ページくらい（まあ
計算全部書くと大変だがｗ）で、高校数学でもできる話。
君の言う補題を「大変」と思うなら、大変だろうな。

なお、連分展開つかって、eの超越性は比較的簡単に
示せるので、その意味では二次方程式の解にないことを
示せる人は超越数であることまですぐにわかるという意味では、
簡単でないというのは確か。

有限マクローリン展開
e^x = Σ[m=0,...,n-1]x^m/m! + e^(θx)/n! (0<θ<1)
だけを使って証明できたよ

（証明）
ae^2 + be + c = 0 (a,b,cは整数,a≠0) と仮定すると ae + b = -ce^(-1)
∴a(Σ[m=0,...,n-1]1/m! + e^θ/n!) + b = -c(Σ[m=0,...,n-1](-1)^m/m! + e^(-θ)/n!)

ここで、P[n] := aΣ[m=0,...,n-1]1/m! + b + cΣ[m=0,...,n-1](-1)^m/m! = -(ae^θ + ce^(-θ))/n!
とおくと |(n-1)!P[n]| = |ae^θ + ce^(-θ)|/n → 0 (n → ∞)

(n-1)!P[n]は整数より、十分大きい任意のnに対して (n-1)!P[n] = 0 ∴P[n] = 0

P[n+1] - P[n] = a(1/n!) + c((-1)^n/n!) = 0 ∴a + (-1)^n c = 0
P[n+2] - P[n+1] = a(1/(n+1)!) + c((-1)^(n+1)/(n+1)!) = 0 ∴a + (-1)^(n+1) c = 0

この２式より a = 0 となり矛盾■

>>18
訂正

有限マクローリン展開の最終項に x^n かけるの忘れてた
なので e^(-θ)/n! のところ (-1)^n e^(-θ)/n! に変更

証明の５行目は
|(n-1)!P[n]| = |ae^θ + (-1)^n ce^(-θ)|/n ≦ { |a| e^θ + |c| e^(-θ) }/n→ 0 (n → ∞)
に変更

天才だ。

これなら大学入試レベルでいけそうだな
東大あたりで出してくんないかな

ノーヒントだと無理>_<でも、うまくいくと分かっている前提で読めば>>18は二行目で先が見えるな
ここまでヒントがあれば一応問題になる…か？

有限マクローリン展開をヒントに出してやればイケそうだね。

18の方法で一般N次方程式に拡張して超越性まで証明できんのかな？

大学入試なら
>>1の設題を小門(1)にして3問展開で最終的に超越性まで示すようなカッコいい問題にして欲しい。

18の方法はe^(-1)を使うところが肝だから、
同じ方針では3次方程式相手では難しいのか。
e^2やe^3に対しては剰余項*(n-1)!が発散するから
二次方程式だからこそ高校数学でも解けるという絶妙な問題だね。

本当に久しぶりに数学板らしいスレを見た

天書の証明の29ページあたりにe^4が無理数であるらしい事の証明が載ってるんだが、よく解らん。
誰か解説ｷﾎﾞﾝﾇ
http://www.iecn.u-nancy.fr/~chassain/djvu/Proofs-from-the-Book-2004.pdf

>>26

　ニートの、ごくつぶしのクソガキ！

　抹殺するから、覚悟しとけ！！！！！！！！

>>26
要するにその本ではe^2の無理性を証明するのに18と同じような事をしてて

e^4で同じようにしたら、24が言うように
剰余項が発散するから(n-1)!をかける代わりに十分大きいnでの整数Q[n]=(n-1)!/2^nをかけてもいけるよって話。

Σ内の一般項は約分されて整数を維持できるから
18の議論はeをe^2に置き換えても成立するし、
ae^4+be^2+c=0
を満たすa,b,cは存在しなくてe^4も無理数になるって事。

同様にpが整数ならe^2pはとりあえず無理数で、その平方根も無理数で
すべての整数sについてe^sは無理数だって意味。

3次方程式や一般の4次方程式については成立するかは不明。

メンドいだけでたぶんできると思う。

eが超越数である事はほぼ明白になるね。

スレタイがクソで書き込みも全部クソ

＞メンドいだけでたぶんできると思う。
全然できる気がしねえ…

たぶんムリ

有限マクローリン展開って高校数学レベルで証明できるっけ？
もしできるならe^xの有限マクローリン展開を求めさせて
それから>>1を解かせてもいいね

べき級数が収束して=はともかく、有限で切るなら平均値の定理を使うだけだからできるでしょ

背理法を用いて、2次関数y=x^2+C、Cは定数、が平面R^2上の点(0、C)を通ること、
2次関数y=-x^2-CがR^2上の点(0、-C)を通ること、
及び2つの1次関数y=ax、y=-ax、a≠0は定数、が共に座標平面上でx、y両軸に対称であることと、
2次関数y=x^2+C、y=-x^2-Cが共に座標平面上でy軸に対称であること
を用いれば、話は少し理屈っぽくなるが、高校の内容?だけで幾何学的に証明出来る。
ae^2+be+c=0を満たすa、b、c∈Z-{0}が存在することを仮定したとき、
両辺をe^2+(c/a)=-(b/a)eと変形してC=c/a、d=b/aとおけば、
e^2+C=(-d)eとなって、あとは-(-e)^2-C=d(-e)、つまりe^2+C=deであることが
グラフに関する対称性による幾何学的議論から導かれてe=0となって矛盾が生じる。

訂正出来るとは思うが、>>34の3行目の
>及び2つの1次関数y=ax、y=-ax、a≠0は定数、が共に座標平面上でx、y両軸に対称
は、「共に」を除き、2つの1次関数のグラフを同時にイメージして読むか、或いは
>及び2つの1次関数y=ax、y=-ax、a≠0は定数、が共に座標平面上でy軸に対称
の間違い。

eの性質はどこで使ってるの？
√3+1とかで同じ矛盾導けんじゃ？

>>36
eは無理数だから、eは方程式ax^2+bx+c=0の重根となって、
グラフの形を考えるときに2次関数と1次関数の各グラフは1点で接することになって、
2次関数と1次関数の各グラフの交点の関係が特別な場合になり、
y軸についての交点に関する幾何学的形状が詳細に決まる。
2次関数と1次関数の計4つのグラフの接点の総個数が4個になってしまう。
そして、これら4点は長方形をなし、4個の頂点のx座標の各絶対値は何れもeになって0ではない。
これら4頂点のx座標の各絶対値について矛盾が生じ、長方形が構成出来なかったことになって矛盾が生じる。
eに限らず、判別式が0になるような無理数であれば、同様な議論が成り立つ。
√3+1>0が2次方程式の根になるときは1-√3<0も根になって、
無理数だが判別式は0でなく、計4つのグラフの交点の総個数は16個になり、4個ではなくなる。
つまり、方程式が重根であるか否かや総個数などが異なる場合になり、
eが重根になるときとは違って、すべての点から長方形が作れず、
グラフの交点のx座標が2次方程式の重根ではなくなる。

>>37の上から4行目の「y軸についての交点に関する」は「グラフの交点に関する」か何かに訂正。

>>37の下から4行目の
>計4つのグラフの交点の総個数は16個になり、4個ではなくなる。
の「16」はあり得なかった。イメージが変だった。
何れにしろ総個数が4にならないことは確か。
あと、下から2行目の
>すべての点から長方形が作れず、
は
>すべての点を用いて長方形が作れず、
と訂正。

>>39の下から4行目の計4つのグラフの交点の総個数は、正しくは「8」か。

これあってんの？分かる人説明お願いします~_~;
ある実数を解に持つ二次方程式の判別式がなぜ初めから解るんだ？ｅが実は√127-8.551と同値だったりする可能性を考慮したら破綻しそうな気がするんだが。

気科学的考察とか長々と書いてるけど、eがax^2+bx+c=0の解なら-eはax^2-bx+c=0の解
って言ってるだけでね？

＞e^2+C=(-d)eとなって、あとは-(-e)^2-C=d(-e)、つまりe^2+C=deであることが
多分、ここが間違い

y=x^2+Cとy=-dxがx=e上で交わるとき、y=-x^2-Cとy=dxもx=e上で交わるね
（yの値が反転するだけでxの値は反転しない）

横レスだが、そもそも1行目の

＞eは無理数だから、eは方程式ax^2+bx+c=0の重根となって、

この時点からワケが分からないのだが。
何で重根になるの？
「eは無理数である」という事実だけから そんなことが言えるの？
言えないよね？

"有理数" の間違いだとしても間違いかな……。

何でeが重根になるのか全く分からんが、もし重根になったとしても、
今度は別のツッコミが発生する。

2次方程式 ax^2+bx+c=0 が重根を持つならば、その重根は −b/(2a) と表される。
従って、もしeが方程式 ax^2+bx+c=0 の重根となるならば、e＝−b/(2a) が成り立つことになる。
今の場合、a,b∈Z であるから、eは有理数となってしまい、eが無理数であることに矛盾する。

幾何学的考察が全くいらないｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>37は>>36を受けてだからeと√3+1とかの違いを説明してるだけじゃね？

>>47

幾何学的考察が先にあって、その結果として
「eは重根になる」という結論が得られた …… (*)

のであれば、同じ論法が「√3＋1」にも適用できてしまうのではないか、
という危惧が発生する。この危惧を払拭するには、その幾何学的考察が
「eには適用できて√3＋1には適用できない」
ことの理由を説明しなければならない。で、その理由の一行目が

＞eは無理数だから、eは方程式ax^2+bx+c=0の重根となって、

なのだから、これは循環論法である。
ここから考えられるのは次の2つ。

・実際に循環論法であり、つまりは証明になってない。
・循環論法に陥るのは(*)から出発した場合であるから、(*)自体が間違い。

1行目の場合は、そのまま「証明になってない」。
2行目の場合は、幾何学的考察を経由せずに「eは重根になる」という
結果が得られていることになり、この場合、>>46のツッコミが成立するｗｗ

どっちに転んでもアホｗ

eが無理数であることは別途証明できるから循環論法といっていいのやら…

>>49
むしろそっちの方が>>48に合致するんだが。
eが無理数であることを別途証明してあるとして、
その上で>>48を再び読んでごらんｗ

そもそも、eが無理数だと何で「重根」になるのか全く
書かれていないので、本来問題にすべきはコレなんだがね。

＞eに限らず、判別式が0になるような無理数であれば、同様な議論が成り立つ。
とあるからeが判別式=0になる無理数であることは分かっていて、それを使うと幾何学的考察ができると>>37は言ってるんだと思うのだが
eが無理数であることはともかくとして、eが判別式=0になることはどうやって分かったんだという疑問が残る
そして、eが判別式=0であることが分かるならそこから幾何学的考察をしなくても>>46で済む話だということになる

>>41-50
そもそも、私=>>34などにとっては、むしろeが無理数であることから直接eが超越数であることを示す方が簡単だ。
ただ、これをするには今度は主に少し複雑な解析的議論をビシビシやることになって、ここに書く気がしない。
そして、幾何学的議論もすることになり、話は長くなる。
少なくとも代数的数と超越数の言葉位は知らないと話にならない。

新手の荒らしかよｗ
せっかく>>33までいい流れになってたのに何故こうなった？？

>>41-51
普段している研究と混ぜこぜにしてしまったようだ。
研究内容から前もってeが判別式=0になることがスケスケで見えてしまった。
確かに>>37のような幾何学的考察は不要だった。

ん？

>>53
荒らしではないな。
ただ、私の方法だと初等的に示すには話が少し長くなるだけ。

ん？

>>52
どうせこのスレ1000まで行かないんだから、
ビシビシ書いても誰も困らないと思うよｗ

代数的数も超越数も知ってるから問題なし。
知らない奴にはwikiのリンクでも貼っておけばよし。

>>58
それが、紙に書いた式を見ると、ここに書くのが難しいような式が多く出て来て、
おまけにe^eが超越数であることなども示せる手法だから、ここには書けない。
2ちゃんの式より複雑であることは間違いない。
ここに書いたら、1つの式を書くのに
(4、6個も括弧を使って括るような式)+(4、6個も括弧を使って括るような式)
みたいな式を幾つも書くことになり、ややこしくなると思う。
勿論、式には数だけでなく記号も出て来るw

いやここまでのレスから本人の勘違いってことがわかるから続けなくていいよ

e^e, π^πが超越数かは未解決
おめでとう

>>60
まあ、多くの人はそう感じるだろうな。
鍵になる概念は、どちらかというと解析的概念ではない。
ではでは〜。

また数学板で伝説が一つ誕生したわけか

>>61
位相群って如何なるモノか知ってる？

e+πが無理数なことも証明済みだっけ
約一名にとっては

>>64
いきなりどうした？

>>65
うん、これも位相群が恐ろしい程までに大きな威力を発揮する。
あとは論文にするだけ。

東大入試作問スレでも問題出しているやつだろ？

こいつ？

★東大入試作問者になったつもりのスレ 第二十一問
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342469355/338

338 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2013/03/08(金) 17:00:54.38
>>337
こうやって簡単な問題に答えて
スルーしていく問題こそが本当の問題なんですよ・・・。
そんな1分くらいで解けるような問題なんぞ出す意味が無いですから。
>>333へ。

340 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2013/03/08(金) 17:22:20.63
キモくしてるんですよ・・・。
2ch初心者ですか？・・・。
あぁ...お願いしますよぉ。

>>66
いや、ちょっとね。
単なる独り言。

>>68-69
私は予備校教師でもなければ東大入試モドキの問題なんか一切出していない。
>>1を解くことについては、むしろ予備校教師やそのスレで問題出している人の方が能力は上だろう。

>>61
>>65
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_unsolved_problems_in_mathematics#Analysis

>>72みたいに>>61と>>65に何の文もなくただサイトだけ出されてもな〜。
何いいたいんだか趣旨が分からない。
>>61と>>65の各文は様々な意味に受け取れ、幾らなんでも空気読むことを要求し過ぎだ。
もはや文脈がつながらなくなっている。

とりあえず幾何考察とやらを図示して模範回答をキャプして、jpg貼れや。エクセルでいいから

>>74
余計なことを2チャンでする気はない。
位相群や位相体の構成といって通じないようだったら、私の考え方は分からない。
2チャンの目的の達成のためだけなら、多くの幾何考察もいらない。
することは、どちらかというと主に解析的なこと。

>>34
>>37
思いっきり突っ込まれっちゃったからね
もう書けないんでしょう

> どちらかというと解析的概念ではない。

理屈っぽくなるが証明できるとかおかしな表現使う奴が
数学のプロとは思えん

このスレの趣旨からして位相群やら高校生がチンプンカンプンな概念は抜いて証明しないと。
連分数や無限積分使えば証明できんのは明白なんだから、いかにシンプルで初等的に解けるかが大事。二次関数のグラフから格子点とか使って中学生でも解るように図示出来たらスマートだけどね。

>>76
>>1の証明のためだけなら幾何考察は不要で、ここに書く気はない。
位相体を構成して、あとは解析ビシビシで十分。
本当はe=Σ(k=0→∞)1/k!と無限級数表示した時点で、eは既に超越数になっている。

> eが無理数であることから直接eが超越数であることを示す方が簡単

> eが判別式=0

>>81
おやおや、バカだぜこいつwwwですか。
まあいいけど。

√2も無限級数表示でけるよね？超越数の概念が拡がったねw

すべての実数は無限級数で表せるから何が言いたいのか

>>73
>>61の意味がわからないって？
>>72もアドレスを見ただけで言いたいことはわかるが

>>83-84
もはや話にならん。
位相体の構成と解析ビシビシといって分からないようならダメだ。

せやせや

解析ビシビシね、世の中には知らない概念がたくさんあるんですね。インターネッツで調べて勉強してきます！

> ただ、これをするには今度は主に少し複雑な解析的議論をビシビシやることになって、ここに書く気がしない。
> そして、幾何学的議論もすることになり、話は長くなる。


> 鍵になる概念は、どちらかというと解析的概念ではない。

>>89
位相体の構成と解析ビシビシって言ってわかんないの？
遅れてるねキミ

運営乙

>>85
>>72のサイトだけなら意味は分かるが、
それを>>61や>>65と一緒に挙げた意味が分からない。
単純に列挙するだけならサイトだけで十分。

>>88
数学は、勉強しても脳ミソや知識を使わないと意味がない。

これ途中から別のヤツ書いてるだろ（笑）

>>93
いや、確かに内容は変わっているけど書いているのは同一人物だよ。
最初は高校レベルの範囲だけで>>1を解こうとしたが出来なかった。

超越数と言えば、「ベイカーの定理」を使ってどうこうという話はよく聞く。

「超越数　ベイカー」でググると、一番上にwikiがヒットし、
上から5,6番目には「超越数論入門」と題したpdfもヒットする。
wikiについては、その内容はそのままベイカーの定理であり、
ちゃんと超越数についての話題も載っている。また、「超越数論入門」の
pdfでは、ベイカーの定理についてちょっとだけ触れられている。

このように、超越数の理論において、ベイカーの定理は非常に有名であるから、
「ベイカーの定理も知らんのか。話にならん」というのであれば話は分かる。
だが、>>86はそうではない。
「位相体」を使ってどうこうという話は、俺自身は全く聞いたことがない。

「超越数　位相体」でググると、この2つをリンクさせて
論じているサイトがまったくヒットしない。
「topological field transcendental number」としてググっても、
この2つをリンクさせて論じているサイトがまったくヒットしない。

従って、仮に "位相体の構成と解析ビシビシ" とやらで
超越数について論じることが出来るのだとしても、
その方法は極めてマイナーであるか、あるいは極めて
独創的であるかのどちらかである。

どちらにせよ、ほとんど知られていない方法ということになるので、
>>86の返答の仕方はおかしい。お前しか知らない方法をチラつかせて
「話にならん」というのは酷である。

二次関数のグラフで解けたらかっこ良いよな！eの有理近似式二つ、上限と下限使って説明出来んかな？

ああ、マジで頭でっかちの難関受験生に出題してどんな珍答考え出すか見てみたい。

e^2+be+c=0
e^2+beは整数ではない(定石の証明で示せるので省略)ので駄目
Q.E.D.

>>98
圧巻だ。

その鮮やかな解法見た覚えが…と思ったら>>9で既出だった

解析ビシビシってどこで勉強できんの？

どこで？と訊かれたら、本や大学の講義で、としか答えようがあるまい

e^2+be+c=0
解析ビシビシするとe^2+beは整数ではないことがわかる
Q.E.D.だよワトソン君

＞＞１０３

　テメ〜、いいかげんにしねえと、ブッ殺すぞ！

　３０代の、無職の、知的障害の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>101
ナマギーリ女神が教えてくれる (そんなものがあればの話だが)。

廃人だよ全員集合

>>1
解析ビシビシにより自明
QED

>>1
eが超越数である事実を使っちゃいけないとなってるけど、事実じゃなく証明を使えばいいじゃん。
任意次式での証明を二次式限定で言い直せばいいだけ。

どっちかというとスレタイ的には、任意の次数に拡張できない、二次方程式限定の証明のほうに興味があるような (あるとして)。

16の証明みたいな高校生でも理解できるエレガントな解法を期待してるんでしょ？二次限定なら一般に知られてる無限積分表示を使った超越性の証明のような難解な手続き不要な方法があってもおかしくないから。だが実際やってみるとなかなか難しい。

そもそもeの超越性は高校生でもわかるような初等的証明が知られているのだが。
というか、おれはそれしか知らないわけだが。

>>111
連分数展開ですか？

エルミートの証明

>>1
お〜い、何とか高校の範囲？で示せたぞ〜い。

ae^2+be+c=0を満たすa、b、c∈Z-{0}が存在することを仮定したとき、
両辺をe^2+(c/a)=-(b/a)eと変形してC=c/a、d=b/aとおけば、
e^2+de+C=0であって、e^2+C=(-d)eとなる。
1)eが重根であるとき。このときは>>34、>>37の如き幾何考察で済む。
2)eが重根でなくかつC>0のとき。このとき、2次関数y=x^2+Cのグラフは下に凸だから
直線y=(-d)xと2点で交わり、(e、0)ではない方の交点のx座標はC/e。
ここに、eは方程式x^2+dx+C=0の根であることに注意して
2つの多項式x^2+dx+C、x-eに因数定理を適用すればx^2+dx+C=(x-e)(x-C/e)が分かる。
よって、y軸対称な2次関数y=x^2+Cのグラフは(±e、0)、(±C/e、0)の計4点を通る。
故に、(C/e)^2+d(C/e)+C=0、(-C/e)^2+d(-C/e)+C=0から
e^2+de+C=0、e^2-de+C=0であって、e^2+C=0からe^2=-Cが有理数となって
従ってde=0、d≠0からe=0が得られ、何れにしろeやe^2は共に有理数となって矛盾が生じる。
3)eが重根でなくかつC>0のとき。基本的には2)のときと対称性を用いた同じ考え方でよい。
1)、2)、3)の何れの場合も矛盾が生じる。
昨日はしくじって場合分けしなかったが、これでよろしい？

>>114の
>よって、y軸対称な2次関数y=x^2+Cのグラフは(±e、0)、(±C/e、0)の計4点を通る。
は
>よって、y軸対称な2次関数y=x^2+Cのグラフは(±e、e^2+C)、(±C/e、∓d(C/e))の計4点を通る。
か何かの間違い。4点のy座標はテキトーに計算してほしい。

2)と3)は、同じことやってるから1つにまとめていいか。
1)も(x-e)^2=x^2+dx+Cで恒等式の話でもいいか。

全然駄目なものを何回も書かなくてもいいよ。

>>117
eとe^2が共に無理数とはならないようなら上の考え方は通用しないけど、
eとe^2は共に無理数だから上の考えは通用する。

＞故に、(C/e)^2+d(C/e)+C=0、(-C/e)^2+d(-C/e)+C=0から

(-C/e)^2+d(-C/e)+C=0なんてでないよ。

＞>よって、y軸対称な2次関数y=x^2+Cのグラフは(±e、e^2+C)、(±C/e、∓d(C/e))の計4点を通る。
＞か何かの間違い。4点のy座標はテキトーに計算してほしい。

何で片方だけｙ軸対称に出来て片方はｙ軸対称に出来ないのか？

>>118
ｅの代わりに>>36なんかでも証明できることになるが。

>>121が決定的だな。

eに関する前提条件として「eとe^2が無理数であること」しか使ってないのであれば、
(1＋√3)でも同じ論法が通用してしまう。なぜなら、(1＋√3)と(1＋√3)^2 は
無理数だからな。

前回は、eに関する前提条件として「eが重根になること」を使っていたようだから、
まだ証明の体は成していた(eが重根になることの証明が無いので不完全ではあるが)。
しかし、今回は完全にダメだな。

だよね、この人の言うように整係数二次方程式の一方の解が解ってる時にもう一方の解の性質を調べられたら解析ビシビシ使わないでも解るかもしれないけど。難しいよね。対称式使ってもb/a-eがもう一方の解だってしか言えないし。
一方の解が√3+1でももう一方の解が常に√3-1とはわからないんだよね。

いやまてよ、e-b/2aが何らかの整数の平方根になる事実を用いれば、、。ヒントはここまで。

言いながら俺もそっからどうすりゃいいか解らんのだが。

>>124
もし e 自体が s＋t√u の形に表されるならば、
その事実を使っても矛盾が出ない。そして、

「e 自体が s＋t√u の形に表される、ということはあり得ない」

ということを示すのが>>1の問題そのもの。
従って、>>124の事実はまず役に立たない。

>>126
Σ（ﾟдﾟlll）

>>119-120
あ〜、確かに間違いだw
まあ、いいや。下書きして考えて出直すわ。
やはり下書きしないではムリだ。
解析ビシビシで解けるか分からんが、下書きして出直すわ。

e^xの微分の性質使って示せないかな？eのかわりに√p+qを底に持つ指数関数は微分しても不変にならない事を示すとか。ようするにlog(√p+q)は絶対1にならない事を示すのと同値だけど。

ax^2+bx+c∈Z[x],a≠0
をモニック化し、f(x)=x^2+px+q∈Q[x]・・・(1)
eが重根なら、f(x)=(x-e)^2でなければいけないが、(1)に反するので、eは重根にはならない。

既出？

>>130
まだ出ていないと思うが、eは無理数であることを使ってよいから、
本来は2次方程式の根の公式に注意すれば、
eは重根にならないことがすぐいえることが分かった。

>>128の「解析ビシビシ」は>>1に合わせた高校レベルでの範囲のことな。
高校を遠慮なく逸脱してよいならもう既に解析ビシビシで出来るんだが、
高校に合わせた>>1向けの解析ビシビシはまだ出来ていない。
従って、位相体などは一切使わずに解析ビシビシやってみるわ。
果たして出来るかどうかは分からんが。

どんな体にどんな位相入れてんの？

>>110
eの超越性の証明は、πのと違って難しくない（高校生でもなんとか
理解できる範囲）。二次限定の証明と超越性との間の差が小さいの
だと思う。

最後は「僕にわかる証明じゃないと意味がない」論争になるのと、
解析ビシビシな人が、位相体とか自分でもわかってない言葉を
使って、ぐだぐだ　←今ここｗ

>二次限定の証明と超越性との間の差が小さい
それは無いと思う。

eの超越性の初等的な証明は単純明快であっさりしてるけど、
このスレに書いてある二次限定での証明はゴテゴテと難しそう。

文体で同じ人ってわかるよね

もうそうね

エルミートの方法を二次限定でやったらもっとシンプルにできると言うのか？

そうじゃなくて二次限定ならエルミートの方法よりもっとシンプルな証明方法（例えば>>18-19みたいな方法）があるんじゃないのってことだと思う

>>18の方がややこしいだろ

>>140
お前、噛みつくポイントがなんかずれてるよ…

ずれてないと思う

＞eの超越性の初等的な証明は単純明快であっさりしてるけど、
＞このスレに書いてある二次限定での証明はゴテゴテと難しそう。

↑
比較対象のうちの片方(1行目の、初等的な証明とやら)が完全に抜け落ちてるので、
この状態で「>>18の方がゴテゴテと難しそう」などと言ったところで他人は比較判断できない。

まずはその「初等的な証明」とやらの概要を説明してもらわなければならない。
そうすれば、他人も比較作業に参加できるようになる。
文脈から察するに、少なくともエルミートの方法では無いようだが、はてさて。

位相体を一切使わない解析ビシビシ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1362908690/

エルミートの証明>>15でちょっと質問があるんだが

証明の中で無限級数に関する三角不等式使ってるところがあるのだが（１ページ目１６〜１７行目）
これって高校の範囲で証明可能だっけ？

つまらん質問ですまん

「a_n ≦ b_n ならば lim a_n ≦ lim b_n」
は、高校数学では暗黙に使ってる。

証明可能だしｘが正の時しか使わないから証明不要。

>>146-147
サンクス！

Σの中にΣがあるのが気持ち悪い。

ΣΣ(￣◇￣;)！

>>149
大学入試の解答で二重積分や二重Σがあれば採点もされないって話もあるしな。

>>151
いや、問題によるでしょ。使わなくていい問題で使ってるなら、往々にして間違ってるから採点しないと思うけど、
母関数を使った問題なんかでは当たり前に二重和でてくるし。よっぽど人数絞ってるんでない限りはデマみたいなもんだと思うよ。

文体で同一人物云々といっておられるようだが、私=>>131は>>131からは一切書いていないぞ。
といって、まだ解析ビシビシだけの簡単な方法では出来ていないけどな。

>>132-133
如何なる位相体か教えてもはよいが、それ教えると論文のネタばらしになるから、教えないままでいる。

>>133
>二次限定の証明と超越性との間の差が小さいのだと思う
これだけだと意味がよく分かりませんね。
「二次限定の証明と超越性との間の差」とは何ですか？
単に差といっても色々あるんですが。一体何の差ですか？

>>149-150
私の解析ビシビシの方法だと、そういう2重Σが出る式遠慮なく上等!!!
ってなってくるから、私の方法だとダメなようだな。
紙を見ると、もっと複雑なようだけどな。
高校に合わせた方法を編み出すことがかえって難しいわ。

要するにエルミートによる初等的な証明を理解できない人がファビョってるわけだ

>>156
定理の証明をすぐ見るようでは、何も面白みがない。
面白さ激減だ。定理の証明が演習に出ていたらどうするんだ？
ちなみに、エルミートの手法は、一般的ではなく、πの超越性の証明には通用しない。
そんな訳でリンデマンが少し軌道修正してπの超越性を証明した。

>>157
すごい誤爆だな。

>>158
歴史的にはそうだ。
上に挙げられている手法ではエルミートの不等式と名が付いており、
エルミート自身が行った方法か否かは知らないが、
歴史上は、エルミートが行った方法はπには通用しなかった。
だから、リンデマンがπの超越性を証明することになった。

>>159
１）なんで突然関係のない話をしてんの？
２）ｅに通用した方法がπに通用しないなんて普通だろ（>>18とか）

>>160
>>18をすぐ見るようでは、つまらなくなる。
ただそれだけのこと。
>>158の「すごい誤爆」が一体何を指すのかは分からないが。

>>161の「>>18を」は「>>18などの答えにつながるモノを」と書いた方がよかった。

ぶっちゃけ>>18よりシンプルな証明方法はない気がする
なぜならもしそのような方法が見つかるなら、それは同時にeが無理数であることのよりシンプルな証明が見つかることになるから
（eが無理数であることを示すのは、eが任意の整係数一次方程式の解でないことを示すのと同義）

>>163
要するにエルミートによる初等的な証明を理解できないわけね

煽りはいらんから議論しようぜ
ここは数学板なんだからさ

>>165
それは>>163に云ってるんだよな!?

>>166
どのへんが面白いの？

>>167
誤爆ですか?

皆さん、活発な議論していただいてありがとうございます。
1です。自分の疑問は>>18の方の解答でほぼ満足しています。
eは本当に二次無理数ではないのかという二年来の疑問に簡潔な解答を与えて頂きありがとうございました。

連分数の性質も興味深く、より深い新しい考察に広げる事ができました。

エルミートの方法は以前読んだ事があり理解はしていますが、二次限定や三次限定で美しく記述する方法は無いかと苦悶して
解析ビシビシの方のような方法をいくらやっても簡単には説明できないので、
２チャンの優秀な皆さんのお力を借りたいと思いました。

命題は高校生でも解るようなあっさり明快な物なのに、
鮮やかな回答が見つからない問題って珍しいですよね。

もっと良い解法があれば見てみたいです。

運営乙

二次限定では18の方法が一番簡潔なのは分かったけど
三次限定だとどうなるんだろう
無限級数使うとエルミートの方法みたいになっちゃうけど
これより簡潔な証明方法はあるんだろうか

三次の場合はなんかよく解らんぐらい難しい。天書の証明ではe^3の無理性の証明でe^6を使ってるから、たぶん特殊な六次式で補助命題いくつか証明してビシビシしないといかん気がする。

車輪の再発明

いや、寧ろ、壊れた車輪の発明というべきか？

むしろこれは与えられた仕事をこなすのに車輪のコストをどれだけ減らせるかという問題だな

猿が棒切れや石ころを利用するのに似ている

理系の学問なんてそういうもんだろ？なんでいちいち煽るヤツが絶えないかな？

幼稚な掲示板には幼稚な話題がふさわしい

煽りを正当化するための決まり文句みたいなもんだな
2チャンだからいいだろうって
そういうのうっとうしいと思う人たちだっているのに
そこまで思考を働かせる事はしないんだな

>>171
> 無限級数使うとエルミートの方法みたいになっちゃうけど
エルミートの証明では無限級数なんかつかわんよ

ハイ！ここの真ん中あたりに書いてあります！！
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number
このスレも終了です！おめでとうございます！！

>>181
>>110
＞二次限定なら一般に知られてる無限積分表示を使った超越性の証明のような難解な手続き不要な方法があってもおかしくない

一般に知られてるのはエルミートによる初等的な証明の方だろ。

＞（難問）eが二次方程式の解ではない事を証明せよ
(x-e)^2=0の解はx=e

>>1はエルミートの方法を知らずにスレ立てしたっぽいね。

>>185
>>169
＞エルミートの方法は以前読んだ事があり理解はしていますが、二次限定や三次限定で美しく記述する方法は無いかと苦悶して

>>184
二次式∈Z[X]

>>187
そんなことは知ってるだろうよ
スレタイに対してじゃないの

>>18を高校流の設問にしてみた。

n≧0に対して、f_n：R → R を以下のように定義する。
f_0(x)＝e^x−1,
f_n(x)＝∫[0〜x]f_{n−1}(t)dt　(n≧1)

(1) |x|≦1のとき|f_0(x)|≦(e＋1)|x| が成り立つことを示せ。

(2) n≧0, |x|≦1 のとき |f_n(x)|≦(e＋1)|x^{n+1}|/(n＋1)!
が成り立つことをnに関する数学的帰納法で示せ。

(3) f_n(x)＝e^x−Σ[k＝0〜n](x^k) / k！ (n≧0, x∈R)
が成り立つことをnに関する数学的帰納法で示せ。

(4) eは有理数係数の2次方程式の解にならないことを示せ。

ごちゃごちゃしてわかりにくい
エルミートの方法でいいじゃん。
あれなら高校生でもサクッと理解できる。

>>190
じゃあエルミートを高校流の設問にして見せて

>>191

オマエは、定職に就くのが先決だろがああああああああ！！！！！！！！！！

　無職の、ごくつぶしの、クソガキがあああああああ！！！！！！！！！！！！！！

>>189
センスないね、君。

エルミートの方法って>>15だよね？
>>15では補題1.1の証明で e^x＝Σ[k＝0〜∞](x^k)/k！ という等式を使っている。
また、無限級数に対する｜Σ[i＝0〜∞]a_i｜≦Σ[i＝0〜∞]｜a_i｜ という不等式も
使っている。最初からこれらを認めてもいいなら、>>18 は
より一層少ない設問にできる↓

(1) n≧1に対して

n！｜e−Σ[k＝0〜n]1/k！｜≦1/n,
n！｜e^{-1}−Σ[k＝0〜n]{(-1)^k}/k！｜≦1/n

が成り立つことを示せ。ただし、e^x＝Σ[k＝0〜∞](x^k)/k！ (x∈R)が
成り立つことを使ってよい。

(2) eは有理数係数の2次方程式の解にならないことを示せ。

>>189でいいんじゃない？
(3)とか問題集でよく出てくる奴だし

良問だね。もし実際に出題されたら数セミとかでそれなりに話題になると思う。
大学入試問題を考えるスレとか無いの？

マクローリン展開は高校じゃやらんでしょ

eの無理数性の証明が大学入試に出たときは>>189っぽかったかなあ
あんまり良い問題とあh思わなかったが。

まあeの無理数性を証明するだけなら189の方法は大袈裟すぎるからな

大学入試だとテイラー展開使えない、e=Σ1/n!も直接には使えないので
迂遠になるのは仕方ない。

エルミートの証明は「無理数と超越数」に載ってるよ。
1ページくらいで簡単に証明してる。高校数学の範囲内だよ。

>>201の証明を大学入試風の設問にしてみました

n次多項式f(x)に対して、F(x) := -Σ[k=0,1,...,n] f^{k}(x)とおく（ここでf^{k}(x)はf(x)の第k次導関数を表す）

(1)任意の正整数kに対してf^{k}(x)の各係数はk!で割り切れることを示せ
(2)∫[0,x] e^(x-t) f(t) dt = F(x) - e^x F(0) を示せ
(3)正整数mと素数pに対してg(x) := x^p (x-1)^p …(x-m+1)^p (x-m)^(p-1)とおく
　　m!<pのときg^{p-1}(m)はp!で割り切れないことを示せ
(4)eが超越数であることを示せ
　　（すなわちeは整数係数のn次方程式(n=1,2,...)の解になりえないことを示せ）

上手い

難し過ぎるだろ（笑）

最近の入試は緩すぎだからこれぐらいの問題でむしろ丁度いいよ

くそすれ

Re:>>205 入試に何を求める.

自作自演の練習所

なんで毎度毎度荒れるの

ただし超越数とは・・・の説明があったほうがいいかと。

ハイ！ここの真ん中あたりに書いてあります！！
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number
このスレも終了です！おめでとうございます！！

あぼーん

月刊大学への数学に投書してみては？

という要らん助言。

要らんならすなと助言

ハイ！ここの真ん中あたりに書いてあります！！
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number
このスレも終了です！おめでとうございます！！

>>215
ただリンクを貼るだけのお前より
それを大学入試で出題できるように
作問した>>202の方がはるかに有益だな

解けねーよ。

ハイ！ここの真ん中あたりに書いてあります！！
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number
このスレも終了です！おめでとうございます！！

このスレが賑わうのがそんなに悔しいの？

　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな嫌なら見るな
　　　　　　　　　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　　　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
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>>189と>>202参考にして３次無理数限定の証明ができないか考えてるが全然できないな
剰余項が|x|^n/(2^n * n!)で抑えられたら…と思ったがそんな単純には行かないな

>>221
そうそう、自分も同じトコでハマった、結論的には4次だろうが5次だろうが証明できるはずだが。

■ドラえもん募金が北朝鮮の核開発に使われている件■
公益財団法人東日本大震災復興支援財団　←　NPO支援組織、孫正義40億円募金団体

●登壇者一覧（50音順・敬称略）：（※）

荒井優（公益財団法人東日本大震災復興支援財団　専務理事）　←　ソフトバンク
大西健丞（シビックフォース代表理事）　←　日本赤軍関係者、ドラえもん募金詐欺
駒崎弘樹（フローレンス） 　　　　　　 　←　NHK委員
吉岡達也（ピースボート共同代表）　　←　日本赤軍、北朝鮮関係組織


555 ：名無しさん＠１３周年[]：2013/03/13(水) 04:00:23.96 ID:nSHtnY4c0
>>470
ドラえもん募金の約９割を大西健丞氏のNGO経由で北朝鮮に送金ってどう思います？

●【テレビ朝日】ドラえもん募金の約９割を大西健丞氏のNGO経由で北朝鮮に送金か。

「テレビ朝日では、平成16年12月28日から平成17年1月31日まで 「ドラえもん募金スマトラ沖大地震被災者支援」
を行ってまいりました。 皆様から寄せられた善意の募金88,760,300円にテレビ朝日からの寄付金2,500,000円を加
え、 募金総額は91,260,300円となりました。 この結果、寄付先と金額は下記の通りとなりました。

募金総額 91,260,300円
ＡＭＤＡ 3,000,000円 3.28%
日本ユニセフ協会 3,000,000円 3.28%
日本赤十字社 3,000,000円 3.28%
ピース・ウィンズ・ジャパン 82,260,300円 90.13% 　　←　要注目　大西健丞
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1451772389

過去レス読まずにGoogleから来ましたが、この問題面白いね。高校生らしいエレガントな解法があるなら見てみたい。

狢

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あぼーん

>>224

いまのところ>>18-19>>202が高校範囲の解法だな

あぼーん

低脳が何を言うても無駄。偉そうな事は自分が何かをやってから言うべき。
馬鹿菌愚には何かを主張する能力も、そして権利も無い。頭が悪い奴は黙
るしかない。人間の価値は所詮は能力と実績でしかない。低脳は黙るべき。

狢

>28 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2013/05/16(木) 22:23:44.62
> Re:>>17 //sketch-img.real.co.jp/contents/15247/15247960.png 私の発明. しかし数学での発明ではない.
>
> 今世に広く知られている事も発見当時は凄いものだった.
> 理事を多く経験すれば, いつか凄いものを発明することもあろう.
> 理事を多く経験しても凄い発明に至らない人も居るかもしれないが, それでも理事を遺すべし.
>

二次方程式の解でなくてももしかしたら三次方程式や四次方程式の解ならあるかもしれない。

>>230
そうなんだよね。
結局俺らは後付けの超越数の証明を植え付けられてるから知ってるだけで、違う事は明白なんだが、

任意のn次方程式の解でない事を直接証明する術を持たないんだから。

eの二次方程式による近似解と実際の値の差を取ってそれが0にならない事を証明出来ないかな？
それができたら三次でも四次でも応用効きそうなんだけど。

限定された手段に頼っていては数学の深遠を思い知ることはできない。
考えてみてほしい。片手による拍手の音は如何？

>>1

〔補題１〕
　多項式 f(X)に対して
　∫[0,z] exp(z-X)f(X)dX = exp(z)F(0) - F(z),
ここに、zは任意の複素数で、積分は0とzを結ぶ直線上で行う。
　F(X) = f(X) + f '(X) + f "(X) + ････････

(略証)
左辺をI(z)とおく。部分積分により
　I(z) = ∫[0,z] exp(z-X)f(X)dX
　　　 = [-exp(z-X)f(X)](0→z) + ∫[0,z] exp(z-X)f '(X)dX
　　　 = exp(z)f(0) - f(z) + ∫[0,z] exp(z-X)f '(X)dX
これを繰り返して
　I(z) = exp(z)F(0) - F(z),


〔補題２〕（エルミートの不等式）
　|exp(z-X)| = exp(Re{z-X}) ≦ exp(|z-X|) ≦ exp(|z|),
多項式f(X)の係数をその絶対値で置換えたものをf~(X) とすると、
　|f(z)| ≦ f~(|z|)
よって上記のI(z) に対して、
　|I(z)| ≦ |z|exp(|z|)f~(|z|),

〔ｅの超越性〕
整数係数のn次式
　g(X) = a_0 + a_1 X + a_2 XX + ････ + a_n X^n,　a_0･a_n≠0,
に対し、g(e)≠0.

(略証)
f(X)、F(X)、f~(X） を上記のようにおくと、
　F(0) g(e) = F(0) {a_0 + a_1 exp(1) + a_2 exp(2) + ･････ + a_n exp(n)}
　　 = Σ[r=0,n] a_r {F(r) + I(r)}　　　（← 補題１）
　　 = S + J,
ここに、
　S = a_0 F(0) + a_1 F(1) + ･････ + a_n F(n),
　J = a_0 I(0) + a_1 I(1) + ･････ + a_n I(n),
∴　適当な多項式f(X) が存在して、|S|≧1、|J|<1/2 とできることを示せば十分。

十分大きな素数p（p>n, p>|a_0|）について、
　f(X) = {1/(p-1)!} X^(p-1) {(X-1)(X-2)･････(X-n)}^p,
と定める。

このとき、
　f(0) = f '(0) = ･････ = f^(p-2)(0) = 0,
　f(r) = f '(r) = f "(r) = ･････ = f^(p-1)(r) = 0,　(r>0)
　f^(p-1)(0) = {(-1)^n (n!)}^p ≠ 0　　(mod p), 　(← p>n)
　f^(p)(r) ≡ f^(p+1)(r) ≡ ･････ ≡ 0　(mod p)
したがってＳについては
　F(0) ≡ f^(p-1)(0) ≠ 0　(mod p)
　F(1) ≡ F(2) ≡ ･････ ≡ F(n) ≡ 0　(mod p)
　S ≡ a_0 F(0) ≡ a_0 f^(p-1)(0) ≠ 0　(mod p)　(← p>|a_0|、整域）
　|S| ≧ 1,

他方Ｊについては、
　|J| ≦ Σ[r=0,n] |a_r||I(r)|
　　　≦ Σ[r=0,n] |a_r| r exp(r) f~(r)　　（←補題２）
　　　≦ n exp(n) f~(n) Σ[r=0,n] |a_r|
であるが、
　f~(n) ≦ {1/(p-1)!} n^(p-1) {(n+1)(n+2)････(2n)}^p
　　　　= {1/[n(p-1)!]}{n(n+1)(n+2)････(2n)}^p
　　　　→　0　　(p→∞）
∴　十分大きなpについて　|J| < 1/2,

∴　F(0)g(e) = S + J ≠ 0,
∴　g(e) ≠ 0, （終）

鹿野　健：数セミ増刊「数学100の定理」p85-86、日本評論社 (1983)

〔補題〕
　n!を素因数分解したとき、(pのベキ指数）≦n-1.
　等号成立はnがp-ベキのときに限る。

(略証)
　1-n のうち、p^k で割り切れるものは [ n/(p^k) ] 個。
∴　(pのベキ指数) = [n/p] + [n/(p^2)] + [n/(p^3)] + ･･････
　[　] はガウスの記号。
　すべての [ ] を外せるのはnがp-ベキのときに限り、和はn-1.
　nがp-ベキでないときは、n-1より小さい。

>>237　訂正

〔補題〕
　n!を素因数分解したとき、(pのベキ指数）≦ (n-1)/(p-1).
　等号成立はnがp-ベキのときに限る。

>>26
　e^4 = a/b,　(有理数)　と仮定する。
　b･e^2 = a･e^(-2),

ｎを2-ベキとし、両辺に奇数 n!/(2^(n-1)) を掛ける。　　>>238
　b･n!/(2^(n-1)) e^2 = a･n!/(2^(n-1)) e^(-2),
また、マクローリン展開
　e^2 = 1 + 2/1! + 4/2! + 8/3! + ･････ + (2^r)/r! + ･････
　e^(-2) = 1 - 2/1! + 4/2! - 8/3! + ･････ + ((-2)^r)/r! + ･････
を代入すると、一般項は
　b･n!/(2^(n-1)) (2^r)/r!　あるいは　a･n!/(2^(n-1)) ((-2)^r)/r!,
分母（r!）の2-ベキ指数はr-1以下ゆえ、0<r≦n の項は偶数。
他方 r≧n+1 の和（小数部分）は、
左辺：　2b{ 2/(n+1) + 4/[(n+1)(n+2)] + 8/[(n+1)(n+2)(n+3)] + ･････}
右辺：　2a{-2/(n+1) + 4/[(n+1)(n+2)] - 8/[(n+1)(n+2)(n+3)] + ･････}
十分大きなｎ（2-ベキ）に対して、左辺は整数よりﾁｮｯﾄ大きく、右辺は整数よりﾁｮｯﾄ小さい。
−これは矛盾だ！

>>239
亀レスですが有難うございました。eの整数冪が全て無理数であると証明した上でそれ等がたがいの有利数倍で無いことが示せればもう少し容易に整形数のeの多次式が整数でありえない事を示せるのかと思ってまして。

こういうアプローチは無理だろうか？
1,e,e^2について整数の変数a,b,cを与える。
a+be+ce^2=0
を満たすa,b,cは存在しない。（⇔格子点はない）事が示せればいいのだが。

内積が0という事はすなわち(1,e,e^2)が格子点ベクトルと直交する訳だが、もちろんそんな訳は絶対に無い。

無理数eがもし1+√2のような数なら格子点ベクトルと直交できるがeの持つ性質だけでそれを証明可能かはわからない。

From my humble point of view, it could be important to tell ideas from tautologies.

なんか斬新なやり方に見えて結局は同じところで詰まる典型だな。

運営乙

Σ（a+b2^k）/k!が整数にならない事は直接示せないのか？

あ、a,bは整数って前提ね。

>>246
=cとして両辺に十分大きなn!を掛けてみろ。

ｅを解に含む二次方程式って作れるんじゃねぇの？

まあな

係数体を指定しなきゃ無意味な問題

確かにな
X＾2−2ｅX＋ｅ＾2＝０とか解けるしな
ちなみに俺は高校生だからこの式が成り立つかは知らんけど解けるかと言われたら解ける

超越数ってのはQ上多項式の根にならない数だから、Q上に限定しなきゃ可能だろ

そんな当たり前の事ことを得意気に言われてもな

その当たり前のことが>>1で抜け落ちてるから指摘してるだけなんじゃねーの？
心の病気なのか？

254です
心の病気なんです すいませんでした

>>256
なりすましするほど気に障ったのなら謝る

運営乙

え？>>1を指摘してるの？>>252や>>249じゃなく？

河合塾の東大模試で、第5問の4つ目の小問がこの問題でした。
解答は明日配布です。

>>260
マジか（笑）問題を考えた身としては誇らしい限りです。
さて、どんなエレガントな解答が見れるか？

こたえをしりたいれふ

係数は？

確かにな
係数大事だよな

どんな問題だったの？

誘導ありってこと？

うpよろ

eは整数係数の2次方程式の解にならないことを証明せよ。
が小問4番だったと思う。

他の問題にも時間を掛けて、この問題を解き切るのは困難。
解けても、解答欄に書き切るのはさらに困難？

>>260
>>268
これ、鬼畜の問題になっていると思うぞ。
正答率は低くなるんじゃないか。

誘導はどんな感じ？誘導なし？

解ける奴いねんじゃね？（笑）

二次無理数の連分数表示が周期を持つことを知ってればeを連分数展開して周期を持ちそうに無いと示せばマルくれるかも知れんな。

意外と皆とけてるんじゃね
ここのレベルの低さが明らかになったりしてな

>>273
模範解答よろ！

>>274
俺は分からないよ
問題見てみないと
係数の話だってちゃんとした問題にしないと

http://iup.2ch-library.com/i/i1052687-1383531581.jpg

おー
答えや
答え見してくれ

>>275
大丈夫、a,b,cがすべて整数であるときeはabcを係数とする普通の形の二次方程式の解にならない事の証明だから。
1〜4の誘導付きとは言え、なんて事をさすんだよ。

>>275
例えばax^2+c=0やbx+c=0の解で無いことは容易に解るが、bを0以外で固定して
ax^2+2x+c=0の解で無いことぐらいなら簡単に示せるんだろうか？

できるならそれを一般化して帰納法とかあるかもしれない。

>>276
おお、良問だ。感動したよ。解答、解答。ちゃんと誘導ついてるんだな。

これ誘導使えるんか

問題もう消しちゃったの？
見れなかったんご・・・

http://iup.2ch-library.com/i/i1052701-1383533542.jpg
http://iup.2ch-library.com/i/i1052702-1383533542.jpg
http://iup.2ch-library.com/i/i1052703-1383533542.jpg
http://iup.2ch-library.com/i/i1052704-1383533594.jpg

http://iup.2ch-library.com/i/i1052706-1383533687.jpg
http://iup.2ch-library.com/i/i1052708-1383533687.jpg
http://iup.2ch-library.com/i/i1052707-1383533687.jpg

某スレから飛んで来た。立ててから8ヶ月経ってもちゃんとスレを見ている1に驚く

>>273
>意外と皆とけてるんじゃね
この問題、何出しているか、数学的な意義や中身は分かるか？
これ、eが2次無理数ではないことを高校範囲で示す問題だよ。
勿論、杉浦解析入門とかの内容を用いてはダメなんだろう。
歴史的にはLiouvilleが証明したことだ。
このようなことがもとでLiouville数の発見につながった。
小平解析入門にはこういうことが書いてあるんだが、
もしかしたら解析概論にも載っていることかも知れない。
下手して誘導なしだったら鬼畜だぞ。
杉浦解析入門や小平解析入門のようなことを知らずに、
誘導なしで、すぐに高校の知識で解けるとは思えんな。

東大模試だろ？
出来るこいそうなきがするけどな

>>287
そりゃ、杉浦解析入門か小平解析入門を正確に読めれば、簡単に解けるだろうな。
連分数は、高校ではやらない筈。

誘導なしなら無理ゲー、適切な誘導ありなら出てもおかしくないかもって
スレ序盤から言われてるじゃん

>>289
久々にこのスレ見て、スレ序盤の内容は忘れっていうか一々記憶してなく、
久々にこのスレ見るにあたり、スレ序盤の内容は見てない。

>>289
というか、東大模試のようなお受験(の試験自体)には興味はない。
あるとすれば、その問題の数学的な内容。

なんだこいつ

>>286
辛うじて有理数や二次無理数でないことは証明できるが、三次や四次になると個別に初頭的に証明するうまい方法が無いのが不思議。

自分の建てたスレは定期的に新着調べるようにしてるのだ。この問題に関しては純粋に数学的好奇心でエレガントな解答を知りたいと思い建てたまでだ。

コイツの手柄じゃないのに語り出したぞ

ていうか>>1は係数くらい書いとけよ

>>293
何故、二次について証明されたとたんに、三次４次の初等的証明が無いという結論になるんだろ？
特に、五次未満なら解を求める手順はある訳で、組み合わせて証明できる気もしそうなもんだが？

>>221で述べられてるね
まあ、３次４次の場合に別の初等的証明が無いとは限らないけど

完答した人周りに結構いたよ

そうなのか
スゲーな
本当なら>>286はどんな気持ちなんだろうな

この誘導なら難しくないと思うけどな
誘導なしだと誰一人解けないと思うが

誘導あるなら解ける奴いてもおかしくねーわ

>>299
お前誘導って漢字読めないの？

You do.

誘導のらずにここのスレの初めの方で出てた解法っぽい方法で解いた奴もいたよ
東大受験生もピンキリだけど上の方は数オリ関係者とか大学数学平気で出来る人とかそういうレベルの人沢山いるしこれくらいだと誘導なしでも解ける受験生は普通にいるということだけ言っておく
誘導なしでは誰も解けないみたいな書き込みが散見されるので一応

>>304
どれだけ優秀でも試験時間内には無理だろう
25分しかないのだから

>>305
いや普通にいるよ。（というか、実際いた）
1998東大後期とかも完答者2人いたそうだし。
あとそういうレベルの人たちは他の平均的な難易度の問題は25分もかからないから、こういう問題にもう少し時間かけられるんじゃない？

>>286の趣旨を理解してない奴がいてワロタ

スレの初めの方って、>>18のこと言ってるなら
e^x のマクローリン展開使ってる時点で>>286の

＞杉浦解析入門や小平解析入門のようなことを知らずに、
＞誘導なしで、すぐに高校の知識で解けるとは思えんな。

この部分に抵触してるだろ

有限マクローリンなら平均値定理使えば高校の範囲で解けそうな気がするが

>>307
>>304は多分別に>>286に反論してるわけじゃなくて高校生でも大学数学使える奴はいてそういう奴らの中に一定数は誘導なしでも大学数学使って解ける奴がいるってことだろ

304だけど
309に言ってもらったようなことを言いたかった・・分かりにくく割りこんですみませんでした。

>>283-284
再うｐお願いします。

こういう数学の深淵に迫る問題は面白いね。オマエラもっと考えろ。

なんだこいつ

>>312
πは二次方程式の解ではないことを証明せよ

πの無理性も大変なのに、高校レベルじゃ不可能だろうよ。

数学ってこんな簡単なことも分かってないのかということが多いよね
だから面白いのだけど

確かにwikiの超越数のわかってるやつわからないやつほ面白かった
というかこのスレはもうおしまいでいいんだろ？
スレタイ解決したし

あとは算術的証明ができるか？くらいだな

2^(√2)が二次方程式の解ではないことを証明せよ

クソスレがすべて
そのなかのひとつに過ぎない
時間の無駄
エロサイト

クソスレを良問に仕上げてくれた河合塾に感謝しよう。

詳しく模範解答読んでないが、模範解答の方法では三次無理性も否定できるのか？

金になるのかもしれないが
受験の算数や数学ってつまらんよ

肝心の基本事項を、証明せずその背景も知らないまま、用いて解くのだから、
受験数学はただのお遊びだよ。証明といいつつも本当は証明になっていない。

これを問題として出すなら、河合塾も誘導なしで1つの大問として出せばよかったじゃないか。
これ位なら、高校の知識で間に合う。もしかしたら中学生も途中までは行ける。
すご〜く面白い問題になったとは思うぞ。
誘導付きだとつまらん。

はいはい

>>323
壮大な知識試験推奨派発見。

適切にヒントを与える事で理論構成を追体験させるのは良問と思うけどな。
難易度が適切だったかは不明だけど、方向性はいいだろ？

>>323
オイラーを全否定っすか

どんな感じの誘導が付いてたの？

>>325
>>326
主に不等号やランダウ記号を用いて評価しまくる、
関数解析とは真逆の解析といっていいような、
定量的な解析である、ハード・アナリシスを知っているか？
感覚としてはε-δの感覚だ。
或る種、時間勝負ではなくむしろ体力勝負の解析だ。
日本のお受験の問題にはこの類の解析の問題が少ないんだよ。
この問題だって誘導がなければ立派なハード・アナリシスの問題になってたんだよ。
大学以降の数学書の内容や定理を知っていた人にとっても、ハード・アナリシスになったんだよ。
知識があって方針が正しければ、中学生でも途中までは行けた。
それなのに誘導なんか付けてまあ…、本当につまらなくしたわな。

お、おう
たかが模試で随分と残念がって、大袈裟な人だな…

>>329
何故か途中から模試の話が出て来て、
その話でにぎわってきているから、それに合わせているだけ。
本来は、模試だの受験だのの話が出て来る必要はないんだよな。

え？
模試で誘導がついたのが残念って話をしてるんじゃないの？あなたは

>>331
まあ、一応はそうだよ。
同じ模試でも、どうせだすなら誘導が付かない方が面白いじゃないか。
どうせ解答は渡されるんだしさ。
誘導付きとは違って、幾通りもの証明が出来るだろう。

>>328
残念な頭だな。

要約すると、
大学の定期試験の出題を大学入試でも出題しろとしか読めない。

大体、ハードアナリシスといういちぶんやに特化した解法を賞賛する姿勢は、
これから広い範囲を学ぼうとする学生に対して失礼ではないか？

そんなに誘導するのが嫌なら、全ての期間、全ての機関において「数学について述べよ」と出題すればいい。
ハードアナリシスと書いた奴がいい点を取るんじゃないか？

別にハード&bull;アナリシスと言われる分野の手法が不要と言っている訳では無い。
ただ、逆に、誘導を付ける事で、そうじゃない見方の可能性を示す事は有益だろ。

最後に、問題を舐めてないか？
150分6題の試験のうちの一問として、解答を作成する力量はあるのか？
もちろん、用いるべきランダウ記号の説明や基本的証明を付す必要はある。

出来ないなら、ほんとにつまらない奴だ。

>>332
自分で作成したいく通りもの証明を見せてくれ。

そしたら、心底謝る。

>>333
>最後に、問題を舐めてないか？
>150分6題の試験のうちの一問として、解答を作成する力量はあるのか？
>もちろん、用いるべきランダウ記号の説明や基本的証明を付す必要はある。
基本的には、お受験自体が余り意味がないと思っているからね。
お受験だけ出来ても、その後の努力を怠っているようじゃダメだよ。
大学入るときは優秀、卒業するときバカ。
日本はこうなっているからね。こんなんじゃダメだよ。
入学する大学なんてどこでもいいんだよ。

>>334
1つ目はディオファンタス近似の定理を用いる方法、
2つ目は有限マクローリン、
3つ目はeが超越数であることを直接証明する方法。
4つ目は、1つ目の方針を一般化したディオファンタス近似の方法。
まだあるかも知れない。
覚えていれば、1つ目と、3つ目か4つ目が楽かな。
知らなかったら地獄になる。
2つ目は、何れにせよ、思い浮かぶのに少し時間がかかるとは思う。

>>335
はあ？
自分自身はバカでないのか？

批判した以上、証明を見せるくらいしてみろよ。
大学がどことか誰も言ってない。
自分で出したハードアナリシスを使って、証明を見せるくれ。それ位の責任感を持ってくれ。

包括的な入試批判なら、ハードアナリシスとか持ち出す必要は無いし、論点がズレ過ぎだ。

誘導を付けなければ面白くなったと言うなら、欠片でもいいから面白く見せてくれ。
方向のズレた、よくある入試批判しか出来ないのか？

>>336
アホ。

>>337
そのうちに責任持って面白い証明をしてあげるよ。
ハード・アナリシス使いまくるからな。
手元にある紙見ると式が複雑なんだよね。

>>337
というか、>>335で書いたことは、事実だとは思うぞ。
まあ、社会的影響もあるけどな。

>>339
模試（大学入試）に適切かどうかという流れに入って来て、
手元にある紙を参照しないと書けないなんて残念過ぎる。

多分、僕より大人なんだろうが、論理性に難があり過ぎて残念過ぎる。

しかも、自分で編み出した証明でなさそうなのが、さらに残念過ぎる。
だから知識試験推奨だと批判したんだけどね。

eの超越性の証明は、大学に入ったら追うつもりだし、ランダウを使う様な方法は、模試の解答の評価の部分と大差ないと思うので結構です。

物事を追ってばかりでは、日本の大学では職を得る事は難しいと思うので、色々やる事があると思います。
そちらに時間を掛けてください。

なんだか、本当に、残念過ぎる。

>>341
>だから知識試験推奨だと批判したんだけどね。
解析学の基礎や、函数解析と微分方程式って知っているか？
これら、私のように殆ど誘導なんて付いていない問題集だよ。
ただポンッと定理が書いてあるだけのことが多い。誘導なし。
これを解いたことがあるなら、誘導付きなんてやってられんよ。
誘導付きを解くなんて甘チャンだよ。
解答は付いているけどな。

誘導が嫌いなら京大数学やれ

>>343
正答率がとても低かったっていうアレ、少し前に見事に解いた。
tan1°は無理数だ。ちなみにこれは代数的数であることも分かった。
オマケ付き。

ハードアナリシスって言葉見て、こいつは解析ビシビシ君だと察した

てかπの超越性ってe^iπが整数だからなんだろ？

なんか腑に落ちないよな。
もっと直接示す方法ないのかよ。

>>342

何故、解析関係の例しか出ないのか理解に苦しみますね。
数学が面白いと伝えたいなら、もう少し広がりがあるように語って欲しい。
私はランダウ記号くらい使えるから、バンバン使うなんて言われてもワクワクしない。
解析と代数の関わりの話とか、古典を超えた適応例とか、面白い話が欲しい。
解析の分野を羅列されても、数学を語る例としてなんかセンスを感じない。

父の関係で家にある大学の本は読みます。
解答を書いていないというのもよく分かるし、解答や証明が省略されているのもよく見る。
そんな時、問題の配置自体が一つの誘導だと気付かないかな？上手く配置しているな〜と感心する事もあるんだけどね。
大体、問題集は、例えば近似なら近似、何らかの同型関係ならそれというように、似たような考え方や手法が連続してる訳だ。誘導なしも当然だろ？
問題の配置自体がヒントであり、誘導な訳だ。
それが理解出来ない人が、何の誘導も無しにほんとに自力で解けていると勘違いしているなら、残念な人だと感じる。
さらに言うと、問題や定理の相互関係を理解せずに解いているから、貴方みたいな低い理解に留まるのではと、それじゃ成果は出ないなと心配さえします。
問題集を解き終えて、何の発展性もなく終わっているのではと心配ですね。
それが無ければ、過去の偉人の足跡を辛うじてたどるだけの存在、アカデミックな場には残念ながら不要じゃないかな？

さらに、解答が書いてないなら、解けたと思わずに貴方の証明が間違っている可能性も考慮した方がいいと思います。
話の流れからして、証明の流れの論理性も怪しいと思う。

長々とアドバイス申し訳ない。
あまりに気になりました。

私は私のやる事に戻ります。
最低限、貴方からは数学のたのしみは見出せません。

>>345
奇遇だな。俺もそう感じた。

>>67, >>153 の「論文」とやらは
いつになったら発表されるのかねえｗ

>>347
解析と代数の関係を1つ挙げれば、オイラーの公式から
見つけるべき超越数は実数に限られることが分かる。
eだのπだの、見つかって超越数と分かっているのはすべて実数だ。
複素数の超越数は、複素平面上で実軸と虚軸が直交することですべて構成出来る。
って論文のネタ書いちまったかな。

>>348
論文ね〜…。
そのうちに発表するよ。

>>349
ねえねえ、>>67, >>153 の「論文」とやらは
いつになったら発表されるの？

「あとは論文にするだけ(>67)」なんでしょ？
さすがにもう査読くらい始まってるよね？
まさか、まだ1文字も書いてすらいないの？

あっ、レスが来てた

>>350
あれれ、まだ書いてすらいないっていうオチですか？
ハッタリにも程があるｗ
半年間なにやってたんだよｗ

まあ、オイラーの公式をうまく使うことにより、
そういう超越数の発見の仕方の方針を見定めさせてくれる。
これは、何回も適用可能な考え方。
一応、>>349の補足。

>>349
ん？ieは複素数だけど超越数じゃないの？
ieが超越数じゃなければ、eが超越数じゃないって簡単に示せるんだけど…

で、どんな体にどんな位相入れるの？

>>351
>>352
書いていない。
こちらとしては、アーカイブに投稿するだけ。
論文出版するだけのプリンタだのの設備がない。
アーカイブに投稿するには誰か投稿の保証者として、協力者が必要なんだよな？
協力者してくれる人いないかな。

>>354
ieは代数的数でその全体は加減乗除について閉じているから、
ieが代数的数だったらeも代数的数であることになって矛盾。
よって、ieは超越数。

>ieは代数的数で
へー

>>356
ということは、いわゆる一般人なんだな
なまじ知識はあるようだが、かなりアヤシイなこりゃ ＾＾

まあ、1文字も書いてないという時点で
スタートラインにも立ってないが

>>354
横レスだが、「虚数の超越数は存在しない」とは言ってないと思うぞ
「複素数の超越数は〜〜によって全て構成できる」とある

>>355
それは今模索中。位相は普通の位相。
Archimedes付値体になるように位相を入れる。
非Archimedes付値体は考えていない。
もしかしたら、群の考え方が通用しなくなることがあるかも知れない。

>>358
あ、失礼。これ超越数の間違いだった。>>357の
>ieは代数的数でその全体は加減乗除について閉じているから、
は
>ieは超越数で、代数的数全体は加減乗除について閉じているから、
の間違いだった。

>>359

＞横レスだが、「虚数の超越数は存在しない」とは言ってないと思うぞ
＞「複素数の超越数は〜〜によって全て構成できる」とある

実数の超越数とほぼ一対一に純虚数の超越数もあるのを、分かってそうになかったから書き込んだ。
実際、意識はしてない様に見受けられる。

>>362
複素平面上で、原点から実軸方向への幾何ベクトルと
虚軸方向への幾何ベクトルは直交して実数体R上線型独立だから、
実超越数を見つければ、純虚数の超越数は、iと実超越数を掛けることで構成出来る。

>>349
何で？
（超越数）πだけ回転させる場合を見落としてないか？

>>364
これ書いたら、もう論文の話になりかねないよ。
もうここではやめとく。

位相体を一切使わない解析ビシビシ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1362908690/

もうアホにマジレスすんのやめようや。
eやπの超越性が初頭的に算術的に導けないか考えようぜ。

大ウソつきもしくはドアホウだらけ

お願いします。

５つの箱に３つの球をいれる。その場合入れ方は何通りあるか。

１・箱にも球にも番号が付いている
２・１と同じだが一箱に１つ以上入れない
３・箱には番号が付いてるが球には区別がない。そして一箱には１つ以上入れない
４・３と同じだがいくつ入れても良い

問題文の「一つ以上」の意味がわかりません。
「一つの箱に２つ以上入れない」ならば、意味がわかるのですが・・・

むしゃくしゃした日はブックオフに行く
そして本棚の陰に隠れてでかい声で「いらっしゃいませー！！」と叫ぶと、
フロアにいる店員が一斉に「いらっしゃいませー！」とつられて言う
これを２、３回繰り返し、気が済んだとこで店を出る

解析ビシビシって有名人なの？

>>333
そういえば、東大入試を楽しむだったかって本をサラっと見たことはあるんだけど、
それによると昔は東大入試でもどこから手を付ければよいか分からない問題
というのが出されていた時期があるようなんだよね。
これこそ正にハード・アナリシスの精神に近い。
まあ、だから何なのっていうことになるのがせいぜいのオチなんだろうけどね。
自己を正当化する訳でも何でもない。一応1つの事実を述べただけ。
しいていえば、個人的にはそういう事情があるから、
大学入試でハード・アナリシスの問題を出してもいいとは思うんだよね。

大学入試なんて賢い奴探しじゃなくてバカ避けのためにやるんだからどうでもいい

>>371
私=解析ビシビシ君は別に有名でも何でもないよ。

ただ1つ不思議なのが、何故>>323から私が非難される流れになったんだろうとは疑問に思っている。
東大入試を楽しむっていう本を別に解かなくても眺めたことがあれば、
>>323に抵抗は感じないとは思うんだよね。
以前は>>372のような問題が出されていたらしいんだよね。
それなのに、私が見事に非難される羽目になってまあ…。

で、どんな体にどんな位相入れるの？

自分が読んだ本の情報だけを連呼していたら、そりゃ馬鹿にされるよ。
何について指摘されてるかから逃げて、不要な情報ばかり羅列するバカ。

>>371
このスレを上の方から読んでいけばわかる

>>376
趣旨は、誘導式にすることで証明を追体験させることも立派な1つの方法である。
あと、自分で証明を編み出せないのに河合塾のやり方を否定するなということだろ。

2次無理数であることの証明や超越性の証明を自分で編み出すことって、普通は難しいことだよ。
少なくとも、お勉強しないとそういうことは出来ない。
そういうことに慣れている専門家にとっては簡単。
だけど、追体験した数学的内容を意識することって高校の段階でしているモンかね。

>>377
抽出して、なんとなく分かった。ありがとう。
解析バリバリの意図は分からない(￣^￣)ゞ
これが数学板の釣り？

解析ビシビシ君は、こんなところにいないで
さっさと論文書きなさい
そして誰かに見せなさい
まずは現物がないと話にならん
内容が合ってれば進展もあろう

>>283
>>284
解答読んだけど考えたやつ天才だな。
ぜひ三次無理性も否定してほしい。
てか一般化して超越性も証明できるんじゃないか。

>>381
だよね。追って行けば行くほど納得する。
入試問題としては、難し過ぎな気もするけど、数学か目指す人とかなら楽しいだろうな。

どうしてこれが、誘導なんて付けてつまらなくした事になるのか分からない。

結局eで両辺割った時にeとe^-1ができるところが肝要だから三次では無理だな。

1じゃないけど誘導無しで二次無理性を否定しようとしたらどうにも上手くいかなくてもしかしたら二次方程式あるんじゃねーの、
って諦めそうになる問題だが高校レベルの知識のみで適切な誘導で真理に辿り着けるのは良問と言えよう。
マクローリン展開もe^nが無理数である（n∈Z）ことも使わずに積分の性質だけで説明してるのがすごい。

>>283
>>284
見れないんだけど・・・

それでは皆さんさようなら〜…。
さてと、仕事するか
(これは独り言だと思っていい)。

解析ビシビシ君より。

河合塾の東大模試　第５問>>283-284

n を0以上の整数とする. 数列 S[n], T[n] を
　S[n] = ∫[0,1] (1 - x)^n e^x dx, T[n] = (-1)^(n+1) ∫[0,1] (1 - x)^n e^(-x) dx
によって定める. ただし, e は自然対数の底であり, (1 - x)^0 = 1 とする.
また, 整数の定数 a, c (ただし a≠0 とする)に対して,
　R[n] = a S[n] + c T[n]
とおく.

(1) A[n] = n! e - S[n], B[n] = n! e^(-1) - T[n] とおくと, A[n], B[n] はともに整数であることを示せ.
(2) a, c のみで定まる正の整数 N が存在して, n≧N を満たすすべての n に対して | R[n] | < 1 が成り立つことを示せ.
(3) R[n], R[n+1], R[n+2] のうち, 少なくとも1つは0でないことを示せ.
(4)自然対数の底 e は, 整数 a, b, c (ただし a≠0) を係数とする2次方程式 a x^2 + b x + c = 0 の解にならないことを示せ.

解答はすべて写すのさすがに面倒なので概略だけ
(1)部分積分で漸化式を求めて, 数学的帰納法を使う.
(2) 0 < S[n] < e/(n+1), 0 < T[n] < 1/(n+1) より.
(3)2通りの証明を与える. [証明1] (R[n] の漸化式を利用するもの), [証明2] (T[n] の符号変化に着目するもの)
(4)以上の結果をすべて使って矛盾を導く.

thx!!

>>387
サンキュー。ヒントなしで解いてみる。
無理ならヒントを見て頑張る！！
解析ビシビシ君は、ヒントがあっても出来そうにないねぇ

>>389
あの〜、
>無理ならヒントを見て頑張る！！
>解析ビシビシ君は、ヒントがあっても出来そうにないねぇ
って、釣りですかい？
制限時間があったら出来ないだろうけど、制限時間がなければヒントはいらない。
それより、普通は
>n を0以上の整数とする. 数列 S[n], T[n] を
>　S[n] = ∫[0,1] (1 - x)^n e^x dx, T[n] = (-1)^(n+1) ∫[0,1] (1 - x)^n e^(-x) dx
>また, 整数の定数 a, c (ただし a≠0 とする)に対して,
>R[n] = a S[n] + c T[n]
>A[n] = n! e - S[n], B[n] = n! e^(-1) - T[n] とおく.
といった、これらの一般項の漸化式を気付くことが、
(1)〜(4)みたいな問題を解くことよりその何倍も難しいんだよ。
(マトモな)数学書を読んでいて、はじめていわゆる余り知識がない状態で、
もしeが2次無理数であることを導出する過程にでも出くわしたら、
或る期間、数学書を閉じて、自分で単独に「eが2次無理数であることを示せ」
っていう問題を作ってそれに挑戦してみ。
余り知識がない状態でこういうことをして示すことが、どれだけ難しいことかがよく分かるだろうよ。
このようなことでもすれば、上のような、漸化式を思い浮かぶことの難しさがよく分かるだろう。

しかし>>347の人物像がよく分からないな。>>347の
>父の関係で家にある大学の本は読みます。
が正しければ、少なくとも数学関係の人の子供なんだろうが。
>>347の人物像が詳細に特定出来ない。
流れからすると恐らく私をバカにしていた東大受験生なのだろうが、
これが正しいかどうかについては自信がない。

結局、お前は現時点のお前自身の知識を使って制限時間内にその問題を解くことは出来たのか？
それだけは、はっきりさせてくれ

東大の理系合格者でお前の馬鹿さに気付かない人はほとんどいないと思うよ。
部分否定への反論に関係ない事を長々と述べたり、
他の人のなした部分肯定（例えばハードアナリシスの価値もあるという主張）
に対して、それが自分の行為への肯定であるかのような誤認。
数学という分野で、まあ他の分野でも絶対に会いたくない。
>もしeが2次無理数であることを導出する過程にでも出くわしたら、
>或る期間、数学書を閉じて、自分で単独に「eが2次無理数であることを示せ」
>っていう問題を作ってそれに挑戦してみ。
がどれだけ馬鹿な思考回路か、気付かないんだろうな。
そのうち、０は自分が自力で考え出したとかいいそうで怖いよ。

>>390
誘導なしで試験時間内に解いたという人がいたということだったがありえないと思うよね
少なくとも同じ問題を経験してないと無理
プロの数学者でも1時間で解けって言われたら不可能だろう

狢

>633 名前：１３２人目の素数さん ：2013/11/12(火) 13:08:18.87
> 好みの女性を見たときのムラムラしたキモチを一番大事にしてほしいという事だな
>

>>394
誘導付けてつまらなくしたから、簡単にしちゃったから、満点続出なんでしょうw

狢

>633 名前：１３２人目の素数さん ：2013/11/12(火) 13:08:18.87
> 好みの女性を見たときのムラムラしたキモチを一番大事にしてほしいという事だな
>

>>394
試験問題では適切な誘導が付いていましたよ

>>396
つまらなくしたことと満点続出であることには何の因果関係もありませんね

>>398
文句は解析ビシビシ君に言ってくれ。
曰く、誘導付けてつまらなく簡単に解けるようになっちゃったんだから。

二次無理性の証明の肝は両辺をeで割ってeとe^-1にすることだから
それに気づけば自力で解答を導き出すことは可能だと思う
特に、今回は問題文からこの肝の考え方がだいたい分かる形になってるから
それが暗示的な誘導になってた可能性もあると思う

>>392
現時点での(高校の)知識を用いて(マッタリして)解いてみたら、1時間30分位かかったな。
まあ、制限時間は1問あたり30分位だろうから、
この時間内でやれっていわれたら、緊張して体がガクガクするから出来ないだろう。
返事はこれでよろしいか？
一応、「現時点での知識」とは「現時点での高校の知識」の知識のことだよな？

>>393
＞>もしeが2次無理数であることを導出する過程にでも出くわしたら、
＞>或る期間、数学書を閉じて、自分で単独に「eが2次無理数であることを示せ」
＞>っていう問題を作ってそれに挑戦してみ。
＞がどれだけ馬鹿な思考回路か、気付かないんだろうな。
って、1、2ページ程度の内容なら、これ位のようなことはして当たり前だとは思っているよ。
或る期間挑戦して、なかなか出来なかったら数学書を見る。
3、4ページとか何ページもかかる内容だったり、特殊なテクニックを使う内容であれば話は別だが。
不思議なモノで、一見何の意味もなくムダだと思われる、そのような経験が後々生きて来る。

>>392
失礼。>>401の
>一応、「現時点での知識」とは「現時点での高校の知識」の知識のことだよな？
は、
>一応、「現時点での知識」とは「現時点での高校の知識」のことだよな？
と訂正して読んで頂きたい。

誘導なしだと試験時間で解ける人間おらんやろ
誘導があるから簡単やけど

もはや、人間としてクズだな。
2ch以外の場でも、話が通じてないだろうと思うと、反面教師にすべきなのかな？

狢

>633 名前：１３２人目の素数さん ：2013/11/12(火) 13:08:18.87
> 好みの女性を見たときのムラムラしたキモチを一番大事にしてほしいという事だな
>

ただ河合塾にやられちまったのは悔しいな。どこぞの有名私大あたりで出してくれれば良かったものの。

試験にならんだろ

昔の東大後期ならちょうど良かった気がするな。

誘導があるせいで普通の難易度になってるな
円周率の無理性の証明を経験してれば悩むところもない

>>409
誘導なしでの出題はあり得ない事くらい分かれよ。
ある意味力量のなさを感じるな。

>>408
天下の東大で出題されたらこのスレ祭りになってたかもな。

>>411
その時は、解析君が天下の東大教授を批判したのかな？

ヒントなし、誘導ありでなんとか1時間以内に完答。
少し難しい気はするけど、キチンと解ける受験生がいるなら尊敬する。

俺はヒントなしで30分弱で解けたよ
俺より上はたくさんいるだろうし完答できる奴がたくさんいても不思議じゃないな
それにしても良問だなあ

頭の中だけで5分で解けたわ
簡単すぎる

まあこれくらいの誘導じゃなきゃ試験にならないからね。

>>415
頭の中だけだと思い違いしてる可能性もあるよ
ちゃんと手計算しないと

一番最初から全部読んでみた。
河合の方針で追えたし、いい誘導と思うけど、
あるＮがあって、ｎ＞Ｎならば…
って流れは、受験生にはきついだろな。
そう考えると、数学板住民が思うより難問だろうね。
解析ビシビシさんが見事解けたとか言っていた京大のtan1°なんて、
大学の数学やってれば、5分以内解けて当然。
受験生は帰納法と言えば数列or項式とい感じだから解けなかっただけだろ。

お得意の流れやん

最初→解けない
解答提示→なるほど 天才だな扱い
ほとんどのひとが興味を失う→俺は解けたなど後からならいくらでも言えるからと言い出す

今の受験生はこんな問題でヒーヒー言ってるのか
ゆとりが思った以上に進んでいるようだ

偉そうに言ってる奴は1がスレ立てした時に文句ばっかり言わず5分で模範解答上げて欲しかったな。（笑）

あぼーん

＞あるＮがあって、ｎ＞Ｎならば…
＞って流れは、受験生にはきついだろな。
確かにそれはあるかもしれんな
というか高校で２量子論理式は習うのか？

数学板ってナルシスト多いよな
異常な程自分を正当化したがるし
自分をこの板で数学一番出来るっていう自信を持ってる奴多いしな

あぼーん

>>424
やってなくても意味は分かるだろうけど。
そういうNを探した経験は無いだろうな。

次のようなNのmaxを求めよ：ｎ＞Ｎならば…
みたいな感じで嫌というほどやらされてるんでは？

>>428
高校じゃイコールの付かない最大、最小はやらないだろ。
さらに、このNとかεとかを使う論法は大学に入って初めて触れるタイプと思う。

お前がバカなだけだろ

イコールの付かない最大、最小ってどういう意味？

>>431
所謂、上限、下限の考え方じゃないか？
高校では、イコールが付かなければ最大、最小は考えるべからず。
というかなんというか。何と無く、そんな感じじゃないかな？

これでは星はあげられない

πの無理性とか出てるわけだし、ある程度勉強してりゃ特に難しくないわな
特に整数に挟まれる下りとかまんまだし

偉大な京都大学教授

低脳の馬鹿板参加者

ケケケ狸

何か寂れたね。
河合の方針が今の所ベストかな？

違うんだ俺が気になるのは河合の方法でも>>18の方法でも、３次や4次の無理性の否定に応用すると一気に難しくなることだよ。エレガントな一般証明はできないものかね？

いきなり『俺』が既出の人物のように出て来る事が不思議

河合の例の問題で20点取ったら偏差値119.2らしい

>>298

>>304

>>440
問題ごとの偏差値なんて出るのか？

>>304
リンクがあったから読んでみたけど、模試の問題は小問4までだよな？
配点という奴があるわけで、誘導にのらなければ確実に減点、入試としてはアウト。
そんな方法を選択する受験生は希少なはずだけどね。

>>444
某通信添削では解法によって配点を変えることもあったけど　参考までに

>>445
完全無視したらダメでしょう。
あくまでもヒントでなく小問なんだし。

最後の設問が当てはめるだけのサービス問題の場合もあるしね。

運営乙

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今年ももう終わりだが、私はこのスレの問題が予備校の模試で採用されたことを誇らしく思う。来年も更なる良問を考えて追及する所存だ。それでは諸君よいお年を！

私=解析ビシビシ君は、このスレで自分の研究について書いたことや、模試を否定したことを後悔している。
模試肯定者の方、或いは模試について中立の方、いい過ぎてどうもすみません。
2チャンは或る意味怖い。書いたことが自らに振り返って来ると思うと恐ろしい。
おかげで、論文書きにくくなってしまった。
どう考えても信じられない内容で何か自信がないが、自らの研究は恐らく正しいのだろう。
見る限り、未だ間違いはどこにも見つかってはいない。
まあ、しばらく研究やお勉強をすると共に、その論理の内容の真偽を精査する。
2チャンは、時間をムダに使う場所であることを改めて悟った。

>2チャンは、時間をムダに「使いかねない」場所であることを改めて悟った。
と書いた方が適切か。
何れにしろ、私=解析ビシビシ君は、決して2チャンの存在を否定している訳ではない。

模試について肯定、否定とかいうのではなく、自分の論理性の無さを反省して欲しい。
君が2chを否定しなくても、数学や論理を解する2ちゃんねらーは君を肯定しない。

>>452
確かにハード・アナリシスはいい過ぎであった可能性はある。
>君が2chを否定しなくても、数学や論理を解する2ちゃんねらーは君を肯定しない。
論理性について語っているが、何故
>数学や論理を解する2ちゃんねらーは君を肯定しない
という、「私=(解析ビシビシ君)を肯定するような数学や論理を解する2ちゃんねらーは存在しない」、と同じことがいえるのか？
また、私は2チャンという「事物」の肯定云々について語っていることに対し、
そちらさんはその部分で「人」の肯定云々の話にすり替え「人」の肯定云々ついて語っている。
人をモノと捉える考え方もあるが、論理を考えるにあたり必ずしも事物の肯定云々の話と人の肯定云々の話とを区別しないとは限らない。
論理性も何もないじゃないか。

まあ、或ることを行うにはハード・アナリシスか幾何か他の何かでもしないと出来ない。
それを実行しようとしているのだが、なかなか単純には出来ないんだよね。

>>452
>>453の
>そちらさんはその部分で「人」の肯定云々の話にすり替え「人」の肯定云々ついて語っている。
の部分では
>そちらさんはその部分で「人」の肯定云々の話にすり替え「人」の肯定云々「に」ついて語っている。
と、念のために「に」を補足。

まあ、仮に書くとしたら明日以降ね。

途中から変な価値観合戦になっているように思って黙っていたが，
結局のところ，最初の頃に提示されていた
テイラー展開を利用した証明と
某予備校の模試の解答は，
本質的なところでは，同じではないの？
細かいところまではチェックしてないので，アレなのだけど，
剰余項をどう表現するか，という違いだけじゃないのか，と。

ということで，議論は歓迎なのだが，できれば，
数学プロパーの議論になって欲しい，なっしー(笑)

>>457
いや河合塾の方法はなんでそんな事思いついたのかって思うくらいエレガントだと思う。高校数学を微塵も逸脱してないし良問だよ。

>>458
積分の形で剰余項を表すバージョンのテーラー展開の式
f(x)=¥sum_{k=0}^{n}¥frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+
¥int_{a}^{x}¥frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)¥,dtf(x)=¥sum_{k=0}^{n}¥frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+
¥int_{a}^{x}¥frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)¥,dt
は，部分積分の繰り返しで示せるから高校範囲と言えば言える。(高校生には難しいが)
この式で，f(x)=e^x, f(x)=e^{-x} と置いて，a=0, x=1 とすれば，
e=¥sum_{k=0}^{n}¥frac{1}{k!}+¥int_{0}^{1} (1-t)^n e^t dt
1/e=¥sum_{k=0}^{n} ¥frac{(-1)^k}{k!}+¥int_{0}^{1} (1-t)^n e^{-t} dt
となる。この2つの積分は，模試の問題文にある積分と同じだと思う。

昨日このスレを始めて見て，昔 e^2 が無理数であることの高校範囲の証明を自分で
考えた事があったのを思い出した．（東大作問スレに書いたかな）
やってる事は既出のものと変わらないと思うが一つ．

-----------------------------------------------------------------

簡単な微分演算により，

x＞0 で 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n! ＜ e^x
＜ 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n!＋x^(n+1)・e^x/(n+1)!...�@

�@において x＝2 とおくと，

1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n! ＜ e^2
＜ 1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n!＋2^(n+1)・e^2/(n+1)!...�A

e^2＝k/j (j，k は正の整数) とおけると仮定する．
また m が正の整数のとき (2^m)!＝2^(2^m-1)・N(m) (N(m) は正の整数) とかけるので，
�Aにおいて n＝2^m (m は正の整数) とし，辺々に j・N(m) をかけると，

j・N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＜k・N(m)
＜j・N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＋4j・e^2/(2^m+1)

ここで j・N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} および k・N(m) は
正の整数で，m を十分大きくすると，0＜4j・e^2/(2^m+1)＜1 とすることができるので矛盾．

>>460
e^n無理性の証明だけならe^-nを使ってもっと簡単に示せたような。

>>459
確かに河合の元ネタっぽいね．
部分積分を繰り返すやり方の方が天下り的じゃなくて自然だよな．

代数的数は可算無限個だから、超越数は非可算無限個あるのか

πやeも含む計算可能な実数ですら可算

>>460のやり方だとe^3 でもう駄目かな

>>465
だがe^4やe^6は出来る。

e^6 も無理では？

今更だが>>28の

＞同様にpが整数ならe^2pはとりあえず無理数で、その平方根も無理数で
＞すべての整数sについてe^sは無理数だって意味。

の部分は飛躍過ぎでないかい？

>>468

いやもしかしたらpが素数ならいけるんじゃ？誰か天書の証明の29ページを日本語訳してくれ。
http://www.iecn.u-nancy.fr/~chassain/djvu/Proofs-from-the-Book-2004.pdf

>>469
そのリンク先で簡単に証明してるのは e，e^2，e^4 の三つだけだよ．
一般にはP.３０以降で証明している．

>>28の

＞18の議論はeをe^2に置き換えても成立するし、
＞ae^4+be^2+c=0
＞を満たすa,b,cは存在しなくてe^4も無理数になるって事。

の部分もおかしいな。

>>18の議論は直接はeをe^2に置き換えても駄目だし、仮に成立したとしても
e^2が（２次の）無理数だって事しか分からない．

最後の2行は一部勘違い。
無かった事に。

>>470
e^6は無理なん？

e^6＝p/q ⇔ q e^3＝p e^(-3)
という方針では上手く行かないと思う。

>>474
マジで！じゃあどうやって一般化してるの？

一般化というか，全然別の方法で証明してる
詳しくはリンク先

誰か高校数学に翻訳してください！

不毛だからやだ

不毛はお前だろｗ

高校数学（）

>>479
まあ私の頭は不毛ですが。

>>460
e^nの無理数だけなら、式は複雑になるかもは知れないが、
もっと簡単に高校レベルで示せるような。

>>482
頼む。469のリンク先を翻訳するだけでも良いから。気になって夜も眠れない。

>>482
簡単には無理だと思うよ。
試しに e^3 の場合どう？

>>483
>>469の英語は簡単だと思うが。
それと使ってる事はほぼ高校の範囲では。

何回読んでもeの二乗と同じやり方で偶数乗の証明が可能だとしか読めないな。e^6がダメな理由が解らないんだが。

来年の河合塾はe^3が無理数である事を証明せよで決まりだな。

この本有名な本なのか？かなり面白いな。

>>486
リンク先の30頁に

So we know that e^4 is irratioinal; to show that e^3 , e^5 etc. are irrational as well,
we need heavier machinery (that is, a bit of calculus), and a new idea - which essentially
goes back to Charles Hermite, and for which the key is hidden in the collowing simple lemma.

とあるだろ。

どこに「eの二乗と同じやり方で偶数乗の証明が可能だと」と書いてある？

e^3＝p/q ⇔ q e^2＝p e^(-1) の方針でやれば e^3 が無理数の場合の証明はできそうだ。
ただ多少工夫はいる。
このやり方を拡張すれば，e は4次無理数である事がいえる。

>>490
え？

>>489
え、結局具体的なやり方は示してないって事なの？

この位の英語読めないのかい

>>489
それで、我々は、e^4が不合理であるということを知っています;
e^3、e^5その他が同様に不合理であることを示すために、
我々はより重い機械（つまり、わずかな微積分学）と新しい考えを必要とします
−それはＣ・エルミートに基本的に戻ります、そして、それのために、
キーは以下の単純なレンマで隠されます。

訂正

So we know that e^4 is irrational; to show that e^3 , e^5 etc. are irrational as well,
we need heavier machinery (that is, a bit of calculus), and a new idea - which essentially
goes back to Charles Hermite, and for which the key is hidden in the following simple lemma.

>>495
どのみちだな。結局e^3もe^5もe^2やe^4と同様で以下略って話だろ、なんで同じ手順でできないんだよ？

>>496

なんでこんなに馬鹿なんだよ。
e^3でいいから同じ様にやって見せてくれ。

誰か e^3 の無理数性を天下り的でなくかつ初等的に証明できる人はおらぬか？

>>498
今年の東大模試に期待！

もしかしたらe^8やe^16は証明可能で指数を2進数にして指数法則で全整数に渡って証明できるよ的なオチだったりして（笑）

言ってみたもののe^3すらもお手上げなんだが（笑）

495の文の直下の補題使えばe^3とe^-3使って、e^6で証明できるんだろ。それの平方根とればe^3も無理数だって話。少なくともその方法でe^nについては証明できるって明言してあるじゃんか。この本が嘘なら別だが。解ってない人は理解してないだけだろ。

>>469のp.29-31あたりを翻訳してみた
ただ、全てやるのは大変だから要所のみで

　e^4 が無理数であることを証明するために,
e^4 = a/b が有理数であると仮定すると, b e^2 = a e^-2 と書ける.
（中略）
最初に, 十分大きな任意の n ではなく, 十分大きな2のべき乗 n = 2^m をとる.
（中略）
それから, Legendre's theorem(p.8参照)の特殊な場合である以下の補題が必要になる:
任意の n >= 1 に対して, 整数 n! が素因数として2を少なくとも(n - 1)回含む ⇔ n = 2^m.
（中略）
さて b e^2 = a e^-2 に話を戻そう. ここから次の式が見つかる.
　b * ( n! / 2^(n - 1) ) * e^2 = a * ( n! / 2^(n - 1) ) * e^-2　…(1)
そして, 次の級数を代入する.
　e^2 = 1 + 2/1 + 4/2 + 8/6 + ... + 2^r / r! + ...
　e^-2 = 1 - 2/1 + 4/2 - 8/6 + ... + (-1)^r 2^r / r! + ...
r <= n のとき, 両辺に整数の項が次の形で手に入る.
　b * ( n! / 2^(n - 1) ) * 2^r / r!　および　(-1)^r * a * ( n! / 2^(n - 1) ) * 2^r / r!
（中略）
r >= n + 1 のとき, 級数は次の形で手に入る.
　2 b (2 / (n + 1) + 4 / (n + 1)(n + 2) + 8 / (n + 1)(n + 2)(n + 3) + ...)
および
　2 a (-2 / (n + 1) + 4 / (n + 1)(n + 2) - 8 / (n + 1)(n + 2)(n + 3) + ...)
これらの級数は n を十分大きくとると, 4 b / n および -4 a / n に収束する,（中略）.
十分大きな n = 2^m に対して, (1)の左辺はある整数より「ほんの少し」大きくなり,
右辺は「ほんの少し」小さくなる―これは矛盾である!　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

（>>502のつづき）

　こうして, e^4 が無理数であることが分かった;
e^3 や e^5 などが同様に無理数であることを示すためには
より重たい機械類（つまり, ほんの少しの微積分）と新しいアイデアが必要である―そのためには
Charles Hermiteに立ち返る必要があるが, その鍵となるものが次の簡単な補題に隠されている.
【補題】 n >= 1として, f(x) = x^n (1 - x)^n / n! とおく.
　(i)　f(x) = 1/n! Σ[i = n, 2n] ci[i] x^i, （ただし, 定数 c[i] は整数）である.
　(ii) 0 < x < 1 に対して, 0 < f(x) < 1/n! である.
　(iii)導関数 f^{k}(0) および f^{k}(1) はすべての k >= 0 に対して整数である.
（中略）
【定理1】 e^r はすべての r ∈ Q - {0} に対して無理数である.
【証明】 正の整数 s について, e^s が有理数でないことを言えば十分である.（中略）.
e^s = a/b （ただし, 整数 a, b > 0）として, n をn! > a s^(2n + 1) となるように十分大きくとる.
　F(x) := s^(2n) f(x) - s^(2n - 1) f^{1}(x) + s^(2n - 2) f^{2}(x) - ... + f^{2n}(x) とおく.
（ただし, f(x) は上の補題の関数とする）
（中略）
　N := b ∫[0, 1] s^(2n + 1) e^(s x) f(x) dx = b [e^(s n) F(x)] [0, 1] = a F(1) - b F(0) とおく.
これは整数である, なぜなら補題の(iii)より F(0) と F(1) が整数だからである. しかしながら,
補題の(ii)より, N の大きさを下と上から推定すると,
0 < N = b ∫[0, 1] s^(2n + 1) e^(s x) f(x) dx < b s^(2n + 1) e^s 1/n! = a s^(2n + 1) / n! < 1
したがって, N は整数ではありえない: これは矛盾である.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

翻訳乙！

なーんか、もっとエレガントな方法はないものかと思うね。

翻訳を見れば
>>501が間抜けだと分かるだろ？

>>504
あまくだりてきではあるが、エレガントだろ。
あんな解法どうやって思いついたかサッパリ分からん。

今更だが>>503下から5行目の b [e^(s n) F(x)] [0, 1] は b [e^(s x) F(x)] [0, 1] の間違いスマソ

>>503の解法って凄いよな。

ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ（０）＝１ という仮定だけから
任意の０でない有理数 ｑ に対して ｆ（ｑ） が無理数って導いている。

ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）であってｆ（０）＝１のものはｆ（ｘ）＝ｅ＾ｘしかないから
お前の言ってることは「ｆ（ｘ）＝ｅ＾ｘ という仮定だけから」というのと同値だな
つまり、当たり前のことを別の言い回しに直しただけだ

IQが20以上違えば会話が成立しないというのは本当だなｗ

常微分方程式の解の存在性と一意性は、決して「当たり前のこと」ではないな。
リプシッツ条件やら不動点定理やらの話になって、
単に初期値問題を変数分離形で解くだけでは済まなくなる。

例のPDF面白かったんで新スレ立てました。よろしく。πの二乗の話も良かったね。英語苦手だから理解が追いついてるか自信ないけど。

みんなでproofs from the bookを読もう
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1389992635/

>>511
横レスだが、f ' (x)＝ f(x), f(0)＝1 なる関数の
存在性・一意性に限って言えば、そこまで高級な議論は必要ない。

存在性：f(x)＝Σ[k＝0〜∞](x^k)/k! と置けばよい。
任意の x∈R に対して右辺が収束していることは簡単に出る。
f(0)＝1 は簡単に出る。f ' (x)＝f(x) は次の補題から簡単に出る。

補題：実数列 { f_n(k) }_k (n∈N)と実数列 { f(k) }_k, { g(k) }_k は次を満たすとする。
・lim[n→∞]f_n(k)＝f(k) (∀n).
・|f_n(k)|≦g(k) (∀k, ∀n).
・Σ[k＝1〜∞]g(k)＜∞.
このとき Σ[k＝1〜∞]f_n(k) (n∈N) 及び Σ[k＝1〜∞]f(k)が存在して、しかも
lim[n→∞]Σ[k＝1〜∞]f_n(k)＝Σ[k＝1〜∞]f(k)
が成り立つ。

上記の補題は簡単なε−δ論法で証明できる。

一意性：g(x)＝Σ[k＝0〜∞](x^k)/k! と置くと、既に述べたように
g ' (x)＝g(x), g(0)＝1である。また、任意の x,y∈R に対して
g(x＋y)＝g(x)g(y) が成り立つことが言える(泥臭い愚直な計算で)。
さて、f ' (x)＝ f(x), f(0)＝1 なる f を任意に取る。このとき
(g(−x)f(x)) ' ＝−g ' (−x)f(x)＋g(−x)f ' (x)
＝−g(−x)f(x)＋g(−x)f ' (x)＝g(−x)(−f ' (x)＋f(x))
＝0 ―― (i)

となる。さて、x≠0を任意に取る。平均値の定理と上記の(i)より
g(−x)f(x)−g(0)f(0)＝0 となるので、g(−x)f(x)＝g(0)f(0)＝1
となる。これがx≠0なる限り言える。この等式はx＝0のときも
明らかに成り立つ。よって、任意のxでg(−x)f(x)＝1 となる。
両辺にg(x)をかけて、g(x)g(−x)＝g(x−x)＝g(0)＝1に注意して
f(x)＝g(x)となる。よって題意の f は一意的である。

全体としては、「導関数」「級数の収束」の議論だけで十分であり、
積分が必要ない。

余談だが、e^x が既に定義済みであり、e^x の各種の性質も既に証明済みならば、
>>509のように「当たり前のこと」と言っても差し支えない。

なぜなら、存在性は 「 f(x)＝e^x 」の1行で終わり。
また、一意性は>>514と全く同じく
(e^{-x}f(x)) ' ＝ 0
e^{-x}f(x)‐e^{-0}f(0)＝0 (平均値の定理)
e^{-x}f(x)＝1
f(x)＝e^x
で終わる。この計算は簡単な高校数学であるから、
結局、高校数学の範囲に収まってしまう。

一方で、e^x の定義から始める場合は、「当たり前」は言い過ぎ。
たとえば、e^x を級数 Σ[k＝0〜∞](x^k)/k! で定義する場合は、
(e^x) ' ＝e^x を証明するのに>>513が必要になる。あるいは、
絶対収束性を使って積分を経由する証明法もあったはず(そっちの方が有名か)。
予め常微分方程式の一般論を論じた上で、f ' (x)＝ f(x), f(0)＝1 なる
ただ1つの関数を e^x と定義する場合は、もはや「当たり前」のための
大義名分を失って本末転倒。

>>503
の解答発展させて超越性の証明はできないものか？

ぬるぽ

>>517
ガッ

運営乙

>>516
多分、それを発展させたのが>>202のエルミートの証明になるんだと思う

e^e、γ、eπ、e/πが無理数であることは確か。
e±πは無理数というか、eとπはQ上線型独立ではある。
そういわざるを得ない。むしろ、我々が認知出来る数の方が例外だと思われる。
当初いっていたe+πの超越性については一旦保留しておく。
多分超越数であるとは思うが、間違っている可能性がある。
未だ、超越性まで分かる夢のような道具は開発出来ていない。
この開発は長い道のりになりそうだ。

まあ、自分でe+πは超越数っていっちゃったんだからしょうがないわなw
いった責任とって、しばらく証明試みてみるわ。

いや、e+πは超越数で合ってるのか？
だけど、単純にそうすると、そうなる理由が説明出来ないことがあるんだよな。
まあ、念のため慎重にもう1回根幹にある定理の証明とかを精査してみるわ。

じゃあまず手始めにe+πが二次方程式の解でないことを示してくれよ。

>>524
>じゃあまず手始めにe+πが二次方程式の解でないことを示してくれよ。
それはあなた達の宿題である。
私がすべきことは、現時点で得られている定理の一般化をただ試みることに他ならない。
それは、道のりが長く強烈に難しいことであろうと思われる。

というか、単発的にe+πが二次方程式の解でないことを
示していくようなことを繰り返しているんじゃ、超越数崩しは出来んわな。
何らかのアルキメデス付値体K∈Rを係数とし、各i＝1、2、…、n、n+1に対して
f_i(x)∈Z(x)は整数係数多項式とするとき
a_1・X^{f_1(e)}＋a_2・X^{f_2(e)}＋…＋a_n・X^{f_n(e)}＋a_{n+1}＝0
ただし、f_1(e)＞f_2(e)＞…＞f_n(e)＞0、
のような、有理係数代数方程式に似た方程式モドキを解く
ようなことを考えていかないと超越数崩しは難しい訳で。
そのようなことを、私=>>525は今考えている訳で。
このような方程式モドキの解について調べることって難しいだろうな。
こういう解について分かれば、超越数の判定や代数的独立性の判定は容易になっていくと思われる。
eは超越数でQ(X)とQ(e)は同型だから、e＝eやπ＝πである時点でeとπは代数的独立のような気がするが、
Q(e)やQ(π)はアルキメデス付値体だから、単純にeとπがQ上代数的独立と判断することは出来ないであろう。
表現論なら、eとπの代数的独立性は証明出来るかも知れない。
ただ、表現論全般に精通している訳ではないから、それが正しいという保証はどこにもない。
今は表現論その他をお勉強している訳で。

うわあ

あらこんなところに大型ポエムが

>>59>>61>>65>>67

証明が無いんだからポエムだな

もうこのスレで語る事は何も無い。河合塾で使われて終わった話なのだ。

まだeの超越性の証明が残ってる
勝手に終わらせるな

eが2次方程式の解で無いということ
e^2,e,1の3数が整数係数の和において0で有り得ないということ。
これは幾何学的に言い換えれば
E→(e^2,e,1)と整数点の三次元ベクトルZ→(m,n,l)が直行し得ないという事。
これはもちろん正しいのであろうがどうにか幾何学的に証明できないものか。

>>533
或る3つの整数m、n、lが存在して3次元空間で2つの幾何ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)が直交したとする。
ここに、e、e^2は共に無理数だから、m、n、lは何れも0ではないと仮定しても一般性を失わない。
すると、xy平面、yz平面、xz平面の中の任意の2平面は空間内で直交するから、
ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)をxy平面に射影して考えると、3垂線の定理により、
xy平面における2つの幾何ベクトル(e^2,e)、(m,n)は直交する。
よって、(e^2,e)、(m,n)の内積を考えると、e＞0から、me+n＝0が得られ、e＝n/mは有理数。
しかし、これはeが無理数であることに反し、矛盾する。
従って、如何なる整数m、n、lに対しても、3次元空間で2つの幾何ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)が直交し得ない。

e、e^2が無理数であることは使っていいと>>1に書いてあるから用いた。

>>534で、「e＝n/mは有理数」の部分は「e＝-n/mは有理数」と訂正。

これはひどい

e=1+2^(1/2).
e^2-2e-1=0.

>>537
要するにある２次無理数rにおいては(r^2,r,1)と直交する整数ベクトルがあるという事。その整数ベクトルを幾何学的に導ければeがそれに当てはまらないと言えるんだが。

>>536
>>537
>>538
>>534はお絵描きしたり証明したりせず、テキトーに書いたからな。
こうなったらいいねの話な訳で。くれぐれもマジメに読まないでほしい。

既に真面目に読んでしまった人がいるわけだが、その人たちに対して何か言うことは無いか？

すみませんでした。

幾何学的の「幾何学」がどういう「幾何学」を指すのかは分からないが、
>>533の初等幾何的な証明は少し難しいとは思う。

>>542
無理っぽい、、、。

>>543
じゃ、>>533は出来ない(解けない)で終了。
実質的にeやe^2が超越数になるというのに、
どうやって(初等)幾何学的に示すのかと思ってたんだよ。

>>544
そもそも内積取らなくても元のベクトルを延長したら格子点を通る訳だから、eが2次方程式の解ならe^2x+ey+z=0という一次直線が格子点を通るかという問題に還元される。

これは元の問題を直接解くのと何も変わらない。

ｱﾝｶｰもまともに貼れない池沼の集まり

≫　546
誰のことだ？

x^2-e^2=0

セイケイシキ？！

log(x)^2-1 = 0

What?!

ある3次元1次関数が格子点を通る事の必要条件と十分条件って何だろう？

3次元1次関数ｗ

test

x^2+2ex+e^ 2=0

test

te

ここでテストするな。ここは京大模試に採用された高尚なスレだぞ。

じゃあ本番

つーか、みんなで予備校関係者に釣られたんだよなｗ

誰が関係者だと？
>>1にはあのレベルの出題をする能力はない。

test

eの超越性を初等的に示す事はできないの？

社会学板でゼロの累乗実験進行中。

ｅの超越性の証明はどこかそこらへんの微積分学の本で読んだ記憶があるけど
初等数学の範囲だったと思うよ。

eが2次の代数的数であると仮定する
このとき
(√e)^2=e
これは仮定eが2次の代数的数であることに矛盾する
したがってeは超越数である☆

>>563
この論法が正しかったとすると代数的数2^2＝4に対しても
>4が2次の代数的数であると仮定する
>このとき
>(2)^2=4
>これは仮定4が2次の代数的数であることに矛盾する
>したがって4は超越数である
という論法が成り立たないといけないから間違いだわな。

質問が期待している答えは、

ｘが有理整数上の二次の無理数であるとすれば、
ｘの連分数展開は必ず循環する。
　
でもeの連分数展開は巡回しないから、二次の無理数になるのは無理ぽ。
そういう論法だろう。

>>565
>>12

少なくともスレ立てた本人はそういう論法を期待してないみたいだけど？？？

連分数が循環しない⇔超越数
って推測は可能だが証明無しで使っても良いの？

いいわけないだろ馬鹿

救いようがないな

いい加減な知識を入試とかで使う
　　↓
採点ではねられて落ちる
　　↓
「なんとかの定理を使ったら、バツにされるぞ」

あると思います。ロピタルとか、こんなの山ほどありそう

ステップ1 eの連分数展開が循環しない事を示す。


ステップ2 2次無理数の連分数展開が一般に循環する事を示す。


ステップ3 循環しない連分数の示す数が二次無理数出ない事を示す。


ステップ4 1で得られた形の循環しない連分数がeそのものだと示す。

これら全部説明してようやく正解か。

>>571
３行目、日本語でおｋ

>>567
>連分数が循環しない⇔超越数
これだけで、いろいろと夢広がりまくりんぐｗｗｗｗｗ

簡単な系として
･Q上の有限次拡大体はガロア拡大
･KをQ上の有限次拡大体とするとき、Gal(K/Q)はべき零、特に可解
･代数的数は作図可能

おいおいおいおいおいおい

運営乙

三次無理数も循環しないのか？四次無理数では？

循環しなくても代わりに別の法則があるのか？

連分数が循環しない⇔超越数
では無いみたいだけど
連分数が循環しない⇔二次無理数でない
は言えそう。

そもそも連分数の形から超越性を示す事ってできんの？

三次無理数の連分数について教えて下さいよぉ。

一次無理数⇔循環小数
二次無理数⇔循環連分数

また妙な単語作って
> 一次無理数

>>578
三次無理数⇔循環○○？

わかってないのに無理するからな

わかった。二次無理数は連分数で同じ整数が同じ順列で繰り返し。

三次無理数の場合2次の時のような正則ではないが連分数で有限の数の整数の組み合わせの繰り返しで表現される。


一方超越数を連分数にしたら登場する整数は循環しないだけでなく、無限種類の整数が現れる。

さすが狼おじさん、新作もすごいね

三次無理数も三次方程式も美しくない。神の発明は自然数、有理数と二次無理数まで。

この問題を数�Vの定期テストに出そうと思えばどう誘導すれば良いかな？

俺が思うのはどうしてこういう疑問が出てきたのか？ってことだ
数学はそういうのが多い

頭のいい奴はいろいろ疑問を持つんだな

三次無理数、四次無理数、n次無理数の連分数表現って一般化できるの？賢い人教えて

それができたらノーベル賞もの

三次だけでも無理なのか？