コラッツ予想がとけたらいいな

525 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/03(月) 18:24:27.22
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/
コラッツ予想について、証明を考えてみました。
ご指摘ご意見ご感想など、ぜひよろしくお願いします。

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豆岡高校

スレ立てありがとうございます。

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最初に偶数はアウト（１に収束）
４の倍数になったらアウト
この辺の証明は省略

１を除く奇数３・５・７・９…
の偶数番目は(3n+1)/2の中で４の倍数で省く

３・７・１１…
の奇数番目は(3n+1)/2を２セットの中で４の倍数なので省く

７・１５・２３…
の奇数番目は３セットの中で４の倍数なので省く

以下その連続
数学的証明の仕方はしらね(・д・｀)
n=8x-1
(8x-1)+4x=(3n+1)/2
後は任せた

偶数nにおいては「奇数×２のα乗」なので奇数になる

奇数nにおいて
n=2x-1(n>0)としたときxが奇数であれば(3n+1)/2をすると偶数となる
n=4x-1(n>0)としたときxが奇数であれば(3n+1)/2を２回すると偶数となる
n=8x-1(n>0)としたときxが奇数であれば(3n+1)/2を３回すると偶数となる
↓
n=(2y)x-1(n>0かつ奇数,y>0,x>0かつxは奇数)のときに(3n+1)/2をy回すると偶数となる
nが有限であればn>y,n>xが成り立つので偶数になる

nが偶数ならばn/2となりn>n/2
nが奇数ならばn=2x+1とおき
(3n+1)/2=3x+2
このとき3x+2が偶数であればx=2yとおき
(6y+2)/2=3y+1=(3n+1)/4
n>1なのでn>(3n+1)/4

訂正
奇数nにおいて
n=(2のy乗)x-1のときに(3n+1)/2をy回すると偶数になる

自分のことで手がいっぱいだがそっとエールを送りたい

こちらの過去スレも参考になるよー


【検証】コラッツの予想(1-1000)
http://2chnull.info/r/math/1240289175/1-1001

nが奇数→n+1を素因数分解する
上記での２の乗数をy,その他を全てかけたものをxとする
n=(2^y)x-1　←　n=（2のy乗)x-1であってるか分からないけど

(3n+1)/2をしたときに出る値mは
m=3x(2^y-1)-1

mに対しても偶数であれば/2,奇数であれば上記
nに何ステップ入れたとしてもその数値がnに戻るにはx,yがともに１でなければならない
よってn=１以外の奇数でループ不可

・・・で、いいのかな？

＞奇数nにおいて
＞n=(2のy乗)x-1のときに(3n+1)/2をy回すると偶数になる
これは成り立たないよ

例：7=4*2-1、11=4*3-1だが
7,22,11,34,17,52,26,...

というか、そんなに簡単に証明できたら難問になってないからｗ

>>15
7=2^3-1では？

単なる思いつきだけど話の種にでも

自然数全体からなる集合をNとする。NからNへの、この問題の操作を表す関数をfとおく。
すなわち、nが奇数ならf(n)=3n+1、nが偶数ならf(n)=n/2と定める。

Nの部分集合Aで、f(A)⊂Aを満たすものを「コラッツ不変集合」と呼ぶことにする。
すなわち、Aのどの要素nに対してもf(n)∈Aが成り立つような集合Aのことである。
特にf(A)=Aを満たすものを「コラッツ強不変集合」と呼ぶことにする。
すなわち、コラッツ不変であり、かつ「どのn∈Aに対してもあるm∈Aが存在してf(m)=n」を満たす集合Aのことである。

例
N自身はコラッツ強不変集合
｛1,2,4｝はコラッツ強不変集合
｛1,2,4,8,…,2^k｝(k≧3)はコラッツ不変だがコラッツ強不変でない
より一般に、(1,2,4以外の)ある自然数から始めて1になるまでに現れる全ての自然数の集合はコラッツ不変だが、コラッツ強不変でない
例えば｛13,40,20,10,5,16,8,4,2,1｝

「コラッツ予想が正しい」⇔「全てのコラッツ不変集合が｛1,2,4｝を含む」が成り立つ…と思う。

あ、最後の命題は「空でない全てのコラッツ不変集合が…」に訂正

チラ裏の続き
>>17と同じ記号で

Nの任意の部分集合Aに対し、Aを含む最小のコラッツ不変集合が存在する。
A∪f(A)∪f(f(A))∪f(f(f(A)))∪…
がそれである。

・φ,Nはコラッツ不変
・コラッツ不変集合の任意個の和集合はコラッツ不変
・コラッツ不変集合の任意個の共通部分はコラッツ不変
が成り立つことが容易に分かる。
よって、コラッツ不変集合全体を開集合(または閉集合)としてNに位相が定まる。(どっちがいいんだろう？)

コラッツ不変集合を閉集合と定義した場合、上で挙げた「Aを含む最小のコラッツ不変集合」はAの閉包に一致する。

どちらの位相でもfは連続(証明略)

実例を見ると、「コラッツ不変⇔閉集合」の方がそれっぽい気がする。
wikipediaの「コラッツの問題」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
にあるような図で考えると、閉集合は下に閉じている感じで、開集合は上に延びていく感じになる。

例えばn∈Nに対し、「有限回の操作でnになる数全体」は開集合。特に、これはnを含む最小の開集合である。

と、ここまで書いてみたはいいけど、結局「集合XとXからXへの写像fの組」についての一般論の域をほとんど出てない…どうしたものか。

位相の言葉による言い換えが２つほど得られたので一応書いておく。

「コラッツ予想が正しい」⇔「Nが連結」
∵
(左⇒右)1を含む最小の開集合をAとすると、Aは「有限回の操作で1になる数全体」と一致し、予想が正しければA=Nである。
このことから、1を含む連結成分はNとなり、Nは連結。

(右⇒左)再び1を含む最小の開集合をAとすると、Aは「有限回の操作で1になる数全体」と一致し、これよりAは閉集合でもあることが分かる。
Aは開かつ閉で空でないから、連結性よりA=N
。これは、全ての自然数が有限回の操作で1になることを意味し、したがって予想は正しい。□

「ループが有限個かつ無限に大きくなる列は無い」⇔「Nはコンパクト」
∵
(左⇒右)任意に開被覆｛U_λ｝をとる。有限個のループから１つずつ数をとり、a_1,…,a_nとすると、
a_i∈U_(λ_i)(i=1,…,n)となるようにλ_iが選べて、｛U_(λ_i)|i=1,…,n｝が有限部分被覆となる。

(右⇒左)ちょっと長くなるので概略で。
対偶を示す。
無限に大きくなる列があればそれをa_1,a_2,…とする。
ループが無限個あれば各ループから一つずつ数をとり、a_1,a_2,…とする。(選択公理？)
どちらの場合も、a_iを含む最小の開集合をU_iとおくと、｛U_i｝を用いて有限部分被覆を持たない開被覆を構成できる。

調べたらさらに古いスレが

コラッツ予想
http://logsoku.com/thread/science2.2ch.net/math/1072595845/

2進整数環 Z_2 の部分集合 S を以下の規則で構成する。
α = 3^(-1)　 ( ∈ Z_2 )　とする。

1)　1 ∈ S
2)　n ∈ S　⇒　4n - 1 ∈ S
3)　n ∈ S　⇒　α(4n - 1) ∈ S
4)　n ∈ S　⇒　2αn ∈ S
5)　以上の規則で生成される数のみが S の要素である。

コラッツ予想は、S が自然数全体 N を含むことと同値。

---------------------------------------------------------

で、何がいえるかというと・・・いや、それは

Z_2に拡張できるってのは俺も考えたことがあるな。
で、拡張について考えてみたら以下のことが分かった。
以下、Z_2に拡張したとして議論するが、他になんらかの拡張があったとしても(多分)同様。
Qを有理数体とする。

�@Z_2∩Qの元から始めて操作するとZ_2∩Qの元しか現れず、Z_2＼Qの元から始めて操作するとZ_2＼Qの元しか現れない。

∵前半は自明。後半は背理法。
x∈Qが現れたとすると、その一つ前は2xか(x-1)/3なので、一つ前も有理数。
繰り返すと、結局最初の数が有理数ということになり矛盾。□
�AZ_2＼Qではループは存在しない。

∵a∈Z_2から何回か操作してaに戻るとする。このとき、aはある方程式g(x)=xの解になる。
ここでg(x)は、xに「3倍して1を足す」「2で割る」を何回か繰り返して得られる多項式であり、したがって有理数係数の1次式である。
よって、g(x)=xの解は有理数。□

�Aの所改行し忘れた…

そんなわけで、有理数より大きく広げる必要は無いんじゃないかなーとか思ったり。

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分母が5の既約分数で調べてみたら、いくつかループがあった。それぞれ
1/5
19/5
23/5
187/5
347/5
を含むもの(これらはそのループ中で最小の数)。まだ小さい初期値でしか調べてないから、もっとあるかも。
下２つは、両方とも「*3+1」を17回、「/2」を27回で計44回の操作でループする。なんかありそう。

負の数でも調べてみたら、少なくとも-1/5から-299/5までは、全て-1/5を経由して1/5のループに到達した。
なんか普通の自然数と雰囲気似てる気がする。

>>27
整数で考えると3n+5になるのか
それから187はループじゃないっぽい
もっと大きい数でもやってみたら
大体1か19か187のループに入る
低確率で347(例:443)、23はほとんどない

阿呆の書き込みは軽蔑に値するだけ。

狢

>389 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/23(金) 20:18:33.20
> 低脳撲滅主義の下では現低脳が絶える時に低脳上限上昇による新低脳が生まれる故の無限淘汰地獄｡
> 低脳撲滅主義に於いて低脳認定基準を設けても時代と共に基準は改正されるので無駄な事である｡
> つまり猫改め描改め狢は学力的弱肉強食主義である。行き過ぎた撲滅主義は文化衰退を招く｡
>

http://uploda.cc/img/img50b15832de2ac.bmp
26までの数からの変化をまとめてみた

狢

>454 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/24(土) 19:51:25.34
> あーあ、独逸みたいな三大政党化を期待しとったが期待外れじゃな｡
> 一大政党では独裁を生み
> 二大政党では思考不足の極論選択を生み
> 三大政党で初めて民衆は思考勘案し吟味選択する｡
> じゃが此の分じゃ単に民衆は釣られる対象にしかならんな、あれじゃ野合と言われても仕方ない｡
>

>>30
まだまだだな
http://uploda.cc/img/img50b1fb425dba0.jpg

はみ出てるけど奇数のみ399まで

私は某女子短大で教えているが、女子学生はキャンパス内では全員例外なく全裸になり、
学生証を安全ピンで乳首に刺して止めておくべきだ。
やらなければこちらがブスッと刺す。血が出るかも。
生理の時は私がタンポンを入れたり抜いたりしてやる。血が付くかも。
云う事聞かない奴は逆さ吊りだ。トイレに行きたくなっても行かせない。
クリスマスは私と女子学生の乱交パーティーだ 。勿論女子学生同士の愛も OK.
女子学生は皆食べ頃だ。参加しない奴には単位を出さない。

等と云った妄想を毎日朝から晩までしている。
授業中もチンコが立ちっぱなしで困る。

ペアノの公理系で解けるのかな
なんか此の手の数列の問題で超越的手法じゃないと証明できないやつあったよね

ABC予想を解くのに使われた「遠アーベル幾何」というものの話を最近聞いたんだが、なんかコラッツ予想にも使えそうな感じがした。
体における和と積の複雑さに対して効力を発揮するとかなんとか。
難しすぎてまだまだ俺の手には負えそうにないが。

>>35
そのアイデアいただき〜ッ！

　ε⌒ ﾍ⌒ヽﾌ
（ 　　( 　・ω・）　ブーブーお前解けないのかコラーッ
　 しー し─Ｊ

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コラッツ予想を2進数で考えたいと思います。

初期値7->22->11->34->17->52->26->13
->40->20->10->5->16->8->4->2->1
を例にとって、奇数のみを並べると以下のようなパターンができます。
これを「コラッツ・パターン」と名付けましょう。
1次元のセルオートマトンとも見なせます。
（普通の2進数とは上位下位を逆に、下位ビットを左にしています。）
111　　　　7
1101　　　　11
10001　　　　17
01011　　　　13
000101　　　　5
0000001　　　　1

セルオートマトンと見なした時は以下のルールで下へ伸びていきます。
(1)「1」の塊は、次ステップで両端が離れる
　　「11」は「1001」に、「111」は「10101」になります。
(2)単独の「1」は、次ステップで「11」になる
(3)「11011」のような、次ステップで左「1」と右「1」が
重なる場合は、右(上位)へ繰り上がる
　　「11011」は次ステップで「1000101」になります。
(4)最後に、左端に+1する

次に、ルール(4)を削除したパターンを考えてみます。
左端がえんえんと左へ伸びていきます。
00000111
000010101
000111111
0010111101
01110110001
10100101011

さらに、元のパターンとの差をとります。
00000___
00001
000101
0011001
01001001
110110101
「左端を伸ばすパターン」＋「差のパターン」＝「元のコラッツパターン」
「差のパターン」＜「元のコラッツパターン」───(ｲ)
となります。

ここで、各パターンの右端に注目してみます。
「元のパターン」の右端は、ある傾きの直線をとります。
一方、「差のパターン」の右端は、それより大きい傾きで進行します。
二つの傾きを重ねると、あるところで交差・逆転します。
すると、大小関係が逆転するので(ｲ)式と矛盾します。
これを回避するには、二つの傾きが交差する前に、コラッツ操作が1に収束するしかありません。

こうなるイメージです。
o　　　x
　o　　x
　　o　　x
　　　o　x
　　　　o　x
　　　　　ox
くわしくは、
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/
(4)コラッツ・パターン
からをご覧ください。

あげてみる
http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20120606/20120606043249.jpg

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>>40-43
仮に1を初期値とするコラッツ・パターンを作るとしたら、
1
01
001
0001
00001
ということであってる？
これは明らかに傾き1。
これを見るに、「元のコラッツ・パターン」の傾きが必ずしもlog[2](3/2)になるとは限らないんじゃないかと。
「+1」の影響が意外と大きい。

>>45
初期値1のコラッツ・パターンはそれで合っています。
これで良いのです。

「元のパターン」の右端は、『コラッツ操作が1に収束するまでは』傾きlog[2](3/2)の直線をとります。
でした。言葉足らずでした。


そしてこれが背理法の要です。
>>42の
> 二つの傾きを重ねると、あるところで交差・逆転します。
> すると、大小関係が逆転するので(ｲ)式と矛盾します。
> これを回避するには、二つの傾きが交差する前に、コラッツ操作が1に収束するしかありません。

は1行追加して、

二つの傾きを重ねると、あるところで交差・逆転します。
すると、大小関係が逆転するので(ｲ)式と矛盾します。
これを回避するには、二つの傾きが交差する前に、コラッツ操作が1に収束して、
『「元のパターン」の右端傾きが1になるしかありません。』
です。

こうなると大小関係が逆転して矛盾するから、
o　　　x
　o　　x
　　o　　x
　　　o　x
　　　　o　x
　　　　　ox
　　　　　　xo
こうなるしかありません。
o　　　x
　o　　x
　　o　　x
　　　o　x
　　　　o　xここで1に収束
　　　　　o　　x
　　　　　　o　　　x
　　　　　　　o　　　　x

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1だけが特別ってのも変だと思う。
他の数でも+1が上手く作用して、部分的に傾きが大きくなることもある。
27なんかはそれが多く起こって長く続くんだろう。

うーん変ですか……
1だけが特別というのは
1だけが4-2-1ループする唯一の奇数という
コラッツ予想の特徴をよく表していると思うのですが……

あ

傾きの大小だけで交わるかどうかを判断することはできない。
例えば、y=(x-1)/xはx>0の範囲で増加するが、xをどれだけ大きくしても1を超えることはない。
実際、「差のパターン」の差分を計算してみると、確かにlog[2](3/2)より大きくはなるがlog[2](3/2)に収束しそうな感じがした。

がーん　そんなあ。
確かにy=(x-1)/xの傾き1/x^2は、y=1の傾き0よりも大きいけど、
二つのグラフは交わりませんね。

ということは
「差のパターン」は「元のコラッツパターン」に漸近するんですかね？

だんだん平行になっていく、ぐらいじゃないかなあ
直感的には「差のパターン」は「元のコラッツパターン」よりずいぶん小さい気がする

数学板でちゃんとした投稿が大半を占めている貴重なスレなので
お礼にこのスレに関連する情報を１つ書いておくね。知ってたらゴメン。

コラッツ予想に関して、最近までの主要な結果（一般化も含め）や昔の論文の復刻を纏めた次の本が
２年ちょい前にアメリカ数学会(American Mathematical Society)から出版された。

Jeffery C. Lagarias "The Untimate Challenge: The 3x+1 Problem", ISBN: 978-0-8218-4940-8

AMSの会員ならAMSのホムペから少し安く買えるけど、会員以外でもアメリカのAmazonとかで買えるはず。
CoxeterやConwayやRichard Guyら錚々たる連中の昔の論文もリプリントされていて読めるので
コラッツ大好きな人はこの本を持ってるとちょっとハッピーだと思う。

>>54
うわああああああああ

>>55
情報ありがとうございます！
さっそく見てみます！

有理数への拡張を詳しく考えてみた

分母が奇数のものだけを考え、分子が奇数なら「3倍して1足して2で割る」、分子が偶数なら「2で割る」という操作をする。
例えば1/5から始めると、
1/5→4/5→2/5→1/5→…
とループする。

ここで、分子に奇数が現れたら○、偶数が現れたら×と書くことにすると、上記のループは「○××」が繰り返してることになる。
そこで、逆に「○××」で元に戻る数が他にあるかを考える。
初期値をxとすると、
x→(3x+1)/2→(3x+1)/4→(3x+1)/8
と変化するはずだから、方程式
(3x+1)/8=x
が得られ、これを解くと解はx=1/5のみ。
よって、「○××」が繰り返されるループは1/5を初期値とするもののみであることがわかる。

同様にして、○×からなる有限列を一つ指定すれば、それに応じて有理数が一つ定まる。
得られた有理数が実際に指定してループを辿るかは非自明だが、おそらく辿る。

「×○×」や「××○」を指定しても、初期値が変わるだけで「○××」と同じループが得られる。
そこで、これは「○××」が円形に並んでいるものと考えられる。
この考えから、次のことがわかる。

定理
n個の奇数とm個の偶数からなるループの個数は、n個の○とm個の×からなる円順列の個数に等しい。

例
奇数2個、偶数4個からなるループを考える。
○2個、×4個からなる円順列は、
○×　○×　○×
○×　××　××
××　○×　×○
(半時計周りに並んでいるとする)
の3通り。左上の○に対応する数は、それぞれ1/11,7/55,1/5となる。
これらは、実際に指定した偶奇を辿ってループすることが確かめられる。

奇数n個、偶数m個からなるループについて方程式を作ると、
(3^n*x+a)/2^(n+m)=x　(aは正の整数)
という形になる。これを解くと、
x=a/(2^(n+m)-3^n)
となる。したがって、ループを構成する数は、分母が2^(n+m)-3^n(の約数)であるような分数として書ける。

とりあえずここまで

http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20130214/20130214184540.jpg

7から始まるコラッツ数列を強制的にループさせてみると、
3周目で「左端を伸ばすパターン」と「差のパターン」が交差した。
ここから何か言えないだろうか。

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http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1072595845/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1240289175/

コラッツ操作を式であらわすと
初期値をx、ステップ数をn、nステップ後の奇数をx_nとして
x(3/2)^n + 3^(n-1)/2^n + p_1*3^(n-2)/2^n-1 +...+ p_1*p_2*...p_(n-2)*3^1/2^2 + p_1*p_2*...p_(n-1)/2
　= p_1*p_2*...p_n*x_n
となる。
左辺第一項x(3/2)^nが「左端を伸ばすパターン」、
左辺残りが「差のパターン」、
右辺p_1*p_2*...p_n*x_nが「元のコラッツパターン」に対応している。

p_nはコラッツ操作で偶数が2回以上続いた時の2のべき。
「差のパターン」のp_nの積の部分は例えば
1,1,2,2,2,4,4,8,8,8,8,16...
のように増加していく。


ここから先に進まない……

「差のパターン」3^(n-1)/2^n + p_1*3^(n-2)/2^n-1 +...+ p_1*p_2*...p_(n-2)*3^1/2^2 + p_1*p_2*...p_(n-1)/2
をf(n)とおく。
「差のパターン」の右端グラフは2進数目盛上にあるので
log{f(n)}になる。底は2。

これの2階差分u_(n+1) - 2u_n + u_(n-1)を取ると、
log{f(n+1)} - 2log{f(n)} + log{f(n-1)}
= log{ f(n+1)*f(n-1) / f(n)^2 }
f<0だから、この式は正。
2階差分が正だから、「差のパターン」の右端グラフは下(左)に凸。

この結果と先にあげた
「左端を伸ばすパターン」右端傾きより「差のパターン」右端傾きが大きい　を合わせて
二つの右端グラフが交差する、と言えるのではないだろうか。

×　f<0
○　f>0

あ、やべ。
logの中が1より小さかったらlogは負になるんだ。
考え直します。

log{ f(n+1)*f(n-1) / f(n)^2 }の中が1より大きいか考える。
n=5でf(n)が5項ある場合を考える。nが増えても同様。

(a+b+c+d+e+f)*(a+b+c+d) / (a+b+c+d+e)^2
a+b+c+d+e=Aと置くと
(A+f)*(A-e) / A^2 = {A^2+A(f-e)-fe} / A^2

e = (1/2)*p_1*p_2*...p_(n-1)
f = (1/2)*p_1*p_2*...p_(n-1)*p_n
なので、p_n=1の場合、分子がA^2-feとなって 分数式 < 1。
p_n=2の場合、f=2eだから分子がA^2+Ae-fe、A>fだから 分数式 > 1。
p_n=4,8,16,...も同様に 分数式 > 1。

よってlog{ f(n+1)*f(n-1) / f(n)^2 }は
p_n=1の場合、負。
p_n=2以上の場合、正。
「差のパターン」の右端グラフは
偶数が1回しかない時、上に凸で、偶数が2回以上の時、下に凸という、
なにも進展しない結果になった。

コラッツ操作で、偶数が2回以上続くほうが多い、とか言えないかなあ。。。

ネットを見てると、よく
「4x+1となる数については調べなくてよい」
とありますが、これは数学的帰納法の一部分であって、
「4x+1はコラッツ操作で1に収束する」が証明された訳ではないですよね。

何故こんな事を聞くかというと、4x+3もコラッツ操作で4x'+1に接続されるので、
予想が解けちゃうなー、と思ったので。

科学技術フェスタで、奇数の時3n+1にする代わりに3n-1にすると、ループが3種類できて
その3種類の頻度はほぼ同じになるっぽい（証明はできてない）、という発表を高校生がやっとった。

い

全ての数がコラッツ操作で小さくなれば、
コラッツ予想は証明されます。
値が2xの場合は2で割って小さくなります。
同様に値が4x+1や16x+3でもコラッツ操作を続けると小さくなります。
これを全ての数で言えないかを今考えています。

こんな数学的帰納法を考えています。

・x = 1で成り立つ
・x < kで成り立つと仮定したとき、
　x = kでも成り立つ
値が4x+1や16x+3の場合はコラッツ操作をおこなうと小さくなるので、
上記の方法が使えます。
すぐ小さくならない値k1については、
・x=k1とそれに連結される数を除くx<k2で成り立つと仮定したとき、
　x=k2でも成り立つ
　するとk1はk2に連結するのでx=k1でも成り立つ
という方法が考えられます。

図にするとこんな感じです。
　　k2
　 ／＼
／　　k3
k1

k2>k3となるk2は、全ての数が4x+1を通過することから
すぐ見つけられます。
あとはk1とk3がつながってループする事がなければ良いわけです。

あと、すぐ小さくならない値が複数個連結される可能性もあります。
図にするとこんな感じです。
　　　　　　　　　　　 ／＼
　　　　　　 ／＼...／　　　↓
　 ／＼...／　　　　　　　　｜
／　　　　　　　　　　　　　｜
↑................................................┘最後はループする

式であらわします。
すぐ小さくならないk1がすぐ小さくならないk2に連結されるとします。
k1の側は、例えばk1=27+2^5*xとおくと、2ステップ後にちょびっと小さくなるので、その値は
　((3*k1+1)/2*3+1)/4 = (9*k1+5)/8 = 31 +3^2*2^2*x1　　　−−−�@
となります。

k2の側は、k2から後ろ向きにnステップ伸びるとして、
コラッツ逆操作「2のべき乗をかけて1引いて3で割る」をおこないます。
n=1の場合は
　(k2*2^p1 -1)/3
n=2の場合は
　((k2*2^p1 -1)/3*2^p2 -1)/3 = k2*2^(p1+p2)/3^2 -2^p2/3^2 -1/3
一般化して
　(1/3^n)( k2*2^(p1~pn) -2^(p2~pn) -3*2^(p3~pn) -...-3^(n-2)*2^pn -3^(n-1) )　　　−−−�A
となります。（ p1+p2+...+pn を p1~pn と略記）

連結されるので、�@と�Aをイコールで結びます。
　3^n*( 31 +3^2*2^2*x1 )
　　 = k2*2^(p1~pn) -2^(p2~pn) -3*2^(p3~pn) -...-3^(n-2)*2^pn -3^(n-1)

n=1の場合は
　2*47 +3^3*2^2*x1 = k2*2^p1 => p1=1となって
　　47 +3^3*2*x1 = k2
n=2の場合は
　3*(2*47 +3^3*2^2*x1) = k2*2^(p1+p2) -2^p2 => p2=1
　2*71 +3^4*2*x1 = k2*2^p1 => p1=1となって
　　71 +3^4*x1 = k2
第一項は31から始まるコラッツ数列になること、
pnはそのときの2で割る回数になるところがポイントです。
一般化すると、以下になります。　CO31 は31から始まるコラッツ数列です。
　CO31 +3^(n+2)*x1/2^(p1~p(n-2)) = k2

k2を固定します。ここではk2=71+2^7*x2とおいてみます。
　CO31 +3^(n+2)*x1/2^(p1~p(n-2)) = 71+2^7*x2
　2^(p1~p(n-2))*(CO31 -71) = 2^(7+p1~p(n-2))*x2 -3^(n+2)*x1

この式の形　c = 2^a * x1 - 3^b * x2　を考えることによって
何か言えるのではと思うわけです。

>>74の後半は間違っていました。
第一項が分数になることもあります。
コラッツ数列ぽいことはぽいのですが......

ここでちょっと内容を変えて、
コラッツ操作ですぐ小さくなる値とそうでない値をまとめます。
すぐ小さくなる値を「良い値」、そうでない値を「悪い値」と呼びましょう。
全ての数を2進数の下位ビットで場合分けして、良い/悪いを調べます。
（2進数は左が下位）

2進数　良い/悪い　どう小さくなるか
0…　良い　　2x　→　x
10…　良い　　4x+1　→　3x+1
1100…　良い　　16x+3　→　3^2x+2
1101…
　　11010…　良い　　32x+11　→　3^3x+10
　　11011…　★悪い　　27+2^5x

1110…
　　11101…　良い　　32x+23　→　3^3x+20
　　11100…
　　　　111000…
　　　　　　1110000…　良い　　2^7x+7　→　3^4x+5
　　　　　　1110001…　★悪い　　71+2^7x
　　　　111001…
　　　　　　1110010…
　　　　　　　　11100101…　★悪い　　167+2^8x
　　　　　　　　11100100…　良い　　2^8x+39　→　3^5x+38
　　　　　　1110011…　★悪い　　103+2^7x
1111…
　　11110…
　　　　111101…　★悪い　　47+2^6x
　　　　111100…
　　　　　　1111000…　良い　　2^7x+15　→　3^4x+10
　　　　　　1111001…
　　　　　　　　11110010…　良い　　2^8x+79　→　3^5x+76
　　　　　　　　11110011…　★悪い　　207+2^8x
　　11111…　★悪い　　31+2^5x

「11011…」「1110001…」「11100101…」「1110011…」
「111101…」「11110011…」「11111…」が悪い値ですが、
「1110001…」と「11100101…」は、次ステップで「11011…」になるので
考えなくて良いです。

よって、「11011…」「1110011…」
「111101…」「11110011…」「11111…」
の五つの場合を考えれば良い事になります。

う

一つ定理が出来たので書きます。

コラッツ操作でxがsステップで小さくなれば、
3^s < 2^lを満たすx+2^l*yもsステップで小さくなる。

コラッツ操作で奇数→奇数までを1ステップと数えます。
証明は、まず、xがsステップで小さくなれば、その時の2で割った合計をl0と置くとき、
3^s < 2^l0が成り立つ事を言います。―――�@
sステップ後の数は、それぞれのステップで2で割った回数をpnとすると、
(3^s/2^(p1~ps))*x + 3^(s-1)/2^(p1~ps) + 3^(s-2)/2^(p2~ps) + ... + 1/2^ps < x
(3^s/2^(p1~ps))*x < x
3^s < 2^(p1~ps) = 2^l0　　　　よって�@は成り立つ。

次に、3^s < 2^lを条件（�A）としたx+2^l*yもsステップで小さくなる事を証明する。
�@と�Aを重ねると次の三つの場合がある。
　　2^l0 < 2^l, 2^l0 = 2^l, 2^l0 > 2^l

2^l0 < 2^lの場合、xのsステップ後をx1とおいて、x+2^l*y―(sステップ後)→x1+3^s*2^(l-l0)y
　x > x1, 2^(l-(l-l0))*y > 3^s*yだから、x+2^l*y > x1+3^s*2^(l-l0)yが成り立つ。

2^l0 = 2^lの場合、x+2^l*y―(sステップ後)→x1+3^s*y
　x > x1, 2^l*y > 3^s*yだから、x+2^l*y > x1+3^s*yが成り立つ。

2^l0 > 2^lの場合、x+2^l*y―(sステップ後)→2^(l0-l)*x1+3^s*y
　2^l*y > 3^s*y。x > 2^(l0-l)*x1を言いたいので、次の補題を考える。

3^s < 2^l が成り立てば、xはsステップ後、計l回2で割った時点で小さくなる。―――�B

�Bを証明する。コラッツパターンを使う。
http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20130603/20130603020241.jpg

コラッツパターンより、
　　log[2]x > log[2]x -(l0-s) + s*log[2](3/2)―――�C
　　log[2]x > log[2]x+1 -(l0-s) + s*log[2](3/2)―――�D
が言えればよい。

3^s < 2^l0　->　s*log3 < l0*log2　->　log[2]3 < l0/s　とlog[2]3 -1 = log[2](3/2)から、
l0/s -1 > log[2](3/2)　->　l0-s > s*log[2](3/2)
log[2]x > log[2]x -(l0-s) + s*log[2](3/2)　　　�Cが言えた。

�Cが言えたから条件3^s < 2^lより、log[2]x > log[2]x -(l-s) + s*log[2](3/2)が言える。
これとl0-1 ≧ lより、log[2]x > log[2]x+1 -(l0-s) + s*log[2](3/2)　　　�Dが言えた。

�C�Dが証明できたので、�Bも成り立ち、
2^l0 > 2^lの場合も　x+2^l*y > 2^(l0-l)*x1+3^s*yが成り立つ。
以上です。

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�Bの証明に不備があったので修正します、�Bを少し弱めます。
　　3^s < 2^l < 2^l0が成り立てば、xはsステップ後、
　　計l回2で割った時点で同じか小さくなる。―――�E
これを証明します。
logの底は2です。

sステップ後のコラッツ値をxsとおいて対数を取ると
以下が成り立ちます。
　　log(xs) = log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)

>>83より
　　log(x) > log(x) -(l-s) + s*log(3/2)―――�C
　　log(x) > log(x)+1 -(l-s) + s*log(3/2)―――�D
が成り立ちます。切り上げて
　　[log(x)] ≧ [log(x) -(l-s) + s*log(3/2)]―――�F
　　[log(x)] ≧ [log(x)+1 -(l-s) + s*log(3/2)]―――�G

コラッツパターンより
　　[log(x) -(l-s) + s*log(3/2)] = [log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]
　　[log(x) -(l-s) + s*log(3/2)] +1 = [log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]

�F�Gに代入
　　[log(x)] ≧ [log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]

切り上げを外して
　　log(x) ≧ log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)

以上で�Eが証明できました。

話題がコロコロ変わってすみません。おさらいです。
コラッツ予想を2進数で考えます。
コラッツ数列の奇数のみを並べると以下のようなパターンができます。
これをコラッツパターンと名付けます。
（下位ビットが左）
111　　　　7
1101　　　　11
10001　　　　17
01011　　　　13
000101　　　　5
0000001　　　　1

コラッツパターンは以下のルールで下へ伸びていきます。
(1)「1」の塊は、次ステップで両端が離れる
　　「11」は「1001」に、「111」は「10101」になります。
(2)単独の「1」は、次ステップで「11」になる
(3)「11011」のような、次ステップで左「1」と右「1」が
重なる場合は、右(上位)へ繰り上がる
　　「11011」は次ステップで「1000101」になります。
(4)最後に、左端に+1する

sステップ後値の初期値0位置からの距離をLnとおきましょう。
例の5ステップ目はLn=7となります。

次に、ルール(4)を削除したパターンを考えてみます。
左端がえんえんと左へ伸びていきます。
00000111
000010101
000111111
0010111101
01110110001
10100101011
左端を伸ばすパターンと名付けます。

sステップ後値の初期値0位置からの距離をLlとおきましょう。
例の5ステップ目はLl=6となります。

例からも分かるように、Ln=Llの時とLn=Ll+1の時があります。
これ以外はないことを証明します。
コラッツパターンのルールより、1ステップ後の右端は+0 or +1です。
左端に+1しているから、Ln≧Llです。
なので、Ln=Llから1ステップ後Ln=Ll+1になるところを考えてみます。

http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20130713/20130713165031.jpg
図より、Ln=Ll→Ln=Ll+1になることはありえるが、その次のステップで
Ln=Ll+1→Ln=Llになるので、2以上ずれることはありません。
Ln=Ll or Ln=Ll+1です。

sステップ後値の初期値0位置からの距離Lnは、
コラッツパターンを2進数で書いているのでlog[2]の対数目盛と見なして、
sステップ後コラッツ値のlog[2]を取れば良いことになります。

コラッツ操作27→41を変形すると
　　(27*3+1)/2 = 41 = (27+1/3)*3/2 = 27*(1+1/(3*27))*3/2
logをとって
　　log41 = log27 +log(1+1/(3*27)) +log(3/2)
コラッツ操作41→31を変形すると
　　(41*3+1)/4 = 31 = (41+1/3)*3/4 = 41*(1+1/(3*41))*3/4
logをとって
　　log31 = log41 +log(1+1/(3*41)) +log(3/2) -log2
　　　　　　= log27 + log(1+1/(3*27))(1+1/(3*41)) +2*log(3/2) -log2
よって一般化するとLnは以下になります。
引き算の部分はコラッツパターンでは右によせているので消えます。
　　Ln = [log(x) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]

左端を伸ばすパターンの式は、初期値に次々と3/2をかければ良いので
　　log( x*(3/2)^n ) = log(x) +s*log(3/2)
となります。切り上げてLl = [log(x) +s*log(3/2)]です。

よって、>>89より最大でもLn=Ll+1なので、
　　[log(x) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)] = [log(x) +s*log(3/2)] +1
切り上げを外して
　　log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 2
logをとって
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 4
となります。

もしコラッツ予想で4-2-1以外のループがあったら
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)
の中のループ1周期の積をXとおいて
　　X*X*X*…
となりますが、X>1なので、いずれ
　　X*X*X*… > 4
となって
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 4
と矛盾します。

よって
　　コラッツ予想で4-2-1以外のループは存在しない
ことが証明できました。

>>89の画像の上から2番目の図で、
コラッツパターンは11、左端を伸ばすパターンは01
となることはないか？

ちょっとまってください

一通り検証したけど、そこ以外は間違いはなさそう
本質的に難しいのはここなのかも
直接修正できなくても、Ln-Llが上から抑えられさえすればおｋ

>>93
>>95
ありがとうございます。

指摘の部分ですが、すぐにできそうにないです。
>>89の画像の上から2番目の図で、
コラッツパターンが0011、左端を伸ばすパターンは**01の時は、
同じように次々ステップでずれはなくなります。
コラッツパターンが0111、1011、1111の時はどうしよう……

修正できました。流れは以下です。

初めてコラッツパターンと左端を伸ばすパターンがずれる所を考える
ずれるステップをsとおく
　　↓
s-1,s-2,s-3のずれはない
　　↓
特定のパターン（2つ）しかあらわれない
　　↓
その特定のパターンはsでずれて、s+1,s+2,s+3ではずれない
　　↓
次にずれる時s2も、s2-1,s2-2,s2-3のずれはない

特定のパターン1つ目です。
　　　　コラッツパターン　左端を伸ばすパターン
s-3&nbsp; 　**1　 　 　 　 　 &nbsp;　***1　 　 　 　 　 　 　　
s-2&nbsp; 　*11　 　 　 　 　 &nbsp;　**11　 　 　 　 　 　 　　
s-1&nbsp; 　0101　　　　　　　　**101　　　　　　　　　　
s　 &nbsp; 　0000[1]　 　 　 　　*1111　　　　　　　　　　
s+1&nbsp; 　**011　 　 　 　 &nbsp;　101101　 　 　 　 　 　　
s+2&nbsp; 　**1001　 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;　***0001　 　 　 　 &nbsp; &nbsp; &nbsp;
s+3&nbsp; 　*11011　 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;　*****11　 　 　 　 &nbsp; &nbsp; &nbsp;

特定のパターン2つ目です。s+2でまたずれるのでs'と置きなおしています。
　 　 　 　 　　コラッツパターン　左端を伸ばすパターン
s-3　 　 &nbsp; &nbsp; 　**1　 　 　 　 　 &nbsp;　***1　 　 　 　 　 　 　　
s-2　 　 &nbsp; &nbsp; 　*11　 　 　 　 　 &nbsp;　**11　 　 　 　 　 　 　　
s-1　 　 &nbsp; &nbsp; 　0101　　　　　　　　*1001　　　　　　　　　　
s　 　 　 &nbsp; &nbsp; 　0000[1]　 　 　 　　11011　　　　　　　　　　
s+1　 　 &nbsp; &nbsp; 　**011　 　 　 　 &nbsp;　***101　 　 　 　 　 　　
s+2 -> s'　 　**100[1]　 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;　**1111　 　 　 　 　 　　
s+3 -> s'+1　*11011　 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;　*101101　 　 　 　 &nbsp; &nbsp; &nbsp;
s+4 -> s'+2　**00101　 　 　 &nbsp;　*******1　 　 　 　 　　
s+5 -> s'+3　***1111　 　 　 &nbsp;　******11　 　 　 　 　　

Ln=Ll or Ln=Ll+1が言えます。

ぐじゃりましたね。こうです。
http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20130803/20130803214250.jpg

無限大に発散するほう、いけるか……

わかったよ
証明できるかも

学校の先生に聞いてみる

無限大に発散するほう、むずかしいお......

無限大に発散するほう、できました。
コラッツ値xsが無限大に発散するとします。
xs = x0 *3^s/2^l *(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)
xs < x0 *(3/2)^s s<lなので

かっこの部分を考えます。
(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… > (1+1/3x0)…(1+1/(3x0*(3/2)^(s-1)))…
> 1 +1/3x0 +1/3x0(3/2) +…+1/3x0(3/2)^(s-1) +…　　　等比数列の和

1+1/x0 < (1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)…
左辺第二項を大きくして、イコールになるところをα0とおく
1+α0/x0 = (1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)…　　　　�@
同様にx1からスタートして
1+α1/x1 = (1+1/3x1)…(1+1/3x_s-1)…　　　　�A

�Aを�@に代入
(1+1/3x0)(1+α1/x1) = 1+α0/x0
きれいにして
(3α0-1)x1 = α1(3x0+1)

x1=(3x0+1)/2^qを代入して
(3α0-1)(3x0+1) = 2^q * α1(3x0+1)
x0の部分が消えて
α1 = α0 * 3/2^q * (1-1/3α0)

xsが発散する
　→　q=1が多い、αsが大きくなるとかっこの効果も弱まる
　　→　αsも発散する

一方、無限大に発散するコラッツ列でx0を最小値にとれば、
x0からx∞まで等比数列で下から押えられる
と仮定する。　xs > x0*a^s　　　　　　　　　�B

(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… < (1+1/3x0)…(1+1/(3x0*a^(s-1)))…
≒ 1 +1/3x0 +1/3x0a +…+1/3x0a^(s-1) +…
不等号が成り立つようにaを少し小さくする

(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… = 1+α0/x0 < 1+1/x0 *a/3(a-1)

コラッツ列をグラフにした時に、下に凸な点を考える。
x0より後でx0の次に小さいxm1で
1+αm1/xm1 < 1+1/xm1 *a/3(a-1)
xm1より後でxm1の次に小さいxm2で
1+αm2/xm2 < 1+1/xm2 *a/3(a-1)
このプロセスはいくらでも続けられるので、
αmは発散するが、a/3(a-1)は一定なので矛盾する。

あとは�Bを証明すれば良い。
傾きaは、x0 *a^s < xsを満たすので、
log(a) < log(xs/x0)/s = log(x0 *3^s/2^l *(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1) /x0)/s
= log3 -l/s +logA/s　　　　　　　　(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1) = Aとおく

コラッツパターンより　l-s < log(xs)なので、
l/s < log(xs)/s +1 = log(x0)/s +log3 -l/s +logA/s +1
l/s < log(x0)/2s +log(3)/2 +logA/2s +1/2

l/sはsが大きくなると小さくなるので、傾きaはsが大きくなると大きくなる。
（直線x0-xm1の傾きより、x0-xm2、x0-xm3…の傾きのほうが大きい。
　　aを直線x0-xm1の傾きにとれば、コラッツ値はそれより上にある。）


以上で
　　コラッツ予想で無限大に発散する数はない
ことが証明できました。

>>106の
l-s < log(xs)
は自明じゃなかったです。
修正します。

修正できました。証明したい補題は以下です。

無限大に発散するコラッツ列でx0を最小値にとれば、
x0からx∞まで等比数列で下から押えられる
　xs > x0*a^s　　　　　　　　　�B

コラッツパターンにおいて、左端の傾きをd1、
右端の傾きをd2(=log1.5)とおきます。
sステップ後の左端までの距離l-sは
　　l-s = s*d1
で、左端から右端までの距離log(xs)は
　　log(xs) = log(x0) +s*d2 -s*d1
です。
s*d1≦log(x0)の区間では
　　s*d1≦log(x0) +sd1 -sd1
　　　　< log(x0) +sd2 -sd1　　∵ d1 < d2
　　l-s < log(xs)
が成り立ちます。

s0 < s < sgまでxs > x0*a^sが成り立つ事がわかりました。
あとはこれをs∞まで広げれば良いわけです。

s0からsgの間に傾きaを上回る二点xf,xf+1が存在する
事が言えます。もしなかったらコラッツ値のグラフが傾きa直線とぶつかって
矛盾するからです。

xf,xf+1でも同様に
xs > xf * b^t　　　s < sh　　　が言えます。変形して
　　> x0 * a^f * b^t
　　> x0 * a^(f+t)　　∵ a<b

成り立つ区間がs < sgからs < sg < shにのびました。
このプロセスを繰り返せばs∞までxs > x0*a^sが言えます。
�Bが証明できました。

>>109の
s0からsgの間に傾きaを上回る二点xf,xf+1が存在する
をちゃんと説明すると、

http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20131006/20131006025445.jpg

図のように
s0からsgの間に、コラッツ値x0,x1,x2,x3をとる
x1,x2,x3とx0との傾きは、sが大きくなるに従って大きくなるので、
　　x0-x1傾き < x0-x2傾き < x0-x3傾き
　　⇒ x0-x1傾き < x2-x3傾き
よって
　　s0 < s < sgまでxs > x0*a^s
　　s < sh　　　　　xs > xf * b^t
において
　　a < b
が言えます。

え

お

か

き

9232ってどうして頻発するの？

く

>>115
コラッツ操作で9232を通過する数がどうして多いか、ということですか。
自分は偶数を省いてやってたので気づきませんでした。
調べてみます。

うーんわかんないです

そうですか
寝てください

xを最大値に持つ数の個数をコンピュータで調べました。
500000くらいまで調べました。以下の事が分かりました。
・ほとんど0個
・1/5ぐらいで5個とか
・1/3000ぐらいで50個とか
・225988を最大値に持つ数は386個
・250504を最大値に持つ数は1759個
・560356を最大値に持つ数は500個
・575728を最大値に持つ数は550個
・695464を最大値に持つ数は612個
9232の1579個を超える数も見つかりました。
ごくまれに大きい個数が出てくるみたいです。

なぜこんなに偏っているのかは謎です……

ソースコードです。Haskellです。
Prelude> :l tree
*CTree> map colmaxcnt [1..100]
のように使います。

-- tree.hs start
module CTree where
data CTree = Leaf Int | Node CTree Int CTree deriving (Eq,Show)
collatz :: Int -> Int
collatz 1 = 1
collatz x | odd x　　 = x * 3 + 1
　　　　　| otherwise = x `div` 2
-- 木を引数まで成長させる
growm :: Int -> CTree -> CTree
growm _ (Leaf 0) = Leaf 0
growm y (Leaf x) | x > y 　　　 = Leaf 0
　　　　　　　　 | even(x)&&((mod (x-1) 3)==0)
　　　　　　　　　　　　　　　　= (Node (Leaf $ div (x-1) 3) x (Leaf $ x*2))
　　　　　　　　 | otherwise　　= (Node (Leaf 0) x (Leaf $ x*2))
growm y (Node t1 x t2) = (Node (growm y t1) x (growm y t2))

flatten :: CTree -> [Int]
flatten (Leaf x) = [x]
flatten (Node t1 x t2) = flatten(t1) ++ [x] ++ flatten(t2)
-- 空でないリストから収束した値を返す
conver :: Eq a => [a] -> a
conver [x] = x
conver (x1:x2:xs) = if x1==x2 then x1 else conver (x2:xs)
-- 最終結果
colmaxcnt :: Int -> Int
colmaxcnt 4 = 2
colmaxcnt x = if (any (x<) col) then 0 else chk
　　where col = takeWhile (1/=) (iterate collatz x)
　　　　　chk = length $ filter (\x->x/=0) $ flatten $ conver $ iterate (growm x) (Leaf x)

9232 が目立ってみえるのは、単に小さい初期値でしか調べてないから

僕もそれがいいたかったんです。ほんとです。

位数1024の群みたいなものか

9232未満の6分の1程度が9232に恋をして散ってしまう、というのは特筆すべきことだと思うけど。

無限大の証明ですが、間違っていました(>_<)
αは有限値をとるみたいです。
>>103-110は無しでお願いします。
新しい証明を考え中です。

あ、でも>>87-99の
4-2-1以外のループは存在しない証明は自信あります。

【検証】コラッツの予想(1-1000)
http://r-2ch.com/t/math/1240289175/
（>>12と同じ）にあった割数列というのを調べている。
これで全ての3の倍数の奇数を表わせないかなと。

気になるレスを抜き出してみる。

106
4 年前
ざっと計算機を回してみた感じでは、

任意の３の倍数でない奇数xに対して3の倍数yが存在して、
x∈collatz_set(y)
が成り立ちそうに見える。
80 ID: 2009/05/15 20:59

108
4 年前
もし>>106が成り立てば、コラッツの予想は３の倍数だけ調べればいいってことになって、
コラッツ素数の概念にもそれなりに意味が出てくる。
個人的には、そうであって欲しいところだ。
80 ID: 2009/05/15 21:25

110
4 年前
3で割り切れない数を9で割った余りは、1,2,4,5,7,8のどれかだけど、これは

1*2^6≡1
2*2^5≡1
4*2^4≡1
5*2^1≡1
7*2^2≡1
8*2^3≡1 (mod 9)

のように、どれも2を適当な回数掛けることで、9で割ると1余る偶数にできる。
ここから1を引いて3で割れば3の倍数である奇数になる。
>>106の予想は正しい。
１３２人目の素数さん ID: 2009/05/16 00:38

285
4 年前
>>283
ありがとう！ここから何か出てこないかな・・

一つ、完全割数列→完全割数列に関しての操作を見つけた。
長さｎの完全割数列→長さｎ＋１の完全割数列

まず、長さｎの完全割数列を、初項に０をつけたｎ＋１型で表す。
長さｎの完全割数列でできる最終値を９で割ったあまりが・・
３　・・　[4,+2]or[1,-2]をつける
６　・・　[2,+2]or[3,-2]をつける
０　・・　[6,+2]or[5,-2]をつける
分かりづらいと思うので例を。

21≡3(mod 9)　21=[0,6]
このとき、[4,6+2]と[1,6-2]が存在する。
ちなみに、[0,1,…,]みたいに、２項目（本来の初項）が１か２のときは２で引けない。
このときは本来の初項に６を足した[0,7,…,]から考える。本来の初項に６の倍数を加減してもOKなので。
170 ID: 2009/07/22 22:04

289
4 年前
全ての完全割数列を列挙できるかはゴメン、証明してないや。
でも、ちょっとやればできる気がする。今度時間ができたとき確信を得てみるよ。

＞どの数から始めても、コラッツ数列は一意に定まるからね。
確かにそうだね。これ書いた時は、一意でないものがあればそいつは１４２１以外のループをもつのかと
なんとなく思っていたけど、割数列を基に１スタートで逆にたどっていくならば
どこかでループしてしまうような値にはたどり着かないもんね。
ループしてしまうならば１にたどり着かないのだから。
「完全割数列で全ての３の倍数の奇数を表せる」だけ分かれば良いか。
170 ID: 2009/07/22 23:40

この問題が長年解かれないのは解こうとするのがアマばかりなのも一因だと思うよ

フェルマー・ワイルズの定理みたいに、これが解けたら重要な予想が証明できるってことがあるといいんだけど。何かあるんだったっけ？

>>135
違うよ。もうアマしか残ってないだけだよ。

かつて簡単に解けるだろうとコラッツ予想に手を出して時間を浪費した、
数多の研究者の屍で山が築かれたから。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 でも最近一寸太ったかしら。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　Windows ver.10 で　　　　
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　 　　　
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まず、>>133の各変換に名前をつけ、式であらわす。

　A:[4,2]　　　B:[1,-2]
　C:[2,2]　　　D:[3,-2]
　E:[6,2]　　　F:[5,-2]
そしてG:[+6]　　　H:[-6]

981[7,1...]⇒15[1,1...]⇒81[2,3,1...]のように、
まずHをおこなってC（A,E）をおこなう変換は頭にHをつけて
HA,HC,HEであらわす。

変換前のコラッツ値をxとおくと変換後は、
　HA:[4,2]　x/3-2　　　B:[1,-2]　x/3/2-1/2
　HC:[2,2]　x/3/4-3/4　　　D:[3,-2]　2x/3-1
　HE:[6,2]　4x/3-7　　　F:[5,-2]　8x/3-3
　G:[+6]　　　64x+21
となる。

◆注意点１
　HC:117[5,1...]⇒ﾅｼ[-1,1...]⇒9[2,1...]のように、
H後にマイナスになる場合がある。

◆注意点２
　HC:981[7,1...]⇒15[1,1...]⇒C:⇒81[2,3,1...]のように、
A,C,EはHA,HC,HEとしてもあらわれる。

各変換でどのような数があらわれるか見ていく。

B:[1,-2]　x/3/2-1/2は21+72xを【3+12x】にうつす。
（例　21/3/2-1/2=3）
HC:[2,2]　x/3/4-3/4は117+288xを【9+24x】にうつす。
D:[3,-2]　2x/3-1は69+72xを【45+48x】にうつす。
HA:[4,2]　x/3-2は213+288xを【69+96x】にうつす。
F:[5,-2]　8x/3-3は45+72xを【117+192x】にうつす。
HE:[6,2]　4x/3-7は309+288xを【405+384x】にうつす。
G:[+6]　64x+21は3+6xを【213+384x】にうつす。

【3+12x】【9+24x】【45+48x】【69+96x】【117+192x】【405+384x】【213+384x】
と割数列1項[6]であらわされる【21】を加えて、
全ての3の倍数の奇数は完全割数列で表わされる。

変換でマイナス値を経由するとか、あやしいところもあるので
>>133を書き換えます。

長さｎの完全割数列→長さｎ＋１の完全割数列
まず、長さｎの完全割数列を、初項に０をつけたｎ＋１型で表す。
長さｎの完全割数列でできる最終値を９で割ったあまりが・・
３　・・　A:[6,-4]orB:[1,-2]をつける
６　・・　C:[4,-4]orD:[3,-2]をつける
０　・・　E:[2,-4]orF:[5,-2]をつける
元の初項が負になる場合はあらかじめG:[+6]をおこなう。

>>141を証明します。
A〜FとGの各変換で[3の倍数の奇数]を[3の倍数の奇数]に写す
事を証明します。

A:[6,-4]
3 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　18t+3
さらに割数列の初項が4以下は変換できないから
　(18t+3)*3+1= 54t+10　tが奇数の場合を除外、
さらに3=[1,…]だからt=0も除いて、
　x=36t+3、t=1,2,3,…　これが変換前の数。

A[6,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^6-1)/3 = 4x/3-7。

変換後の数は4x/3-7 にx=36t+3 を代入して
48t-3= 45,93,…　は3の倍数の奇数である。

A書き直します。
A:[6,-4]
3 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　18t+3
さらに3=[1,4]だからt=0も除いて、
　x=18t+3、t=1,2,3,…　これが変換前の数。

A[6,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^6-1)/3 = 4x/3-7。

変換後の数は4x/3-7 にx=18t+3 を代入して
24t-3= 21,45,69,…　は3の倍数の奇数である。

B:[1,-2]
3 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　18t+3
さらに割数列の初項が4以下は変換できないから
　(18t+3)*3+1= 54t+10⇒27t+5　tが偶数の場合を除外、
　x=18(2t+1)+3、t=0,1,2,3,…　これが変換前の数。

B[1,-2]の変換関数は
(((3x+1)*2^-2-1)/3*2^1-1)/3 = x/6-1/2。

変換後の数はx/6-1/2 にx=18(2t+1)+3 を代入して
6t+3= 3,9,15,…　は3の倍数の奇数である。

C:[4,-4]
6 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　x=9(2t+1)+6、t≧0

C[4,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^4-1)/3 = x/3-2。

変換後の数はx/3-2 にx=9(2t+1)+6 を代入して
3(2t+1)+0= 3,9,15,…　は3の倍数の奇数である。

D:[3,-2]
6 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　x=9(2t+1)+6、t≧0

D[3,-2]の変換関数は
(((3x+1)*2^-2-1)/3*2^3-1)/3 = 2x/3-1。

変換後の数は2x/3-1 にx=9(2t+1)+6 を代入して
3*2(2t+1)+3= 9,21,33,…　は3の倍数の奇数である。

E:[2,-4]
0 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　9(2t+1)
さらに割数列の初項が4以下は変換できないから
　9(2t+1)*3+1= 54t+28⇒27t+14　tが奇数の場合を除外、
　9(4t+1)*3+1= 108t+28⇒27t+7　tが偶数の場合を除外、
　x=9(4(2t+1)+1)、t=0,1,2,3,…　これが変換前の数。

E[2,-4]の変換関数は
(((3x+1)*2^-4-1)/3*2^2-1)/3 = x/12-3/4。

変換後の数はx/12-3/4 にx=9(4(2t+1)+1) を代入して
6t+3= 3,9,15,…　は3の倍数の奇数である。

F:[5,-2]
0 mod 9かつ奇数から変換前の数xは　x=9(2t+1)、t≧0

F:[5,-2]の変換関数は
(((3x+1)*2^-2-1)/3*2^5-1)/3 = 8x/3-3。

変換後の数は8x/3-3 にx=9(2t+1) を代入して
48t+21= 21,69,117,…　は3の倍数の奇数である。

G:[+6]
3の倍数の奇数から変換前の数xは　x=3(2t+1)、t≧0

G:[+6]の変換関数は
((3x+1)*2^6-1)/3 = 64x+21。

変換後の数は64x+21 にx=3(2t+1) を代入して
384t+213= 213,597,981,…　は3の倍数の奇数である。

A~G全ての変換で[3の倍数の奇数]から[3の倍数の奇数]に写る事がわかったので
>>141が証明できました。

各変換でどのような数があらわれるか見ていく。

B:[1,-2]　x/3/2-1/2はx=21+72tを【3+12t】にうつす。
E:[2,-4]　x/3/4-3/4はx=117+288tを【9+24t】にうつす。
D:[3,-2]　2x/3-1はx=69+72tを【45+48t】にうつす。
C:[4,-4]　x/3-2はx=213+288tを【69+96t】にうつす。
F:[5,-2]　8x/3-3はx=45+72tを【117+192t】にうつす。
A:[6,-4]　4x/3-7はx=309+288tを【405+384t】にうつす。
G:[+6]　64x+21はx=3+6tを【213+384t】にうつす。

【3+12t】【9+24t】【45+48t】【69+96t】【117+192t】【405+384t】【213+384t】
と割数列[6]であらわされる【21】を加えて、
全ての3の倍数の奇数は、>>141変換後の完全割数列で表わされる。

全ての3の倍数の奇数は、完全割数列で表わされる事はわかったが、
それが無限の長さの完全割数列かもしれない。
というわけで、命題
「全ての完全割数列は、[6]に初項への6の加減と>>141を有限回行うことで得られる」
⇒「無限の長さの完全割数列は存在しない]
の証明が必要……だと思う。

狸

>6 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:00:03.07
> [>>1]の親は強制的に[>>1]を集団から隔離するべし.
>
>660 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:02:50.12
> Re:>>658 (10+a)(10+b)=100+10(a+b)+ab.
>

うーん、思ってる証明をしても、無限の長さの完全割数列を排除できない気がしてきた……

できた、かな?

穴があったチクショウおおお

できました。　あんまり自信ないけど。
いくつか補題を証明します。

<補題1>
3の倍数の奇数から始まるコラッツ列で無限に大きくなるものはない
　→すべてのコラッツ列で無限に大きくなるものはない

<証明>
>>132で、コラッツ列を逆にたどれば3の倍数の奇数にぶつかるから、
あるコラッツ列で無限に大きくなるものがある
　→3の倍数の奇数から始まるコラッツ列で無限に大きくなるものがある
これの対偶を取って証明できる。

<補題2>
無限に大きくなるコラッツ列の割数列で、項が繰り返しになるものはない

<証明>
割数列の繰り返し部分をa1,...,anとおいて、その時のコラッツ値を一周期毎にx,y,z,wとおくと
3^n*x +3^(n-1) +3^(n-2)*2^a1 +... +2^a1~a_(n-1) = 2^a1~an*y
3^n*y +3^(n-1) +3^(n-2)*2^a1 +... +2^a1~a_(n-1) = 2^a1~an*z
3^n*z +3^(n-1) +3^(n-2)*2^a1 +... +2^a1~a_(n-1) = 2^a1~an*w
から
3^n*(y-x) = 2^a1~an*(z-y)
3^n*(z-y) = 2^a1~an*(w-z)
n≧1だから、z=yとなる。これはループするコラッツ列なので、無限に大きくなならない。

<補題3>
すべての3の倍数の奇数は、>>141変換後の割数列であらわされる

<証明>
>>150です。

<定理1>
長さnの割数列から長さn+1の割数列への変換　>>141

<証明>
>>143-149です。

無限に大きくなるコラッツ列が存在すると仮定する。
このときの割数列は無限に長いものとなる。
これは、<定理1>に無限に適用でき、無限に逆適用できる。
変換Gであらわされる割数列は同一視して、
図であらわすと、上にも下にも無限に長い二分木(二分木A)となる。
<補題2>より、割数列の項は繰り返しにならないから、二分木の要素はそれぞれ異なるものとなる。
また、有限の長さの割数列では、[6]を根とする下に無限に長い二分木(二分木B)となる。

この二つを比べると、二分木Aのほうが個数が多い。
対応する点を子から親へ変えても、さらに親が存在するから、とりつくせない部分が存在し、
二つの集合は一対一対応がつかない。
二分木Bは可算集合だから、二分木Aは非可算集合である。

<補題3>より、すべての3の倍数の奇数は、<定理1>変換後の割数列であらわされるが、
すべての3の倍数の奇数は可算集合だから、二分木Aと対応がつかないので矛盾する。
よって、無限に大きくなるコラッツ列は存在しない。

できたー

コラッツの問題で、4->2->1以外のループが存在しないことって、示されてないよね。調べても出てこなかった

アマだと論文を発表する機会がほとんどないからアレだよな

>>160
上にも下にも無限に長い二分木は
　　　　　　　　　16
　　　　　4　　　　　　　　17
　　　1　　　 5　　　　18　　　19
　　2　 3　 6　 7　　20　21　22　23
　 8 9101112131415　2425262728293031
32...
このように番号をふれば、可算集合と一対一対応がつく。
証明、ダメでしたー。

>>162
示されてないですねー
でも僕は>>87-99で
4-2-1以外のループは存在しない事をいったつもりです。

別のやりかたを考えました。

>>141変換再掲
A:[6,-4]　4x/3-7　　　　B:[1,-2]　x/3/2-1/2
C:[4,-4]　x/3-2　　　　D:[3,-2]　2x/3-1
E:[2,-4]　x/3/4-3/4　　　　F:[5,-2]　8x/3-3
G:[+6]　64x+21

無限に大きくなるコラッツ値のうち最小値をxとおく。
xから>>141変換をさかのぼることを考える。
割数列は無限に長いので、いくらでもさかのぼれる。
各変換のどれがあてはまるかを考える。

>>141変換の遷移をw→z→y→x,uとおく。

�@まずさかのぼる変換のうちでGはない。
さかのぼった値がxより小さくなるから。

�Ay→x、y→u変換で割数列の初項を-2、-4しているから、
yの割数列の初項は5以上。よってz→yはA or F。

�B�Aより、y→xはE or F、Fはy < xとなるからない。

�Cz→yがAの場合、w→zがB or Cとなって-2、-4できなくなるからない。

�Dz→yがFの場合、w→zはA or F、Aは�Cと同じ。
Fはその手前もFになって、さかのぼる事をくりかえすと
コラッツ値がxより小さくなるからない。

よってどの変換も当てはまらないので、無限に大きくなるコラッツ列はない。
以上です。

>>92 では、4-2-1以外のループについて考察しているが、
同様の考察を4-2-1のループで行えば、やはり
　　X*X*X*…
が登場して、しかもX>1なので、いずれ
　　X*X*X*… > 4
となって
　　(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 4
と矛盾することになる。
つまり、4-2-1というループさえも矛盾していることになる。
つまり、証明のどこかが間違ってる。

と思ったらx_iは奇数しか出てこないのか。
じゃあ4-2-1の場合はX＝1になるのか。

スマソ。

>>97-99はおかしいと思う。次のような状況は起きないのか？

・sステップ目で最初のずれが生じて、Ln−Ll＝1 となる。
・以下、2014ステップの間はずれが生じない。つまり、Ln−Ll＝1 がずっと維持される。
・s2ステップ目で次のずれが生じて、Ln−Ll＝2 となる。
・以下、2014ステップの間はずれが生じない。つまり、Ln−Ll＝2 がずっと維持される。
・s3ステップ目で次のずれが生じて、Ln−Ll＝3 となる。
　：
　：
　：

この場合、ずれはどんどん大きくなる。

>>99の図をよく見たら、ずれが「解消」されてた。
「s+1,s+2,s+3ではずれない」＝「新しいずれが生じない(Ln−Ll＝1 が維持される)」
だと思ってた。

スマソ。

ちょっと待てよ、そもそも>>87の例は何を表してるんだ？
下位ビットが左なのであれば、
＞01011　　　　13
これは10進法では26であって、13にならない。左端の0は何なのか？
＞000101　　　　5
これは10進法では40であって、5にならない。左端の000は何なのか？
＞0000001　　　　1
これは10進法では64であって、1にならない。左端の000000は何なのか？

勝手に左端に0を補完してもいいなら、Lnは好きなように変更できてしまうぞ。

指摘ありがとうございます。
コラッツパターンは>>87の(1)(2)(3)(4)ルールに合うように、
左端に0を付け足しています。

コラッツ操作で＜2で割った回数-1＞を蓄積している、とも言えます。
17→52→26→13　＜2で割った回数-1＞:1
01011　　　　13*2^1
13→40→20→10→5　＜2で割った回数-1＞:1+2
000101　　　　5*2^3
5→16→8→4→2→1　＜2で割った回数-1＞:1+2+3
0000001　　　　1*2^6

Lnは好きなように変更できてしまうことはないです。

>>173
0の個数のルールは分かった。だがLnが何なのか分からんｗ

＞sステップ後値の初期値0位置からの距離をLlとおきましょう。
＞例の5ステップ目はLl=6となります。

「後値」とは何なのか？
「初期値0位置」とはどこなのか？
「初期値0位置からの距離」とは何なのか？――たとえば、a000b という
文字列があったとして、「文字aから文字bまでの距離」とは、
距離の測定の仕方によって「距離は4」とも言えるし「距離は5」とも言える。
つまり、単に「距離」と書いただけでは意味が定まらない。
あと、「例の5ステップ目」とあるが、ステップのカウントの仕方が
書いてないから意味が定まらない。具体的に言えば、一番最初の
「 111　　　　7 」を「0ステップ目」とカウントしているのか
「1ステップ目」とカウントしているのか全く不明。

ついでに、>>88も意味がわからんｗ
＞00000111
＞000010101
＞000111111
＞0010111101
＞01110110001
＞10100101011
なぜ一番最初に00000が補完してあるのか？なぜ2行目に0000が補完してあるのか？
補完する個数のルールは何なのか？LlもLnと全く同様に意味がわからん。

http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20140908/20140908212210.jpg

図に書いてみました。
わかりますでしょうか……

>>175
把握した。
このルールだと、コラッツ値が 1 に到達してから先のステップでは、
Ln(s)−Ll(s) はどんどん大きくなって＋∞に発散してしまうわけだが、
ということは、コラッツ値が 1 になるまでの s だけを考えるということか？

あと、>>175をよく見ると、>>99のリンク先には無いパターンがあり、>>99は不完全ということになる。
まず、>>99のリンク先では、ずれが生じているステップ(赤い「1」が存在する行)が3箇所あり、それは

s　 …00001　…1111　(←「特定のパターン1つ目」のもの。「ずれパターン1」と名づける)

s　 …00001　…11011 (←「特定のパターン2つ目」のもの。「ずれパターン2」と名づける)

s '　…1001　 …1111　(←「特定のパターン2つ目」のもの。「ずれパターン3」と名づける)

となっている(>>99の図で空白のマスになっている部分は、ここでは「…」で表現した)。
一方で、>>175では、s = 2 のときに最初のずれが生じ、そのときのパターンは、上の表記法に合わせると

s　 …10001　…1111

となっている。「10001」の部分は、上記の「ずれパターン1,2,3」のいずれでもない。
同じく、>>175では、s = 5 のときに2回目のずれが生じ、そのときのパターンは

s　 …00001　…01011

となっている。「01011」の部分は、上記の「ずれパターン1,2,3」のいずれでもない。
また、>>99では、「ずれパターン1」の場合は、一度ずれたら、その後の3ステップは ずれないことになっている。
「ずれパターン2」の場合は、直後の1ステップは ずれなくて、その後のステップで再び ずれることになっている。
しかし、>>175では、s = 2 が「ずれ」, s = 3, 4 が「ずれなし」, s = 5 が「ずれ」 ということなので、
ずれないステップ数が2ステップであり、>>99のどのパターンにも合致しない。

そうです。コラッツ値が1になるまでのsを考えます。

「10001」の部分は少し考えさせてください。

s=5のときはコラッツ値が1になっているので考えないです。

>>177
追い討ちをかける形になってしまうが、
多倍長整数を使ってプログラムを組んで実験したら、さらにマズイ例が見つかった。

初期値が 27 のとき、コラッツ値が 1 になるまでの範囲でずれが生じるステップは s = 14, 26, 31, 38, 41 の5回のみ。
s = 41 でコラッツ値が 1 になるので、s = 41 は無視することにする。問題は s = 31 のときであり、s = 31 のときは

コラッツ値 ＝ 110000000001 (2進法, 左が下位バイト, 10進法では2051)
伸ばすやつ ＝ 100100010100110000001000110011110111001111111100110111 (2進法, 左が下位バイト, 10進法では 27 * 3^31)

となっている。すなわち、

s　 …00001　…10111　(☆)

となっている。「10111」の部分は、「ずれパターン1,2,3」のいずれでもない。なお、このときのコラッツ値は10進法で2051であり、
まだ 1 に到達してないので、無視できない。[続く]

[続き]
さらに、実は直前の s = 30 のときも問題が起きている。s = 30 のときは

コラッツ値 ＝ 11101010101 (2進法, 左が下位バイト, 10進法では1367)
伸ばすやつ ＝ 11000001110111010101101001100101111101111111110111001 (2進法, 左が下位バイト, 10進法では 27 * 3^30)

となっている。すなわち、s = 31 と置けば

s - 1　 …0101　…1001　(★)

となっている。s = 31 では ずれが起きていたから、そのことと上記の(★)を>>99に照らし合わせると、
上記の(★)は「特定のパターン2つ目」「ずれパターン2の直前(青いマスに「10」が書いてある行)」に該当するはず。
そうなると、s = 31 のときは、>>99によれば

s　 …00001　…11011

でなければならないが、実際には >>178の(☆) だったから合ってない。すなわち、やっぱり>>99はおかしい。
ついでに言うと、(★)が「特定のパターン2つ目」「ずれパターン2の直前(青いマスに「10」が書いてある行)」であるのなら、
s = 31 及び s ' = 33 において ずれが生じることになるが、s = 31 はともかく、「33」の方では実際には ずれが生じなくて、
s = 38 にならないと ずれない。

なお、上記のデータはプログラム以外にも「 手作業 ＆ wolfram alpha 」でも
チマチマ計算して確認したから間違いないはず。

計算ありがとうございます。
困りましたね……

一応、補足しておくと、s = 30, 31 のときの、「コラッツ値」に補正する0の個数は「12個」になっている。
「伸ばすやつ」は、左端からs個だけ切り捨てるから、結局、

s = 30
00000000000011101010101　( コラッツ値(補正版) )
01111101111111110111001　( 伸ばすやつ(補正版) )

s = 31
000000000000110000000001　( コラッツ値(補正版) )
10111001111111100110111　 ( 伸ばすやつ(補正版) )

となり、s = 31 で ずれていることが分かる。
また、s = 30 は、>>99における「特定のパターン2つ目」「ずれパターン2の直前(青いマスに「10」が書いてある行)」
であるはず(しかし、s >= 31 の領域で結果が合わない)。

あっ、既に>>130にコメントがあった (´・ω・｀) スマソ

>>130じゃなくて>>180だったｗ (´・ω・｀) スマソ

ひとまず考えた事は、指摘2パターンも特定のパターンに加える事です。
そうすれば>>97も有効のままで問題も解消されるはず。

>>184
ただ単に「特定パターンに加えました」っていうだけだと、何も問題は解消されない。
なぜなら、まだパターンの抜けがあるかもしれないから。
それらの「特定のパターン」によって全てのパターンがちゃんと網羅できているのかを、
数学的に厳密に証明しなくちゃいけない。
もちろん、新しく加えた「特定のパターン」が>>97 の構造を壊すようなら失敗だ。

まあ、その前に、「特定のパターン」を全て列挙し直すところから出発かな。

そうですよねえ……

証明を戻して、>>89に改良を加えたものにします。
2つのパターンがずれるステップをsとおきます。
s-1でコラッツパターンが01、左端を伸ばすパターンが01の時は、
>>89の図の通り、s+1ステップでずれはなくなります。

s-1でコラッツパターンが11、左端を伸ばすパターンが01の時は、
（>>93の指摘にもありました）
まず左端を伸ばすパターンは
*1001　　　　s-1
11011　　　　s
*00101
**1111
***1101
*******1　　　　s+4
こうなります。

コラッツパターンの最大パターンは
*1111　　　　s-1
101101　　　　s
**10001
*101011
***00101
****1111　　　　s+4
となります。
s+4ステップでずれはなくなります。

>>187
このケースは大丈夫っぽい。

>>188
左端を伸ばすパターンの1行目がいきなり

＞ *1001　　　　s-1

となっているが、これはどうして？
**101 とか 10001 とかの場合は考えなくていいの？
(***11の場合は考えなくてよい、ということは分かるが…)

これって３ｎ＋１倍の操作を続けるといつかは２のべき乗にぶち当たるっていうことですか？

>>189
説明不足ですみませんが、コラッツパターンは最大、左端を伸ばすパターンは最小を調べています。
それでずれがなくなるなら、他のパターンでもずれがなくなるはずですから。
よって**101は*1001より大きいので除外です。
10001はs-2ステップが定義できないので除外です。

>>190
そういう事ではないです。コラッツパターンと左端を伸ばすパターンのずれが最大でも1である事を言っています。

>>191
「最大パターン」と「最小パターン」の意味がよく分からない。
最大・最小というからには、何か指標 X が予め定義されていて、
その指標 X が最大値を取るパターン・最小値を取るパターンについてのみ
考えるということなのだろうが、ここで言う X は何なの？

＞10001はs-2ステップが定義できないので除外です。
ここもよく分からない。コラッツパターンを無視して、
左端をのばすやつだけを観察すると、どんな初期値に対しても、

「右端に10001が出現するようなステップが無限回でてくる」

ことが証明できる。そのようなステップのうち、2より大きいものを任意に取ってtとするとき、
s = t + 2 に対して、「s-2ステップで10001になっている」と言える。
もちろん、このときのsに対して、コラッツパターンがs-1で11になっているとは限らないが、
少なくとも「除外」とまでは言えないだろう。それとも、何か深い理由があるのかな。

ずれた時のコラッツ値が最大、最小パターンのみを考えるということです。

10001については勘違いしてました。調べなきゃだめですね……

>>193
この方針では「証明できそうにない」ことが分かった。

まず、コラッツパターンの最大値について。>>188では、コラッツパターンの計算が

＞101101　　　　s

となっているが、これは間違っている。なぜなら、省略されている「*」の状況によっては
「111101」となる可能性があるからだ。コラッツパターンの最大値を考えるなら、採用すべきは
「101101」ではなく「111101」だろう。そして、「111101」が確実に起こるのは、
コラッツパターンが s-1 で *111111 となっている場合だ。
この考え方を突き詰めていくと、*1111 は最大値ではなく、*111111111 も最大値ではなく、
*1111111111111111111111111 も最大値ではない。理想的には

……1111 (左に向かって永遠に1が続く)

が最大値となる。しかし、実際には有限桁で終わるものしか考えないので、
結局、コラッツパターンに最大値は無い。
とはいっても、上記の理想的な場合について計算することは無意味ではない。
この場合、計算の仕方は「×3を繰り返す」だけでよく、
「＋1」は必要ない(というか、左末尾が無いので、どの桁にも「＋1」が適用できない)。
(続く)

(続き)
次に、左端を延ばすパターンの最小値について。*1001 は最小値ではなく、
*10001も最小値ではなく、*1000000000000000000000001 も最小値ではない。
理想的には

……0001 (左に向かって永遠に0が続く)

が最小値となるが、実際には有限桁で終わるものしか考えないので、
結局、左端を延ばすパターンに最小値は無い。
とはいっても、上記の理想的な場合について計算することは無意味ではない。
この場合、計算の仕方は「×3を繰り返す」だけでよい。
これらの設定のもとで計算をすると、残念ながら

「常にギリギリ1だけ ずれた状態で、永遠に ずれが解消されない」(★)

ことが証明できる。従って、理想的な場合についての計算では、証明に失敗する。
(続く)

(続き)
実際には有限桁のものしか考えないので、有限桁の場合について考え直す必要がある。
コラッツパターンには最大値がなく、左端を伸ばすパターンには最小値が無いので、
コラッツパターン・左端を伸ばすパターンともに「任意の有限桁」を考えることになり、
つまりは無限通りある全てのパターンについて、いちいち個別に議論しなければならない。
実際には、「出来るだけ大きな、任意の有限桁」についてのみ考えればよいだろう。
この場合に問題となるのは、コラッツパターンの方である。上記の理想的な場合では、
「＋1」の操作は無視できたが、有限桁の場合だと、ちゃんと「＋1」の操作を考慮に
入れなければならない。

さて、コラッツパターン・左端を伸ばすパターンともに、「出来るだけ大きな有限桁」を
任意に取ろう。すなわち、

コラッツパターン：*111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111　(☆)
左端を延ばすやつ：*000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001　(☆)

のようなイメージである。この状態で計算をすると、初めの方のステップでは、
「＋1」の影響がまだ出てなくて、理想的な場合と計算結果は ほとんど変わらない。
特に、右端付近の0と1の並び方は、理想的な場合と完全に一致する(★★)。
ということは、(★)と(★★)により、もしずれが解消されるとしても、
そのタイミングは「かなり遅い」ということになる。
(続く)

ずれた… 訂正。

コラッツパターン：*111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111　(☆)
左端を延ばす　 ：*000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001　(☆)

(続き)
というわけで、「せいぜい s＋4 あたりで、必ず ずれが解消される」などというわけにはいかない。
上記の(☆)において、桁数を多く取れば取るほど、ずれが解消されるタイミングを好きなだけ
「遅く」出来てしまうのだ。

しかし、本当の問題はここでは無い。

ずれが解消されるタイミングが「かなり遅い」のであれば、その頃には「＋1」の影響が無視できなくなり、
理想的な場合とは計算結果に狂いが生じてくる。より具体的には、コラッツパターンの方は、
「＋1」の影響により、理想的な場合よりも僅かに桁数の増え方が大きくなることが予想される。
そうなると、想定していたタイミングでは「ずれが解消されない」ということが起こり得る。
もっと悪いのは、「むしろ ずれが増大する」という可能性である。

このような状況は、実際に起こり得る。たとえば、もし 1→4→2→1 以外のループが存在するならば、
そのループにおいては、明らかに「ずれがどんどん増大する」ことが分かる。
そして、ずれが増大するメカニズムは、「ループするから」という理由のほかに、

「『＋1』の影響が無視できなくなり、そこで計算結果に狂いが生じてくるから」

とも説明できる。こうなってくると、「ずれが解消される」ことを証明するよりも前に、まず
「ループが 1→4→2→1 以外に無い」ことを証明しなければならなくなり、本末転倒となる。

というわけで、この方針では、まず間違いなく、証明できないと思われる。

詳細な説明ありがとうございます。
どうしましょう……

コラッツパターンと左端を伸ばすパターンがずれるステップをsとおきます。
このとき、左端を伸ばすパターンのLl(s-1)=Ll(s)は、
　Ll(s-1)=[log(x0)+(s-1)*log(3/2)]
　Ll(s)=[log(x0)+s*log(3/2)]　　です。
Ll(s-1)にlog(3/2)を足しても整数部分は変わらないので、
log(x0)+(s-1)*log(3/2)の小数部分は.0以上1-log(3/2)（≒.415）未満です。
また、
　Ln(s-1)=[log(x0)+(s-1)*log(3/2)+log(1+1/3x0)…(1+1/3x(s-2))]
で、Ln(s-1)=Ll(s-1)ですから、
　0 < log(1+1/3x0)…(1+1/3x(s-2)) < log(3/2)　　が成り立ちます。
s-1の
コラッツパターンの式はx0*(3/2)^(s-1)*(1+1/3x0)…(1+1/3x(s-2))で
左端を伸ばすパターンの式はx0*(3/2)^(s-1)なので、
コラッツパターンは左端を伸ばすパターンの1.5倍未満ということになります。

s-1のコラッツパターンの最大値は　…11111で
左端を伸ばすパターンの最小値は　…00001でしたが、
これに1.5倍の制限がかかって
　コラッツパターン：…11111　　左端を伸ばすパターン：…10101
　コラッツパターン：…00011　　左端を伸ばすパターン：…00001
になります。

　コラッツパターン：…11111　　左端を伸ばすパターン：…10101
　コラッツパターン：…00011　　左端を伸ばすパターン：…00001
の遷移は
11111　　s-1
111101　　s
1110001　　s+1
1101011　　s+2

10101　　s-1
11111　　s
111101　　s+1
1110001　　s+2

00011　　s-1
001001　　s
011011　　s+1

00001　　s-1
00011　　s
001001　　s+1
となって、どちらもずれはなくなります。

>>199
＞0 < log(1+1/3x0)…(1+1/3x(s-2)) < log(3/2)　　が成り立ちます。
ここが間違ってる。

log(1+1/3x0)…(1+1/3x(s-2)) ≧ log(3/2)

の可能性もある。たとえば、log(x0)+(s-1)*log(3/2) の小数部分が「0.000000001未満」であって、しかも

0.9 ＞ log(1＋1/3x0)…(1＋1/3x(s−2)) ≧ log(3/2)

であるようなケースを考えると、Ll(s-1)=Ll(s)も成り立つしLn(s-1)=Ll(s-1)も成り立つ。

具体例は必要ないかもしれんが、一応。

log(x0)+(s-1)*log(3/2)＝2014.0000000001…
log(1+1/3x0)…(1+1/3x(s-2))＝0.80…

というケースがあったとすると、

0.9 ＞ log(1＋1/3x0)…(1＋1/3x(s−2)) ＞ log(3/2)

であり、しかも

Ll(s-1)＝[log(x0)+(s-1)*log(3/2)]＝[2014.0000000001…]＝2014
Ll(s)＝[log(x0)+s*log(3/2)]＝[2014.0000000001…＋0.5849625…]＝2014
Ln(s-1)＝[log(x0)+(s-1)*log(3/2)+log(1+1/3x0)…(1+1/3x(s-2))]＝[2014.0000000001…＋0.80…]＝2014

となる。すなわち、Ll(s-1)=Ll(s)も成り立つしLn(s-1)=Ll(s-1)も成り立つ。

何か他の事情により、このようなケースが実際には起こらない可能性もあるが、
その場合は、そのことを証明しなければならない。

すぐにはできそうにないです。

知ってた

ここに書かずにarxivに投稿すればいいのに

2chで穴を埋めてからarxivに投稿しようかな、と考えています。

ステップをさかのぼるとうまくいくのではないかと、まだ考え中です。

今日こたつを出しました。

コラッツパターンと左端を伸ばすパターンがずれるステップをsとおきます。
このとき、左端を伸ばすパターンのLl(s-1)=Ll(s)は、
　Ll(s-1)=[log(x0)+(s-1)*log(3/2)]
　Ll(s)=[log(x0)+s*log(3/2)]　　です。
Ll(s-1)にlog(3/2)を足しても整数部分は変わらないので、
log(x0)+(s-1)*log(3/2)の小数部分は.0以上1-log(3/2)（≒.415）未満です。

これを.0〜.17と.17〜.415に分けます。
.17〜.415は
　Ln(s-1)=[log(x0)+(s-1)*log(3/2)+log(1+1/3x0)…(1+1/3x(s-2))]
で、Ln(s-1)=Ll(s-1)ですから、
　0 < log(1+1/3x0)…(1+1/3x(s-2)) < 0.83　　が成り立ちます。
　0 < Ax(s-2) < 0.83　　とします。

.0〜.17と.17〜.415のコラッツ値をy,xとおいて、ステップをさかのぼると、
Ays、Axsは単調増加なので、どこかで両方が0.7を下回ります。
そのステップをtとおきます。
　Ayt < 0.7、Axt < 0.7　　です。

　Ay(t-1) < 0.7、Ax(t-1) < 0.7　　でした。
　Ax(t-1) + log(1+1/3xt)…(1+1/3x(s-2)) = Ax(s-2)なので
　log(1+1/3xt)…(1+1/3x(s-2)) < 0.13　　です。

全てのxが1000とすると、
　log(1+1/3/1000)^270 = 0.129 < 0.13　なので
全てのyが1000より大きいならば
　log(1+1/3yt)…(1+1/3y(s-2)) < 0.13、
　Ay(s-2) < 0.83　　となります。

コラッツ値が1000より大きいときは、
　A(s-2) < 0.83　　が成り立つことがわかりました。

これじゃだめか…

>>12のスレにいたもんだが、割数列について今更発見があったので報告しとく

自然数a,bに対し、
[a,b]が割数列 ⇔ b≡2(-1)^a (mod 6)

単純な式だけど、５年前はこれに気付かなかった
さらに

自然数a,bに対し、
[a,b]が完全割数列 ⇔ (6a-4)+((-1)^a)(6-b)≡0 (mod 18)

自然数a,b,cに対し、
[a,b,c]が割数列 ⇔ (6b-4)+((-1)^b)(6-c)≡6(-1)^a (mod 18)

が見つかった。こうやって式で表せば何かわかるかもと思ったけど、今のところサッパリ

ありがとうございます。

ちょっと滞っています。

ぶれぶれですみませんが、また証明を戻して、>>99特定のパターンを列挙する方向でいきたいと思います。
ちょっと先になります。今brainf*ckやってるので……

test