1=0.999......の色々な証明を考えるスレ

全員が納得できるような証明を考えましょう

またこの問題のスレがたったｗ　うんざり。

全員納得できる証明はありません。

おわり。

よくわからんが…

超準数学では云々派

数学哲学、直観主義、数学的構成主義　派

などなど、強烈な主義主張の人たちが数学の中にいて訳が分からん状態なんだっけ？

・中学生用
　 　 X = 0.99999...
　 10X = 9.99999...
10X-X = 9
　 　 X = 1

・高校生用
0.99999... = Σ[n=1,∞]9*(0.1^n) = 0.9/(1-0.1) = 1

>>4 終了

これでわからん奴はもっと勉強してから来い

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>>4
公比級数の和を求める際、高校レベルでは、
S=a+ra+r^2a+....r^(n-1)a
rS= ra+r^2a+...+r^(n-1)a+r^na
(1-r)S=(1-r^n)a
S=(1-r^n)a/(1-r)
と求めるから
x=0.9999...
10x=9.99....
とやることと本質的には同じ意味
これはどちらも0.9999....というのは、9が無限に続くのだから、それに手を加えることは果たして正しいのか、という疑問に対する答えにはならないのです
何かもっと決定的なものはないでしょうか

無い物ねだりしてもしかたないだろ。
違う数としても矛盾はないからな。

>>8
詳しくお願いします

そもそも普通の実数の定義等を破棄して、1と0.999…を違う数と仮定しても何の矛盾もないだろ。
それだけだ。だから、証明も何もないよ…

>>7とかは普通の実数の定義からもたらされるところの計算だろ？
それができないとするなら、違う数としても何の問題もないよ。

>>10
なるほど
実数を認めるなら1=0.999....
認めないならば1≠0.999.....
そこに矛盾はないのですね
ならば実数を認めないとするときの0.999...というものは、どういう意味を持つのでしょうか？

特に意味はないんじゃないの？
使いにくいしね。

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ヤクザやなりすましを使い成人式を荒らしているのは
広告代理店やテレビ局の自作自演です。

反原発デモでチンドンや太鼓を鳴らし、ソントを行っている在日
街宣車に乗り、騒音を撒く朝鮮人

構図は全て同じです
http://mamorenihon.files.wordpress.com/2011/10/zainichi_seijinshiki_1.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-1_jEcAWVs1s/Tm4X2mLBhhI/AAAAAAAABok/MObw2nzMyoI/s1600/IMG_9062-714071.jpg
http://wave.ap.teacup.com/renaissancejapan/timg/middle_1228711905.jpg

ソント(声闘)・・朝鮮人は、声や音が大きければ、主張が通る、どんな凶悪犯罪でも無罪になると思い込む。
だから朝鮮人は大音量で街宣車を走らせる。
原発サウンドデモ＝ソント

在日(もちろんテレビや新聞は通名で報道)が凶悪犯罪を起こしたとき、人権派()弁護士が異様に沢山付くのも
弁護士が多ければ=声が大きければ、無罪になると思い込んでいるから。

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>>7
ε-δでおｋ

朝鮮人犯罪があまり報道されない、そしてテレビが日常的に嘘を吐く理由。（間借りしているだけなどと言う工作員に注意）
（間借りしているだけだ等と言う社員と工作員には注意）

韓国文化放送(MBC)　〒135-0091　東京都港区台場2-4-8 18F
フジテレビジョン　、、　〒137-8088　東京都港区台場2-4-8　

韓国聯合TVNEWS(YTN)　〒105-0000　東京都港区赤坂5-3-6
TBSテレビ　　　　　、 、、 .〒107-8006　東京都港区赤坂5-3-6　

大韓毎日　　 、、、、、、、、、、、、 〒108-0075　東京都港区港南2-3-13 4F
東京新聞(中日新聞社東京本社)　〒108-8010　東京都港区港南2-3-13

京郷新聞 　、、、、、、〒100-0004　東京都千代田区大手町1-7-2
産経新聞東京本社　 〒100-8077　東京都千代田区大手町1-7-2
(ｻﾝｹｲｽﾎﾟｰﾂ、夕刊ﾌｼﾞ、日本工業新聞社)

朝鮮日報　 　、、、 　〒100-0003　東京都千代田区一ツ橋1-1 4F
毎日新聞東京本社　〒100-8051　東京都千代田区一ツ橋1-1-1

日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C　

>>4
中学生用で追加

1/3＝0.3333333・・・・・・

両辺を3倍して
　1＝0.999999・・・・・

大学生用？
　0.99999・・・・　に、どんなに小さな数εを加えても 1 を超えるので、
1＝0.999999・・・・・　

0.333… は 1/3= で出て来ますが
0.999… は実際どんな式から出て来るんですか？出来るだけ身近なのだと

>>19
出て来るとは？

9/9の筆算で最初0にしたら？

なんで9やねん………orz
1/1でいい

>>19
16進数の　０．FFFFFFFF・・・　を10進数に変換したとき、

あるいは、見た目が違うだけだけど　2進数の　０．11111111・・・・　を

10進数に変換したとき等じゃないか。

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p-進厨はまだ現れんのか

>>7
マジレスすると、x=0.999…を十倍してやる方法は
10*0.999……
を「具体的に」計算してるから駄目というだけで、この表記そのものは何ら問題ではないよ
だから無限級数では完全な証明になってる（もちろん無限級数が収束するかどうかはεδに依る）

コレは一体どういう意味なんですかね？
★★★『阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ』★★★
何だか蔑みの様にも、また見下しの様にも見えませんかね。日本の学歴
階層構造というのか、或いは理学部が他所を見下してるのか、極めて不
思議な価値観を醸し出してますわナ。コレをもし：
★★★『日本人如き（のサル）でも数学者になれたんだろ』★★★
な〜んてどっかの国の誰かが言ったら怒るんですかね、ソレとも褒め言
葉なんで嬉しがるべきなんですかね？

ケケケ狢

>785 ：１３２人目の素数さん：2013/02/02(土) 16:27:31.55
> >>782
> 極端な平等主義？
>
> あほか。
> だから阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ。
>
> 東大、京大って言ったって、
> 高校数学の学力試験を勝ち抜いたくらいで大きい顔をされてもね。
> （しかも、数学では差がつかずに、他の古文、漢文、日本史、世界史などの
> 教科で得点に差がついただけ）
>
> 結集する意味なし。
> 別にカリキュラムに沿ってお勉強してるんじゃあるまいし。
> 天才はどこでも育つ。個人の問題だから。
>
> 余裕のあるところで、自分で好き勝手なことをやってればいい。
> 特にこれからの時代、既存の難問を解いてるだけの数学者よりも
> 問題を見つけ出す数学者が必要とされる。
> 秀才型数学者は黙ってろ、って。
>

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テスト勉強にかねてうp

http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3933290.jpg.html

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Y=3.87/4.83
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>>10
0.999…の意味について、定義は不要だよ派 ってのはいないの？

それは、わざわざ定義を宣言するまでもなく「0.999…」という表現が、唯一の意味なり用法なりを持っている
と言いたいのだろうか？

そう、言語レベルでの実無限派。
現に目前に構成できているものにわざわざ定義を与える必要はないって立場。

そうか
でも数学では通用しないよ

まあコミュニケーションが成立しづらいだろうね

言語レベルでの実無限っていうのは、無限長のtermとかformulaがあるということ。
0.999…を実際に書き下せるので別に定義を与える必要が感じられない。
可能か不可能かは物理的な制約である。

>>38自体にもツッコミどころはあるが無視するとして…
で、「0.999…」は数学の文脈においてどう振る舞うのか
何もかも初めから定まってるんだっけ？

>>39
ほんとに実無限だと0.999…なんかは個物として扱われるから、右の0.999…と左の0.999…は別物
ということになり、属性の違いがあることも認められるのではないか。

別に0.999…に限らずあらゆる小数がバラバラになりそうだな

0.99999...がある整数を表すとしたらそれは何か？　→1
同様に、0.99999...がある実数を表すとしたらそれは1である。

もうこれでいいような気がしてきた。

無限桁あるんだ、有限桁で止めるな、ってうるさい。
じゃ無限項足せばいいんだろ。

各桁 9/10^n を 区間[0, 9/10^n] で代用したら ∪[0, 9/10^n] = [0, 1) だ。
これで極限とかじゃなく本当に無限項足したことになるな。

結果は [0, 1) ≠ [0, 1] となったが次にどんな妄想をすればいい？

１． 0.99999...は1に限りなく近いが異なる数
２．[0, 1) と [0, 1] は同値ってことにしろ

計算間違えてるから意味不明だけど？

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>>40
自然数論
0.999…=0.999…;…999…
0.999…=0.999…;…000…

超準解析
0.999…=0.999…;…999…
0.999…≠0.999…;…000…

結論
自慰

自然数論というのは「数についての自然な理論」の意味ではありませんよ

>>43,44
∪[0, 9/10^n] = [0, 1) じゃなくて ∪[0, １-1/10^n] = [0, 1) と言いたいんだろ

９÷９の２通りの筆算の仕方

　　　１
　　＿＿
　９）９
　　　９
　　　─
　　　０


　　　０．９９９…
　　＿＿＿＿
　９）９
　　　８１
　　　──
　　　　９
　　　　８１
　　　　───
　　　　　９
　　　　　８１
　　　　　───
　　　　　　９

∴１＝０．９９９…

上と下の筆算の結果が一致するのは何故でしょうね

同じ式の計算をしてるからね

同じ式を計算すれば方法に依らず結果が一致することの証明は必要だよ

√(-1)×√(-1)≠√[(-1)(-1)] だから、複素数では分数指数の指数法則は成り立たない

そういや筆算の正当性（特に商が無限小数になるとき）ってどうやって証明するんだろう
考えたことなかったや

無限級数とイプシロンデルタの合わせ技だろ。面倒だし特に利益ないからなー

もし「上限」という用語がなくて「最大値」で兼用していたら混乱の元になるよね。
集合{0.9, 0.99, 0.999, ・・・} の最大値は1である。1に等しい要素はないが、任意の正数εに対して・・・
なんて「最大値」を再定義しながら無限集合にも適用し、状況に応じて区別すんの。

「和」にも上限と同じような用語があればよかったんじゃない？

最大値の定義はもともと有限とか無限とか区別してない。
無限集合では最大値が存在しない場合があるってだけ。
和は2項演算だからな。本来の定義自体は無限なんて適用外。

0.999...=αとおく。
両辺を10倍し9を引くと、
9.999...-9=10α-9
が得られるが、左辺=αであるから、
α=10α-9
となる。これを解けば、α=1、すなわち、0.999...=1であることがわかる。■

それで納得する層っているんだっけ？

いるよｗ

各レベルで色々な話ができる問題だからな。最終的には超準解析まで行くのか？

それで皆が納得するならこのスレ不要

まずは実数の10進数表示の方法・意味について再確認しなきゃな

0.999...と表記してある数に対し加減乗除の演算をしてよいのかどうか
これをはっきりしないと証明方法が決まらない

0.999...は実数ではないのかい？
実数は体だから四則演算が定義されているが

∽は加減乗除に使えるの？

使えない。実数じゃないからな。

> ∽
実数じゃない以前に…

　テメ〜ら、いいかげんにしねえと、ブッ殺すぞ！

　無職の、知的障害の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>4
これすげーな

>>68

だから、10倍していいのか？

実数を10倍したらダメと？

>>69
10倍するのはいいだろ。
桁ごとの操作がOKかはまた別。

0.999...は無限桁だから、10倍しても1/10倍してもやはり無限桁
おわかりか？

哲厨って「無限である」ことに妙にこだわって、数学的な定義には無頓着だね。

>>72
数学なんだからさ、そんなざっくりした説明やめろよ。
「無限桁だから」じゃ哲厨の言い分と変わらん。

>>74
では無限桁小数を１０倍したら有限桁になる理屈を教えてくれ

有限桁になるわけねーだろｗ

>>75
10倍すると、数字の並びはそのままで小数点が一つずれる。
無限小数が無限級数を用いて定義されていることを知らずして、どうして上の事実を認めるのか。

・>>4や>>57の説明が証明だと納得している
・近似値だと思って納得している
・無限に近いものはその数と同じだと「みなす」んだと思って納得している

これらは別に悪いわけじゃないけど、「数学の基本はいい加減なものである」というデマのいいエサになっている。

んなわけねーだろ
中世じゃあるまいし

中世に生きている人もいるんです。
第一印象にこだわる事と直観を大切にすることを区別できない人もいるんです。
無限を理念的にとらえて尾ひれをつけていく人もいるんです。

×　無限に近いものはその数と同じだと「みなす」んだと思って納得している
○　無限に近づくものはその数と同じだと「みなす」んだと思って納得している

数列の形で考えましょう。

0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　→　1

左辺と右辺がありますね。

左辺：　無限数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　}
右辺：　極限値
式全体：　数列が限りなく１に近づくことを示す命題
　　　　　　（この場合1に到達はしない）

そして、0.999...　は、　右　辺　を　表　す　記　号　です。
これが定義です。
なにか曖昧なところがありますか？
（ε-N論法に翻訳するのは好きにやってください）

なお注意点として、
１は数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　}に属しません。
当然0.999...も数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　}に属しません。

でも1=0.999...で問題ありません。
0.999...　は、　右　辺　を　表　す　記　号　だからです。

>>43
お前は何かを勘違いしている。
この2つを見れば勘違いに気づくかもしれない↓

(1) ∪[n∈N] [0, 1−1/10^n) ≠ [0, 0.999…].
(2) ∪[n∈N] [0, 1−1/10^n) ＝ [0, 0.999…).

この(1)(2)は正しい式である。仮に 0.999…≠1 であろうとも、
(1)(2)は成立するところがポイントである(あまり変な体系にしなければ成立する)。

私に言わせれば、定義定義と五月蠅く言っている人達のほうこそ思考停止しているのではないか。
数学にも無定義語というものがあるだろう。直線や点など、性質を述べることはできても定義はしない対象だ。
0.99999・・・も既にそこにあるものであり、わざわざ定義などにこだわる意味があるのか。
意図的に議論の進行を妨げているのでなければ、そろそろその先へ進むべきであろう。

>>83　(1)(2)は成立するところがポイントである(あまり変な体系にしなければ成立する)。

「仮に 0.999…≠1 であろうとも、」って0.999…が何であるか定義せずにどう考えろってんだ？

無定義語というのは、その(形式的な)運用規則が定められているから意義があるんだよ。
運用規則がなければ単なる一つの無意味な記号に過ぎず、
単なる記号から何事かを導こうとするのは神秘主義的と言わざるを得ない。

微分形式が生まれた経緯が反論になると思うかもしれないが、あれは積分の諸性質からの類推なので事情が違う。

有限小数からの類推で無限小数の計算規則を推測するのもアリだが、0.999…が1と等しいかどうか考察する役には立つまい。
結局、何らかの位相的な議論を要するように思える。

>>84
お前は0.999...に定義が不要だっていうのか。
深く正しく考えれば自ずと答えが出るとでも思っているのか？
残念ながらそうではない。
結局どこかで定義が必要になる。


「0.999...は数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　} に属しません」
っていうのは理解しているか？
いったん1=0.999...を忘れて、0.999...を「0.のあとに9が無限に並んだモノ」として考えてもそうなるんだぞ。
{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　} をいくら眺めていても0.999...は捜し出せない。

>>86
>結局、何らかの位相的な議論を要するように思える。

位相や大小関係の定められていない抽象的な代数体系じゃ定義できないからね。
それに加えて、収束することも必要条件になってくるから、
「単なる記号から何事かを導こうとするのは神秘主義的と言わざるを得ない。」
というのは至言だ。

{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　}
={(10-1)/10,(10^2-1)/10^2,・・・,(10^n-1)/10^n,・・・}
この無限数列の極限値を考えれば、0.999...=lim[n→∞](10^n-1)/10^n=1

実数全体の集合Rは、有理数列の極限値全体の集合であり、このようなRの構成法を完備化と言う。

>>78
一見、納得してしまうけど、
0.00...1がどこかに消えたようでスッキリしない…

>>74
可算濃度×N＝可算濃度
でいんじゃね？

>>90
0.00...1 と最後に 1 を想定してしまうとスッキリしないのは当たり前だよ
有限だという気持ちがどこかにあるから

>>92
「無限に続いているので最後の桁はない」って説明する人がよくいる。
それだと、一般に無限集合は最後の要素を持たない、という誤まった理解に繋がりそうで気になってしまう。

>>90
0.999...と9が無限桁並んだその先の桁まで考えているの？

0.999...0
0.999...1
0.999...2
・・・
0.999...8
0.999...9

これらのものを考えることも可能だが、結論から言って 0.999... までしか考えない。
実数を作るためにそこまでの「精度」は必要ないから。

>>93
「無限集合の最後の要素」って何？

>>94
じゃ0.000...1〜0.000...9の差があるんだから厳密には違うんだろ？

>>95
Nを自然数全体の集合とする。これの最後になにか一つ付け加えればいい。

N = {0, ,1, 2 ,3, ・・・}
N+1 = {0, ,1, 2 ,3, ・・・, N}
とすればいいだろ。

Nには最後の要素はない。
N+1には最後の要素はあるけど、最後の一つ前の要素はない。

>>87
> 0.999...は数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　} に属しません

じゃあ含めちゃえばいいじゃん。

{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・ , 0.999..., 0.999...1, 0.999...2, 0.999...3, ・・・, 0.999...9　} → 1

0.999...は左辺に含まれてる。だから右辺の1に等しくならない。
はい論破ｗ

今時「はい論破」なんて恥ずかしい言い方する人間残ってたのか

>>98
肯定するにせよ、反論するにせよ、最低限、「数列」「無限級数」「収束」の正確な定義を踏まえていないと他の人の話についていけないよ。

動いてない物体が点１に存在する、あるいは、
動いている物体が点１に存在することは同じかどうかということだろ。つまり
時間という概念が無ければ収束という概念も存在しない
いわば二つの軸を交差する振り子のようなものではないのか。

>>46-47
そもそも自然数論に於いては
;
以降の桁の概念自体が無いのでその領域での差も講じられず、無い扱いになる｡

既存の理論では証明はできないなら理論を作るのが筋だろ。
無限最小単位ｘを定義し
1=0.9999999999...+xとするわけだよ。
すなわちこの公理系の上で理論を組み立てて行けば良い。

0.999…≠1とする体系は順序性が完備ではなくなるので順序性が約束される実数にはなり得ない｡

当然、0.999…≠1ならば0.999…≠0.999…^2

>>101
全然的外れ

基準の点1があってそこから連続的に動いて点0にいくには１から０の点全てを通ったってことだけど、
もしかりに0.999999999...=１とすると１から始めにつく点は0.999999...ではなく別の点Xにつくということになるけど
Xは0.yzabcde...........の形式でかくことはできなくて、
すなわち実数の概念だけでは始めに到達した点を表現でき無いんだよな。

ところで
「0.999...」って、現実的にはどんな場面で使われるのでしょうか？
微分とか積分とか虚数とか、社会に出て実際に使った事が無いけれど、仕事によっては当然のように使うんですよね。
あ、だからって別に、「使わないから議論しなくて良い」って事にはならないとは思ってます。

>>107
対角線理論との合わせ技で、実数と自然数の濃度（個数みたいなモン）が断然違うってのの証明とかに使う。

哲学入っている人は、対角線論法をも攻撃してくるからやっかい。

0.999...は必要に応じて1に近づけばいい
1未満でどんなに1に近い数字を連れて来てもそれより1に近い数が0.999...
結局0.999...と1の差を認識できないから0.999...＝1

俺が思うに1っていうのは１つの数じゃ無いんだよ
１が１つと思っている人が思う１を１’と表すと
1'の周りにあって実数では区別できない実数ではないが確かに存在する数の
集合が１なんだと思う。
すなわち実数の1'というのは1の中にあるひとつの数にすぎないんだよな。

対角線論法への批判というと、はじめに無限個の小数を並べる段階で実無限を前提にしていることに対して、かな。
ただまあ可能無限の立場のまま、そもそも無限にも種類があるかどうかと問えるのだろうか？

>>100
「じゃあ含めちゃえばいいじゃん。」という単純で強いアイデアに対して
お前の返し方はあまりに的外れでナイーブだ。

含めたものは何を意味するのか。
その問題を無視して何か新しい概念が生まれたと錯覚する方がよっぽどナイーブだと思う。

>>85
＞「仮に 0.999…≠1 であろうとも、」って0.999…が何であるか定義せずにどう考えろってんだ？
「あまり変な体系にしなければ」って言ってるだろ？察しろよｗ
少なくとも、元々の >43 が考えているような "素朴な" 実数の感覚の上では
(1),(2)ともに成り立っていると思うぞ。まあ>43本人に聞いてみないと分からんけどな。

例えば次のようにして証明する。

(1) 左辺の集合には最大値が無い。右辺の集合は有界閉区間であるから最大値が存在する。
よって、両者の集合はイコールでない。よって(1)は成立する。

(2) まずは(左辺)⊂(右辺)を示す。x∈(左辺)を任意に取る。あるn∈Nが存在して
x∈[0,1−1/10^n)が成り立つ。このとき x＜0.99…99 (9がn個) が成り立つから、
これと 0.99…99＜0.999… から、x＜0.999…が成り立つ。よってx∈(右辺)が成り立つ。
以上より、(左辺)⊂(右辺)が成り立つ。次に、(右辺)⊂(左辺)を示す。x∈(右辺)を
任意に取る。xを無限小数展開して x＝0.x1x2x3… と表す。任意のi∈N に対してx_i＝9ならば、
x＝0.999… となってx∈(右辺)に矛盾するので、あるi∈N に対してx_i≦8である。このとき
x＜0.99…99 (9がi＋1個)が成り立つことが分かる。よってx∈[0,1−1/10^{i＋1}) となるので、
x∈(左辺)となる。以上より、(右辺)⊂(左辺)が成り立つ。以上より、(2)が成り立つ。


なお、上記の証明のうち、(2)の後半部分については、「xの無限小数展開は必ずしも存在しない」
などといった "変な体系" の上で考える場合は通用しない。この場合、(2)について証明できたことは

∪[n∈N] [0, 1−1/10^n) ⊂ [0, 0.999…)　……　(*)

のみとなってしまうが、>>43の勘違いを指摘する分には、
この(*)で十分であり、問題にはならない。

>>113
>　含めたものは何を意味するのか。
知るかよ！
ただの列だよ！
それぞれの要素は文字{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}を最長N+Nの長さに並べただけだよ。

でも
{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・ , 0.999..., 0.999...1, 0.999...2, 0.999...3, ・・・　}
って列が生まれたのは事実じゃんか。
この中では0.999...は終着点ではなく単なる途中の値だ。

>>96
横レスだが、「どの桁も9である数」のことを 0.999… と書くのだよ。
"9が無限に並んでいる" などといった表現はしない。
"どの桁も9" という数、それが0.999…という数なんだ。たとえば、

0.999…9

という数は0.999…ではない。なぜなら、0.999…9 は途中で9が途切れており、
「どの桁も9」という条件を満たさないからだ。

もし0.999…9 という数を考えるなら、これは君の言うとおり 1 ではない。
なぜなら、1−0.999…9 ＝0.000…1であり、確かに0にならないからだ。
しかし、0.999…9 と0.999…は別物であるから、0.999…9 の話を
いくら繰り返したところで、0.999…については何も言えていない。

では、0.999…の話をしたらどうなるか。つまり、「どの桁も9」という数の
話をしたらどうなるか。すると、

1−0.999…＝0.000…　　――― (1)

が成り立つ。ここで、右辺の「0.000…」は、「どの桁も0である数」だ。
なぜか？ある桁が0でないならば、――たとえば、その桁が1であり、
0.000…1 という数になっているならば、

1−0.999…＝0.000…1

ということになるから、左辺の0.999…は実は 0.999…9 だということになり、
「どの桁も9」という条件が満たされず矛盾する。
だから、(1)の右辺は「どの桁も0である数」でなければならない。

あとは、「どの桁も0である数」を0とするか否かに全てが掛かっている。
もし0とするならば、つまり 0.000… ＝ 0 とするならば、晴れて

0.999…＝1

となる。0としないならば、つまり0.000…≠0とするならば、

0.999…≠1

が成り立つ。しかし、この場合、(0.000…)/2 の無限小数展開が
存在しなくなってしまう。なぜなら、もし無限小数展開するならば、素朴には

(0.000…)/2 ＝ (どの桁も0である数)＝0.000…

とするしかなくなってしまう。x＝0.000… と置けば、x/2＝x ということだから、
x＝0となり、すなわち0.000…＝0 となり、0.000…≠0となって矛盾する。
だから、0.000…≠0とするならば、

「無限小数展開できない実数が出てくる」

ことを認めなければならない。そういう "変な体系" を使いたいならば、
好きにすればいい。確かにその体系では、0.999…≠1 が成り立つだろう。

>>114

>>43はただ単に
∪[n∈N] [0, 1−1/10^n] ≠ [0, 1] となって1がぎりぎり含まれないのに
0.999... = 1 となるのは不思議だなあ、って言いたいだけだと思う。

訂正。

誤：x＝0となり、すなわち0.000…＝0 となり、0.000…≠0となって矛盾する。
正：x＝0となり、すなわち0.000…＝0 となり、0.000…≠0という仮定に矛盾する。

>>118
そうは思わない。>43 はきっと、0.999…≠1派である。
で、∪[n∈N] [0, 1−1/10^n] ≠ [0, 1]の例を持ち出して、
0.999…＝1派を皮肉ったつもりになっているのだ。
それが >43 なのだ(たぶん)。

しかし、それは皮肉になってないのだ。
なぜなら、「1」を「0.999…」に差し替えた式(>83 の(1)(2))もまた
成立するからだ(変な体系にしなければ)。

>>116

お前>>96がレスしてる元の>>94を読んでないだろ？
0.999…9じゃなくて0.999...9だぞ。有限桁じゃない。

>>121
「どの桁も9である数」とはすなわち、本当に「どの桁も9である数」なのであり、
考えている桁が有限桁目なのか無限桁目なのかを問わない。

仮に無限桁目というものを増設して、そういう桁まで考えるのであれば、
そのような無限桁目の全てが、やはり9で埋まって無くてはならない。
そのような数のことを「どの桁も9である数」と表現している。

そして、このような解釈のもと、>>116はちゃんと理屈が通っている。

>>121
たとえば、無限桁目が増設された数として、超準解析を考える。
超準解析では、超実数の無限小数展開が厳密に

0.999…；…999…

のように表される。「；」の左側は有限桁目を現し、右側は無限桁目を現す。
このように、無限桁目が増設された体系(しかもトンデモでは無い体系)は
確かに存在する。

この超準解析において、「どの桁も9である数」とはどういう数か？
それは、有限桁目も、無限桁目も、本当に全ての桁が9である数のことを
指すのだ。つまり、

0.999…；…999…

という数が「どの桁も9である数」になるのだ。

0.999…；…9　―――(1)

という数は「どの桁も9である数」にはならないのだ。(1)のような数は、
確かに無限個の9が並んでいるが、しかし「どの桁も9である数」では無いのだ。
なぜなら、途中で9が途切れているからだ。考えている桁が有限桁か無限桁かは
問題ではないのだ。

最後に、この超準解析において、「どの桁も9である数」すなわち
0.999…；…999… は1に等しいのか？あるいは、1では無いのか。実は
0.999…；…999… ＝ 1 が成り立つのだ。結局、超準解析でも、
「どの桁も9である数」は1なのだ。

>>108
どうもありがとう！

お前>>116では
> "どの桁も9" という数、それが0.999…という数なんだ。たとえば、
と言い、
>>123では
> 0.999…；…999…　という数が「どの桁も9である数」になるのだ。
と言ってるぞ。

その考え方なら0.999…は0.999…；…000…のことだと考えるのが自然だろ？

>>125
「任意の」という記号をご存知かね。「∀」という記号だ。
この∀がどこまでの範囲をカバーしているのかは、最初に用意した
体系ごとに異なるだろ？たとえば、自然数の集合Nに対して、

∀x∈N P(x)

という形の命題を考えると、このときの∀は、N全体をカバーする。
すなわち、可算無限個の元しかカバーしない。一方で、実数体Rに対して

∀x∈R P(x)

という形の命題を考えると、このときの∀は、R全体をカバーする。
すなわち、今度は"実無限" 個の元をカバーする。お前の論法によれば、
こっちも可算無限個しかカバーできないように出来てないとおかしいことになる。

同じように、「どの桁も9」と書いたときの「どの桁も」という言明が
実際にどの桁までカバーするのかは、最初に用意した桁の範囲によって
可変であり、「有限桁目」という通常の桁しか用意してないならば、
その桁全体をカバーするし、超準解析のように無限桁目まで増設されているのならば、
それらの桁も全てカバーする。

>>125
＞その考え方なら0.999…は0.999…；…000…のことだと考えるのが自然だろ？
超準解析において、

0.999…；…000…

などという数は存在しない。

wikiで「0.999…」の項目を見てみよう。
0.333…；…000 の例が書いてあるぞ。

>>126
「どの桁も9」と書いたときのことはそれでいいよ。

0.999…は0.999…；…000…のことだと考えるのが自然だろ、と言ってるだけだ。

あと俺は超準解析に言及しているつもりは全然ない。

もともとの>>94を見てくれ。無限桁目はひと桁しかないｗ
そもそもが>>90に対する反論だってことも忘れないでくれよ。

>>128
0.999…；…000…などという数は、自然でも何でもないし、
それどころか存在もしないんだ。

0.999…；…000… それ自体の存在性を議論するのは難しいので、
簡単な例を出そう。0.999…；…000… などという数を考えるのならば、

x＝0.000…；…999

という数だって考えてもいいだろう。ここで、xはどんな数かというと、
「有限桁目は全て0」「無限桁目は途中まで9」という数だ。次に、

y＝0.000…；…001

という数を考えよう。これは、
「有限桁目は全て0」「無限桁目は途中まで0で、1が1つだけあり、そこで止まっている」
「xとyの最後の桁は一致している」という数だとしよう。このとき、

x＋y＝0.000…；…000

となり、右辺はどの桁も0になってしまい、x＋y＝0 となっておかしなことになる。
なぜ右辺が0.000…；…000になるかというと、少なくとも無限桁目については、
繰り上がりが起こってどの桁も0になる。じゃあ有限桁目はどうかというと、
どんな自然数iを取って「i桁目」に注目しても、その桁は明らかに0のままだろう。
従って、右辺が0.000…；…000 (＝0)になってしまう。

このように、無限桁目まで用意したときは、全ての無限小数表記をそのまま
採用することが出来ず、いくつかの表記は「対応する超実数が存在しない」
として捨てなければならないんだ。

>>129
無限桁目が1桁しかない場合は、たとえば (0.000…1)/2 に対応する
無限小数展開が存在しなくなる。なぜなら、素朴には

(0.000…1)/2 ＝ 0.000…05

となってしまい、1桁しかないはずの無限桁目がもう1桁必要になってしまうからだ。
従って、このような体系では、無限小数展開できない実数が存在することを
認めなければならない。

で、>117の最後で述べたように、そういう変な体系では0.999…≠1であっても構わない。

S_n=(9/10)･(1+1/10+(1/10)^2+...+(1/10)^(n-1))
=1-(1/10)^n

S_n(n->∞)が1と等しいことを厳密に証明する
（以下、Nは、自然数全体の集合（ただし0含まず）、ε∈R(実数全体の集合））
証明:
アルキメデスの公理より
∀ε＞０, ∃n_0∈N
n_0･ε>1

∀n∈N, ∀n≧n_0で
n･ε>1

一般に2項定理より∀n∈N, n≧1で
2^n=(1+1)^n≧1+n
よって
10^n>2^n≧1+n>n
つまり、一般に∀n≧1で
1/n>(1/10)^n

従って
∀ε＞０, ∃n_0∈N, ∀n∈N
n≧n_0ならば|S_n-1|<ε
証明終わり

蛇足：
S_nと1に「差」がある(S_n-1≠0)と仮定すると、
∃ε>0, ∀n_0∈N, ∃n∈N
n≧n_0かつ|S_n-1|≧ε

これはアルキメデスの公理に反するということ

>>4これの中学生用とやらは全桁の一斉演算をしており
知らぬうちに選択公理を使っていると考えられまずい

高校生用は厳密さを欠く

>>130
> 0.999…；…000… それ自体の存在性を議論するのは難しいので、

とても興味深いな。
超準解析なんてキースラーを積読してるだけなんでさっぱりわからんが。

>>130
ちょっと教えてください。
x＝0.000…；…999　という表記について、；の前半と後半それぞれをどう読めばいいのかを。
；の前半は通常の小数と同じように左端が基点で、；の後半は自然数の10進表記と同じく右端が基点ということでOK？

それと、
> 「xとyの最後の桁は一致している」という数だとしよう。
の意味がわかりません。

>>129
変な種を撒いてすまんかった。

んー、過去レスで分かりやすかったのが、
3分の1=0.333...
両辺に3を掛けて
1=0.999...
コレが一番簡単明瞭な気がしたけど、コレも不正解なのかな？

>>135
＞；の前半は通常の小数と同じように左端が基点で、；の後半は自然数の10進表記と同じく右端が基点ということでOK？
そうでは無い。
超準解積における無限小展開とは、超自然数で添字づけられた数字の列のことである。
0.999…のwikiの項目に書いてある。

ということで、「；」の後半には基点が無いｗｗそれでも敢えて

x＝0.x1x2x3…；…x_αx_βx_γ…

などと書くならば、「；」の後半部分の添え字だけ抜き出した
「……, α, β, γ, ……」という列における各元は、
どれも無限大超自然数ということになる。
どのαが出発点なのか、などという基準は無い。

>>135
＞> 「xとyの最後の桁は一致している」という数だとしよう。
＞の意味がわかりません。

>130のx,yを丁寧に書くと、次のようになる。
まず、無限大超自然数λ_0を1つ取って固定する。
x,yは超自然数で添え字づけられた数列であり、その定義は

x_i＝9 (iはλ_0以下の超自然数), 0 (iはλ_0より大きい超自然数),
y_i＝0 (iはλ_0 "以外" の超自然数), 1 (i＝λ_0)

とする。このように定義したx,yを、超準解析における無限小数展開だと見なす(これが>130のx,y)。
……そして、このとき>130のような おかしなことが起きるので、x,yのうち少なくとも一方は、
実際には無限小数展開として採用できないことになる。

このような現象は、無限桁目を用意する限りどんな体系でも起こる "素朴な現象" であり、
たとえば「無限桁目が1つしかない体系」でも起きる。実際、

x＝0.000…9 (有限桁目は全て0, 1つしか無い無限桁目は9)
y＝0.000…1 (有限桁目は全て0, 1つしか無い無限桁目は1)

と置けばよい。このとき、x＋y＝0.000…0 となってしまい、
やっぱりおかしなことになっている。

間に別の数がない２つの数が別であるはずがない
以上。

>>139
整数のことも思い出してやってください。

・・・・・９９９９９９みたいな前のほうに無限に並ぶパターンは？
これに１たすと０になるから、・・・・９９９９９＝−１である。

だとすると両側に伸びる
・・・・・９９９９９９．９９９９９９・・・・・・
はー１＋１で０になるな

　　 ............123123.123123............
＋　............999999.999999............
------------------------
　 　............123123.123123.............

>>129
おいおい…物の見事に「無限桁目の余りバカ」だな

>>141-142
自力でp-進数を着想するとは

素数じゃねえし

p-進数は Wikipediaにも記述が増えて分かりやすくなったなｗ

特殊なコトを言う人はきちんと整理して説明できるようにしなきゃあかんｗｗｗ

>>144
無限桁目の余りバカってオリジナルはどんなの？

>>137
> 超準解積における無限小展開とは、超自然数で添字づけられた数字の列のことである。

なんか難しいな。
単にN+Nで添え字づけられた数字の列で考えられないかな。
1 = 0.999・・・；999・・・
1 ≠ 0.999・・・；000・・・
となりそうだけど。
足し算の繰上げ時に；を越えるのがムリそうだからダメか。

数列を２つペアにしただけでなんかいいもの出てくるわけなかったわ

x=0.999… 10x=9.999…
10x-x=9.999…-0.999…⇔9x=9⇔x=1

0.99999…=Σ[n=1,∞](9*0.1^n)=0.9/(1-0.1)=1

>>148
0.99999…=Σ[n=1,∞](9*0.1^n)=lim[n→∞](1-0.1^n)
「極限値と真の値は別」「無限桁目の余りが残る」と主張して0.999…≠1を主張する者｡

0.999...＝1に疑問を感じている人は
微分や積分についてもなんだか変だなと感じているのかな

>>151
それだと>>141は説明できないな
…999999=Σ[n=0,∞](9*10^n)=∞≠-1

>>151
「無限桁目の余りが残る」って0.999…のあとに「無限桁目」があるっていう主張だよね？
その場合0.999…は0.999…0になるってことなのかな？
それとも0.999…9？

この時点で９９９．．．じゃなくなってるし

>>155
どゆ意味？

0.999…0とか0.999…9が有限桁に見えたんじゃね？

x=0.999999......(9ばかりが並ぶ)......に「無限桁目」があったとしても
∞＋１＝∞なのだから、１０倍したときに桁が１つずれるとか言うのはおかしい。


(9)=無限桁目
10x=9.999999......(9)
　x=0.999999...... (9)

>>158
Nを自然数全体としたとき、N+1個の文字列を考えると0.999...(9)はこうなる。

0桁目 -> 0.
1桁目 -> 9
2桁目 -> 9
　・・・
N桁目 -> 9

10倍したとき各桁が１つづつ繰り上がると形式的に決めようとしても、N桁目の9の行き場がない。
「∞＋１＝∞なのだから」というより、「N-1が存在しないから」このような演算が定義できない。

今、みんなで1＝0.999...の証明をしているが
1≠0.999...の証明ってどんなのがあるの？
もちろん１行目が正しければ２行目の証明は不完全なものになるだろうが
それでも証明っぽいものはありそうだ
知っている人がいれば書いてください

>>160
1≠0.999...の方は証明っていうよりどう定義すればいいかって問題。

>>116,117,159 あたりを参考に考えてみると、1≠0.999...とするには、

１．無限小数展開できない数がある
２．いかなる数も表さない無限小数がある
３．最小の正の数がある

のどれかを認めなくちゃならなくなりそうだ。
それらを不自然として却下するなら、無限小を導入する数学でも1=0.999...となるんだろうな。
・・・多分

>>162
> ２．いかなる数も表さない無限小数がある

については、通常の実数でも「・・・999999.0」（小数点より上が無限桁の数）はもちろん存在しないから、
小さいほうの領域での話ね。

十進小数展開においてひとつの値を2通りで表せるのは十進記法の公理みたいなものだろ
1+1=2の証明と同じようなもので十進法の定義から始めなきゃいけないな

公理つーか、定理ね。

定理なら証明しなきゃいかんか
ラッセルは 1+1=2 の証明にウン百ページかけてるんだっけ
これもきちんと議論したら同じくらいかかるんじゃね
よくある 10x - x = 9.99･･･ - 0.99･･･ 論法は
無限小の積算と減算の定義からやらんといかんだろうし
そもそも拡張実数の四則演算って拡張実数で閉じてるの？っていう

>>162
0.999…≠1とするならば例えば
√2が=1.414…とも書けなくなり
≒を近似ではなく無限近似の意味に使い≒1.414…として
無限近似誤差なる概念を導入しなければならない｡

また、俺には0.999…≠1なる扱いに於いて1-0.999…を
1-0.999…=lim[m→∞]{1-Σ[n=0,m](9*0.1^n)}=lim[m→∞](0.1^m)
と表現する事はできるが
√2-1.414…
を表現する事はできないし、表現する事は愚かイメージもできない｡
イメージもできないので1-0.999…より大きいのか小さいのかさえも分からない｡
その為、俺の考えの中だと0.999…≠1なる扱いをすると実数が実数でなくなる｡
実数の条件の一つである順序自明性が無くなるからだ｡
順序性が有る事、大きいか小さいかどちらか一方である事を幾ら声高に主張したとしても
実際に大小を判断してみせられない以上は順序自明性を示す事にはならない｡

可測性？

>>167
有理数しかない世界に、√2を導入するために何をやったのか考えると、0.999...の定義より1の定義の方が
問題だって気がしてきた。
自然数であり有理数であった1が、実数を構成する過程で√2と同列な存在に変わってしまったのだ。

まず1.414…が何かってところから定義しないとイミフ

有理数なんて分数なんだから2つの整数の組み合わせでしかなく、無理数を作るには全然バリエーションが
足りないことは分かり切っている。どうやっても静的には作れないんだ。

それでもう
「限りなく近付く、ってことで勘弁してね」
「近づくパターンは無限にあるけど、同値関係をきちんと定義するからグループでまとめちゃってください」
という方針で手を打つことにした。

元が有理数しかない世界なので、任意の1/nよりも差が縮まればそれで限りなく近付いたことに十分なる。
1 → 1.4 → 1.41 → 1.414 → 1.4142 → 1.41421 → 1.41421356 → ・・・
これが「2乗して2になる数そのもの」と認められることになった。

もともと1は1でしかなかったのだが、これに巻き込まれて「1に限りなく近づく数列の集合」になってしまった。

この事情が分かっていない人々が
「昔の1はこうじゃなかった。1に近づくだけで1そのものであるはずはない」
などと主張しているわけだ。

>>170
「√2の無限小数展開」を現しただけで
0.999…≠1の世界に於いては
「√2の無限小数展開」を以てしてさえも
「√2そのもの」にはならない
…という事を言っただけの話

>>171
あいよ

>>171
> 元が有理数しかない世界なので、任意の1/nよりも差が縮まればそれで限りなく近付いたことに十分なる。

まあそういうことだな。

1.000…と0.999…以外に1に近づく無限小数は存在しないの？

>>174
その２通りしかない、ってことが対角線論法で効いてきてるよ！

変数xが実軸上を0から1まで動く（走る）。

よくある表現だと思うけど、どういう意味ですか？
っていうかどう定式化すればいいですか？

区間 [0, 1] のすべての点を下から上に通っていくのは分かるんだが・・・

>>4とかの証明じゃなんでダメなの？
情弱な俺に教えて

厳密性のレベルが違うだけ

1≠0.999...と思っている人に対して
では1と0.999...の間の数を教えてと言うと答えることが出来ないよね
だから実数の連続性からこの2つは同じ数ということでいいだろ

>>179
> 実数の連続性から

0.999...は実数ではない、という返しがあったら？

>>179
連続性は必要ないだろ。
稠密性で十分。

>>175
別にその２通りでなくても対角線論法は証明できるんじゃね？
たとえば1.000…と0.999…と0.888…が1に近づくとしても証明できるでしょ

>>177
大学学部レベルの証明を事前にしておくなら厳密だけど、≠な人は多分それでは納得しない

>>182

0.888… = 8/9 なのでは？

>>184
いや、そういうことじゃなくて
対角線論法を証明するだけなら仮に「0.888…=1」だったとしても証明できるでしょってこと
実数を順番に並べてm項目の無限小数展開したn桁目をa[m,n]とすれば
新しく実数αを、無限小数展開したn桁目が≠a[m,n]になるように作ればいいだけでしょ？

>>182
> 別にその２通りでなくても対角線論法は証明できるんじゃね？

どういうときに異なる小数が同じ実数を表すかが明確に分かってればOK。
既存の数を「避けて」作ることが示せればいいんだから、無限通りあっても規則が分かってれば困らないだろう。
逆に規則が不明だったら対角線論法としては困る。

>>176
> 変数xが実軸上を0から1まで動く（走る）。
> よくある表現だと思うけど、どういう意味ですか？
> っていうかどう定式化すればいいですか？

定式化は見たことないね。
もし定式化できたらそれを使ってゼノンのパラドクスとか説明できそう。

> もし定式化できたらそれを使ってゼノンのパラドクスとか説明できそう。

ゼノンのパラドクスは真のパラドクスではなく見かけ上のパラドクスだと思っているので、
「解決」ではなくて単に「説明」としました。

>>182

まあ>>186の通りなんだが、実際に２通りしかないのでああ書いた。

0.999…=1ならば0.333…=1/3

>>179
素直に
0.999…≠1ならば0.999…<1.999…/2<1

>>181
連続性が保証されない→順序性が不確かになる→実数でないでござる

もし「実数が肯定されない世界が真実だ」と言われても俺は実数が肯定される世界に引き籠もる｡

>>182
1.000…=1

貴方の表現したい
2-0.999…
は単因子表現できない。結局、1は他に0.999…としか単因子表現できない｡

>>190
有理数で示せる。連続性はいらず稠密性で十分。

>>176
ｘ∈[0, 1]
以外の何を求めているんだ？

1≠0.999...と仮定する→矛盾が生じる→よって仮定が誤り。
ゆえに
1＝0.999... [証明終]

難しくはない。中学生でも分かるだろ？

>>193
xがどうやって動くんだ？

　0.999…
　0.999…；…000…
　0.999…；…123…；…999…
　　　　　↑　　　　 ↑
　　　　無限桁目の区切り

みたいな数を考えたときにどうなるかって話だよね
で、上の議論を見てみるとこういう数を定義すると
実数の性質のいくつかが成り立たなくなるようだ
ここで、已然として実数の世界に閉じこもる人と
勇気をもって実数の世界から飛び出す人とで
見解が分かれることになる

1＝0.999...にどこか疑問を感じている人であっても
さすがに0.999...が有理数だという事は理解しているんだよね
循環小数なんだから
それなら1＝0.999...だということも理解できるのでは

>>4の高校生用 >>7の公比級数の和 にて

a＋ar＋ar^2＋ar^3＋…＝a / a-r

左辺は足し算を無限回に行う。
しかし右辺は、たった数回の簡単な計算で終わっている。
それが＝（イコール）で結ばれるだと！？

この事実に驚いた17世紀の数学者ベルヌーイさんが
『無限級数論』を著した本の序文の詩がある。

無限の級数が、たとえ限りなく見えようとも
有限の和をもち、限界の前に身をかがめるように
いやしい物体のなかに、無限の神が宿り
かくも狭く限られながら、しかも限りなく増加する。

何という歓喜！ 測り知られぬもののなかに微小なるものを
また微小なるもののなかに、かの無限の神を観る。

研究者が詩を詠うことは、珍しいことらしいが
それほど、当時の数学界にとって、無限のもつ不思議さに驚いたようだ。

>>198　公式訂正…orz

× a＋ar＋ar^2＋ar^3＋…＝a / a-r
○ a＋ar＋ar^2＋ar^3＋…＝a / 1-r

0.999...＝lim[n→∞](1-10^(-n))＝1
という事実はさすがに異論無いよね？
異論があるとすれば証明方法だけだと思うけど、大学１年生が最初に習うεδ論法で簡単に証明できるよ。

過去ログ一切見ない人が延々書いているなｗ

「俺が絶対正しい！俺の一言で全てが決まる！」なんて考えているんだろうなｗ

過去ログ？面倒くせぇ

>>200
> 0.999...＝lim[n→∞](1-10^(-n))

さすがにこれは否定しているだろ（≠派は）

数学ガールのミルカさん
「面白いと思わない？」
ttp://webdav.ddo.jp/cgi-bin/source3/No_0401.jpg

>>196
；の前と後ろでは越えられない壁がある。
上のほうのレスで言われてたけど、
；の後ろ側で何らかの演算がされた際、；の前側に「繰り上がる」ことができない。
その理由は分かだろ？
だから、；の後ろ側は
　0.111…；999…
みたいに（何らかの意味で）最大値みたいなものを持つ構造はとれない。

>>203
0.9 =1-10^(-1)
0.99 =1-10^(-2)
0.999 =1-10^(-3)
だから、'9'がn個だったら1-10^(-n)、∞個だったらlim[n→∞](1-10^(-n))
と容易に理解できると思うが、高校の簡単な数学すら不自由な人が騒いでるの？

>>206
>　∞個だったらlim[n→∞](1-10^(-n))

さすがにそんな単純な話で騒いでるわけじゃないだろ・・・

残念ながら
高校の簡単な数学すら不自由な人なら
この世の中ごまんといる

>>207
いや知らんけど>>203がそれすら否定してると言うもんだから．．．

>>208
そんなのは眼中にないだろ。
頑固な哲厨の攻撃をかわせるか、が主な観点だと思う。

>>209
lim[n→∞](1-10^(-n))＝1
が成り立つことは誰にとっても議論の対象ではないだろ。
lim[n→∞]というのは一応テクニカルタームであって厳密に定義されちゃってるからな。反論の余地はない。

昨今 TVやクイズ番組に出て ちやほやされている
某カリスマ（？）予備校講師どもも
中学レベルの数学すらあやしいからな あれは

頑固な哲厨とやらが、単に解析の初歩の初歩を知らないだけのような．．．

>>213
知ってて色々反論してくるから、面倒なんだろうにｗ

>>205
うん、だから「0.999…；…000…」のように；以降は
前にも後ろにも無限に続いていく表現にしたんだが
それだと何か問題があるのか？

>>4 で話は終わり！
・・・という思考の人はもう出る幕ないですよ
参加したかったら面倒でもスレ全部読みなさい

>>4は中学、高校レベルだろ
>>132が大学レベル
>>4じゃなくて>>132で終わりじゃないの？

大学レベルってんなら実数の定義まで立ち返る必要があるんじゃないかなぁ
完備化なりデデキント切断なり

そして俺は>>110を評価したい

>>217
「終わり」？？　

そのレベルどころか、超準解析の話もボンボン出てるんだけど…。
≠を考えている人は、普通の実数を放棄せざるを得ないから、とうぜんそこまで話題になる。
また、哲学的な話も出ているな。

哲学的な話題として「可能無限　実無限」でぐぐると、色々なブログがヒットするね。
まあ、言っていることは、野矢茂樹の『無限論の教室』（講談社現代新書）と似たようなモノか。

http://swansong3478.web.fc2.com/2/essey0012.html
http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/2-real.htm
http://sets.cocolog-nifty.com/blog/2011/05/11-8d5c.html
…

などなど…　どれも、「0.999…=1」を攻撃している。まあ、哲学から違うのだから反論といっても
すれ違いになりかねないのだが…それでも。

「可能無限」の考えで制限される数学の考え、定理なんて具体的にどんなのがあるのだろう？

過去ログ？→面倒くせぇ
スレ全部読みなさい→面倒くせぇ

分かりやすくまとめれ

ちなみに、『無限論の教室』では、「0.999…=1」の他に、対角線論法も攻撃していたなｗ

まあ、思想が違うのだから仕方ないか。

>>221
んなもんねーｗ　努力しろ。

んまあ、数年前にあった同じ内容のスレでは、テンプレートになってまとめていたけどな。
それでも検索してくれ。

野矢茂樹の『論理トレーニング』は面白かったな。

普通の論理モノの本では最後にでて来るようなゲーデルモノも最初の方に出て来て面食らった。
途中、著者と意見が違うトコもあったが、それはまあご愛敬。
さすが哲学者ってトコか。

え？0.999…？？

検索ぅ？→面倒くせぇ

.　　 　 　 　 　 　 　 ／/ 　 |／| ヾ{　ヾ | ｜ﾂ　}ﾂヽ 、
.　　　　　　　 　 　 /　,′　 |::|｜r:､Yヽ｜ | /Ｙr:､ ﾄiハ
　　　　　　　 　 　 ′ i　　　|／　し　Y{｜ | }Ｙ !ノ |:|　i
　　　　　　　　　　i　　|　 　 |　　. - .　｀ し'　. - .　｀|　|
　　　　　　　　ｘ≠==ﾐ|　 　 |／|_l/Ｌ|_ﾄ､_.ィｆ ﾊ| |i＼| ├: ､
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　　　　　　　　 l/　 l:从　　 ヽ ＞　.　 　 　 イ /}　 /　l_r‐{_} Ｔ Tヽ ＿_
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　　　　　　 /　 /||::||:::||::::}::::〉/////／　　　 ＞-､::}}:ヾ|　　れ　 か 　 |
.　　　　　 /　　{::||::||:::||::::レ'7７´￣｀ ｰ一 ´ 　 　 ';:《::::|　　　　　 ら 　 |
　　　　　/ 　 丿:ﾘ::||:::ヾ:::{///　 　 　 r‐ 、　 　 　 ';:《└‐┬──┬‐┘
.　　　　/　 ／:〃::::}}:::::::ヾV∧　　　　､__人 　 　 　 }:}}::::》::|::||:::||::::j
　 　 ／　 ｛:::::《:::::::{{:::::::::::》〉//＞　 〃 lｌ ｀　　　　 ﾉ:{{::《::::ト#=#=ｲ

話は逸れるが、ゲーデルの対角化定理のように、可能無限の立場で対角線論法に相当するテクニックを用いた例もあるぞ。

否定派の方、訊いてもよいですか？
0.999...＝1とすると、具体的にどういう矛盾が発生するのですか？
0.999...<x<1 を満たすxとは具体的に何でしょうか？

>>228

哲学の「可能無限」派だとこうなるのかな？

＞「0.999…」の｢…｣は「どこまでも展開することが可能である」というだけの意味で、実際に取り出す
＞ことができるのは「0.999…9」という有限の数値になる。それゆえ、9.999…＜1である。

「カントールのパラドックスやラッセルのパラドックスは、実無限が原因だった！」
パラドックスが存在する、「実無限」をなぜそこまでしてあがめるのか？
数学者よ早く目覚めなさい！！

＊＊＊

ってトコかな？俺は彼らの代弁したつもりだから、間違っていたら指摘してくれ。
でも、可能無限の立場でもパラドックスは依然残ったままだという２ｃｈのレスが大昔あったような
２ｃｈのレスだから信頼度は低いが…ｗ

おっと、直接答えになっていないかｗ　まあ、各自補完してくれｗ　ってことで。

俺は場合によってはどちらも正しい派だけど、否定派の立場に立つならまずこう言うだろう。

0.999...と1は少数第一位が違うから、同じ数だというのはおかしい。
間に数があるかどうかは関係ない。
間に数がないのなら、1の一つ前の数が0.999...だというだけの話だ。

訂正
×少数
○小数

>>195
「動く」は言葉の綾
数学的にはxが範囲内の任意の数を取るという意味しかない

>>231
> 0.999...と1は少数第一位が違うから、同じ数だというのはおかしい。
何故？

> 間に数があるかどうかは関係ない。
何故？

否定派の立場になるんだったら、肯定派の反論に対して数学的ないし哲学的な理論武装ができるんだよね？

>>192
√2∈¬{Q}

窮屈な実数の世界から抜け出した先に
「1≠0.999…」が成り立つ世界を構築することが出来るって話でしょ

ところでお前は「0.999…；…000…」という表記をどこまで理解してるのか
それが分からないと説明のしようがないんだが
いや、ネタじゃなくマジな話で

>>220
無限公理抜きの集合論とか、もっと強く無限集合が存在しないという公理をおいた集合論(有限限定集合論)も戦前くらいまでに研究されている。
無限公理抜きで選択公理は使う集合論なら有限集合についてほぼ通常と同じ結果が導かれるが、自然数全体の集合の存在は言えない。なのでたとえば有限集合の定義に自然数を用いるものは使えず、理論展開も面倒くさい。
ちなみに有限限定集合論なら選択公理は定理なので公理としては必要ない。

>>228
俺は否定派ではないが
0.999…≠1だと言うのだから
0.999…<x<1を満たすxの具体例は
1.999…/2もだろうし√0.999…もだろう
0.999…≠1だと言うのだからこれら全て異なってくる｡
また、0.999…≠1だと言うのだから
√2とその無限小数展開1.414…も√2≠1.414…となってくる｡
と言うか俺には√2と1.414…のどちらの方が大きいのかさえも分からない｡

やっぱり実数体がいいよ

>>234
>>231は、1=0.999...に納得いかない一般人のつもりで書いた。
上手く納得させてくれ。

小数第一位の方はおいといて、
間の数について。
「2数が異なる」と「2数の間に数がある」は別の主張である。
例えば整数だけで考えるなら、1と2は異なる数だが、間に他の数は無い。
1と0.999...も同じようになってるのではないか。

>>238
有理数と無理数を区別しよう（中学レヴェルだ）
0.999…＝1　は有理数だが
1.414…＝√2 は無理数だ

>>240
それやると10進法か3進法かで実数が別物になる。人間の指の数で実数の性質が決まるというのは面白いけどね。

ポエムになるが
もし私たち人間が進化の過程で、指が８本だったら
８進法の数学になっていたのかな…

ナメック星人の数学は８進法なのだろうか

あぼーん

>>237
各種パラドックスの存在にもかかわらず、現在の「無限」が放置されているのは、それなりに恩恵があるのだと思うが…
具体的にそれが何かってのがいまいち分からないよなあｗ

ペアノの公理系のトコでパラドックスが発生するのだから、そこなんとかできんもんか。つーか、できないんだろうなｗ

「可能無限」の方が現在のコンピュータと無茶親和性があって、魅力的も見えてくるなあ。

パラドックスという言葉は、疑似パラドックスと二律背反の二種類の意味で使われるけど、
>>246の前段は疑似パラドックスの意味だよね。
中断のペアノ公理系のパラドックスって何のこと？

>>247

テメ〜、いいかげんにしねえと、ブッ殺すぞ！

　無職の、知的障害の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>247
ゲーデルの不完全性定理のことだろ。自然数を入れた瞬間に発動する。

それのどこがパラドックスなんだ

"一階"の自然数論の不完全性を"有限の立場"で証明するとき、どこに"実無限"が介入する余地があると言うんだよｗ

不完全性定理をパラドクスだと思うなんて一生基礎論を口にする資格なし

ところで完全性定理の方って実無限使ってるよな？

あぼーん

哲学ってすごくざっくりした学問なんだなあ・・・

どれだけ都合が悪いんだよｗ

>>255
哲学で一番ざっくりしてると感じるのは矛盾の扱いだな。

Aと¬Aを同時に導いて矛盾を指摘すべきなのに、Aとよく似たaを持ってきて
Aと¬aを導いて矛盾だと言ってることが多い。

>>220
２番目のサイトのちょっと先のほうを見ると、

　無限の定義は「完結しないこと」「完結しないもの」です。

とか書いてあるけど、こんなのを「定義」とされたんじゃ完結しないのは議論の方だろ。

これは・・・

http://textream.yahoo.co.jp/message/2000216/bbtc0nbda8bbva1a1e0dl8a65f?comment=15941

話ぶった切ってすまんけど、オレ子供のころから1=0.999...だと普通に思ってた。
≠だと想像したこともないし考えつきもしない。

>>260
数学に向いてないと思う

定理の拡張や類似物を考えてみるのは確かに大事だけど、たった一例だけを取り上げて「数学に向いてない」はないわな。

>>262
数学は厳密の学問だよ

何が言いたいのかわからん

君センスあるね
センスあるよ

邪魔して悪いが、可能無限って、可算無限のこと？

間に数がなくても、隣り合ってるなら
1>0.999…
って意味じゃないの？
これはこれで素直だと思う

>>264
難しい話をしてるわけじゃない
要は厳密な思考に欠けているということだよ

>>267
え、260から262までのどのレスに対して言ってるの？

>>268
どのレスというか君に対して

262、264、268が「君」だけど、具体的に何が厳密でないの？

あ、今わかった
聞いてくれ
1未満の一番大きい実数は
0.999…9
だろ
いや、これより大きい実数はあるが、それはじゃあ
0.999…9
だろ
つまり、1未満の一番大きい実数と言ってる内は
0.999…9
となってしまうんだ。
だとしたら、
0.999…
は1未満ではない！どうだ？

>>271
１に限りなく近づくということしか言っていない
等号にはならないよ

>>271
言葉遣いにマズい部分はあるけど、大意は合ってる
それは
「どれだけ小さい正の数εをとってきても、上手いことnを選べば (1/10)^n＜ε となる」
ということと同じ

0.999…は有理数である。
1は有理数である。
ここで、1≠0.999…と仮定する。
有理数と有理数の間には無理数がたくさんあるし、有理数すらたくさんある。
しかし1と0.999…の間には見当たらない。
証明終了しました。

>>273
やった！
ありがとう、とりあえずわかった気になれた
これで安らかに寝れます

>>275
厳密ねえ・・・

超限解析では、0.9999…に（感覚的に）類似した超実数を作れる
その超実数は1に無限に近いけど1ではない

すまん、厳密じゃなさすぎたな
言葉遣いとか言われて恥ずい
勘弁な
厳密さは誰かに任す
げんみつだれかたのむ

当レスでは1.414…を√2の無限小数展開を示すものとする

>>241
それは0.999…=1とする実数体上の話。0.999…≠1とする実数から逸脱した系の上だと話が変わる

0.999…=1⇔1.414…=√2
0.999…≠1⇔1.414…≠√2
0.999…≠1とする扱いだと0.999…は愚か0.333…さえも≠1/3と扱われるので有理数と言えない

0.999…≠1とする扱いだと√2と1.414…は、どちらが大きいか？
これは、√2の無限小数展開が和算的開平（ホーナー法と等価）で求まると強引に定めるならば
√2自体の方が大きいと言う事ができる。ならば(√2-1.414…)は、どう表現されるだろうか？
更に、{(√2-1.414…)-(1-0.999…)}は、どう表現されるだろうか？

実数体でも(√2-1)は(√2-1)なわけで√2≠1.414…とされる以上は
(√2-1.414…)は(√2-1.414…)にしかならないのではないだろうか？
(√2-1.414…)=(1-0.999…)と言う事はできない。なぜならば
(1-0.999…)≠(1/3-0.333…)

1≠0.999…系に使い道はあるのだろうか？だが数学は使い道の存在を問わない｡

これとはまた違った1-0.999系がWikipediaの辞書式順序の項目にある。自然、体にはならない｡

アルキメデスに始まりライプニッツニュートンを経てワイエルシュトラウスに至った
1/∞=0を約束して0.999…は1となる

>>261
数学に向いてない、というのは
>>260が1=0.999...だと思ってたことに対してじゃなく、
「≠だと想像したこともないし考えつきもしない」ってことに対してだろ？

微分積分誕生当時は動的漸近表現されていた無限が
εδ論法で静的一括表現できる様になったのね
古くはアルキメデスがεδ論法の特殊例を披露してたと

という事は、≠の次の標的は数学的帰納法かにゃ？

あぼーん

>>281
40歳フィールズ賞制限に拘らずに言うなら真の無能とは
例え不老不死を得ても永遠に気付かぬ者の中の、そのまた一部に限られる

気付き難い者の中に指数関数的成長を見せる者が居ないとは限らない

少し物足りないが274を評価したい

>>285
そうかあ？仮に　１≠0.999…　、　0.999…が有理数だとして、
１と0.999…の間には、 (1+0.999…)/2 という有理数があるじゃないか。

（√２＋１）／３　なんてのも実数だしな。

あぼーん

>>286
> １と0.999…の間には、 (1+0.999…)/2 という有理数があるじゃないか。

「任意の有理数は循環小数表記可能で、異なる有理数は同じ循環小数では表されない」
を根拠に
> しかし1と0.999…の間には見当たらない。
としていると理解しているが、
> (1+0.999…)/2 という有理数
は1、0.999… ではない循環小数表記はできるのか？

>>288
なるほど。厳密さを補完したら>>274が秀逸になってきたな。

　無職のクソガキ！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正して、その後９条を改正、そして何条を改正すると思う？
１８条だ！　これで、国家総動員法が出来て、お前ら無職のクソガキは、真っ先に徴兵！
おまえたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>288
その定理は普通の有理数の定理だから、特殊な有理数のこの世界じゃ関係無いんじゃないの？

>>291
この世界って、少なくとも274からの流れは、
任意の循環小数がある一つの有理数に対応し、任意の有理数が循環小数表記可能な、
普通の有理数の話だろ

普通の有理数の世界だと、最初から >>4 でおしまいだろうに。

普通の有理数の話に対し、特殊な有理数なら違うといわれても的外れとしか

第一、特殊な有理数って何さ？
循環小数0.999…、0.333…が有理数1/1、1/3を表さないのなら、特殊なのは有理数ではなく記法の方だろ

記法が違うのか、表記が一つでも２つ以上の数を表しているのか、そりゃ知らん。

もうみんな1≠0.999.....派の頭の中を想像して書いてるだけだろ。
論理破滅が足りないんだよ。

かといって、哲学を持ち出すと、数学派の本隊がファビョるからなんともｗ

そういや哲学系の方々はなんで可能無限にばかり肩入れするのかな？
実無限派の哲厨ってのはいないのか。
それとも俺の見識が狭いのか。

実無限派なら声を大にして騒ぐ必要はないからね

>>293
だから、その>4でオシマイにできてない≠派に向けて別の証明ってゆーか説明をしたんだろ、>274は。

お前もう喋んないほうがいいよ、バカがばれるから。

全く記述されていない、書き込んだ人の心情をおもんばかれと…

>>296
ワロタ
1=0.999…を否定してる人間が、もう誰もいないのに議論してるこのスレって…

議論を進めると同時に仮想敵を作らないといけないのか

>>301
おもんぱかれってか、レス読めばわかるんじゃない？

そもそもそーゆー流れってか、そーゆースレだし

哲学系は言葉にこだわるからなあ。

「無限とはどこまで行っても完結することがないものである」
とかフワフワしたものを随所で持ち出すんだよね。

可能無限は鎧みたいなもの。

>>302
1=0.999…の否定は疲れるんだよ。結局不自然だから。

>>305
無限の自然数すべてについての性質ですが、数学的帰納法で証明は３行で終わります。

って言ったら完結するのはおかしい！とか言い出すのかなｗ

数学的帰納法は有限の時に使うもので無限の自然数に対しては使わないだろ

>>309
無限にある自然数すべてについて
の間違い

可能無限な人なら

すべての自然数について成り立つ

のではなく

任意の自然数について成り立つ

と区別するんだろうな。斎藤センセの超準解析本の対談をちょっと思い出した。

それって
x=x
ですら「すべての自然数」について成り立つとは言わないのかな？

どうでもいいけど、現に存在しているものを否定して何がしたいのかが分からん。

実無限というのは、
無限集合を一個のオブジェクトと見て、そのオブジェクトに対して言及したり、何らかの操作を施すのを許す立ち場
のこと。
イデアルで割った同値類に演算を定義したりとか。

「素数の集合の濃度は無限である」なら実無限的な表現。
「どの素数についても、それより大きい素数が存在する」なら可能無限的な表現。

>>312
逆逆。歴史的にはずっと数学は可能無限的に扱うようにしていたの。そこにカントールやデデキントが実無限の概念を導入した。それに今俺達はなれちゃって当たり前に扱ってるけど、当時は革命的なことで、だから批判も多く、カントールは精神病院に行くくらいだった。

ちなみにユークリッド原論なんかも直線みたいな無限の長さの図形は扱っていないし、素数が無限にあると言わず、何個素数があってもそれ以外の素数があるという可能無限的な証明をしている。

なるほどねえ。実無限的な教育しか受けていないから当たり前だと思っているんだよな。

問題は、実無限じゃないと解決できないコトって何かってコトなんだろうな。

>>314
歴史に付き合って間違いを正当化するんだ？

>>317
19世紀までの数学は認めないというのもすげえな

可能無限集合論というのはようするに無限公理のない集合論なので、仮にこれが矛盾していたら、ZFC集合論が矛盾していることになる。つまり、可能無限集合論が間違いというのならZFC集合論も間違い。
もちろん無限集合を認めない集合論は豊かさに欠け不便で不毛というのは同意。

ここまで20レスくらいの話の流れがわからない(´･ω･`)

産業で教えろ下さいm(__)m

素人さんは反体制的マイノリティであることに酔って、
堅実な可能無限に基づいて数学を行うべきだ
なんて主張するけど、有限数学というものは計算機／情報科学の周辺分野でだけがやっていればいいんだよ。
クロネッカーがカントールを攻撃したのも、クロネッカーをはじめとして当時の代数学者の間ではアルゴリズム重視の代数学観が支配的だったせいだし。

ていうか算木を使えば任意の有理数係数n次方程式の実数解を小数点以下任意の桁まで求める具体的手段が存在するんだが

>>319
どの程度不便で不毛なんだい？

>>320
1=0.999…を否定する一派に、哲学系の人たちがいる。

現在の数学では無限を実在の存在であるかのように扱う「実無限」の立場が一般的でその世界では、「1=0.999…」だ。
しかし、野矢茂樹氏らの哲学系の人は「無限を把握出来るのは、限りがないということを確認する操作が存在している」とする立場だ。これが「可能無限」でその世界では「1>0.999…」
実無限派にも弱点があって、ゲーデルの不完全性定理が成り立ってしまう。可能無限派の弱点は「豊かさに欠ける」と言われて居る点。

「可能無限というのは、無限を把握出来るのは、限りがないということを確認する操作が存在していることだけで、無限全体というのは認識出来ないとする立場だ。」

こうか。どこかのサイトの切り貼りだけど。

勘違いする人もいるかもしれないので念のために言っておくと、ε-δ論法では実無限を使っていない。
　∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x (|x−a|＜δ ⇒ |f(x)−f(a)|＜ε)……関数の連続性
　∀ε＞0 ∃N ∀n (n＞N ⇒ |a_n−a|＜ε)……数列の収束
ε、δ、x、N、n は実数あるいは自然数なので、無限集合そのものについては一切言及していない。


実無限が必要になるのは実数の一番重要な性質「実数の連続性」を述べるとき。
　任意の(空でない)上に有界な部分集合が上限を持つ
この「上に有界な部分集合」は無限集合の場合も含んでいるから。
他にも解析学での実無限の使用例を挙げると、開集合族や測度空間の定義、種々の空間の完備性…
20世紀以降の数学の至るところ(しかも根本的な部分)にカントール・デデキント流の実無限が現れている。


(通常行われるように「aとbの間の距離」を絶対値|a−b|によって定義すると)
0.999…＝1 とは「a_n＝Σ_k=1〜n 9*(1/10)^k によって定まる数列が1に収束する」ことに他ならない。よって 0.999…＝1 はε-δ論法から従う。
しかも数体系を実数にまで拡張する必要はなく、有理数の範囲で証明を行えるので、
(たとえ議論の出発点を自然数の公理系にまで遡ったとしても) 0.999…＝1 は可能無限の立場からも認められる。

>>324
ゲーデル本人による不完全性定理の証明では実無限を使っていないし、
定理の対象となる形式的理論にしたって、ペアノ算術のような可能無限的理論に対応するものだってあり得る。
不完全性定理の証明の方法には、実無限を利用したお手軽バージョンもあるので、勘違いしたのではなかろうか。

ホントだｗ　誤解していた。よく読まないといかんな。

有理数:２整数の比の商

アルキメデス性を採用せず0.999…≠1と扱う場合､
循環小数さえ有理数にならず無理数になる｡
（0.999…≠1⇔0.333…=1/3)

また0.999…≠1つまり0.999… > 1ゆえに
1≠1.999…/2≠1つまり0.999… > 1.999…/2 > 1という様に
0.999…と1の間に数が無限に生成される（つまり1.999…/2は0.999…と1の中間の数）｡
無論、実数体ではアルキメデス性により、その様な数は0.999…=1.999…/2=1だから存在しない｡

以上の事から分かる様に0.999…≠1とする系は、その系でいう所の無理数は、小数展開した時､
1/2=0.5であり3/4=0.75だが1/3≠0.333…であり√2≠1.4142…となり､
元の数と小数展開した数が別の扱いになるという実用上の不都合がある｡
勿論、実数体ではアルキメデス性により、その様な不都合は無い｡

果たして、0.999…≠1とする扱いの中で得られる数学的知見は有り得るのだろうか？

0.999…≠1系に関する他の試論例
・ 0.999... - Wikipedia 参照
・コンウェイによる0.999…≠1とした場合の超現実数

今、このレスで書く0.999…を
0.999…=lim[n→∞]{Σ[k=1,m](9*0.1^m)}=lim[n→∞](1-0.1^n)
とすれば、解は1だが、より強力に挟み撃ちの定理を使って
0.999…9<1<2-0.999…9
から極限をとり
0.999…=1=2-0.999…
とする事ができる。が｡

アルキメデス性不採用⇒ε-δ論法不採用⇒極限不採用および数学的帰納法不採用

助けて！ガブガブくん
石油を貪り飲む怪物なんて罵ってごめんね！
座礁したタンカーから近海へ溢れ出る石油を何とかして！

>>327
そもそも不完全性定理がパラドックスだと言ってるのは、真偽概念と証明可能性の区別がついていない人だけ。
不完全性定理の証明法だけでなく不完全性定理の主張まで勘違いしてる。

参考文献
http://www.chs.nihon-u.ac.jp/philosophy/faculty/iida/Goedel_and_Tarski.pdf

　無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正して、その後９条を改正、そして何条を改正すると思う？
１８条だ！　これで、国家総動員法が出来て、お前ら無職のクソガキは、真っ先に徴兵！
おまえたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！

1=0.999… その18.999… | ログ速
http://www.logsoku.com/r/math/1285245255/

テンプレート＆ハイライト

質問があったので補足
・固定ハンドルネーム「トンデモ無限説｣
<民明書房刊「数理武術」より>
…もとい、講談社刊「野矢茂樹著『講談社現代新書＿無限論の教室』」を出鱈目読みした半可通｡
著書の登場人物の真似して批判家哲学者ぶった口調で繰り広げる噴飯物の珍論を展開した｡
その大過を固定ハンドルネーム「中卒上がり」にブチ抜かれて去っ（て名無しに戻り
密かに帰って来て「0.999…=1だなんてどこの生まれだ、日●組の教育か」と言っておきながら
「本物の数学は0.999…≠1」などと、言い分を改変し続けて尚も新しい珍論を繰り広げ続け）た｡

恐らく今でも、名無しで隠れて現役で数学板に来ているだろう｡

トプンって奴か

あぼーん

279:132人目の素数さん 2009/03/16(月) 11:00:08 [北斗sage]
これまで
∞桁目の余りバカ
循環論法説バカ

12進法扱い方誤用バカ
定義バカ
そしてトンデモ無限説真正
と、それぞれ居たけど
皆、愛に彷徨していた…

280:132人目の素数さん 2009/03/16(月) 12:19:57 [sage]
>> 279
ケンシロウはどう考えてる？

あぼーん

281:132人目の素数さん 2009/03/16(月) 13:05:18 [sage]
YOU は FOOL! 9の数が伸びてゆく
YOU は FOOL! 0の後に伸びてゆく
これと1を論理でつないでも いまは無駄だよ
1との誤差は無限の彼方にあるのさ

YOU は FOOL! 愛で定義 ヤバくなる
YOU は FOOL! 俺の定義 ヤバくなる
余り求め彷徨う心いま 熱く燃えてる
すべて無視し無限で異なるはずさ

1との誤差を守るため 無限へ旅立ち
誤差を見失った
気分を無視した証明など見たくはないさ
誤差をとりもどせ

284:132人目の素数さん 2009/03/16(月) 19:07:33 [sage]
>> 281
ｗｗｗｗ

286:132人目の素数さん 2009/03/17(火) 18:18:23 [sage]
おまいら…ww

287:132人目の素数さん 2009/03/17(火) 18:22:24 [sage]
めでたしに限りなく近いなにかは
めでたしそのものってことですか？

288:132人目の素数さん 2009/03/18(水) 13:55:48 [sage]
めでたしに限り無く近づく何かは　めでたし　ではない　が
めでたしに限り無く近い何か　は　めでたし　である

然し乍ら　嘗て　天に限り無く近き者だったラオウも
愛を知るケンシロウの拳に倒れたのだった

289:132目の素数さん 2009/03/18(水) 17:34:23 [sage]
ラオウ＝天

290:132人目の素数さん 2009/03/19(木) 11:26:23
「数学秘孔"極限"を突いた。お前はすでに一致している｣
「はぶわっ！！｣

あぼーん

これからは平衡三進法使おうぜ
そしたらこんな問題なんて起きないから

あぼーん

>>325
すぐに見つかったぞｗ

内容は凡庸であまり面白くない。

＞１　アキレスが亀に追いつく
＞２　亀が少し前にいる
＞という行為の繰り返しが存在すると言うことを、可能無限として語っているだけだから、論理的には矛盾はないことになる。
＞しかし、この行為が無限に行われているところが全体として把握されていると考えると困ったことになる。
＞全体として把握されてしまうと、その全体は終わっているものとして掴まれなければならない。
＞それでは、無限に続く最後の行為はいったいいつ行われたのかと言うことが問題になる。


意味がわからないんだが、野矢という人は自然数全体の集合に最後の元(＝最大の自然数)が存在すると思っとるのけ？

あぼーん

>>324
サンクス。
優しくて大変わかりやすかったです。
丁寧にありがとうございました。

その哲学系の人が、現代の数学を学んでなお、そう考えるのが、不思議。

>>344
終わったからには「終わり」がある。
とか考えちゃってるんじゃないかと想像。

関数にしろ数列にしろ極限は性質が異なる場合がある
例えば数学的帰納法の誤用
――――――――――
0.9<0.999…
0.99<0.999…
0.999<0.999…
0.9999<0.999…
　:　 　:
　:　 　:
　:　 　:
0.999…999<0.999…

∴ 0.999…<0.999…
――――――――――
結論が数学的帰納法ではなく数学的帰納法の極限になってしまっている
極限項は自然数項ではない

正n角形には角があるからその極限である円にも角がある

この様に、極限にまで性質が保たれるか慮らず短絡的に項ずると時として恐ろしい結論を招く

無限回告白してくれたらOKしてあげる
とは
何回告白してこようが断る
ということ

０回目の告白
↓1分後
１回目の告白
↓1/2分後
２回目の告白
↓1/4分後
３回目の告白
↓1/8分後
４回目の告白
↓
...
2分後には無限回の告白完了。ただし、告白に時間がかかる場合は途中からかなり多重に重ねて発声する技術が必要。

>>350　× 項ずる　〇 講ずる

なぜ高校レベル以下の書き込みばかりが続くんだ
その上の話をしていた人たちはもういないのか

あぼーん

>>346
実無限と可能無限の利点と欠点はうろ覚えで書いて間違いを指摘されていたよなｗ
そこは信用しないでくれ。（ひどいｗ）

昔は本を持っていたんだけどね…。
まあ、ここの住人が可能無限の利点をわざわざ書くような人がいるかってことは？？？

可能無限の利点って、認識論的には実無限よりも安心ということくらいしか思いつかないな。
(たまに勘違いしてる人がいるけど)実無限を採用したからといって構成可能性を失うわけではないし。

無限なのはオブジェクトの属性だけだからな。

それ以外にどんな無限があるの？

カントールのパラドックス
http://swansong3478.web.fc2.com/003500taikakusen.html

可能無限はこれを避けることができるってか？

数学に現れる無限

・極限としての∞
・濃度や順序数など集合論的な無限
・wheelにおける1/0
・超準解析や超現実数における無限大実数

あとなんかあるかな

・無限遠点
・測度としての無限大

整式の次数の定義で恒等式0の次数を便宜的にー∞と置いたりするね

>>359
無限の操作やら無限の手続き

>>361にあるのはどれもオブジェクトですね。

無間地獄

「可能無限」というものが厳密に定式化されているとは思ってないけど、
数列とかを帰納的に定義するのは可能無限的立ち場でも認めるんだよね？きっと。

可能無限の立場って要するに選択公理を認めない立場ではないの？

「極限としての∞」はオブジェクトじゃなくて操作じゃないかな
「どれだけ大きい数に対しても〜〜となる数が存在する」というやつ（εδ論法）
「どれだけ大きい自然数に対しても、さらに大きい自然数が存在する」と同じ構造

可能無限派で極限を拒否する人もいるけど、不思議なものだ

>>367
まったく別。可能無限を公理化したと考えられる集合論はZFC集合論から無限公理を除いたもので、選択公理は使う。無限公理が無いため無限集合の存在は言えないが、無限集合が存在しないとも言えない。
この可能無限集合論に無限集合が存在しないという公理を加えると有限限定集合論になるが、そこでは選択公理は定理になるので公理としては必要なくなる。

選択公理は不気味だからなー。それが不要になるというのも良いなー

選択公理が無いとR/Qの濃度がRの濃度より大きくなるかもしれないという嫌な話もあるし、濃度の比較ができないかもしれないなど困ることも多い。

そもそも、可能無限派は無限を実体として扱わない派だから、それはかまわないのでは？

こういうことか？

　　　　　　　|　無限のオブジェクト　　　無限の操作
--------------------------------------------
実無限　　 |　　　　認める　　　　　　　　　認めない
可能無限　|　　　　認めない　　　　　　　認めない
A　　　　　 |　　　　認める　　　　　　　　　認める
B　　　　　 |　　　　認めない　　　　　　　　認める

AやBに呼び名ある？

あぼーん

1 = 0.999... というのは特定の基数に依存してるので気持ち悪くないですか？
1/(1-0.1) = 1.11... だったら任意の基数で成り立つし、この方が安定してる気がする。

X:=10-1 として 1=0.XXX… で議論したとしても、
1=0.999… の時と議論の内容が変わるわけでは無いからどうでもいい

あぼーん

>>376
甘いな。
1/(1-0.1) = 1.11... の形式だと単に進法の違いを超えて、アルキメデス性の無い場合も含めて成り立つのに。

>>378
0.999… が有理数 1/1 を表す
1.111… が有理数 1/(1-1/10) を表す
前者が成り立たないなら後者も成り立たないだろ

>>379
例えば、7進数を考える。
ここでは7 = 0.1。
-0.1 = 0.666... だから当然 1 != 0.666...
でも
1/(1 - 0.1) = 1.11...
は成り立っている。
あるいは、7元体上のロラン級数を考える。
ここで、不定元をXとして X = 0.1。
-0.111... = 0.666...
だから当然 1 != 0.666...
でも
1/(1 - 0.1) = 1.11...
は成り立っている。
もちろん、実数としても
1/(1 - 0.1) = 1.11...
は成り立つし、p進や標数pの場合の拡大体のケースでも正しい。

分かります？

>>380
横レスだけど、質問です。
「超現実数」では、1/(1 - 0.1) = 1.11… は成り立つの？
あるいは、

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

↑ここの「減法の崩壊」におけるリッチマンの2つの体系において、
1/(1 - 0.1) = 1.11… は成り立つの？

あぼーん

>>381
すみません。
私、数学科で普通にやるような普通の数学しか分かんないです。
そのWikipediaの記事、「なんだかなぁ」と思います。

>>383
あんたね、"0.999…≠1" の意味を取り違えてるんだよね。
巷で "0.999…≠1" と書かれたときの本来の意味は、
あんたの言葉を使えば

1/(1 - 0.1) ≠ 1.11…

なんだよね。あんたの解釈だと、基数による依存性を利用して、
"0.999…≠1" に相当する式を導いているだけだよね。

「 たとえば7進数なら、"0.999…≠1" に相当する式は 0.666…≠1 であり、
　この式は7進数において実際に正しいから、これで "0.999…≠1" に相当する式が得られた」

……と、これがあんたの解釈の仕方だよね。
確かにそれでも、"0.999…≠1" だと解釈できなくはないけど、
でもね、それは本来の "0.999…≠1" の意味じゃないんだよね。
なんていうか、あんたの解釈の仕方はアスペルガーっぽいんだよね。
「そういう解釈じゃねーだろ」と言いたいね俺は。
普通は、あんたのような解釈はしないはずなんだよね。(続く)

(続き)

実際、もしあんたのような解釈でいいなら、
コンウェイは超現実数という病的な体系をわざわざ考案することは無かったし、
リッチマンはwikiの2つの体系をわざわざ考案しなかったよね。
まあ結局のところ、超現実数やリッチマンの体系で

1/(1 - 0.1) ≠ 1.11...

が成り立つのかどうかは、俺も知らないけどね。
でもね、コンウェイやリッチマンが、あんたのような解釈の仕方を
しなかったのは事実だよね。だって、あんたの解釈でいいなら、
超現実数もリッチマンの体系も、わざわざ考案する必要が無いからね。
要するに、あんたね、"0.999…≠1" の意味を取り違えてるんだよね。

余談だけど、コンウェイの超現実数も、リッチマンの2つの体系も、
とても普通の数学とは言えない病的なものだけど、それを「なんだかなぁ」で
一蹴しちゃうあたりも、なんか あんたアスペルガーっぽいんだよね。

"0.999…≠1" という式(あんたの解釈でない方)をマジメに追及するとどういう体系になるのか、
っていうところの1つの到達点なんだよね、超現実数とかはね。
要するにあんた、"0.999…≠1" の「心」とか「思想」をまるで理解してないんだよね。
普通は理解できるはずなんだけどね。だから あんたアスペルガーっぽいんだよね。

俺は面白い体系だなと思ったけどね。特に超現実数の方ね。
まあ何の役に立つのかは分からんけどね。

俺からしたら…彼はアスペルガーではなく世知辛い性格なんだと思うな

病的な意見は聞かない⇒精神病者の精神病発作中の意見は聞かない⇒病的な考えは聞かない
⇒病的な体系は、割愛さえしない相手にしない

逆アスペルガーと言うのか何と言うのか…過剰な非現実排斥志向である嫌いは否めない

数学と現実の是非は独立である事を思い出して頂こう

>>380
> 例えば、7進数を考える。
> ここでは7 = 0.1。
これが気になるんだけど、この"7進数"ってのはp-進数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0
ではないのか？
なんか展開方向を左右逆にしたもののように見えるけど

だとして、1=…6660になるとするなら、>>376の通り議論の対象が、
1≠0.999…から1≠…6660に変わるだけの話になる

p-進数については>>381
> ttp://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
でも触れられているな

>>378
その主張は>>4と言ってる事が変わっておらず
確かに実数体上のアルキメデス性そのものには拠らない結論ではあるものの
話自体が実数体表現上からp-進数表現上に変わっていて、代わりに講じられるべきである性質
実数体表現上でのアルキメデス性がp-進数表現上で姿を変えて現す性質に言及が至っておらず
結局はアルキメデス性に帰着するp-進数版アルキメデス性に拠った主張であり
0.999…≠1ならば0.111…≠1/9⇔1/0.9≠1.111…⇔1/(1-0.1)≠1.111…
である事を否定できておらず、>>387のいう通りになる

有理数体は順序体という前提で話したいというのはあるな

うーん、全然理解されそうにないから以後は放置するけど、有理数を考えるんだったらアデールまで考えるのが普通だと思うよ。;-)
あ、それと、コンウェイはすごくまともな数学者ですよね。

アデールだろうと何だろうと、1/(1 - 0.1) ≠ 1.11... を考える上では
どのみち何らかの条件を犠牲にしなければならないので、
どこで考えてもやることは変わらない。
何を犠牲にするのか、という話になるだけ。

実数体で 1/(1 - 0.1) ≠ 1.11... を考えるなら、
これは進数の違いでしかないから、0.999…≠1 の議論が流用できて

「減法を犠牲にすれば 1/(1 - 0.1) ≠ 1.11... が成り立つ」
「任意の実数が無限小数展開を持つとは限らないなら、1/(1 - 0.1) ≠ 1.11... でもおかしくない」

などと言えるはず。Z_pやローラン級数体で考えても、
犠牲にする条件とその結果の関係性は似たようなもんだろう。

で、そういうのは大して面白くないので、もっと風変わりなものが欲しくなる。
しかし、風変わりなものほど、土台となる体系が限定されていく。たとえば

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

↑ここの「無限二色ハッケンブッシュゲーム」では 0.111…≠1 が成り立つが、
「実数の代替構造を与える」とあるように、土台となる体系は実数体である。

無限二色ハッケンブッシュゲームのZ_p版、あるいはアデール版を
考えることが出来たら、それは面白いかもなｗ

だから順序構造ってマイナーなんだってば。
と言ってもわかんないですね。

コンウェイのは一種の順序完備化だからp進に適用したって面白かろうはずもないよ。

センス悪い一般化もどうかと

>>393
順序構造の話は関係が無い。アデールだろうと何だろうと、1/(1 - 0.1) ≠ 1.11... を
成り立たせようとしたら、どのみち何らかの条件を犠牲にしなければならないので、
どこで考えてもやることは変わらない。順序構造があろうがなかろうが、
「どの条件を犠牲にするのか」という話になるだけ。

それじゃ面白くないから、風変わりなモノで 1/(1 - 0.1) ≠ 1.11... を成り立たせようとしてみるものの、
既存の "風変わりなモノ" は実数体のような順序体を土台としており、結局のところ、

「 1/(1 - 0.1) ≠ 1.11... の話でさえも、はからずも順序構造が入った体系ばかりになっている 」

というだけの話。別に順序構造を欲しがってるわけじゃないし、順序構造にこだわっている
わけでもない。こわだっているように見えるのなら、あんたはマジでアスペルガー。

>>394
多くの体系で 1/(1 - 0.1) ＝ 1.11... が成り立つのだから、「1/(1 - 0.1) ≠ 1.11... 」を
成り立たせようとしている時点でセンスに逆行しているのであり、その中でなお
センスが光るような新しい「1/(1 - 0.1) ≠ 1.11... 」が発見できたら論文になるよｗ
従って、「センス悪い一般化」などという言い方は無粋であり、あんたはマジでアスペルガー。

アスペにこだるアスペかよw

あぼーん

センス悪い一般化なんて私は言ってないよ。
（そう思うかどうかはおいといて）

1/(1-0.1) = 1.11...
は、いつでも成り立っているけど
（Conwayのも含めて。リッチなんちゃらは知らないけどね）
1 = 0.999...
みたいなタイプの等号はアルキメデス性のあるときにだけしか成り立たなくて、それは本質的には順序構造によるんだよ。

Qは
Z/s = {r/s; r \in Z} の帰納的極限で
Zの副有限完備化は
n\Z = {n\r; r \in Z} の射影的極限（n\r = r mod nZの意味ね）だから
この二つのテンソル
Q \otimes ( Zの副有限完備化 )
は（アデールの有限パートだけど）Qを入れる容器としてちょうどいいでしょ。

ちょっと気持ち悪いので言わずもがなのことを書いておくと、Conwayのsurreal numberは、ちっとも病的じゃないでしょう。
Wikipediaがなんだかなぁと思うのは病的とかそういうのじゃなくて馬鹿的なところです。

>>399
うん、超現実数を調べ直してみたが、俺は認識を改めなければならないようだ。
昔は「0.999…≠1が成り立つ変な体系」だと思っていたが、実際には、
実数体も超実数体もその他モロモロの順序体も含む最大の順序体とあり、
病的どころか逆に凄い体系に見えるｗ

＞Wikipediaがなんだかなぁと思うのは病的とかそういうのじゃなくて馬鹿的なところです。
どの辺がバカ的なのか俺には分からん。巷でいうところの「0.999…＝1論争」が
「なんか低水準なところで争っていてバカらしい」ということか？

>>398
＞1 = 0.999...
＞みたいなタイプの等号はアルキメデス性のあるときにだけしか成り立たなくて、
＞それは本質的には順序構造によるんだよ。

うん、だからね、巷で言うところの「0.999…＝1問題」はそういうことじゃないんだよね。
あんたの解釈の仕方で 0.999…＝1 を見ちゃうと、「0.999…＝1問題」からはズレちゃうんだよね。
スレ違いになっちゃうんだよね。

発端である もともとの 0.999…＝1 について考えると、これを実数体において10進法表記だと思うと、
普通に0.999…＝1が成り立つわけね。それに対して、巷でいうところの0.999…≠1派は
どう反論するのかというと、これはwikiにもあるが、たとえば
「最後の9が存在するから1じゃない」と主張したり、
「0.9　0.99　0.999　と動き続けて1に近づくから、いつまでも1にならない」
と主張するわけ。要するに、0.999…≠1派は本質的には

Σ[i＝1〜n−1]9*0.1^i＝1−0.1^n ≠ 1 …(1)

という内容しか言ってないわけで、有限項の等比級数の和公式に ほとんど集約されちゃうわけ。
あとは0.999…における「…」の解釈がしょうもないっていうか、(1)と混同した変な解釈に
なってるわけ。それが0.999…≠1派の勘違いなわけ。

こういう話になると、(1)あるいは(1)の類似が成り立つ体系なら、いつでも「0.999…＝1問題」と
同様の問題が起きるわけ。その問題について「≠1派の勘違い」を議論するときに、
あんたの解釈の仕方は全く役に立たないわけ。あんたが話したいような水準ではなく、
あんたから見るとたぶん「しょうもない」ところに、「0.999…＝1問題」の議論の主眼があるわけ。
だからスレ違いなわけ。

たとえば、7進数で "0.999…＝1" に相当する式を考えると、あんたは

「 7進数では 0.666…＝−7(＝−0.1) だから、0.666…≠1 であり、実際に "0.999…≠1" に
　 相当する式が成り立ってます。でもそんな7進数でも 1.111… ＝ 1/(1−0.1) が成り立ちます」

と解釈するわけね。で、あんたのこの解釈の仕方は、「≠1派の勘違い」を議論するのに全く役に立たない。

まず、0.999…≠1派によれば、1.111… ≠ 1/(1−0.1) だと主張するわけ。なぜなら、
「最後の1が存在するから 1/(1−0.1) じゃない」とか
「1.1　1.11　と動き続けて1/(1−0.1)に近づくから、いつまでも1/(1−0.1)にならない」
とかいう話になるから。要するに、0.999…≠1派は

Σ[i＝0〜n−1]0.1^i＝(1−0.1^n)/(1−0.1) ≠ 1/(1−0.1)

としか言ってないんだけどね(そして「…」に関する変な解釈と合わさって、1.111… ≠ 1/(1−0.1) という主張に至る)。
それから、0.666…＝−7 の方だけど、0.999…≠1派は、あんたのように

「 "0.999…≠1" に相当する式が成り立ってる」

とは見なしてくれないｗ そのかわり、0.999…≠1派は 0.666…≠−7 だと主張する。なぜなら、
「最後の6が存在するから−7じゃない」とか「0.6　0.66　と動き続けて−7に近づくから、
いつまでも−7にならない」とかいう話になるから。要するに、0.999…≠1派は

Σ[i＝1〜n−1]6*7^i＝7^n−7 ≠ −7

としか言ってないんだけどね(そして「…」に関する変な解釈と合わさって、0.666…≠−7 という主張に至る)。
ということで、あんたの解釈の仕方は「0.999…＝1問題」からはズレちゃうわけ。

あんたの言ってることがいくら正しくても、なんかズレてて空気が読めてないっていうか
(だからアスペアスペ言ってるんだが)、あんたが話したいことは
ここじゃ出来ないんだよね色々な意味で。

>>400
最大の順序体って書いてあるの？でかすぎて集合ですらないんだけど。

>>403
＞でかすぎて集合ですらないんだけど。
そうだね、超現実数の生成手順が再帰的だから、もし生成手順を超限回繰り返せたら、
それ全部集めたものは集合に収まりきらなくても おかしくないね。
で、実際集合にならないんだね。

「順序体」については、英語のwikiのsurreal numberの項目を読み流して

＞the surreal numbers are the largest possible ordered field; all other ordered fields,
＞such as the rationals, the reals, the rational functions, the Levi-Civita field,
＞the superreal numbers, and the hyperreal numbers, are subfields of the surreals

とあったのを、俺が>400で「最大の順序体」と書いただけだ。すまん。

>>401
>要するに、0.999…≠1派は本質的には
> Σ[i＝1〜n−1]9*0.1^i＝1−0.1^n ≠ 1 …(1)
> という内容しか言ってない

そうとも限らないんじゃない？
あくまでΣ[i＝1〜∞]9*0.1^i = 1を否定する論法もあるんじゃないか？

>>405
まあね、もちろんバリエーションはあるね。
つまり、有限項の等比級数には集約されないようなケースね。
そういうケースに絞る場合は、等比級数の話をするだけでも
「0.999…＝1問題からはズレる」と言えちゃうね。

だから、どういう話題が「0.999…＝1問題」からズレるかズレないかっていうのは、
本当は「≠1派」の分類で変わるんだよね。でも、例の "アデール君" の話題は、
およそどんな「≠1派」を想定してもズレるんだよね。アデール君の解釈だと、

「 0.999…＝1が成り立つのはアルキメデス性があるときだけ 」

って話だからね。つまり、アデール君は

「 0.999…＝1なんて、成り立たないことの方が多いんだよ(それでも 1.111…＝ 1/(1−0.1) は成り立つゾ！) 」

と言ってるわけね。でも、巷でいうところの「≠1派」は、そういう理由で以って「0.999…≠1」を
主張してるわけじゃないんだよね。もっと "しょうもない" ところに理由があるからね。
しかも、「≠1派」は同じトンデモ論法で

1.111…≠ 1/(1−0.1)

さえも主張できちゃうからね(順序構造やアルキメデス性の有無によらず)。
アデール君の話からは見事に すれ違っちゃうんだよね。のれんに腕押しっていうかね。

要するに、アデール君の言ってることがいくら正しくても、それは「≠1派」の "病理" を
全く突いてないんだよね。アデール君が話したいようなことは、このスレには向いてないんだよね。
今の時代なら、ツイッタ−の数学クラスタで話した方がマシなんじゃないかね。
アデール君はツイッターやるべきだね、こんなところに居ないでね。

>>406
トンデモって決め付けてるが、
Σ[i＝1〜∞]9/10^i = 1
の証明を見たことはあっても、
0.9+0.09+0.009+・・・=1
の納得できる証明を見たためしがないんだが？

このスレって
普通の実数の系で考えてるのに1≠0.999…だと思ってる人
を納得させるような説明を考えるのを目的としているの？
それとも1≠0.999…となるような面白い系、あるいは馬鹿馬鹿しくてしょうもないような系
を考えて遊ぶことを目的としているの？

スレタイや最初の流れは前者だったかもしれないけど
途中からの流れで、後者になったと思ってたんだが

>>407
Σ[i＝1〜∞]9/10^i
と
0.9+0.09+0.009+・・・
が違うと言うのか。
・・・重症だな。

>>384
素朴な疑問なんだが、1/(1-0.1)=1.11...を否定するやついるの？
1=0.999...が納得できないやつでも
1/(1-0.1)=1.11...
には異論は無いと思うが。

>>384
素朴な疑問なんだが、1/(1-0.1)=1.11...を否定するやついるの？
1=0.999...が納得できないやつでも
1/(1-0.1)=1.11...
には異論は無いと思うが。

>>409
Σ[i＝1〜∞]9/10^i
は極限で定義されている。
0.9+0.09+0.009+・・・
は無限和だ。
これらは全然違う概念だ。わかるかな？

>>412
無限和と極限って違うの？

>>408
良いレスだ

1/0.9=1.11...
がOKだったら、分母を払って
1=0.999...
にしても良さそうだね。

>>413
極限はイプシロンなんたらであてはめて計算するもの。
無限和は言葉通りの意味。
そもそもの定義の問題。わかるよな？

>>408
別に前者でも後者でも、どっちでもいいよ。俺は後者の話にも触れたつもりだったが、
「このスレは前者の話題のみです」って言ってるように見えたかもな。すまん。

でも、後者の話題をするにしても、やっぱりアデール君の話はズレちゃうんだよね。
アデール君によれば、"0.999…≠1" が成り立つ体系はたくさんあると。
その一例として、7-進数があると。7-進数において、"0.999…" に対応するのは
0.666… であり、7-進数において 0.666…＝−7≠1 であるから、確かに
"0.999…≠1" に相当する式が成り立っていると。これがアデール君の解釈ね。
確かにそういう解釈も出来るけど、でも、これはいわゆる

「 "0.999…≠1" が成り立つ体系を考えて遊ぶ 」

という行為からは、何かこう、ズレてるよね。7-進数を持ち出すなら、7-進数であるにも関わらず

0.666…≠−7

が成り立つようにして遊ぶのが本筋だよね。もちろん、そのままの7-進数じゃ「≠」には出来ない。
だから、リッチマンみたいに、7-進数から「減法」を削除してみるとか、あるいは
「無限二色ハッケンブッシュゲーム」みたいな風変わりな解釈を考えてみるとか、
そうやって「7-進数モドキ」な体系を作れば、そこでは「0.666…≠−7」が
成り立っていてもおかしくないよね。そういう "遊び方" だよね、>>408の後者はね。
でも、アデール君は明らかにこういう "遊び" には興味が無いｗ

だから、>>408の前者の話題にせよ後者の話題にせよ、アデール君が話したいことは
このスレでは あまり伝わらないと思うんだよね。

>>417
アデール君のは解釈じゃなくて単なる事実だけどね。

>>411
「0.999…＝1 は認めないけど 0.333…＝1/3 は認める」というケースもあるから、
そういう人は 1/(1-0.1)=1.11... に異論は無いかもね。
でも、「≠1派」のおそらく最もスタンダードは言い分は

「最後の9があるから1じゃない」

なんだよね。こういう人は、1/(1-0.1)=1.11.. を認めないだろうね。
なぜかというと、「最後の9があるから1じゃない」っていう言い分を1−0.999… の形で考えたら

「1−0.999…＝0.000…1であり、最後の1があるから 0.999…≠1 が成り立つ 」

ということなんだよね。ここで、「最後の1」が存在する場所は止まって無くてもいい。
「0.9　0.99　0.999 」などと動き続ける列をイメージして、それが0.999…だと思ってる人ね。
そういう「≠1派」の人々ね。そういう人々の場合は、1−0.999…＝0.000…1 における右辺の小数の
「1」の場所がどんどん右方向へズレていくわけね。でも、どんなにズレても「1」は残ったままだと。
だから 0.999…≠1 だと。そういう言い分ね。要するに、本質的には>>401の(1)なんだけどね。
で、そうなると、1/(1-0.1)=1.11... に対応する式は

Σ[i＝0〜n−1]0.1^i＝(1−0.1^n)/(1−0.1) ≠ 1/(1−0.1)

なんだよね。この式において、nをどんなに大きくしても、0.1^n＝0.000…1 における
右辺の小数の「1」は残り続けたまま。いつまでも 0.1^n という項が消えてくれない。
そうなると、そういう「≠1派」にとっては 1.111… ≠ 1/(1−0.1) が成り立つことになるよね。

>>417
|7| < |1| なんだから 0.666... = -0.1と書かないと感覚的に変だよ。
7は1ではなく0に近いんだから。7進では。

「≠1派」のよくある意見は、
「そもそも見た目が違うから同じだなんて納得いかない」
「0.で始まるんだから1より小さいはずだ」
あたりだと思う。

> 「≠1派」のよくある意見は、
> 「そもそも見た目が違うから同じだなんて納得いかない」
> 「0.で始まるんだから1より小さいはずだ」
> あたりだと思う。
そんなことを言うやつは>>375までにはいなくなってたんだけどなぁ

数学の素人の登場です

ｙ＝1/ｘ　の反比例のグラフで　
ｘをどれだけ大きくしてもこのグラフはｘ軸とは交わらない
というのと
0.999...＝1であるといのはどこが違うのでしょうか？　　

>>419
だから9とか全然関係ないんだって。
まず、実数が二種類の小数表示を持つとしたら、それは無理数ではありえないから有理数になるのはOK？

有理数の中で二種類の小数表示を持つものを特徴づけると、分母の素因子に2と5しか現れないものって分かるでしょ？
＃あなたの好きな2*5進表示では

一般に有理数xをb進で表示することを考えると、xが二種類の表示を持つための必要十分条件はbの素因子しか分母に持たないという、すごく特殊な条件なわけ。

もちろんp進だったり標数pの場合はこのような例外は無くなって、どの数も一意的な小数表示を持つんです。

>>421
うん、それある意味ごく自然だし、実際、そうならないのは実数体のような異常な（というか特異な）場合だけです。

>>423
特に違うわけじゃないんですよ。y = 1/x は決して0には届かないけれど、0を特定するでしょ？
0.999...も有限回で停めると1には届かないけれど、回数を増やすたびにいくらでも近づいていく唯一の数として1を特定するでしょ？

>>424
その説明は的外れにしか見えないね。俺は「≠1派」の若干トンデモじみた "≠1論法" を書いたのであって、
数学的な事実をいくら書かれたところで「だから何？」としか言えないんだよね。「9」を頻繁に持ち出すのも、
巷で言うところの「0.999…＝1問題」が実数体における10進法展開での議論を発端としているからであって、
その発端に沿って書いたら「9」を持ち出すのが一番楽なんだよね。そういうことに過ぎないんだよね。

で、あんたがいくら数学的な事実・正論を書いても、それは「≠1派」の "病理" を
全く突いてないんだよね。たとえば、

＞まず、実数が二種類の小数表示を持つとしたら、それは無理数ではありえないから有理数になるのはOK？

とあるけど、これは正しい。「OK？」とか言われなくても分かる。事実である。正論である。
だがしかし、それは「≠1派」の "病理" を全く突いてない。的外れ。

>>419で書いた「≠1派」にとっては、そういう事実は関係がないのだ。
単に、0.1^n＝0.000…1 における最後の1が消えるかどうかだけがポイント。
最後の「1」が消えればイコールだし、消えなければ「≠」なんだよね。
それが「≠1派」の論法なんだよね。それから、

＞もちろんp進だったり標数pの場合はこのような例外は無くなって、どの数も一意的な小数表示を持つんです。

ここも的外れ。あんたの言ってることは正しい。p進なら一意的な小数表示を持つなんて、まさにその通りである。
だがしかし、それは「≠1派」の "病理" を全く突いてない。的外れ。

419で書いた「≠1派」にとっては、そういう事実は関係がない。
単に「 0.1^n＝0.000…1 における最後の1が消えるかどうか」だけがポイント。
最後の「1」が消えればイコールだし、消えなければ「≠」なんだよね。
で、>>419 で書いたような論法によって、「≠1派」にとっては 1.111… ≠ 1/(1−0.1) が成り立つんだよね。
そんだけの話。

>>427
ふーん。本気で1/0.9=1.11...が納得できない人がいると思ってるんだ。
おもしろいね。

>>420
そうだね、「0.666…」という表記法を採用するなら、−0.1 の方がいいかもね。
でも、「…6666」という表記法なら−7でもいいよね。…6666＝−7 ってことね。
まあ、−0.1 を使うことにするよ。

>>429
...666 = -1
だよ。しかし、...666みたいなノーテーションを誰が使い出したのか知らないけど、めちゃくちゃミスリーディングで分かりにくくしてると思う。Henselのオリジナルも6.66...のスタイルだし、冪級数のアナロジーから言っても6.66...の方が自然なのに。
1, 0.1, 0.01, ... が0に収束する方が、
1, 10, 100, ... が0に収束するというより断然見易いのに。;-)

>>430
あ、これはすまん。 …666 だと確かに−1 だね。
0.666… に対応するのは…6660 だね。つまり …6660 ＝ −7 だね。

まあ、−0.1を使うと決めたからどうでもいいことだがね。


>>428
＞ふーん。本気で1/0.9=1.11...が納得できない人がいると思ってるんだ。
これはどういう意味かね？

・説得することにより、「≠1派」の勘違いに気づかせてあげれば、
　「≠1派」も 1.111… ＝ 1/(1−0.1) を納得するようになる。

という意味か？あるいは、

・どんな勘違いがあるにせよ、その勘違いにいちいち気づかせてやる必要すらなく、
　「≠1派」は無条件で 1.111… ＝ 1/(1−0.1) を納得する。

という意味か？もし後者の意味だとしたら、あんたは本格的にアスペルガーだ。
なぜなら、後者は原理的にあり得ないからだｗ

また、もし前者だとしたら、それはそれでおかしい。なぜなら、前者の場合、
勘違いから開放させてない段階では いくらでも 1.111… ≠ 1/(1−0.1) という主張が
成される可能性があるのであり、またそのことを あんたは認めているということであり、
それなら俺の書いた>>419, >>427 にツッコミが入ること自体がおかしいからである。

>>431
いや、1/0.9 = 1.11... には微妙なところはなく（除く2進）、どんな人も不思議に思わないようにしか私には思えないんです。
だってこれ疑問の余地もないでしょう？
私が変なの？

1/0.9 = 10/9 = 2*5/3^2 だから、これは一意的な小数表示を持つケースだよ。

>>408
前者は無意識にアルキメデス性を前提としていて
後者はアルキメデス性を前提としておらず
スレ題意はアルキメデス性の前提如何に言及していない｡
スレ主の意向はどちらだ？

>>432
無意識に「体」または「アルキメデス性」を前提とし、強要している｡
疑問の余地が無く一意と言えるのは「体」または「アルキメデス性」が前提となっている場合｡
1/9=1/90+0.1=1/900+0.11=1/9000+0.111=1/9000…000+0.111…111={1/9･10^n+Σ[k=0,n](0.1^k)}_[n=極限の定義に拠らない無限大]

1/9･10^(極限の定義に拠らない無限大)≠0

なぜ
lim[n→∞]{1/9･10^n+Σ[k=0,n](0.1^k)}
と書かなかったか？それはアルキメデス性が認められないなら極限で語れない為だ｡

>>432
なんか本格的にアスペルガーっぽくて萎えるんだが(＾o＾)
「≠1派」の病理と似たようなものを感じる(妄信的なあたりが)。
あなたは

「 1/0.9 = 1.11... に限っては、疑問の余地がなくて勘違いが起こりえない 」

と妄信してるようだが、それは「あなた」の単なる思い込みであって、
「他人」があなたと同じ読み方で 1/0.9 = 1.11... という式を読むとは限らないんだよね。

たとえば、A君という人間がいたとする。A君のアタマの中では、1.111… における「…」の定義が、
通常とは異なる、A君オリジナルの定義になっているとする(そんな人間が実在するのか？という話は後で)。
こういう状況だと、A君は、"1.111…" という記号列をA君オリジナルの「…」を使って読んでしまうので、
A君は あなたとは別の "1.111…" を見出してしまうことになる。
だから、あなたにとっては 1/0.9 ＝ 1.11... が成り立っていても、A君にとっては 1/0.9 ≠ 1.11... が成り立つ可能性がある。

では、そんなA君が実際に 1/0.9 ≠ 1.11... だと主張したらどうなるか。

あなたは取りあえず、「小数表示の一意性」を持ち出すのだろう。
だが、考えている「…」の体系が、A君とあなたで全く違うのだから、あなたの言葉は意味がない。
それどころか、A君の「…」においては、「小数表示の一意性」が全く成り立たない可能性もある。
さらに、実数だろうがp進数だろうが、A君にとってはどの体系でも 1/0.9 ≠ 1.11... が成り立つ可能性もある。
なぜなら、A君の「…」は、A君オリジナルの定義で与えられているからだ。定義次第で、何が起きてもおかしくなかろう。

ということで、あなたがどんなに「疑問の余地がなくて勘違いが起こらない」と妄信していても、
もしこういうA君が実在したら、その時点であなたの妄信は崩れてしまう。

>>434
横槍失礼する

> たとえば、A君という人間がいたとする。A君のアタマの中では、1.111… における「…」の定義が､
> 通常とは異なる、A君オリジナルの定義になっているとする(そんな人間が実在するのか？という話は後で)｡

実在する。俺の親父。辞書式順序観念だ｡
親父にかかれば極限は実数体の連続性を成立させる為の加工手段であり実数体も都合品だ｡

だが、まあ待てよと。そもそもA君のような人間は実在するのかと。
つまり、「…」という記号にオリジナルの定義を与えてしまっている人間は実在するのかと。

実在する。
巷の人間の一定数はそうなってる。このスレでは、>>407＝>>412＝>>416 が
明らかにそういう人だね。「・・・」の定義がおかしいよね。

というか、「0.999…＝1問題」において、「≠1派」の主な勘違いの1つは、「…」の定義なんだよね。
0.999… のwikiを読めば、そういう事例がいくつか出てるよね。0.999…という記号列を見て、
「最後の9が存在する」と思ってる人とか、「0.9　0.99　0.999 」などと動き続ける列をイメージして、
それが0.999…だと思ってる人ね。 明らかに、普通の定義の「…」とは性質が異なるよね。

既に書いた>>419がそういう例なんだけどね。この例における「≠1派」は、 1/(1-0.1) ≠ 1.11... だと
主張するはずなんだよね。そうなるように、「…」が変な風に定義されてるからね。
で、あなたは この>419に対して、>>424で「小数表記の一意性」を持ち出したけど、
それは通常の定義における「…」において正しいに過ぎないんだよね。
>419 においては、もはや「…」の定義から おかしいから、この>419の意味での「…」においては、
小数表記の一意性が全く成り立たない可能性さえあるわけね。
だから、通常の「…」における小数表記の一意性をいくら持ち出しても、意味が無い。
「≠1派」の病理を突く(「…」の定義のおかしさを突く)こと無しには、どうにも出来ない。ということで、

「 1/0.9 = 1.11... に限っては勘違いが起こりえない 」

なんていうのは、あなたの妄信に過ぎない。「…」の定義から異なってしまえば、
勘違いどころか、何が起きてもおかしくない。そして、実際に「…」にオリジナルの定義を
与えてしまっている人は一定数存在する。このスレ以外だと、過去ログにたくさん居る。
あと、あるバラエティ番組で無限級数に関する等式が出たことがあるが、
そのときのゲストのうちの1人の反応を見るに、そのゲストも「…」の定義がおかしいっぽい。

で、そんな「≠1派」の勘違いについてだけど、「…」の定義が異なるにも関わらず、
それでもなお矛盾が生じてないならば、それはれっきとした1つの数学の体系であり、
こちらからは もう反論できない。そのオリジナル定義の「…」において
実際に "1/0.9 ≠ 1.11..." が成り立っていても、こちらは文句が言えないｗｗｗ

が、多くの場合はどこからしらに矛盾が生じている(病理)ので、そこを突くことで、――すなわち、

「あなたの定義における「…」に従うと、このような矛盾が起きてしまうよ。
　だから、あなたの「…」の定義は間違ってるんだよ」

と指摘することで、晴れて「≠1派」の説得が達成される。
そして、間違っていた「…」の定義を通常のものに戻すことで、
「≠1派」も 1/0.9 ＝ 1.11... を納得できるようになる。あるいは、

「あなたの定義における「…」は通常のものとは違います。通常の「…」の定義はこっちなんです」

と指摘するだけで済むならば、それでもよい。だが、こうなる可能性は低い。
なぜなら、相手からすれば、勝手に定義を押し付けられて上書きされたようなものであり、
おそらく理不尽な印象しか受けないから。

低出力工作機械では焼き慣らし鉄はそのままでは使えないので焼き鈍し加工をしてから使う｡
実務計算では実数はそのままでは使えないので極限鈍し加工をしてから使う｡

うーん、そんなややこしいこと言ってるんじゃなくて、1/0.9を素直に計算したら1.11... になるよね？っていうのは1=0.999...とは次元の違う話だと思うけど。

無限小数は細胞、アルキメデス性や極限は細胞間を埋め満たす細胞外液

>>437
「 そのオリジナル定義の「…」において
実際に "1/0.9 ≠ 1.11..." が成り立っていても、こちらは文句が言えないｗｗｗ 」

その場合はそもそも文句なんか言う必要、ちっともないじゃない。
なんせ正しいんだから。;-)

>>439
＞1/0.9を素直に計算したら1.11... になるよね？っていうのは1=0.999...とは次元の違う話だと思うけど。

1/0.9を素直に計算して出てくるのは、

1.111…1 ＋(余り)

という有限桁の小数のみ。ここから「 1.111… 」という概念まで持って行くには大きなギャップがある。
ここから先は素直もクソもない。このギャップを普通でない「…」の定義によって埋めてしまうと、晴れて

1/0.9 ≠ 1.111…

という若干トンデモな式が完成する。これが「≠1派」の病理。
そして、この病理は 1=0.999... における病理と変わらない。

病理とまで言われてもう笑うしかないな。
おバカさんたち。

>>443
うん、まあ、スマン。 あなたの書き込みを見るに、たぶん、あなたは

(1) Σ[i＝0〜∞] 0.1^i ＝ 1 / (1−0.1)

という等式を認めるだろう。だが、たぶん あなたは

(2) 1 ＋ 0.1 ＋ 0.01 ＋ 0.001＋・・・ ＝ 1 / (1−0.1)

という等式を認めないだろう。
実際のところ、(1),(2)について、あなたはどう思う？
(1),(2)それぞれに関して、成り立つと思う？成り立たないと思う？

>>443
これ私じゃないからね。;-)

0.999...の場合は「繰り上がり」があるから不思議にかんじられるんでしょ。
なんかごちゃごちゃ書いてる人、支離滅裂で何が言いたいのかよく解んないけど。

>>445
＞これ私じゃないからね。;-)
そのくらい分かってるｗ 407 には 407 としてレスをしたつもりだ。


＞0.999...の場合は「繰り上がり」があるから不思議にかんじられるんでしょ。
それは「0.999…≠1」を支持する際の理由の1つに過ぎず、
1.111…の場合には繰り上がりが感じられないからといって

"「≠1派」であっても 1/0.9 ＝ 1.111… については認める"

などということにはならない。
あなたの盲信に過ぎない。

>>443
何様のつもり？「0.999…≠1」を盲信するのが「≠」教信者だとすれば
お前は「0.999…=1」を盲信する「=」教信者だ｡
0.999…=1はアルキメデス性の定義や極限の定義により得られる解であり
それらを言及しない上に手放しで疑う余地なしと言ってしまうのも盲信行為だ｡

確かに「＝」も「≠」盲信するものじゃないな
アルキメデス性があれば実数体の話で「＝」となり
アルキメデス性がなければ辞書式順序の話で「≠」となる
ただそれだけの事だ

>>447
意味不明。その指摘は

"「≠1派」であっても無条件で 1/0.9 ＝ 1.111… については認めるか？"

という話題とは関係が無い。
1/0.9 ＝ 1.111… が誰でも不思議がらずに無条件で認めるのというのは、
あなたの妄信に過ぎない。あなたはこのことに関して反論できていない。

実際、オリジナルの「…」を定義しちゃってる人なら容易に

1/0.9 ≠ 1.111…

になりうるし、>>419はその一例。そして、この>419に対して
通常の「…」における「小数表記の一意性」を持ち出すのは意味が無い。

さらに、オリジナルの「…」を定義しちゃってる人は実際に巷に一定数存在する。
このスレにも、過去ログにも、バラエティにも。

>>426
ありがとうございました

>>449
どの0.999…≠1教も最初は1/3=0.333…、循環小数は有理数とは言ってた宗派も
0.999…≠1⇔0.333…≠1/3
である事を突き詰めさせたら1/3≠0.333…、循環小数は無理数と改宗しただろ｡
日●組連呼してた奴もその１人｡

よくそんなに人の事を覚えてるな
しかもえらく昔の話を

x=1、y=0.999…とおく
(x + y) / 2 = 1.999… / 2 を割り算の筆算で求めると商は 0.999… (= x) となるので
(x + y) /2 = x ゆえに x = y （証明終）

>>444
> (1),(2)それぞれに関して、成り立つと思う？成り立たないと思う？
(1)は成り立つ
(2)は、成り立つと考えるのが自然な等式であるが、いまだかつて納得いく証明を見たことがない。

こう答えればいいのか？

ちょっと聞きたいんですけど、
1/0.9 != 1.11...
と主張するA君のような人に
「1割る0.9はなぁに？」
って尋ねたら、どんな答が返ってくると考えられるんですか？

1.11...
以外の答を想像できないんだけど。

>>455
その質問は、>>454君に直接聞いてみたらどうか。
>454君は、「 1.11… ≠ 1/(1−0.1) を主張する 」というケースよりは弱いものの、
(2)におけるイコールの成立に

「納得していない」

という時点で、あなたの妄信には確実に抵触しているはずである。すなわち、あなたは

「誰でも不思議がらずに認める・納得する」

と妄信していたわけだが、実際には、"少なくとも納得はしていない" ようなケースがあったわけだ。
……一例だけ取り出して鬼の首を取ったかのような言い方はしたくないが。

>>455
＞「1割る0.9はなぁに？」
ちなみに、俺だったら、1/0.9 ＝ 10/9 と変形して、10÷9 を小学校の割り算として計算する。
別に 1÷0.9 のままで計算してもいいけどね。で、どちらにせよ、その計算をすると、商の部分には
1.111…1 という有限個の1が並ぶ。あとは、「ほんの少しの剰余」 が出るよね。割り切れないからね。
要するに　　　1/0.9 ＝ 1.111…1 ＋ 「ほんの少しの剰余項」　　　となるわけね。

だがしかし、素直に計算できるのはここまでである。
この "1.111…1" という量から、どうやって "1.111…" まで到達するのか？
普通の定義における「…」を使って到達した場合は、さっき言った

「ほんの少しの剰余」

がピッタリ0になって、それで 1/0.9＝1.111… という等式が得られる。
でも、オリジナル定義の「…」を使って到達した場合は、必ずしも

「ほんの少しの剰余」

がゼロにならない。つまり、

1/0.9 ＝ 1.111… ＋ "0でない何か"

という感じになっちゃう(ここで、右辺の「…」はA君オリジナルの定義とする)。
で、この場合は 1/0.9≠1.111… になっちゃう。

まだやってんのかよｗ

>>455
悪いが知らん。

>>457
普通の定義とかオリジナルの定義とかって何のことだ？

1.111...ってのは　1+0.1+0.01+0.001+…　のことじゃないのか？

あと細かいことだが1.111...を1.111・・・と書くのは気持ち悪い。

ハハハ。
有限個の1が並んだところで、あえて止める理由が分からないな。

10割る9が1余り1で、その1が10になって
10割る9が1余り1で、その1が10になって
...
じゃないの？

>>459
＞1.111...ってのは　1+0.1+0.01+0.001+…　のことじゃないのか？
うん、普通は 1.111... ＝ 1+0.1+0.01+0.001+… だよね。
あなたが同じように 1.111... ＝ 1+0.1+0.01+0.001+… だと思うなら、それでいいと思うね。
で、そうなると、あなたは>>444の(2)について

「 1.111… ＝ 1/(1−0.1) が成り立つと考えるのが自然な等式であるが、いまだかつて納得いく証明を見たことがない 」

と言っていることになるが、それでＯＫ？

>>461
それでOKだ。

あんたの中では、Σ[i＝0〜∞] 0.1^i　と　1+0.1+0.01+0.001+…　が同じ概念なのか？
同じ値か、じゃなくてまるっきり同じことを意味しているか、と言う質問だ。

やっぱり1.11...と0.999...とではまったく事情が違うんじゃないかい？

>>460
＞10割る9が1余り1で、その1が10になって
＞10割る9が1余り1で、その1が10になって
＞...
＞じゃないの？

あなたは上記のレスの "3行目" において「…」という記号をウッカリ使っているが、
あなたはそこで無意識のうちに、通常の定義における「…」を使っている。

あるいは、次のように言ってもいい。あなたは "3行目" で「…」という記号を使って
計算を省略しているが、その省略された場所で "実際にはどんな計算が起こっているのか" は、
実は不明なのである。

「不明ではない。自明である」

などと思うなら、そこがあなたの間違いである。あなたは、通常の "…" の定義から帰結される性質を
勝手に "3行目" の「…」の中に見出しているだけである。あなたが "3行目" に見出している
その性質は、決して「疑いの余地の無い性質」ではない。つまり、A君が あなたと同じように

＞10割る9が1余り1で、その1が10になって
＞10割る9が1余り1で、その1が10になって
＞...

という3行のレスを書いたとすると、A君は "3行目" の「…」に対して、あなたとは全く別の性質を
見出すのである。だから、A君にとっては 1.111…≠1/0.9 なのである。

うっかりじゃなくて同じことの繰り返し

>>460
もう1つ。あなたはそろそろ、>407君とレスのやり取りをした方がよいｗ
>407君は

「 1.111… ＝ 1/(1−0.1) が成り立つと考えるのが自然な等式であるが、いまだかつて納得いく証明を見たことがない 」

という意見を持っている(>>461, >>462)。もうこの時点で、あなたの妄信は崩れることになる。
すなわち、>497君は 1.111… ＝ 1/(1−0.1) という等式を「納得していない」のである。
これはあなたの考えに抵触している。誰もが不思議に思わず納得するはずではなかったのか？

(……もう一度言うが、>407君という一例をゴリ押しするのは 良くないことだとは思っている＾o＾)

あと、A君にとっても
0.333... * 3 = 0.999...
なんじゃない？
って言えば気付く？

407さん、
1/0.9 = 1.11...
に証明なんかが必要だとあなたは思うのですか？

>>468
俺が思うに、あんたは操作を信じすぎなのではないか？

>>465
反論になってない。

「同じことの繰り返し」

という言明からは、一意的な性質は帰結されない。
すなわち、どんな性質が帰結されるのかは不明である。
たとえば、通常の定義の「…」を想定している場合は、

「ほんの少しの剰余」がピッタリ0になる

という性質が帰結され、そして 1/0.9＝1/111… が得られる。
一方で、A君オリジナル定義の「…」を想定している場合は、

「ほんの少しの剰余」が0にならない

という性質が帰結され、そして 1/0.9≠1/111… が得られる。
ここで、もう少し具体的に、A君の思考を描写しよう。A君が

＞10割る9が1余り1で、その1が10になって
＞10割る9が1余り1で、その1が10になって
＞...

という計算を「繰り返している」とき、A君の頭の片隅には常に「余り1」が鎮座し続ける。
どこまで同じ計算を繰り返しても、A君の頭の中に鎮座した「余り1」はそこに鎮座したままであり、
消えてくれない。そして、このことが

「ほんの少しの剰余」が0にならない

という性質を出力し、そしてA君の中では 1/0.9≠1/111… が得られる。

>>470
> 「ほんの少しの剰余」がピッタリ0になる

これはひどい。

A君ってのはあなた？
ってのは置いといて407の人のコメントが聞きたいですね。

一つだけ。
1はずっと残っていていいんだよ。
消えちゃうと
1.11...1
になっちゃうから。;-)
元と変わらないから操作の完遂に拘ることはないんですよ。

>>472
> 1はずっと残っていていいんだよ。

だろ？
だから>>470の
> 「ほんの少しの剰余」がピッタリ0になる

はひどいんだよ。

>>472
＞1はずっと残っていていいんだよ。
うん、だからね、その

「いつまで経っても1が消えてくれない」

という現象が、A君にとっては 1/0.9≠1/111… という式に繋がっていくんだよね。
ということで、「同じことの繰り返し」 という言明からは、一意的な性質は帰結されないんだよね。


で、407のあなたへのコメントは、既に>>469にあると思うが。

>>473
そうそう
>>474
そうなんですか？
操作なんかはなから信じてないけどね。

>>475
なんだかよくわからんが、A君とやらの1.111...は何なんだ？

１．極限
２．無限の和
３．無限の割り算操作

>>468=475 にとっては３なのか？

>>475
で、あなたの妄信についてはどうなったの？そろそろ撤回するタイミングではないかね？

・「同じことの繰り返し」 という言明からは、一意的な性質は帰結されない

ということが分かった今、「1÷0.9」という計算が必ずしも 1/0.9 ＝ 1.111… を帰結しないことを、
あなたは理解したわけだ。ならば、1/0.9≠1.111… を主張する人、あるいは、
1/0.9＝1.111… に納得しない人が存在しても何らおかしくないだろう。

そして、「納得しない人」は現にこのスレに居るわけだ。
(ただし、A君と同じ理由で以って納得していない、というわけでは無く、
>407君なりの別の理由で以って納得してないようだが。)

>>476
私に聞かないでくださいよ。

407さん、
1/0.9 = 1.11...
に証明なんかが必要だとあなたは思うのですか？

>>477
全然

ちょっと書き込むの待ってていただけないでしょうか？
407さんに聞きたいので。

>>463
でしょ ;-)

>>479
どうぞどうぞ。

俺が「A君」を持ち出すよりも、
実在するケースである >407君と あなた が
直接やり取りした方が、ずっと話が早いはずである。

>>481
ありがとう

>>476
そのA君というのは、俺が>>478氏と やり取りするために設定した
一種の "仮想の人格" であるので、A君については気にしなくていいｗ


それより、>407君 は >>478氏 にレスしてあげて欲しい。

全然関係ない話なんだけどさ
小学生の時ってわり算の余りを｢…｣使って書いたよね
９９９÷１００＝９…９９
みたいに

>>478
証明が不要な言明について逆に聞きたいくらいだ。

あんたにとって1.11...　て何？

>>485
証明が不要というのは記法の定義そのものだからという意味ですよ。

私にとっては
Σ_{n=0}^∞ 0.1^n
だから、0.1が何を表現していて、どの位相で考えているかに応じてその値は変わってくるね。

実数体で基数をbとした表現なら1/(1-1/b)=b/(b-1)のことだし、
pを素数としてp進体なら1/(1-p)のことだし、
形式べき級数体で不定元XをX=0.1と表しているのなら1/(1-X)のことです。で、これらのどの場合でも
1/(1-0.1)=1.11...
になっているのは証明というより、小数表示の定義そのもの

だと私は思うけど、別に同意は求めませんけどね。;-)

で、上に書いたことはさておいて、

「1/(1-0.1)は何ですか？」
ってあなたに尋ねたら
「1.11... だよ」
って答にならないんですか？

>>484
ハハハ、そうですね。

1.11...
とかも公式には1.11以降は省略という意味しかないよね。
1.110かもしれないし、1.111かもしれないし、
1.1111...と、ずっと続くのかもしれないけど、今は興味がないから書かないってだけ。

>>453
0.999…:=1⇔1.999…/2=0.999…=1⇒循環小数は有理数となり任意の数は数自体と数の小数展開とが一致する｡
アルキメデス性が認められ極限値が適用可能

0.999…:≠1⇔[1.999…/2≠0.999…]∧[1.999…/2≠1]⇒循環小数は無理数となり無理数は数自体と数の小数展開とが一致しない｡
アルキメデス性が認められ極限値が適用不可能

数学は定義だ！

>>486
> 1/(1-0.1)=1.11... になっているのは証明というより、小数表示の定義そのもの
さっぱり意図がわからんが、強いて証明を書いたらどうなるのか？

>>4なんかは「定義の前に証明ありき」みたいで、あんたとは反対に見えるがどう思うかね？

>>489
横槍すまんが>>488は読んでくれたかね？

>>433 >>447 >>451も併せて読まれたし

>>439
>>488参照。0.999…≠1系では小数展開すると展開前の元の数と展開後の数が別になりえる
0.999…≠1系と0.999…=1実数体は双方独立な系、あくまでも数学は定義だ

>>488
> アルキメデス性が認められ極限値が適用可能
> アルキメデス性が認められ極限値が適用不可能
> 数学は定義だ！

支離滅裂にしか見えない

>>486
もうあまり期待していないが、1/(1-0.1)=1.11... の証明は書いてくれないのか？

>>491
どうも読んでいると極限のことしか言っていないようだが、あんたの言う定義ってのは極限の定義のことなのか？

>>493
文体とか内容とかを見るに、>>486 はまだ来てないような・・・

>>489
定義を書き下すだけだからね。
(1-0.1^N)/(1-0.1) = 1.11... 1 (1がN個)
で0.1^NはNを大きくすればいくらでも0に近づくから。
（これアルキメデス性とは何の関係も無いけど、分かる？）

で、
「1/(1-0.1)は何ですか？」
ってあなたに尋ねたら
「1.11... だよ」
って答にならないんですか？

>>495
> 定義を書き下すだけだからね。
せめてその定義とやらを書いてくれよ。0.1の定義が肝心なんだろ？

> （これアルキメデス性とは何の関係も無いけど、分かる？）
定義がないからわかりません。

> 「1.11... だよ」 って答にならないんですか？

1.11... の定義は1+0.1+0.01+0.001+・・・だが、具体的な数値を求めるすべをもってないから
「わかりません」が答えだ。

>>496
定義は>>486に書いてるじゃん。

それとあなたはアルキメデス性の定義が分かってないと思う。
分かってるのかな？

>>497

>>486の
> 私にとっては Σ_{n=0}^∞ 0.1^n

のことか？　{n=0}^∞　て何だ？

>>496
あ、それと混乱させると申し訳ないけど、
1/(1-0.1)=1.11...
を言うのに0.1の定義はちっとも肝心じゃないというのが私の論点だよ。実際、異なるいろんなケースで全て成り立つのだから。

>>499
nをすべての自然数0,1,2,...で動かす。

>>499
0.1 = 0 + 1 * something だけど、噛み砕いて書くと
実や複素のアルキメデスな場合、基数をbとして（つまりb進法で）
0.1 = 1/b
pを素数としてp進の場合、
0.1 = p
Xを不定元（変数の方が分かりやすい？）とした形式べき級数の場合、
0.1 = X
だよ。

>>502

>>495の
> 定義を書き下すだけで
> (1-0.1^N)/(1-0.1) = 1.11... 1 (1がN個)
は？

まさか2項展開することを「定義を書き下すだけ」と言ってるわけじゃないよね？

2項展開じゃないや。ま、いーかｗ

>>503

なんかとんでもないのの相手をしてるのかな？ ;-)

> (1-0.1^N)/(1-0.1) = 1.11... 1 (1がN個)
がわからないんだったら
1-0.1^N = 1.11... 1 * (1-0.1)
と書けばわかるかな？

小学生ならみんな知ってる筆算だよね。

>>505
それを「定義を書き下すだけ」って言っていいのかよ？

「0.1の定義はちっとも肝心じゃない」んだろ、
そんな筆算が成り立つことがどうして言えるんだ？

お前のほうがとんでもないやつに見えるぞ。

>>506
だから0.1の定義なんてまったく使ってないじゃん。
わかんないか？

1.11...1(1がN個)
-0.111...1 (1がN個、ひとつズレている)
----------
1
-0.00...01(0がN個)

これでわからないのならご愁傷様だね。
1.11 = 1 + 0.1 + 0.01
なんでしょ？;-)

よし、俺が平たく言ってやろう

我々からしたら
1/3=0.333…
は素直に自然に疑う余地がない自明と認めれてるが、それすら認めれてない人がいるんだよ

誰もがそう納得してるなら、
1=0.999…
も認められるはずだし、このスレも伸びてないでしょ
そのあたり、≠派の言い分、≠派の解釈をまず知ることが、≠派に説明する為のスタートラインだと思うよ

>>509
1/3=0.333...
がわからなくても
1.1-0.11 = 1-0.01ぐらいはわかるんじゃないかな？
1+0.1 - (0.1+0.01) = 1 - 0.01
だからね。
まぁ、ちょっと難しすぎたかな。;-)

>>509
あなたはどのレスを書いてる人なんですか？
509以外で。

正の実数 a，b　において　a≠b ならば

a＋ε＞b　を満たす正の実数 εが存在する。

しかし、εが どんなに小さな数であっても

0.9999・・・＋ε＞１　が成立する。

従って、0.9999・・・・＝１

アデール君のために一応レスするが、俺は>>483以降、このスレに書き込んでいない(ウォッチはしている)。
今後も、アデール君が >>407君 とやり取りをしている間は、俺は書き込まない。

あと、誰が誰だか分かりにくくなっているので、各人とも名前欄に何かしら書いた方がいいような。

>>506
ついでに横レスしてしまうが、

1−0.1^N ＝ (1＋0.1＋0.1^2＋…＋0.1^{N−1}) * (1−0.1) 　…(1)

という有限項バージョンの式なら確実に成立する(環構造があればよい)。ただし、それでも最低限

0.1∈(その環)

が成り立っていなければ話にならない。たとえば、足し算・引き算すら定義されてない体系に
0.1 を放り込んだら、明らかに "1−0.1" という記号列でさえ未定義となり、意味を持たなくなる。
従って、「0.1」という記号列に対して 「 0.1∈(その環) 」くらいの定義は必要だとは言える。
あとは環構造の力を借りて(1)が言えるので、

「 0.1 というものに対して何か特別な定義を追加しなければ(1)が言えない 」

などということはない。だがしかし、(1)が成り立つからといって

1 ＝ ( 1＋0.1＋0.1^2＋0.1^3＋… ) * (1−0.1)

もまた成り立つのかといえば、それはまた別の話である(アデール君以外の人は分かっているだろうが)。

>>513
は？

> だがしかし、(1)が成り立つからといって
>
> 1 ＝ ( 1＋0.1＋0.1^2＋0.1^3＋… ) * (1−0.1)
>
> もまた成り立つのかといえば、それはまた別の話である(アデール君以外の人は分かっているだろうが)。

位相が入っていなければ無限和は定義できないよ。
なんで以外の人なの？

数学はコミュ障養成ツールだと思われそう
このスレ見てると

>>515
アハハ、そうだね。

とりあえず無限和を問題にしてるんだから完備体に限定しようよ。

>>514
あなたはアデール君なのか、それとも>>506氏なのか？

＞位相が入っていなければ無限和は定義できないよ。
そういう「定義できないケース」も含んでいる。すなわち、もし無限和が定義できないなら、

「 1 ＝ ( 1＋0.1＋0.1^2＋0.1^3＋… ) * (1−0.1) は成り立たない」

と言えるので、>>513の書き方に抵触していない。あるいは、

「成り立つどうこう以前の問題である」

と言えるので、やはり>>513の書き方に抵触していない
(もっとも、>>513における俺の書き方は少し悪かったかもしれない)。

あなたがもし>>506氏であるならば、その位相の話をアデール君にしてあげればよい。アデール君は

「 0.999…＝1を認めない人でも、1.111… ＝ 1/(1−0.1) に限っては誰でも不思議がらずに納得する」

と主張しているのだ
(明らかにそんなことはあり得ないのに。>514氏の考えに沿って一例を挙げれば、
位相的な概念がひどく欠落していて あやふやになっている人間なら、その時点で
収束の意味が全く異なってくるので、1.111… ＝ 1/(1−0.1) に納得するかどうかは不明だろう)。

横から失礼
なんかやたら難しい話に持っていってるけど、
「1/(1-0.1)=1.111...に疑問を持たない」
っていうのは
「1/(1-0.1)=1.111...が成り立ちそうな気がする」
ぐらいの話でしょ。厳密な証明とかは抜きで。
小学校の筆算ができる一般人なら、「1/(1-0.1)=1.111...」という式を見せられればとりあえず「納得」はするはず。
むしろ疑問が持てるのはよっぽど数学のセンスがあるか知識があるやつだけ。
一方の「1=0.999...」は>>421のような理由で「納得」されにくい。

レスを書き込まないと言ったので もう自重すべきだが、しかしこれは言わなければなるまい。

>>519
あなたの言うような、

「 まあ大体の人間は、"成り立ちそうな気がする" くらいの感想なら持つだろう 」
「 疑問を持つ人間も少しは居るだろうが、それはセンスか知識のあるやつだろう 」

という程度の話なのであれば、俺は否定しない。しかし、アデール君の主張はそうではない。アデール君は

「納得しない人なんて居るの？どんな人でも、疑問の余地もなく、みんな納得するに決まってるでしょ？」

という強すぎる意見なのである(>>428, >>432)。
それは明らかに言いすぎだろと(実際、このスレでは>407氏が全く納得していない)。

>>518
私はあなたがアデール君と読んでるものだよ。
あなた、自分でちゃんとわかってないんだよ。
無限和だから収束が定義されないと無意味なのは当たり前。
でも、
1/(1-0.1)=1.11... と収束するのと
1=0.999... と収束するのは、全然様相が異なるんですよ。
だからこそ上の式は任意の局所体で成り立つのに下の式はアルキメディアンなとこでしか成り立たないんです。
何度も書いてるのにな。

>>520
あのね、1=0.999...の方は、ほとんどのケースで成り立たないのだから、「それは違うよ」って主張するのは数学として正統化できるんです。何もわからない人が納得できないというのとは別の話ですよ。;-)

で、
1/(1-0.1)!=1.11...
を正統化できるような議論は思いつかないってだけです。
もちろん、あなたみたいに完全にナンセンスに持ち込むのは無しでですよ。

>>521
＞1/(1-0.1)=1.11... と収束するのと
＞1=0.999... と収束するのは、全然様相が異なるんですよ。

同じように、一部の人間にとっての 1.11... における "収束の様相" は、
我々が思うところの 1.11... における "収束の様相" とは全く異なる。
その結果、それらの人々が 1.111…≠1/(1−0.1) を結論しても何らおかしくない。

次のように言ってもよい。我々が思うところの 1.111… の収束の様相を
"獲得していない" 人間ならば、いくらでも 1.111…≠1/(1−0.1) を主張し得る。

「 いや、1.111… に限っては、誰でも等しく、我々と全く同じ収束の様相を獲得しているはずだ 」

と思うのなら、それはあなたの妄信である。現に >407氏は全く納得していない。
そして、あなたはもっと >407氏と話をするべきである ( 俺ではなく！！ )

>>524
な馬鹿な。
だってこっちは数学として意味がある部分の話しか興味ないからね。

>>525
あなたは

「 1.111… ＝ 1/(1−0.1) に限っては誰でも不思議がらずに納得する 」

と主張したのであり、それを未だに撤回していないのだから、当然、あなたの主張は
>407氏にも当てはまっていなければならない。しかし、>407氏は 納 得 し て い な い 。
そう、>407氏は あなたの主張に当てはまってないのである。
従って、あなたは>407氏と話を続けるべきである。>407氏が 1.111… という記号列に

"何を見出しているのか"

あなたは探し出し、そして理解すべきである。>407氏が 1.111… に対して我々と全く同じモノを
"見出している" のならば、>407氏は 1.111… ＝ 1/(1−0.1) に納得しているはずである。
しかし、現に彼は納得していないのだから、何か違うものを "見出している" ことになる。
>407氏が 1.111… に対して "見出しているもの" は、あなたにとっては

"完全にナンセンスなもの"

かもしれない。だが、もしそうだったとして、決して骨折り損では無い。なぜなら、あなたはそこで初めて、

「ああ、1.111… という記号列を "そんなふうに解釈しちゃう人" が、実際に存在するんだ…」

という残念すぎる事実を認識するからである。落胆とともに。
従って、あなたは>407氏と話を続けるべきである。
……もっとも、現段階で>407氏は「納得していない」のだから、あなたの妄信が "既に崩れている" ことに
変わりはなく、あなたはこの一点について何ら反論の術を持たないわけだが。

もうちょっとメタな話をすると、実数論みたいなものに拘るのってすごく不毛だと思うんです。だって分かる人には簡単だけどわからない人には何のことやらって話で、しかもたちの悪いことに無内容なんだもの。

>>519さんのコメントとかすごく真っ当だと思うね。

でも世の中にはその不毛な実数論的な話を持ち出して、分からない人を馬鹿にしたりからかったりする輩がいて虫酸がはしるんです。
そしてそういう人に限って半可通でくだらないことをゴチャゴチャ言っているんだもの。

そういうのに較べたらアデールのような概念って数への理解の革新だし理解できると本当におもしろいし視野が凄く開けるんですよ。

どうせだったらそういうおもしろいことにもっと目を向ければ良いのにって思うんです。

>>526
いくらなんでも拡大解釈のしすぎ。

「 1.111… ＝ 1/(1−0.1) に限っては誰でも不思議がらずに納得する 」
の誰でもって数学の範疇で言ってるだけだよ。

その外で誰かが個性的な感慨を持つことがあっても、それは私からはスコープ外ですってば。

>>528
拡大解釈でも何でもない。なぜなら、あなたは >>428 で以下のように発言したからだ。

428 ：１３２人目の素数さん：2013/05/14(火) 00:41:12.80
>>427
ふーん。本気で1/0.9=1.11...が納得できない人がいると思ってるんだ。
おもしろいね。

分かるかね？この>>428を それこそ "素直に" 読めば、

「本当に例外なく、誰でも納得するに決まっている」…(1)

と言っているようにしか読めない。そして、その後のあなたの態度を観察するに、
あなたは実際に(1)のような態度を取っていたとしか思えない。
従って、俺の書いた>>526は拡大解釈でもなんでもない。

そして、>>428における あなたの「ふーん」「おもしろいね」という嘲笑じみた態度に応答するように、
奇跡的にも >407氏という実例がここに存在する。
よって、あなたは>407氏と話を続けるべきである。

逃げてはいけない。「ふーん」だの「おもしろいね」だの言っちゃったんだからね、あなたは。

>>495
確かに1/(1-0.1)の小数展開は0.111…だけど1/(1-0.1)=0.111…が言えるのは
アルキメデス性が認められ極限値が適用できるからであり
アルキメデス性が認められず極限値が適用できぬ系では1/(1-0.1)≠0.111…だ｡
つまりアルキメデス性が認められず極限値が適用できぬ系では∞は極限に拠らない定義が為され
1/∞は=0とはならず≠0なる無限小という扱いになる七面倒な系になる｡

だから「実数体での話」という前提が約束される必要があると言いたくて俺は
『やっぱり実数体がいいよ』
『もし「実数が肯定されない世界が真実だ」と言われても俺は実数が肯定される世界に引き籠もる』
と書いたんだよ

× 0.111…　〇 1.111…

>>495
あんたは「素直に計算すれば1/(1-0.1)=1.111…にしかならないだろ？
アルキメデス性とか有ろうが無かろうが関係無いから」としか言ってないけど
それ、素直じゃなくて愚直だよ。小数展開後と小数展開前とが＝で結ばれるのは
極限値が適用される為に必要なアルキメデス性が認められてからだよ｡

今、ここで∞を極限で定義されないものとすれば
1/(1-0.1)=1/0.9=1+1/9=1.1+1/90=1.11+1/900=1.111…111+1/9000…000
アルキメデス性が認められ極限値が適用されるならば=lim[n→∞]Σ[k=0,n]〔0.1^k+1/{9*0.1^(k+1)}〕=1.111…
アルキメデス性が認められず極限値が適用されぬならば
=Σ[k=0,∞]〔0.1^k+1/{9*0.1^(k+1)}〕=1.111…+1/(9*0.1^∞)≠1.111…+0

>>528
何が拡大解釈かな？万人共通範疇じゃないよ。世俗的過ぎるよ｡
メタな話が出来ない時点で世俗じゃん｡

確かに「1/0.9=0.111…です」とだけ言うなら素直な反応だけど
「1/0.9は=1.111…にしかならない」と主張するのは素直じゃなくて世俗に対して愚直な反応だよ｡
「実数体を選んで1/0.9=1.111…とします」ってのが莫迦正直な反応だよ｡
実数体または有理数体または複素数体である事が約束されて初めて=0.111…が言えるんだから｡
アルキメデス性が認められず極限値が適用できない系じゃ言えない事だよ｡

何でわざわざ1/(1-0.1)なのさ、1/3でええじゃないかええじゃないか

>>527
普通、素直に言えば「0.999…=1であり0.333…=1/3」ですが
本来は「0.999…=1」も「0.333…=1/3」も体で言える事であり体でなければ言えませんが
私は実数体時々複素数体を採用し0.999…=1であり0.333…=1/3であるとさせて頂きます｡
えらい人（>>528）にはそれがわからんのです！

そういえば「えらい人にはそれがわからんのです！」の出典は知らないや

>>530

> 確かに1/(1-0.1)の小数展開は0.111…だけど1/(1-0.1)=1.111…が言えるのは
> アルキメデス性が認められ極限値が適用できるからであり
> アルキメデス性が認められず極限値が適用できぬ系では1/(1-0.1)≠0.111…だ｡

ここ違うよ。
あなたのアルキメデス性は独特のものなんでしょうね。

まあ、落ち着いてくださいね。

>>533
は？0.999…:≠1と定義したら1-0.999…≠0で0でない無限小量1-0.999…が存在するけど？
0でない無限小量が認められてしまうから
1/0.9と1.111…との差1/(9*0.1^∞)が0でなくなってしまう｡

あぼーん

証明は簡単である。
ただ同じなのにどうして数字が違うのか理由を知りたい。

>>534
非アルキメデス性を無限大とか無限小という言葉で説明するのは言葉のあやですよ。単純に言えばその中で整数全体（をマップした像）が有界になるのが非アルキメデス的で、有界にならないのがアルキメデス的です。

なんでも良いから調べてみれば？

それがわからないと私が言っていることがまったくわからないはず。

>>536
だからそれはいくらでも大きな整数があるから（＝整数分の1がいくらでも小さくなるから）というアルキメディアンな特殊事情があるからですよ。

それを特殊事情というと腹が立つ人もいるかもしれないけど、実際、無限にバリエーションのある完備体（Cauchy列が必ず収束）の中でそうなるのは複素数体というたった一個の体に埋め込まれるものに限られるのだから。

>>537
0.999…≠1を定義した途端に非アルキメデス的になる事の何が不思議なの？

>>495
あんたの思わせぶりな書き方に俺はすっかり混乱させられたよ。

それはさておき、0.1^Nがアルキメデス性に拠らずいくらでも0に近づくというのはなぜだ？

0.1=1/b
非アルキメデス性の定義は>>537の通り
非アルキメデス体の中で整数全体をn->b^nでマップした像の上界をuと置く

このとき (∀n∈N ) b^n < u よって (∀n∈N ) 1/u < 0.1^n
となるようだが、そんな単純な話ではない？

>>539
不思議？

>>540
思わせぶり？

自分で調べてみれば？すぐわかるよ。

整数からのマップは
n -> 1*n
だよ。（ここが、あなたがアルキメデス性をわかっていないとこ）

>>542
> 整数からのマップはn -> 1*nだよ。

そうなのか？俺はcofinalityからの連想で単調増加なら何でもいいのかと思ったが・・・

>>543
ちゃんと真面目にやりましょう。;-)
なんでもいいんなら定義も何も。

>>542
整数からのマップをn -> 1*nに限定しても同じことじゃないか？
(∀n∈N)(∃m∈N)( b^n < m )
は成り立つんだろ？

>>545

あなたのパパじゃないんだけど。
その不等号の両辺を見て15秒たっても何も気付かないのなら、アルキメデス性とは何かを理解してから出直してきてくださいよ。

順序構造なんて無いんだよ。

>>546
何も気付かないよ。
そういう態度が思わせぶりというのじゃないのか？

いちおう書き直し

>>495で「0.1^Nがアルキメデス性に拠らずいくらでも0に近づく」という根拠はなんだ？

0.1=1/b
非アルキメデス性の定義は>>537の通り
非アルキメデス体の中で整数全体をn-> 1*nでマップした像の上界をuと置く

このとき
(∀n∈N)(∃m∈N)( b^n < m )　かつ　(∀m∈N)( m < u )
よって
(∀n∈N )( b^n < u )
すなわち
(∀n∈N ) 1/u < 0.1^n
となるようだが？

>>548
順序構造なんて無いって書いたでしょ。
順序が無いところで有界って言ってるんだから大きさをはかって（つまり絶対値をとって）からしか比べられないじゃないですか。

|0.1| = 0.1
なんですよ。ただし、左の0.1は非アルキメデスな局所体の素元πのことだから、例えば、Q_pならpだし、F_p((X))ならXのことで、右の0.1は1/pのことですよ。

いくらでも近づこうが何しようが
連続性が約束されない限り極限値は適用できない

コンウェイの順序完備化で0.999…;…:≠1系も順序完備化して貰おう…と思ったけど
コンウェイの順序完備化って
0.999…;…:≠1系
から出発して為された仕事だったのか？
だとして、順序完備化されてしまったら、いくらコンウェイの順序完備化であっても
0.999…;…:≠1系を0.999…;…=1系に変えてしまうんじゃないかな？

>>549
へぇ？順序が無い所でも絶対値だったら比較できるんだ？
じゃあ0.999…≠1と定義され
数の小数展開と数自体（例えば0.333…と1/3）が一致しなくなる系に於いて
(√2-1.414…)と(1-0.999…)はどちらが大きい？

>>552
おばか

どの絶対値を選んだかによるけど、そもそもイチからわかってないっぽいから、どこから説明してあげればいいのか

>>551
イミフ

>>550
約束？

>>553
先ずは0.999…≠1という定義から始めてみれば？

>>552や>>551の意味さえ分からないみたいだから

あぼーん

>>552

> へぇ？順序が無い所でも絶対値だったら比較できるんだ？

Q_p や F_p((X)) のような局所体（以下Kと書く）では順序が定義されていないけど、絶対値を取るというのは写像
| * | : K --> R
で実数へ移している訳で、実数なら比較できるんです。

わかりますか？

>>556

>> >>552や>>551の意味さえ分からないみたいだから

>>552や>>551になんか意味あるの？ ;-)

0.999…≠1になる系を考えたコンウェイは意味不明なバカだというわけですね

>>333 > 1=0.999… その18.999… | ログ速 > http://www.logsoku.com/r/math/1285245255/

> Q8:1≠0.999…となる数学モデルは具体的にどの様な物があるのか?
> A8:違う表記の数を全て違う数と看す体系など幾つか挙げられる｡
> 但し、どれも実数の拡大体と言えなくなった体系ばかりになっている｡
> 例えば、減法が成り立たなくなる等した例がWikipediaに記されている｡
>
> Q&Aは以上。以下、参考文献
> Wikipedia - 0.999...
> http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
>
> J.H.Conwayの超現実数を扱った単行本
> 至福の超現実数―純粋数学に魅せられた男と女の物語
> 原著=Donald E.Knuth, 翻訳=松浦 俊輔
>
> http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/47601264657

>>549
解説ありがとう。俺が不注意だったのか？

だがそれって>>495の時点でそういう話だったのか？なんかだまされてるような．，．

>>560
Conwayは完全にまともで優秀な数学者でしょ。
surreal numberはDedekind cutの一般化だけど、1 != 0.999... になんかならないじゃない？（実数以外の超準な元を含んでいるだけ）

>>562

>>380の時点でそうなんです。

>>563
君のいう「まとも」は「0.999…=1」で「0.999…≠1」は「まともじゃない」だろ？

>>563
> Conwayは完全にまともで優秀な数学者でしょ｡
> surreal numberはDedekind cutの一般化だけど、1 != 0.999... になんかならないじゃない？（実数以外の超準な元を含んでいるだけ)

別に実数の話と限定されてないけど

>>565
私のいうまともはコンウェイのことを指していて、まともじゃないのはコンウェイの構成を0.999...の議論と関係付けている人達です。;-)

>>566
質問
「あなたはコンウェイの超現実数では1 != 0.999... が成り立つと思っているんですか？」

いつも勝手に論点を定めたり変えたりするね

>>568
それが、そういうのを無視して、実数の話に限られてないはずのこのスレを
「普通に計算すれば」「1/0.111…=1.111…」になりますよね」といった旨を述べて
勝手かつ唐突かつ了承無しに実数限定の話で場を仕切ろうとした奴がいるんだよ
誰とは言わないけど>>563を書いた奴なんだけどさ

>>569
実数限定じゃないけど。

>>569
それと
1/(1-0.1) = 1.11...
だけどね。

>>569
で、

「あなたはコンウェイの超現実数では1 != 0.999... が成り立つと思っているんですか？」

ひょっとして「はい」なんじゃないの？

まだ存在してたのか
1/0.9=1.111…派が

1/3=0.333…宗の新興派閥だな
0.999…≠1と定義されても尚、1/3=0.333…と主張するとは

>>573

「0.999…≠1と定義されても」って何が言いたいの？
「定義されても」？

>>571

もしも>>495がその根拠だというのであれば、「納得できる証明」とはならないな。

まあ超現実数の場合は二進法表記でないとちょっとまずいとは思う。
0.999…≠1
じゃなく
0.111…≠1
であり
0.000…≠0
ならありかと

>>576
やっぱりわかってないんだ。

>>575
そうでしょうね。
ところであなたに理解できる数学的な証明ってどんなものがあるんですか？
ひとつでもあります。
ちょっと興味がある気がしてきた。

>>577
へえ

>>578
おっと、あんたは>>486で
「1.11...とはΣ_{n=0}^∞ 0.1^n のことだ」
ということを言ってるから、その場合は理解できる。
混乱させて悪い。

自分が理解できないのは
{1, 0.1, 0.01, 0.001, ・・・}の無限和がΣ_{n=0~∞} 0.1^nに等しい、ということだ。

conwayのとは違う超現実数があったのか。

>>578
> あなたに理解できる数学的な証明ってどんなものがあるんですか？
→ 自分が理解できる程度に簡単な証明ｗ
（完全性定理の証明を除く）

>>577
>>576は誰だい？

砂消し注意報

どっかに乗ってたんだが
1=1/3+1/3+1/3
=(1÷3)+(1÷3)+(1÷3)
=0.333…+0.333…+0.333…
=0.999…
てのがあったな。

うん、だから
通常の
0.999…=1⇔0.333…=1/3
となる系も定義しえるし

0.999…≠1⇔0.333…≠1/3
となる系も定義しえるんだよ

>>566
1! ≠ 0.999…
なら
(1/1-0.1)! ≠ 0.111…
になるんじゃないの？

>>566
1 !≠0.999…
なら
{1/(1-0.1)} !≠1.111…
になるんじゃないの？

ループし始めた

1≠0.999…で
1÷9=1/9かつ0.999…÷9=1.111…だけど
1/9≠1.111…ではない系ならそうなる

そこでは小数展開した時の辞書式順序が基準の世界
だから0.999…≠1だけど0.111…=1/9になる

いつまでたっても目が覚めないみたいだけど

・ 1/(1-0.1)≠1.111… になる系なんてないよ
・辞書式順序ってうるさいけど、順序が入るときだけが特殊ケース

がわからないままに一生を終えるんですかね？

・0.999…=1教
主張:0でない無限小は無し
・0.999…≠1教0.333…=1宗
主張:一意かつ素直に表された小数展開を採るべし
・0.999…≠1教0.333…=1宗
主張:0でない無限小が無い保証など無い
・大勢靡然教
主張:強き意見に靡くのみ
・定義順応教
主張:全ては定義次第

あぼーん

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
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　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
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0，999・・・＝１なら0,333・・・＝0,33・・・34?

どこまで続いても4の桁は出て来ないな

ここにあるアキレスと亀の競争でランプを点けたり消したりする話だけど、
http://kreisel.fam.cx/webmaster/clog/img/www.ice.nuie.nagoya-u.ac.jp/~h003149b/questions/infinite.html
「1秒以後については定義されていないから、 ランプがついているかどうかについては、何も言えない」
というのはその通りなのだが、でも実際にやったらどうなるのさ？

「実際にやったら」

１．Σ(n=1...∞) (-1)^n と同様に未定義→問いとして無意味
これじゃ「1秒後」に相当する状況が生まれない

２．lim(x→0)sin(1/x) と同様に未定義→問いとして無意味
ランプは触らなきゃそのままの状態を保つ、ということが表現できていない

３．そのような明滅は不可能→問いの前提が偽
現実の物理的時空ではなく、理想化された条件でも不可能？
別に矛盾が発生しているわけではないので、不可能だという強い理由がない

４．結果は不明→問いとして成立しているが答えはない

うーん、わからん

0.333…=1宗

>>597
ベナルデーテのパラドクス参照

>>597
実際にやったらホーキング輻射起きて危険なので良い子はやらないほうがいいね。
しかし、それが不思議という感覚が不思議だよ。

>>599
参照したけど何もパラドクスにはなってないね。
>>600
1、２，３、４、その他、のどれ？

>>601
つまりそれが>>597の答え

>>602
ん？
ベナルデーテのパラドクスとやらは、「アキレスは動くことができない」で終わり。
どこにもパラドクスはない。

sin(1/x) が x=0 で定義されていないのと違って、ランプ（とその状態）は1秒後も存在してるわけで。

時間反転してるだけだから同じ話。

>>601
その他

t>=1について規定していないから問題設定が変

>>604
少なくとも有限回はランプを押せるよね？
途中で諦めても諦めなくてもランプは存在し続けるよ。

>>605
この場合t>=1について規定していなくても関係ないんじゃない？
「なぜ追いつけるか？」なんて問いじゃないんだからさ。
何だったら、
「t=1 で追いつくが、そのときランプの状態がどうあろうとランプは押さない。」
としてもいいし。

×　「t=1 で追いつくが、そのときランプの状態がどうあろうとランプは押さない。」
○　「t=1 で追いつくが、t>=1後は決してランプは押さない。」

>>606
何言っても通じないとは思うけど、何回スイッチを切り替えることになるか考えてみれば？

量子化限界とか相対論的制約とか無視してるんだろうから終わりはないんでしょ？;-)

>>608
> 何言っても通じないとは思うけど、
あなたは「こうなる」という結論をはっきり言っていないから「通じない」というのは変じゃない？

> 何回スイッチを切り替えることになるか考えてみれば？
当然終わりはないでしょうね。
最後の数というのもない。
別に「最後の数が何だったか？」なんて問いじゃなくて、1秒後にランプがついているのかいないのか
というだけの問いだよ？

あなた（605は違うよね？）は>>604で「ベナルデーテのパラドクスと同じ話」と言ってるけど、それはどこかの地点で
動けなくなるういう意味？

>>609
私は>>600,>>605,>>608だよ。
こう言えばわかるかな。
ランプのオンオフ（01のtoggle）のかわりに、例えば、7つの状態をサイクリックに遷移する（0123456）場合を考えたら？
あるいは、もっと大きな状態数で65537通りを考えたら？
1秒後以降に特定の状態が選ばれてると、あなたは考えるの？;-)

問題設定が無意味なんだよ。

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>>610
レスどうも。
状態数を増やしても特に気付くことはないなあ。

> 1秒後以降に特定の状態が選ばれてると、あなたは考えるの？;-)
あるともないとも何も。
あなたは問題設定が変で無意味と言ってるけど、>>597の
「３．そのような明滅は不可能→問いの前提が偽」は選んでないよね。

無限回のスイッチを切り替えは「あり」、だけどその「結果」なんて無意味、ということかな？
よければヒントください。

>>612
極限とは何の関係も無い話でしょ。

上とは関係ないけど、
そもそもゼノンのパラドクスも、まったくパラドクスじゃないと思うけどね。

>>613
極限とは、じゃ通じないか。
時間経過とは何の関係も無いってことです。

>>613
ゼノンのパラドクスといえば、状態数を無限にすればよくある設定になるね。

「アキレスが亀に追いついたとき、アキレスは自然数全てを数え尽くしたことになる。これは一体？！」
「最後の数は何だったのか？？」
↑
などと言って混乱してる考察はよくあるけど、あなただったそれに何と言うの？
ここでも見解が分かれちゃうのかな．．．

>>615
うーん、すごいですね。
ここまでくると分からないのも一種の才能のような気がしてきました。

私の見解なんか聞いてもつまんないですよ。ゼノンの話は
1/(1-0.1)の様な有限回の作用で決定される量が1.11...の様な一見無限回の作用から決まる量と（適当な収束概念込みで）等価になるというのが私の理解なので、そもそもあなたが与えるような設定は無意味にしか思えないんです。;-)

>>616
きみ、日本語読解大丈夫？

>>615のはネット上でよく見る（他人の）混乱のことを言っているんだよ。それに対してあなたの見解を聞いてるんだ。
それは読み取れてる？
それとも私がそういう混乱した考察をしてると読み取ったの？
> ここまでくると分からないのも一種の才能のような気がしてきました。
と言うからにはそう読み取ったということだよね。

前から感じてたけど、あなたは日本語のやり取りでなんだか少しずれてるとこあるね。
ずれてる、というか一種独特な・・・

>>617
まごうことなくあなたが変に感じるので。

あと、
「ゼノンの話は・・・有限回の作用で決定される量が・・・一見無限回の作用から決まる量と等価になる」
という内容は特に異論はないが、それについてわざわざ1/(1-0.1)と1.11...を持ち出すのも異様だよ。

1/(1-0.1)についてのこだわりはホントに一種独特だよね。

電灯明滅のパラドックス=絶対符号函数|sgn(∞)|のパラドックス

定義できません＞＜

>>619
1=0.999...にこだわるよりはましかと。

>>619
あなたは>>597で
> うーん、わからん
って書いてた人なんですよね？ ;-)

違うんだったら、紛らわしいので
アスペルガーとか名乗ってくださいね。

なぁ。1/(1-0.1)より1/(10-1)で語った方が良くね？

>>616
> そもそもあなたが与えるような設定は無意味にしか思えないんです。;-)
ゼノンのもともとの論点はアキレスが亀が元いた地点につくたびに1ステップを刻んでいくものなので、
俺の設定はむしろオリジナルに近いと思うよ。
あなたの>>616の見解は否定しないが、俺が>>615で聞いたことに対する答えにはなってないよ。
答えてもらえないだろうか。

>>623　その心は？

1/(10-1)に対する宗派別解答一覧
・10進(0.999…=1)教
解答:0.111…
主張:0ならざる無限小なし
・10進(0.999…≠1)教10進(0.333…=1)宗
解答:0.111…
主張:小数展開は一意かつ素直であるべし
・10進(0.999…≠1)教10進(0.333…≠1)宗
解答:0.111…+1/{(10-1)*10^∞}
主張:0ならざる無限小なき保証なし
・大勢靡然教
解答:1.111…
主張:強き意見に靡くのみ
・定義順応教
解答:1.111…+1/{(10-1)*10^∞}→1.111…
主張:0ならざる無限小を扱うか否か全ては定義次第

そもそもゼノンのもともとの発言なら追いつけないことも実際あるわけだし

>>626
等速とは決まってない、ってやつだっけ？

そうそう。等速とは言ってない。

>>620訂正
矩形函数
rect(|x|>1/2,x=1/2,|x|<1/2)=0,1/2,1

矩形函数の閾値rect(1/2)=1/2を左極限値に改変した函数
lrect(x≠1/2,x=0)=rect(x),lim[x→0-0]rect(x)

題意(0≦t＜1)or(t→1)
lim[t→1]lrect〔1/2+1/2*sin{2*π/(1-t)}〕

t=1近傍の平均明滅時間比 1:1

数学的不確定性原理、明滅重ね合わせ状態

>>623
良くない。1の近傍ではないので。

>>625
これ何なの？

何だよ、アベール君って呼ばれている人の言う
・ 1/(1-0.1)≠1.111… になる系なんてないよ
・辞書式順序ってうるさいけど、順序が入るときだけが特殊ケース
という２つの主張はテイラー展開が根拠だったのかよ
結局は1/(1-0.1)=10/(10-0.1)=10*1/(1-0.1)だから大意は同じ事じゃんか

アベール君じゃなくてアデール君か
よくイミフ言ったり所とか「まとも」が信疑基準だったりする所から見て既成迎合主義か
大勢靡然教の一派だな

>>632
違う気がするけど。;-)

テイラー展開というより完備性でしょ

1.111… = Σ[n=0,∞](0.1^n)
= 1+Σ[n=1,∞](0.1^n)

高が初項sが0か1かの違いで何を言い合ってんだよ
小数展開もテイラー展開も広義に考えれば級数展開である事に変わりは無いだろ

>>636
1の近傍ではないからって書いてあるじゃん

アデール君は完備性が無くて病的な系だと数学じゃなくなるとでも言うのかよ？

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>>639
お前もな


とクレタ人は言った。

>>638
> アデール君は完備性が無くて病的な系だと数学じゃなくなるとでも言うのかよ？

私、病的なんて言いました？

数学で病的って、概念構成の意図が不明瞭で建設的な印象をあまり与えられない様なものを指すのじゃないかな？
（あ、自分自身が理解できないものを弄ぶのは病的な気がするけど、それは数学とは関係ないよね）

完備性が無いものを最終的には扱いたいのが普通だと思うよ。
＃普通というと怒られるんだっけ？
例えば、数論だと畢竟、整数や有理数を理解したいんだけど複雑すぎて取り付くしまがないから複素数体とかp進体とかの完備化した簡単なところからアプローチするわけですよ。

完備体は典型的かつすごく簡単なのに、たくさんある中でそのうち一つの観点しか利用しようとしないのは不自由ってだけです。

それと世間的にはp進とか標数pとかは（病的じゃなくて）エキゾチックだと思うけどね。タイヒミュラーリフトとか。

もっともこのスレの流れの中でそれを言うのはセンスの無さを感じるけどね

>>642
あなたから見て、このスレの中でセンスのあるレスって、例えばどれなんですか？;-)

>>643じゃないのは確かだな

>>644
なんか自明な回答だね

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Ed Frenkelのこのessayとかおもしろい。
（Deligneの業績についてのもの）
物理における量子論や相対論、生物学におけるDNAの発見ぐらい大きなブレークスルーなのにあまり聞く機会がないWeil予想の解決。ここで道具になっているのがl進のメカニズム。
http://blogs.scientificamerican.com/guest-blog/2013/05/21/an-unheralded-breakthrough-the-rosetta-stone-of-mathematics/

ﾊｯｹﾝﾌﾞｯｼｭｹﾞｰﾑによる1/(1-0.1)≠1.111…に対するｱﾃﾞｰﾙ君の否定.

1-0.999…=1/ω

>>649
それ正しいの？

「0.999... - Wikipedia」
何度か提示されてたのに碌に読まずに病理だの何だのと…よくもまぁ偉そうにしてやがったな

>>651

> 「0.999... - Wikipedia」
> 何度か提示されてたのに碌に読まずに病理だの何だのと…よくもまぁ偉そうにしてやがったな

「Wikipediaのその項目の記述は病的なんじゃなくて馬鹿的です」って書いたんですが。

で、Conwayの構成だと
1-0.999… = 1/ω
になるって、あなたは本気で信じてるんですね。;-)

1/3= 0.33333333333333...
2/3= 0.66666666666666...

1/3+2/3=1

0.3333333333...+0.666666666...=0.99999999999...


1=0.99999999999999...

バカオツ

とはいえ、右辺の方がほんのちょっとだけ小さいという認識でよいのかな？

>>655
可能無限の方ですか？

>>655
良くない。
ぴったりいっしょか、全然違うか、の二択。どっちになるかは文脈依存。

数学で出てくる無限小って小さいわけでは全然なくて、むしろスレスレで接してる方の世界の量ってイメージじゃないですかね。

微分とかそうじゃないですか。

むしろ矛盾スレスレ

N : 自然数
x=1 → x∈N
y=0.9･･･ → ¬y∈N
∴x≠y

ぐぬぬ

>>652
ハッケンブッシュゲームを虚仮にしたな？そうか。組み合わせゲーム理論に世話になんなよ
ハッケンブッシュゲームの話とコンウェイの超実数の話とを一緒くたにして語るとか
本当に自分基準の人間だな

>>660
> ハッケンブッシュゲームの話とコンウェイの超実数の話とを一緒くたにして語るとか

違いを説明できる？ ;-)

0*1=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
0@0=0 0@1=1 1@0=1 1@1=0

>>662
a & b = a*b
a or b = a+b-a*b
a xor b = |a-b|

アデール君の考えているのは数学じゃなくて実学だな

ハーディ主義の逆か

>>664
ふーん、そう？
こういうの（>>647）も数学じゃないの？
了見が狭いね。;-)

>>666

無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正してから、９条を改正する。　そして、何条を改正するか？
１８条だ！　そうして、国家総動員法ができて、オマエたち、無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵だ！
オマエたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！

アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

つまり
1=(･ω･)

1/(1-0.1) = 1.11... で x = 0.1 とすると
1/(1-x) = 1+x+x^2+... で、積分すると
log(1/(1-x)) = x/1+x^2/2+x^3/3+...

y = 1/(1-x) とおけば x = 1-1/y だから
log y = (1-1/y)/1+(1-1/x)^2/2+(1-1/y)^3/3+...

例えば
log 2 = (1/2)/1+(1/2)^2/2+(1/2)^3/3+...
で、log xy = log x + log y を利用すると
log(2^n u) = n log 2 + log u
だから 1<u<2 について log u が計算できればいいから
対数の計算って簡単だよね

{0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, ・・・}を全部足したものを
Σ9/10^n で再定義するのはなぜですか？
ほかに適当な定義が見つからないからでしょうか？

妥当な定義だと思うが…何か問題あるか？

適当って何がどう適当であって欲しいんだｗ

妥当と思うか、って聞かれたらそりゃ妥当だ。
でも本来の定義を差し置いた余計な再定義だって言われればそうかも、って思う。

んな妙ちくりんな俺理論を言われても…

「本来の定義」も「余計な再定義」も定義しないで語るような奴が定義について論ずるなど馬鹿馬鹿しくて見てられない

>>674

本来の定義：
集合{0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, ・・・}の全要素の和

再定義：
ある実数aが存在して
(∀ε> 0)(∃N)(∀ｎ)( N < n → |0.9 + ・・・ + 9/10^n - a| < ε)
であるとき、Σ9/10^n = a とする。
ただしεは実数、Nとnは自然数の範囲を動く。
この場合a=1がこの式を満たす。

これでいいっすか？

>>675
Σ9/10^n は Σ{n=1→∞}9/10^n の略ね。
あと同じｎを使ったのはいまいちだった。

>>675
よくない
前者はΣについてしか言ってない

>>675

もともとの和は二項演算だから有限個の和にはそのまま拡張できる（結合律もあるし）けれど、無限個の和を云々するためには代数演算以外のしかけ（位相とか収束）がいるんですよ。

>>678
ただし、位相が純に代数構造から決まってる場合もあるけどね。
p進とか形式べき級数のときとか。

ちょっと訂正
条件収束の場合足す順序によって結果が違ってくるから、そこは考慮が必要だった。
>>675の本来の定義：
×　集合{0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, ・・・}の全要素の和
○　数列{0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, ・・・}のこの順での全要素の和

>>678
> 無限個の和を云々するためには代数演算以外のしかけ（位相とか収束）がいるんですよ。

実数についての話なので位相や順序関係はもともと持っているけどね。

　　数列 {0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, ・・・} のこの順での全要素の和、
　　がwell definedであるような気がしてならない。
　　だとすれば収束概念を使った再定義など不要であって、「本来の」定義だと1≠0.999...になっているかも。

これが「病理」の本質だと思う。

>>681
> がwell definedであるような気がしてならない。

そこをちゃんと定式化できればいいんですよ。どういうことを考えてるの？

> 「本来の」定義だと1≠0.999...になっているかも。

実数体だと、それはありえない。;-)

そもそも「病理」なんて表現はわかってない人しか使っていない気がする。

>>682
君はどうもこのスレの趣旨がわかっていないようだな。
1≠0.999... 派の病理ってのがあって、そこに切り込むのもスレのひとつの意義なのにね。
そんなことだからアデール君とか呼ばれちゃうんだよｗｗ

>>well definedであるような気がしてならない。
>そこをちゃんと定式化できればいいんですよ。どういうことを考えてるの？
それは難しいｗ
「well definedでない」ってことを証明してあげないと。

>>683
白痴に趣旨なんて大層なものはないでしょう。;-)

>>684
スレの趣旨→白痴に趣旨、か。
確かに独特な感じって言われればそうだな。
主語と述語をバラバラに組み合わせても気にならないとはｗ

>>683
well definedである説明ならよくあるけど、逆の証明なんてある？

>>685
> well definedである説明ならよくあるけど、逆の証明なんてある？

だからこの人well definedness 自体がよく分かってないんですよ。;-)

この人の思ってるスレの趣旨っていうのがナンセンスだと思うね。

あ、私の言ってる白痴って>>683のこと

↓これって、オマイラが歌ってるんだよな？
http://www.youtube.com/watch?v=yxOiP5SxocY&sns=em

今日もアスペ君は元気だね

>>666
ほらまたそうやって人の言った事を取り違える
普通>>664みたいに書かれたら
「実学不問の純粋数学じゃなくて実用数学だな」と取るだろ
世俗的な言い方ではなくいちいち言葉を尽くせってか？

>>665
近いな
当の本人は無自覚だろうけど

>>690
ふーん。で、あなたは>>647で触れているDeligneの仕事のベースがl進とかアデールだとかってことは分かってる？;-)

カワエエｗ

今、実数体からアルキメデス性を欠いた数系を
信者は「真実数と呼べ」と強迫的に主張するだろうが
数学的議論をする上で雑念となる神秘思想を退場させる為に放置して劣実数としつつも
0でない1/∞が存在せぬ保証無しという理念を尊重し逆数が0とならぬ∞なる概念ωを仮設する｡

この系に於いて、例えば3進数表現に於ける0.222…のp-進表現つまり3-進表現…222は最下桁に1を足しても零元に成らない｡
実数体3進表現で0.222…のp-進数表現…222の最下位に1を足して零元になる事とは異なる｡
信者は「実数体に対するp-進表現では最下桁に1を足すと0になるとするが
それは実数体でのアルキメデスの性質がp-進表現上で化けた性質に依存しており
結局は実数体でのアルキメデスの性質に帰着する性質である」と言うだろう｡

この様に、10進表現上0.333…≠1/3宗にとって∞は必ずしも逆数が0とはならず
「0でなき無限小は無いとするアルキメデスの性質」は彼等にとっては
有効数字第ω位で行う近似であり、実数体は近似体である｡

これらアデール君が病理と言う彼等の理念は真にドライな目で見れば分かる通り
病理もヘッタクリも無いどうでも良い話で、結局は日常では彼等も実数体を使う。それに対して
「1/(1-0.111…)=1.111…という結論はアルキメデス性も何も無い」というアデール君の理念こそ
病理であると言わざるを得ない｡

>>694
意味がわかりません

> 「1/(1-0.111…)=1.111…という結論はアルキメデス性も何も無い」というアデール君の理念こそ
病理であると言わざるを得ない｡

1/(1-0.1) = 1.11... だよ。あと、理念じゃなくて単なる事実ですよ。
Q_pやF_p((X))は、実際、非アルキメデス的なので。

アデール君「『0でない無限小』という考え方は病理｣

>>697
一体全体なんでそんなヘンテコリンな誤解に至るのか想像がつきかねるけど、adeleのp成分はZ/p^nZの射影的極限（つまり極限を取る前はどれもべき零だから、ある意味、無限小）だし、
アルキメデスな実の成分も含めて局所体の0じゃない元は全部0じゃない無限小みたいなもんですよ。
だからその上で微分したりできて簡単なんだよ。

分かるかなぁ？ ;-)

絵に描いたような厨二を見た

>>699
それは>>698が絵に描いたように凡庸なコメントだってことだよね？
そのとおり、これ以上はないくらい凡庸で当たり前だけどね。

厨二的 = 凡庸で当たり前、という考えなのか。
いや全く一種独特ですなあ

>>701
いや。そもそも何が言いたいのかよくわかんないから。

いろんな奴に言われてんのな

>>703
なんか意味のあること言ってごらん。;-)

自分が言えばいいのに

>>705
あなたは、例えば、>>698 の意味が汲み取れるんでしょうか？

小学生が二次方程式が解けると自慢してそれが何なんだか

「将軍様、では、まず、あなたが 0.999・・・ を定義してください
なんだかわからないものを等しいかどうかなんて判断できません」

「 私のほうで勝手に 0.999・・・ を定義してしまっては、卑怯ですからね
そちらで決めていただかないと・・・え？定義なんかできない？
自分でもなんだかわからないものに対して、『1 と等しいか 』 などと思い煩ってらっしゃったのですか？」

「0.999・・・が何かわかっているなら定義をいえるはずですし
わかっていないなら、『 = 1 か？』などど聞く以前に『0.999・・・て何？」と聞くべきです。
順番が違っております」

＞集合{0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, ・・・}の全要素の和
ナニソレ？
本来は極限を用いずに定義されているとでも思っているの？

ばかだなああ
おまえたち！
フィールズ賞を取ればいいんだよ　だれも入試問題なんかで評価船よ！WWWW

>>696
じゃあアデール君はハッケンブッシュゲームによる結果を否定するんだね

>>711
≠派なんてそんなもんでしょう。
もしくは有限桁で終わっているか。

無限の操作ってのは純粋な論理だけで「ありえない」と否定しようとしても無理。
真逆だが可能無限派の主張についてもそう。
「無限の操作が可能だが、和の値が何なのかは具体的にはわからない」とか言い出したらなんでも可能ｗ

カントールによる「実無限」の導入によって数々のパラドックスが発生し、数学は未曾有の大混乱に至った。
そして、それらは未だに全面的には解決されていない。

いっそのコト、「可能無限」で良いのでは？　あの妙ちくりんな選択公理も不必要になるよ。

可能無限集合論では選択公理は不可欠

自らの数学経験のない者ほど騒ぎ立てる
不完全性定理を引用する者と同じだな

で、結局これって何なのさ

＞本来の定義：
＞集合{0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, ・・・}の全要素の和

>>717
ん？無限を実体として扱わないのだから、そもそも選択公理は考慮する必要さえないのでは？

>>719
集合{0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, ・・・}の全要素の和、というものを表すふたつのモデルを考えるんだ。

　有限の範囲では通常の和と一致
　すべての 0.00・・・9 が結果に寄与
　自然に受け入れられる

そのうえで二つの結果が異なれば、
集合{0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, ・・・}の全要素の和、なんてものは well defined じゃない、と晴れて断言できるわけだ。

このスレ的にはそこまでしないとだめだろう。

>>720
有限限定集合論なら選択公理は必要ないが、可能無限集合論は無限公理が無いだけで無限集合が無いことは証明できないので、選択公理は証明できない。

だから、「必要ない」んだろ？そりゃ証明もできんけどな。

ところが選択公理が無いと有限集合の性質のかなりの部分が証明不可能になるため、選択公理は必要になる。

可算選択公理でおｋなのでは？

制限された選択公理でもなんとかなるかもしれないが(ちゃんと証明はしてないので)、なにかは必要。

有限集合だったら選択公理もそんなに妙ちくりんなモノが出てこないし、ほぼ自明なんじゃないの？

いちいち人に確認とってばかりだな

選択公理が不自然だと感じる奴らってバナッハ・タルスキ以外にその根拠あるの？
バナッハ・タルスキが荒唐無稽に聞こえるのは定理を日常語で噛み砕いたときに表現が不正確になるからなんだけど

可算集合が存在するかもわからない集合論で可算選択公理ってどう定義するつもりだろう。

無限を実体として扱わないんなら0.999…が1と同非かも言えないね
数学的帰納法の対象は有限項だからね

もしかすると　1≠0.999...　かもしれないと思っている人がいたら
その人に
無理しないで1＝0.999...を認めた方が楽だよ
と言ってあげたい
数学では「楽になれるよ」というのは大事なのではなかろうか

認めるも認めないも0.999…≠1派だって便宜上0.999…=1系を使うだろ
やっぱりリッチマンが言う様に「実数体の定義に等式0.999…=1は含まれている」んだよ
実数体の定義⇒0.999…=1

>>722-733
なるほど…
つまり、「円周率は3」みたいなものか…

そりゃ便宜上の話したら実数がベースになる罠
辞書式順序だの循環小数さえ有理数でないだの言ってたら面倒だ

つまり、定義次第のどうにでもなる類のどうでも良い話って事ね

>>681
数列 {0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, ・・・} の要素の和がwell definedなら、
数列 {1, 2, 3, 4, ・・・} の全要素の和だってwell definedになるんじゃないのか？

集合{A1, A2, A3, ・・・}の各要素から元を選んでできた集合{a1, a2, a3, ・・・} (ai ∈ Ai)　もwell definedになっちまうな。

・・・そりゃOKか。

>>736
数学ではまったくその通り、もう決着のついた話。
なのになぜか２ｃｈでは定期的に同じスレが立って話題がループする。

循環少数だけに

>>739
おしかったね

循環小数と書いてあれば
ちょっとおもしろい文だなと思ったのに
決め言葉で間違うなんて
さすがに少数はダメだろ

0.999…≠1かつ0.333…=1/3とすれば
1-0.999…≠3(1/3-0.333…)となる不整合が有り
0.999…≠1かつ0.333…=1/3としてその不整合を無くせば
小数展開が減算や除算について閉じなくなる
ただそれだけの事

それなのに「0.333…≠1/3になる系はない」と言い張るアデール君は既成迎合主義だな

>>742
アデールさんはいつでも
1/(1-0.1) = 1.11...
となるとしか言ってないよ。

10進上1=0.999…や1≠0.999…かつ1/3=0.333…の考えで
1/(1-0.1)=1.111…
とするなら10進上1/3≠0.333…の考えなら
1/(1-0.1)≠1.111…
となるだけの話、つまりは直接明言してないだけで論理的には
「10進上1/3≠0.333…になる系はない」事を含意した発言になっている

1≠0.999...と言う人は
１粒でも砂山だと言う人とどこか似ている

>>744
アデールさんは、混標数や正標数でも
1/(1-0.1)=1.11...
となるけど、混標数や正標数では
1=0.qqq...
とはならない
（q=p-1で、pは剰余体の標数として）
と言ってるんだから、お前の「論理的に含意」というのは間違いだな。

>>746
> 1=0.qqq...
ではなく
> 1/3≠0.333…
だぞ

>>747
> 1/3≠0.333…
> だぞ
お前学習能力も無さそうだからわからんだろうが、1/3は単数（p=3を除く）で0.333...は素元の倍元なんだから、そもそもオーダーからして違ってるんだが

0.aaa... = a*0.1/(1-0.1)

1/(1-0.1)≠1.111…⇒0.1/(1-0.1)≠0.111…⇒0.3/(1-0.1)

1m-1m=無　1m-0.999...m=点？　1�u-0.999...�u=点？
1秒-0.999...秒=瞬間？
1g-0.999...g=？？？　教えて偉い人

全部ゼロ

超有理数で考えると、
0.999…≠1
0.999…≒1
とできる
無論この「0.999…」は、一般的な無限循環小数0.9^･ではなく、ある超有理数をあえてこう表記しているわけだが

1/(1-0.1) = 1.11... で x = 0.1 とすると
1/(1-x) = 1+x+x^2+... で、積分すると
log(1/(1-x)) = x/1+x^2/2+x^3/3+...

y = 1/(1-x) とおけば x = 1-1/y だから
log y = (1-1/y)/1+(1-1/x)^2/2+(1-1/y)^3/3+...

例えば
log 2 = (1/2)/1+(1/2)^2/2+(1/2)^3/3+...
で、log xy = log x + log y を利用すると
log(2^n u) = n log 2 + log u
だから 1<u<2 について log u が計算できればいいから
対数の計算って簡単だよね

$\frac{1}{1-0.1} = 1.11\cdots$ で $x = 0.1$ とすると
$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+\cdots$ で、積分すると
$\log \frac{1}{1-x} = \frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots$

$y = \frac{1}{1-x}$ とおけば $x = 1-\frac{1}{y}$ だから
$\log y = (1-\frac{1}{y})/1+(1-\frac{1}{x})^2/2+(1-\frac{1}{y})^3/3+\ldots$

例えば
$\log 2 = (1/2)/1+(1/2)^2/2+(1/2)^3/3+\ldots$
で、$\log xy = \log x + \log y$ を利用すると
$\log(2^n u) = n \log 2 + \log u$
だから $1<u<2$ について $\log u$ が計算できればいいから
対数の計算って簡単だよね

1-0.999999999........=0.00000......

>>1
＞全員が納得できるような証明を考えましょう

「わからない人はわからなくていいよ」

これでいいのではないのか

人を馬鹿にしきった性格でひけらかし続けた
アデール君;-)
の落日
byジャイアンю:】

2進体では1.11...
3進体では2.22...
5進体では4.44...
7進体では6.66...
p進体ではq.qq... （ただしq=p-1）になる有理数はなぁんだ？

>>759
-1

慈円乙

慈円ってコレ？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 わ　お 　 　 お
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 , -─-､　 ,、　　　　　 す　か　ほ.　う　ほ
　　　　　　　　　　　　　　　　　 /､_ ,　 　 ∨|｀、　　　　 み　た　ふ　き　け
　　　　　　　　　　　　　　 　 　 iﾆ,　ニ　ｆﾍl｜｜　 　 　 そ　つ　か　世　な
　　　　　　　　　　　　　　 　 　 ｢厶、､ ｉＫ/〉!　|　　　 　 め　杣　な　の　く
　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 Yﾆ ' _ﾝ///　 /`7､_　　 の　に 　 　 民
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,ｨ｢爪／//　 /// /ﾉヽ、袖　 　 　 　 に
　　　　　　　　　　　　　　　　 / ∨ | レ'/　_〃/ ／　　l
　　　　　　　　　　　　　　　／ヽ　Vl／/　LXﾅl ／　　 |
　　 　 　 　 　 　 　 　 　 /ヽ、ﾊ　| ／ _ ｨ小ﾒ、_　　　 ﾄ､ ＿＿＿
　　　　　　　　　　　 r'ﾆ７ﾝ'⌒て￣丁lヾ⌒T＝､_￣二ﾆﾉ＼　 r＜〉
　　　　　　 　 　 _,∠厶イ　/　　`个l | ヽ　｜　|＿l _　l　ヽ　|ﾌ_ 　 ￣＞､
　　　　　　_｣工´_ / ／/　/ 　 　 ｜l.|　　＼ヽ、ヽ┴ ┴ ' ´l 〉 ＞＜　｀'く
‐o ＜￣｢／　　　∨＿　/＿_,.．-z_｣|　　　 ｀丶､ ＼二ﾆ＝┴┴‐-､＼＿ヽ、‐ o ─
　￣_　>'´　　　　　 ＼　 ＼/　_ノ　八 　 　 　 ＿≦、　　　　 , - '"lく｢ 　 ヽ/ ￣ ￣
　　l／ヘ、　　　　　　 _, ｨ'´厂　 之フベ.二￣ 　　∠ -‐=＝"　 ／　ヽ＿＿＼
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方針1 0.999…=1.999…/2=1 実数体
方針2 0.999…=1.999…/2≠1 辞書式順序
方針3 0.999…≠1.999…/2≠1 順序不完備

>>759
> 2進体では1.11...
> 3進体では2.22...
> 5進体では4.44...
> 7進体では6.66...
> p進体ではq.qq... （ただしq=p-1）になる有理数はなぁんだ？

方針1に於いて1
方針2と方針3に於いてその様な有理数は存在しない

単なる記数法としてのg進法と、代数系としてのp-adic numberを混同してるのか？この人は

当然、p = 0.1 だよ

妄想でいいからネタを

方針1 0.999…=1.999…/2=1 実数体
方針2 0.999…=1.999…/2≠1 辞書式順序
方針3 0.999…≠1.999…/2≠1 順序不完備

方針1に則ったp進数では勿論、q=p-1に於いて表題は-1だ｡
0.999…≠1かつ0.333…=1/3となる不整合がある方針2はさて置き､
方針3では0.999…≠1かつ0.333…≠1/3となるという事はつまり
方針3は零でない無限小超実数が在り、また、無限大超実数も在るという事になる｡
つまり方針3に則ったp進数では表題は-1にはならない。具体的には-1+1/ωとなる｡

>>767
何が何やら

アデール君は言います
「神に誓い、この命に賭けても0.999…≠1となる系はありません！」と

>>769
都合が悪くなると火病る
大方、ネットで見つけた数学用語"だけ"覚えて悦に入ってるんだろうけど、ちっとは真面目に学習せんかい

アデール君の厨二ぶりは確かに(笑)

>>769
あほ？
小数展開の一意性が成り立たないのは∞だけだよ。

アルキメデス素点ね

>>770
どうかな？俺らの目から見てアデール君が火病の発作を我慢してるとしか見えないんだよ
＿＿＿
399:１３２人目の素数さん :2013/05/12(日) 23:53:06.61 [sage]
ちょっと気持ち悪いので言わずもがなのことを書いておくと、Conwayのsurreal numberは、ちっとも病的じゃないでしょう｡
Wikipediaがなんだかなぁと思うのは病的とかそういうのじゃなくて馬鹿的なところです｡

591:１３２人目の素数さん :2013/05/18(土) 18:54:02.94 [sage]
いつまでたっても目が覚めないみたいだけど

・ 1/(1-0.1)≠1.111… になる系なんてないよ
・辞書式順序ってうるさいけど、順序が入るときだけが特殊ケース

がわからないままに一生を終えるんですかね？
￣￣￣
（そんなアデール君と一緒になってる上に口が悪く
アデール君以上の暴言を吐く君は余計にね。慈円だと言われるわけだよね)
ωや1/ωが出て来ない範疇しか知らん癖に
アデール君と言ったら終始鼻にかけた口調なんだからな